C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Sbrie I, p. 823-826, 1998

GCombtrie diff~rentielle/Differentia/ Geometry

Le produit star de Kontsevich SW le dual d’une alg&bre de Lie nilpotente

Didier ARNAL

Lahoratoire ‘Mikhodes mathtmatiques pour l’analysr des syst&mrs’, Upres A CNRS 7035. UniversitP de

Metz, ile du Saulcy, 57045 Metz cedex, France

(Regu le 13 ao&t 1998, accept6 le 18 septemhre 1998)

R&urn& Dans [3], Maxim Kontsevich construit explicitement, pour chaque structure de Poisson a sur I’espace W”, un produit star pilot6 par (2. Lorsque N est likaire, done lorsque R” est le dual d’une algkbre de Lie g, Kontsevich compare ce produit avec celui dCfini dans [2] par S. Gutt. La prksence de <C roues >> dans les graphes de Kontsevich fait que ces produits different. Si g est nilpotente, les roues n’apparaissent pas et les deux produits co’incident. Le but de cette Note est d’ktablir directement ce rksultat en calculant les coefficients du produit de Kontsevich dans ce cas particulikrement simple. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Kontsevich star product on the dual of a nilpotent Lie algebra

Abstract. In [3], Maxim Kontsevich defines explicitely, for each Poisson structure N on the space R”, a star product on RCi. if (Y is linear. i.e. (f (W”, U) is the dual of a Lie agebra 0, Kontsevich compares his star product with the product dejked by S. Gutt in [2]. Due to the existence of “wheels” in the Kontsevich’s graphs. these two deformations are distinct. rf g is nilpotent, the wheels do not appear and the star products coincide. In this Note, we prove this result by computing directly the cmJ$cients of the Kontsevich’s star product for this vey simple case. 0 AcadCmie des Sclences/Elsevier, Paris

1. Sur l’espace IId, M. Kontsevich dans [3] d&nit, pour chaque structure de Poisson, CI un star

produit nature1 :

Ici, G,, est un ensemble de graphes ayant (sn + 2) sommets et 272 flkches et Rr,,, est un opkrateur bidiffkrentiel n-linkaire en N, caractkid par I?. Enfin wr est un coefficient, essentiellement l’intkgrale d’une 2n-forme WY associCe B I? sur un espace de configuration ne dkpendant que de n et not6

Note prCsentCe par And& LICHNEROWICZ.

07W4442/98/03270823 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris 823

D. Arnal

c ,],,J. Now renvoyons a [3] pour toutes ces definitions. Cette construction est la premiere Ctape du theoreme principal de [3].

Si le tenseur de Poisson a est constant, il est facile de voir que le produit de Kontsevich est simplement le produit de Moyal :

f *n, 9 = 2 $rYf, g), n=o .

Si ck est lineaire, fiiJ = C, Cyz”, c’est-a-dire si l’espace R” est le dual de l’algebre de Lie g de constantes de structure Cy , on con&t aussi un produit star sur Rd, donne par l’operateur de symetrisation entre l’algebre symetrique S(g) et l’algebre enveloppante U(g) de 8. Ce star-produit est decrit dans [2] par S. Gun, nous le noterons *G, il est caracterise par les formules :

oti les B, sont les nombres de Bernoulli. Kontsevich compare ces deux star-produits dans [3] et remarque que la presence de << roues >> dans certains de ses graphes I’, c’est-a-dire d’un ensemble (~1,. . . ~ sk} de sommets relies par des fleches a, <a,. . . , sksk-; font que ces deux star-produits sont distincts. Cependant, si l’algebre de Lie consideree est nilpotente, ces roues ne peuvent pas apparaitre et les deux star-produits coincident. Le but de cette Note est de demontrer directement ce resultat. 11 s’agit done, en fait, d’un exemple de calcul de certains coefficients importants wr du star-produit de Kontsevich.

2. Dans tout ce qui suit. g est une algebre de Lie nilpotente. On se donne une base de g telle que les constantes de structures Cy non nulles de g verifient k > sup( 2: 3). Soit I un graphe de G, tel que Br.o, ne soit pas nul ; notons A = {si, . . : s,,} l’ensemble de ses sommets du premier type et B = {L:R} = {ST, ST} ce ui 1 . d e ses sommets du second type.

