Cours de Mathmatiques

Sup MPSI PCSI PTSI TSI

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Document en cours de relecture

Alain Soyeur - Franois Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron

23 mars 2011

Table des matires

1 Nombres complexes 191.1 Le corps C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.2 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.3 Proprits des oprations sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Parties relle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Partie relle, partie imaginaire dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Reprsentation gomtrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Reprsentation dArgand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2 Interprtation gomtrique de quelques oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Module dun nombre complexe, ingalits triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 Groupe U des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.1 Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Racines n-imes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8 quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.1 Racines carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.2 quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9 Nombres complexes et gomtrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10.1 Translations, homothties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11.1 Forme algbrique - Forme trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11.2 Polynmes, quations, racines de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.11.3 Application la trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11.4 Application des nombres complexes la gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 Gomtrie lmentaire du plan 622.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2 Produit dun vecteur et dun rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.3 Vecteurs colinaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Modes de reprage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.1 Repres Cartsiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.2 Changement de repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

quation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.3 Repres polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

quation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.2 Interprtation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.3 Proprits du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.4 Interprtation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.2 Interprtation en terme daire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.3 Proprits du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.4 Interprtation en terme de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4.5 Application du dterminant : rsolution dun systme linaire de Cramer de deux quations deux

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.1 Prambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.2 Lignes de niveau de M 7~u.AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.3 Lignes de niveau de M 7det

(~u,AM)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5.4 Reprsentation paramtrique dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5.5 quation cartsienne dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.6 Droite dfinie par deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.7 Droite dfinie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.8 Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.9 quation normale dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.10 quation polaire dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.11 Intersection de deux droites, droites parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.2 quation cartsienne dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.3 Reprsentation paramtrique dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.4 quation polaire dun cercle passant par lorigine dun repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6.5 Caractrisation dun cercle par lquation MA.MB= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6.6 Intersection dun cercle et dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7.1 Produit scalaire et dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7.2 Coordonnes cartsiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.7.3 Gomtrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.7.5 Coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Gomtrie lmentaire de lespace 1133.1 Prambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.1 Combinaisons linaires de vecteurs, droites et plans dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.3 Orientation de lespace, base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.2 Mode de reprage dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Calcul algbrique avec les coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Norme dun vecteur, distance entre deux points dans un repre orthonorm . . . . . . . . . . . . . 117

3.2.2 Coordonnes cylindriques et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.3.3 Proprits du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.1 Dfinition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.2 Interprtation gomtrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3

3.4.3 Proprits du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Quelques exemples dapplications linaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.5 Dterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.5.3 Proprits du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.5.4 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.6 Plans dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.1 Reprsentation paramtrique des plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6.2 Reprsentation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Interprtation gomtrique de lquation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6.3 Distance dun point un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Deux mthodes de calcul de la distance dun point un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.7 Droites dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7.1 Reprsentation paramtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7.2 Reprsentation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7.3 Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7.4 Perpendiculaire commune deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.8 Sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.8.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.8.2 Sphres et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.8.3 Sphres et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.9.2 Coordonnes cartsiennes dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.9.3 Sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4 Fonctions usuelles 1514.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.1 Logarithme nprien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.1.2 Exponentielle nprienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.1.4 Exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2 Fonctions circulaires rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.3.1 Dfinitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.3.2 Formulaire de trigonomtrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.3.3 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Fonction argument sinus hyperbolique argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Fonction Argument cosinus hyperbolique argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Fonction Argument tangente hyperbolique argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4

