Les figures équivalentes.

Les figures équivalentes ont les propriétés suivantes:

- des figures planes ( 2 D ) qui ont la même aire sont dites équivalentes;

- des solides ( figures 3D ) qui ont le même volume sont dits équivalents.

Ces figures n’ont pas besoin d’avoir la même forme.

Exemple: Prenons deux droites parallèles et dessinons à l’intérieur différents triangles ayant tous la même base.

Déplaçons-les le long des parallèles.

Tous ces triangles ont la même mesure de base.

Traçons leur hauteur.

Ils ont tous la même mesure de hauteur.

donc ils ont tous la même aire.

mais pas la même forme.

Cette propriété d’équivalence nous servira pour déduire certaines informations.

Exemple 1 : Que vaut la longueur d’un rectangle équivalent à un triangle dont la base vaut 8 cm et la hauteur 10 cm, si la largeur du rectangle est de 2 cm ?

Trouvons l’aire du triangle : B X H =

2

8 cm X 10 cm =

2

40 cm2

L’aire du rectangle est donc de 40 cm2 car il est équivalent au triangle.

Longueur du rectangle : Aire =

largeur

40 cm2 =

2 cm

20 cm

Exemple 2 : Que vaut l’arête d’un cube équivalent à un prisme dont les dimensions sont 25 cm X 8 cm X 5 cm ?

Volume du prisme : 25 cm X 8 cm X 5 cm = L X l X h = 1 000 cm3

Arête du cube : volume =3 3

1 000 cm3 = 10 cm

Le volume du cube est donc de 1000 cm3 car il est équivalent au prisme.

25 cm

8 cm

5 cm ?

Quelques constatations :

Pour une même aire, le plus petit périmètre est celui de la figure régulière.

Étudions plusieurs rectangles ayant la même aire et observons le périmètre.

Dimensions Aire Périmètre

2 cm X 50 cm 100 cm2 104 cm

4 cm X 25 cm 100 cm2 58 cm

10 cm X 10 cm 100 cm2

5 cm X 20 cm 100 cm2 50 cm

40 cm

1 cm X 100 cm 100 cm2 202 cm

Remarque : Une figure régulière est une figure dont tous les côtés ont la même mesure.

donc le carré, figure régulière, a le plus petit périmètre.

Pour une même aire, plus le nombre de côtés d’une figure régulière augmente, plus le périmètre diminue.

Exemple: Prenons 6 figures équivalentes ayant chacune une aire de 120 unités2

49,4 43,8 41,7 40,7 39,9 38,8

et calculons le périmètre de chacune (mesures arrondies au dixième ).

Pour une même aire, la figure régulière ayant le plus petit périmètre est le cercle.

Remarque 1: On peut parler du périmètre d’un cercle car ce dernier est considéré comme étant un polygone ayant une infinité de côtés.

Remarque 2: La réciproque de cet énoncé est:

Pour un périmètre donné, la figure régulière, ayant le plus grand nombre de côtés, a l’aire la plus grande.

Pour un volume donné, le prisme rectangulaire qui a la plus petite aire totale est le cube.

25

8

5

Exemple: Pour un volume de 1 000 unités cubes.

20

10

5

10

10

10

Airetotale : Airedes bases + Périmètrebase X hauteur

730 : 400 + 330

700: 400 + 300

600 : 200 + 400

Pour une même aire totale, le solide régulier qui a le plus grand nombre de côtés a le plus grand volume donc

pour une même aire totale, le solide régulier qui a le plus grand volume est la boule.

Sur le marché, les contenants ont des formes diverses. Plusieurs de ces formes sont équivalentes, c’est-à-dire qu’elles ont le même volume.

Dans l’industrie, pour un même volume donné, on recherche souvent les formes qui ont la plus petite aire totale pour minimiser les coûts.