Le trafic de débordement

LE T R A F I C D E D ] ~ B O R D E M E N T *

Par Pierre LE GALL, lng6nieur des T616communications **

SOMmURF.. - - NOUS considgrons le cas de x trafics, s'~coulant chacun dans un ~ /aisceau primaire ~, et d~bordant sur un unique/aisceau de d~bordement, susceptible d'dcouler en outre un trafic direct. Ce probi~me se pose dans les multiplages graduds et surtout dans le cas des grands rgseaux interurbains. - - Nous $tudions l'encombrement du ]aisceau de ddbordement clans le cas oft le processus d'arrivges, clans chaque /alsceau primaire, est rgg~ngrati/, les divers trafics de d~bordement ~tant supposes pratiquement ind@endants les uns des autres. - - Ensuite, nous dtudions le cas, le plus important, des arriv~es poissonniennes clans les /aiseeaux primaires. Nous donnons une solution sans hypoth~se simplificatrice, utilisant des matrices d'ordre in/grieur ~ celles donnges par la m$thode de N. I. Bech, et permettant d'ex6cuter les calculs sur ordinateur glectronique, dans les cas de 2, 3 et m$me 6/aisceaux primaires. - - Nous comparons avec les rgsultats donn~s par la m~thode simple et approch~e de B. I. Wilkinson, reposant sur la dgtermination el la composition des trafics et de leurs variances. Nous trouvons que celte derni~re mgthode, tr~s pratique, est suffisante dans la ma/orit~ des cas. Le calcul matriciel exact montre toute/oisqu'elle conduit dt pr~voir un peu moins de circuits dans le /aisceau de dgbordement. - - Nous terminons par l'6valuation de l'erreur commise sur let mesure du trafic de dgbordement composg et de sa variance, dans le cas d'une mesure de dur~e finie, le processus grant suppos~ stationnaire. La m~thode employge, /aisant appel d la notion de [onction de covariance, est celle dd/dt utilis~e par V. E. B e n ~ dans le cas d'un trafic direct d'Erlang. Nous trouvons que la mesure de la variance

n~cessite une durge des observations beaucoup plus longue que dans le cas de la mesure du trafic.

PLAN. - - Introduction. - - 1: Le t rallc d e d d b o r d e m e n t d a r t s le c a s d e p r o c e s s u s d ' a r r i v d e s rdgdndra t i [ s . (A) Un trafic de d6bordement s'gcoulant dans un [aisceau de circuits cn hombre infini. (B) Cas de x trafics de ddbordement s'gcoulant dans un /aisceau de circuits en nombre infini. (C) Cas de x trafics de dgbordement s'~coulant dans un /aisceau de ddbordement fini. - - I I: L e t r a # c d e d d b o r d e r t t e n t d a r t s l e c a s d e s a r r i v d e s p o i s s o n n i e n n e s . (A) Calculs thgoriques en supposant le /aisceau de dJbordement infini. (B) Calculs th6oriques clans le cas d'un /aisceau de dJbordement fini. (C) Comparaison avec la m6thode de Wilkinson. - - I I I: La m e s u r e du t r a # c de ddbor - d e n t e n t c o m p o s d e t d e s a v a r i a n c e . - - ANr~EXES. (1) Le trafic de dJbordement dans le cas d'un seul /aisceau primaire. (II) Composition de plusieurs trafics de dJbordement dans un m~me /aisceau de ddbordement. (III) La

mesure du trafic de ddbordement et la [onetion de covariance. - - Bibliographic (12 rg/grences).

INTRODUCTION

La portion de trafic qui n 'a pu s'6couler dans un faisceau de circuits t616phoniques, et qui est offerte, en second lieu, "~ un autre faisceau, est appel6e un trafic de d6bordement. Ce dernier trafic n 'a plus les caract6ristiques du trafic d'origine. Les probl6mes d 'encombrement correspondants sont trhs complexes. L' importance de leur 6rude provient de l'utilit6 de la pratique du d6bordement dans les probl6mes de raccord entre s61ecteurs, dans les centraux t616- phoniques, et surtout dans l 'exploitation des grands r6seaux interurbains.

C'est d'ailleurs sur la demande et avec l'aide mat6- t6rielle de la Direction G6n6rale des T616communi- cations que la pr6sente 6rude a 6t6 entreprise plus particuli6rement en rue de son application concr6te au cas du trafic interurbain.

Le probl~me du d6bordement a 6t6 6tudi6 a l'origine par C. Palm [ l t ] en 1936, qui a donn6 quelques r6sultats num6riques pour des faisceaux de trois circuits au plus. La solution g6n6rale, dans le cas d 'un trafic de d6bordement simple, avec faisceau

de d6bordemcnt illimit6, a 6t6 donn6e par L. Kos- ten [7] en 1937. Puis C. Palm [t0] 6tudia en 1943 le processus des arriv6es dans le faisceau de d6borde- ment. Ensuite, E. Brockmeyer [4] 6tudia le cas d 'un simple trafic de d6bordement s'6coulant dans un faisceau fini, et enfin N. I. Bech [t] posa en 1954 les 6quations matricielles dans ]e cas g6n6ral de plusieurs trafics de d6bordement s'6coulant dans un seul faisceau fini. Depuis, R. I. Wilkinson [12] a pr6- sent6 au premier Congrbs de T616trafic, en 1955, une m6thode approch6e, mais tr~s commode par sa simplicit6, permet tant d'6valuer l 'encombrement d'appels d 'un faisceau de d6bordement. Cette m6tho- de fur justifi6c par un grand hombre d'exp6riences.

Nous 6tudierons sa validit6 dans des cas 6tendus l'aidc de calculs th6oriques, permet tan t de trai ter

des exemples complexes difflciles h exp6rimenter. Ces calculs utilisent les techniques modernes offertes par les grands calculateurs 61ectroniques num6- riques (*).

Nous pr6senterons la m6thode de calcul, non seulement dans le cas, habituellement envisag6, des arriv6es poissonniennes, mais aussi dans le cas plus g6n6ral des processus d'arriv6es r6g6n6ratifs.

* Communication pr6sent6e au 3 e Congr6s International de T616trafic, Minist6re des Postes et T61~communications, Paris, 11-16 septembre 1961.

** Au C. N. E. T. D6partement R~cn~Rcn~s sva MACmNES .ELECTRONIQUES. (*) Les calcu|s num6riques ont 6t6 effectu6s sur le calculateur 61cctronique 70/* de la Compagnic IBM-France.

226

t , 16, n ~ 9-10, 1961]

Nous terminerons par la d6terminat ion de l 'erreur commise sur la mesure du trafie de d6bordement et de sa variance, dans le cas de mesures, de dur6es finies, effectu6es sur un trafic stationnaire.

N O T A T I O N S E T H Y P O T H ~ . S E S

Nous ne consid6rons que le cas de syst~mes h appels perdus.

Nous avons x faisceaux primaires rep6r6s chacun par l ' indice i. Le i eme faisceau poss~de m~ circuits et revolt le trafic offert a~. Son trafic refus6 b~ est offert, en second lieu, h un faisceau de d6borde- ment unique, compor tan t n circuits. Le trafie total offert h ce dernier est donc :

i = 1

Si un des trafics b~ est, en fait, ofl'ert directement au faisceau de d6bordement, tou t se passe comme si ce trafic se pr6sente d 'abord devant un faisceau primaire de 0 circuit (m~ = 0). Nous nous occupe- rons donc, dans la suite, seulement de trafics de d6bordements purs 6coul6s par le faisceau de d6bor- dement.

Nous supposerons la dur6e exponentielle, avec la m~me tion F(t) : t - C - t pour les prendrons la dur6c moyenne pour unit6 de temps.

des communicat ions fonction de r6parti- divers trafics. Nous des communicat ions

Consid6rons le i eme faisceau primaire. Les appels sont suppos6s se produire en des instants dont les intervalles sont mutueUement ind@endants et ob6issent "~ la m~me [onction de rdpartition t~(t) (F~(0) = 0). Nous disons que le processus d'arrivges est r@gngrati[.

Nous posons, pour z complcxe avcc R(z) ~ 0 :

-- e ~t.dF~(t). Z +

L' importance capitale de ce processus r6g6n6ratif r6side dans le fait que lc rappor t bda~ du trafic refus6 au trafic offert n 'est autre que ]e blocage d'appel P~, probabilit6 pour qu 'un appcl t rouve, h son arriv6e, le faisceau primairc encombr6.

