livre : optique géométrique

11re annanne MPSI-PCSI-PTSIe MPSI-PCSI-PTSI

Jean-Marie BRBECProfesseur en classes prparatoires au lyce Saint-Louis Paris

Thierry DESMARAISProfesseur en classes prparatoires au lyce Vaugelas Chambry

Marc MNTRIERProfesseur en classes prparatoires au lyce Thiers Marseille

Bruno NOLProfesseur en classes prparatoires au lyce Champollion Grenoble

Rgine NOLProfesseur en classes prparatoires au lyce Champollion Grenoble

Claude ORSINIProfesseur honoraire en classes prparatoires au lyce Dumont-dUrville Toulon

Optique

6. doc. 2 : Muse des offices, Florence, Italie, photo Anderson-Viollet ;doc. 1 : B.N., Paris, photo Hachette.

Composition et mise en page : Soft Office

Maquette intrieure : S.G. Cration et Pascal Plottier

Maquette de couverture : Alain Vambacas

HACHETTE LIVRE 2003, 43, quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15

Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.

La loi du 11 mars 1957 nautorisant, aux termes des alinas 2 et 3 de larticle 41, dune part, que les copiesou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collec-tive , et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toutereprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayantsdroit ou ayants cause, est illicite (alina 1er de larticle 40).Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou duCentre franais de lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constitueraitdonc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

I.S.B.N. 978-2-0118-1755-6

3

Cette collection concerne les nouveaux programmes des classes prparatoires aux Grandes coles, mis en appli-cation la rentre de septembre 2003 pour les classes de premire anne MPSI, PCSI et PTSI.

Les auteurs ont fait en sorte de placer les mathmatiques leur juste place, en privilgiant la rflexion et leraisonnement physique et en mettant laccent sur les paramtres significatifs et les relations qui les unissent.

La physique est une science exprimentale et doit tre enseigne en tant que telle. Les auteurs ont particuli-rement soign la description des dispositifs exprimentaux sans ngliger la dimension pratique. Souhaitons queleurs efforts incitent professeurs et lves amliorer ou susciter les activits exprimentales toujours trs for-matrices.

La physique nest pas une science dsincarne, uniquement proccupe de spculations fermes aux ralits tech-nologiques. Chaque fois que le sujet sy prte, les auteurs ont donn une large place aux applications scienti-fiques ou industrielles, propres motiver nos futurs chercheurs et ingnieurs.

La physique nest pas une science aseptise et intemporelle, elle est le produit dune poque et ne sexclut pasdu champ des activits humaines. Les auteurs nont pas ddaign les rfrences lhistoire des sciences, aussibien pour dcrire lvolution des modles thoriques que pour replacer les expriences dans leur contexte.

Lquipe dauteurs, coordonne par Jean-Marie BRBEC, est compose de professeurs de classes prparatoirestrs expriments, qui possdent une longue pratique des concours des Grandes coles et dont la comptencescientifique est unanimement reconnue. Cette quipe a travaill en relation troite avec les auteurs des collec-tions DURANDEAU et DURUPTHY du second cycle des classes de lyce ; les ouvrages de classes prparatoires sins-crivent donc dans une parfaite continuit avec ceux du secondaire, tant dans la forme que dans lesprit.

Gageons que ces ouvrages constitueront de prcieux outils pour les tudiants, tant pour une prparation efficacedes concours que pour lacquisition dune solide culture scientifique.

J.-P. DURANDEAU

rface

4

BASES DE LOPTIQUE GOMTRIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

NOTIONS DOBJET, DIMAGE, DE STIGMATISME ET DAPLANTISME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

MIROIRS SPHRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

LENTILLES SPHRIQUES MINCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

INSTRUMENTS DOPTIQUE : LIL ET LA LOUPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

LUNETTE ET VISEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

MISE EN UVRE DOBJETS ET DIMAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

FOCOMTRIE (T.P. COURS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

LE PRISME, UTILISATION EN SPECTROSCOPIE (T.P. COURS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

ommaire

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Bases de loptiquegomtrique 1

O B J E C T I F S Comprendre de loptique gomtrique.

Rayons lumineux.

Lois de la rflexion et de la rfraction.

Quest-ce que la lumire ?

Diffrentes rponses (ou modles) ontt proposes, rejetes ou amliores

au cours de lHistoire.

Pour tudier la propagation de la lumire

de faon quantitative, nous la dcomposerons

en une infinit de rayons lumineux indpendants

les uns des autres.

Dans un milieu homogne (lorsque lindice optiquen ne dpend pas des coordonnes despace)

ces rayons se propagent en ligne droite ; ce nestpas le cas dans un milieu non homogne

o les rayons subissent une dviation fonctionde la variation locale dindice.

Une variation spatiale rapide de lindice impose

une modification rapide de lorientation du rayon

lumineux. Ltude quantitative de cettediscontinuit est obtenue laide des lois de

Descartes relatives la rflexion et la rfraction.

Une variation spatiale lente de lindice impose

une modification lente de lorientationdu rayon lumineux.

1 Un peu d h i s to i reLoptique est un domaine de la physique extrmement riche et fcond. Les tho-ries successives ont permis le dveloppement de la physique actuelle. Il estncessaire den connatre les grandes lignes.

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1. Bases de loptique gomtrique

poque

IVe sicle avant J.-C.

XIe sicle

XVIIe sicleLe modle balistique

La lumire est constituede particules mises parles sources et se propa-geant des vitesses diff-rentes suivant le milieu.

XIXe sicleLe modle ondulatoire

La lumire est une ondeanalogue au son.Par analogie avec la pro-pagation du son dans lair,il doit exister un milieuappel ther dans lequella lumire se propage.

XXe sicleLe modle corpusculaireLa lumire est constitue dequanta dnergie appelsphotons sans masse et sepropageant la vitesse de lalumire. Il y a dualit entreles deux modles ondula-toire et corpusculaire. Cestla base de la mcaniquequantique et de llectro-dynamique quantique.

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faits importants

Euclide (IVe-IIIe sicle avant J.-C.) Lil est la source de la lumire. Thorie des miroirs.Alhazen (965-1039) La lumire a une source extrieure lil. tude exprimentale de lentilles et de miroirs. Notion dobjet et dimage.Fabrication des premires lunettes dont celle de Galile.Descartes (1596-1650) Lois de la rflexion et de la rfraction. Modle corpusculaire : Une source lumineuse metdes particules rflchies par les miroirs et traversantles milieux matriels une vitesse dpendant de leurnature (plus grande dans un milieu transparent quedans lair).Fermat (161-1665) Principe de moindre tempsNewton (1642-1727) Lentilles non sphriques, prisme, miroir parabolique. Thorie des couleurs.Huygens (1629-1695) Modle ondulatoire permettant de retrouver les loisde Descartes. La vitesse de la lumire est plus grande dans lair quedans un milieu transparent.Young (1773-1829) tude des phnomnes dinterfrence.Fresnel (1788-1827) tude et thorie de la diffraction.Foucault Mesure de la vitesse de la lumire dans leau. Elleest plus faible que dans lair. Cest le triomphe du modle ondulatoire.Maxwell (1831-1879) Thorie des ondes lectromagntiques dont la lumirefait partie.Exprience de Michelson et Morley (1887) : impos-sibilit de mettre en vidence lther.Einstein (1879-1955) Thorie de la relativit permettant de saffranchir dela notion dun ther fixe.Planck (1858-1947) et Einstein Thorie du rayonnement du corps noir.Tomonoga, Sehwinger et Feynman Thorie de llectrodynamique quantique.

Doc. 2. Lunette de Galile.

Quelques noms retenirOptique gomtrique :Euclide, IVe sicle avant J.-C.Descartes, Fermat, Newton,XVIIe sicle.Optique ondulatoire :Young, Fresnel, Maxwell,Michelson, XIXe sicle.Rayonnement du corps noir :Einstein, Planck, XXe sicle.

Doc. 1. Galile (1564-1642).

2 La lumi re ,une onde l e c t romagnt ique2.1. Quest-ce quune onde ?Rappelons les proprits dune onde vue en terminale (doc. 3) :

On appelle onde, le phnomne de propagation dune perturbation dans unmilieu sans transport de matire : une onde se propage, partir de la source, dans toutes les directions qui luisont offertes ; la perturbation se transmet de proche en proche avec un transfert dnergiesans transport de matire ; la vitesse de propagation dune onde est une proprit du milieu.

Maxwell a formul en 1873 les quations qui dcrivent lvolution des champslectrique EN et magntique BN. Le comportement de ces champs regroups sousle terme de champ lectromagntique est analogue celui dune onde mcanique.

On retrouve, en effet, en particulier, le phnomne de diffraction caractris-tique de la propagation dune onde, lorsque la lumire rencontre une ouverturede petites dimensions (de lordre du micromtre).

Puisque la lumire du Soleil et des toiles nous parvient, ces ondes se propa-gent en labsence de support matriel, contrairement aux ondes mcaniques.

Les ondes lectromagntiques, dont la lumire fait partie, se propagent danstoutes les directions de lespace, mme en labsence de milieu matriel.Une onde lectromagntique sinusodale est caractrise par sa priode T

ou sa frquence f (ou n) = indpendante du milieu travers.Sa vitesse de propagation n est caractristique du milieu travers.Sa longueur donde l est dfinie par l = vT = . Sa valeur dpend dumilieu travers.

2.2. La lumire

2.2.1. Vitesse de propagation de la lumire dans le vide

La premire mise en vidence du caractre fini de la vitesse de la lumire datede 1676 : Olaf Rmer montre, en tudiant loccultation des satellites de Jupiter,que la lumire a une vitesse de propagation de 214 000 km . s1 (erreur relativede 30 %).

En 1849, Fizeau mesure la vitesse de la lumire laide dun dispositif rouedente ncessitant un miroir plac une dizaine de kilomtres de la sourcelumineuse (doc. 4).

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l = vTnv

t0

t0 + T

t0 +T4

t0 +T2

t0 +3T4

Doc. 3. Propagation de la houleAu cours du dplacement de londede priode T le morse a un mouve-ment circulaire mais reste en moyenne la mme place.

Doc. 5. Roue dente.

L

miroir

10 km

source lumineuse

Doc. 4. Principe de la mthode de Fizeau.

