Localisation des courbes anormales et couples de tenseurs de Poisson en petite dimension

Bull. Sci. math.124, 6 (2000) 459–515 2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés

LOCALISATION DES COURBES ANORMALES ET COUPLESDE TENSEURS DE POISSON EN PETITE DIMENSION

PAR

PATRICK CABAU, FERNAND PELLETIERLaboratoire de Mathématiques, Université de Savoie,

73376 Le Bourget-du-Lac Cedex, France

Manuscrit présenté par J.-P. FRANÇOISE, reçu en Juillet 1999

RÉSUMÉ. – Nous construisons des stratifications en dimension 4 et 5 permettant delocaliser les courbes anormales pour des distributions génériques de codimension 2 endimension 6 et 7. Ces stratifications permettent aussi, en dimension 4 et 5, de décrire lessingularités des feuilletages de Weinstein associés à un couple de tenseurs de Poissoncompatibles intervenant dans le contexte des variétés bihamiltoniennes. 2000 Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

AMS classification: 49J15, 53B50

Mots Clés:Anormales, Systèmes bihamiltoniens, Stratifications

1. Introduction

Considérons une distributionE régulière sur une variétéM . Onnote Ωa(E) la variété des chemins de classeH 1 tangents presquepartout àE, d’origine a ∈ M et paramétrisés sur[0,1]. Si E 6=TM , l’application extrémitéext:Ωa(E)→M n’est pas en général unesubmersion : le chemin constant est toujours un point singulier. Lesautres points singuliers deextsont appelées des courbes anormales. Sousdes conditions géométriques très restrictives dénommées conditionsH 2

fortes [21] ou “fat distribution” ([24]), l’applicationextne possède pas desingularités en dehors du chemin constant. Ce contexte a donné lieu à denombreux travaux ([3,5,19],. . .). D’autre part, une importante rechercherécente s’est intéressée à l’étude des courbes anormales ([1,7,11–13,25],. . .). Le premier objectif de ce travail est de donner une localisation des

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courbes anormales pour des distributions génériques de codimension 2sur des variétés de dimension 6 et 7 (Théorèmes 3.1 et 3.2). En particulier,en dimension 6, génériquement, la distributionne possède pas de courbesanormales(non constantes) sur une partie ouverte de la variété mais enpossède par ailleurs sur le complémentaire.

L’intérêt de l’étude des couples de 2-tenseurs de Poisson compatiblessur une variété réside dans le fait que les systèmes hamiltoniensintégrables apparaissent comme des champs particuliers sur de tellesvariétés. L’existence de l’opérateur de récursion permet, dans certainscas, de construire par induction des intégrales premières de tels systèmes([8,20], . . .). Le deuxième objectif est de faire une étude géométriqued’un tel couple de tenseurs dans des situations génériques en petitedimension. Plus précisément, en dimension 4 et 5, pour un couplede tenseurs de Poisson générique, nous donnons une description dessingularités de rang de l’opérateur de récursion associé (Théorème 4.2)et des singularités des feuilletages de Weinstein associés (Théorème4.3). Dans ce contexte, nous établissons aussi des conditions nécessaireset suffisantes pour qu’un champ de vecteurs soit bihamiltonien et plusgénéralement bidynamique (Théorèmes 4.4 et 4.5).

La Section 2 est consacrée à la construction de stratifications adé-quates dans des espaces de jets de couples de 1-formes (resp. de bi-vecteurs). La transversalité à ces stratifications permettra d’établir lagénéricité et les propriétés annoncées. Les résultats sur la localisationdes courbes anormales sont détaillés dans le premier paragraphe de laSection 3. Ces résultats sont des conséquences de résultats plus gé-néraux (troisième paragraphe) et permettent de décrire complètementla situation de courbes anormales sur les variétés homogènes de di-mension 6 et 7 (quatrième paragraphe). Les résultats sur les couplesde tenseurs de Poisson compatibles sont détaillés dans le premier pa-ragraphe de la Section 4. On montre ensuite l’existence de tenseursde Poisson compatibles transverses (deuxième paragraphe). Pour fi-nir, on établit des conditions nécessaires et suffisantes d’existence dechamps de vecteurs bidynamiques et localement bihamiltoniens. En par-ticulier, on montre l’existence de solutions pour une équation du typeAX = B où A est une matrice antisymétrique générique de dimen-sion 5.

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2. Stratification de couples de champs de bivecteurs (resp. de1-formes)

L’objet de cette partie est de définir des stratifications sur des espacesde jets qui seront utilisées, d’une part, pour localiser les anormalesrelatives à des distribributions de codimension 2 sur des variétés dedimension 6 et 7 et d’autre part, pour étudier la généricité des couplesde champs de bivecteurs de Poisson compatibles sur des variétés dedimension 4 et 5 et l’existence de champs de vecteurs localementbihamiltoniens.

Les stratifications cherchées sur des fibrés sont obtenues à partirde stratifications sur des espaces vectoriels ou sur des ouverts de telsespaces. Le passage de la stratification des couples de bivecteurs auxcouples de formes se fera par passage au dual et par identification del’espace vectoriel avec son bidual.

On développera une stratification utilisée sur un espace de jets de bi-vecteurs qui aura été raffinée par le rang du deuxième élément, stratifi-cation que l’on utilisera pour obtenir des résultats de généricité sur lescouples de tenseurs de Poisson compatibles et sur l’existence de champsde vecteurs localement bihamiltoniens sur des parties de la variété. Lastratification que l’on utilisera sur les jets de couples de 2-formes se dé-duira facilement de la stratification non raffinée précédente ; elle permetune classification des anormales d’une distribution de codimension 2.

2.1. Notations

Pourp appartenant à4,5, on introduit les ensembles suivants :Vp2 : espace vectoriel des bivecteurs surRp.CVp2 : ouvert deVp2 ×Vp2 des couples(w1,w2) d’éléments indépendants

deVp2 .Fp2 : espace vectoriel des 2-formes antisymétriques surRp.CFp2 : ouvert deFp2 ×Fp2 des couples(β1, β2) d’éléments indépendants

deFp2 .On note suppw0 le support du bivecteurw0 de Vp2 , i.e. l’image

de l’application linéaire :α 7→ w0(α, .) dansRp. L’espace suppw0 estl’orthogonal du noyau de l’application linéaire précédente.


Il existe une action deGL(p,R) sur CVp2 définie pourw = (w1,w2)

par(A,w) 7→ (A •w1,A •w2) où

A •wi(α,β)=wi(tAα, tAβ).Pourw ∈ CV2, on désigne parEpw (ouEw , s’il n’y a pas d’ambiguïté) le

sous-espace vectoriel deVp2 (de dimension 2) engendré par les bivecteursw1 etw2. Il existe alors une action naturelle deGL(2,R) surCVp2 qui agitde manière transitive sur les bases deEpw.

