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Les invariants et les covariants,en qualite de criteres pour les ravines
d' une equation.
(par H. SCHRAMM, prof. at Wiener-Neustadt) :
MM. SYLVESTER et HERMITE discuterent recemment la question, commenton pourrait employer les invariants comme criteres pour juger la qualite desracines d'une equation du cinquieme degre, et aussi ils en donnerent lasolution pour cc cas particulier .
Les resultats de ces geometres different en quelque part ; ainsi ;M . SYLVESTERtrouve, p . e., que trois criteres invariantifs suffisent pour reconnaitre parfai-tement la qualite des racines d'une equation du cinquieme degre (*), pendantque M. HERMITE en indique quatre (**) . Mais on voit pourtant que 1'on peutemployer les invariants mieux que toute autre fonction des coefficiens, pourtrouver le nombre des racines imaginaires d'une equation algebrique, puisquela transformation lineaire de 1' equation n'altere ni la qualite de ses racines,ni le signe de ses invariants .
C'est precisement cc qui nous faisait etudier la question d'un point devue plus general, en cherchant les moyens d'exprimer les criteres desracines d'une equation de degre quelconque, par les invariantset les covariants de la forme qui, egalee 6. zero, constitue 1'equa-tion meme.
(`) Philos. Transactions, 1864, p . 641 et 643 .(") Cambridge and Dublin Journal, t . 9, ou aussi dans Ie memoire de M . SYLVESTER, p . 644 .
260
Schramm : Grit e o
tines 0.° 11.110 equation .
I.
Les criteres en forme de covariants .
On deduira les criteres en question directement de la serie do STURM .
Etant donnee une equation algebrique homogene du nieme degrea o , a 1 , . . . a n )~ x, y)"-O,
designons par p 1 , p,,.., p,, les termes constants de la dite serie, queM. SYLVESTEit a exprimes en fonction des differences des racines a 1 , a 2 , a $ , . . ,a„ de 1'equation, savoir
pE-bl (a1_a'2)2 '
17 3 -~ (a1-a2 ) 2 (a2 -- a 3) 2 (a 3- a1 ) 2 , etc .
on sait qu' it y aura autant de racines imaginaires daps l'equation, combienit y a de changements de signe daps la serie p0, p1 , p2 , p3 , . ., p,, . On sup-posera les deux termes p o=a o , p l=na o toujours positifs, et sous cette sup-position nous ne nous occuperons que des autres termes de la serie . Cesautres termes, excepte le dernier (le discriminant p„`D), no sont pas encoredes invariants, et par consequence on pout les transformer, en transfor-mant l'equation par la substitution
x--ax'+hy' y=nx'-,;y' :a, h, , n designant des quantites reelles quelconques . Cette substitutionchangera les valeurs de p 2 , p3 , . . , et lour argument ((x,-a2 )2 prendra laforme suivante
Y(x1 _ x2l 2 _ (hA+a7) 2(y'Qx'2-x'iy 12) 2(a1-a,)2= `y1 y2J _ (f'X'1-yy'1)2 (
ou, en designant les racines de l'equation transformee par
et nommant in le module de transformation :
a h in = hn±k,n--E
Schramm : Qriteres pour les racines d'une equation .
261
on aura :
(a l -a2 ) 2 =
2 ,
z .
Do la memo maniere on transformera les autres differences, et les fonc-tions de M . SYLVESTER deviendront :
p_- 2 ' ( nr~i(_p,-pz)2
21~)2(.4 L 2- ~)2 s
l~3-P,)2
etc .P3
(~N1- ) 2(~N2 y)2 , (~~2-S)'(~~3- )- (~N3 ~) 2 ~~~~1 ,- ) 2
En reduisant les termes do chaque Somme
au denominateur commun,celui-ci sera toujours une puissance de
M2 ~) 2(nN2 -et par consequence toujours positif, ~ et n etant supposes reels . Maispuisque it ne s'agit quo des signes des fonctions P21 p 3 , . ., i1 nous sera per-mis d'omettre le facteur commun n 2s : M2'' de tous les termes de la sommeY, et prendre pour crit6res les fonctions suivantes
C2 =L1A - 7"2)2 (nt33 - ) 2 ( , 34 - ~) 2 . . . (n(3n 2 ,
C3 =1 (fl, _ 2)2(("2 - 3) 2(N3 _ !3 )2(04-E,)4. ..(n~n-^ ) 4 , etc .
Maintenantil faut prouver que ces fonctions designees ici par C2 , C3 . .,en supposant ~ et n variables, sont autant de covariants do 1'e-quation transformee, laquelle apres la transformation contient les ravines,131, x`"2 , . . 14
Demonstration. En substituant pour (a,-a2) 2 , . . . leurs valeurs transfor-mees, Bans les fonctions p2 , p 2 , . . ., chacune de celles-ci formera une Sommede fractions , et chaque fraction aura au numerateur et au denominateur lesmemos racines, et au memo nombre . En reduisant ensuite ces fractions audenominateur commun M 2 r, qui contient toutes les ravines a la puissance2r, on multipliera chaque numerateur par les facteurs (nd - ~) de M2r, ex-ceptes ceux qui sont contenus dans le denominateur de la fraction .