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En tournant, la roue dente cache priodiquement le faisceau lumineux prove-nant de la source. Pendant laller et le retour de la lumire vers le miroir, langlede rotation de la roue peut tre tel quune dent cache le faisceau rflchi. Lesvaleurs des vitesses de rotation correspondant ce phnomne permettent dedterminer la vitesse de la lumire.

Foucault met au point, en 1850, un dispositif miroir tournant dont les dimen-sions (une vingtaine de mtres) permettent la mesure de la vitesse de la lumiredans les milieux matriels, en particulier leau.

Cette exprience permet de trancher entre le modle ondulatoire (la vitesse dela lumire est plus faible dans leau que dans lair) et le modle corpusculairedu XVIIe sicle (o ctait linverse).

Lexprience de Michelson et Morley, en 1887, met en vidence le fait que lemouvement de rotation du rfrentiel terrestre autour du Soleil, une vitesseproche de 30 km . s1, ne modifie pas la vitesse de la lumire ; ce phnomneest en contradiction avec les lois de la mcanique classique.

Les expriences actuelles donnent cette vitesse la valeur c = 299 792 458 m . s1.

La prcision des mesures actuelles a conduit une redfinition des grandeurstalons. La seconde talon est dfinie partir de la priode dune horloge ato-mique au csium ; le mtre talon nexiste plus : un mtre est la distance par-

courue par la lumire dans le vide pendant s.

Remarques

Units et talons fondamentaux

Sept units primaires ou fondamentales, savoir le mtre, le kilogramme, laseconde, lampre (Systme MKSA) et aussi le kelvin (temprature), le can-dela (intensit lumineuse) et la mole, sont dfinies. Toute autre unit en drive.

talons fondamentaux du Systme MKSA

La masse : le kilogramme talon est dpos au pavillon de Svres depuis 1889.La prcision la reproduction de ltalon est de 2 . 109 kg. (Cest la grandeurtalon la moins prcise.)

Le temps (1968) : 1 s est gale 9 192 631 770 priodes de la radiation cor-respondant la transition entre les deux niveaux hyperfins de ltat fondamentalde latome de csium 133. La prcision la reproduction est de 1013 s,

soit s en 1 000 ans ! (Cest la grandeur talon la plus prcise.)

La longueur (1983) : 1 m est gal la distance parcourue par la lumire dans

le vide en s. La prcision de ltalon prcdent, qui ncessitait

lutilisation dune lampe au krypton, tait de 108 m, alors que les mesures nces-sitaient une prcision suprieure 1010 m.

Lintensit : il ny a pas dtalon universel (la dfinition de lampre est basesur la force sexerant entre deux conducteurs dans une exprience non ralisablepratiquement). En fait, m0 = 4p . 107 SI dfinit lampre (m0 sexprime en H . m1).

La vitesse de propagation de la lumire dans lair est trs proche de celle dansle vide. Par consquent, nous confondrons souvent les valeurs de la longueurdonde dans lair avec celle dans le vide.

Dans le vide, la lumire se propage la vitesse :

c = 299 792 458 m . s1 3 . 108 m.s1 .

2.2.2. La lumire dans le spectre lectromagntiqueLa lumire est en gnral la superposition dondes lectromagntiques de dif-frentes longueurs donde. Une lumire monochromatique correspond uneonde sinusodale de frquence bien dtermine. Par opposition la lumireblanche, qui peut tre dcompose par un prisme ou un rseau pour former unspectre, une lumire monochromatique nest pas dcomposable.

Les longueurs donde voisines, mais infrieures, correspondent aux ultravio-lets et celles qui sont suprieures aux infrarouges. La sensibilit maximale delil est obtenue pour une longueur donde denviron 0,56 m (jaune-vert).

Le spectre visible ne reprsente quune infime partie du spectre lectroma-gntique (doc. 7). Le tableau suivant donne les relations entre longueur donde,frquence et couleur.

Doc. 6.

Le domaine de la lumire visible par lil humain correspond aux lon-gueurs donde dans le vide approximativement comprises entre 0,4 met 0,8 m (400 nm et 800 nm).

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On ralise lexprience de Fizeau (voir doc. 4) laidedune roue dente possdant p = 250 dents identiqueset tournant une vitesse de w tours par seconde. lemiroir est plac une distance d = 15 km de la rouedente.

Dterminer les valeurs de w correspondant aux extinc-tions du faisceau lumineux arrivant sur lil.

Une impulsion lumineuse est envoye vers le miroirau moment o un trou de la roue passe devant le fais-ceau. Pour quelle ne soit pas vue, il faut quau momento limpulsion rflchie revient sur la roue, elle soitmasque par une dent.

Langle sparant deux dents est et celui spa-

rant une dent du trou voisin est .

La roue a donc tourn dun angle avec nentier.

La dure de laller-retour de la lumire est t = .Langle dont tourne la roue pendant cette dure est2pwt do :

w = tr . s1

ce qui est rapide, mais ralisable.

Application 1

limite de lultraviolet 400 7,50violet 420 7,14violet bleu (indigo) 440 6,80

bleu 470 6,40bleu-vert 500 6,00

vert 530 5,70jaune-vert 560 5,36jaune 580 5,17jaune orang 590 5,08

orange 600 5,00rouge orang 610 4,92rouge 650 4,62limite de linfrarouge 780 3,85

couleurlongueur donde frquence

(nm) (10 14 Hz)

Doc. 7. Spectre lectromagntique.

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EHF

SHF

UHF

THF

HF

MF

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3.1011

3.1014

3.1017

3.1020

communicationspar satellitesradar

ondes courtes

ondes moyennes

grandes ondes

FM

longueur donde(m)

rayons

rayons

ultraviolet

visible

infrarouge

ONDES

HERTZIENNES

savoir

Classement des couleurs de la plus petite vers la plus grande longueurdonde et les longueurs donde correspondantes : ultraviolet < 400 mm ; violet, bleu 450 mm ; vert, jaune 580 mm ; orange, rouge 650 mm ; infrarouge > 800 mm.

3 Les source s de lumi re3.1. Sources spectre de raies ou de bandesLes sources de lumire bases sur la dsexcitation datomes (atomes prala-blement excits par collisions ou dcharges lectriques) mettent un rayon-nement compos dondes monochromatiques rparties en paquets de fr-

quences trs voisines : 10 7 .

La dcomposition de la lumire mise suite la dsexcitation datomes parun prisme ou un rseau donne un ensemble de raies caractristiques de lacomposition de la source.

Dans le cas de la dsexcitation de molcules, nous observons un spectre de bandes.Celles-ci sont en ralit constitues dun ensemble de raies trs voisines.

3.2. Sources spectre continu

Les sources spectre continu sont bases sur le rayonnement du corps noir.Un corps absorbant, dont la temprature est T, met un rayonnement lectro-magntique comprenant toutes les longueurs donde l du spectre.

Si nous souhaitons un maximum dintensit lumineuse pour 0,56 mm (maxi-mum de sensibilit de lil), la source doit avoir une temprature de 5 400 K (latemprature de la photosphre du Soleil est denviron 6 000 K).

Le spectre du fer prsente de nombreuses raies dmission sur une large gammede longueurs donde, il sert de spectre de rfrence.

3.3. Cas particulier des lasersUne source laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) estbase sur le principe de lmission stimule : les diffrents atomes de la sourcese dsexcitent de faon synchronise, la source est dite cohrente. Les fr-quences des ondes composant la lumire dun laser sont trs proches :

10 10 . Le laser le plus utilis en travaux pratiques est un laser hlium-

non de couleur rouge dont la longueur donde est l 632,8 nm.

La longueur donde lm correspondant au maximum dmission du corpsnoir est donne par la loi de Wien :

lm T 2,987. 10 3 K .m

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Doc. 8. Spectre du fer.

4 Propagat ion de l a lumi redans l e s mi l i eux nature l s4.1. Absorption et dispersionLes interactions de la lumire avec un milieu matriel modifient la propaga-tion : la vitesse de propagation v nest plus gale c.

La vitesse est plus importante pour le rouge que pour le bleu dans les milieuxtransparents. Cest le phnomne de dispersion utilis lors de la dcompo-sition de la lumire par un prisme.

Lintensit lumineuse dcrot lors de la propagation de la lumire dans lemilieu matriel. La loi de dcroissance est en gnral une fonction expo-nentielle de la distance parcourue et dpend de la frquence, donc de la lon-gueur donde. Cest le phnomne dabsorption.

La thorie modlisant la propagation des ondes lectromagntiques dans les milieuxtransparents montre quabsorption et dispersion sont deux phnomnes lis.

Une absorption slective dans le domaine visible permet dexpliquer la cou-leur des milieux presque transparents (couleur violette dune solution deK Mn O 4 ou couleur verte dune solution alcoolique de chlorophylle).

(a)

4.2. Indice dun milieu transparentPour une onde monochromatique, de longueur donde l0 dans le vide, lin-dice n(l0) dun milieu est dfini comme le rapport de la vitesse de la lumiredans le vide sur sa vitesse dans le milieu matriel : n(l0) = .La rfringence dun milieu est une caractristique lie la valeur de lindicen de celui-ci : plus lindice est lev plus le milieu est rfringent.

La plupart des milieux transparents ont un indice qui vrifie assez bien la for-

mule simplifie de Cauchy : n(l0) = A + o A et B sont des constantespositives.On vrifie immdiatement que :

nbleu > nrouge , lbleu < lrouge , nbleu > nrouge et vbleu < vrouge

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Doc. 9. Dviation vers la base. Ladviation D est dautant plus impor-tante que la longueur donde est faible.Sur ce schma, les dviations sont exa-gres par rapport la ralit.

Doc. 10. Spectre de la lumire blanche dune lampe incandes-cence (a) et de la lumire de cettelampe transmise par un filtre vert (b).Labsorption du filtre est importantedans le rouge et dans le bleu.

rouge orange vert bleu violet(b)

4.3. Quelques valeurs dindiceLindice de lair est, dans les conditions normales, de 1,000 293. Nous assi-milerons donc par la suite lair au vide.

La dispersion importante des flints permet dexpliquer lclat dun verre en cris-tal, car la lumire y est dcompose de faon importante.

Le diamant a un indice trs lev. Ceci explique son clat : la lumire y est pi-ge par le phnomne de rflexion totale.