2.2. Stratification dans l’espace des couples de bivecteursindépendants

2.2.1. Stratification dansCV42

On définit tout d’abord une stratification deCV42 comme image

réciproque par une submersion de la stratification liée à la signature del’ensemble des classes projectives de formes quadratiques non nullessurR2, à laquelle on adjoint l’ensemble des bivecteurs d’image nulle.On raffine ensuite cette stratification en fonction du rang du bivecteurw2. Il est bien connu que la stratification par le rang de l’ensemble desbivecteurs non nuls surR4 donne 2 strates notéesσ 4 (constituée desbivecteurs de rang maximum) ouverte etσ 2 (ensemble des bivecteurs derang 2) de codimension 1.

On désigne parQ l’ensemble des formes quadratiques surR2.A l’aide d’un quelconque quadrivecteur non nulΞ surR4, on définit

l’applicationq par :

q : CV42 → Q

w 7→ AX2+ 2BXY +CY 2

oùw1∧w1=AΞ, w1∧w2=BΞ, w2∧w2= CΞ pourw = (w1,w2).

On définit alors les sous-ensembles deCV42 suivants en fonction de la

signature deq(w) :– SE = w ∈ CV4

2, sgnq(w)= (2,0) ou (0,2),– SH = w ∈ CV4

2, sgnq(w)= (1,1),– SP = w ∈ CV4

2, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1),– S0= w ∈ CV4

2, sgnq(w)= (0,0).Ces ensembles sont indépendants du quadrivecteurΞ .


PROPOSITION 2.1. – (1)On a les caractérisations suivantes:SE est l’ ensemble des couplesw pour lesquels tous les éléments deEw

sont de rang4.SH est l’ ensemble des couplesw pour lesquels l’ensemble des élé-

ments deEw qui sont de rang2 est formé de deux sous-espaces vectoriels(privés de0), supplémentaires, de dimension1.SP est l’ ensemble des couplesw pour lesquels l’ensemble des élé-

ments deEw qui sont de rang2 est formé d’un sous espace vectorielde dimension1 (privé de0).S0 est l’ ensemble des couplesw pour lesquels tous les éléments non

nuls deEw sont de rang2.(2) Soitw′ une autre base deEw, alorsw etw′ appartiennent au même

sous-ensembleSi , i =E,H,P,0.Preuve. –On reprend les notations précédemment introduites (le qua-

drivecteur non nulΞ étant fixé).(1) Comme un élémentu ∈ Ew s’écrit u = λ1w1 + λ2w2, il est clair

qu’un élémentu de Ew est de rang 2 si et seulement siu ∧ u = 0,i.e. q(u)(λ1, λ2) = 0 ; les propriétés classiques des formes quadratiquespermettent d’établir le résultat.

(2) Soitw′ une autre base deEw et P la matrice des composantes dew′ dans la basew. Si B est la matrice associée à la forme polaire deq(w) alors la matrice de la forme polaire deq(w′) est égale àtPBP ;il en résulte que les formes quadratiquesq(w) et q(w′) ont les mêmesinvariants caractéristiques, ce qui achève le démonstration.2

Remarque2.1. – Ecritures simultanées des bivecteursw1 etw2 dansune base(e1, e2, e3, e4) adaptée :w1= e1∧ e2+ e3∧ e4 et

– w ∈ SE si et seulement siw1= e1∧ e2+ e3∧ e4, w2= λ(e1∧ e2+e3∧ e4)+µ(e1∧ e4+ e2∧ e3), µ 6= 0,

– w ∈ SH si et seulement siw1= e1∧ e2+ e3∧ e4, w2= a.e1 ∧ e2+b.e3∧ e4, a 6= b,

– w ∈ SP si et seulement siw1= e1∧ e2+ e3 ∧ e4, w2= a.e1 ∧ e2+e1∧ e4+ a.e3∧ e4,

– w ∈ S0 si et seulement siw1= α1∧ α2 etw2= α1∧ α3.

LEMME 2.1. – Si i=E,H,P,0 est une stratification deCV42 où chaque

strateSi où i = E,H,P,0 est une sous-variété deCV42 invariante par

les actions respectives de GL(4,R) et GL(2,R).


– SE etSH sont ouverts,– SP est de codimension1,– S0 est de codimension3.

Preuve. –Soitw ∈ CV42. Pour toutA ∈ GL(4,R), il existe un nombre

réel non nulλ tel que l’on ait :q(A.w) = λq(w) pourw ∈ SE ∪ SH ∪SP ∪ S0. Par suite, chaque ensembleSi , i = E,H,P,0 est invariant parcette action.

(a) Désignons parCV42 le complémentaire deS0 dans CV4

2. Cetensemble est ouvert et invariant par l’action deGL(4,R). De plus, la

forme quadratiqueq(w) associé à l’élémentw de CV42 est non nulle.

Désignons parQ l’espace projectif associé àQ et par q : CV42→ Q

l’application induite parq. De plus, q est indépendante du choix deΞ. Par passage au projectif, l’action naturelle deGL(2,R) surQ donnenaissance à une action surQ et les orbites de cette action constituent unestratification de cette variété. On a deux orbites ouvertes : la projectionde l’ensemble des formes quadratiques de signature(2,0) ou (0,2) et laprojection de l’ensemble des formes quadratiques de signature(1,1). Latroisième orbite est la projection de l’ensemble des formes quadratiquesde signature(1,0) ou (0,1) qui est une sous-variété de codimension 1.

Pour prouver queSi i=E,H,P est une stratification deCV42 et calculer

la codimension des strates, il suffit d’établir queq est une submersion en

chaque pointw de CV42.

Afin d’établir la surjectivité dedqw on distingue le cas où rangw1 =rangw2 = 2 du cas rangw1 = 4 ou rangw2 = 4 ; un simple calculmène alors au résultat en utilisant le fait que l’image réciproque d’unestratification par une submersion est encore une stratification.

(b) Si w ∈ S0 on introduit l’application(w1,w2) 7→ (w1 ∧ w1,w1 ∧w2,w2 ∧ w2) ; S0 apparait alors comme l’ensemble des bivecteurs noncolinéaires ayant pour image(0,0,0) : le résultat découle du fait quecette application est une submersion en les points considérés.2

On raffine alors la stratification précédente en considérant le rang dudeuxième bivecteurw2.