Ainsi on completera le nombre do racines dans chaque numerateur ; etles fonctions C, qui sont des sommes symetriques, auront danschagne terme toutes les racines, et chacune au degre 2r .Mais on sait qu'une fonction de la forme C 2 , C3 , . ., douee de
cette propriete, est en meme temps un covariant d'une forme avecle s racines 13,11321-113., C' est ce que nous avions a demontrer .
262
Schramm: Criteres pour les racines d'une equation .
On voit de plus, qu'il est permis de substituer au lieu de ces covariantsceux de la forme primitive
(ao , ai , . . . an 3[ x , y)n ,en changeant daps les fonctions C les racines 6 en a, car la transformationreelle lineaire n'altere pas la qualite des racines d'une equation algebrique :
C2- (d'1-a2)2(na3-)2(~a~- ) 2 . . .(~an- ) 2 ,C3 = (a 1-a 2 ) 2(a 2 --a 3 ) 2 (a 3^a i ) 2 (na4-,) . . .(Yfan-- ¢,
C~-V(a1--a 2~ 2(a2-a3} 2(a_a4) 2(a a1 ) 2~a1 a 3) 2(a 2 a4~2~Yfa5 ,}s . . .~Yfan-,~s, etc .
11 faudra encore prouver que les quantites l; et n, supposes variables,soot independantes Tune de l'autre, memo si l'on admet les racines ,(3egales aux racines a. Cola resulte sans difficulte do la substitution
x= ax'±hy', y= nxr-~y ' .
Or, en admettant qu'on ait pose
x-x ,, y=y',it en resulterait la condition
n= 4 ha (1+)mais it est aise de voir que, memo dans cc cas particulier, E et n restent inde-pendantes Tune de l'autre, parceque a et h, n'ayant aucune influence surles covariantes C, peuvent varier sans limites .
Ii est done prouve que ~ et n sont des variables independantes, et que l'onpout substituer au lieu des covariants de la forme transformee, ceux de laprimitive . C'est cc qui nous conduit an resultat suivantLa serie de STURM peut titre remplacee par la suite des covariants
+, C2 , C3, . . , C.-I, D ,en designant par D le discriminant, et chaque changement de signe danscette serie correspondera a une paire de racines imaginaires dans l'equation.
Le premier terme C 2 est le covariant do M. HESSE ; it faut done ajouter auxproprietes nombreuses et remarquables de cette fonction encore la suivanteSi le covariant Hessien d'une forme binaire du nieme degre a
des racines reelles, la forme primitive aura au moins une on
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
263
deux paires de racines imaginaires, selon que le discriminant Dde la meme forme est negatif ou positif.
Cet enonce, la verite duquel decoule sans peine de la propriete de la seriede STURM, subsiste memo pour les autres covariants C3 , C4 , . ., Cn_1 .
Nous allons maintenant calculer les degres de ces covariants en et net aussi leurs degres daps les coefficiens de la forme primitive .
On y parvient de la maniere suivante . Soit p . e .
C,-C 8 ~2m--2 mc, ~ 2m-' n+ . . . -2 mc2m_1 en 2m-I'+ C2mn 2m
un do ces covariants, qu'on ait obtenu par la transformation lineaire du termep,; it est evident que son premier coefficient c o sera egal A p„ parcequ'enfaisant 2?-0, on a :
C' - 2m~(a1-a2)2 (a 2 -a 3) 2 (iX3 --a )2 . . .=p,E,2' .
M. CAYLEY a donne la valeur de p, en forme de determinant
c o=p r= -
ao
a1
a2a2,--1
0
ao
a,a2r-2
0
nao (n-1)a 1 . . . (n-2r+2)a3r- 2nao (n--1)a1 (n-2)a2 . . . (n-2r+l )a2r_ 1
a 1
2a 2
3a 2 .
. . . 2ra 2 ,
(les coefficiens ao , a,, . . . etant supposes ici sans coefficiens binomiaux) .Le premier coefficient etant donne, on deduira de celui-ci les autres au
moyen de l'operation indiquee par M . CAYLEY dans ses ((Memoirs uponquantics > par le symbole
c l = I na laao+ (n-1) a2ail+ . . . +a. aaa- 1Ico .
Par cette operatllion, la somme des indices de chaque coefficient successif
c augmentera d'une unite, et nous n'aurons qu'a former la difference dessommes d'indices du premier et du dernier coefficient c2m , pour avoir le degredes fonctions Cr en ~ et n.
264
Schramrn : Criteres pour les racines d'une equation .
Or dans le determinant pr=co on trouve la somme des indices egale 5,r(r-1) . Le dernier coefficient c 2 ~n se deduira du premier en y ecrivant a n ,an-, , a,-,, . . , ao au lieu de a o , a1 , a,,. ., an , car ce changement des coeffi-ciens de la forme originale produira un changernent semblable dans lescoefficiens du covariant, de maniere que c 2 ,n ^pr/ prendra la place de c 0 . Ilen resultera
1 nun (n-1) an__ l . .(n-2 r+1) an_2r+.1i an_ 1
2a.-2 . . . . 2 r an-2 ,
En formant la part litterale d'un terme quelconque de ce determinant,p . e. le produit des lettres de la diagonale, savoir
k. (a n ) '-1 an_2 -an-, . . . an__2r
la somme des indices y sera :
n(r-1)-I n(r-'l)-r(r-1) = (2n-r)(r-1)
et par consequence le degre 2m de la fonction Cr en , n sera
2m=(2n-r) (r-1) -r (r-1) =2 (n-r)(r-1) .