Cette relation :

(3) P~ = b~la~, intui t ive et tr~s commode pour l 'ing6nieur n'cst, en fait, pas forc6ment v6rifi6e pour des processus plus g6ndraux.

L ' importance de cc type de processus r6side, en outre, dans le fait que le processus des arriv6es, dans lc faisceau de d6bordement est aussi r6g6n6ratif, avec les hypotheses faites.

Cette propri6t6 remarquable a 6t6 d6montr6e par C. Palm [t0].

Si c~ est le trafic, issu du ieme faisceau primaire, et refus6 par le faisceau de d6bordement, le blocage d'appel pour un appel issu de ce [aisceau primaire et se prdsentant au [aisceau de dgbordement est :

(~) ~z~ = cdb~.

LE T B A F I C D E D I ~ B O R D E M E I N T 21i3 Le blocage d 'appel total pour un appel se pr6-

sentant devant ]e ieme faiseeau primaire est :

(5) fi'~ = P~.7~ = c~la~.

~ ddtermine la qualitg de ser~,ice du /aisceau de dgbordement.

Cette qualit6 d6pend donc du faisceau primaire consid6r6.

Le cas impor tan t des arriv6es poissonniennes, utilis6 dans le t616phone, correspond h :

F~(t) = 1 - - e-a~ t, (6) ~(z) = a~l(a~ - z).

pour le ieme faisceau primaire.

I . ~ L E T R A F I C D E D ~ . B O F t D E M E N T

D A N S L E G A S D E P R O C E S S U S

D ' A R B I V ~ E S B ~ . G ~ . N ~ . R A T I F S

Occupons-nous, tou t d 'abord, du cas d 'un saul trafic de d6bordement.

A. Un trafic de dfibordemcnt s ' f icoulant dans un fa i sceau de circuits en nombre inf lni .

Nous abandonnerons provisoirement l ' indice i puisqu'il y a un seul iaisceau primaire.

D6signons par P(i, )~) la probabilit6 pour qu'il y ait, h l ' instant d'arriv6e d 'un appel dans le faisceau primaire, i communications en cours dans le faisceau primaire et ), dans le faisceau de d6bordement.

Nous allons donner les r6sultats de notre 6rude : [9], section (III , 7).

Posons :

: ~=jx=~ C~.C~.P(i, k).

Nous d6duisons :

(8) P(i, ?~) = ~ ~ [Ci(-- I)J-~][Cx~( -- l)~-Zj.b(/, v).

I1 nous reste h d6tcrminer b (/', v). Posons :

i (o) = 1

i) (9) i - i - po, ,r i > 0,

=

9(z) est d6fini par (2), off nous avons abandonn6 l'indiee i.

Nous t rouvons :

(10) b(i, ,~) = ~(v + i) x J

Z__ ~ c t (x + -

k = 0 ;1 i' X=O

En particulier, nous avons :

1 ( t l ) �9 b(--m, v-~ = z=o ~ . + vi"

�9 Ce signe typographique est utilis6 pour distinguer les formules principales encadr6es sur le manuscrit.

- - 227 - -

3]i3

Nous d~duisons, toujours ~ l'inst~nt d'arrir d'un appel :

o o

(12) P(m, ;k) = ~-x Cx~'(-- l)~-X'b(m' ~)"

D~signons maintenant par ~(i, X) et s(/', v) les homologues de P(i, X) et b(], ~), a un instant quelconque. Nous t rouvons :

A b(/, ~) (t3t ' ( i , v) = 7-4-3" a(v + i)

Si nous d6signons par I I A = ~0'(0) la dur6e moyenne d'un intervalle entre deux instants d'arri- v6es, A est le trafie offert au [aisceau primaire.

D6signons par =(~) la probabili t6 pour qu'il y ait, a un instant queleonque, X communications en cours dans le faisceau de d6bordement, ind6pendamment de l '6tat du faisceau primaire E t posons aussi :

GO

(l~) +(v) = s(0, ~) = ~ Z c l .~ (x ) .

Nous t rouvons :

(15) �9 s(v) = (A/v).b(m, v--1),

oh b(m, v) est donn6e par ( l i ) . Nous d6duisons :

(16) =(x) = ~.Z c t . ( - i)~x.~(~).

B. Cas de x traflcs de ddbordement s'dcoulant dans un faisceau de circuits en nombre inflni.

Les divers trafics de d6bordement, rep&6s maintenant par l'indice i, s'6coulent ind6pendamment les uns des autres. Nous pouvons utiliser direete- merit les r6sultats pr6c6dents.

D6signons les quantit6s pr6c6dentes A, b(m, v) et s(v), relatives au seul trafic offert Ai au i eme faisceau primaire, par A~, b~(m, v) et s~(v).

D&ignons par S,(v) la quanti t6 homologue de s(v) pour l 'ensemble des x trafics de d6bordement. Elle se calcule par les r6currences :

i s~(~)= ~(~), s,(~) = xE__0 s~(x) .~(v - x),

07)

s,(~) - ~ s~_,(x).,,(~ - x). - - X--0

Si(),) s 'applique aux i premiers trafics de d6bor- dement.

D6signons, iei, par Pi(m~, X) la probabilit6 pour qu'il y air, ~ l'instant d'arri~,~e d'un appel clans le i eme [aisceau primaire, et ind@endamment de l'$tat des (x ~ t ) autres [aisceaux prlmaires, mi communications cn cours dans le i eme faisceau primaire et ), dans le faisceau de d6bordement. A cette quanti t6 faisons correspondre la quanti t6 Bi(m+, v), comme b(m, v) correspond ~ P(m, X) dans le paragraphe pr6c6dent.

P . L E G A L L [ A N N A L ~ DES TRLf~COMmJNICATXONS

Nous d6duisons :

(18) B+(m+, "~) = x.~o S~-,(X).b+(m+, v -- l),

off Sz_ 1 est relatif aux (x --=t) trafics de d6borde- ment autres que le ieme.

Les relations (12) et (t6) deviennent maintenant :

Pt(m~, Cl9) �9

~:(x) =

N o u s a v o n s ~ e l i

(15):

(20) s,(~) =

X) = ,~x C~(-- l)v-X.B+(m,, v) !

oo

Z ct( - 1)~-~.s+(~).

outre, ]a relation homo]ogue de

+,-i V .B+ (m+, ~ -- 1).

C. Cas de x traflcs de ddbordement s'~coulant dans un faisceau de d6bordement flni.

Nous avons n circuits de d6bordement seulemcnt. Les calculs sont beaucoup plus complexes. Nous

ne retiendrons que la relation suivante pour v >t 1, homologue de (20) :

(21) s,(v) =

E (A+/v). [B+(m+, v - 1) -- C,~-I.B+(m+, n)]. i - - 1

Ici, les Bi sont d6finies par des relations telles que (7), off l'indice ), est tel que X ~< n.

Le trafic refus6 par le/eme faisceau primairc est :

A+.B+(m+, O) = A+. b+(m+, 0).

Le blocage d'appel du i eme [aisceau primaire est done :

(22) Pl = b+(m~, 0).

( l l ) donne, cn rep6rant ~(X) par l'indice i :

m i

(23) �9 [ p i ] - l = E C~/[~(X). k - 0

La portion du trafic A~, refus6e par le faisceau de d6bordement, est : A~.Br n).

Le blocage total d'appel est :

(24) if+ = B+(m+, n).

Le biocage d'appel, pour un appel re[us6 par le i eme [aisceau primaire et se pr~sentant au [aisceau de d~bordement, est d'apr~s (4) et (5) :

(25) �9 =+=B+(rn+,n)lP+.

La probabilit6 d'encombrement dans le temps du [aisceau de d~bordement est : r~(n).

Pour n fini nous avons : =(n) = S+(n). En fait, d& que le faisceau de d6bordement pos-

sgde plusieurs circuits, tou t se passe comme s'il y en avait une infinit6. Ou, ce qui revient au m~me, les divers trafics de d6bordement s'6coulent pratiquement ind6pendamment les uns des autres, tou t au moins pour un faible encombrement .