Puisque tous les éléments deSE sont de rang 4, on obtient lastratification raffinée suivante :

SE,SH,4, SH,2, SP,4, SP,2, S0 où :


– SH,4= w ∈ CV42, sgnq(w)= (1,1), rangw2= 4,

– SH,2= w ∈ CV42, sgnq(w)= (1,1), rangw2= 2,

– SP,4= w ∈ CV42, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1), rangw2= 4,

– SP,2= w ∈ CV42, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1), rangw2= 2.

On peut aussi donner une caractérisation analytique de chacun de cessous-ensembles :

on choisit une base(e1, e2, e3, e4)deR4 dans laquellew1 s’écrit sousla forme simplifiéew1= e1∧ e2+ e3∧ e4.On choisit alors le quadrivecteurΞ = e1∧ e2∧

e3∧ e4. Le bivecteurw2 s’écrira alors sous la forme générale :w2=∑16i<j64 a

ij ei ∧ ej . Un simple calcul donne l’expression de laclasse de la forme quadratiqueq(w) :

q(w)= [2X2+ 2(a12+ a34)XY + 2

(a12a34− a13a24+ a14a23)Y 2].

On introduit alors les applications différentiables suivantes :

Γ(a12, . . . , a34)= a12a34− a13a24+ a14a23,

∆(a12, . . . , a34)= (a12− a34)2+ 4

(a13a24− a14a23),

discriminant deq(w).On a alors les caractérisations analytiques de chacun des sous-

ensemblesSE , SH,4, SH,2, SP,4, SP,2 :

SE: ∆< 0, SH,4:∆> 0,Γ 6= 0,

SH,2:∆> 0,Γ = 0,

SP,4:∆= 0,Γ 6= 0,

SP,2:∆= 0,Γ = 0.

PROPOSITION 2.2. – Propriétés de la stratification raffinée deCV42

(1) S4 = SE,SH,4, SH,2, SP,4, SP,2, S0 est une stratification deCV42

invariante sous l’action de GL(4,R).(2) (a) SE etSH,4 sont ouverts.

(b) SH,2 etSP,4 sont des sous-variétés de codimension1.(c) SP,2 est une sous-variété de codimension2.(d) S0 est une sous-variété de codimension3.


(3) SE = SE ∪ SP ∪ S0, SH,4= SH ∪ SP ∪ S0, SP,4= SP ∪ S0,SH,2= SH,2∪ SP,2∪ S0, SP,2= SP,2∪ S0.

Preuve. –(1) (2) On utilise les résultats déjà obtenus au Lemme 2.1.L’invariance de chacun des sous-ensembles sous l’action deGL(4,R)

est évidente.(a)SE est ouvert comme déjà prouvé au lemme cité (SE est aussi égal

à l’image réciproque de l’ouvertR∗− par l’application continue∆).(b) SH,4 est ouvert comme intersection des deux ouverts∆−1(R∗+) et

Γ −1(R∗). SH,2 est une sous-variété de codimension 1 carΓ définit unesubmersion en tout point deSH,2 puisque sa différentielle est non nulleen tout point deSH,2 (un, au moins, des réelsa12, . . . , a34 n’est pas nul).SP,4 est une sous-variété de codimension 1 car∆ définit une submersionen tout point deSP,4 puisque la différentielle de∆ est de rang 1 en toutpoint deSP,4 car le coefficient deda23 est non nul.SP apparaît commela réunion d’orbites des éléments de la forme

(e1∧ e2+ e3∧ e4, ae1∧ e2+ e1∧ e4+ ae3∧ e4) (où a ∈R)sous l’action du groupe de LieGL(4,R).

(c) SP,2 est alors l’orbite correspondant àa = 0 et est donc decodimension 1 dansSP .

(d) S0 est une sous-variété de codimension 3 (résultat déjà établi).(3) Etablissons, par exemple, queSH,4= SH ∪ SP ∪ S0 : il est évident

queSH,4⊃ SH,2 puisque l’élément deSH,2 (e1∧ e2+ e3∧ e4, a.e1∧ e2),où a 6= 0, est la limite de la suite des éléments(e1 ∧ e2+ e3∧ e4, a.e1 ∧e2+ 1

n.e3∧ e4) appartenant àSH,4 (pourn suffisamment grand).

D’autre part, l’élément(e1∧ e2+ e3∧ e4, a.e1∧ e2+ e1∧ e4+ a.e3∧e4)apparait comme limite de la suite(e1∧ e2+ e3∧ e4, (a+ 1

n).e1∧ e2+

e1∧ e4+ a.e3∧ e4) d’éléments deSH,4.L’élément(e1 ∧ e2, e1 ∧ e3) deS0 apparait, quant à lui, comme limite

de la suite(e1∧e2+ 1n.e3∧e4, .e1∧e3+ 1

n.e2∧e4+ 1

n.e3∧e4) d’éléments

deSH,4. 22.2.2. Stratification dansCV5

2On adopte une démarche analogue au paragraphe précédent en défi-

nissant tout d’abord une stratification deCV52 à partir d’une stratification

de l’ensemble des matrices non nulles à 3 colonnes et 5 lignes puis onraffine cette stratification en fonction du rang du bivecteurw2.


On désigne parM3,5(R) l’ensemble des matrices à coefficients réels à3 colonnes et à 5 lignes, et on considère l’application continue

k : CV52 → M3,5(R),

w 7→ MatB(w2

1,w1∧w2,w22

),

où B = (e1, e2, e3, e4, e5) avec ei = e1 ∧ · · · ∧ ei ∧ · · · ∧ e5 (quadri-vecteur où le vecteurei est omis). Les orbites de l’action naturellede GL(3,R)×GL(5,R) surM3,5(R) constituent une stratificationρi,i = 0,1,2,3, où

ρi = M ∈M3,5(R): rang(M)= iest une sous-variété plongée de codimension(3− i)(5− i).

On définit alors les 4 sous-ensemblesSi, i = 0,1,2,3, de CV52

suivants :

Si = w ∈ CV52: rang

(k(w)

)= i.Les lemmes suivants donnent une écriture des éléments deCV5

2 sousl’action du groupeGL(5,R) :

LEMME 2.2. –Si w1 est un élément deV52 de rang maximum et si

w2 est un élément deV52 non colinéaire àw1, il existe alors une base

(e1, . . . , e5) de R5dans laquellew1 peut s’écrire sous la formew1 =e1∧ e2+ e3∧ e4 etw2 sous l’une des formes suivantes:

(1) Si kerw1⊂ kerw2 (i.e.,supp(w1)⊃ supp(w2)) :(a) w2= a.e1 ∧ e2+ b.e3∧ e4 aveca 6= b.(b) w2= a.e1 ∧ e2+ e1∧ e4+ a.e3∧ e4.(c) w2= λ.(e1∧ e2+ e3∧ e4)+µ.(e1∧ e4+ e2∧ e3) avecµ 6= 0.

