Les invariants et les covariants,en q -ualit6 de crit6res pour les ravines

d' une equation(par H. SCHRAMM, pro f. et Wiener-Neustadt) .

(Continuazione.)

Pour completer la discussion des equations alg6bdques par moyen doWes invariantifs (*), it nous rests encore a trouver une espice d'invariants,indiquant la conistence do r groupes a s racines 6gales .

Posons d'abord, pour faciliter la deduction, r=3, s =4, et admettons qu'ily a un invariant dou6 de la propri6t6 d'avoir la valeur zero, lorsque l'6quation,a la forme do laquelle it appartient, contient 3 groupes a 4 racines 6gales ;cet. invariant aura h conserver une valeur sensible pour

1 2 ==3=45==6 ==1==8

9=10=11,

et

11 1

en denotant les ravines a ., a 2 , a3 , . . . de 1'6quation, simplement par 1, 2, 3, . . .Posons de plus, qu'on ait represents Finvariant eherch6, en fonction des

differences des ravines al , a 2 . . ., savoir

a

it est evident, que sons la dite condition la plus grande partie des termes dela somme 11 se r6dWra h zero, et qu'il n% restent except6s que les fermes,

M Annali di Matematica Aura ed applicata : Serie IU, t . I.°, pag . 259 a pag. 279.Annali di Matematica, tomo 111 .

6

42

S c h ra mm : Crite s pour Ies racines dune equation .

clans lesquels manqueront toutes les differences formees des racin s : 1, 2, 3, 4 ;de plus, Ies differences formees des racines 5, 6, 7, 8, et encore les diffe-rences formees des racines 9, 40, 11 .

Ces termes-ci ne contiendront done que les differences suivantes

(a.) Les differences formees des (rs-s) racines : 1, 2, 3, 4, et 5, 6, 7, 8,en combinant toujours une racine du groupe 1, 2, 3, 4 avec une des 5, 6, 7, 8 ;cela donne en tout

(11$ -S) (rs -S

(b .) Les differences for

es (r s - s) racines : 1, 2, 3, . . . 7, 8,avec les (s - 1) racines : 9, 10, 11 ;

en tout (s - 1) (rs - s) = s(s --1) (r -1) differences .

(c .) Les s (r-1) (n-rs+1) differences formees des (rs-s) racines : 4, 2, . . .avec les (n- r s + 1) racines: 12, 13n .

(d.) Les (s-1)(n-rs+4) differences formees des (s-1) racines : 9, 10, 11,avee les (n-rs 4- 1) racines : 12, 13. . . . n .

(e .) Les 1(n- rs) (n - r s 1- 1) differences, composees des (n - r s -1- 1)racines : 12, 13 . . n.

En denotant encore, pour abreger, les produits des differences developpeesen (a), (b), (c) . . . . par

l'invariant en question prendra la formeIc-r,8> = N All B" Cx Dr EZ .

Mais it faut de plus, quo chaque racine entre p fois dans chaque terme dela somme 6v,, ; p denotant le degre de 1'invariant par rapport aux coefficientsde 1'equation .

2= (r -1) (r- 2) differences .

A` (1, 5 ) (1, 6) . . . . (rs-2s, rs - s)

B= (1, 9 ) (1, 10) . . . . (rs-s, rs-1)C= (1, 12) (1, 13) . . . . (rs - s,

n )D =. (9, 12) (9, 13) . . . . (r s -1,

n )E= (12, 13) (12, 14) . . . . (n -- 4,

n )

S ch r a m m : Qriteres pour les racines d'une equation .

43

En faisant done des n racines de l'equation les trois parties

(I)1,

2,

3,(rs - s)(II)(rs-s+1), (rs-s+2)(rs -1)(III)rs,

rs+1,n

it est facile a voir, qu'une quelconque des racines de la partie (I) entrera

dans le produit As (r 2) fois»

»>>

»

De meme une racine de la partie (II) entrera

en Bs (r -1) fois» Dn-rs+1 >)

et une racine de la partie (III) entrera

en Cs(r - 1) fois»»

B,C,

Ds-1En-rs

s-1

»in-rs+1 »

»»

Il en resulte, que les exposants u, v, x, . . . soot lies aux conditions suivantes :

s(r--2)u±(s-1)v±(n-rs+1)x=ps(r--1)v±(n-rs+1)y-p

-1)y+ (n-rs) z =p.