Cette propri6t6 peut ~tre v6rifi6e par la rela-

- - 228 - -

t. 16, n e* 9-10, 1961]

t ion (21), off les divers termes Sz(v) et Bi(rn~, v - - 1) peuvent se ealculcr comme s i n 6tait infini, pour des valeurs de v assez 61ev6es. Nous remplaqons, dans (21), Bi(mi, n) par P~(m~, n), ealeul6e par (19). Et nous constatons, qu'en g6n6ral le terme

(AiIv).C~-I.pr n). i = l

est n6gligeable. Pour v -~1, ee n'est autre quc le trafic total refus6 par le faisceau de d6bordement.

En rdsumd : Dhs que nest @al h quelques unit~s, et pour un [al-

ble blocage ddsirg, nous calculons les P~(m~, X) et =(X) par les relations de rdcurrence (17) et (18), et les sdries (19), compte tenu des relations de base (11) et (15). Ces relations sont par[aitement adaptdes it la technique des ordinateurs dlectroniques. La r de l'approxima- tion [aite se r a posteriori, par la relation (2t) dquivalente pratiquement it (20).

Les s6ries (19) 6tant altern6es, h partir du moment oh les termes d6eroissent, le premier terme n6glig6 donne une valeur maximum de l'erreur eommise en arr~tant le ealcul au terme pr6c6dent. Comme les probabilit6s chereh6es ont des valeurs d6sir6es bien d6termin6es, on peut pr6voir, dans la programmation sur ordinateur, l'arr~t automatique des calculs d6s que les termes des s6ries deviennent inf6rieurs h une valeur donn6e.

De m~me, il est n6cessaire de (( sortir )) la valeur maximale des termes d'une s6rie calcul6e. En effet, nous constatons, dans le cas des arriv6es poissonniennes, que les termes des s6ries pr6c6dentes com- meneent, avant de d6crottre r6guli6rement, h cro~tre de fa~on souvent eonsid6rable. Nous verrons que le caleul en (( triple pr6cision )) (avee 20 ehiffrcs signifieatifs) est souvent n6eessaire. La valeur du maximum pr6e6dent permet de s'assurcr que les ealculs effeetu6s donnent des r6sultats valables avee I ou 2 ehiffres signifieatifs.

Moyennant ees pr6cautions, il n 'y a aucune diffi- cult6 ~ trai ter ees probl6mes de d6bordement sur les o~dinateurs 61ectroniqucs.

LE T R A F I C DE D E B O R D E M E N T

Nous avons :

(26) b(/, ,~) = s(/, v).

(9) devient, pour i > 0 :

IX. - - L E TRAFIC DE D~.BORDEMENT DANS LE CAS

DES ABRIV~ES P O I S S O N N I E N N E S .

Ce cas est eelui consid6r6 en t616phonie. It correspond aux probl6mes de (( gradings }), avec lignes communes, et surtout h celui du trafic interurbain avec d6bordement.

Nous allons tout d 'abord donner un aperr des calculs th6oriques que nous avons effectu6s, avant de comparer a v e c l a m6thode empirique, trgs pratique, de R. I. Wilkinson [12].

A. Calculs tMoriques en supposant le faisceau de d~!bordement inllni.

Le cas present est un cas particulier du probl~me trait6 pr6c6demment. I1 est d'ailleurs plus simple.

- - 229 - -

4/13

(27) e(i) = ilA.

(11) devient :

m

(28) lib(m, v) = l/s(m, v)= z=~o C~.(Z + v)!lA x+~.

En fait, s(m, v) se calcule ais6ment sur ordinateur lectronique h l'aide de la r$currence [cf. annexe II, ormule (29b)] :

(29) 1

$ ( m ,

l s(m,

s(m,

1 0) = E,.(A) ;

A l - - A l ( m + l ) . l ) - m + l + Em+x(A) ' A A - - ( m + ~.+ 1) ;k X + 1) + s(m, X) s(m, X-- 1) = 0.

Les calculs num6riques ont 6t6 effectu6s dans le cas le plus difficile du d6bordement pur, en se limi- t au t h l 'usage de la (( triple pr6cision )).

Nous avons constat6 que, dans le sch6ma sym6- t r i que (A 1 = A s . . . . . A ; m 1 -= ms . . . . . m), nous pouvions traiter ainsi le cas x = 7 tfaisceaux ~t primaires) pour A < 10, et x - -=4 p o u r A < 20, pour une proportion de trafic de d6bordement de 10 ~o [Em(A) ---- 0,1]. Pour une proportion de 40 ~o [E,~(A) = 0,4], nous pouvions trai ter le eas x = .7 pour A < 6 seulement.

B. Calculs tMoriques dans le cas d'un faisceau de d~bordement fini.

La m6thode simplifi6e de calcul matriciel utilis6e est expos6e h l 'annexe II. Elle permet d'utiliser des matrices d'ordre ~=2(m~ q- l) pour l '6tude du blocage relatif aux appels du premier faisceau primaire. Rappelons que les 6quations de d6part conduisent h des matrices d'ordre [ i=l(m~ -4- !)] . (n + 1), et que la m6thode de N. I. Bech [1] conduit normale- ment ~ des matrices de d6part d'ordre ~=l(mi q- t).

Nous pouvons ainsi traiter le cas x ----- 3 et mgme x ~ 4, si nous nous rappelons que les ordinateurs inversent ais6ment des matrices d'ordre 30 h 100, et difficilement des matrices d'ordre I 000 au plus, la difficult6 provenant de la pr6cision des calculs.

Les calculs ont 6t6 effectu6s dans le cas x ---- 2. Si la programmation est beaucoup plus difficile que par la m6thode du paragraphe A, l 'ex6cution en est beaucoup plus rapide. En effet, il suflit d'utiliser la ((simple pr6cision 7) (7 chiffres significatifs), et nous n'avons plus de s6ries h calculer.

A titre de v6rification, nous avons trait6 le cas tr~s r6duit d6jh calcul6 par G. Neovius [9 bis], correspondant h :

x=2, m l = m 2 = m = 3 ' 1 n l, 2 et 3, A l = A 2 = A = t , 2 , 3 e t 4 .

5/13

Nos r6sul ta ts c o n c e r n a n t les b locages d ' a p p e l conco rden t avec ceux de Neovius h 5 % pr~s. Cet te e r reur r e l a t ive est due, p robab lemen t , /~ l ' usage de la <( s imple pr6cision ~ seu lement .

Nous donnons que lques r6su l ta t s dans les ta- b l eaux I et 2 ; ils sont indiqu6s dans les colonnes M (matriciel) . Nous donnons aussi les r6sul ta ts d6s

la m 6 t h o d e du p a r a g r a p h e A, dans les colonnes co (faisceau de d 6 b o r d e m e n t ill imit6).

Ces colonnes d o n n e n t le n o m b r e n de circui ts

P. L E G A L L [ANNALES DES Tf~LI~COMMUNICATIONS

En effet, q u a n d n crolt , nous t r o u v o n s que la m6 thode du p a r a g r a p h e A donne un n o m b r e n inf6r ieur h sa va l eu r exacte , l ' 6car t c ro issant a~ec la tai l le du fa isceau de d 6 b o r d e m e n t . P a r exemple dans le t ab l eau I , nous t r ouvons que pour x = 2, Ax =- A2 = 20, m~ = m 2 : 22, il f au t 17 circui ts de d 6 b o r d e m e n t au lieu de 15. Nous avons d6jh une e r reur r e l a t ive de 12 % sur l ' 6va lua t ion de n.

Donc, pour n grand, la 1 TM mdthode tend ~ ~tre trop optimiste.

TABLEAU 1

V A L E U R S DU NOMBRE n (FRACTIONNAIRE) DE CIRCUITS DE DEBORDEMENT~ POUR UN BLOCAGE D'APPEL 7~ ~ ~0 - ~ DU FAISCEAU DE DEBORDEMENT

A = 2 m m t t

x W I oo M W

2 4,~ [ 4,~ 6,5 7,2 4 5,1 5,3 9,5 7 6,4 6,4 12,5

A = 5 m = 7

cr M

7,2 9,3

t2,2

7,7

W

t0,9 t~,7

A = 1 0 m =12

I A = 20 m = 22

t_, i

co M ! W co M

10,4 11,~ ! 15,8 14,9 t4,2 i

i

16,9

Cas sym6trique : mi ffi m, Ai = A (pour chaque faisceau primaire) ; x faisceaux primaires dans chaque faisceau primaire : E~ (A) ffi 0,1.

W (m6thode de Wilkinson}, r (m6thode du faisceau infini), M (m6thode exacte du calcul

; proportion de d6bordement

matriciel).

