Les systèmes linéaires

•

1)PRESENTATION

• avec x , y, z les inconnues

g z c"y b" x a"f z c'y b'x ' ae z c y b x a

2)RESOLUTION PAR LA METHODE DE GAUSS 

Principe

• rendre triangulaire le système

q z p m z y h e z c y b x a

k

Propriétés:N°1

• On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle  ligne pivot

Propriétés:N°2

• On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. 

Exemple   

(L3) 1 - z -y x 2 (L2) 1 z 2 -y

(L1) 0 z y - x

On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle  ligne pivot• Cela permet d’avoir un 1 devant la variable choisie.

 

(L3) 1 - z -y x 2 (L2) 1 z 2 -y

(L1) 0 z y - x

 

(L3) 1 - z -y x 2 (L2) 1 z 2 -y

(L1) 0 z y - x

On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle• On divise la ligne L1 par 1

(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y

(L1) 0 z y - x

On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle• On divise la ligne L1 par 1

ligne pivot L’1

(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y

(L1) 0 z y - x

(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. 

• On va supprimer les x dans les autres lignes :

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. 

• On supprime les x dans la 2ème ligne

(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. 

• On supprime les x dans la 2ème ligne

• Pour cela on fait:L2+0*L’1 L’2

(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne

• pour cela on fait:

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne

• pour cela on fait:

• L3+(-2)L’1 L’3

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne

• -2x+2y-2z=-2*0

• pour cela on fait:

• L3+(-2)L’1 L’3

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne

• -2x+2y-2z=-2*0

• pour cela on fait:

• L3+(-2)L’1 L’3

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

 

• On recommence au niveau des y.

(L'3) 1 - z 3 -y 3 (L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle  ligne pivot• Cela permet d’avoir un 1 devant la 2ème variable choisie.

On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle  ligne pivot• On divise la ligne L’2 par 1

(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle  ligne pivot• On divise la ligne L’2 par 1

ligne pivot L’’2.

(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les y dans la 3ème ligne

• pour cela on fait :

(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

• On supprime les y dans la 3ème ligne

• pour cela on fait :

• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.

(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

• On supprime les y dans la 3ème ligne

• -3y+6z=-3

• pour cela on fait :

• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.

(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

• On supprime les y dans la 3ème ligne

• -3y+6z=-3

• pour cela on fait :

• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.

(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

'2)(L' 1 z 2 -y

'1)(L' 0 z y - x

• On supprime les y dans la 3ème ligne

• -3y+6z=-3

• pour cela on fait :

• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.

(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

'3)(L' 4 - z 3 '2)(L' 1 z 2 -y

'1)(L' 0 z y - x

'3)(L' 4 - z 3 '2)(L' 1 z 2 -y

'1)(L' 0 z y - x

• On en déduit z = -4/3 • puis en reportant dans (L’’2) y = -5/3

• puis en reportant dans (L’’l) x = -1/3 

'3)(L' 4 - z 3 '2)(L' 1 z 2 -y

'1)(L' 0 z y - x

3)ECRITURE MATRICIELLE D’UN SYSTEME 

• soit ( A X = Y )

g z c"y b" x a"f z c'y b'x ' ae z c y b x a

g f e

z

y x

c" b" a" c' b' a' c b a

Remarque 

• ( A X = Y ) ( X = A-1 Y )•  • Cette relation permet de calculer la matrice A-1 .

fin

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne

• pour cela on fait:

• L3+(-2)L’1 L’3

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot. 

• On supprime les x dans la 2ème ligne

• Pour cela on fait:L2+0*L’1 L’2

(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x

 On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle  ligne pivot • On divise la ligne L’2 par 1

ligne pivot L’’2.

(L'3) 1 - z 3 -y 3 (L"2) 1 z 2 -y

(L'1) 0 z y - x