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- Les oscillateurs en électronique -

Les oscillateurs constituent l’une des fonctions de base de l’électronique (analogique comme numérique…).Ils vont être utilisés pour cadencer le fonctionnement des systèmes (horloges de circuits numériques, montres…).Ils peuvent également être utilisés pour fabriquer directement des signaux classiques de tests en électronique(générateurs analogiques) ou pour fabriquer des porteuses en télécommunication (Cf le cours sur lestélécommunications…).

I. Les oscillateurs de relaxation.

I.1. Introduction.

Un oscillateur de relaxation est construit à partir d’un élément pouvant accumuler puis restituer de l’énergie.La fréquence des oscillations va dépendre du débit de l’élément d’accumulation. L’amplitude de ces dernières vadépendre des caractéristiques de l’élément d’accumulation…

Ce type d’oscillateur se rencontre dans différents domaines de la physique. On peut citer par exemple- Le vase de Tantale : un réservoir est relié à un siphon. L’eau coule à débit constant dans le réservoir et le

remplit jusqu’à un niveau hmax. Le siphon est alors amorcé et le réservoir se vide jusqu’à un niveau hmin.Le siphon se bloque…etc. L’amplitude des oscillations dépend des niveaux d’amorçage du siphon et lapériode des débits.

- Les oscillations d’un système thermique régulé (chaudière régulée en tout ou rien…).- Les différents montages électroniques permettant d’obtenir des oscillations de relaxation à partir d’une

capacité. Ces systèmes permettent notamment de réaliser des générateurs de signaux. Leur principalinconvénient vient de leur fréquence d’oscillation qui n’est pas très stable (c’est pourquoi on leur préfèresouvent les oscillateurs à quartz).

Dans le TP nous nous intéresserons à deux exemples de la dernière catégorie.

I.2. Premier exemple : un montage astable.

On réalise le montage suivant:

Ce montage oscille entre deux états instables (d'où son nom). Le potentiel V- (tension aux bornes de lacapacité) oscille entre +U et –U avec

sat21

1 V.RR

RU+

=

• La capacité est initialement déchargée. La sortie Vs nulle est un état instable. Dès la mise sous tension, lecomparateur va donc basculer soit à –Vsat, soit à +Vsat.

• On suppose que la sortie est initialement à +Vsat. Lors d’une première phase, la capacité se charge. Dans cecas la tension V- croît exponentiellement. Cette phase se termine lorsque V- atteint la valeur U. Alors lecomparateur commute et sa sortie passe à –Vsat. Cette fois, la capacité se décharge (la tension V- décroît). Cettephase dure tant que V- est supérieur à –U. A ce moment, on retombe sur le point dont on est parti et toutrecommence…

La période des oscillations est T=2.R.C.ln(1+2.R1/R2).

2

rq : Calcul de la période Lors de la charge de la capacité, le circuit RC est soumis à une tension d’entrée de Vsat, alors que la tension

V- aux bornes de la capacité valait initialement –U. Lors de cette phase, les évolutions de V- sont régies parl’équation

−− += V

dtdV.C.RVsat

La solution de cette équation est de la formeC.Rt

sat e.AV)t(V −− += et comme V-(t=0) = -U, A = -U-Vsat

Pour trouver la période, on remarque que la première phase dure T/2 et qu’alors, V- = +U. En remplaçant Upar sa valeur en fonction de R1, R2 et Vsat, on en déduit que

)R/R.21ln(.C.R.2T 21+=rq : Quelle condition doit-on respecter vis à vis du slew rate pour que les signaux aient toujours l’apparence

de créneaux ? Que risque-t-on d’observer si on utilise un amplificateur opérationnel polarisé entre –15V et +15Vde slew rate 10V/µs et que l’on cherche à fabriquer des créneaux de période voisine ou inférieure à 6 µs ?

I.3. Exemple plus complexe : oscillateur à fréquence commandable.