Ainsi on trouvera dans le meme determinant p r le degre de Cr en a0, a1, a 2 . . .
=2(r-1) .
Tout cela nous permet de calculer le dit covariant pour un degre parti-culier de 1'equation algebrique .
Les equations du troisieme degre out un seul critere covariantif, c'estleur covariant Hessien
C2 =(a 1--a0a 2 )
(a1 a2 -a0a3 ) ;Yf + (a., -a1a 3)n 2 ,
et s'il y a des valeurs de ~ et n, pour lesquelles C2 prend le signe negatif,it y aura en meme temps deux racines imaginaires daps 1'equation . C'estce que 1'on sait dej5, d'ailleurs .
pr'=c2m=-I a
n a,E_l .an
a,L-2 r+1an-2r+2
Sch ramie : Criteres pour les ravines dune equations .
265
Les equations du quatrieme degre
a ox4 ; 4a,x3y+6a2x~'y2 ±4a3xy3 +a4y4= 0
ont les criti rcs suivants
C2=(a,--a0a2),'"i' G `a1a2-a0(L31 ~J~ (3a- a 1 a" 3 "a 0a4)Y,~Y~ , - (a 2a 3 - a,a4}~Y 3
+(a3-a 2a 4)n4 ,
~ .4 =(aoa 2a4-a 0a l a4-}-6Ct2 a~-9 aoan--llla,(t,a,a3 -8(ti a9-3aocL3) ~4
+4(C`Oal a3T ? CL 0a1a 2a4' 3a 0a2 a 3'^a0a 3a4-3a,,a4±2aja2Ci3) y3
+2(2a0a l a 3a,,+9 a 0a2a 4-9a oa 2 ~~ --aaa4±8aia2- 9a~a. 2a 4 ) ~2 n 2
-+-4(4a 0a 2a,(t,,-a,a la§--3a„a~-t-cia5a,4 - 3a 1 c'a,, +2a 1a sa )5r, 3
-4- (a0a 2a'-a0a3a4--3ala2+llj, o,a 2C1 3 (L4-8a,a:,- .'9CL2a 4 +6a2a )r, 4 .
Pour la forme reduite
X ,- 6'yrix`y "
y = ) ,
on aura les memes covariants en forme canonique
C; 2 ---iyz? I+(:31,12 `V : _ 77~n4 "
-9;:t ' ) (m,4-2n 2y 1 -T-mi 4 ) .
Les equations du cinquieme degre ont trois criteres covariantifs ; en lesC2 , C3 , C4 , it s auront les
res d , 8, 6 en ~ e t ndegres 2, 4, 0 en a 0 , a1 , . ., a,, .
Nous no presentons que les deux premiers en forme developpee, parceq uale troisieme prend des dimensions trop considerables, sans offrir un in tenetparticulier
C2 - (a l - a ea2 ) i:, 0 + J(a la s - a 0a 3 ) ., 5n+ 3(2a? - a la i - a0a4)~4n2 + (8a2 " - "`Y I C`i
-a 0a 5 ), 3 i 3 -t-3(2Ct;-a2a4-CL 1 CL 5)~ 1n 4 -e~s(a 3 CL 1 - a2a5)~n5-4- (ag-a 5arf%f u r
C3=-- C ( , 3-i-4c, 7n E-`~c2~3n2-~ 4c 5-i3-~ c 4y4n4-4-4c 5 sn 5-~ 2c F 2 r, 6 -!- 4c 7 7 -~ C sn 3
(") L'invariant du second degre dole fonction C3 est ` (1-9m2)2(i+3m=)--=AD. 12 ,L'invariant du troisieme defy -r6
= £~ (1-9m,2)2= D. 27
Aerenli di )MI(, wnlicn, tome I . 30
266
S chramm : Criteres pour les racines d'une equation .
Les coefficiens c., c1,,..IC8 ont les valeurs suivantes
c o=4aoa 2a4-9aoa3+38aoaia2a3-4aoa,a 4-24aoa2-20a1a3 +15a,a2,
c1 =21aoa1a2a4+6aoaia2 10a,a 2a8 -15aia4 -16aoa2a3-6aoa 3a4-I-aoasa 5 -aoa,a 5 ,
c 2 =60a;a3- 55a,a 2a4 + 27a oa1a3a4 + 23aoa1a2a5 -20a;a5 + 52aoa2a 4 -72aoa2a3-- 3aoa 5a5 -12a 2a' ,
c 3 =35a,a3a4 -30a,a2a 5 -30a1aQa4 ±20a1 a2a3+11a oa 1 a 3a5 -11aoa1a4+24a oaQag++22aoa2a3a4-36aoa3-5aoa4a5 ,
c 4=3a,a4-30a 1a2a5+ 53a 1a2a3ad-24a1a3-10aoa1a4a5 -24a2a4+16a'a3++42aoa2a3a3-3Oaoa2a4-aoa2 ,
c 5=22a1a2a3a 5 -11aia4a5-30aia3a4-5aoa 1a3 + 35a 1a 2al-36a2a 5±20a2a 3a4++11aoa2a4a5 +2L a oa3a 5 -30aoa3a4,
c 6 =60a2a2-55a1 a5a2 + 27a 1 a2a4ca 5+23caoaaa4a5-2Oaoa3 + 52a1a2a5 -12a2a3a5 --3aoa 2a2-12a;a2 ,
c,=21a1a3a4a5 + 6a2a4a5 + 1 Oa2a3a2 -15a1 ay-1 6a 2a2a5 - 6a1a,a2+aoa3ag-aoa2a 5 ~
C 8=4a 1a3a5-9ala5+ 3~a2a3a4a5 Ika la2a 5-24a3a 5-20a 2a4-F-15a3a2 .