La premiere de ces equations (p) represente la somme des exposants d'uneracine de la partie (I), la seconde et la troisieme la somme des exposantsd'un racine resp. en (II) et en (III) .Les invariants determines par ces equations auront la pro-

priete de prendre la valeur zero lorsqu'il y a dans 1'equation rsuites a s racines egales, et ils conserveront une valeur sen-sible lorsque les r suites de racines ne sont pas completes .Aussi it va sans dire qu'ils restent egales a zero pour des valeurs plusgrandes que r et s .

On pent verifier la correspondance de ces equations generales avec celles

14

Schramm : Grit6res pour les racirles d'une equation,

trouvdes dans Particle precedent, en posant s = 2, et r -f-1 au lieu de r . Lasecoride et la troisi6me equation reprdsentera aloes identiquement la memocondition, en posant encore x = v . y = z, et it Won restent quo les deuxequations seules :

2 (9-- 4) u -i- (n - 2 r) v =p21-v

+ (n - 2 r - 1) z =p .

Ce sent enn verit6 les m6mes equations, moyennant desquelles nous avionscalculd les invariants designds par 1(r) (II, pag . 212) .

Pour appliquer ces invariants dans la discussion des equations algdbriquesit sera utile do calculer encore la sornine des exposants dans les produitsddveloppds de chaque terme de l'invariant. En d6notant par S cette sommedes exposants, on auraS== 1 s'(r -- 1)(r - 2) u + s 's

(v

v +8 (r- 1)(n -rS + 1'x + (s -1)(11+1, (it - r S + 4) (11 - r 8) Z .

Mais on peut transformer cette expression do la mani6re suivante :;j==±S2Q__

2

1) (r-- 2) u + is Q-- 1) (s-- 1) V + Is (r

(11 - -S1+1)x+2

2

4-19 (S

(r- 1) v+-!2 (s-1)(n-rs 4- 1) y +2

+ 's (r-4)(n-rs+I)x +2

2

S== -Is (r - I)p + 2

21)p+ I (II

1)p2

S== Te2

We equation est valable comme on salt pour chaque autre esp6ce d'inva-riants ; car it est evident, qu'un terme quelconque en V,,, contient chacunedes ii racines p fois, ce qui fait, en tout, vp racines ; mais comme celles-cisent combin6es par deux dans une difference, elles donnent unn produit do

np2

facteurs linbirec Ions un invariant, qui doit conserver son signe, memoquandd on change les signes de toutes les racines de Nquation, it faut queS soit un nombre pair, et le degrd p d'un tel invariant sera lid a la condition :

?t

c'est A dire

Sohram . : Griteres pour les rac es d'une equation .

45

a1

p1 denotant un nombre entier quelconque. C'est aussi la condition sous la-quelle un inva livable dans la discussion des equations, par-ceque toute autre inv arian identiquement la valeur zero, on pour desracines quelconques a1 , a 2 , a. . . . on au moins pour la supposition

= - a,

- - an (*)

Les formules generales pour le degre p deviennent impraticables pour r=1,ou mieux dit, elles prennent une forme plus simple ; car, dans cc cas parti-culier, it n'y aura plus de racines dans la partie (I) et par consequent lestrois equations (p) se reduiront aux deux seules

(n-s ;-1)y=p

(s-1)y+(n-s)z=p .