TABLEAU 2

V A L E U R S DU NOMBRE n (FRACTIONNAIRE} DE CIRCUITS DE DEBORDEMIENT~

POUR UN BLOCAGE D 'APPEL 7~ ~ ~ 0 - 2

DU FAISCEAU DE DERORDEMIENT

m = 2 m = ~

w/0 6,5 I 116,9 16,6

1 2,8 ] 26,3

A •10 mff i7

M W o o t M

Cas sym6trique : m~ = m, A i ffi A {pour chaque faisccau primaire) ; x faisceaux primaires ; proportion de d6borde- merit dans chaque faisceau primaire : E m (A) ffi 0,6.

W (m6thode de V~ilkinson), c~ (m6thode du faisceau infini), M (m6thode exacte du calcul matriciel).

p r6voi r dans le fa i sceau de d6bo rdemen t , pou r un b locage d ' a p p e l du fa i sceau de d 6 b o r d e m e n t :

~ = 10-~ . [voir (25)].

P o u r serrer la eompara i son , nous avons donn6 le h o m b r e n f r ac t i onna i r e t r ouv6 p a r i n t e rpo la t i on , alors que, dans la p r a t i que , nous p rendr ions le n o m b r e en t ie r i m m 6 d i a t e m e n t sup6rieur .

E n t o u t cas, nous t r o u v o n s , pou r des p ropor t i ons de d 6 b o r d e m e n t de t 0 ~/o h 40 ~/o, que les deux m~thodes donnent pratiquement le mSme rgsuhat, dks que nest dgal fi quelques unitds, mais pas trop grand.

C. C o m p a r a i s o n a v e c la m ~ t h o d e de W i l k i n s o n .

Cet te m6thode , tr~s p r a t i que , a 6t6 v6rifi6e pa r de n o m b r e u s e s exp6riences, mais sur des exemples n6- cessa i rement r6duits , v u la difficult6 et la longueur des essais. Les calculs th6or iques v o n t nous per- m e t t r e d ' e x a m i n e r des cas plus complexes .

R 6 s u m o n s t o u t d ' a b o r d ce t te m6thode . Le ieme t raf ic de d 6 b o r d e m e n t a pour va l eu r :

(30) b~ = A~E~(A~).

D'ai l leurs , (23) d o n n e : P~ = E m~(A~). Ce t ra f ic a pour va r i ance [cf. annexe I, for-

mule (Ta)] :

(31) V~= b ~ . [ l - - b ~ + A ~ / ( m ~ + 1+ bi--A~)].

Dans le eas d ' un t raf ic direct , nous avons : Vi = bi. Les deux pr inc ipes de la m6 thode sont : t ~ cn a d m e t l'hypothbse de l'inddpendance des

divers t raf ies de d6bordemen t . Le t raf ic r6su l t an t b, e t sa va r i ance V sont done tels que :

b = ~ b ~ , i f f i l

(32)

V = ~ V ~ ; 4=1

2 ~ ee t raf ie r6su l t an t p e u t gtre asslmild h un simple trafic de d~bordement. Les re la t ions (30) e t (31) fon t alors co r respondre au couple (b, V) le couple fictif (AI, ml). On a d m e t done que t o u t se passe c o m m e si le t raf ic de d 6 b o r d e m e n t r6 su l t an t es t issu d ' u n seul fa i sceau p r ima i r e fictif de mt circuits , r e c e v a n t le t raf ic offert fictif At.

- - 230 - -

t. 16, n ~ 9-10, 1961]

La relation (25) donne alors pour le blocage d'appel du faisceau de d6bordement :

(33) �9 7:= E~/~,(A/)IE,,t(At). Nous venons de volt, au paragraphe pr6c6dent,

que la premiere hypoth~se est justifi6e si n n 'est pas trop grand. Les relations (32) sont done valables.

A l 'anncxe I, nous montrons que, dans le cas d 'un seul trafic de d6bordement, la connaissance de sa valeur b e t de sa variance V d6terminent pratiquement les premiers moments de la distribution =(X). Le trafic est done bien d6fini stochastiquement par b et V.

Mais il n'en est plus de meme dans le cas d 'un trafic compos6. II est donc indispensable de v6rifier cette deuxi~me hypoth~se. En outre, l'expression (33) ne d6pend plus de l'indice i, alors que ~ dolt en d6pendre.

A ce sujet, nous constatons, par les calculs exacts, que, pour une m~me proportion de d6bordement dans chaque faisceau primaire

[E~,(A~) = E,,,,(A2) . . . . ],

~i a prat iquement la mfime valeur quelque solt i. Sa plus grande valeur, done la plus d6favorable pour la qualit6 de service, correspond au faisccau primaire le plus important . Prenons l'exemple suivant, off Em,(A1) = E.,.(A2) = 0,1 :

x=2, [ A1=30er]angs I A2=10erlangs, m:t = 31, m 2 12, n = t6.

(33) donne : r~ ~ 10 -2. La m6thode du paragraphe A donne :

% = 10 -~, ~z~ = 7.10 -3.

Ces valeurs ne sont pas sensiblement diff6rentes. Les tableaux I e t 2 nous donnent, dans les

eolonnes W (Wilkinson), le nombre (fraetionnaire) n de circuits de d6bordement h pr6voir, d'apr6s la formule (33), toujours pour r~ = 10 -~ (*).

Ces exemples 6tendus montrent que la m6thode de Wilkinson donnent des r6sultats eompris entre ceux des deux m6thodes t)r6c6dentes, celle du paragraphe A (faiseeau illimit6) et celle exaete du calcul matrieiel.

Au paragraphe pr6c6dent, nous avons remarqu6 que la m6thode du faisceau de d6bordement suppos6 illimit6 6tait valable, d6s que n 6tait tgal s quelques unit6s et n'6tait pas trop grand. I1 s'en- huit que la m~thode de Wilkinson est /ustifide pour les [aisceaux de ddbordement de capacitd moyenne, ce qui simplifie consid6rablement le probl6me. I1 suffit d'utiliser les abaques de correspondance

(b, V) --> (A/, m/),

ou mleux, pour 7: donn6, les abaques de correspondance : (b, V) --> n.

Pour n grand sup6rieur h 50 par exemple, il se-

(*) Ces nombres , n o t a m m e n t ceux du t ab l eau 1, ndcessi- t e n t un ca 'cul pr6cis. Ils nous ont 6t6 fournis pa r M. 1L I. Wilkinson.

LE TBAFIC DE DEBORDEMENT 6/ 3 rait int6ressant de pr6ciser l 'e r reurAn commise par d6faut, laquelle dolt crolt ,e aussi avec le nombre x de faisceaux pHmaires.

I I I . ~ L A M E S U R E

D U T B A F I ~ D E D I ~ , B O B D E M E N T C O M P O S ] ~

E T D E S A V A R I A N C E .

Notons que la mesure d 'un trafic simple direct n'est qu 'un cas particulier de la mesure du trafie de d6bordement.

D'apr~s les remarques du chapitre II, nous voyoas toute l ' importance de la mesure du trafie et de sa variance V, pour en d6duire les blocages d'appel, c'est-/t-dire les qualit6s de service.

Nous supposons le trafic stationnaire, ou la mesure r6partie sur des p6riodes de journ6es identiques de fa~on h pouvoir admettre un trafic prat iquement constant. I1 r6sulte une erreur sur l 'est imation des valeurs du trafic et de sa variance, du fait de la dur6e T finie des mesures. Nous voulons 6valuer cette erreur.

D6signons par Xv(t) la fonction al6atoire pre- nant , h l ' instant t, la valeur i v, s'il y a, ~ cet instant , i communications en cours dans le faisceau observ6.

Une mesure continue dans le temps, dans l 'intervalle (0, 0 -r T), revient ~ 6valuer la variable al6a- toire :

FO+ T (34) Zv = T if0 Xv(t).at,

ind6pendante de 0, du fair de l 'hypoth~se de sta- tionnarit6.

Si T est suffisamment grand, Zv prend pratiquement une valeur blen d6finie : sa valeur moyenne E I Zv I = a. C'est le trafic 6cou16 si v = 1. S iv est quelconque, c'est le moment my d'ordre v de la distr ibution P(i) :

(35) my = • iv.P(/), 4

off P(i) est la probabilit6 pour qu'il y ait i communications en cours h u n instant quelconque. Rappe- lons que la variance du trafic est :

(36) V = m~-- m~.