I.3.1. Principe de fonctionnement du montage.L’oscillateur que nous allons étudier se présente sous la forme suivante

• L’interrupteur commandé (K) est passant pour un signal Vs positif et bloqué pour une sortie nulle. On sepropose de le réaliser avec une porte 4066 (interrupteur MOS commandé en tension). Pour que les niveaux desortie commandant l’interrupteur soient corrects, on redressera Vs.

• Le fonctionnement de ce montage s’explique de la façon suivanteSi K est ouvert : (c’est que Vs est à l’état bas, c’est à dire –15V). On constate que

3V

V o=+ et dt

)u3

V(d

.CiR.2

3V

V o

co

oo −

==−

soit C.R.3

Vdtdu

o

o−=

l’état dure jusqu’à ce que u atteigne -Vsat/2Si K est fermé : (c’est que Vs est à l’état haut, c’est à dire +Vsat). On constate que

dt

)u3

V(d

.CiR

3V

0 o

co

o −==

− soit

C.R.3V

dtdu

o

o=

l’état dure jusqu’à ce que u atteigne Vsat/2

On constate que la période vaut sato

o V.V

C.R.6T =

rq : en remplaçant la résistance R/2 par un potentiomètre, on peut modifier le rapport cyclique.rq : le redresseur réalisé avec une diode rapide permet convertir la sortie Vs (+15V ;-15V) en un signal VK

(0V ;+15V).

I.3.2. Remarque sur l’interrupteur commandé.Il s’agit du composant CMOS 4066. son brochage se présente de la façon suivante :

3

Ce composant se polarise entre Vpol+ et Vpol-. Dans notre cas, Vpol+ sera une tension positive, et Vpol- unetension nulle. Le signal de commande Vcom rend l’interrupteur passant (il présente alors une résistance faible)lorsqu’il vaut Vpol+. En revanche, il sera bloqué lorsque Vcom sera nulle.

Les interrupteurs du composants 4066 sont réalisés à partir de plusieurs transistors MOS. De parl’agencement des transistors, les interrupteurs sont bidirectionnels (le courant peut les traverser dans les deuxsens). Pour plus de précisions, on se réfèrera à la notice constructeur.

rq : Il faut noter que la résistance de l’interrupteur à l’état passant dépend de la tension de polarisationutilisée.

II. Les oscillateurs à boucle de réaction.

Un oscillateur quasi-sinusoïdal doit comporter une cellule résonante (filtre passe bande). Cependant cettedernière comportant forcément des éléments dissipatifs, il va falloir apporter de l'énergie pour maintenir lesystème en oscillation. Le signal en sortie du quadripôle va donc être amplifié avant d'être à nouveau injecté dansle quadripôle résonant (ce sont donc les sources de polarisation de l'amplificateur qui apportent l'énergienécessaire pour obtenir une sortie sinusoïdale…l'oscillateur réalise une conversion continu-alternatif).

En théorie, un système de ce type peut rester en équilibre instable. Cependant, en pratique, la moindreperturbation électrique (bruit) va pousser le système hors de son état d'équilibre et les oscillations vont démarrer.

II.1. Etude d’un exemple détaillé : l’oscillateur à pont de Wien.

Nous allons désormais nous intéresser au cas particulier de l'oscillateur à pont de Wien. Cet oscillateur, quoique peu performant, va nous permettre d'appliquer une méthode d'approche générale pour les oscillateurs de cetype. Nous allons tout d'abord faire apparaître la structure générale d'un oscillateur quasi-sinusoïdal en identifiantl'amplificateur et le filtre sélectif. Ceci étant fait, nous verrons la condition à vérifier pour que les oscillationsapparaissent. Nous pourrons alors calculer les principales grandeurs attendues (fréquence et amplitude desoscillations notamment).

• Structure de l'oscillateur à pont de Wien. Identification des différents éléments.