Actuellement, environ deux cents types de verres diffrents sont fabriquspour raliser des instruments doptique. Leurs indices n sont compris entre 1,4et 2 et leur constringence n entre 20 et 70 (doc. 12).

Lindice de leau est denviron 1,3 , celui des verres varie de 1,5 1,8 envi-ron. Un des indices les plus levs est celui du diamant 2,4.

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Doc. 12. Quelques valeurs dindices de la littrature. n est la constringence : elle est dautant plus petite que le milieuest dispersif.

indices de rfraction de diverses substances, pour diverses radiations

indices pour les radiations

A A C D F G

fluor-crowncrown moyenflint dense (baryl)flint extradense

silice vitreusemtacrylate de mthyle

fluorine Ca F2diamant

H 2O 20 CCS 2 20 C

exemplesde verresdoptique

exemples deverres organiques

exemplesde cristaux

1,4847 1,4873 1,4895 1,4945 1,4985 681,5096 1,5127 1,5153 1,5214 1,5264 591,6495 1,6553 1,6605 1,6735 1,6847 361,7694 1,7788 1,7875 1,8100 1,8298 25

1,4544 1,4568 1,4588 1,4636 1,4673 651,4904 1,4930 1,4990 56

1,4309 1,4325 1,4338 1,4370 1,4396 952,410 2,4173 2,435 57

1,3289 1,3311 1,3300 1,3371 1,3404 561,6087 1,6182 1,6277 1,6523 1,6748 18

nn D 1

n F n Cobservations

Doc. 11. Quelques longueurs donde et frquences. La radiation D du sodium est constitue de deux radiations voi-sines (doublet) : D1 (589,6 nm) et D2 (589,0 nm).

longueurs donde dans lair et frquences f de diverses radiations visibles

radiation (nm) n (Hz) observations

K du calcium ............................................ 393,3 7,62 .10 14 la limite de lultravioletviolette du mercure ............................... 404 7

G violette de lhydrogne ......................... 434,0bleu-violette du mercure ....................... 435,8

F bleue de lhydrogne ............................. 486,1e verte du mercure ................................... 546,1

doublet jaune du mercure ...................... 577,0.............................................................. 579,1

D3 jaune de lhlium .................................. 587,5D jaune du sodium .................................... 589,3 5,09 .10 14 D1 589,6 nm et D 2 589,0 nmC rouge de lhydrogne ............................ 656,3A rouge de loxygne ............................... 759,4A doublet rouge du potassium .................. 768,2 3,90 .10 11 la limite de linfrarouge

5 Base s de l opt ique gomtr ique5.1. Approximation de loptique gomtriqueLutilisation de la notion donde lectromagntique ne permet pas de traiterdes problmes a priori simples comme la formation dune image par une len-tille. En revanche, cette notion permet de justifier le modle gomtrique.

La construction gomtrique du trajet suivi par la lumire permet une tudesimple des systmes optiques courants.

5.2. Notion de rayon lumineux

Nous pouvons assimiler le faisceau dun laser un rayon lumineux.Considrons un faisceau lumineux issu dune source ponctuelle (par exempleune lampe pointe ). Limitons ltendue du faisceau laide dun diaphragme(doc. 13a).Si louverture de ce diaphragme est trs petite, nous isolons un pinceau lumi-neux trs fin ; il sassimile une courbe dcrite par la lumire : le rayon lumi-neux. Le transport de lnergie lumineuse est matrialis par sa trace.La notion de rayon lumineux reste cependant abstraite. Exprimentalement,il est impossible dobtenir un pinceau lumineux infiniment fin. Pour un dia-phragme de diamtre D, de lordre de quelques longueurs donde, le faisceau souvre derrire le diaphragme (doc. 13b) : cest le phnomne de dif-fraction. Louverture angulaire du faisceau (lie au caractre ondulatoire de

la lumire) est de lordre de (doc. 13c).

5.3. Faisceau lumineuxUn faisceau lumineux est lensemble des rayons lumineux passant par un pointunique et une surface donne (doc. 13a).Ces rayons lumineux peuvent tre traits indpendamment les uns des autres.Cest un principe de base de loptique gomtrique. Lexprience suivante meten vidence ce point.

Une lentille donne limage dun objet sur un cran. Le faisceau lumineux issude chaque point source vient converger en un point de lcran (doc. 14a).

Slectionnons des rayons lumineux laide dune diaphragme (doc. 14b). Laluminosit de limage est modifie (attnuation) mais la structure de limagene lest pas, mme lors dune translation du diaphragme.

Le modle gomtrique est valable si les caractristiques des milieuxtraverss varient peu lchelle de la longueur donde.

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S

Doc. 13a. Ralisation dun faisceau.

S

Doc. 13b. Le faisceau souvre.

Doc. 13c. Tache de diffraction obte-nue avec une ouverture circulaire.Louverture q du faisceau est delordre de .

D

cran perc d'un trou

Doc. 14a. Mise en vidence de limage. Doc. 14b. Limage nest pas modifiesi nous translatons le diaphragmedevant la lentille.

diaphragme

5.4. Propagation rectiligne en milieu homogneRalisons lexprience schmatise par le document 15. clairons une formeopaque et observons la forme projete sur lcran.

Lombre porte sur lcran est homothtique de lobjet dans un rapport gal aurapport des distances de la source lumineuse lcran et de la source lumineuse lobjet. Cette observation est en accord avec le principe de propagationrectiligne de la lumire :

Dans un milieu homogne et isotrope, la lumire se propage en lignedroite ; les rayons lumineux sont des droites.

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Doc. 15. Mise en vidence de la pro-pagation rectiligne des rayons lumi-neux dans un milieu homogne.

obstacle

cran

source ponctuelleombre

clipse du Soleil par la Lune

Dans le cas dune source tendue, le passage de lazone dombre la zone claire nest pas immdiatet correspond une zone de pnombre.

Doc. 16.

Un exemple de ce phnomne correspond aux clipsesobserves lorsque le Soleil est occult par la Lune. laide des donnes numriques suivantes, valuer :a) le diamtre de la zone dombre et de pnombre auniveau de la surface de la Terre ;b) la dure maximale dune clipse totale.

Donnes : diamtre de la Terre : d T 12 800 km,diamtre de la Lune : d 3 500 km , rapport du dia-mtre apparent du Soleil celui de la Lune (vus dela Terre) dans des conditions favorables : 0,9 , dis-tance Terre-Soleil : R 1,5 .10 8 km , distance Terre-Lune : r 3,8 .10 5 km .

Le diamtre apprent de la Lune (ou du Soleil) estlangle sous lequel on le voit depuis un point de laTerre q = .

a) Utilisons le thorme de Thals (doc. 17) :

(H : diamtre de la zone dombre),

do H (1 )d 350 km.

De mme, (h : diamtre de la zone

de pnombre), do :

h (1 )d 7 300 km.

Les conditions les plus favorables (a = 0,9) corres-pondent la Lune au prige (cest--dire, le plusprs de la Terre) et la Terre laphlie (cest--dire,le plus loin du Soleil).

Dans des conditions moins favorables (a > 1), le dia-mtre apparent du Soleil est suprieur celui de laLune. Lclipse est alors annulaire.

b) (v : vitesse dun point de la surfaceterrestre due la rotation de la Terre sur elle-mme).

v 0,47 km . s 1 ;

do :

t 12 min.

Application 2

Soleil TerreLune

Soleil

D d

R

r H h

TerreLune

Doc. 17.

6 Lo i s de Sne l l -De s ca r te sW. Snell (1580-1627) tudia le comportement dun rayon lumineux lin-terface de deux milieux. Descartes retrouva indpendamment ces rsulats etles publia en 1637.

6.1. Rflexion et rfraction dun faisceau lumineuxUn faisceau de rayons lumineux parallles se propageant dans un milieu homo-gne arrive sur la surface sparant deux milieux dindices diffrents (doc. 18).

Quobservons-nous ?

Des expriences permettent dtudier quantitativement les phnomnes derflexion et de rfraction.

Si ce mme faisceau arrive sur un miroir, il est compltement rflchi ; il ny apas de rfraction.

6.2. Lois de DescartesSoit un rayon lumineux (rayon incident) arrivant linterface entre deux milieuxdindices diffrents. Cette interface est appele dioptre.

Localement cette surface est assimile un plan (plan tangent) et on dfinitson vecteur normal NM comme le vecteur unitaire perpendiculaire ce plan. Cevecteur dfinit la normale au dioptre .

Le plan dindicence est le plan contenant le rayon lumineux incident et le vec-teur normal NM (doc. 19).

Les lois de Descartes dterminent la direction des rayons rflchi et rfractpar ce dioptre.

Elles prcisent aussi que la frquence de londe rfracte et celle de londerflchie sont identiques celle de londe incidente.

6.3. Lois de la rflexion

Le rayon rflchi est dans le plan dincidence (doc. 20b et 20c).

Le rayon rflchi est symtrique au rayon incident par rapport la nor-male linterface.

Langle de rflexion est gal langle dincidence :

Remarquons que nous avons :

sin i 1 sin i 1 ;

u r

u i

est port par la normale N

; il existe donc un rel a tel queu r

u i

N

, ou encore u rT

u iT

et u rN

u iN

(doc. 20c).

i 1 i 1 .

linterface de deux milieux dindices optiques diffrents (dioptre),un rayon lumineux donne gnralement naissance un rayon rflchiet un rayon rfract, ou transmis, situs dans le plan dincidence.

15


Doc. 19. u i : correspond au rayon inci-

dent ; u r : correspond au rayon rfl-

chi ; u t : correspond au rayon transmis ;

N

la normale au dioptre.

n1

n2

u i

i1

i2

ur

ut

N

T

i '1

Doc. 18.

Doc. 20a. Mise en vidence du plandincidence.

n1

n2

u i

i1

N

T

Doc. 20b. Le rayon rflchi est dansle plan dincidence.

n1

n2

u i

i1 ur

N

T

i '1

Doc. 20c. Dtail des composants deu i et u r .

n1

n2

u iN

u i

i1 i '1

urN

u iT u rT

u rN

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e,MP

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SIL

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6.4. Lois de la rfractionLe rayon rfract est dans le plan dincidence.