Les coefficiens de ce covariant C3 ont ete developpes au moyen de l'operation
(5a i ao ?_±3o±2a4 &±as &)a,
,32-
c o
jusqu'au coefficient c 5 incl. Les autres c 6 , c, c 8 ont ete deduits des pre-miers c 2 , c 1 , co par le changement des lettres ao , a,, . ., a, en a,, a4l . ., a. .Le coefficient c,, qui a ete deduit de deux manieres diffcrentes, savoir di-rectement du premier c o , et aussi par le changement des lettres en c 3 , donnaune garantie pour 1'exactitude dii calcul .
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
267
11 .
Les crit0res en for-rare d'invariauts .
Passons a la seconde partie du probleme, en cherchant les invariants,qui peuvent indiquer par leurs signes le nombre de racines imaginairesd'une equation algebrique .
La premiere voie d'y parvenir noes est offerte par la discussion des discri-minants des susdits covariants ; en nommant ces discriminants :
A2,
Inks , • • , Ar,
on trouvera facilement qu'ils auront les degres respectifs
4.112(n-2)-I}, 4.212 .2(n-3)--11 , . ., 4(r-1)12(r-1) (n-r)--1 } .
Un theoreme bien connu nous dit quo l'invariant d'un covariant est enmemo temps un invariant de la forme primitive, et par consequence lesdiscriminants 0, ou leurs facteurs, seront des invariants de l'equation don-nee. On aura done a consulter les signes de ces discriminants ; et pour fa-ciliter la discussion, nous prouverons d'abord les theoremes suivants .
1 . 0 Si le discriminant D de la forme primitive, est un facteur dudiscriminant A 2 , it sera de memo un facteur des autres discriminantsA3 , A 4 , . ., On _ 1 .
Demonstration . Suppose qu'iI y ait dans l'equation donnee toutes les racinesreelles, la serie
-~-- ,
C2 ,
G3 . . , C,L_ 1 ,
D ,
doit avoir tons les termes positifs, et afin quo cola soit possible pour cha-que valeur de ~ et n, it faut quo les equations
C2 -0, G3-0, . ., Cn.-1-0
aient toutes les racines imaginaires .Supposons ensuite dans l'equation primitive une seule paire de racines
imaginaires ; D changera de signe ; et de memo A 2 , dent D est un facteur.Mais cc changement de signe de 0 2 indique que
268
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
C2=0
u'a plus toutes les racines imaginaires, et par consequence C2 prendra pourcertaines valeurs de
et
le signe negatif, et .C2 etant negatif, it faut~~ ®cessairement que les autres termes de la •serie : C3 C4) . . , C„_ 1 soientdo meme negatifs, parceque selon notre presupposition it n'y a qu'uneseule paire de racines imaginaires dans l'equation donnee .
Cola mene a la conclusion que dans le meme moment oft le discriminantIA 2 prise par zero, aussi les autres diseriminants D3 , ©¢ , . . , d„ r , passerontpar zero, ce qui, en general, aura lieu lorsqu'il y a dans tous ces discri-minants Ic facteur commun D.
2.° Si le discriminant A dune fonction C a la forme :
A=K'.D. I,
I designant un invariant de la forme primitive, cot invariantindiquera par son signe negatif 1'existence de 4t racines ima-ginaires dans 1'equation donnee .
Demonstration . En effet, en supposant toutes les racines de celle-ci reel-les, on aura D=+, I=+ et A= et C ne peut pas changer le signe .i1ais si Yon trouve dans un autre cas : D=+, I=-, on aura A_. .F- ; A ayantchange le signe, C ne pout plus avoir toutes see racines reelles et par con-sequent elle peut prendre pour quelque valeur de E et n le signe negatif ;mais D Rant positif, le serie des criteres aura au moins deux changementsde signe, ce qui noes indique deux paires (au moins) de racines imagi-naires dans 1'equation .
L'application de ces propositions A la discussion des equations de degreparticulier nous offre les resultats suivants .
Les equations du troisiCme de-r6 n'ont qu'un soul crit6re invariantif,c'est leur discriminant D, car le discriminant 0 du covariant Hessien, est
Ce cas particulier nous confirme ce que nous avons dit lb, haut des co-variants Hessiens en general : si D est positif, 0 est negatif, et C2 =O n'aque des racines imaginaires. Si D est negatif, © est positif, et C2 peut chan-ger le signe et devenir negatif. C'est ce qui nous montre la possibilite d'em-ployer C0 comme critere des racines d'une equation du troisieme degre .
Schramm : Critercs pour les racines d'une equation .