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On va essayer de se ramener à une symbolique de système bouclé classique (sauf qu'ici, on travaille à entréenulle puisque l'on étudie un oscillateur…)

• Dans sa zone de fonctionnement linéaire, l'amplificateur a un gain A=1+R2/R1 (pour l'étude du démarrage,

ce gain sera suffisant). Cependant la tension de sortie de l'amplificateur est limitée à la plage [-Vcc;+Vcc]. Sacaractéristique entrée-sortie, si on suppose l'amplificateur opérationnel parfait (excepté vis à vis de la saturation)est donc la suivante:

• Le filtre de retour est un filtre passe bande dont la fonction de transfert est la suivante

ω+

ω+

−=

++

−=

++++−=

+++

+−=

−=

pp.Q1

31

p.C.R1p.C.R3

1

p.C1Rp.C.RRR

R

p.C1R

p.C.R1R

p.C.R1R

VV)p(B

0

0

2NL

f (s

i on pose ω0=1/RC et Q=1/3).

Calcul des caractéristiques de sortie.• Le démarrage des oscillations.Nous avons vu, lors de l’étude de la stabilité des systèmes bouclés qu'un tel circuit sera instable lorsque l'un

des pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée a une partie réelle positive. Ces pôles sont les solutions del'équation

1)p(B.A −=Ils peuvent être calculés en résolvant l'équation

0p.3A1

Qp 2

002 =ω+

−

ω+

On rappelle que Q = 1/3.- Le déterminant de cette équation sera positif pour A<1 ou A >5. Dans ce cas, les racines sont réelles et

valent

2.4)3/A1.(.9)3/A1.(.3

p20

2200 ω−−ω±−ω−

=±

Si A<1 les racines sont négatives (pas d’oscillations). Si A >5 elles sont positives (oscillations).- Si 1 < A < 5, le déterminant est négatif et les racines sont complexes. On constate alors que leur partie

réelle sera négative tant que 1 < A < 3 (pas d’oscillations). En revanche, elle sera positive si 3 < A < 5(oscillations). Ces racines valent

2.4)3/A1.(.9.j)3/A1.(.3

p20

2200 ω+−ω−±−ω−

=±

Le calcul des racines montre donc que le montage est instable pour A>3. De plus, on peut dire que ledémarrage sera pseudo-oscillant pour 3<A<5 alors qu'il sera exponentiel croissant pour A>5).

• Le régime permanent: fréquence et amplitude des oscillations.

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- En régime permanent, la non linéarité de l'amplificateur se fait sentir et il n'est plus possible de raisonneraussi simplement que lors du démarrage. On va faire l'hypothèse dite du premier harmonique. Pour uneamplitude de signal en entrée de l'amplificateur donnée, on regarde l'allure de la sortie (elle est affectéepar la non-linéarité). De la sortie distordue, on extrait le premier harmonique. La non linéarité est alorsmodélisée par un gain linéaire N équivalent, rapport du premier harmonique de la sortie sur l'entrée (cegain remplace le gain A de l'étude du démarrage).

- Une fois N calculé, la condition d'oscillation est donnée par1).j(B.N −=ω

La résolution de cette équation complexe nous donnera la fréquence des oscillations ainsi que leur amplitude. - Dans le cas de notre exemple, nous allons calculer N . Nous allons supposer que )t.sin(.V)t(Vf ω= (V et ω sont les inconnues que nous recherchons). VNL(t) vaut A.Vf(t) tant que Vf(t) est inférieure, en valeur absolue, à Vcc/A. Sinon elle vaut +Vcc ou –Vcc.