Langle de rfraction i 2 est li langle dincidence i 1 par :

Remarquons que nous avons (doc. 21) :

n 2 u t

n 1 u i

est port par la normale N

; il existe donc un rel tel que

n 2 u t

n 1 u i

N

.

6.5. Rflexion totaleLes deux phnomnes de rflexion et de rfraction se produisent en gnralsimultanment. Nous voyons la fois lintrieur dune vitrine de magasin etnotre reflet sur le verre.Les lois de Descartes ne permettent pas de prciser la quantit de lumire rfl-chie par rapport celle transmise. Il existe cependant un cas particulier o toutela lumire est rflchie : la rflexion totale.

Considrons un rayon lumineux se propageant dans un milieu dindice n1 etarrivant dans un milieu moins rfringent (n2 < n1).

La loi de Descartes n1 sin i1 = n2 sin i2 nadmet pas de solution pour i2 si i1 est

suprieur un angle limite iL dfini par sin iL = . Il y a alors rflexion totaledu rayon lumineux.

Le phnomne de rflexion totale est utilis pour canaliser la lumire. Lesampoules de certaines lampes dcoratives clairent ainsi un ensemble detubes transparents souples, dont les extrmits apparaissent comme autant depoints lumineux. Ce principe est utilis dans les fontaines lumineuses o laveine fluide canalise les rayons lumineux (doc. 25). La lumire ne ressort danslair que lorsque le jet se spare en une multitude de gouttes illumines.Cette proprit est aussi utilise dans les fibres saut dindice (doc. 26). Ilexiste une valeur de max de langle q telle que : n1sin i = n 2 en dessous delaquelle la lumire est guide par la fibre.

Un milieu est dautant plus rfringent que son indice est lev.

Un rayon se rapproche de la normale quand il passe dun milieu moinsrfringent vers un milieu plus rfringent (air-verre par exemple).

n 1 sin i 1 n 2 sin i 2

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Doc. 22. Si n2 > n1, le rayon rfract se rapproche de la normale.

n1

n2

i1

i2

n2 n1

n1

n2

i1

i2

n2 n1

n2

n2

n1i i

Doc. 21. Rfraction.u i

: vecteur unitaire du rayon inci-dent ; u t

: vecteur unitaire du rayontransmis ; n 2 u t

n 1 u i est port par

la normale N

.

n1

n2

i1

i2n1u i

n2 u t

u i

n2 n1

N

u t

Doc. 23a. Mise en vidence expri-mentale de rfractions et de rflexionspartielles sur un prisme.

Doc. 23b. Mise en vidence expri-mentale de rflexions totales.

Doc. 25.

Doc. 24. Le rayon bleu dont langledincidence est infrieur iL est par-tiellement rfract, le rayon noir esttotalement rflchi.

indicen2 < n1

indice n1

angle d'incidencepermettant unerfraction partielleiL

Doc. 26.

6.6. Retour inverse de la lumire

Les lois de Descartes ne font pas intervenir le sens de propagation de la lumire.Un rayon lumineux se propageant dans le milieu dindice n 2 avec un angledincidence i 2 est rfract dans le milieu dindice n 1 avec un angle de rfrac-tion i 1 tel que n 1 sin i 1 n 2 sin i 2 .

Ceci est en accord avec le principe de retour inverse de la lumire que nous uti-liserons frquemment (doc. 28) :

6.7. Propagation de la lumire dans les milieuxdindice variable

Nous avons tous observ le phnomne de mirage optique :

la flaque deau que nous observons au bout dune ligne droite goudron-ne par une chaude journe dt, nest en gnral que le reflet du ciel surla route surchauffe ;

en bord de mer, par temps chaud et mer froide, il est possible de voir une leou un voilier au-dessus de lhorizon, ou den voir deux images lune au-des-sus de lautre.

Les lois de Descartes obissent au principe de retour inverse de la lumire :tout trajet suivi par la lumire dans un sens peut ltre en sens oppos.

La rflexion totale ne se produit que dans le cas o le milieu incidentest plus rfringent et pour des rayons assez inclins par rapport lanormale.

Connatre quelques applications de la rflexion totale : fibre optique,prisme dans certaines jumelles, endoscopes

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Rflexion totale avec un prisme 45

Quel doit-tre lindice minimal dun prisme 45pour tre utilis en rflexion totale comme indiqusur le document ci-contre.

Lindice doit vrifier n .

Or i = 45, soit n 1,41.

Avec un verre dindice 1,5 lexprience est donc ra-lisable. Cest ce quon observe sur le document 23b.

Application 3

Doc. 27. Rflexions totales.

45

45

Doc. 28. Les lois de Descartes obis-sent au principe de retour inverse.

n1

n2

i1

i2

n2 n1

n1

n2

i1

i2

n2 n1

Ces deux phnomnes proviennent dune variation importante de la densit delair au niveau du sol lie sa variation de temprature.

Moins lair est dense, plus ses proprits, sont proches de celles du vide. Sonindice diminue donc quand sa temprature augmente pression constante, cequi provoque une courbure des rayons lumineux.

Dans le cas du mirage sur un sol chaud, lindice de lair augmente avec lalti-tude, on parlera de gradient dindice dirig selon la verticale ascendante. Danscelui du mirage sur une mer froide, lindice de lair diminue avec laltitude, onparlera de gradient dindice dirig selon la verticale descendante.

Ce gradient est dautant plus important que les variations dindice se produi-sent sur une petite distance.

Notons que la courbure de ces rayons est faible. Il faut donc en gnral obser-ver ces effets sur de grandes distances et dans des conditions particulires degradient de temprature. La temprature de lair doit varier de quelques degrsau moins sur environ un mtre au-dessus de la surface.

plus grande chelle, il est possible de schmatiser ainsi la trajectoire desrayons lumineux (doc. 29). Le Soleil apparat plus haut que lhorizon, alorsquil est dj couch .

Comment se propage la lumire dans un tel milieu ?

Imaginons le dcoupage dun milieu non homogne en une succession decouches planes homognes dindices diffrents.

En utilisant les lois de Descartes relatives la rfraction lors de chaque chan-gement de milieu, nous obtenons de proche en proche le cheminement du rayonlumineux.

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horizon Terre

Doc. 29. La variation de tempra-ture et de densit lintrieur de lat-mosphre induit des variations din-dice de rfraction de ce milieu. Lesrayons lumineux sont donc courbs.Cet effet contribue remonter limage du Soleil au-dessus de lho-rizon et dcaler les positions rellesdes toiles.

Doc. 30. Propagation dun rayon lumi-neux dans un milieu stratifi :

n 1 n 2 n p .

z

z'

i1

np+1np........n3n2n1

i2

i3

ip

n augmente

Doc. 31a. En t, lair est plus chaud que leau de mer ; ilest alors possible de voir des objets trs loigns.

Doc. 31b. En hiver, lair est plus froid que leau de mer.

Sur le document propos, ces relations donnent successivement :

n1 sin i1 = n2 sin i2 = n3 sin i3 = = np sin ip .

Le produit n sin i est alors une constante indpendante de la strate.

Si n augmente, sin (i ) donc i diminue. Nous remarquons que le rayon sinclinepeu peu dans les zones dindice plus lev.

Dans un milieu dindice variable, le rayon lumineux se courbe et tournesa concavit dans le sens du gradient dindice, cest--dire le sens desindices faibles vers les indices levs.

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Doc. 32a. Photo de mirage (photo de M. Margat, Dsert sud-libyen, avril 2001).

Doc. 32b. Exemple de mirage lorsdune journe chaude.

Doc. 32c. Exemple de mirage lors duncoucher de Soleil.

laser

eau etfluorescine

grad

ient

d'in

dice

Doc. 33. En versant lentement de leausale avec un entonnoir, on cre uneconcentration de sel augmentant avecla profondeur. Lindice de leau crotdonc vers le fond du rcipient.Le faisceau du laser rendu visible parla fluorescine se courbe vers le bas.

LA LUMIRE

La lumire rsulte en gnral de la superposition dondes lectromagntiques de diffrentes longueursdonde. Une lumire monochromatique correspond une onde sinusodale de frquence bien dtermi-ne.

Dans le vide, la lumire se propage dans toutes les directions de lespace la vitesse :c = 299 792 458 m . s1 soit environ 3 . 108 m . s1.

La longueur donde l dans le vide, la frquence n et la priode T sont lies par l = cT = . Le domaine de la lumire visible par lil humain correspond aux longueurs donde comprise entre0,4 mm et 0,8 mm (400 nm et 800 nm).

C Q F R

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C Q F R

Dans les milieux transparents, la lumire se propage la vitesse v = o n est lindice optique du milieu.

Si n dpend de la frquence (ou de la longueur donde) :le milieu est dit dispersif.

La plupart des milieux transparents ont un indice quivrifie assez bien la formule simplifie de Cauchy :

n = A + avec A et B positifs.

On a alors nbleu > njaune > nrouge .

Quelques ordres de grandeurs dindices :

air : n 1 ; eau : n = 1,33 ; verres : n variant de 1,5 1,8 environ.

RAYONS LUMINEUX La propagation de la lumire est base sur lindpendance des rayons lumineux. On les construit en utili-sant les lois de Snell-Descartes.

Dans un milieu homogne et isotrope, la lumire se propage en ligne droite ; les rayons lumineux sont desdroites.

Dans un milieu dindice variable, le rayon lumineux se courbe et tourne sa concavit vers les zones din-dice croissant (sens du gradient dindice).

LOIS DE SNELL-DESCARTES linterface de deux milieux dindices optiques diffrents (dioptre), un rayon lumineux donne en gnralnaissance un rayon rflchi et un rayon transmis (rfract), situs dans le plan dincidence dfini par lerayon incident et la normale locale au dioptre.

Rflexion

Le rayon rflchi est symtrique au rayon incident par rapport la normale linterface.

Langle de rflexion est gal langle dincidence :

i1 = i1 .

Rfraction

Langle de rfraction i2 est li langle dincidence i1 par : n1 sin i1 = n2 sin i2 .

Si n1 < n2, le rayon rfract existe toujours. Il sap-proche de la normale.

Si n1 > n2, il y a rflexion totale lorsque langledincidence i1 est plus grand que langle de rfrac-tion limite iL, tel que sin iL = n2 /n1.

Cette proprit est utilise dans les fibres optiques,les prismes rflexion totale

Si le rayon rfract existe, il scarte de la normale.

