ETUDE MACROSCOPIQUE

DE L'EQUATION DE VAN DER P0L

Albert TROESCH

INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE

Laboratoire Associ@ au C.N.R.S. n O 1

Universit@ Louis Pasteur

7, Rue Ren@ Descartes

67084 STRASBOURG C@dex.

1. INTRODUCTION

Le physicien sait combien les ph6nom~nes physiques changent

d'aspect lorsque change l'@chelle ~ laquelle il los observe. Ii sait

toute l'importance qu'ont les choix d'unit@s de mesures ad@quates pour

l'@tude d'un ph@nom~ne particulier.

Jusqu'ici le math@maticien ne s'est gu~re pr6occup~ de

choisir une @chelle appropri@e a l'@tude de ses probl~mes. Sous

l'impulsion du Programme d'Erlangen, il est habitu@ depuis bien long-

temps ~ oonsid@rer comme @quivalentes des situation g@om@triques qui

se d@duisent l'une de l'autre par un @l@ment d'un groupe de trans-

formation caract@ristique de la g6om@trie 6tudi@e ou groupe fondamen-

tal. Ces transformations sont alors utilis6es surtout en rue d'une

simplification du probl~me. Mais il ne peut esp@rer d'un changement

d'@chelle un changement d'aspect important.

L'Analyse Non Standard apporte en oe domaine un profond

bouleversement. En dehors de l'@galit@ elle permet d'introduire une

autre relation d'@quivalence naturelle: celle de la proximit@ infini-

t@simale. Cette notion nouvelle nous donne la possibilit@ non seule-

ment de mettre en rapport des situations g@om@triques reli@es par une

transformation du groupe fondamental, mais encore oelles qui, par une

telle transformation se trouvent @tre infiniment proches. De la con-

frontation des propri@tes d'un tel couple on pout bien souvent tirer

de pr@cieux renseignements. Ainsi un changement d'6chelle non standard

pout jeter une lumiAre nouvelle sur certains probl6mes.

Ces consid@rations constituent la philosophie de notre ap-

approche des probl~mes qualitatifs d'@quations et de syst~mes diff@-

rentiels~ Parmi ces probl~mes, la recherche de solutions born6es et de

solutions p@riodiques a retenu l'attention de tr~s nombreux chercheurs

137

of. [1] ~ [16]) Nous allons ~ present montrer comment cette approche

nous donne une vision toute nouvelle d'une des ~quations diff~rentiel-

les non lin~aires les plus connues: l'equation de van der Pol, et

quels sont les renseigements que cette vision apporte.

Nous renvoyons ~ l'article de R. LUTZ et de T. SARI pour une

introduction ~ l'Analyse Non Standard, et pour les notations et les

d~finitions les plus usuelles, ainsi que pour une bibliographie rela-

tive ~ ce sujet.

2. L'EgUATION DE VAN DER POL (cf.[ 23] ~ [28] ) 3

Dans le plan de LIENARD des (x,u), o{ u = x' + ~ + x,

l'@quation de van der Pol:

(1) x" + (x 2 - 1)x' + x = e(t)

conduit au syst~me diff~rentiel:

x 3 (2) x' = u -~ + x

u' = -x + e(t)

Nous supposerons que e(t) est une fonction standard continue born~e.

Ainsi le syst~me (2) et l'~quation (1) sont standard. Nous montrerons

que toutes les solution du syst~me (2) sont born~es en ~tudiant les

solutions des points infiniment srands (i.g.) du plan de LIENARD. Plus

pr~cis~ment nous montrerons qu'il existe un parall~logramme compact

K i.g. (c.~ d. contenant tousles points limit's du plan de LIENARD),

qui est positivement invariant. Iien r~sulte alors que toutes !es

solutions standard du syst~me (2) (c.~ d. les solutions passant en des

instants standard par des points standard) restent dans le compact K

pour tout t suffisamment grand et par suite sont positivement Oorn~es.

Par transfert il en r~sulte que toutes les solutions sont born~es pour

t~O.

Pour ~tudier les trajectoires des points i.g. du plan de

LIENARD, consid@rons a un infiniment petit (i.p.) fix@ et le change-

ment d'@chelles ou macroscope

X = ~x, U = ~3u, T = ---2t (~_d = ~2 ~)d

Le syst~me (2) devient alors

X flgurant dans le present volume.

138

(3)

_ X 3 X' : U T + a2x

U' = ~4(-X + e(c~2T)

Comme e est une fonction born~e, dans le plan des (X,U) limitgs et

pour tout Tce syst~me est infiniment proches du syst~me

X 3 X' = U - --

3 (4)

U' = 0

X 3 _ ~(2 U= 3

-I

I 2 ) , I 2 ) Le paralZglogramme de sommets ( 1 , 0 ) , (1 ,~ - ( - 1 , 0 ) , ( - 1 , - ~ +

est alors positivement invariant pour les solutions de (3). Ce qui

termine la dgmonstration.