LEMME. - La relation s 5 5” si et .wldO?Wnt Si s = s’ oli il existe une suite vo, 11~. . . . , Ilk de A telle

que uo = s, l:k = s’ et ~‘j.uj- est unefZ2clze de r’ pour tout j = 1, . . j k, est une relation d’ordre sur A.

La seule chose a montrer est l’antisymetrie de 5. Si on a s < s’, s’ < s et s # s’, on voit apparaitre dans I une roue, done dans Br,m un facteur non nul de la forme C:;“’ C;:“’ . . . C~~-lk’ , ce qui est impossible.

Soit X une forme lineaire sur g*. On se restreint aux graphes I? tels que Br,,(X. .) n’est pas nul. Pour un tel I?, il est facile de voir que A ne contient qu’un Clement minimal qu’on note sl, que iz \ (~1) n’en contient qu’un, note ~2, etc., c’est-a-dire que A est totalement ordonne et que les deux fleches issues du sommet sk sont a, s~ si k > 1 et <si, .Gz si k = 1. Dorenavant, on appellera I,& le graphe I avec cet ordre sur A et sur l’ensemble star(k) des fleches issues de sk. En tout, il y a n!21L graphes dans G, tels que Br,,(X: .) ne soit pas nul, ce sont les graphes obtenus a partir de I, par une permutation des elements de A ou des star(k). Tous ces graphes I donnent le mCme operateur TLIYB~,~~ puisque ces permutations changent le signe de la forme wr en mCme temps que celui de BF,~. Par definition, on a done :

824

Le produit star de Kontsevich sur le dual d’une algebre de Lie nilpotente

3. Pour definir l’espace de configuration C il,~ sur lequel on indgre la forme WY,~. on considere l’ensemble Conf(A, B) des (n + 2)-uplets (pl, r)a; . . :p,,: qr. qz), oti les pj sont 72, points distincts du demi plan ‘7-f de Poincare, les qi appartiennent a R et q1 < q2. On quotiente cet espace Conf(A, I?) par le groupe de transformations G2 :

(pl?...!pn;cll,Q2)H(Xpl+t,....Xp,,+f:XQ1+t,Xq2+f) (A > 0, t E R).

La variete quotient est l’espace CA 4.~. On compactifie cet espace en le plongeant dans un produit de tores et d’espaces projectifs (v&r [3] et [l]).

Puisque l’on a choisi l’ordre d’enumeration des fleches de I’,, la forme wrn est :

(2*;‘“n! Q’“(mm) Adgi%l.q2) Adqj”(~z,~l)Ad~“(pz!q2) +.~d&“(p,,q,,-1) ~d@(l-)n:q2),

oti c$“(p% p’) est Arg( p$!) ; cet angle est un element de R/27rZ et on ne peut en choisir une

determination reelle sauf pour les fleches reliant un sommet de A h un sommet de B, s,s, et %G5, pour lesquelles une determination est pl = 2Arg(pI - ql) (resp. BI; = 2Arg(pk - qa)) et on choisit ces demiers arguments entre 0 et T. Appelons aussi dpk la forme d$h(pk,~)k-l) si k > 1; alors

wrrL est exacte :

et on peut l’indgrer sur la compactification de C -4,~ en utilisant le theoreme de Stokes. Or on sait que les faces du bord de C;~,B de codimension 1 sont de la forme ~sC~,B (premiere espitce) et 8~~s) C-4.B (seconde espece) (voir [3]).

4. Posons

Alors w[ = -d(& n,,) ; calculons les @, par recurrence en utilisant la formule de Stokes.