Les lois de Descartes obissent au principe deretour inverse de la lumire : tout trajet suivi parla lumire dans un sens peut ltre dans le sensoppos.

couleurlimite de lultravioletvioletbleuvertjauneorangerougelimite de linfrarouge

longueur donde400 nm420 nm470 nm530 nm580 nm600 nm650 nm780 nm

ui u r

u t

Ni1

i2

i '1n1

n2dioptre

Figure ralise avec n1 < n2 .

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Avez-vous retenu lessentiel ?

quel sicle Descartes et Fresnel ont-ils vcu ? quels domaines de loptique se sont-ils intresss ? Quel est le physicien qui a tudi la dcomposition de la lumire ? Quelles sont les grandeurs caractristiques dune onde sinusodale ? Quel domaine de longueurs donde correspond la lumire visible ? Situez linfrarouge et lultraviolet. Quelles sont les couleurs correspondant aux longueurs donde suivantes : l = 550 nm, l = 480 nm ? Quelle est la longueur donde moyenne du rouge ? Dfinir lindice dun milieu. Citez les lois de Snell-Descartes pour la rflexion et la rfraction dun rayon lumineux. Quand peut-on avoir rflexion totale ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

Contrle rapide

1. La limite infrieure du spectre visiblecorrespond une longueur donde denviron : a. 450 mm b. 400 nm c. 500 nm d. Elle correspond lultraviolet e. Elle correspond linfrarouge.

2. Dans un milieu matriel : a. La frquence est augmente b. La frquence est diminue c. La frquence reste identique d. La vitesse de la lumire augmente e. La vitesse de la lumire diminue f. La vitesse de la lumire reste la mme.

3. La rflexion totale peut se produirelors du passage dun milieu dindice n1vers un milieu dindice n2 : a. Si n1 > n2 et pour des angles

dincidence faibles b. Si n1 < n2 et pour des angles

dincidence faibles c. Si n1 > n2 et pour des angles

dincidence importants d. Si n1 < n2 et pour des angles

dincidence importants.

4. Lors de la rfraction sur un dioptre air/eau,un rayon venant de lair : a. Se rapproche de la normale dans leau b. Scarte de la normale dans leau c. Nest jamais rflchi mme partiellement.

Solution, page 27.

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Exercice comment

NONC

I. Modle plan

1) Supposons que lindice du milieu ne dpende que dune coordon-ne z par exemple.

En imaginant le dcoupage de ce milieu en une succession de couchesplanes homognes dindices diffrents (doc. 1), et en appelant i(z)langle que fait le rayon lumineux avec laxe des z en un point, mon-trer que :

a) la trajectoire du rayon lumineux est plane ;

b) le produit n(z) sin i(z) est constant et la concavit du rayon lumi-neux est dirige vers les zones dindice croissant.

2) Lindice dun gaz est une fonction croissante de sa densit.

a) Donner une justification de cette remarque.

b) Par une chaude journe dt, on voit souvent une flaque deau au bout dune ligne droite, qui nest que le reflet duciel Interprter cette observation.

II. Modle sphrique

1) Supposons maintenant que lindice du milieu prsente une symtrie sphrique et ne dpende que de la distance R un point O.

En imaginant le dcoupage de ce milieu en une succession de couches sphriques homognes dindices diffrents, et en appe-lant i(R), langle que fait le rayon lumineux en un point M avec le rayon OM, montrer que :

a) la trajectoire du rayon lumineux est dans un plan contenant O ;

b) le produit R n(R) sin i(R) est constant.

2) a) Le Soleil est dj en dessous de lhorizon quand on le voit se coucher sur locan. Justifier ce rsultat.

b) Latmosphre a une paisseur h denviron 10 km. Lindice n0 de lair au sol est de 1,0003 et le rayon RT de la Terre est de6 400 km.Donner lordre de grandeur de lerreur angulaire entre la position relle et apparente dune toile de position apparente 45au-dessus de lhorizon puis au niveau de lhorizon.Estimer la dure sparant le coucher effectif du Soleil et son passage sous lhorizon au niveau de lquateur et aux quinoxes.

COUP DE POUCE

Modle plan

Les lois de Descartes prcisent que le rayon rfract est dans le plan dincidence.Que peut-on remarquer sur les plans dincidence successifs ?La relation n1 sin i1 = n2 sin i2 se rpte pour les diffrentes couches homognes.

Modle sphrique

1) Le plan dincidence sur une couche sphrique contient le rayon incident et la normale au dioptre.

Le point O est le centre de la sphre. Il est donc sur la normale.

Pour montrer le relation R . n(R) sin i(R) = cte, il faut montrer que R1 n1 sin i1 = R2 n2 sin i2 avec les notations du document 2.

Propagation de la lumire dans un milieudindice variable stratif

Doc. 1. n 1 n 2 n 3 .

z

z '

i1

i2

i2

i3n3

n2

n1

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COMMENTAIRES

Ne pas se lancer dans des calculs avantdavoir rflchi aux connaissances quevous pouvez employer . ce niveau du cours, il ny a que les loisde Descartes.

En physique, une explication et un des-sin sont souvent plus efficaces quunlong calcul.En particulier, il est impensable de selancer dans un calcul de concavitcomme dfinie en mathmatiques.

Ne jamais ngliger les questions quali-tatives, elles montrent votre sens phy-sique. Rester tout de mme concis dansvotre rponse !

partir de la formule des gaz parfaits :P V = n R T, on remarque que la concen-tration n/V (inverse du volume molaire)est une fonction croissante de la pres-sion et dcroissante de la temprature.La densit dun gaz est dfinie par lerapport de son volume molaire sur levolume molaire de lair dans les condi-tions normales de temprature et de pres-sion.

Attention, dans le modle sphrique,langle dincidence sur un dioptre estdiffrent de langle de rfraction sur ledioptre prcdent

Deux formules sur les triangles sont trsutiles :

a2 = b2 + c2 2 b c cos a

2) Lerreur angulaire est langle entre le rayon avant rfraction et aprs rfractionsur latmosphre et non la diffrence des angles avec la normale.

Attention la culture gnrale :

Lors des quinoxes (printemps et automne) le Soleil est dans le plan de lquateur,donc ce sont les deux jours o, lquateur, le Soleil passe par la verticale (znith).

Lors des solstices, on observe ce phnomne au niveau des tropiques (nord pourlt et sud pour lhiver).

Daprs cette remarque, le lien entre lerreur angulaire et la dure sparant le cou-cher de Soleil effectif et thorique est ici simple.

SOLUTION

1) a) Le plan de la figure (doc. 1) est dfini par laxe zz et le rayon incident. Cestle plan dincidence. Aprs rfraction, le rayon reste dans ce plan (loi de Descartes).En raisonnant sur les couches successives, ce plan contient le rayon aprs ses rfrac-tions par les diffrentes couches. La trajectoire est plane.

b) La seconde loi de la rfraction permet dcrire n1 sin i1 = n2 sin i2 puis, commeles couches sont parallles : n2 sin i2 = n3 sin i3 donc, finalement : n1 sin i1 = nksin ik quelle que soit la kime couche considre. nk sin ik est donc une constante.Ce raisonnement est valable la limite de couches infiniment minces et dans ce casn sin i = cte.

Sur cette formule, on remarque que sin diminue i augmente (sin x est unefonction croissante de x). Le rayonlumineux est de plus en plus inclinpar rapport laxe zz.

2) a) Lindice de lair sous conditions normale est de 1,0003, celui du vide est de1. Il est normal que plus la densit de lair devient faible, plus ses proprits se rap-prochent de celles du vide, donc son indice diminue pour se rapprocher de 1.

b) Le revtement dune route est sombre, donc absorbe le rayonnement solaire. Satemprature peut tre leve (> 50 C parfois ). Lair au niveau de la route est doncplus chaud donc moins dense. On aboutit ainsi au rsultat du document 4.

O

M

R1

n1

n2

i1

i2

R2

Doc. 2.

Doc. 4.

i

indicescroissants

n faible,i important

n lev,i faible

i

Doc. 3. Allure du rayon lumineux.

objetz

z 'sol

24

Ha

chet

teLiv

reH

Prpa

/Opti

que,

1rean

ne,

MPS

I-PCS

I-PTS

ILa

phot

ocop

ieno

naut

oris

eest

und

lit


Penser tracer un schma : langle dedviation des rayons provenant du Soleilou de ltoile nest pas i. Pour senconvaincre, regarder le schma ci-contre(doc. 5) !

Il ne faut pas chercher tout prix uneexpression littrale lors dune applica-tion numrique. Ici q na pas dexpres-sion simple en fonction de i, il ne fautpas poursuivre le calcul littral.

En optique, les angles sont donns endegr, minute () , seconde () darc :

60 = 1 et 60 = 1.

Attention ne pas confondre :

le jour solaire : dure du jour solaire24 h (rotation du Soleil dans le rfren-tiel terrestre) ;

le jour sidral : dure du jour sidral23 h 56 min (rotation dune toile dansle rfrentiel terrestre).

Cest partir de celui-ci quest calcu-le la vitesse de rotation de la Terre uti-lise en mcanique.

a

b

c

II. Modle sphrique

1) a) Soit le plan contenant le rayon incident et le point O. Le point M appartientau rayon donc ce plan. OMO est la normale au dioptre, donc ce plan est le plandincidence. Le raisonnement est ensuite identique celui de la premire partie.Le rayon est dans un plan contenant O.

b) Avec les notations de document 1 et en notant a langle dincidence sur le dioptren1/n2 : n1 sin a = n2 sin i2.

La formule sur les sinus des angles dun triangle donne do la rela-tion n1 R1 sin i1 = n2 R2 sin i2.De faon identique la premire partie, on en dduit que n R sin (R) = cte.

2) a) Lindice de lair dcrot avec laltitude car sa densit diminue. Les rayons pro-venant du Soleil se courbent donc comme sur le document 5.Le Soleil peut donc tre vu sous lhorizon (plan horizontal contenant les yeux).

b) Daprs 1) sin i = n0 sin i .

Daprs le document 5, i = D + i q , soit : D = i + q i .

De plus : .

Ceci permet de dterminer D en fonction de i.

Donnes :

Pour un angle de 45, la dviation est assez faible ; pour 90, sa valeur est non ngli-geable.