Remarques:

1) Lorsque e est p~riodique de p~riode T, le th~or~me du point fixe de

BROUWER appliqu~ ~:

PT: K~ > K~

(x,u) ~ (x(T),u(T))

o~ (x(t),u(t)) est la solution de (2) passant ~ i'instant 0 en

(x,u), garantit alors l'existence d'une solution pgriodique de

p~riode T.

2) Lorsque e = 0, l'origine est un point singulier r~pulsif: la th~o-

tie de P01NCARE-BENDIXSON assure alors l'existence d'un cycle limi-

te.

3) Lorsque la d~riv~e seeonde dans (1) est multipli~e par une oonstan-

te petite, ce dernier r4sultat est presque imm~diat (of. [24]).

139

x 3 3. EXISTENCE D'UN "VOISINAGE" DE LA CUBIQUE u = ~- - x, POSIVEMENT

INVARIANT

3.1. La galaxie principale G du plan des (x,u) (c.~. d. l'ensemble des

points limit,s de ee plan) est positivement invariante.

En effet, soit (x,u) un point limit~ du plan. La demi-tra-

jectoire positive de ee point est born4e: il existe done un plus petit

compact K la contenant enti~rement. Le nombre correspondant ne peut

pas ~tre i.p. sinon la solution sortirait du compact K / 2, ce qui est

impossible d'apr~s 2.

3.2. Approximation fine des tra~ectoires le lon~ de la eubique

X3 Revenons au syst~me (3). X' est i.g. devant U' tant que

U - ~- + ~2X est i.g. devant 4, pour des X et U limit,s. Ii en r~sul-

te qu'en dehors de la e4-galaxie de la cubique (c.A.d. l'ensemble dex

points limit,s du plan des (X,U) tels que ~(u-X3/3 + ~2X) est limi-

t~) les trajeetoires de (3) sont infiniment proehes d'une horizontale.

Elles atteindront done eette e4-galaxie puis longeront la cubique en 4

restant dans la e -galaxie aussi longtemps que (X,U) n'est pas l.p.

(of. [ 23] ).

~ / '~X

3.3. Le voisina~e invariant :

Consid~rons l'ensemble suivant:

3 V = G U {(x,u)n x(u - ~- + x) limit~ et (x,u) i.g.}.

o

Cet ensemble est positivement invariant. En effet, G est positivement

invariant et pour tout ~ i.p. l'ensemble des (x,u) de V, avee x de

l'ordre de I/e coincide dans le maeroscope aveo la e4-galaxie de la

cubique, prive~e des points i.p.:

3 X 3 x 1 x(u ~ + x) = ~ X(U - ~- + ~2X) et ainsi le second membre

limit~ pour (x,u) dans V.

140

3.4. La trajectoire ~e tout point passe par G:

Soit (x,u) un point de ~2 i.g. La trajeetoire de ce point

est positivement born4e d'apres 1. Supposons qu'elle n'atteigne jamais

G. II existe alors un plus petit ~ i.p. tel que la trajectoire ne

passe pas par un point int~rieur du compact K s. (Ii suffit de prendre

la borne inf~rieure de l'ensemble des ~ pour lesquels la propri4t~ est

vraie). Cette trajcetoire passe done par un point infiniment proche

du bord de K : elle entre done dans l'int~rieur de K . D'o~ une

contradiction.

Remarque:

On aurait pu 4galement invoquer la th~orie de POINCARE-BENDIXSON:

l'ensemble ~-limite de la trajectoire est non vide et ne contient pas

de point singulier, puisque la trajectoire ne passe que par des points

i.g. Cot ensemble Sz-limite est donc un oycle-limite et par suite en-

toure le point singulier. Ce cycle limite, et la trajectoire initiale

eoupent done la cubique.

4. Consequences:

4.1. Ii existe un compact (standard) K que toutes les solutions finis-

sent par atteindre.

Ceci r~sulte de ce que, pour e i.p., G C K . L'existence

d'un K standard s'en d~duit alors par transfert.

4.2. Pour un ~ i.p. donn~, dans de plan des (X,U) limit's, los ombres

destrajeetoires standard sont: l'ori$ine, les deux demi-axes des

X et les deux demi-eubiques.

Soit (x(t),u(t)) une solution de (2) passant ~ l'instant

standard t O en un point standard (Xo,Uo). Posons:

k(t) = x(t)(u(t) x(t)3 + x(t)). 3

Lorsque la demi-trajeetoire n~gative est ~orn~e, l'ombre (geometrical

shadow dans l'arlicle de R. LUTZ et T. SARI) de cette trajeetoire dans

le plan du macroscope est l'origine. De telles trajectoires existent

pour des raisons topologiques: dans le cas contraire il existerait une

r~traotion de K s sur son bord.

Lorsque la demi-trajeetoire n~gative est non born~e, deux possibilit~s

peuvent se presenter:

141

1) elle est enti~rement contenue darfs V:

Son ombre dans le plan du macroseope est alors une demi-eubique

X 3 U = -~- , X ~ 0 o~ X ~ 0.