Cette espece d'invariants aura la forme1 (1,9)=I DyLT.'z

D= (1, s) (1 ,s+1) . . . . (s-1, n)E=(s, s+1)(s, s+2) . . . .(n-1, n)

avec les valeurs des exposants y et z_

p

_ p(n --2s -{-2)y n-s + 1 '

ti - (n-s) (n-s + 1)

( ) On trouve clans les Elemente der net<eren Geometric, etc ., von D .0 W. FIEDLEa,p. 160, un invariant du do-rd p=3 appartenant a une forme du 6" degrd :

I,,=_a.a,a,-3a o aV5 -P2apah--a9a 6 +3a,a,o,- a,a,a,+2a.a'-3 a' a4 .Mais ce n'est qu'un semi-invariant resultant de la transformation linCaire x=

+ (3 ety constant. On rCconna

le champ son variabilitd, en changeant les coefficients a 0 ,V4 a3 . . . . en a 6 , 05 , a 4 . . . .

p=4p1R pour n=2m±1

p = 2p1

» n=4m+2P = p1

» n=4m

46

S ch ra m m : Criteres pour les racines d'une equation .

On prendra pour p un nombre entier, qui donne aussi aux exposants y et zune valeur positive et entiere . Cola ne sera possible que pour

2s<n +2

parceque pour 2 s > n + 2, z devient negatif.Voila une solution du probleme propose ; mais on ne pout pas dire qu'

elle soit la solution la plus generale, parcequ'il y a pour la deduction desinvariants do la dite propriete plusieurs voies, qui menent A des resultats enquelque part differents .

Nous en donnerons un exemple pour le cas r =1, et s queleonque . PosonsA ce but, qu'on ait fait des n racines de l'equation (s - 1) parties dont lespremieres (s-2) parties contiennent p racines chacune, et la derniere le reste :

1, 2, 3, . . . .pp+4, p+2, . . . 2p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(s-2)p-1-4, (s-2)p±2, . . . . . .91-1 1 n.

En formant le produit de toutes les differences de chaque par

obtient :

A 1 = (1 , 2) (1, 3) . . . . (9-1, p)14 2 -(9+4, p+2)(p+4, p±3) . . .(2p-4, 2p)

Ag_1=[(s--2)p+4, (s--2)p+2] . . . . [n--1, n]

Ces produits donneront un invariant de la forme((,)

x z

x

y

Ip = ,,,, A I .A 2 . . . . A 8 - 2 A $ _ x

en supposant les exposants x et y sou

(p -4)x= [n- (s - 2) p---1]y=p.

Il y a une difference essentielle entre ces invariants, et ceux trouves parla deduction precedente ; et pourtant ils ont la propriete commune d'avoirla valeur zero pour s racines egales . Car en supposant parmi les n racinesd'une equation s racines egales, it est evident que Fun ou l'autre des pro-duits A i , A 2 , A$ _ f contiendra deux ou plus racines egales et par consequentchaque terme de la somme " aura zero en facteur .

Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .

47

Mais en examinant la derniere equation, on voit que la valeur de p peutvarier entre les limites

et qu'il y aura Bans certains cas plusieurs invariants differents,pour la meme valeur de s . En posant pour p la plus simple valeur p=2,on aura pour x et y les equations

X=P, y n-2 ±3

Ces invariants auront done en general le degrep-(n-2s+1)p1

pendant que les autres, nommes 1(1,8) , seront du degrep'=(n-s)(n-s±1)p l ,ce qui donne en general p <p',

IV .

Passons maintenant a la recherche des crit6res invariantifs, indi-quants la coexistence de plusieurs racines egales et imaginaires .

Nous avions expose dans Part . II de ce travail, que les invariants 1(r)indiquent par le changement do signe 1'existence de 2(r±1) racines imagi-

l'equation donnee, et qu'ils s'evanouissent lorsque les 2(r±4)racines sont deux a deux egales. Mais dans cc dernier cas, ils perdent aussileur faculte de servir comme indices pour le nombre des racines imaginaires,et it faut qu'on les remplace par une autre espece d'invariants .

11 est pourtant tres difficile a donner des formules generales qui renfer-sibles, pour chaque combinaison do racines egales,

et en partie imaginaires, et nous ne chercherons par consequent que lesindices dans le cas special, quand 1'equation donnee contient r parties a 4racines imaginaires et deux a, deux egales .