R. Fortet a montr6 au pr6c6dent Congr~s [5] que, pour les processus de Markoff (ce qui est le cas pr6sent pour le processus global snr l 'ensemble des falsceaux primaires et de d6bordement), la variable al6atoire r6duite ( Z - a]~), oh ~ est la variance de Z, v6rifie prat iquement la loi de Laplace, si T cst assez grand. Autrement dit, l'erreur relative alda- toire p est telle que :

- J_.qo e-"'12.dv, (37) Pr(p < r) V / ~ _

oh r est donn6. Cette derni~re quanti t6 est le ((coefl](ient de confiance)) at tach6 h l ' intervalle de confiance ar.

I1 nous suffit done d'6valuer ~.

- - 2 3 i - -

7/13

De mgme, si les mesures n 'ont lieu qu 'en des instants discrets v ~- 0, �9 ~- 20, . . . , �9 ~- nO, ce qui est souvent plus commode et 6conomique, (37) peut encore s 'appliquer h la variable Z~ qui devient maintenant :

(3s) z~ = 1_ :~ x~(,: + xo). Yt k = l

La dur6e de la mesure est alors : T = ( n - - 1)0. R. For te t a donn6 des expressions asymptot iques

de ~, pour T grand, dans les deux eas de mesures : [5] et [6]. Les calculs prat iques sont toutefois longs. Nous appliquons plutSt, h l 'annexe III , la m6thode utilis6e par V. E. Being [2] dans le eas du trafic simple direct d 'Erlang. Cette m6thode utilise la fonetion de covarianee :

(39) R~(t) = E I X~(0).X~(0 + t) } -- .~.

Nous montrons que nous avons approximative- ment :

Rx(t) ~ V.e - t , (40) ~ ( , ) _ (m~ - - ,,~.) e - t .

Notons, en effet, que, pour la mesure de la variance, nous sommes amen6 h mesurer, d'apr~s (36), m~, connaissant d6jh m~ = b (trafie 6cou16).

Les r6sultats de Bench, pour ees expressions (40), de la forme A e- t , donnent :

a) cas de mesures continues :

b) cas de mesures discrbtes :

t - e--2nx-]

= �9 2~7,~ ~- j ,

a v e c :

T X = 2(n- - 1 ) - 012.

D'apr~s (40), nous avons pour la mesure du trafic :

(43) R(0) ~__ V,

et pour la mesure de sa ~ariance V :

(44) R(0) ~ m 4 -- rn~.

Cette derni~re approximat ion 6tant loin d 'etre pr6cise, mais suflisante pour un calcul d'erreur.

D6signons respect ivement par T 1 et T 2 les dur6es de mesures du trafie et de sa variance. Nous trouvons prat iquement , pour une m~me pr6cision cher- eh6e dans les deux mesures :

(45) �9 T ~ I T " ~ ( rn , - -m~) lV .

En fait, (m 4 - m~) est bien sup6rieur h V.

E n r~sum~ : Dans le cas d 'un trafic stationnaire, pour mesurer le

trafic et sa variance, et conna~tre l 'erreur des mesures, il s u ~ t de noter, ?t chaque instant de mesures, le nombre de communicat ions en cours i, ainsi que les nombres i s e t i 4. Les moyennes dans le temps donnent

m l , m~ et m 4.

P . L E G A L L [ A N N A L E S DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Pour une m~me prdcision, les mesures de variance sont beaucoup plus Iongues que les mesures de trafic.

Cette longueur des mesures n6cessaires est alors p ra t iquement incompatible avec l 'hypoth~se de stationnarit6 du processus. II semble done presque impossible de mesurer la variance, dans le cas des peti ts faisceaux, 06 les f luctuations sont les plus importantes .

ANNEXE I

L E T B A F I C D E D I ~ B O R D E M E N T D A N S L E C A S

D ' U N S E U L F A I S C E A U P R I M A I R E

Le {aisceau primaire a m circuits. Son trafic refus6 d6borde sur un ]aisceau de ddbordement supposd iUi- mitg.

Nous allons rappeler quelques r6sultats avec les notations utilis6es dans notre communicat ion au pr6c6dent Congr~s [8 : cf. annexe III].

Le trafic offert au faisceau primaire, trafic sup- pos6 poissonnien, est a.

Le trafic offert au faiseeau de d6bordement est uniquement le trafic refus6 par le faisceau primaire :

(la) b = ,Era@.

C. Palm [10] a montr6 que ee trafic 6tait rdg6n6- ratif, du fait de l 'hypoth~se de la dur6e exponentielle des communications.

Rappelons un symbole in t rodui t dans notre communicat ion pr6c6dente [8].

Nous d6signons par (p', .q~')~ la probabilit6 pour que ~x lignes ddtermin~es soient occup6es et ~2 autres lignes d6termin6es soient libres, dans un faisceau de L circuits 6coulant un trafic T quelconque.

Les relations I25a) et (26a) de [8] deviennent , pour le faisceau de d6bordement consid6r6 ind6- pendamment de l '6tat du faisceau primaire :

~ ( ~ ) = Z_~ C~.p~,

O<3

p~ = Z c ~ ( - 17-~ . . ,~ (x), A = V

06 Px est la probabilit6 pour qu'il y ait X conversations en cours dans le Iaisceau de d6bordement. Introduisons le moment [actoriel d'ordre v de la dis- t r ibut ion Px :

o o

(3 , ) MC~) = Z x . ( x - J) . . .

(k-- v + l)px = v!sc~(v).

La relation (41a) de [8] s'6crit :

(4a) s~(v) = a E,,+,,--l(a)lv.(q~-l)~+,,--x,

off le symbole du d6nominateur est relatif h u n trafic d 'Erlang. Dans ce cas, tenons compte de la formule de C. P a h n :

(p~-l)a+~--l= Em§

- - 232 - -

�9 1 6 , n ~ 9 - 1 0 , 1961]

Nous d6dulsons :

D,$__ ,] a t , m + v--1 (5a) M("~ = b . ( v - 1)! (q , , _~ )~+~_ .

Pour v/massez faible, par exemple inf6rieur '5 I ]4 , nous pouvons 6erire pra t iquement :

(p~- l )~+~_l l (q~-Z)a+v_ 1 ~ [a/(,n + '1 + b - a,] ~-'

Ainsl, les p remier s m o m e n t s / a c t o r i e l s ont prat ique- men t pour expression :

(60) �9 M ~ _~ (v - ~;!b. [~/(m + l + b - ~)] ' ,- ' .

Cette expression est d'ailleurs r igoureusemcnt exaete pour v ~ I e t 2.

Rappelons que b, donn6 par (la), est le tratic de d6bordement.

Nous avons d'ailleurs : M/I~ = b. La var iance du traf ic de ddbordement a pour expres-

sion :

g = ~ (X-- b) z px = M(m + M('~ -- [311')] ~. X-O

D'od :

(7a) �9 V b . [ t - - b + a l ( , , + + t + b - - , . ) l .

(6a) peut encore s'6crire :

(8a) M(~> _~ (v - l ) !b . [ (V/b) + b - 1 ) -~.

Ainsi ee trafic de d6bordement simple est earae- t6ris6 par le fait que la valeur du trafic b e t sa variance V suflisent pour d6termlner les premiers moments de ]a distr ibution pz.

A N N E X E I I

C O M P O S I T I O N D E P L U S I E U B S T B A F I C S

D E D I ~ . B O B D E M E N T D A N S U N 1VI~ME F A I S G E A U

D E D ~ B OI:LDEMENT

Nous avons x faisceaux primaires rep6r6s chacun par l 'indice i( i = 1, 2 , . . . , x) . Le ieme faisceau primaire poss~de m~ circuits et revolt le trafic offert a~ poissonnien. Son trafic refus6 :

(1 b) b~ = -i. E,, i(a~)

est offert au faisceau de d6bordement unique, con> por tan t n circuits. Le trafic total de d6bordement offert h ce faisceau est donc :

('2b) b = ~] b~. i = 1

Pour simplifier les 6eritures, nous nous bornerons h trai ter le cas de deux [a i sceaux p r i m a i r e s d6bordant sur un faiseeau de d6bordement : x = 2. Ce dernier ne revolt quc les trafies de d6bordement b~ et b2. Nous verrons ensuite eominent g6n6raliser au eas de x faisecaux primaires, et d 'un trafie suppl6men- taire direct offert au faiseeau de d6bordement.