269
Les equations du quatrieme degre, doiinent pour les discrimillants de C.,,C3 , les valeurs suivantes
2
2
A,= 'iii (1 -rite) (1-9j i 2 ) --- D . I3 ,4
2As= iia 2 (1-ii,') (1-)ii22 ) -= D .I3 .
Ces discriminants changeront leur signe avec celui du discriminant D .11 est pourtant remarquable que ces discriminants b 2 et A3 n'indiquent
pas la presence de quatre racines imaginaires dans l'equation, et ii est tresprobable que, le discriminant D excepte, ii n'y ait pas de criteres invariantifspour la nature des racines d'une equation du quatrieme degrd . C'est ce quonous verrons confirms plus tard, dune maniere plus 6vidente .
Les criteres invariantifs d'une equation du cinquieme degrd ont des dimen-n
grandes. Les discriminants -A l , As , et 15,E ont les degres respectifs20, 56, 60 dans les coefficients .
Le premier 0 2 est do la forme
A2=-DI12 ,
I12 signiflant l'invariant elementaire du 12eine degrd. Nous avons reussi d'encalculer la valour, en posant a1 =a3 =a5 =0 dans le covariant C2 , comme dansles invariants de la forme du cinquieme degre, qu'on trouve dans le ((secondMemoir upon quantics » de M. CAYLEY (Phil . Transactions 1856) . Par rapportA ce qui a ete enonce dans la seconde proposition (page 268), on voit quoD etant positif et I12 negatif, it y a quatre racines imaginaires dans l'squation .Car 02 sera alors positif et l'squation C,- O , et ant du sixieme degr6 etayant le discriminant positif, aura 2 ou 6 racines r6elles, et C2 pout avoirpour certaines valeurs de ~ et n le signe negatif. Mais la serie de criterescovariantifs
+, C2, C3 ,
Daura les signes : + -
+et les deux changemonts de signe indiquent deux paires do rnaires. Nous n'irons pas A discuter les autres discriminants, parceque, memosi l'on aurait la possibilite d'en deduir les valeurs pour une equation du cin-quieme degrd, cela n'irait plus pour les degres supdrieurs .
On voit do plus que cette maniere de discussion ne permet pas de constatersi les invariants trouves comme ca changent aussi leur signe daps le memo
e
270
Schranam : Criteres pour les racuies dune equation .
moment, oh 1'equation donnee recoit une certaine quantite de racines ima-ginaires . Il faudra done prendre une autre voie pour arriver A des resultatsprecis et plus generaux, et nous verrons qu'il y a reellement une methodeplus simple pour calculer le degre et la forme des criteres invariantifs pourune equation de degre quelconque . L'idee du procede sera la suivante
Un invariant, qui par son changement de signe indique 1'exi-stence de 2s racines imaginaires dans 1'equation, doit passer parzero dans le moment out ces racines, supposees reelles, sont deuxa deux egales, et le memo invariant doit prendre le signe negatif,quand ces 2s racines deviennent imaginaires .
En examinant un invariant, represents en fonction des differences desracines
I= I' (a,-a2 ) (a,-a3) (a,-a4) . . . ,
it faut qu'on se propose le probleme suivant
11 est a determiner la forme et le degre d'un invariant, quicontient dans chaque membre de la somme I un nombre limitsdes differences a,-a2, a .-U4;, .-) ou, ce qui revient au meme, auquelmanquent dans chaque membre de la somme 1, s-i differencesdes dites racines .
Un tel invariant se reduira a, zero pour :
a,-a2 =0, a3-a4=0, . .,a,,-,-a28=0,
parceque chaque terme de la somme 1'' aura alors au moins une de cesdifferences en facteur .
Parmi ces invariants on choisira pour criteres ceux qui changent le signeaussitOt quo ces 2s racines deviennent imaginaires .
On sait do plus qu'une fonction symetrique des differences des racinesest un invariant, quand it y a dans chaque terme toutes lee racines de 1'e-quation et chacune d'elles au meme degre .
Cola premis, cherchons la mani8re la plus simple a, former, avec lee nracines d'une equation, des produits de la forme :
A-(a l -a9 ) (3-a4) . . . ( a,,_1-arz)
Schranam : Qriteres pour les racines d'une Equation . 27J
lesquels contiennent chaque racine au memo nombre do fois . Mais it estevident que ces produits auroras pour n pair la forme
A=(a,-a2) (a.-a4 ) . . .
et pour n impair la forme
B=(al - a2)'.a2-ash (as-a4) . . . (a,t -a,)A contenant chaque racine une fois, et B deux foix .De m6me on trouvera le nombre N des combinaisons differentes, qu'on
peut faire des n racines donnees
our n-2m it a IV 2'nl -2rn(2~n-1)(2rn-2} . . .(m j-I) pP
Y
1 _ 2 .,,E m w
2„ t
roduits de la forme
A, et pour n= impair iI y a N2 = Ii=, (n-1) (n-2) . . . 2.1 produits diffe-rents de la forme B . En considerant A ou B comme les elements d'uninvariant, celui-ci aura la forme
I_ 2;A1A2AB . . . A,
et pour n pair it aura le degre p, pour 7z impair le degre 2p.11 faut maintenant que ces invariants correspondent d la condition, qu'il
y manque dans chaque terme do la somme 2; le memo nombre s-1 de dif-ferences des racines .Faisons s-1=r et supposons d'abord r=3 . Admis quo dans un certain ter-
me y manquent les differences des racines (en designant al -a2 par 12 etc . . .)