En supposant done Bans cette equation r groupes a quatre racines ima--

on sait quo, celles-ci auront la forme

a1 =a s=p4 qV-1

p>1, n-1P< s-2s-L

48

S c h ra m m : Criteres pour les racines d'une equation .

of en faisant q=0, q 1 =0, . . . ces racines seront reelles et quatre a quatreegales .

a,=_a 2=a a =a4.

Il faut done que l'invariant cherche passe par zero quand it y a 4 groupesa 4 racines 6-ales dans 1'equation, et it faut qu'il change le signe au mo-ment, oit l'on donne a q, q l , q 2 , . . . une valeur sensible .

Ces invariants resulteront des equations generales (p), en y posant s=4 :4(r- 2)u+ 3v+(n-4r+t)x=p4'r-1) v+(n -4r+ 4)y=p

4(r-t)x+3y+ (n-4r) z=p .

On deduira aussi la valeur do l'exposant tc clans la plus haute puissance duproduit d¢veloppe des quantites imaginaires

gg1q2 . . .(V-r),"

on ayant cgard a cc quo nous aeons explique dans fart . II do cc travail,pag. 273, savoir que l'on trouve cette puissance dans un terme de la Somme

qui contient le plus petit nombre de differences formees dedeux racines imaginaires . Cot exposant plus haut aura en general leavaleurs suivantes

t . En supposant 4 r - 2 racines imaginaires dans 1'equation donneeu 1 =8(r-t)(r-2)u+t2(r-t)v+4(r-1)(n-4r+4)x+(n-4r+4)y .

2. En supposant 4r+2e' racines imaginaires dans l'equationce 2 =8(r-t)(r-2)u+12(r-I)v+4(r-4)(n-4r+t)x+3 (n-4r±4)y

+(2o'+1) (n-4r-a)z

ou aussi plus on abrege, en placant 4 t au lieu des expressions avec le coef-ficient 4 :

111= 4 t+ (n--4r + t)yt' 2 =4t+3(n-4r+ 4)y+(2u'+t)(n-4r-a)z .

Chaque riant de cette espece dolt rester positif pour 4r-2 racinesimaginaires, memo en supposant les quantites q, q 1 , q 2 , . . . infiniment grandes ;it faut done quo It, soit un nombre de la forme

4t, ou V+1 .

Sorhamm : Criteres pour les racines d'une equation .

49

Car en supposant ,u s = 4 t, l' invariant P,') aura pour

a1 = a - q V-1 ,= a 4- .-qV--

al -a 3 - q,

a2 a4 =-q,

le meme signe qu'il a dans le cas ou l'on suppose

a5 = a7= q1

a6 = as=- q1

(toujours pour des valeurs tres grandes do q, q 1 , . . .), on, pour 1'exprimer plusen general, it aura pour 4r-2 racines imaginaires le memo signe que pourn racines reelles .

La seconde supposition y,.--4t+1 donne an produit q q 1 . . . (V-1)I unevalour imaginaire ; mais on sait qu'un invariant rests reel pour de valeursreelles des coefficients de l'equation . Ii en suit, quo les puissances impairesde 11-1 s'evanouissent, et quo le signe de l'invariant dependra de la puis-sance (VT)t`-1, ce qui conduit an memo cas : y --1= 4 t.

En consequence dans le choix des valeurs de y ii faut avoir egard auxconditions

(n-4r + 1) y= 4t , on (n- 4r+1)y-1-4t.Le meme invariant doit changer le signe pour 4r+2c racines imaginaires,et afin que cola soit possible, it faut quo It 2 ait la forme

,u2=4t+2 ou ,u2 -4 = 4t+2 .

Considerons la premiere de ces conditions, en remettant la seconde A ladiscussion des equations de degre particulier, et posons ,u1 =4 t, ,u2 =4 t+ 2.Ces equations seront satisfaites en faisant

(n-4r+1)y=4t, et (n-4r-a)z=4t+2 .Pour n= 2m+ 1, et a= 2 a,, on aura a satisfaire ontre que les equations.(p), encore les conditions

(2m-4r+2)y=4t(2m-4r--2c+1)z=4t+2

Annali di Matematica, tomo III .