(2) Si kerw1∩ kerw2= 0 (i.e.,supp(w1)+ supp(w2)=R5) :(a) w2= e1∧ e5+ λ.e3∧ e4.(b) w2= e5∧ e4+ λ.e1∧ e3 avecλ 6= 0.

LEMME 2.3. –w1 etw2 sont2 éléments deV52 non colinéaires de rang

2. Il existe alors une base(e1, . . . , e5) deR5dans laquellew1 peut s’écriresous la formew1= e1∧ e2 etw2 sous l’une des formes suivantes:


(1) Si dim(supp(w1)+ supp(w2))= 3 alorsw2= e1∧ e3,(2) Si dim(supp(w1)+ supp(w2))= 4 alorsw2= e3∧ e4.

Ces deux lemmes permettent d’établir :

LEMME 2.4. – (1)On a les caractérisations suivantes:(a) S3 est l’ensemble des couplesw pour lesquelssupp(w1) +

supp(w2)= R5 et pour lesquels tous les éléments non nuls deEwsont de rang4.

(b) S2 est l’ensemble des couplesw pour lesquelssupp(w1) +supp(w2) = R5 et pour lesquels l’ensemble des éléments deEwqui sont de rang2 est un sous-espace vectoriel de dimension1(privé de0).

(c) S1 est l’ensemble des couplesw pour lesquelsdim(supp(w1) +supp(w2)) = 4. De plus,S1 est la réunion des ensemblesS1,j ,

j =E,H,P , caractérisés par:S1,E est l’ensemble desw de S1 pour lesquels toutes les formesnon nulles deEw sont de rang4.S1,H est l’ensemble desw de S1 pour lesquels le sous-ensembledes éléments de rang2 est constitué de2 droites vetoriellestransverses privées de0.S1,P est l’ensemble desw de S1 pour lesquels le sous-ensembledes éléments de rang2 est constitué d’une droite vectorielle privéede0.

(d) S0 est l’ensemble des couplesw pour lesquelsdim(supp(w1) +supp(w2)) = 3 (ceci correspond aux couplesw tels que tous leséléments non nuls deEw sont de rang2).

(2) Soitw′ une autre base deEw , alorsw etw′ appartiennent au mêmesous-ensembleSi , i = 0,1,2,3.

LEMME 2.5. – Si i=0,2,3, S1,jj=E,H,P est une stratification deCV5

2, invariante par les actions respectives de GL(5,R) et GL(2,R).(1) S3 est ouverte.(2) S2 est une sous-variété de codimension2.(3) S1,E etS1,H sont des sous-variétés de codimension4, S1,P est une

sous-variété de codimension5.(4) S0 est une sous variété de codimension8.

Preuve. –Remarquons tout d’abord que les ensemblesSi i=0,2,3 etS1,jj=E,H,P sont invariants sous l’action deGL(2,R). Par ailleurs,


GL(5,R) conserve le rang de toute 2-forme, donc la dimension de sonsupport.

(1) S3 est ouvert comme image réciproque par l’application continuek

de l’ouvert deM3,5(R) des matrices de rang 3.(2) S2 est une orbite de l’action deGL(5,R)×GL(2,R) sur CV5

2 ;comme cette action est algébrique,S2 est une sous-variété plongée deCV5

2.

Déterminons des équations deS2 : on choisit une base(e1, e2, e3, e4,

e5) de R5 dans laquellew1 s’écrire sous la forme simplifiéew1 =e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 ; le bivecteurw2 s’écrit sous la forme généralew2 =∑

16i<j65 aij ei ∧ ej . On a alors :

MatB(w2

1,w1∧w2,w22

)

=

0 a25 2(a23a45− a24a35+ a25a34)

0 a15 2(a13a45− a14a35+ a15a34)

0 a45 2(a12a45− a14a25+ a15a24)

0 a35 2(a12a35− a13a25+ a15a23)

2 a12+ a34 2(a12a34− a13a24+ a14a23)

.Un résultat classique d’algèbre linéaire sur le rang permet d’obtenir deséquations indépendantes deS2 :

a15(a12a45− a14a25+ a15a24)= a45(a13a45− a14a35+ a15a34)

a15(a12a35− a13a25+ a15a23)= a35(a13a45− a14a35+ a15a34).

S2 a bien pour codimension 2.(3) S1 est un ensemble semi-algébrique et l’application

f1 : S1 → G4(R5),

w 7→ supp(w1)+ supp(w2),

est algébrique et commute avec les actions deGL(5,R)×GL(2,R)sur CV5

2 et sur G4(R5) (via la projection deGL(5,R)×GL(2,R) surGL(5,R)).

D’autre part (f1)−1(Vect(e1, e2, e3, e4)) est un ouvert d’un espace

vectoriel de dimension 12. Lethéorème de fibrationde [15] permetd’affirmer queS1 est une sous-variété de codimension 4 (on obtientd’ailleurs directement ce résultat en exhibant 4 équations indépendantes


de cet ensemble). Par ailleurs, il est clair queS1E etS1H sont des ouvertsdeS1.

Enfin,S1,P est invariant sous l’action deGL(5,R)×GL(2,R).(f1)

−1(Vect(e1, e2, e3, e4)) ∩ S1,P est un sous-ensemble de codimen-sion 1 de(f1)

−1 (Vect(e1, e2, e3, e4)). Par suite,S1,P est une sous-variétéde codimension 5.

(4) S0 est un ensemble semi-algébrique et l’application

f0 : S0 → G3(R5),

w 7→ supp(w1)+ supp(w2),

est continue et commute avec les actions deGL(5,R). D’autre partf −1

0 (e1, e2, e3) est un ouvert d’un espace vectoriel de dimension 6. Lethéorème de fibrationdéjà cité permet d’affirmer queS0 est une sous-variété de codimension 8. 2

Remarque2.2. – Ecriture simultanée des bivecteursw1 et w2 dansune base(e1, e2, e3, e4, e5) adaptée :

– w ∈ S3 si et seulement siw1= e1 ∧ e2+ e3 ∧ e4 etw2= e5 ∧ e4+λ.e1∧ e3 avecλ 6= 0.

– w ∈ S2 si et seulement siw1= e1 ∧ e2+ e3 ∧ e4 etw2= e1 ∧ e5+λ.e3∧ e4.

– w ∈ S1,E si et seulement siw1 = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 etw2 = λ(e1 ∧e2+ e3∧ e4)+µ(e1∧ e4+ e2∧ e3) avecµ 6= 0.

– w ∈ S1,H si et seulement siw1 = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 etw2 = a.e1 ∧e2+ b.e3∧ e4 aveca 6= b ou bienw1= e1∧ e2 etw2= e3∧ e4.