Lors de lquinoxe et au niveau de lquateur, le Soleil dcrit un cercle passant parle znith la vitesse angulaire de 2p/86 400 rad/s ou 15/h. 19 darc reprsententdonc un temps de 19/15 1,3 min. Cette dure est plus faible que ce qui est sou-vent observ car ce modle trop simpliste considre que latmosphre est homo-gne. Un modle avec des couches dindice dcroissant avec laltitude donne desretards plus importants.

D

i

i'

h

RT

RT

Doc. 5.

i

45

90

i

4456

877

q

5

312

D

1

19

25


Construction de rayons lumineux

1) Construction de DescartesUn rayon lumineux arrive en un point O la surface dundioptre plan (les milieux de part et dautre du plan ont desindices n1 et n2).Tracer deux cercles de centre O et derayons n1 et n2.Montrez en utilisant les lois de Descartesquon peut construire le rayon rfract dans le milieu 2.On envisagera les cas n1 < n2 et n1 > n2.

2) Construction de HuygensIl est possible dobtenir une autre construction gom-trique du rayon rfract en considrant :

des cercles de rayon et ;

les droites tangentes ces cercles.

Justifier la construction suivante :

Observation dun thermomtre

Soit un thermomtre constitu dun tube cylindrique enverre dindice n, de rayon extrieur R et de rayon intrieurr, rempli de mercure.Un observateur regarde ce thermomtre sans fatigue, cest--dire que le faisceau lumineux qui arrive sur lil est pra-tiquement parallle. quelle condition lobservateur voit-il uniquement le mercure ?

Une question de sens physique

L indice de rfraction du diamant est lev (2,4). Lindicedun diamant de pacotille en verre est plus faible (indice1,7) mais le verre choisi est trs dispersif.Il arrive que des gens sy trompent.En revanche, si on place les deux diamants , le vrai etle faux, dans du sulfure de carbone (indice 1,6), le vraidiamant continue briller alors que le faux diamant nestpratiquement plus visible.Pourquoi ?

Mesure de la distance Terre-Lune

Pour mesurer avec prcision la distance Terre-Lune, onmet une impulsion laser depuis la surface de la Terre, endirection dun rflecteur catadioptrique pos sur la Lunequi renvoie vers la Terre la lumire quil reoit. La mesuredu temps T coul entre lmission et la rception du signalpermet de dterminer la distance Terre-Lune.

1) Le rflecteur pos sur la Lune est un coin de cube,ensemble de trois miroirs plans identiques A, B et C for-mant les trois faces dun tridre rectangle Ixyz. Montrerquun rayon lumineux mis de la Terre et arrivant sur lecoin de cube est renvoy aprs trois rflexions sur lesmiroirs A, B et C dans la direction exactement oppose,quelle que soit lorientation du tridre.

2) Les diffrents rayons lumineux issus du tlescope sontmis uniformment dans un cne de demi-angle au som-met a = 2 105 rad. Dautre part, le faisceau de retour pr-sente une divergence due la diffraction qui a lieu lors dela rflexion sur le coin de cube. On peut estimer que ledemi-angle au sommet du cne de retour est donn para= l /l avec l une dimension caractristique des miroirsdu rflecteur.

Donnes Surface apparente du coin de cube : s = 1 cm2. Surface du rcepteur sur la Terre : s= 1,8 m2. Longueur donde de la lumire laser : l = 0,53 mm. Dimension caractristique des miroirs : l = 1 cm. Distance moyenne Terre-Lune : d = 3,84 . 105 km.

a) Si n0 est le nombre de photons mis lors dune impul-sion du laser, quel est le nombre n de photons reus par lecatadioptre ? Quel est le nombre de photons reus en retourpar le rcepteur sur Terre ? En dduire lordre de grandeurde la fraction de la puissance lumineuse mise depuis laTerre qui est recueillie son retour dans le rcepteur (onnglige dans ces calculs les effets lis latmosphre etles pertes la rflexion).b) Lnergie dun photon de longueur donde l este = hc /l. Le laser met chaque impulsion une nergielumineuse E de 0,3 J. Quel est le nombre moyen de pho-tons revenant chaque impulsion sur la Terre ? Conclure.Donnes : h = 6,62 1034 Js (constante de Planck) etc = 3 . 108 ms1.

Larc-en-ciel

Une goutte deau sphrique dindice n est claire par leSoleil suppos ponctuel. Soit DN la dviation algbrique

n1

i1

i2

n2B A

PO

1/n1

1/n2

Exercices

Ha

chet

teLiv

reH

Prpa

/Opti

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1rean

ne,

MPS

I-PCS

I-PTS

ILa

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und

lit

Exercices

26

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ILa

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lit

totale dun rayon pntrant sous lincidence i et mergeantaprs N rflexions internes (N = 0 sil ny a pas rflexion)(doc. 1).

Doc. 1.

1) Exprimer DN en fonction de i, r et N.

2) Montrer que, quand i dcrit lintervalle , DN ne

peut avoir dextremum que dans le cas N > 1 et que, dansce cas, lextremum est unique. On dsigne par DmN la valeurextrmale de DN et par i

mN la valeur correspondante de i.

Calculer numriquement i mN et DN pour N = 1 et N = 2, enprenant n = 1,33.

3) Interprter simplement la prsence de cet extremum enterme de quantit de lumire reue par lil dun obser-vateur plac une grande distance de la goutte. Que peut-on dire des rayons qui mergent directement sans rflexioninterne ?

4) On suppose la prsence de gouttes de pluie uniform-ment rparties dans lespace, avec les hypothses faites :absence de dispersion, Soleil ponctuel.a) Quelle est la rpartition gomtrique des gouttes quiapparaissent brillantes un observateur aprs N rflexionsinternes (arc-en-ciel dordre N) ?b) Comment la prsence du sol peut-elle limiter le ph-nomne ?c) Calculer numriquement (en prenant n = 1,33) les dia-mtres angulaires pour N = 1 et N = 2, valeurs qui corres-pondent quasiment aux seuls arcs-en-ciel visibles. Prciserle domaine des hauteurs du Soleil au-dessus de lhorizonpour lequel le phnomne est observable.

5) On tient compte maintenant de la dispersion. Calculernumriquement la variation de rayon apparent des arcs-en-ciel dordre un et deux entre les couleurs extrmes, delongueurs donde 0,8 mm et 0,4 mm pour lesquelles onprendra respectivement :

n0,8 = 1,33 5 . 103 et n0,4 = 1,33 + 5 . 103.Faire un schma indicatif de ce qui est vu par lobserva-teur, en prcisant la succession des couleurs.

6) Indiquer qualitativement comment sont modifis lesrsultats si on tient compte du diamtre apparent du Soleil(0,5).

Dbit dinformationsdans une fibre optique

Une fibre optique saut dindice est constitue dun curen silice dindice n1 entour dune gaine dindice n2.Elle permet de transporter des informations par modula-tion de lamplitude dun faisceau lumineux confin lin-trieur de la fibre par rflexion totale.

1) Attnuation dans la fibreLes pertes par transmission X sont exprimes en dB . km 1.

On rappelle que X dB 10 log , avec P1 puissance

optique lentre de la fibre et P2 puissance optique aubout dun kilomtre de parcours.Vers 1970, lattnuation tait de 10 dB . km 1. Actuellement,une attnuation de 0,005 dB . km 1 est courante. Dans lesdeux cas, exprimer en % les pertes au bout dun km.

2) Fibre saut dindiceOn envisage le cas dune fibre saut dindice.a) Le plan dincidence dun rayon SI se propageant danslair et tombant sur la fibre est le plan du schma ci-dessous :

Montrer que si i reste infrieur un angle a , un rayonpeut tre guid dans le cur.On appelle ouverture numrique (O.N.) la quantit sin a .

Exprimer O.N. en fonction de n 1 et = .

Donnes : 10 2 et n 1 1,5 .

b) Une impulsion lumineuse arrive t 0 , au point O(r 0 ) sous la forme dun faisceau conique convergent,de demi-angle au sommet i ( i a ).Pour une fibre de longueur , calculer llargissementtemporel t de cette impulsion la sortie de la fibre. Exprimer t en fonction de , n 1 , c et i . Quelle quantit dinformations, cette fibre peut-elle trans-mettre par seconde ?Donnes : 10 km, i 8 et n1 1,5 .

i

r

Soleil

+

O

A1D1

A0

z

r

gaine

gaine

airn = 1

i

a b

S

I

27

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MPS

I-PCS

I-PTS

ILa

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und

lit


1)

Soit P le point dintersection entre le cercle de rayon n1 et le prolongementdu rayon incident. On appelle H sa projection sur le dioptre.

Daprs les lois de Descartes, le rayon rfract appartient au plan dincidence etvrifie :

n1 sin i1 = n2 sin i2.

Or OH = n1 sin i1 .

Dans le cas o n1 < n2, on constate quil existe toujours un point Q du cercle derayon n2 tel que H soit aussi son projet sur le dioptre avec OH = n2 sin i2. Lerayon rfract passe donc par le point Q.

Dans le cas o n1 > n2, le point Q nexiste pas toujours.

Si i1 > iL tel que n1 sin iL = n2, il y a rflexion totale.

2) OA PA et OB PB . OP = , soit n 1 . sin i 1 n 2 . sin i 2,

en remarquant que langle est gal i2 et i1 (angles cts perpen-diculaires).

Soit un rayon mergeant du tube en M sous langle i. Dans le verre, il avait uneinclinaison i par rapport OM avec : n sin i= sin i.Soit H la projection orthogonale de O sur le rayon dans le verre :

OH = R sin i.Si OH > r, ce rayon provient dun point du tube de verre.Si OH < r, ce rayon provient dun point du tube intrieur contenant le mercure.On examine le cas OH > r, on a alors R sin i> r.R sin i/n > r ou encore sin i > nr /R.Si on choisit nr > R, sin i nexiste pas.Les seuls rayons qui peuvent merger dutube sont ceux qui proviennent du tube intrieur rempli de mercure.

Remarque : Le tube intrieur est vu plus large quil nest en ralit, on a un effetde loupe.

Regardons dabord ce qui se passe dans lair.