Faces de premiPre espke. - Les faces 3sCA,n, avec S c .4 et 1 < #S < 71, correspondent a la concentration des pi associes aux sommets de S en un point pt, de ‘FI. Elles sont isomorphes

2 cs x Cd\S”{pt}.B. La forme N,, se restreint en une forme produit qui est sur le facteur Cs de degre au plus #S - 1. Or dim Cs = 2#S - 3: on en deduit que #S = 2 et S = {s~-~..T,~} (voir aussi le theoreme 6.6.1 de [3]). Si S # (~~~-1. s,,}, alors cy,,, sur le facteur CzA\su(ptj,n contient d@(pt:qa) A d@(pt,qz), done s’annule. Le seul terme non nul provient de F,, = 3~,s7,~,,,s,,)C=1,B. Avec nos notations, on regarde l’ouvert de notre espace de configuration d&fini par :I:,, = H,, -H,,_l < 0 ; on pose ?J~, = i(en + H,,-r), la forme WE s’ecrit :

W0 n = dpn-1 A d&-1 A dy,, A do,, A w;-, = -ch,, A dy,, A ~~~~~~~ A dy,, A w,“,-, ;

D’oh I’orientation de la face. sur Fn, H,, = 0,,-r = yVL, :I:,, = 0 et sa contribution s’tcrit :

825

D. Arnal

Faces de seconde espdce. - Les faces ~~,sIC.AJ, avec S c A, S’ c B et 1 < 2#S+ #S’ < 2n+ 2, correspondent ti la concentration des points associks aux sommets de S et de S’ en un point pt, de R. Elles sont isomorphes 2 (3s.~~ x CA\Sz~\S~,,{Pt). Si S’ n’est pas B, S n’est pas vide; si sj est le plus petit ClCment de S, le facteur d#h(pj, pj-1) (ou d#‘(pl) qi) si s; n’est pas dans S’) devient 0 B la limite (c’est ce que Kontsevich appelle une mauvaise flkche). Done les seules faces B considkrer vkifient S’ = B. On ne peut avoir 5’ = A. Si j est le plus petit Ument de il \ S et si j < a. alors la forme a,, contient sur le facteur C!A\S.B\S’~{~~) un terme d#“(~~I, pt) A d4Sh(yJ, pt) done cy,, = 0. La seule face qui intervient est FA = 81, ,,,.., s,,_,),~C,l.~ = C{,s, ,,..,s, ,-,},n x CI,,~},{~~}. La forme

4-l A d$h(p,L: Q) A d0, dkfinit l’orientation de l’espace de configuration et @(pnr ql) - 0, est nkgatif. Notre face est obtenue lorsque p,, tend vers l’infini, c’est-g-dire lorsque :cn = +h(pn, sl) - en tend vers 0. Le m&me raisonnement que ci-dessus donne :

w.,,pl A dq5’L(p,L, ql) A dd,, = d:c,, A w,,-~ A dy,.

Sur F7i, z, = 0, yin = 8, et on a l’intkgrale :

$g”+l -Ad& = -$$&.

(P + I)!

On a done la relation de rkurrence :

ap = -O”+“a~-l + (2n)af’:, done : (lo = -2 ’ n (p + a)! 7,. k=l (k + l)!(lzT) 2ka0

7L-k.

D’autre part, si les nombres de Bernoulli sont not& B,, on a :

B ‘=- ” 1 B,L--k c

_______ k=l (k + I)! (n, - k)!’ done : rL!uir,,

_ 4 - 5, 72. I (27r)272 *n! !

puisque la relation esl trivialement vraie pour n = 1.

PROPOSITION. - Sur le dual g* d’une alg2bre de Lie nilpotente, les produits star de A4. Kontsevich et de S. Gutt coincident, ils sont caracte’riks par la relation :

si X appartient ci 8. Les B,, sont les nornbres de Bernoulli.

Rdfkences bibliograpbiques

[I] Fulton W., Mac Pherson R., Compactification of configuration spaces. Ann. Math. 139 (1994) 183-225.

[2] Gutt S., An explicit * product on the cotangent bundle of a Lie group, Lett. in Math. Phys. 7 (3) (1983) 249-259. (Voir aussi J. Dixmier, Algkbres enveloppantes (ex. 2.8.12) Gauthier-Villars, Paris, 1974.)

[3] Kontsevich M., Deformation quantization of Poisson manifolds, I. Preprint q-alg/9709040, 1997.

826