5 Equations diffrentielles linaires 1985.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.2 Deux caractrisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.1 Caractrisation par une quation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.2.2 Caractrisation par une quation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3 quation diffrentielle linaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.3.2 Rsolution de lquation diffrentielle homogne normalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.3.3 Rsolution de lquation diffrentielle normalise avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 2025.3.4 Dtermination de solutions particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Mthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.3.5 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.3.6 Mthode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.4 quations diffrentielles linaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.4.2 Rsolution de lquation diffrentielle homogne du second ordre dans C . . . . . . . . . . . . . . 2105.4.3 Rsolution de lquation diffrentielle homogne du second ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . 2125.4.4 quation diffrentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.5.1 quations diffrentielles linaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.5.2 quations diffrentielles linaires du second ordre coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 2215.5.3 Rsolution par changement de fonction inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.5.4 Rsolution dquations diffrentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245.5.5 Application aux quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6 tude des courbes planes 2306.1 Fonctions valeurs dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2306.1.2 Drivation du produit scalaire et du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.2.2 tude locale dun arc paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

tude dun point stationnaire avec des outils de terminale, premire priode . . . . . . . . . . . . 234tude dun point stationnaire avec les dveloppements limits, seconde priode . . . . . . . . . . 234Branches infinies des courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2.3 tude complte et trac dune courbe paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.3 Etude dune courbe polaire = f (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.3.2 Etude dune courbe = f (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.3.3 La cardiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.3.4 La strophode droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.4.2 Courbes en coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7 Coniques 2717.1 Dfinitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.1 Dfinition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.1.2 quation cartsienne dune conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.1.3 quation polaire dune conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.2 tude de la parabole : e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.3 tude de lellipse : 0< e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.4 tude de lhyperbole : 1< e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787.5 Dfinition bifocale de lellipse et de lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.6 Courbes algbriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5

7.7.1 En gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917.7.5 Coniques et coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2947.7.6 Courbes du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dnombrements 3048.1 Ensemble des entiers naturels - Rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.1.2 Principe de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.1.3 Suite dfinie par rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.1.4 Notations et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.1.5 Suites arithmtiques et gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.2.2 Proprits des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8.3 Oprations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.4 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.4.1 Nombre de p-listes dun ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.4.2 Nombre dapplications dun ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.4.3 Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3138.4.4 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.5.1 Principe de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3258.5.4 Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3268.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3268.5.6 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

9 Corps R des nombres rels 3399.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.2 Le corps des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419.4 Majorant, minorant, borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3429.5 Droite numrique acheve R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.6 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449.7 Proprit dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449.8 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.9 Densit de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

9.10.1 Ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.10.2 Borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3489.10.3 Rationnels, irrationnels, densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509.10.4 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

10 Suites de nombres rels 35410.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.1.2 Oprations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10.2 Convergence dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35610.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

10.3 Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.3.1 Oprations algbriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.3.2 Limites et relations dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.3.3 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

10.4 Suite extraite dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36210.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

10.5.1 Thorme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6

10.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36410.5.3 Approximation dcimale des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.5.4 Segments emboits et thorme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

10.6 Suites gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.7.2 Suite domine par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.7.3 Suite ngligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36910.7.4 Suites quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

10.8 Comparaison des suites de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

10.9.1 Avec les dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.9.2 Convergence, divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37610.9.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38010.9.4 Suites monotones et bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38410.9.5 Sommes gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38910.9.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39010.9.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39410.9.8 Suites quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39510.9.9 tude de suites donnes par une relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40710.9.10 tude de suites dfinies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

11 Fonctions dune variable relle valeurs relles 41411.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

11.1.1 Lensemble F (I,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41411.1.2 Fonctions bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41511.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41611.1.4 Parit priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41611.1.5 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.2 Limite et continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41811.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41811.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41811.2.3 Oprations algbriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42111.2.4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42311.2.5 Limite gauche, droite, continuit gauche, droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42311.2.6 Limites et relation dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42411.2.7 Thorme de composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42511.2.8 Image dune suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42611.2.9 Thorme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

11.3 tude locale dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42911.3.1 Domination, prpondrance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Oprations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

11.3.2 Fonctions quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

11.4 Proprits globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43311.4.1 Dfinitions et proprits de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433Oprations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

11.4.2 Les thormes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Le thorme des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Fonctions uniformment continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Thorme de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44011.5.1 Avec les dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44011.5.2 Limites dune fonction valeurs relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44011.5.3 Comparaison des fonctions numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