Pour le vrai diamant : sin iL = ; iL = 24,6 .

lentre du vrai diamant, le milieu est dispersif : les diffrentes longueurs dondede la lumire se sparent. Par suite de rflexions totales multiples sur les facettesdu diamant, ces diffrentes longueurs donde sortent par des faces diffrentes, cequi donne son clat au vrai diamant.

Pour le faux diamant : sin iFL = ; iFL = 36 .

lentre du faux diamant, la lumire est disperse de faon important mais lenombre de rflexions totales subies par les rayons lumineux est moindre. Les dif-frentes longueurs donde ressortent aprs quelques rflexions totales par desfacettes diffrentes.Si on se place maintenant dans le sulfure de carbone.

Pour le vrai diamant : sin iVLCS2 = ; iVLCS2

= 41,8 .

Dans le vrai diamant, on aura encore suffisamment de rflexions totales pour quilgarde de lclat. Pour le faux diamant : sin iFLCS2 = ; i

FLCS2

= 70,3 .

On na presque plus de rflexions totales. Le faux diamant a perdu tout son clat.

Remarque : Il est possible de faire cette exprience avec de leau dindicen 1,33 .

1) Soit un le vecteur directeur du rayon incident mis de la Terre.

Dans le tridre Ixyz , un a pour composantes (ux, uy, uz).Lors de la rflexion sur un miroir, seule la composante normale du vecteur direc-teur est change pour prendre une valeur oppose celle de dpart. Ainsi :

ii

H

O

M

iL iL

O

n1

n2

n1n2

Q

P

H

iL

O

milieu d'indice n1

milieu d'indice n2

n1n2

Q

P

HO

i

milieu d'indice n1

milieu d'indice n2

n2n1

i2

i1

Q

P

HO

milieu d'indice n1

milieu d'indice n2

Solution du tac au tac, p. 21.1. Vrai : b et d Faux : a, c, e2. Vrai : c et e Faux : a, b, d, f3. Vrai : c Faux : a, b, d4. Vrai : a Faux : b, c

Corrigs

(ux, uy, uz) ( ux, uy, uz)

( ux, uy, uz) ( ux, uy, uz)

On se convaincra aisment que lordre des rflexions sur A, B et C est sans impor-tance. Le rayon qui repart vers la Terre a donc la direction u.

2) a) Raisonnons en nombre de photons. Langle a tant petit, les n0 photons dedpart se retrouvent rpartis uniformment la distance d sur une surface envi-ron gale p (da)2. Le rcepteur a une surface s, il reoit donc :

n = s /(pd2a 2) n0 photons.Le rcepteur sur Terre ayant une surface s, il reoit en retour :

n= s/(pd2a2) n photons.La fraction de puissance lumineuse en retour est donc :

r = n/n0 = ss/(p2d4a2a2) = 7,5 1022 .2 b) On peut calculer n0.

n0 = E/e = 8 1017.Ce qui donne : n= 6 104 !!! Cest trs peu.

Dans la ralit, on utilise une centaine de catadioptres et on obtient un photon enretour tous les cent tirs environ.

1) Quand le rayon pntre dans la goutte, il est dvi dun angle (i r) ;

chaque rflexion, il tourne dangle (p 2r) ; en sortant enfin, il est encore dvidun angle (i r). Au total, aprs N rflexions (doc. 2), la dviation du rayon vautdonc :

DN = 2i 2r (1 + N) + Np

2) En diffrenciant sin i = n sin r, on obtient :

Doc. 2.

Par suite, la drive de la dviation DN :

sannule pour n cos r = (1 + N) cos i, soit pour :

cest--dire, pour un angle dincidence i = i mN vrifiant :

cos2 i mN = .

Cette condition est effectivement satisfaite si 0 < cos2i < 1, ce qui impose N 1,car n < 2.

Pour N donn, cet extremum est videmment unique et on peut vrifier que cetextremum est un minimum (en calculant la drive seconde par exemple).

Application numrique pour N = 1, i m1 = 59,6, D

m1 = 137,5 ;

pour N = 2, i m2 = 71,9, Dm2 = 230,1.

3) Tous les rayons ayant une incidence iN variant assez largement autour de lavaleur i mN vont subir une dviation quasiment gale D

mN et il y aura donc accu-

mulation de lumire dans cette direction (pour N 1).Ce ne sera pas le cas, bien sr, des rayons qui traversent la goutte sans subir derflexion interne, puisque la dviation D0 ne prsente pas dextremum.

Doc. 3.

4) a) Parmi toutes les gouttes de pluie, celles qui ralisent la dviation minimaleD mN apparaissent brillantes lobservateur. Le phnomne tant de rvolutionautour de laxe (SAS) (doc. 3) parallle aux rayons incidents, les rayons mer-gents GA engendrent une surface conique de sommet A et les goutes brillantes se rpartissent sur un arc de cercle .

Remarque : En fait, la lumire solaire nest que partiellement rflchie par lesgouttes de pluie, et on ne peut observer que les deux premiers arcs, le premier arc(N = 1) tant dailleurs beaucoup plus lumineux que le second (N = 2) qui, par-fois mme, passe inaperu (doc. 4).

b) Larc-en-ciel ne peut tre observ que lorsquil est au-dessus de lhorizon,cest--dire si la hauteur du Soleil au-dessus de lhorizon est infrieure :

aN = |p D mN | (doc. 3).c) Les diamtres angulaires des deux arcs visibles valent pour :

N = 1, a1 = 42,5 ; pour N = 2, a2 = 50,1.Pour les observer, il faut donc que la hauteur du Soleil au-dessus de lhorizon soitinfrieure 42,5 pour le premier axe, et 50,1 pour le second (les arcs-en-cielsont souvent visibles en soire ou en matine).

5) Pour N donn, DN = 2i 2r(1 + N) + Np , avec sin i = n sin r.Supposons quon se place au minimum de dviation :

D mN = 2imN 2r

mN (1 + N) + Np

sin i mN = n sin r nN et cos2i nN = .

brouillard

S

S

A

G

direction des rayonsprovenant du Soleil

a N

DN

i

r

O

G

D1

N = 1


Corrigs

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rflexion sur A rflexion sur B

rflexion sur C

lmm0,8

0,4

n

1,325

1,335

i m11,045

1,035

i m21,258

1,253

r m10,7113

0,6998

r m20,8012

0,7916

D m12,387

2,412

D m23,992

4,039

29

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DD m1 = 1,43 et DD m2 = 2,69.

Lorsquon passe du rouge (l = 0,8 mm) au bleu (l = 0,4 mm), n crot et D mN crot.Pour N = 1, a1 = p D m1 : le bleu se trouve vers le centre de larc, le rouge verslextrieur.Pour N = 2, a2 = D m2 p : les couleurs sont inverses (doc. 4 et 5).

On note galement que la rgion du ciel situe entre les deux arcs paratra plussombre (espace sombre dAlexandre) puisque les rayons lumineux saccumu-lent sur les deux arcs.

Doc. 4.

Doc. 5.

6) En tenant compte du diamtre apparent du Soleil, les arcs lumineux corres-pondant aux diffrentes couleurs ont une certaine largeur (de lordre de 0,5) etvont se chevaucher : lobservateur ne voit donc pas des couleurs trs pures .

1) Si X = 10 dB, = 101, P2 est gale 10 % de P1.

Il y avait, en 1970, 90 % de pertes au bout dun kilomtre de fibre.Si X = 0,005 dB,

= 100,0005 = 99,9 %.

De nos jour, les pertes sont de lordre de 0,1 % au bout dun kilomtre de fibre.

2) a) Un rayon est guid dans le cur sil subit des rflexions totales.

Au point A, il faut donc que sin q 2 > .

En I : sin q i = n1sin q 0 = n1 cos q2.Si sin q2 :

cos q 2 et sin q i .

Soit qi qa avec sin qa = = n1 = O.N.

A.N. : O.N. = 0,21, ce qui correspond qa 12.b) Pour un rayon lumineux qui arrive sous incidence nulle, le temps de parcoursest t1.

t1 = n1 .

Pour un rayon lumineux qui arrive sous lincidence nominale qi, le temps de par-cours est t2.

t2 = (OA + AB + BC ) = .

Do :

Dt = t2 t1 = =

Dt = 2,17 107 s.On ne peut pas envoyer dinformations spares par des temps infrieurs Dt carelles se recouvriraient.Ceci donne donc une quantit de 4,6 106 dinformations/seconde ce qui est trsinsuffisant pour les besoins actuels : une ligne ADSL classique permet untransfert de 512 Mo (soit plus de 4109 bits) par seconde !Cest pour remdier en particulier llargissement des impulsions que lon afabriqu des fibres gradients dindice (n varie en fonction de r). Le cur de lafibre est, en fait, constitu dun grand nombre de couches (une cinquantaine) din-dices dcroissants.

z

r

C

n1

n2

n2

i

2

0

I

A

B

rouge

bleu

bleurouge

N = 2

N = 1


vers lobservateur

ordre 2

ordre 1

D2m = 230

i 2m

i1m

1 = 42

2 = 50

D1m = 137

30

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Notions dobjet,dimage,de stigmatismeet daplantisme

2

Lil nest sensible qu la direction des rayonsqui latteignent.

Quattend-on dun appareil doptique ?Lobservation de deux toiles voisines est dlicate lil nu : une lunette permet daugmenter la dis-tance angulaire dobservation.Ltude dun mcanisme de montre est dlicate lil nu ; une loupe permet daugmenter encore ladistance angulaire dobservation du mcanisme.Le rle de ces appareils est donc de crer uneimage, permettant une augmentationde la distance angulaire dobservation dun objet,que celui-ci soit linfini, ou distance finie.Cette image doit tre situe correctement par rap-port lil.

Ces deux appareils seront de bonne qualit si : limage dun point est un point : lappareil seradit stigmatique ; les points situs dans un plan de front de lappa-reil donnent des images nettes dans un plan defront : lappareil sera dit aplantique.

O B J E C T I F S Notions dobjet et dimage rels et vir-tuels.

Objets tendus et images tendues.

Stigmatisme et aplantisme.

P R R E Q U I S Lois de Descartes.

1 Source s de lumi re e t r cepteur s1.1. Sources primaires et secondaires

Lil est un rcepteur qui ne peut voir que des objets lumineux soit parce quilsmettent de la lumire, soit parce quils la diffusent.