On constate que la non-linéarité n'introduit pas de déphasage (il n'y a pas d'hystérésis) ce qui signifie que le gain équivalent N sera réel. L'amplitude du premier harmonique de VNL est notée VNL1 et elle vaut

θθ+θθπ

=θθθπ

=ω= ∫ ∫∫∫θ

π

θ

π0

0

2

0

cc2

2

0NL

TNL1NL d.sin.Vd.sin.V.A4d.sin).(V4dt).t.sin().t(V

T2V

Sachant que Vcc=A.V.sinθ0 , on trouve

θ

+θπ

=2

)2sin(.A.2N 00

- La condition 1).j(B.N −=ω nous donne que

ω = ω0 et que 32

)2sin(.A.2N 0

0 =

θ+θ

π= ce qui permet de trouver V (approche graphique)

rq : l'hypothèse du premier harmonique sera d'autant plus justifiée que les harmoniques ont peu d'incidencesur l'entrée de l'amplificateur, c'est à dire que le filtre de retour est sélectif.

II.2. Les améliorations indispensables pour un tel montage.

La relation 1).j(B.N −=ω permet d'écrire π=ω+ ))j(B(Arg)N(Arg ce qui conduit à la fréquenced'oscillation. En différentiant la dernière relation , on trouve

0d =φ+δθ (φ argument de B) soit ω

ω∂φ∂

−=δθω

d.0

on peut alors écrire que

0

1

ω

ω∂φ∂−

≈δθδω

Dans le cas du pont de Wien, on a

00

0.Q.j.21

31

pp

.Q1

31

)p(B

ωδω

+

−≈

ω+

ω+

−= soit

ωδω

−≈φ0

.Q.2tanArc et donc 0/Q.2 ω−≈δθδω

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Le fait que le filtre de retour ait un fort coefficient de qualité permet de rendre l'oscillateur moins sensibleaux éventuelles variations d'état de l'amplificateur (si les variations donnent lieu une variation de phase de cedernier…). C’est pourquoi on utilise souvent des oscillateurs à quartz, dans lesquels la cellule sélective de retourest réalisée à partir d’un composant piézoélectrique dont le comportement permet d’obtenir des facteurs dequalité supérieurs à 10000. Ce composant est notamment utilisé pour réaliser la seconde dans les montres…

II.3. Exemple d’application des oscillateurs : réalisation de la seconde dans une montre.

II.3.1. Présentation du quartz.• Le quartz est réalisé à partir d’un matériau piézoélectrique (constitué de silice SiO2). Ce matériau présente

une structure anisotrope et a pour particularité d’être le siège de couplages électromécaniques importants. Onconstate notamment que si le matériau est placé dans un champ électrique (on applique une d.d.p. à ses bornes),il va se déformer. Inversement, s’il est soumis à des efforts mécaniques, une différence de potentiel va apparaîtreà ses bornes. Cet effet est utilisé dans bon nombre de capteurs, de micro-actionneurs. Les piézoélectriques sontaussi utilisés pour réaliser des transformateurs (téléphones portables).

• Dans notre cas, on va appliquer une variation de champ électrique alternative . Celle-ci va induire unevibration dans le cristal. La fréquence de la vibration permet l’existence d’une onde stationnaire dans ce dernier.Il va entrer en résonance, résonance qui ne sera atténuée que par les pertes mécaniques qui sont très faibles.

• Electriquement, le comportement que nous venons de décrire peut être modélisé de la façon suivante :

La capacité C0 représente physiquement une capacité (deux conducteurs séparés par un isolant). En revanche,les éléments rm, Lm et Cm sont des éléments motionnels, c’est a dire des éléments électriques équivalentsreprésentant le couplage électromécanique dans le matériau (on peut faire l’analogie avec le modèle électriqueéquivalent d’un haut-parleur). C’est pourquoi leurs valeurs ne correspondent pas à des composants électriquesusuels.

ex : quartz 32768 Hz : L = 7860H ;C = 3 fF ; r = 32000 Ω ; C0 =1,5 pF ; Q=50000quartz 1MHz : L = 4H ;C = 6 fF ; r = 240 Ω ; C0 = 8 pF ; Q=110000 • Nous allons maintenant nous intéresser à l’impédance équivalente du composant en négligeant les pertes

(pour simplifier les calculs). Dans la mesure où il s’agit d’une structure parallèle, nous allons travailler enadmittance.