G6n6ralisons les notations de l 'annexe III , r6f6- fence [8].

L E T R A F I C D E D I ~ - B O R D E M E N T 8/13

D6signons par p(~i, ~ , k) la probabilit6 pour qu'il y ait ~z conversations en cours dans le premier faisceau primaire, ~ dans le second, et X dans le faisceau de d6bordement.

D6signons de m6me par p(~i, ;~) la probabilit6 de t rouver l '6tat (~i, X) ind6pendamment de l '6tat du deuxibme faisceau primaire, ct posons :

fro(t) = ~ p(bxi, k).s x, k = 0

",'=0

avec :

= Cx. pdxr X). A=V

Si F(~i txl, v) est la probabilit6 pour qu'il y ait txi conversations en cours dans le premier faisceau primaire, ~x' i dans le second, et v lignes de d6borde- ment dd t e rmin&s occup6es, la relat ion (24a) de l 'annexe III , r6f6rence [8], devient :

( ~ ) z ( ~ ~;-, ~) = c , ~ . ~ ' ( ~ , tz~, v).

De m~me, ind6pendamment de l '6tat du second faiseeau primairc, nous pouvons 6erire :

(5b) a(tx~, ~) = C ~ . r v).

10 Les relations (29a) de cette m~me r6f6rence deviennent ici : pour ~4 < m l :

dc#~.i, v) (6b) dt

= a~.~(II~ - 1, ~) - (a~ + p-i+ ~).~(~, ~) + ( ~ + 1).~(~ + t, %

- - ( / .2[p@ti, /7/2, n ) . O n ~ ' -1 - - O'(~L1, //12, 'V - - 1 ) ] ]

et pour Ex~ = m 1 :

dff(ml, V) (7b) dt

= ~ . ~ ( " 1 - ~, ") - (ml + ~ ) . ~ ( m l , ~) + a l [ G ( m l , V - - l ) - - On V--1 . G ( m l , /2)]

- ~ 2 [ C : - l . p ( m ~ , ,.~, . ) - z(m~, ~ , v - l ) ] .

Sommons membre ~ membre ees diverses relations et d6signons par s(v) et p(X) les quanti t6s relatives au faiseeau de d6bordement eonsid6r6 seul, ind6pendamment de l '6tat des faiseeaux primaires. Autrement dit, (3b) devient iei :

(s~) s(~) = ~ c~,.p(X). X=,~

Les relations pr6c6dentes donnent, en g6n6rali- sant au cas d 'un nombre x quelconque de faisceaux primaires :

d s(v) (%) ~ T - + ~.s(~)

~(mi ~) est relatif au i eme faisceau primaire consi- d6r6 avec le faisceau de d6bordement, ind6pendam- ment de l '6tat des autres faisceaux primaires.

- - 233 - -

9/13

Cette relation (9b) nous sera utile h propos de la mesure du trafie et de sa variance.

Darts le cas de l'6quilibre statistique, nous d6dui- sons la relation importante :

(10b) �9 v.~(v)

= "~ a i . [ ~ ( m t , V - - 1) - - C n "~t'-I . o ' ( m i , n ) ] . t - 1

20 Introduisons le calcul matrieiel, et consid6rons les termes z(~, ~r v), d6finis par (4b), off ves t fixe. Posons la matrice colonne :

Le terme d'une ligne donn6e correspond h une paire donn6e ([zi, [z;). On trouve ais6ment la relation matricielle :

(i2b) Y.R,(v) = ~(~) [R. (v - l) - c. , ' -~ . n . ( . ) ] .

Dans la matrice carr6e A(v), seules les colonnes de num6ro correspondant ~ une combinaison off F~ = ml ou Fj = m 2 ont des termes non nuls. I1 e n e s t de mgme de la matrice [Y-~.A(v)], qui est en outre, point capital, ind6pendante de n.

Nous en d6duisons, par exemple, les relations :

z(m,, F;, v) = Z ~..[a(m,,/ , v -- t) -- C,~"-x.~(m, i, n)] ]

+ ~ ~i'[e(i, m2, v--l)--C~-~'~(i,m~,n)] �9

Les ~ et ~, 6tant ind6pendants de n, peuvent se calculer dans le cas du faisceau de d6bordement illimit6 (n infini). Nous verrons plus loin, h la rela- t ion (35b), que z(mx, tt~, v) s'exprime lin6airement en fonction des ~(m~, ], 0). De proche en proche, pour v ~ t , puis 2, . . . , nous trouvons que les ~i sont donc nuls.

I1 nous sufflt de consid6rer la matrlce colonne, plus r6duite que R,(v) :

(13b) S,(v) = la(m,, ], v)l,

le terme g6n6ral 6tant relatif h la ]eme ligne (i = 0,1, . . . , m~).

De fagon g6n6rale, dans le cas de x faisceaux primaires, nous posons :

(14b) S,(v) = la(rni, i~, i , , . . . ; ~)l, avec:

I[~ = 0, ~, . . . , m~ ; ].a = 0 , 1 , . . . , m s ; ]z = O, I , . . . , mz.

(12b) nous permet d'6crire :

(15b)

oh B(v) Nous

(16b)

D'oh

(17b)

(18b)

Nous

S,(v) = B(v).[S,(v -- 1) -- C, ~--t .S,(n)],

est ind6pendant de n. avons donc :

s~o(v) = B ( ~ ) . S ~ ( v - l) ,

so~(v) = c(~) . s (0) , ~v~c:

C(v) = B(v) .B(v- i) . . . B(i).

d6termlnerons C(v) au paragraphe sulvant.

]P. LE G A L L [ANNALES DES T]gL~-COMMUNIC..ATIONS

De (15b) on d6duit ais6ment :

(19b) @ S,(n)=[~=~oCg.[C(v)]-1]-I .s(0).

Le terme g6n6ral de S(0), ind6pendant de n, a pour expression :

(20b) ar~ ' / ' 1 ! a~'/i~! d:/i=! ml " ~ 0 aili! ~'~li! ~ ' , i - 0 i - 4-0 a ~ t ,

La probabilit6 Pl, pour un appel du ier faisceau primaire, de trouver ce faisceau et le faiseeau de d6bordement encombr6s simultan6ment, es t :

(21b) I Pl = p(m,, n) = ~(m,, n)

/ = l i , 1, . . , 1 1 . s . ( . )

De mgme, l 'encombrement dans le temps du faisceau de d6bordement es t :

(22b) p(n) = s(n),

oh s(n) se d6duit des z(rn~, n - - t) et z(mi, n) par la relation (10b). Nous avons, par exemple :

(23b) (~(m,, v )= [1, 1, . . . , l [ .S,(v).

L'int6rgt de la relation (19b) r6side dans le fait que les matrices sont seulement d'ordre :

=ILdm~ + 1),

alors que les 6quations de d6part sont d 'un ordre (n + l ) . (m 1 + 1) lois plus 61ev6.

La mgme m6thode s'applique pour un appel relatif h u n autre faisceau primaire que le premier.

Dans le cas o~ un trafic suppl6mentaire est offert directement au faisceau de d6bordement, il suffit de le consid6rer comme provenant d 'un faisceau primaire ayant 0 circuits : m~ = 0.

Pour achever la solution g6n6rale, il nous reste h d6terminer la matrice C(v), intervenant dans (19b).

3 ~ Etude de C(v).

C(v) est une matrice carr6e d6finie par (17b), qui nous donne pour v ~ 0 :

(24b) C(0) = 1,

oh I est la matrice unit~. D6signons par C[=](v) le terme g6n6ral de C(v), cor-

respondant h la i eme ]igne et t~ la/eme colonne, dans le cas de x faisceaux prlmalres. Rappelons que l 'un des m~ peut ~tre nul. Nous allons nous servir du terme s(~, v) introduit dans l 'annexe III, r6f6- rence [8], relatif h u n seul faisceau primaire de carfic- t6ristiques (a, m) et h u n faisceau de d6bordement illimlt6.

Posons (notation de J. Riordan) :

(256)

~'=tt ;_Z ~ c ~ + j _ l . a , , - q ( = - i ) !

%(F) = a " l F ! ; ~(0) = 1.

