LES STATISTIQUES- PROBABILITES

EN CLASSE DE SECONDE

Si vous avez raté un épisode, voilà ce qui s’est passé au collège et en classe de troisième en

statistiques

-Fréquences.

- Caractéristiques de position: moyenne et médiane.

- Approche de caractéristiques de dispersion: quartiles et étendue.

STATISTIQUES AU COLLEGE

Un exemple d’activité de statistiques en troisième

FREQUENCE CARDIAQUEOn a relevé les fréquences cardiaques au repos, FCR, d’un groupe de 60 sportifs. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau ci-contre. Pierre, qui s’entraine ferme, a une FCR égale à 48. Il voudrait savoir comment il se situe par rapport à ce groupe de sportifs.

1°) A l’aide d’un tableur trier ces données par ordre croissant des fréquences cardiaques.2°) A l’aide du tableur déterminer la valeur minimale des FCR, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3. 3°) A l’aide du tableur calculer la moyenne des FCR.Interpréter les résultats des questions 2 et 3.4°) Compléter un tableau FCR – Effectifs. Copier ce tableau et le coller dans un « grapheur » afin de réaliser le diagramme en bâtons de cette série statistique.5°) Comment situez-vous la FCR de Pierre par rapport à celles de ce groupe de sportifs ?

Tableur Graphe

FCR 53 45 52 53 48 55 53 51 46 60 57 59 59 49 50 51 52 54 51 50 50 59 52 53 52 61 51 52 42 46

Q1 = 50

Med = 52

Q3 = 54

Moyenne = 51.97

-Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

- Calculer des probabilités dans des contextes familiers

Si vous avez raté un épisode, voilà ce qui s’est passé en classe de troisième en probabilités

PROBABILITES EN TROISIEME

Les objectifs de cet enseignement

1. Savoir ce qu’est une expérience aléatoire

- elle peut être décrite par un protocole,

- elle peut être répétée autant de fois que l’on veut dans les mêmes conditions,

- on peut déterminer à l’avance la liste des issues,

- mais on ne peut pas prévoir à l’avance l’issue au moment où on la réalisera.

Les objectifs de cet enseignement

2. Être capable de déterminer à priori la probabilité de certains phénomènes aléatoires simples :

- Savoir qu’il y a « égale probabilité » dans certaines expériences aléatoires,

- Savoir que ce n’est pas parce qu'il y a k possibilités qu’il y a une chance sur k que l’événement se produise,

- Être capable d’associer des modèles à certaines expériences.

3. Établir un lien entre la probabilité d’un événement et la fréquence observée en répétant un grand nombre de fois l’expérience.

Il s’agit d’une initiation à l’aléatoire et à la notion de probabilités.

Les probabilités sont abordées à partir d’expériences dans des situations familières: pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc…

Elles sont reliées aux statistiques : notion de fréquence et notion de probabilité.

On passera peu à peu d’un langage naturel au langage des probabilités.

On abordera des expériences aléatoires à une ou deux épreuves.

9

En troisième, un exemple d’activité

Le lancer d’un dé.

-10 groupes d’élèves font chacun 100 lancers. On observe la distribution des effectifs et on constate la fluctuation.

- Que se passe-t-il si on lance 100 fois un dé ?

Tableur

Feuil1, Graph1

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6

1

2

3

10

- On cumule les résultats des groupes d’élèves.

Par exemple pour dix groupes ayant chacun réalisé 100 lancers :

- On constate que pour ce regroupement de 1000 lancers, la fluctuations des fréquences autour de 1/6 (0,16) est moindre que pour 100 lancers.

-On dit que le dé est équilibré si lors d’un lancer, les 6 faces sont équiprobables c’est-à-dire ont la même chance d’être obtenues.

-Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir « 6 » est égale à 1/6

-Lorsqu’on lance un dé équilibré un « grand » nombre de fois, les fréquences d’apparition de chaque face se rapprochent de 1/6.

Tableur Feuil1 et Graph2

1000 lancers

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

1 2 3 4 5 6

11

Un exemple de T.P. en probabilités:

La somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés et on fait la somme des faces supérieures des deux dés.

1. Quels sont les différents résultats possibles ?

Sur quelle somme faut-il parier pour avoir le plus de chances de gagner?

2. Réalisation de l’expérience aléatoire:

- Chaque élève lance 20 fois ses deux dés et calcule la fréquence des différentes sommes obtenues.

- On compare les résultats des élèves de la classe et on en discute.

12

Somme de deux dés

Comparaison des résultats obtenus par quatre élèves

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

élève 1

élève 2

élève 3

élève 4

13

3. Cumul des résultats de la classe

Pour l’ensemble des lancers des élèves de la classe on établit la distribution des fréquences, on observe et on commente.