7

11.5.4 Continuit des fonctions numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45311.5.5 Thorme des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45711.5.6 Continuit sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46111.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46211.5.8 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46411.5.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511.5.10 Bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

12 Drivation des fonctions valeurs relles 46912.1 Drive en un point, fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

12.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46912.1.2 Interprtations de la drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Interprtation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Interprtation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

12.1.3 Drivabilit et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47112.1.4 Fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

12.2 Oprations sur les drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47212.3 tude globale des fonctions drivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

12.3.1 Extremum dune fonction drivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47512.3.2 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Interprtation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476Interprtation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

12.3.3 galit des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47612.3.4 Ingalit des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47712.3.5 Application : Variations dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47812.3.6 Condition suffisante de drivabilit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

12.4 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47912.4.1 Drive seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47912.4.2 Drive dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47912.4.3 Fonctions de classe C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

12.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48112.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

12.6.1 Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48612.6.2 Drives dordre n, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49412.6.3 Applications de la drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49812.6.4 Recherche dextrmums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50112.6.5 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50112.6.6 Thorme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50612.6.7 Application aux quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812.6.8 tudes de suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50912.6.9 Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51212.6.10 quations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

13 Intgration sur un segment des fonctions valeurs relles 51713.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

13.1.1 Subdivision dun segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51813.1.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51813.1.3 Intgrale dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51913.1.4 Proprits de lintgrale dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

13.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52113.2.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52113.2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier . . . . . . . . . 52213.2.3 Intgrale dune fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52313.2.4 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52413.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52613.2.6 Nullit de lintgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52613.2.7 Majorations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52713.2.8 Valeur moyenne dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52913.2.9 Invariance de lintgrale par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

8

13.3 Primitive et intgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52913.4 Calcul de primitives et dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

13.4.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53313.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53313.4.3 Changement de variable affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53413.4.4 tude dune fonction dfinie par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

13.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53713.5.1 Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53713.5.2 Ingalit de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53813.5.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53913.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

13.6 Mthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54213.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

13.7.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54613.7.2 Calcul dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54713.7.3 Linarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54713.7.4 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54813.7.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55113.7.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55413.7.7 Calcul de primitives et dintgrales - Techniques mlanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55713.7.8 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56413.7.9 Majorations dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56613.7.10 Limite de fonctions dfinies par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56913.7.11 Thorme fondamental, tude de fonctions dfinies par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 57213.7.12 Suites dont le terme gnral est dfini par une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58013.7.13 Algbre linaire et intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58913.7.14 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59013.7.15 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

14 Dveloppements limits 59614.1 Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

14.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59614.1.2 DL fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59614.1.3 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59714.1.4 DL et rgularit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

14.2 Dveloppement limit des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59914.2.1 Utilisation de la formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

14.3 Oprations sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60014.3.1 Combinaison linaire et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60014.3.2 Compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60014.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60114.3.4 Dveloppement limit dune primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60514.4.1 Calcul de dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60514.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61514.4.3 Applications ltude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62214.4.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62714.4.5 Dveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62914.4.6 Applications ltude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63114.4.7 Applications ltude locale des courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63414.4.8 Application aux quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

15 Proprits mtriques des arcs 63915.0.9 Diffomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63915.0.10 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

15.1 Proprits mtriques des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64015.1.1 Longueur, abscisse curviligne dun arc paramtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64015.1.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64215.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

9

15.2.1 Calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65015.2.2 Calcul de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65015.2.3 Dveloppe, dveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65215.2.4 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

16 Suites et fonctions valeurs complexes 65516.1 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65516.2 Continuit des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65716.3 Drivabilit des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65716.4 Intgration des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65816.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

16.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66116.5.2 Drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66116.5.3 Intgrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

17 Notions sur les fonctions de deux variables relles 66417.1 Continuit des fonctions deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66417.2 Drives partielles, fonctions C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66817.3 Diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67217.4 Extremum dune fonction deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67317.5 Drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67617.6 Exemples dquations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67817.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