(12), (34), (56)alors it n'y aura que
(a) les differences formees des premieres racines, 1 , 2, . . . 6, exceptees lestrois susdites, savoir
13 14 15 16 \ lour nombre sera= (2)-3 ,23 24 25 26 ou en general pour r differences absentes
-_ "r -r = 2r (r-1) ;
45 46
%
2(b) des differences contenant une seule des racines 1, 2, 3, . . . 6
41, 18, 49, . . .(4n)27 ) 29, . . . .(2n) f en nombre de 6 (n -- 6)
ou en general = 2r (n--2r) differences6`7, 68, . . . .(6n)
35 36
272
Sehramm : Grits res pour les raeii s d'une e ctuati
(c) des differences qui no contiennent aucune des racines 1, 2, . . .6
18, 70, . .7n8n,
nsn leur nombre c.Qt en g=eneral= (nZrl -(n-2i)(n-2r- 1)
En supposant encore clue chaque difference de (a) ait 1'exposant x,
»
»
»
»
b) ))
»
y,»
»
»
»
(c) »
z ,chaque racine doit so presenter p fois dans ('invariant, et prenant une desracines 1 , 2, 3 , . . , (2r) , p . e. la racine 1 , on la trouvera
dans les differences (i) . . . 2(r-1) fois,»
»
»
(b) . . . (n-2r) fois .
»
»
»
(c)0 fois .
ce qui donne la condition :
2yi -1)x± ya--°2r) y = p .
De meme, on volt qu'une autre des racines (2r-i-1), . .,(n) se presenteen (b) . . . 2r fois, en (c) . . . (n--2r-1) fois ; ce qui donne la seconde condition :
try +
): =p.
Il en resulto que les nombres entiers et positifs x, y, z et p, determinespar les deux equations
2(r-1)x+(n-2), )y=p ,
2r y-t-(n-2r-1)z=p ,
noun indiquent la forme et le degre p des invariant% Bans les termes des-quelles manquent chaque fois r differences des racines a 1 a2 , . ., a,, .
Les valeurs de x, y, z, qui doivent 6tre differentes do zero, donnent losexposants des differences designs es en (a), (b) et (c), et l'invarian mimeaura la forme ;
lp
(a
Schramm : Criteres pour les racines dune equation .
273
Il faut encore chercher les conditions sous losquelles les invariants I,,changent le signe en passant par zdro, et it faut do plus qu'on s'assuresi, dtant positifs pour 2s `2r+2 racines imaginaires, ils rostent ndgatifspour 2s ~ 2r+2 racines imaginaires de l'dquation .
En ,upposaut ces 2s racines de la forme :
Ck
~'~11 Y
a 3 .-p, -q, v-Y
. .
a- 1=1-, . - qz
it est dvident quo pour 2s __ 2r--f-2 of frisant :
ces racines dovicnutent deux it dour: dgales . ce qui donne :
(X I --a,, :- 13 .
et l'invariant V ', ayant dans chaque tcrmc an moins une do ces differences,so rdduira A zero .
C'est ce qui aura lieu aussi p
ubro 2s do rarinos, plus grandde 2!\r-i-1), dtant cellos-ci deuz a deux
Eusuito, en admettant quo for quantit&s imaginaires q augniontent inde-liniment , of posant :
Pinvariant 1p
aura le signo do la plus haute puissance do q V--1 sans les
produits ddveloppes des diffdrences -'I-a2, Soit (q ~-I)," cettepuissance plus dlovde ; it faudra calculer la valour de tt pour un nombredonna 2s do racines imaginaires. Dans cc but, on cherchora d'abord lo termedo la Somme 2', contenant cette puissance (q , . En conside,rant p . e. deuxdo ces diffdrenees do quatro racines imaginaires
tai -a. 1 , (a,~-rz,) .
on voit quo lour produit donne des puissances infdrieurcs it cellos u dsul-tont du produit :
,,~'1 ~Lf~ • ,1 }
md,mes racines r
rdclles a_ .,_ i . . . 11
Annuli di Mat,'muticu, tornu t . 35
R77'i
Schramln : Criteres pour les racines dune equation,
terme de la Somme I, oir it y ait le plus petit nombre des ravinesimaginaires combinees deux a deux dans les memes differences,cc qui aura lieu en general dans le terme de l'invariant P'~, on manquentles differences
(1 1 -(L, . 'A ,3-(1 . . . . (X-;,--1`G,2 . . . rA, '_
Cola premis, passons a calculer la valeur de Fc .
1 . Pour 2s<2r+2 racines imaginaires .Nous repartirons les differences des racines, comme auparavant, en trois
classes, (a), (b), (c) (voir la page 271) . Dans la premiere classe (a) it y aura2r(r-1)-2(r-s)(r-s-1)=2s(2r-s-1) differences imaginaires, car on saitque les combinaisons des dernieres 2r-2s racines seules sont reelles .
Dans la classe (b) on aura 2s(n-2r) differences imaginaires, savoir lescombinaisons des premieres 2s racines imaginaires avec les dernieres n-2rracines reelles .