2s

2

2p

2

m02mm

m0

mm

0

1

1

.).CC.(j.CL1

.C.j.C.j

.C.j1.L.j

1.C.j).j(Y

ωω

−

ωω

−

ω+=ω−

ω+ω=

ω+ω

+ω=ω

en posant mm

sC.L

1=ω et

m0

m0m

p

CCC.C

.L

1

+

=ω

ωs est appelée pulsation de résonance série et ωp pulsation d’antirésonance parallèle. On remarque que ces deux pulsations sont très proches car C0 >>Cm. En effet

1CC

11

CCC1

0

m

m0

0s

sp −+=−

+

=ω

ω−ω

L’impédance du quartz sans pertes est donc purement complexe. Si on pose X.jY1Z == , X représente laréactance. Le tracé de son évolution en fonction de ω a l’allure suivante

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Le quartz est donc capacitif partout, sauf entre ωs et ωp où il est inductif. On observe une zone oùl’impédance s’annule au voisinage de ωs (dans la réalité, en raison de l’élément dissipatif rm, l’impédance n’estpas nulle mais minimale dans cette zone). C’est ce qui explique que l’on observe une résonance de courant.

II.3.2. Exemple dé réalisation d’oscillateur à quartz.Il existe différentes structures possibles pour utiliser le composant décrit précédemment. Celle que nous

allons donner est fréquemment utilisée pour réaliser les horloges dans les systèmes à microprocesseurs.• Notre oscillateur comprend une non linéarité réalisée notamment à partir d’un inverseur logique (porte

NAND à deux entrées reliées entre elles) et un filtre de retour très sélectif comportant un quartz et deuxcapacités. Le schéma complet est le suivant :

Etude des différents éléments.• La porte inverseuse a la caractéristique suivante :

L’impédance d’entrée de cette porte est infinie. De plus, en régime continu, l’impédance du circuit de retourl’est aussi. Grâce à la résistance R, la porte se retrouve donc polarisée au milieu de sa zone de basculement (là oule gain dynamique vaut –A). En effet, le courant qui traverse cette résistance est alors nul en statique ce quigarantit la relation <Vf> = <VNL>. En revanche, ça ne sera évidemment plus le cas en régime dynamique.

La résistance r permet juste de modifier la valeur de la résistance de sortie de la chaîne directe. Cettedernière sera la somme de r avec l’impédance de sortie de la porte. Elle sera notée Rs. On la prendra en comptedans l’élément sélectif de retour.

• Tant que les oscillations sont d’amplitude assez faible, on peut modéliser l’élément amplificateur commeune source de tension de gain –A et une résistance de sortie Rs,

Par la suite, lorsque les oscillations correspondent au régime permanent, la non linéarité doit être modéliséepar un gain équivalent correspondant à la réponse au premier harmonique. Sachant que la non linéaritén’introduit pas de déphasage, on peut dire que le gain équivalent au premier harmonique sera réel. Il sera, deplus, négatif.

• Le quartz est associé à deux capacités C1 et C2, ce qui constitue le filtre sélectif de retour. On va intégrer Rsà la réponse du système et étudier le gain du filtre suivant :

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En utilisant le théorème de Thévenin pour représenter l’ensemble (Ve, Rs, C2), en supposant que l’impédancedu quartz vaut jX, et en notant X1 et X2 les réactances des capacités C1 et C2, on trouve que

)XXX.(R.j)XX.(XX.X

X.jRR.X.j

X.jX.j

X.j.X.jR

X.jVV

21s12

21

2s

s21

1

2s

2

e

s

++++−−

=

+++

+

=

Si on exploite ce résultat dans le cadre du système bouclé, on en déduit que

)XXX.(R.j)XX.(XX.X).j(B

21s12

21

++++−=ω

Condition de démarrage des oscillations.Au démarrage, le gain de l’élément non linéaire vaut –A (oscillation d’amplitude assez faibles…pas d’effet

non-linéaire). Dans ce cas, la condition limite de démarrage sera0)j(B.A1 =ω−

Cette condition impose notamment que B(jω) soit réelle et donc que X1+X2+X=0.