– w ∈ S1,P si et seulement siw1 = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 etw2 = a.e1 ∧e2+ e1∧ e4+ a.e3∧ e4.

– w ∈ S0 si et seulement siw1= e1∧ e2 etw2= e1∧ e3.On raffine alors, comme au paragraphe précédent, la stratification

obtenue en considérant le rang du deuxième bivecteurw2.Puisque tous les éléments deS3 sont de rang 4, on obtient la

stratification raffinée suivante :S3, S2,4, S2,2, S1,E, S1,H,4, S1,H,2, S1,P ,4, S1,P ,2, S0.

PROPOSITION 2.3. – Propriétés de la stratification raffinée deCV52 :


(1) S5= S3, S2,4, S2,2, S1,E, S1,H,4, S1,H,2, S1,P ,4, S1,P ,2, S0 est unestratification deCV5

2 invariante sous l’action de GL(5,R).(2) S3 est ouvert.

– S2,4 est une sous-variété de codimension2.– S2,2 est une sous-variété de codimension3.– S1,E etS1,H,4 sont des sous-variétés de dimension4.– S1,H,2 etS1,P ,4 sont des sous-variétés de dimension5.– S1,P ,2 est une sous-variété de codimension6.– S0 est une sous-variété de codimension8.

(3) S2,4= S2 ∪ S1 ∪ S0, S2,2= S2,2∪ S1,H,2∪ S1,P ,2∪ S0.

Preuve. –(1) Est évident.(2) Etablissons, par exemple, queS2,2 est de codimension 3 : on utilise

ici les notations usitées dans la démonstration du Lemme 2.5 : il est faciled’établir que l’espace tangentT(e1∧e2+e3∧e4,e1∧e5)S2,2 a pour équations :da23= 0, da24= 0, da34= 0 : le résultat en découle.

(3) Se démontre de manière analogue à la Proposition 2.2.

2.3. Stratification dans l’espace des jets de couples de bivecteursindépendants

On désigne toujours parp un des deux entiers 4 ou 5 etM est unevariété de dimensionp.

On noteW2(M)→M le fibré des couples de bivecteurs indépendants

(dont le premier est de rang maximum) au dessus deM de fibre typeCVp2et de groupe structuralGL(p,R). D’après le paragraphe précédent,CVp2est muni de la stratificationSp \ S0 dont chaque strate est invariante sousl’action du groupe de LieGL(p,R). Le déroulement de cette stratificationinvariante sous l’action du groupe structural deW2(M) génère sur cefibré une stratificationSp(M) (cf. [9,14] par exemple).

On noteraW2(M) l’ensemble des sections du fibréW2(M)→M. Onmunit cet ensemble de laC∞ topologie de Whitney qui en fait un ouvertd’un espace vectoriel topologique et un espace de Baire.

Un couple de tenseurs de Poisson compatiblesest un couple de champsde bivecteurs(Λ∞,Λ0) vérifiant la condition de nullité des crochets deSchouten[Λi,Λj ] = 0, i, j =∞,0 (cf. Définition 4.1 et Définition 4.2).

Le sous-ensembleP 2 deW2(M) constitué des couples de tenseurs dePoisson compatibles est donc naturellement muni de la topologie induite.


L’ensembleGP des éléments deP 2 transverses àSp(M) est résidueldansP 2. Nous montrerons alors dans le Paragraphe 4.2 queGP n’est pasvide. A tout élément génériqueΛ (i.e. appartenant àGP) sera associéeune stratificationSp(Λ) sur la variété par image réciproque.

2.4. Stratification dans l’espace des couples de 2-formes

En identifiant les bivecteurs sur le dual d’un espace vectoriel avec les 2-formes bilinéaires antisymétriques sur cet espace, on obtient directementdansCF4

2 etCF52 des stratifications analogues à celles obtenues dansCV4

2et CV5

2, stratifications que l’on notera de manière identique, le contextepermettant à chaque fois de les différencier.

L’application à la localisation d’anormales nécessite de stratifier toutl’espace vectorielFp2 ×Fp2 , p = 4,5.On utilise alors la stratification nonraffinée obtenue surCFp2 , à laquelle on adjoint l’ensembleSL constituédes 2-formes antisymétriques colinéaires. Cet ensemble est invariant sousl’action des groupesGL(2,R) et GL(p,R) et a une structure de variétéde codimensionp(p−1)

2 − 1. Cette variété peut encore être stratifiée parles variétésSL,4, SL,2 et SL,0 de couples de 2-formes liées dont le rangde la deuxième 2-forme est respectivement 4, 2 et 0 ; chaqueSL,k est unesous-variété de codimension(p−k)(p−k−1)

2 dansSL (cf. [9]).

2.5. Stratification dans l’espace des jets de couples de 1-formesindépendantes

On désigne toujours parp l’un des deux entiers 4 ou 5 mais, dans ceparagraphe,M est une variété de dimensionp+ 2.

SoitP k2 (M) l’espace desk-jets de couples de 1-formes indépendantessur la variétéM .

L’objet de ce paragraphe est de construire une stratification dans l’es-paceP 1

2 (M) permettant d’obtenir la localisation d’anormales relativesaux distributions de codimension2 surM .

Rappelons queP k2 (M) est un fibré surM dont la fibre type est l’espacedes k-jets en 0 deRp+2 de couples de 1-formes indépendantes surRp+2 et de groupe structuralGk,p+2, groupe des(k + 1)-jets en 0 dedifféomorphismes locaux deRp+2 qui fixent 0. De manière classique, onest amené à construire dansP 1

2 (M) une stratification adéquate invariantepar l’action deG1,p+2 et du groupe des 1-jets de germes en 0 de champsde matrices carrées inversibles d’ordre 2 surRp+2. Si Si désigne une


strate dans la fibre, on noteraΣi(M) la strate dansP 12 (M) naturellement

associée.Considérons le fibré canoniqueTp au dessus de la grassmannienneGp(Rp+2) desp-plans deRp+2 dont la fibre type estFp2 ×Fp2 . Le groupestructural de ce fibré estGL(p,R).

Pourp= 4, dans la fibre type, considérons la stratificationSi i=E,H,P,0,SL,kk=0,2,4 invariante par l’action deGL(4,R). Le fait que cette stra-tification soit invariante par cette action permet d’obtenir une stratifica-tion ST i i=E,H,P,0, ST L,k k=0,2,4 deT4 dont chaque strate est fibréesurG4(R6) de fibre typeSi,où i =E,H,P,0 etSL,k, où k = 0,2,4.