7

50

S c h r a m m : Criteres pour les racines d'une equation .

ce que l'on pent toujours faire en posant z=4z 1 +2, et it sera alors :pour 4r-+-4a,,

racines imaginaires, a2 = 4 t+ 2pour 4r+4c+2 »

»

tc2= 4 t.Tels invariants auront la faculte d'indiquer par un change-

ment de signe la coexistence de 4r racines imaginaires, et lors-qu'il est en memo temps I(r,) =0, posant 2r-1=r1 , ces 4r racinesseront deux a deux egales .

Les equations du degre n=2m donnent les conditions

(2m-4r+ 1)y=4t, ou y-4y 1

et tc 2 =4t+3(2m-4r+1)y+(2a 1 +1)(2m--4r-a)z=4t+2.Mais en posant a=0, ce qui correspond a 4 r racines imaginaires, ondeduira la valeur de (2m-4r)z des deux dernieres equations pour le degre(p), savoir

(2m-4r)z=4(r-1)(v-x)+(2in-4r-2)44y 1 =4t

PA it sera pour y .-4y, toujours tt2 = 4t .Quant au second cas, lorsqu'il est t12 impair, on aura a satisfaire la

condition(2m-4r+1)y-1=4t

ce qui donne

t' 2 =4t+1±2(m-2r)z.

Cette fois it sera bien possible de donner a ,u 2 la forme 4 t+ 3, en supposantin et z impair ; et puisque cette puissance impaire de V-3 disparait, it estevident que le signe de 1' invariant dependra de la puissance inferieureavec l'exposant

tt2 -1 =4t+2.Mais pour m pair, savoir pour les degres n = 4m, on trouve la valeur de It, :

,u 2 =4t+1 ±4 (m1 --r)z=4 t'+1 .

Vest ce qui nous apprend quo les invariants Fr , ), lorsqu'ils appar-tiennent aux equations du degre 4m, conservent pour 4r racinesimaginaires le memo signe que pour 4m racines reelles, en sup-

Schramm : Criteres pour les racines d'une equation.

51

posant q, q,, . . . infiniment grands . Ces invariants ne seront plus appli-cables en qualite d' indices des racines imaginaires .

On fera de meme usage des formules donnees en III., quand it s'agit detrouver des criteres invariantifs pour 6r, 8r, 10r, . . . racines imaginaires,trois a trois, quatre a quatre, . . . egales, en posant dans les equations (p)respectivement s=6, s=8, s=10 . . . .

Dans le cas particulier : r = 1, on preferera la seconde espece d'invariantsdenotee par I(e) et determinee, en posant s=3, par les equations

(9-1)x=(n-p-1 )y=p

IPe = JAx1A2

,u= (2p-3)x + (2n-2p-3)y

Par rapport a l'equation (p -1) x = (n - p -1) y, la valeurvde ,u sera trans-formee en

,u=4(p-1.)x-(x 4-y) .

Afin que l'invariant I(Q) puisse changer le signe pour 4 racines imaginaires,it faut qu'on ait

x+y=4t-+-2, ou x+y-1-4t+2.

V.

Application des formules precedentes, A la discussion de quel-ques equations du degre impair .

1 . Soit n-5 . Les equations du 5me degre n'ont d'autres invariants dela forme I(r , 8), que celui pour r ==l, et s=3, savoir

(r,=~D4 C 2 .

Mais c'est identiquement le meme invariant du degre p =12, que nounavions designe par P 12 dans fart. II. de ce travail .

Les autres equations determinant les invariants denotes par I() donnentpour :

P=2, s = 3, I4e+=ZA1A2

52

Schramm . Crit6res pour les racines d'une equation .

et les valeurs des produits A 1 et A $ resulteront des formules generales

A1 = (1, 2), A 2 = (3, 4) (4, 5) (3, 5) .