0X.C

1X.

CCC.C1X

.C1

.C1

eq

21

2121=+

ω−=+

ω+

−=+ω

−ω

−

La fréquence d’oscillation est donnée par l’intersection de X(ω) représentée précédemment avec la courbed’équation 1/(Ceq.ω). La solution se trouve dans la zone où X > 0, là où le quartz se comporte de façon inductive.Elle est donc comprise entre ωs et ωp, qui sont deux fréquences très proches.

La condition de démarrage sur le gain est

2

1

1

2

21

12

0 CC

XX

X.X)XX.(X

).j(B1A ==

+−=

ω≥

cette condition sera toujours remplie en prenant C1 = C2 car une porte inverseuse a toujours un gain A >> 1(penser que l’on commute de quelques volts en quelques mV).

Régime permanent.Si on fait une modélisation de la non linéarité au premier harmonique, on constate que le gain équivalent N

est réel (aucun déphasage introduit) et négatif. L’équation qui caractérise le régime permanent est alors lasuivante :

0)j(B.N1 =ω+(penser à un système qui donne une sortie finie avec une entrée nulle).On constate que la solution qui donne la fréquence est exactement la même que celle que l’on avait pour le

démarrage des oscillations. En régime permanent, la système va donc osciller à la pulsation ω0 comprise entre ωs

et ωp (là où le quartz est inductif).rqs : • La résistance motionnelle rm (modélisant les pertes dans le quartz) a peu d’incidence sur la fréquence

d’oscillation. On pourra donc légitimement la négliger pour prédéterminer le comportement de l’oscillateur.• La température a en revanche une incidence notable sur la caractéristique X(ω) de l’oscillateur (et donc sur

ωs et ωp). Elle peut donc faire fluctuer la fréquence d’oscillation.• A plus long terme, le vieillissement va, lui aussi, faire dériver lentement la fréquence de l’oscillateur (une

ppm par an environ).

Dans la pratique, nous utiliserons un système intégré, dans lequel le circuit précédent est réalisé, ainsi que lamise en forme du signal de sortie. Il n’y a qu’à polariser l’ensemble. On peut alors obtenir une horloge defréquence extrêmement stable.

II.3.3. Principe de la division de fréquence avec un compteur.Pour cela, on va utiliser un compteur synchrone, dans lequel l’horloge est apportée par un quartz de

fréquence 215Hz (on prend un quartz pour sa très grande stabilité, ce qui est fondamental pour les montres…).Si on prend (pour simplifier), l’exemple d’un compteur 4 bits (4 sorties a0, a1, a2 et a3) qui va sortir un

succession de mots binaires de 4 bits, à une cadence fixée par les fronts montants de l’horloge (on rappelle que N= a0 . 20 + a1 . 21 + a2 . 22 + a3 . 23)

N a0 a1 a2 a3

9

« 0 » soit 0 0 0 0« 1 » soit 1 0 0 0« 2 » soit 0 1 0 0« 3 » soit 1 1 0 0…………………….

« 15 » soit 1 1 1 1« 0 » soit 0 0 0 0…………………etc

Electriquement, les signaux qui correspondent à a0, a1, a2 et a3 sont donc de la forme suivante :

On constate bien que a0 correspond à une division de la fréquence d’horloge par 2, a1 à une division de lafréquence d’horloge par 22, …an à une division de la fréquence d’horloge par 2n+1. Si on dispose d’un compteursur 15 bits, on pourra diviser la fréquence de notre oscillateur initial (215Hz), et ramener cette dernière à 1Hz.