500 lancers

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

500 lancers

Somme de deux dés

14

4. On simule cette expérience aléatoire avec un tableur:

Observation avec une simulation de taille 10 000

Somme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Effectifs 284 592 854 1071 1396 1659 1386 1129 793 595 241Fréquences 0,0284 0,0592 0,0854 0,1071 0,1396 0,1659 0,1386 0,1129 0,0793 0,0595 0,0241

10000 lancers

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10000 lancers

Tableur

Somme de deux dés

15

Somme de deux dés

5. Prolongement possible (en seconde)

-Calcul de la probabilité de chaque somme possible en dénombrant à l’aide d’un tableau ou d’un arbre.

- Comparaison avec les fréquences observées lors de l’expérience réelle et lors de la simulation.

LES STATISTIQUES EN SECONDE

-Passer des effectifs aux fréquences

-Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées

-Représenter une série statistique: nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées

- Travailler sur l’échantillonnage: réaliser une simulation, observation de l’intervalle de fluctuation de fréquence au seuil de 95%.

Pour quel objectif ?

- Interpréter des résumés statistiques

- Réaliser la comparaison de deux séries

- Exploiter et faire une analyse critique d’une résultat d’échantillonnage

Quoi de neuf par rapport à la troisième ?

LES PROBABILITES EN SECONDE

Dans le même esprit qu’en classe de troisième :

Réaliser des activités aléatoires

Calculer des probabilités

Dénombrer par des arbres, tableaux, diagrammes

Modéliser et simuler

En liaison avec les statistiques :passer des fréquences aux probabilités et travailler sur l’échantillonnage

Mais avec un peu plus de théorie

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LES PROBABILITES EN SECONDE

Étudier et modéliser des expériences simples

Proposer un modèle probabiliste à partir de données statistiques

Interpréter des événements de manière ensembliste

Effectuer des calculs de probabilité

Les objectifs de cet enseignement:

THEORIE

DES PROBABILITESDONNEES

EXPERIMENTALES

STATISTIQUEDescriptionModélisationSimulation

Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

Premier temps

Statistiques descriptives

Prolongement en seconde de l’activité Fréquence Cardiaque

On souhaite comparer les FCR de ces 60 sportifs aux FCR d’un groupe de 100 personnes pratiquant peu d’activité physique. La moyenne d’âge des deux groupes est la même. Les relevés de ces 100 autres personnes sont donnés dans le tableau des effectifs ci-dessous:

6°) Représenter la courbe des fréquences cumulées de ces deux séries statistiques dans un même repère.

Comment interpréter l’antécédent de 0,5 ( de 0,25 et de 0,75) pour chacune des deux fonctions des fréquences cumulées?

7°) Quelle incidence semble avoir la pratique régulière du sport sur la FCR d’un individu ?

Tableur

FCR 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

Effectifs 1 1 1 1 2 3 2 3 1 1 3 1 7 6 8

FCR 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Effectifs 10 10 5 8 6 7 5 2 3 2 1

0

0,125

0,25

0,375

0,5

0,625

0,75

0,875

1

1,125

40 45 50 55 60 65 70 75

Sportifs

Non sportifs

Deuxième temps Notion de probabilité

B. Le langage des probabilités:

Probabilité d’un événement définie comme la somme des probabilités d’événement élémentaires

Cas particulier de l’équiprobabilité

C. Exemples de calculs de probabilités :

par arbres, diagrammes, tableaux

A. Pour se remettre dans le bain de la pratique de la classe de troisième

- Une évaluation diagnostique. EVA

- Une activité présentant une expérience aléatoire.

Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

Une expérience aléatoire:

La collectionProblématique: On lance dix fois un dé bien équilibré. Est-on sur d’obtenir sur les dix lancers au moins une fois chacune des six faces du dé?

Si non quelle est la probabilité de l’événement

A = « obtenir sur les dix lancers au moins une fois chacune des six faces du dé » ?

Pour répondre à ce problème ouvert on peut:

1. Faire réaliser l’expérience aux élèves 30 fois à la maison. Chaque élève relève la fréquence de l’événement A pour ses lancers, puis on cumule les expériences de tous les élèves et on observe la stabilisation des fréquences Fn lorsque n devient grand.

2. Faire simuler cette expérience par les élèves, avec un tableur en Module.

La collection

Expériences des élèves

Fréquences par élève

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213 141516171819 20212223242526 2728293031 32333435

Expérience élèves + Graph3 et4

Fréquence de réussite pour les expériences cumulées des élèves

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0 200 400 600 800 1000 1200

La loi des grands nombresOn considère une expérience aléatoire E dans laquelle le hasard intervient pour déterminer une issue.

Soit A un événement, résultat possible de E, constitué par certaines issues. (Par exemple : obtenir un nombre pair en jetant un dé)

On répète cette expérience un nombre n de fois et on calcule la fréquence Fn des réalisations de A

La loi des grands nombres affirme que : quand n est très grand, il y a de très grandes chances que la fréquence Fn soit proche de la probabilité p que A soit réalisé à l'issue de l'expérience E.