Les differences en (c) soot toutes reelles .Mais chaque difference en (a) ayant 1'exposant x, et en (b) 1'exposant y .
on aura :
u 1 =2s(2r-s-1)x+ 2s(n-2r)y
2. Do la mime maniere on obtient la valour de ae pour
2s ; 2r-t 2 .
en posant
2s = 2r + 2(5,
l,es differences en (a) scront entierement imaginaires et lour nombre=2r(r-1). De meme (b) donne un nombre 2r(n-2r) do differences imaginaires .Dans (c) it y aura autant de differences imaginaires, qu'il y aura de binomesformes de 2r racines imaginaires seules, et de celles-ci avec les autres n-2r-2o'racines reelles ; en tout : a(2a-1)+2a(n-2i'-2(3)=a (2n-4r'-2c-1) : et parconsequent la valour de tc sera
a2 =2r(r-1)x +2r(n-2r)y -!- a(2 )z -4r-2a- 1)z .
Ces deux equations pour It, et fc2 nous permettent de discuter les invariants1(r) ; et pour faciliter cette discussion, nous la dividerons en deux parties,savoir pour n pair, et pour n impair .
let' vas : n=2rn ; si 2s<2r+2, tc==,a 1 . Pour une valour quelconque de x etde y, 1'exposant t aura toujours la forme t°"1 = 4t , et l'invariant I'•r ' aura
Schramm : Criteres hour les racines d'une equation .
275
pour q,=q 2 . . oq.=to le signe positif, etant (qV=i)'-=-F- q", quel quesoit le nombre 2s des racines imaginaires . Do memo, it n'est paspossible que I(T' s'evanouisse quand on admet
q1 :0 . q,_0 . . .gs =0,
etant s l = r, parceque le terme contenant la puissance plus haute (qne contient aucune des differences :
a,-a9 =0 ,
ag -a4 =0 ; . -et par consequent l'invariant IV) reste positif pour 2s<2r- +2 ra-cines imaginaires dans l'equation .
S'il y a 2s > 2r+2, on 2s=2r+ 2o racines imaginaires dans 1'equation ,1'exposant plus haut prend la valour :
[uQ =2r(r-1 )x + 4r(, .-r)y + a(41n-4r-2a-I)z .z
Les deux premiers termes ont la forme 4t, et le signe do (qV- 1) ~ de-pendra seulement du troisieme, et afin que l'invariant I() puisse pren-dre le signe negatif, it faut qu'on ait :
o(4dn-4r--2a-1)z=41'+2 .
Il faudra done choisir parmi les invariants IV, pour criteres des racines,ceux qui out en meme temps
z= 4t"+2 .
Ceci admis, les invariants auront lo signe negatif pour (7 impair,Cost A dire quand it y a :
2(r-4-1), 2'r+3), 2~r+5), . .
racines imaginaires dans 1'equation . Pour a pair ils seront positifs,parceque tc prend alors la forme 4t ; toujours en supposant les quantitcs qties grandes .
26DIC cas . En admettant n impair, et 2s < 2r + 2, on aura ~t = yj . Lo pre-mier terme 2s(2r-s-1) daps la valour do ;u 1 a toujours la forme 4t, et enfaisant la supposition
y=4t'+2,
ct, aura la forme 4t, et l'invariant I( restera positif pour toutevaleur do r, et 2s<2r-+- 2.
276
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
Pour 2s>2r-i-2, en posant 2s=2 •r +2(;, on aura les memos conse-quences comme dans Ie 1- cas, c'est-a .-dire qu'en admettant z-4t'+ 2,1'exposant ft sera t, 2 , et (qU-9)'"9 sera negatif pour a impair, positifpour a pair .
Le resume do tout cola mene au theoreme suivant
Les invariants h, determines par les equations :
2"r -1)x+(-n-2r-I)z=p
2ry ± (n-2r-I )z -p ,
z~4t+2
fourniront les criteres pour le nombre des racines iinaginaires duneequation algebrique . En les designant par
si r est l'index le plus haut do l'invariant I ( '') ayant lo signe nega-tif, on en deduira qu'il y a2(r+1) racines imaginaires dans 1'equa-tion . Do meme pour 1'(r)=0, 1'equation aura 2(r+1) paires de racinesdgales .
Ces invariants ressemblent en quelque part au discriminant D, en con-siderant qu'ils sent negatifs pour 2r + (4a + 2) racines imaginaires .
et positifs pour 2•r + 4aLa demonstration do la derniere partie de cc theoreme n'est pas encore
complete, car le changement do signe des invariants I(''), en y supposant2s>2r+2 racines imaginaires, West evident quo pour des valeurs trios gran-des de q,, q,,.., mais pas pour uno valour quelconque de ces quantites ima-ginaires, et it Wen est pas constate qu'elles lie changent plusieurs foislour signe. Aussi faudrait-il encore chercher les indices invariantifs dans lescas, ou les invariants I('') s'evanouissent . C'est cc qui restera encore A prdciser .
Pour montror l'application de tout cola A la discussion des equationsd'un degre particulier, it faudra resoudre les equations de condition :
2(r-1)x + (n-2r)y=p .
try-f-(n-2r-I)z=p,
z=4t-f-2 .