17.7.1 Limite et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68317.7.2 Drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68517.7.3 Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68717.7.4 Drives de fonctions composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69017.7.5 Fonctions de classe C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69117.7.6 Extremum de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69217.7.7 quations aux drives partielles dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69417.7.8 quations aux drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69617.7.9 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

18 Intgrales multiples 69918.1 Intgrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699

18.1.1 Le thorme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70018.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70118.1.3 Aire dun domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70318.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

18.3.1 Calculs lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70718.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70918.3.3 Intgration en coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71118.3.4 Application du thorme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71518.3.5 Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71518.3.6 Centres de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

19 Structures algbriques 71719.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

19.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71719.1.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71919.1.3 Morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

19.2 Anneau, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72419.2.1 Structure danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72419.2.2 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

19.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72719.3.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72719.3.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72819.3.3 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73519.3.4 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73619.3.5 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

10

19.3.6 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

20 Arithmtique 74820.1 Relation de divisibilit, division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

20.1.1 Relation de divisibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74820.1.2 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74920.1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

20.2 PGCD, thormes dEuclide et de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75120.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

20.3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75620.3.2 Dcomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757

20.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75920.4.1 Divisibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75920.4.2 Bezout, PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75920.4.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76420.4.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766

21 Polynmes 76721.1 Polynmes une indtermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

21.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76721.1.2 Degr dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76921.1.3 Valuation dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77021.1.4 Composition de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77121.1.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77121.1.6 Division selon les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

21.2 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77321.2.1 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77321.2.2 Racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77321.2.3 Schma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77521.2.4 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

21.3 Polynmes drivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77621.3.1 Dfinitions et proprits de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77621.3.2 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

21.4 Polynmes scinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77821.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77821.4.2 Factorisation dans C [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77821.4.3 Interlude : polynmes conjugus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77921.4.4 Factorisation dans R [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78021.4.5 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78021.4.6 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

21.5 Arithmtique dans K [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78221.5.1 Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78221.5.2 PGCD, thormes dEuclide et de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78221.5.3 Polynmes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78321.5.4 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78421.5.5 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

21.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78721.6.1 Lanneau des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78721.6.2 Drivation, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78921.6.3 Arithmtique des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79021.6.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79421.6.5 Racines dun polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79721.6.6 Factorisations de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80621.6.7 Relations entre coefficients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

11

22 Fractions rationnelles 81222.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

22.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81222.1.2 galit de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81222.1.3 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81222.1.4 Oprations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81322.1.5 Degr dune fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

22.2 Dcomposition en lments simples dune fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81422.2.1 Dcomposition en lments simples dans C (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

Recherche des coefficients associs aux ples multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81622.2.2 Dcomposition en lments simples dans R (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81722.2.3 Moralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

22.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82122.3.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

Dcomposition sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821Dcomposition sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828Drive logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834Sicelides Musae, Paulo Majora Canamus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

23 Espaces vectoriels 84423.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

23.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84423.1.2 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84523.1.3 Espaces de suites et de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84623.1.4 Rgles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

23.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84823.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84823.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

23.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85323.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85323.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85423.3.3 Sous-espaces supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

23.4 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85723.4.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85723.4.2 Noyau, image dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85823.4.3 tude de L (E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85923.4.4 tude de L (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85923.4.5 tude de GL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

23.5 quations linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86023.5.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86023.5.2 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861

23.6 Projecteurs et symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86123.6.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86123.6.2 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

23.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86623.7.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86623.7.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86623.7.3 Oprations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86923.7.4 Sous-espace vectoriel engendr par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87123.7.5 Sous-espaces vectoriels supplmentaires - Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87423.7.6 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87823.7.7 Image et noyau dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87923.7.8 Endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88823.7.9 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89123.7.10 Formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

12

24 Dimension des espaces vectoriels 89724.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

24.1.1 Combinaisons linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89724.1.2 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89824.1.3 Familles gnratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89924.1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

24.2 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90124.2.1 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90124.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

24.3 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90524.3.1 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90524.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