Pourp = 5, dans la fibre type, considérons la stratificationSi i=0,2,3,

S1,j j=E,H,P , SL,kk=0,2,4 invariante par l’action deGL(5,R). Le faitque cette stratification soit invariante par cette action permet d’obtenirune stratificationST i i=0,2,3, ST 1,j j=E,H,P , ST L,k k=0,2,4 de T5

dont chaque strate est fibrée surG5(R7) de fibre type respectiveSi,oùi = 0,2,3, ou bienS1,j , où j =E,H,P, ou bienSL,k, où k = 0,2,4.

Considérons maintenant l’applicationρp :P 12 (M) → Tp définie de la

manière suivante :si ω = (ω1,ω2) ∈ P 1

2 (M), notonsKω l’intersection des noyaux deω1

etω2 en 0 ; on pose alorsρp(ω)= (β1, β2) si βi est la restriction àKω dela 2-formedωi.

Désignons parGL(2,R) le groupe des germes en 0 de champs dematrices inversibles d’ordre 2, parGp+2 le groupe des germes en 0 dedifféomorphismes locaux qui fixent 0 et parLp+2 le groupe produit directdes groupesGL(2,R) et Gp+2. Il existe une action naturelle deLp+2 surl’espaceP p+2

2 des germes en 0 de couples de 1-formes indépendantes surRp+2 définie de la manière suivante :

(A,f ) ∗ω= (A∗x((f ∗ω1)x, (f∗ω2)x

)).

On a aussi une action deLp+2 surTp définie par :

(A,f ) ∗ (K,β)= (d0f−1(K),A∗0

((f ∗β1)0, (f

∗β2)0)).

Si GLk(2,R) est le groupe desk-jets en 0 d’éléments deGL(2,R), onnoteLk,p+2 le produit direct deGLk(2,R) et deGk,p+2. Pourk > 0 lesactions précédentes induisent une action deLk,p+2 surP k2 (M) et surTp.


PROPOSITION 2.4. –L’application ρp est une submersion qui com-mute avec l’action deL1,p+2 surP 1

2 (M) et surTp.

Preuve. –Puisque surTp seule la valeur en 0 de la matriceAintervient et que, par ailleurs, on prend la valeur dedωi en 0, on peutsupposer, sans perte de généralité, queA est constante. D’autre part, pourtoute applicationh :Rp+2→ Rp+2, on adh∗ωi = h∗dωi et kerxh∗ωi =(dxh)

−1(kerh(x)ωi). Il résulte de ces arguments la commutation deρpavec les actions deL1,p+2 surP 1

2 (M) et surTp.Soit ω = (ω1, ω2) un élément deP 1

2 (M). Sans perte de généralité, onpeut supposer queω1(0) = dxp+1 et queω2(0) = dxp+2 ; l’espace vec-toriel Kω est alors engendré par∂

∂x1 , . . . ,∂∂xp. Les composantesbji , i =

1, . . . , p, j = p + 1,p + 2 sur ∂

∂xp+1 ,∂

∂xp+2 desp-uplets de vecteurs in-dépendants fournit un système de coordonnées locales deGp(Rp+2) au-tour deKω. D’autre part, siγi = dxi + bp+1

i dxp+1 + bp+2i dxp+2, pour

i = 1, . . . , p etγp+1= dxp+1, γp+2= dxp+2, désignons parak,lh les com-posantes des 2-formesβh sur la baseγk∧γl,16 k < l 6 p+2. Par suite,les composantes

(bji , a

k,lh

), i = 1, . . . , p, j = p+ 1,p+ 2, h= 1,2, 16 k < l 6 p

constituent un système de coordonnées du fibréTp au dessus d’unvoisinage deKω. D’autre part, la décomposition

ωh =p+2∑l=1

(ch,0l +

p+2∑k=1

ch,klxk

)dxl

pourh = 1,2 nous donne un système de coordonnées deP 12 (M). Nous

allons calculer l’expression deρp dans ce système de coordonnées : pour

ω ∈ P 12 (M), proche deω, le déterminantδ de la matrice( c1,0p+1 c1,0p+2

c2,0p+1 c2,0p+2)

est non nul. Par ailleurs, notonsδi,l i = 1, . . . , p, l = p + 1,p + 2,le déterminant de la matrice( c1,0i c1,0l

c2,0i c2,0l). Avec ces notations, dans les

systèmes de coordonnées précédents,ρp a pour expression :

b1i =

δi,p+1

δ, b2

i =δi,p+2

δ, i = 1, . . . , p,


ak,lh = (δ)2(ch,kl − ch,lk)+ δδl,p+1(ch,k P+1− ch,p+1k)

+ δδl,p+2(ch,k p+2− ch,p+2k)

− δδk,p+1(ch,l p+1− ch,p+1 l)

− δδk,p+2(ch,l p+2− ch,p+2 l)

+ (δk,p+1δl,p+2− δk,p+2δl,p+1)(ch,p+1p+2− ch,p+2p+1)

oùh= 1,2, 16 k < l 6 p.En remarquant que

∂bj

i

∂cj,0i= −1 en ω et que, de plus,∂ah,kl

∂ch,kl= 1 et que

∂ah,kl∂ch,lk= −1, on en conclut que la matrice jacobienne deρp en ω est de

rang maximum. 2Pourp = 4, Σi(R6) (resp. ΣL,k(R6)) désigne l’image réciproque deST i (resp. ST L,k) parρ4, pouri =E,H,P,0 (resp. k = 0,2,4)

Pour p = 5, Σi(R7) (resp. Σ1,j (R7), ΣL,k(R7)) désigne l’imageréciproque deST i (resp.ST 1,j , ST L,k) parρ5 pour i = 0,2,3 (resp.j =E,H,P , k = 0,2,4).

3. Application à la localisation d’anormales pour les distributionsde codimension 2 sur les variétés de dimension 6 (resp. 7)

3.1. Présentation des résultats

Le but essentiel de cette partie est de donner des conditions d’existenceet de localisation des courbes anormales pour des distributions génériquesde codimension 2 sur les variétés de dimension 6 et 7.

En dimension 6, génériquement, il existe un ouvert sur lequel iln’y a aucune courbe anormale en dehors des courbes constantes. Plusprécisément, on obtient le résultat suivant :

THÉORÈME 3.1. –Sur les variétésM de dimension6, génériquementdans l’ensemble des distributions régulières de rang4, il existe unestratificationΣii=E,H,P,0, ΣL,kk=2,4,0 de la variété telle que:

(1) ΣE, s’il n’est pas vide, est un ouvert sur lequels les seules courbesanormales sont constantes. En fait, sur cet ouvert, la distributionE vérifie la conditionH 2, i.e. pour toutX 6= 0 tangent àE, on aE + [X,E] = TM .