Pour les voir, il est ncessaire que des rayons lumineux partant de ces objetsarrivent sur lil.

Ces objets sont appels sources primaires (mission directe de lumire) etsources secondaires (mission de lumire par diffusion).

Exemple de quelques sources.

1.2. Objets ponctuels et tendus

Un objet tendu distance finie peut tre dfini par sa taille alors que cestimpossible pour un objet strictement linfini.La taille des objets tendus trs grande distance ne prsente pas dintrt enoptique. Un sommet de 2 000 m de haut 10 km de nous parat plus grand quele mont Blanc 50 km.Le paramtre intressant est souvent la taille angulaire de cet objet. Elle estdfinie comme langle a sous lequel lobjet est vu : a = .

Attention

Un miroir, une lentille ou tout autre instrument doptique nest pas unobjet. Sil est parfait (cest--dire parfaitement propre), il ne diffusepas la lumire et on ne le voit pas.

31

2. Notions dobjet, dimage, de stigmatisme et daplantisme

sources primaires

le Soleil une lampe un laser

sources secondaires

la Lune le ciel une feuille de papier

nature de lobjet objet ponctuel objet ponctuel objet tendu objet tendu distance finie linfini distance finie linfini

exemples

remarques

le pixel dun cran de tlviseur ;avec une approximation gros-sire, la flamme dune bougie...

une toile un cran de tlviseur le Soleil

un point sur une feuille de papier un arbre, une photo

ces objets tendus peuvent tre considrs commetant constitus dune infinit dobjets ponctuels,(indpendants les uns des autres, situs distance finieou linfini)

la Lune

sources primaires

sources secondaires

Doc. 1. Une bougie est une source pri-maire.

bougie

Doc. 2. La feuille de papier est clai-re par de la lumire : chaque pointdiffuse de manire indpendante. Tousles points clairs peuvent tre vus parlil.

feuille de papier

lampe

d

r

a

Doc. 3. Hac

hette

Livre

HPr

pa/O

ptiqu

e,1re

ann

e,M

PSI-P

CSI-P

TSI

Laph

otoc

opie

nona

utor

isee

stun

dlit

32


Doc. 6. Loi de Descartes.Figure plane : i r .

N

i r

Doc. 7. Lil voit la bougie parrflexion dans le miroir.

bougie

miroir

image de labougie

Par exemple, la Lune de diamtre 3,5 106 m et le Soleil de diamtre 1,4 109 mdistants respectivement de la Terre de 3,8 108 m et de 1,5 1011 m ont des dia-mtres angulaires voisins de lordre de grandeur de 102 rad. Cest pourquoiles clipses totales de Soleil sont possibles.

1.3. Les rcepteurs de lumireLes rcepteurs les plus simples sont constitus dlments photosensibles rpar-tis sur une surface sensible.

Ces rcepteurs fournissent un signal fonction de leur clairement dans undomaine de longueurs donde caractristiques.

La rtine de lil, les cellules photo-lectriques, les capteurs CCD (ChargeCoupled Device ou dispositif transfert de charge) utiliss dans les cam-scopes en font partie.

Des rcepteurs plus complexes associent un systme optique un rcepteurplus simple. Par exemple, lil est constitu dun systme optique (cristallin),dun milieu intermdiaire transparent (corps vitreux) et dune surface sensible(rtine).

1.4. Ce que voit un rcepteur de lumireUn rcepteur de lumire voit limage qui se forme sur sa surface sensible.

Lorsque lil regarde un objet travers un systme optique, il reoit des rayonslumineux provenant des diffrents points de cet objet. laide du cerveau, illocalise cet objet en fonction des rayons qui pntrent dans lil :

Limage est nette si ce point dintersection est suffisamment loin en avant delil (plus dune vingtaine de centimtres environ).

2 Not ion d ob j e t e t d imageServons-nous du miroir plan pour prciser la notion importante dobjet etdimage pour un systme optique.

Un miroir plan est une surface rflchissante plane. Un rayon lumineux arri-vant sur cette surface est rflchi en obissant aux lois de Descartes que nousavons vues dans le chapitre prcdent (doc. 6).

2.1. Point objet rel et point image virtuelleLorsque nous observons une bougie par rflexion dans un miroir, nous pou-vons voir lobjet (la bougie) et son image (la bougie vue dans ou tra-vers le miroir) (doc. 7, 8 et 9).

Lobjet BEn premire approximation, la bougie est une source ponctuelle : nous dironsquelle est un objet ponctuel B distance finie.

Pour chacun des points de la source, lil voit une image situe aupoint dintersection des rayons qui latteignent.

caustique

A

A'

Doc. 4. Effet de mirage. Lil nestsensible qu la direction des rayonsqui latteignent ; il voit doncquelque chose en A, point do sem-blent provenir les rayons.

Doc. 5. Exemple de mirage.

Ha

chet

teLiv

reH

Prpa

/Opti

que,

1rean

ne,

MPS

I-PCS

I-PTS

ILa

phot

ocop

ieno

naut

oris

eest

und

lit

33

Ha

chet

teLiv

reH

Prpa

/Opti

que,

1rean

ne,

MPS

I-PCS

I-PTS

ILa

phot

ocop

ieno

naut

oris

eest

und

lit


Remarque

Les rayons lumineux issus de la bougie se dirigent vers le miroir. Le faisceaulumineux provenant de la bougie est divergent au niveau du miroir. Nous qua-lifierons cet objet de rel vis--vis du miroir.

On peut placer un cran au voisinage de la bougie pour masquer son imagevue travers le miroir. Cest un second argument pour qualifier cet objet derel vis vis du miroir.

Limage B

Les rayons issus de la bougie sont rflchis par la surface du miroir et semblentprovenir dun point B. Nous dirons que limage de la bougie travers le miroirest une image ponctuelle B distance finie.

Remarques

Lil ne peut voir B que sil reoit des rayons rflchis : lil semble regar-der travers une fentre de la forme du miroir. La visibilit de B dpend dela position de lil par rapport au miroir.

Les rayons lumineux sortent du miroir en semblant provenir de B. Le fais-ceau lumineux rflchi par le miroir est divergent. Nous qualifierons cetteimage de virtuelle vis--vis du miroir.

Lil ne peut observer directement cette image B sur un cran, car les rayonssemblent provenir de B (ils ne se dirigent pas vers B) : ceci est un secondargument pour qualifier cette image de virtuelle vis--vis du miroir.

Pour le miroir plan, B est une image ponctuelle virtuelle distance finie.

Remarquons que tous les rayons issus de B et interceptant le miroir sem-blent provenir de B aprs rflexion sur le miroir.

La proprit : un point a pour image un point est lie au stigmatisme quenous tudierons par la suite.

B est limage de B et lon notera :

Bmiroir plan

B .

cet il voit B

miroir plan

B B'

cet ilvoit B' le domaine d'observation

de B' dpendde la dimension du miroir

miroir plan

B B'

cet ilvoit B'

Doc. 8. Lil bien plac peut voir B et B. Doc. 9. Lil doit tre correctement plac pour voir B.

2.2. Point objet virtuel et point image rel distance finie

Soit un faisceau de lumire convergent mis par une lampe torche (doc. 11).Les rayons issus de cette lampe, suppose idale , se dirigent vers un pointA. Nous mettons en vidence lexistence de ce point laide dun cran placen A. Visualisant ce point, nous dirons que cest un objet rel (secondaire).Notons ici la diffrence avec le cas prcdent, la bougie, o cet cran taitinutile.

Plaons un miroir sur le trajet des rayons (doc. 12). Nous ne voyons plusen sur lcran, bien que les rayons incidents soient toujours les mmes :cet objet est devenu virtuel.

Lobjet A

A est un objet ponctuel distance finie.

Remarques

Les rayons arrivant sur le miroir ne sont pas issus de A mais se dirigent versA. Le faisceau lumineux provenant de la lampe est convergent au niveau dumiroir. Nous qualifierons cet objet de virtuel vis--vis du miroir.

34

Ha

chet

teLiv

reH

Prpa

/Opti

que,

1rean

ne,

MPS

I-PCS

I-PTS

ILa

phot

ocop

ieno

naut

oris

eest

und

lit


lampe cran

A

lampe

A

cranmiroir

Doc. 12. Le miroir tant en place, lil ne peut plus voirA sur lcran : A est virtuel pour le miroir.

Doc. 11. Lil voit A si le miroir est absent.

Ha

chet

teLiv

reH

Prpa

/Chim

ieL

apho

toco

pieno

naut

oris

eest

und

lit

Peut-on se voir entirementdans un miroir ?

Un homme est une hauteur h . Ses yeux sont pla-cs une distance suppose ngligeable pour facili-ter les calculs sous le sommet de son crne. Il dsirese voir entirement par rflexion travers un miroirplan la distance en face de lui.

Quelle est la taille minimale du miroir et quellehauteur doit-il le placer ?

Le miroir est la distance et limage de lhomme la distance 2 . Le champ dobservation doit trecelui indiqu sur le document 10.

En utilisant Thals, la hauteur minimale du miroir estde et le bas du miroir doit tre situ du sol.

Application 1

h

domaineminimal

d'observationde l'image

Doc. 10. Place et dimension dun miroir permet-tant de se voir entirement par rflexion.

Lil ne peut plus mettre en vidence A directement sur un cran lorsque lemiroir est prsent : celui-ci empche lobservation de A. Ceci est un secondargument pour qualifier cet objet de virtuel vis--vis du miroir.

Pour le miroir plan, lobjet A est un objet ponctuel virtuel distance finie.

Limage A (doc. 13)

Tous les rayons rflchis par la surface du miroir se dirigent vers un point A.Nous dirons que limage A de A travers le miroir est une image ponctuelle distance finie. Cette image peut tre mise en vidence directement sur uncran : limage A est relle.

Remarques

Les rayons lumineux sortent du miroir en se dirigeant vers A. Le fais-ceau lumineux rflchi par le miroir est convergent. Nous qualifierons cetteimage de relle vis--vis du miroir. Lil peut observer directement cette image sur un cran (doc. 14) : les rayonsse dirigent vers A. Ceci est un second argument pour qualifier cette image derelle vis--vis du miroir.

Pour le miroir plan, A est une image ponctuelle relle distance finie.

Remarquons que tous les rayons se dirigeant vers

Documents

livre : optique géométrique