24.4 Applications linaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90824.4.1 Bases et applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90824.4.2 Dimension et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91024.4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

24.5 Rcurrences linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91324.5.1 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91324.5.2 Suites gomtriques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913

24.6 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91424.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916

24.7.1 Famille libre, Famille lie, Famille gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91624.7.2 Sous-espace vectoriel engendr par une famille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92024.7.3 Bases et dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92124.7.4 Sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92424.7.5 Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92724.7.6 Sous-espaces supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92824.7.7 Rang dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93124.7.8 Applications linaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93124.7.9 Rang dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93824.7.10 Formes linaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94124.7.11 Rcurrences linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94224.7.12 Lespace vectoriel des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94324.7.13 Endomorphismes oprant sur les polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

25 Calcul matriciel 94925.1 Matrice coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950

25.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95025.1.2 Lespace vectoriel Mq,p (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95125.1.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95225.1.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95325.1.5 Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

25.2 Matrices dune famille de vecteurs, dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95525.2.1 Matrice dune famille de vecteurs relativement une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95525.2.2 Matrice dune application linaire relativement deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

25.3 Matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95825.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95825.3.2 lments inversibles dans Mn (K), groupe GLn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95925.3.3 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96225.3.4 Matrices carres remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963

Matrices scalaires, diagonales, triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963Matrices symtriques, antisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964Matrices de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965Matrices de transvection et de dilatation, oprations lmentaires sur les lignes et les colonnes

dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96625.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967

25.4.1 Pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96725.4.2 Pour une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96725.4.3 Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96725.4.4 Pour une forme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96825.4.5 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968

13

25.5 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96825.5.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96825.5.2 Calcul pratique du rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970

25.6 Dterminant dune matrice carre de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97225.6.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97325.6.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

25.7 Dterminants dordre 2 ou 3 dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97325.7.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97325.7.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97425.7.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975

25.8 Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97625.8.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97625.8.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

25.9 Mthodes de calcul du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97625.9.1 Opration sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97625.9.2 Dveloppement dun dterminant suivant une range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977

25.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97925.10.1 Colinarit de deux vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97925.10.2 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97925.10.3 Orientation du plan et de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980

25.11Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98025.11.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98025.11.2 Interprtations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980

Interprtation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980Interprtation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981Interprtation en termes de formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981Interprtation en termes dapplications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981

25.11.3 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98125.11.4 Cas Particulier : Les systmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98225.11.5 Mthode du Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

25.12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98425.12.1 Oprations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98425.12.2 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98825.12.3 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98925.12.4 Calcul de dterminants de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99225.12.5 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99625.12.6 Calcul des puissances dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100325.12.7 Reprsentation matricielle dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100825.12.8 Structure forme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101325.12.9 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101925.12.10Matrices semblables, quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102625.12.11Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028

26 Groupe symtrique, dterminant 103326.1 Le groupe symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033

26.1.1 Signature dune permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103526.2 Construction du dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038

26.2.1 Formes n-linaires alternes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103826.2.2 Dterminant de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104026.2.3 Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104226.2.4 Dterminant dune matrice carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043

26.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105126.3.1 Groupe symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105126.3.2 Dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105326.3.3 Exercices thoriques sur les dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060

14

27 Produit scalaire, groupe orthogonal 106227.1 Dfinitions et rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062

27.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106227.1.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

27.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106527.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

27.3.1 Bases orthogonales, orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106627.3.2 Procd dorthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106727.3.3 Consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

27.4 Projecteurs et symtries orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107027.4.1 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107027.4.2 Symtries orthogonales, rflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

27.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107227.5.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107227.5.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

27.6 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107427.6.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107527.6.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079Isomtries directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080

27.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108427.7.1 Espaces prhilbertiens rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108427.7.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109027.7.3 Symtrie orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109227.7.4 Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109327.7.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109327.7.6 tude dendomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

28 Gomtrie affine 109828.1 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098

28.1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109828.1.2 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109928.1.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110128.1.4 Repre cartsi