234

t . 16, n ~ 9-10, 1961]

La relat ion (33a) de la r6f6renee pr6c6dente nous donne :

t s(~, v) = s(0, v).~(t*), ,~vec

~o(m) (26b) { s(0, v) ~a(v)" ~ ( m ) . ~ ,(m)

Nous avons, en par t icul ier :

(27b) s(m, v) = ~o(v).Cro(m)lcr,.t(m), = E . . . . (a) ](q~)&+ ~,

off le dernier d6nomina teur a le m6me sens que dang la formule (4a) ou (5a). Nous d6dulsons :

Zo c~.(x + i)!l~X% (28b) s(m, X)-- =

et la re la t ion de r@urrenee :

s(m, 0) = E,,,(a), 1 a ~ - - a l ( m + 1)

(29b) s(m, 1) m + 1 + E,,+,(a) ' a a - - ( m + X+~)

s (m,X+l ) + s(m, X) s (m ,k - - l ) - - 0.

En part iculier , pour m = 0, (28b) dev ien t :

aX

(30b) Is(m, X)]m= o = ~-!"

Nous re t rouvons alors leg caract6r is t iques du trafic direct d 'Erlang.

D6signons, en fait, le t e rme s(bt , X) par si(F, X) pour le ieme faisceau prlmalre, caract6ris6 par la paire (a~, m0, et suppos6 seul avec le faisceau de d6bordemen t illimit6.

Consid6rons success ivement les cas x ~ 2, 3, . . .

A. x-~.2.

Nous avons seulcment deux [aisceaux primaires avec le faisceau de d6bordement illimit&

D'apr6s la d6fini t ion (4b), 6crivons :

(31b) ~(mt, i, v) = ~ s2(i, X).st(mt, v - - M, ;k=0

du fai t de l ' ind6pendance s tochas t ique des deux trafics de d6bordement bt et b 2.

(25b) et (26b) nous donnent :

s~(/, X) = %(0, X).~x(/),

(32b) = sz(0' X)" i_-~o P(i-~') a~l'I ~ X + (~--1)--I " 2 / / ' ~

i

= Z .~=(i, o) . b~)(X), j = O

avec ~[~(x) = c~';-~_~)_,.,,,(,,,,).s,,(o, x).

Posons p lu tb t :

(33b) �9 b(~)(k'~=O, s i i > i ;

= ~X+(i-~)-l" Em~(a~) .a~-~ l ( k_ ~)! '

et pour X = 0 :

= 0 , si i:r i.

L E T R A F I C D E D E B O R D E M E N T t0/13 Posons ensui te :

(34b) C~)(v) = ~. h(2)(~ sl(m,, y - - X ) . x----o -~,s ~-J" Em1(al )

(3tb) s '6cri t alors, en p e r m u t a n t ]es sommat ions par r appor t aux indices X et i :

i

~(m, , i, ~) = .Z_~ q.~](~).~2(i, 0).s,(m,, %

off : i

(35b) ~(m,, i, ~) = ~=Z ~ q~)(~).~(m,, i, 0).

C[2~(v), d6fini par (3g.b), est bien le terme616men- taire de la matr ice C(v) chereh6e, pour l '6 tude du blocage d 'un appel relat lf au premier faisceau primaire.

B . x ~ 3 .

Nous avons ma in t enan t trois fa isceaux primaires avec le faisceau de d6bordemen t illimit6. La rela- t ion (3tb) dev ien t ici :

( (r(m,, i~, ia, v) = (36b) ~x,~.x s,(m,, X,).s~(i2, X2).sa(&, ;%),

ff

avec : ) . t + X~+ Xa=v .

(32b) donne :

s~(i~, x~) = s b~ ~} (x~ ) . s , ( i , , 0). i , = 0 *" *

Posons : ),

(37b) Bl~2i,)li, i,)(),)= Z b! ~). �9 . . ~=o ,..,. ~ .b~?)~ . !x -~) ;

puis :

(38b) C{3:.i=).(~,.j,)(v)-= 52 or2) /~, s , ( m , , _ ~ x~__o =(i,.i,).(w*,)~", �9 E~,(ai)

(35b) a alors pour homologue :

(39b) ~(m~, i2, in, v) =

Z C[~2.*,).Ci, a',)(v).~(mt, i~ , i~, 0).

L 'express ion (38b) est bien l '616ment chereh6 de la mat r iee C(v).

La g6n6ralisation est alors 6vidente.

C. x [aisceaux pr lmalres .

Toujours pour un appel du :1 er faisceau primaire, posons :

B{ z). (X~ = b{ z). (X ~ ; Ssd| \ J ~'$,~li '

X B { a l ~ ' = 52 B {2~ [, i I~,.~,).u,a,)~", / '2-0 ~,'~,~eJ'b~)J,(X--l*);

(~0b) �9

B! ~) , . . . . . . t4 , (~, . . . . . . ~'.4 (X) = X

Z B!, ~-~] , , ~ _ , ( ~ ) . b l : ! d x - ~ ) . g.=O t~ . . . . . z , . - - l b (}'~ . . . . .

- - 235

t t ] 1 3

Rappe lons que b!~)(;0 est d6fini par (33b). $,~ \ /

D6signons r e spec t ivemen t par i e t / " les num6ros d 'o rd re des combina isons (i~, . . . , iz) et (i~ . . . . , ]z) .

L'616ment de la mat r i ee C(v), a alors pour expres- Sion :

v

(41b) �9 C[ ~),., ,v', = z~o B[~]),I .s,(,n,, v - - ~.)/Em,(a0.

A N I ~ E X E I I I

L A M E S U F t E D U T B A F I C D E D I ~ . B O B D E M E N T E T L A F O N C T I O N D E C O V A I ~ I A N C E

Nous allons ut i l iser la m6thode que V. E. Be- nes [2] a appl iqu6e au cas du trafic simple d 'E r - lang. Pour cela, nous allons d6 te rminer la fonc t ion de covar iance R(t) du t raf ic 6cou16 dans le faisceau de d6bordement , i n d 6 p e n d a m m e n t de l '6 ta t des fa isceaux primaires .

D6signons par X~(t) la fonc t ion al6atoire qui prend, h l ' ins tan t t, la va leur i ~, si i e s t le nombre de communica t ions en cours dans le faisceau de d6bor- dem en t h cet ins tant .

La fonc t ion de covar iance est, pour ce processus suppos6 s t a t ionna i re :

R~(t) = E I X~(0) .X~(0 + t) l

(lc) -- E { X~(0) }.E I X~(0 + t) l

= E [ x~(o), x~(0 + t) } - ~ ,

od a est la va leur m o y e n n e de X~(t). Nous avons 6v idemmen t :

R~(t) = R ~ ( - t).

Nous avons en out re :

l n~(~) = 0, (2c) R,,(0)---E {X~}- [ E [ X v ] ] ' = I/,

oh V e s t la var iance de X~. I~tudions t ou t d ' abo rd le cas d 'un seul faiseeau

pr imaire d6bordan t sur le faiseeau de d6bordement .

A. U n seu l traf lc de d f b o r d e m e n t (x = 1).

Nous avons donc un seul faisceau pr imaire de m circuits r e cevan t un t raf ic a et d6bordan t sur un faisceau de d6bo rdemen t de n circuits.

Les no ta t ions sont tou jours celles de l ' annexe l II , r6f6rence [8].

D6signons par (], i) l '6 ta t du syst~me correspon- dan t h ] communica t i ons en cours dans le faisceau pr imaire , et i dans le faisceau de d6bordement . D6signons, en outre , par p(~, Xl] , i ; t) la probabi- lit6 de passage de l '6 ta t (], i) h l ' ins tan t 0 quelconque, h l '6 ta t (~t, X) h l '6poque (0 + t).

(lc) s '6crit :

(3c) R~(t) = ~ ~ i~ .p( / , i ) . ~ Y. X~.p(tz , XI/, i ; t) 4 = 0 ~ = 0 ^ = O g = O

Ui-O~'-O i " .p(] , i)J �9

P. LE G A L L [ANNALES DES T~tL~COMMUNICATION$

La re la t ion (25a), de la r6f~rence d6sign6e ei-des- sus, dev ien t m a i n t e n a n t :

(4c) sj.~(~, ~ ;t) = :~ CLp(~, xli, i ; t).