Ici on voit, miex peut-titre que des formules precedents, qu'il y a dejA Bansles equations du 5me degre, pour les cas de trois racines egales, deux criteresdifferents et irreductibles, savoir

112 =0, et IQ = 0.

Le dernier invariant sera encore un critere pour 4 racines imaginaires caron trouve des equations developpees en IV ., en posant p=2

x=[5-3]y .--4p1ju=4x+(x+y)=4t+2 .

Ces conditions seront satisfaites en prenant p 1 = 1, x=4, y=2, et l'inva-riant denote par le symbole :

(Q)14 = j A1A 2

2

indiquera par un changement de signe l'existence de 4 racinesimaginaires dans les equations du 5 11 degre, et lorsqu'il est enmeme temps 112 = 0 ces racines seront deux A deux egales .

Voila done encore le troisieme critere invariantif de M .r SYLVESTER, resul-tant de nos equations generales .

L e s e qu a t ions d u d e g r e n= 7 ont les invariants suivants de la forme

(r, 8)

Les memes equations auront encore les invariants denotes par(Q )

pour p=2 S=3 I4= JA4A2

>) p=3 s = 3 h$) -- JA,A4

p=2 s=4 I4Q)~~A;AQA ; .

le symbole I,'

p7~ (r,8)

pour r=-4, s=3, l 20 = J D4E3

I(r'8)=

3pour r=1, s=4, ~D E12

(r,8)pour r=2, s=3, 120 = B6 C4DEC .

Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .

On aura done les criteres invariantifs des equations du 7me degre indiquantsplusieurs racines egales

rsLorsqu'il est : I2Q' =ID4E3=0

ou aussi :

I4Q)

},A; A 2 = 0 1'equation contient trois racines egales

»

»

I12)_I A, A2= 0,

et pour :

112 $ =ID3E=0

ou aussi : 2;

»

» quatre racines egales

rset encore pour 12 0 =2;B6 C 4DE 6=0, 1'equation aura deux groupes a trois

racines egales .II est remarquable que tous ces invariants sont irreductibles, bien qu'ils

possedent quelques proprietes communes . Car en considerant p . e. les troisrs

premiers invariants, on voit que I2 0 =ID4E3 s'evanouit deja en y supposantdeux paires a deux racines egales, pendant que l'invariant

I4Q> = 2;(1, 2)4X (3, 4) (3, 5) . . . (6 , 7)

conserve une valeur sensible . Mais celui-ci devient egale a zero pour troispaires de racines egales savoir en posant p . e .

1=4, 2=5, 3 =6

parceque alors chaque terme contiendra au moins une des differences

(1, 4)=0, (2, 5)=0, (3, 6)=0 .

On voit encore que le troisieme invariant

1i2)=1[(1,2) (2, 3) (3, 1)] 6 X [(4, 5) (4, 6) . . . (6,7)14

reste different de zero pour la meme supposition, parceque dans le termesous le signe 2, it n'y a aucune de ces differences nulles .

Il est done tout a fait impossible que I4Q~ soit un facteur de 112'.

54

S c h r a m m : Criteres pour les racines d'una equation .

Les formules generales developpees en IV . nous donnent encore les crit8respour la coexistence do 4 racines imaginaires, deux A deux egalessavoir pour

v)140 = 0

et I4Q)= S' A ; A 2 = - ou aussi IQ2 = S ALAS _ -

car en designant par tt 1'exposant plus haut do la puissance imaginaireon trouve pour le premier invariant : ,u -1 = 10=4-2+2 et pour

le second tz = 11k = 4 .3 + 2, pendant quo les invariants(r, 8)

(r.8)I20

et I12

donnent pour 4 racines imaginaires les valeurs respectives de at -1

,u-1 = 60=4 .15,

,u- 1=_40=4 .10

taut qu'ils ne seront plus applicables dans le cas mentionne .Ces resultats suffiront peut-titre A demontrer la possibilite d'une telle di-

scussion des equations algebriques, d'un degre quelconque, au moyen descriteres invariantifs .