(2) ΣH , s’il n’est pas vide, est un ouvert sur lequel il existe unedécomposition unique en somme de Whitney de la distributionen deux champs de plans tels que toute courbe anormale estentièrement tangente à l’un de ces champs de plans.

(3) ΣP est une hypersurface, éventuellement vide. Le long deΣP , ilexiste un champ de plans unique tel que toute courbe anormale(s’il en existe) passant par un point deΣP (s’il en existe) esttangente à ce champ de plans.

(4) Σ0 est une sous-variété de codimension3 (éventuellement vide).Le long deΣ0, il existe deux sous-fibrésF etD deE de dimensionrespective3 et 1 tels que toute courbe anormale passant par unpoint deΣ0 et dérivable en ce point est tangente àF et toutecourbe tangente àD est anormale(lorqu’une telle courbe existe).

(5) ΣL,4 ∪ ΣL,2 est une sous-variété de codimension5 etΣL,0 uneréunion de points isolés. Le long deΣL,4, il existe un sous fibréK de dimension2 tel que toute courbe anormale passant par unpoint de cette variété et dérivable en ce point est tangente àK .

En dimension 7, par contre, la situation est complètement différentepour les distributions génériques de codimension 2. Nous avons lerésultat suivant :

THÉORÈME 3.2. – Sur les variétésM de dimension7, pour unedistribution générique régulière de rang5, il existe une stratificationΣii=2,3, Σ1,jj=E,H,P de la variété telle que:

(1) Σ3 est un ouvert deM sur lequel le sous-fibré de CartanF deEest de dimension3 contenant un sous-fibréA localement trivialdont la fibre type est un ensemble algébrique de dimension2,invariant par homothétie, tel que toute courbe anormale contenuedansΣ3 est tangente presque partout àA. De plus, six ∈ Σ3 etsi v est un vecteur non nul de la fibreAx, il existe un champ devecteursV , sur un voisinage dex, tangent àA et tel que toutecourbe intégrale deV soit une courbe anormale.

(2) Σ2 est une sous-variété de codimension2 ayant les propriétéssuivantes:(a) Le fibréF est de rang2 surM et contient un sous-ensemble

A qui est un fibré localement trivial dont la fibre type est unensemble algébrique de dimension2 tel que pour toutv ∈Ax


il existe localement un champ de vecteursV tangent àv enxet dont toutes les courbes intégrales sont anormales.

(b) Il existe surΣ2 un unique sous-fibréK de dimension3 telquedim(K ∩ F) = 1 et toute courbe anormale tracée dansΣ2 est tangente àK ou à F . En particulier, siK + F esttransverse àΣ2, aucune courbe anormale n’est entièrementcontenue dansΣ2.

(3) Σ1,j , j = E,H (resp.P ) est une sous-variété de dimension4(resp. 5). Le fibréF est de dimension1 sur chaqueΣ1,j , j =E,H,P . De plus, par toute direction tangente àF en un pointde Σ1,j passe une courbe anormale et on a les propriétéssupplémentaires suivantes:(a) Toute courbe anormale qui rencontreΣ1,E en un pointx est

tangente àF si elle est dérivable enx. Toute courbe contenuedans cette variété qui est tangente àF presque partout(s’ilen existe) est anormale.

(b) Il existe surΣ1,H deux uniques sous-fibrésK1 et K2 dedimension3 qui contiennentF . Toute courbe anormale quirencontreΣ1,H en un pointx est tangente à l’un des fibrésK1 ouK2.

(c) Il existe surΣ1,P un unique sous-fibréK de dimension3 quicontientF et tel que toute courbe anormale qui rencontreΣ1,P et qui est dérivable en ce point est tangente àK . Deplus pour toute suitexn d’éléments deΣ1,H qui converge versx ∈Σ1,P , la limite de chaque(Ki)xn est égale àKx .

Remarque3.1. – Pour des raisons de transversalité, comme les codi-mensions respectives deΣ0, ΣL,k sont strictement plus grandes que 7,leur image réciproque surM est génériquement vide.

De manière classique, grâce aux théorèmes de transversalité de Thom,la généricité de ce type de résultat se ramène à la construction d’une stra-tification adéquate dans un espace de jets en 0 surRn, n = 6 ou 7. Unetelle stratification a été construite dans le Paragraphe 2.5. Il reste à prou-ver que cette stratification possède bien les propriétés annoncées : c’est lebut du Paragraphe 3.3. Avant d’établir ces propriétés, il est nécessaire derappeler quelques généralités sur les courbes anormales. Enfin les résul-tats du Paragraphe 3.3 permettent de classifier complètement l’existenceet la localisation des courbes anormales pour les distributions de codi-


mension 2 sur les variétés homogènes de dimension 6 et 7: c’est l’objetdu dernier paragraphe de cette partie.

3.2. Courbes anormales

Etant donnée une variétéM de dimensionn, on noteΩ la 2-formesymplectique canonique sur le fibré cotangentπ :T ∗M→M. DésignonsparE une distribution surM et parP le sous-fibré du fibré cotangentT ∗M des 1-formes qui s’annulent surE. Désignons parΩ la 2-formefermée sur la variétéP induite parΩ . Si q est la dimension deP ,une base localeω1, . . . ,ωq deP étant fixée, pour toutλ= (λ1, . . . , λq),l’élément

∑qi=1λiωi(x) est un élément deP désigné par(x, λ). Par

ailleurs, on noteω(λ) la 2-forme surE définie par :

ω(λ)=q∑i=1

λi dωi|E.

PROPOSITION 3.1. – dπ induit en (x, λ) un isomorphisme entre lenoyau deΩ en(x, λ) et le noyau deω(λ) enx.

Rappelons qu’une courbe horizontale est une courbe absolumentcontinue c : [a, b] → M qui est presque partout tangente àE. Nousprendrons pour définition des courbes anormales la caractérisationclassique suivante :

DÉFINITION 3.1. – Une courbe absolument continuec : [a, b] →M

est anormale si et seulement si il existe une fonction absolument continueλ= (λ1, . . . , λq) : [a, b]→Rq , non identiquement nulle presque partout,telle quet 7→ (c(t), λ(t)) soit tangente au noyau deΩ presque partout.

Remarque3.2. – Le noyau kerΩ(x,λ) de la 2-formeΩ sur la variétéP est égal à l’intersection deT(x,λ)P avec son orthogonal symplectique(T(x,λ)P)⊥Ω .

Pour toute fonction différentiableH sur T ∗M , désignons par−→H le

champ hamiltonien deH, i.e. le champ de vecteurs surT ∗M défini pari−→HΩ =−dH.

Par ailleurs, associons à tout champ de vecteursX de M sonhamiltonienHX :T ∗M→R défini par :

HX(x,α)= 〈α,Xx〉.