D6signons par 8j., (~t, v ; z) la t rans form6e de Laplace de Sj.,(~t, v ; t). Les relat ions (29a) de la mgme r~f6rence dev iennen t : p o u r ~t < m :

(.%) a .Sj.~(tz - - 1, v ; z) - - (a + ~t + v + z).8;.~(~t, v ; z)

+ (t~+ l).Sj.~(~ + 1, v ; z ) = --C/ ' .~j .~ ;

et p o u r I x = m :

(6c) a .S j .~ (m - - I , v ; z) - - (m + v + z ) .g j .~ (m, v ; z)

+ a . $ i . ~ ( m , v - - t ; z ) =

- ~ . S j . ~ + aC-~ .8~ , , (m, n ;,.).

8i~ est tel que :

1 8~.j = 0, si / va i ;

1, si ] = i.

Posons m a i n t e n a n t :

(%) ~j.i(~t, v ; z) = ~] C~" Sj.i(~., v ; z).

De la m~me facon que nous sommes pass6 des re la t ions (22a)-(23a) aux re la t ions (29a), de la r6f6- rence d6j~ d6sign6e, nous d6duisons de (5c) et (6c) la re la t ion fondamenta le , valable pour

tx = 0,1, . . . , m, e t pour v ---- 0,1, . . . , n :

(8c) az;.~(tz - 1, v ; ~) - (~z + v + z) .z ; .@, v ; z) =

a ~--1 Z) Cra "~i.i(m, v ;

- - aC~m.[qi.i(m, v - - t ; z) - - CVn-l.~Li(m, n ; z)]

- ~ . c , ~ .

E n consid6rant les re la t ions eo r re spondan t ~z-~ m . . . . , ~ + 1, en les mul t ip l i an t par 1, a ] [ ( m - - 1) + v + z], . . . et en les add i t i onnan t , nous ob tenons ~1.i ([~, v, z) en fone t ion des

cU.i(m , v, z) ~- S j . i (m, v ; z) . En part icul ier , pour Ix = 0, nous t rouvons la

re la t ion su ivante , t ransform6e de la re la t ion (9b) de l ' annexe pr6c6dente :

(9c) ~r v ; z) = 8r ; z) =

[a/(v + z)]. [$r v -- I ; z) - -

~-~.~; .~(m, ~ ; ,)] + q / ( ~ + ~).

Pour t~ - - m, nous t rouvons :

(10c) 81.~(m,v ; z ) - -

v ~- z'~r~, ~ i x(m) "[8~'i(m' v -- 1 ; z)

Notons que $~(rn, 0 ; z) = 8~.~(m, o ; z) est ind6pen- dan te de i. C'est la t r ans form6e de p ( m / ] ; t), rela-

- - 2 3 6

t. 16, n c~ 9-10, 1961]

t i r e au t raf ic d ' E r l a n g direct s ' @ o u l a n t dans le {aisceau pr imaire . Nous avons :

i! ( l ie) 8~(m, 0 ;z) -- m! " z.az ~x(m)

No tons b ien que ~,(]) est d6finie pa r la rela- t ion (25b), de l ' annexe pr6c6dente , m~me pour z complexe .

(9c) e t (10c) p e r m e t t e n t de d6duire 8j./(v; z),

t r ans [o rm6e de Sj.i(v ; t) = ~ S~.i(t~ , v ; t ) . b~=0

E n par t icul ier , dans le cas d ' u n [aisceau de d~bordement illimitd, nous t r ouvons :

(12c)

a &.~(t ; z) - . 8 ~ ( m , O ; z ) + i l ( z + l ) ; ' z + l

8j,,:(2 ;z) -- (z -}- l)(z q- 2) "O'z+ ~(m) .8~(m, 0 ; z)

+ i. ~-4=22 .&(m, 0 ; z + 1) + z + 2"

Nous d6signerons p a r - - p~(i = t ,2 , . . . , m) les m racines r6elles n6gat ives de l ' 6qua t ion en z :

(13c)

N o u s

(t4~)

NOUS

infini.

~ , . ~(m) = O.

avons :

I < ~i< 9 2 " " < P ....

nous bornerons , dans la sui te , au c a s n

1 ~ l~tude de Rl( t ). [Mesure du trafic].

(3c) s '6cri t , pour v ~ 1 :

(154 11,(t) = ip(i, i ) .s j . , ( i ; t ) i=01=0

E n cons id6ran t les pbles de (&./1 ; z), nous d6dui- sons :

(16c) R~(t) = .4 e - t + ~ Bi.e-p~t. i = l

LE TRAFIC DE DI~BORDEMENT 12/13

2 ~ f.tude de/t=(t) [Mesure de la var iance] .

La mesure de la va r i ance V = m 2 ~ m~, r ev i en t

h la mesu re du deuxi~me m o m e n t m 2 = ~ i 2 p(i), i=0

puisque nous connaissons d6jh le p remie r qui n ' e s t au t r e que le t raf ic de d 6 b o r d e m e n t 6cou16 : m 1 = b. Consid6rons done la fonet ion a!6atoire X2(t ) et sa fonc t ion de covar ianee , d6dui te de (3c):

i = 0 i = 0

p(i, ;t) + ; t ) ] - - 4 .

Les re la t ions (12c) m o n t r e n t que l 'on a :

(20c) 11~(t) = C e - t + D e -~ + ~ E~.e-pzt /= t

-4- ~ F~.e - ( ' = p )t. i=1

Nous avons pour express ion a s y m p t o t i q u e : R2(t ) ~ C6 - t , o6 C est, ce t te fois-ci, n e t t e m e n t diff6rent de R2(0 ) = m a - m~.

Toutefo is , dans la th6orie de la mesure du t raf ic , ou de sa va r iance , seules les faibles valeurs de t in f luent de fa~on sensible. Nous con evons, en effet, que des mesures , 61oign6cs dans le t emps , sont p r a t i q u e m e n t ind6pendan tes .

C o m m e au p a r a g r a p h e pr6c6dent , nous p rendrons l ' express ion tr~s a p p r o x i n l a t i v e su ivan t e :

(21c) �9 R2(t ) ' ~ R2(0 ) .e - t , avec

tl2(0 ) = m~ - m~.

R a p p e l o n s que lc m o m e n t m~ d 'o rd re i a pour d6fi- n i t ion :

,n~ = ~ X ~.p(x), 2,-0

off p(X) es t la p robabi l i t6 pour qu ' i l y a i t X c o m m u - n ica t ions en cours dans le fa isceau de d6bo rdemen t , i nd (~pendamment de l 'S ta t du fa lsceau pr imai re .

E n par t icu l ie r , le pble z = - - I nous donne :

V ab 1 (17c) A = ~ + -2"(VIb) + b-- 1

Dans la p ra t ique , nous avons g 6 n 6 r a l e m e n t : V < A < 3V. L ' exp res s ion a s y m p t o t i q u e de Rx(t) ~ A e - t est assez b len approch6e par V . e - L

P o u r t vois in de 0, nous ne ehangeons pas beaucoup la va l eu r de R(t) en r e m p l a ~ a n t les pi pa r I. Nous avons alors :

R,(t) ~ (A + ~ Bi) e--~ = I'.e--~,

en tenant eompte de (2c 1. Nous pouvons done 6erlre, pour t quelconque, et en premiere approx imat ion :

(18c) �9 R,(t) ' ~ ' V . e - t

off V est la va r i ance du t raf ic de d6bordemen t , don t l ' express ion est donn6e par la re la t ion (7a) de l ' an- n e x e I .

B. (::as d 'un trafir de d~bordement compos~ . (x fa isceau• pr imaircs) .

Nous supposons tou jours n infinl. La re la t ion (9b) nous m o n t r e que, pour v = I et 2,

et c o m p t e t enu des r6sul ta ts du p a r a g r a p h e pr6c6- dent , S(v ; z) a encore, ou t re le p61e z = 0, le p61e z = - - I pour pble de plus faible module .

Nous avons encore :

R~(t) = C e - t + ~ A s e-r~ t, /

oh I ts n o m b r e s ri sont r6els et sup6rieurs h :i. D ' ap r~s le r a i s o n n e m e n t expos6 p r @ 6 d e m m e n t , nous d6dui- sons a p p r o x i m a t i v e m e n t :

R~(t) ~___ R~(0).e - t .

Les formules approch6es (iSc) et (21c) s ' a p p l i q u e n t encore, V, m 2 et ma 6 tan t relat i fs , ce t te lois-el, au t raf ic global @ou16 par le fa isceau de d6bo rdemen t .

Manuscrit re~u le 2 8 / M E e t 196i .

237

i 3 / t3

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Documents

Le trafic de débordement