Schramm : Criteres pour les racines d'une equation .
On en trouve une solution generale pour r=1 .
Dans cc cas, it est
et ensuite
_ P_n-2 U - >
+(n-3)== p,
' (n-- :2) (n-3)
277
Il faut quo p soit un nombre entier et on posera
p •-̀(n-2) (11-3) IC,
en designant par K un nombre positif et entier . En substituant cola dansles equations precedentes, on aura
?'=(n--3)K, z=(n-4)K, p=n-2) (n-3)K .
11 est naturel qu'on choisira pour K le plus petit nombre possible, savoirpour n pair K=1 , pour n impair K=2, pour satisfaire ainsi a la conditionz=4t+2 .
Mais ici on fera l'observation surprenante, quo pour n =41n i 1 n' y apas d'invariant qui, par son changement de signe, puisse indi-quer 1'existence do 4 racines imaginaires dans 1'equation, par-ceque z prend alors la forme 4t et 1'exposant de la puissance(qV-4)f` etant :
a2 =4(2111-1)y+a(8mmm-2a--5)4t=4t 1 ,
l'invariant J(7) reste toujours positif pour des valeurs tres gran-des de q, quel que soft le nombre de racines imaginaires .
Ainsi les equations du quatrieme degre Wont pas des Criteres invarian-tifs, excepte le discriminant ; elles ne possedent pas memo l'invariant I( 1 ),auquel manquerait dans chaque terme de la somme 2; toujours une desdifferences a l-a 2 . ., comme on lo sait deja, et c'est cc qui resulte aussi desformules precedentes, car pour n=4 on a z = 0 .
En designant, pour abreger, les produits des differences (a), (b), (c)par A, B, C, savoir
A=(a1--a .,) (a, -a,) . . . (a,-a2r ) (a2-a3) . . . (a2r_2 -a2r) ,
B= (at - a2, -+1 ) (a t -a2r -,) . . . (a l -a0 (al -(Z2 r t1 ) . . . ( a, r -an) .
C=(aar- 1-ai,' i- ) ( a2,.-f 1
-a + ) . . . (a u-- 1 -a„) '
278
Schramm : Qriteres pour les racines d'une equation .
l'invariant Iv) aura en general la forme
v ~ B(,x- 31k C(ve-4 ; k1>
Los equations du cinquieme degre auront les criteres invariantifs
D,
I i1~ = ~'B4C2,
Si D est negatif, l'equation a 2 racines imaginaires ;
» D » positif et I(12 negatif, 4 racines imaginaires .
Ce resultat correspond en general a celui trouve par M. SYLVESTER ~ ),
excepte quo M . SYLVESTER applique encore l'invariant I du quatrieme degreI
dans le eas ou I 1 2 = A -__ 0, pour s avoir si les deux paires des racines egales
sont reelles ou imaginaires .Les equations du sixieme degre out les criteres invariantifs du plus petit
degre p, qui no sont plus reductibles(1)
I (is IB'C', 1s =IaA2BC'2 .
Les index 12 et 6 indiquent les degres de ces invariants dane les coef-ficients de 1'equation donne, et on aura en tout les criteres
(1)
(2D,
112
l 16 ,
net l'equation aura pour D negatif, I 12 et I(2 ) positifs, 2 racines imaginaires ;
(1)
2)pour Iz2 negatif et les autres positifs, 4 racines imaginaires ; pour I( , nega-
tif, 6 racines imaginaires .Do memo it y aura pour D=O, 1 paire do racines egales ;
t11
»
»
»
» D=0, I 1 ,=0, 2 paires do racines egales ;
D=O, 1 (1 2=0, 1(E =0, 3 paires de racines egales .
(*) Voir le memoire cite : On the real and imaginary roots of equation (Phil . Trans . 186'1 ;p. 613) .
Schramn-i : Criteres t.)our• les racines dune equation. .
21-9
Los equations du septieme degre auront les criteres
D,
I~, 0=~;BgC,' .
I~,2=b,'A 3B 2 C, 2
et la discussion ressemble a cello des equations du sixiemo degre .Les equation :, du huitieme degre donnent les invariants
(1)
(114
,a 2 ~~D,
1 0=~B
,
I10=IA •B G` - .
I,6=~,A B G .
Mais le deuxieme et le quatrieme no sont pas acceptables pour criteresde 4 et de 8 racines imaginaires daps I'equation, car ils ont z=4 .
11 est bien probable quo la memo circonstance se repete dans toutes lesequations du degre 4m, et en effet, en ralliant les deux equations genera-los de condition, on obtient :
(u-2r- 1)z =2(r-1)x+r.y-4ry .
En admettant n=II7n et ),=2r1+1 , on a
(4m-4r,-3)z=4(r, .x. + my - 2ry - y)
et z ayant nn coefficient impair, it faut quo z ait la forme 4t pour satis-faire a cette equation. On dira done quo les equations du degre 4mn'ont pas d'invariants, qui par lour changement de signe indique-raient su.rement l'existence de 4t racines imaginaires dans los ditesequations. C'est une exception qu'on no trouve pas dans les equationsdu degre 4m±2, ou 2m+1 .
Do la memo maniere on determinera sans difficulte les criteres invarian-tifs pour les autres degres des equations algebriques .
