Les contenus : quels objectifs ? Dans le domaine numérique, il s’agit de

1°) consolider une connaissance des nombres

• les nombres entiers et leurs différentes écritures en classe de première (systèmes de numération, décomposition en produit de nombres premiers)

• les nombres réels en classe terminale (caractérisation des nombres rationnels grâce à leur écriture décimale)

2°) Donner une familiarisation minimale avec des outils incontournables de l’analyse

• la dérivation en classe de première (études locale et globale)

• les fonctions exponentielle et logarithme en classe terminale

Les contenus : quels objectifs ? Dans le domaine numérique, il s’agit de

Les contenus : quelles différences avec le précédent programme ?

1°) Les nombres constructibles ne figurent plus dans ce programme

MAIS

un travail sur les nombres demeure et l’apprentissage au raisonnement est très présent.

2°) La fonction logarithme était auparavant introduite par quadrature de l’hyperbole

Les fonctions exponentielles sont maintenant introduites comme prolongement « continu » de suites géométriques travaillées en programme obligatoire maths&info.

Les contenus : quelles différences avec le précédent programme ?

Ecriture décimale des nombres

• Le programme propose de compléter les acquis des élèves sur les suites essentiellement dans le but de poursuivre l’étude des nombres ( rationnels positifs)

• Le document d’accompagnement mentionne trois exercices commentés

• La banque d’exercices pour la série L contient trois exercices « type »

Le 7 : complet – dans l’esprit du programme avec algorithme et utilisation du tableur.

Le 12 et le 13 : contiennent un résultat implicite…

Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Une démarche clairement exprimée dans le programme

« Ce prolongement repose sur un processus dichotomique

qui conserve la propriété de transformation d’une moyenne arithmétique en moyenne géométrique.

On obtient ainsi un nombre croissant de points suggérant la courbe d’une fonction.

On admet que cette fonction existe, est unique et est strictement positive »

Plusieurs documents proposés:

Etude Préliminaire : suites arithmétiques

suites géométriques

Etude de la croissance d’une population de bactéries

Etude de la croissance d’une population de bactéries:

Activités «tableur» associées expérimentation immédiate.

Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles

Stade N°1 : Compléter toute suite géométrique de premier terme 1 et de raison strictement positive q par les puissances négatives de q. (Parties A/B Etude Population)

On construit ainsi une fonction définie sur Z qui transforme une somme en un produit la moyenne arithmétique en moyenne géométrique. Le processus multiplicatif est conservé

Fonctions exponentielles

Stade N°2 : Mettre en place un processus dichotomique

A chaque étape, entre deux points du nuage précédent, on ajoute un nouveau point ayant pour abscisse la moyenne arithmétique de ces deux points et pour ordonnée la moyenne géométrique de leurs ordonnées (Partie C/D)

Fonctions exponentielles

On admettra que ce processus permet de

définir, pour chaque valeur de q > 0,

une fonction dérivable sur R

qui transforme les sommes en produits.

Partie E : Quelques résultats sur les fonctions exponentielles

La fonction exponentielle de base e • Elle est présentée comme la fonction exponentielle dont le nombre dérivé en

0 est 1.

• Le nombre e est l’image de 1 par cette fonction.  

« Faire observer, à l’aide d’un logiciel, qu’entre toutes les fonctions exponentielles obtenues en faisant varier la raison, une seule semble avoir 1 pour nombre dérivé en 0. »

Fonction Logarithme Népérien

« On pourra introduire la fonction ln :

• Soit comme la fonction qui à tout nombre réel strictement positif a associe l’unique solution de l’équation exp(x) = a.

• Soit comme la fonction dont la courbe représentative en repère orthonormal est l’image de la courbe de exp dans la réflexion dont l’axe est la droite d’équation y = x. »

Le logarithme décimal

• Procéder comme pour le logarithme népérien à partir de l’équation 10x= a

• ou de la fonction exponentielle x 10x

« Outre son intérêt historique, qui est à souligner, le logarithme décimal est très utilisé dans des domaines variés : unités physiques relatives à la perception (décibel, savart…),pH, etc. »

Les nouvelles fonctions (exp, ln et log)

Un volcan et un enregistrement sismique

(échelle de Richter)

Comprendre le problème des décibels

la datation du carbone 14

Exercices et ProblèmesEtude de situations modélisées faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmes.

Les problèmes abordés sont issus de domaines divers.

Les exercices proposés ne sont pas toujours « fidèles » au programme et sont donc à adapter.

Ils sont classés dans un ordre aléatoire

Exercices et Problèmes

Les exercices 1 – 2 – 3 – 6 peuvent se concevoir• dans la continuité de la classe de 1ère Math&Info

et/ou• après l’étude de la fonction ln

Les exercices 4 – 5 permettent un travail sur la fonction ln

Les exercices 7 – 8 permettent un travail sur la fonction log

Exercices et Problèmes

Les exercices 9 – 10 sont plus élaborés et se conçoivent:

• dans la continuité de la classe de 1ère EOC

• dans l’esprit de la classe de Terminale

Raisonnement logique : équivalence

Modélisation de situations avec la fonction exponentielle de base e

Remarques sur les problèmes

• Les problèmes 1 – 3 – 5 : RAS

Par contre

• Dans les problèmes 2 – 4 : attention aux questions sur les limites

Limites de la fonction exp en + et -

Limites de la fonction ln en + et en 0.

Aucune définition formelle de la limite d’une fonction n’est à donner.