Pour chaque demi-oubique on pout montrer qu'il existe une telle

trajectoire. En effet, pour u 0 i.g. et k 0 i.g. le champ d~fini

par (2) est rentrant dans

3 x

{(x,u)l u ~ u 0 et I x(u - ~- + x)l ~< k0)}

le long des bords non horizontaux et sortant le long du bord

horizontal. Par transfert, il existe alors un u 0 et un k 0 stan-

dard pour lequel c'est encore le cas. S'il n'exitait pas de

trajectoire enti~rement eontenue dans V il y aurait une appli-

cation continue du bord horizontal connexe dans le bord non

horizontal ayant une image non connexe.

En utilisant l'~quation aux variations on montre que eette

trajectoire est unique (of. [ 23] ).

2) elle n'est pas enti~rement contenue dans V:

Alors il existe t I < t 0 tel que pour t < t I on ait: k(t) i.g.

Iien r~sulte que I k(t)l tend vers l'infini quand t tend vers

la borne inf~rieure de l'intervalle de d~finition de la solu-

tion: [t',+~]. On en d~duit que k(t) est i.g. d~s que x l'est:

l'ombre dans le maeroscope de cette trajectoire est alors un

demi-axe des X.

4.3. Les demi-tra$ectoires n4$atives non born~es qui ne longent pas

la cubique ont une horizontale pour asymptote:

On remarque qu'en dehors du halo de la cubique la variation 4

de U le long d'une trajectoire de (3) est de l'ordre de e pour toute

variation limit~e de X, et de l'ordre de 5 pour toute variation de

X de l'ordre de ~.

II en r~sulte que, pour x 6 [n,n+l], (n 6 ~), la variation

de u le long d'une demi-trajectoire n4gative de (2) est de l'ordre 1 I

de ~ lorsque nest i.g. (on prend ~ = ~, alors la variation de X eor-

respondant ~ une variation limit~e de x est de l'ordre de ~). . 1

La serle de terme g4n~ral ~ ~tant convergente

+~ 1

n~N ~ est i.p. pour N i.g.

142

La variation de u est done i.p. en dehors du voisinage V. En particu-

lier, lorsque u est limit~: ainsi les trajectoires standard qui ne

longent pas la cubique ont une horizontale pour asymptote.

5. GENERALISATION A L'EqUATION DE LIENARD:

5.1. On peut 4tudier de mame l'~quation de Li~nard

(5) x" + f(x)x' + g(x) = e(t)

X o~ f0 f(v)dv = F(x) = a(x) signe(x)Ixl r

et g(x) = b(x) signe(x) I xl s

r et s ~tant des r~els strictiments positifs tels que r > s + 1 et

a(x) et b(x) ayant une limite finie lorsque x tend vers • (of. [23])

5.2. On peut montrer ~galement par des m~thodes voisines, et en uti-

lisant de plus les courbes de niveau de certaines fonctions, le

theoreme suivant:

Th~or~me: (el. [23])

Toutes les solutions de (5) (avec e = 0) sont born~es pour t > 0 s i

les deux conditions suivantes sont r4alis~es:

I) il existe des constantes r~elles b > 0 e_~t d telles que

x(F(x) - d) > 0 e_~t xg(x) > 0 pour Ixl > b.

2) lim (F(x) - d)G(x) = +~ et lim (F(x) - d)G(x) = -=

o_~ F e_~t G sont respectivement les primitives de f e t g nulles

en x = 0

Des r~sultats analogues, avec des conditions un peu plus restrictives

peuvent ~tre trouv~es dans [4] et [2].

D'autres applications de la m~thode non standard aux ~quations diff~-

rentielles se trouvent en [17], [18], [19], [20], [21], [22], [28] et

un r~sum~ de ces travaux dans [29]. Les r~f~rences [30] et [31] con-

sistent en des applications de l'Analyse Non Standard ~ d'autres pro-

bl~mes (polyn6mes et ~quations aux d~riv~es partielles).

143

BIBLIOGRAPHIE

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19 F. DIENER: M6thode du plan d'observabilit6. Th~se Strasbourg (1981).

20 M. DIENER: Etude g4n4rique des canards. ThAse Strasbourg (1981).

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22 T. SARI: Sur l e comportement asymptotique des solutions dans un probl~me aux limites semi-lin~aire. C.R. Acad. Sc. Paris 292 (1981 ) .

23 A. TROESCH: Etude qualitative de syst~mes diff~rentiels: une approche bas~e sur l'analyse non standard. Th~se Strasbourg (1981).

24 A. TROESCH, E. URLACHER: Analyse non standard et 4quation de van der Pol. S~ries de Math. Pures et Appliqu~es I.R.M.A. (1976 -

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28 E. URLACHER: Oscillations de relaxations et analyse non standard. Th~se Strasbourg (1981)0

29 P. CARTIER: Perturbations singuli~res des ~quations diff4rentiel- les ordinaires et Analyse non standard. S~minaire Bourbaki No. 580 (Novembre 1981).

30 BOBO SEKE: 0mbres des graphes de fonctions continues. Th~se Strasbourg (1981).

31 J. HARTONG: Vision macroscopique de ph~nom~nes p~riodiques. ThAse Strasbourg (1981).