Plus n est grand, plus on a de chances que l'écart entre Fn et p soit plus petit que n'importe quel nombre positif donné.

(Par exemple, avec n > 1000, il y a plus de 95 chances sur 100 que la différence | Fn – p| soit inférieure à 0,03)

La collection

Résultats de la simulation

Fn simulation

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Simulation + graph 1 et 2

Troisième temps

Calculs de probabilités

A. Probabilité de l’événement contraire, d’une réunion d’événements

B. Exemples de calculs de probabilités

Evénements contraires : formule 1)()( ApAp

Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

Quatrième temps

Échantillonnage

A. Notion d’échantillon

B. Réalisation d’une simulation avec un tableur: observation de l’intervalle de fluctuation

C. Comment peut-on estimer une proportion inconnue à l’aide d’un échantillon?

D. Comment peut-on prendre une décision à partir de l’étude d’un échantillon ?

Une proposition de progression en Statistiques – Probabilités

32

SIMULATION D’UN SONDAGE DES INTENTIONS DE VOTE LORS D’UN

REFERENDUM

Un vote à un référendum a donné une proportion p de « OUI » (p est un nombre décimal compris entre 0 et 1).

On désire simuler un sondage sur les intentions de vote d’un échantillon de taille n.

33

Description de l’algorithme en langage naturel

Pour simuler le vote d’une personne on tire au hasard un nombre décimal compris entre 0 et 1.

Si ce nombre est inférieur ou égal à p le vote est « OUI », sinon il est « NON ».

On choisit la proportion p du OUI et la taille n de l’échantillon.

On répète cette simulation du vote d’une personne n fois

On compte le nombre de fois où le vote a été OUI.

On calcule la fréquence du OUI.

34

Simulation avec un tableur

Par exemple, pour simuler un sondage auprès de 100 personnes, lorsque p = 0,45, on peut utiliser les formules suivantes:

A B … CW CX 1 Echantillon Personne1 … Personne 100 Fréquence du OUI 2 1 =SI(ALEA()<0.45 ;«OUI»;«NON») … OUI =NB.SI(B2 :CW2 ;«OUI»)/100

Il est possible ensuite de multiplier les sondages, simplement en recopiant les formules vers le bas, autant de fois qu’on le désire, et d’observer la fluctuation d’échantillonnage

Ouverture du document TABLEUR

Echantillon de taille 100

-0,05

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

OUI NON

35

Algorithme de simulation des intentions de vote de n personnes :

Entrée Saisir n # n, entier naturel non nul, est la taille de l’échantillon Saisir p # p, nombre décimal compris entre 0 et , est

la proportion de « OUI » dans la population

TraitementAffecter à m la valeur 0 # m compte le nombre de réponses « OUI »Affecter à i la valeur 1 # i compte le nombre de personnes

interrogées Tant que i est inférieur ou égal à n faire :

Affecter à a un nombre aléatoire compris entre 0 et 1Si a est inférieur ou égal à p augmenter m de 1Augmenter i de 1

Affecter à f la valeur m/n # Calcul de la fréquence f du « OUI » dans l’échantillon

Sortie Afficher f

36

Traduction en langage Python

from random import*n=int(input("saisissez la taille de l'échantillon\n"))p=float(input("saisissez la proportion de OUI dans la population\n"))m=0i=1

while i<=n: a=random() if a<=p: m=m+1 i=i+1

f=m/nprint("dans cet échantillon de taille",n,"la fréquence du OUI est égale à",f)

37

Traduction en langage ALGOBOXTraduction en langage ALGOBOX

1 VARIABLES2 n EST_DU_TYPE NOMBRE3 p EST_DU_TYPE NOMBRE4 m EST_DU_TYPE NOMBRE5 i EST_DU_TYPE NOMBRE6 f EST_DU_TYPE NOMBRE7 DEBUT_ALGORITHME8 LIRE n9 LIRE p10 m PREND_LA_VALEUR 011 i PREND_LA_VALEUR 112 TANT_QUE (i<=n) FAIRE13 DEBUT_TANT_QUE14 SI (random()<p) ALORS15 DEBUT_SI16 m PREND_LA_VALEUR m+117 FIN_SI18 i PREND_LA_VALEUR i+119 FIN_TANT_QUE20 f PREND_LA_VALEUR m/n21 AFFICHER f22 FIN_ALGORITHME

Punaise !

C. Comment peut-on estimer une proportion inconnue à l’aide d’un échantillon?

TableurFiche activité

D. Comment peut-on prendre une décision à partir de l’étude d’un échantillon ?

La pièce de un euro est-elle équilibrée ?

Fiche activité Tableur

Idées de travail à la maison pour les élèves

2. Le saut de la grenouille

1. Le lancer de pièces

3. Politique nataliste

Enoncé

Enoncé

Enoncé

Tableur

Idées d’activités algorithmiques en probabilités

Le jeu de treize.

La collection

La simulation d’un référendumOUI40%

NON60%