Si l’on désigne parX1, . . . ,Xp une base locale deE, les équations localesdeP sont alorsHXi = 0, i = 1, . . . , p et siZ est un champ de vecteurstangents àE, alors

−→HZ est tangent à la variétéP si et seulement si

H[Z,Xi] = 0 pour touti = 1, . . . , p. Si cette propriété est vérifiée sur unouvertO deP alorstoute courbe intégrale deZ surπ(O) est une courbeanormale.

Dans la suite, nous utiliserons aussi la notion de vecteur de croissanced’une distribution qui est définie comme suit :

DÉFINITION 3.2. – Si F est une distribution sur une variétéM , onlui associe les distributions (singulières) définies par récurrence par:

Fk+1= Fk + [Fk,F ] avecF 1= F, où [ , ] désigne le crochet de Lie.

Le vecteur de croissance deF en x est la suite croissante d’entiers(r1, . . . , rk) où ri est la dimension deF i enx.

3.3. Propriétés des germes de couples de 1-formes indépendantesdont le jet appartient à Σi, i =E,H,P,0,L (n= 6), àΣi,

i = L,0,2,3 ouΣ1,j , j =E,H,P (n= 7)

Considérons un germe enω de couples de 1-formes indépendantes en0 deRn (n= 6 ou 7). On note encoreω un représentant de ce germe surun voisinage de 0 etE la distribution définie parω.

On se propose de préciser ici la localisation des courbes anormalestangentes àE et de justifier les résultats énoncés dans les Théorèmes 3.1et 3.2.

Tous ces résultats seront énoncés sous forme de propositions et certainsrésultats typiquement génériques sous forme de corollaires.

3.3.1. Propriétés des germes de couples de 1-formes indépendantesdont le 1-jet appartient àΣi, i =E,H,P,0,L (n= 6)

Appartenance àΣE

PROPOSITION 3.2. – Si ω(0) appartient àΣE(R6), il existe unvoisinage de0 sur lequel la distributionE associée ne possède aucunecourbe anormale non constante.

Preuve. –Soit ω = (ω1,ω2) un germe de couples de 1-formes indé-pendantes en 0 deR6.


Siω(0) ∈ΣE, toutes les 1-formesα deP ont une différentielledα quiest de rang maximal 4 en restriction àE en 0. Par suite, le noyau deω(λ)est nul en 0 (pour toutλ ∈ R2 non nul) et, d’après la Proposition 3.1, lenoyau deΩ est aussi nul en(0, λ) ; par suite, cette propriété reste vraiepour tout(x, λ), λ 6= 0, pour toutx appartenant à un voisinageU de 0.On en déduit queE ne possède aucune courbe anormale non constantesur ce voisinage. 2Appartenance àΣH

LEMME 3.1. – Soitω un germe tel queω(0) appartient àΣH(R6).Il existe une base locale(ω′′1,ω′′2) deP telle que les restrictionsβi des2-formesdω′′i à E (i = 1,2) soient de rang2 sur un voisinage de0. Deplus, siα ∈ P est une1-forme telle que la restrictionβ ′ dedα à E soitde rang2, il existe alors une fonction non nulleφ telle queβ ′ = φβ1 oubienβ ′ = φβ2.

Preuve. –Soitω un germe tel queω(0) appartient àΣH(R6). Il existealors, d’après la caractérisation deSH , une base locale(ω′1,ω′2) deP surun voisinage de 0 telles que les différentiellesdω′i soit de rang maximal 4en restriction àE en 0. Quitte à restreindre ce voisinage, on peut supposerque cette propriété est vraie en tout pointx de ce voisinage. Considéronsalors une forme volumeΛ sur ce voisinage et notonsQ(x) la formebilinéaire associée au coupleω′ = (ω′1,ω′2) en chaque pointx commedéfini précédemment. Puisque, en 0, ce champC∞ de formes bilinéairesest de signature(1,1) il en est de même sur un voisinage de 0. Si on noteβ ′i la restriction dedω′i àE, on a :Q(X,Y ) = aX2 + 2bXY + cY 2 oùβ ′1 ∧ β ′1 = aΛ, β ′1 ∧ β ′2 = bΛ et β ′2 ∧ β ′2 = cΛ. Commea et c sont nonnuls, il existe des fonctionsf et g, non nulles et distinctes, solutions del’équationaX2+ 2bX+ c= 0.

Les 1-formesω′′1 = fω′1 + ω′2 et ω′′2 = gω′1 + ω′2 possèdent alors lapropriété annoncée.

La deuxième partie résulte de la Proposition 2.1.2PROPOSITION 3.3. – Soit ω un germe tel queω(0) appartient à

ΣH(R6) etE le fibré défini parω. Il existe sur un voisinage de0 deuxuniques sous-fibrésF1 et F2 deE, de dimension2, ayant les propriétéssuivantes:

(1) E est somme de Withney deF1 etF2.


(2) Le vecteur de croissance de chacun de ces deux fibrés est du type(2,3, . . .).

(3) Toute courbe anormale contenue dans ce voisinage est tangentepresque partout à un seul de ces fibrés.(a) Si en0 on aE + F 3

i = TM (i = 1,2), il existe un voisinagede 0 sur lequel chaqueFi contient un unique sous-fibré endroitesDi tel que toute courbe horizontale tangente àFi estanormale si et seulement si elle est tangente àDi .

(b) S’il existe un voisinage de0 tel queE + F 3i 6= TM , alors

toute courbe tangente àFi est anormale.

Preuve. –Considérons un germeω tel queω(0) appartient àΣH(R6).

(1) Choisissons une base(ω′1,ω′2) de P telle que les restrictionsβides 2-formesdω′i à E (i = 1,2) soit de rang 2 sur un voisinage de 0.On noteXi et Yi , i = 1,2, une base du noyau de la restrictionβi . Ilrésulte de la deuxième partie du lemme précédent que les sous-fibrésFiengendrés parXi et Yi ne dépendent pas du choix de la base(ω′1,ω′2),sont supplémentaires et sont déterminés de manière unique.

(2) On peut choisir une base(Xi, Yi) de ces fibrés pour queβi(Xj , Yj )= 1 pouri 6= j.On a doncω′i([Xj ,Yj ])=−1 etω′i([Xi,Z])=ω′i([Yi,Z]) = 0 pour i = 1,2 et toutZ deE. Ainsi [Xi,Yi] /∈ E et parconséquent dimF 2

i = 3. On en déduit que le vecteur de croissance dechaqueFi est du type(2,3, . . .).

(3) Pour toute fonctionH sur T ∗M, −→H désigne toujours le champhamiltonien associé ; siX est un champ de vecteurs,HX désigne encorel’hamiltonien correspondant. On pose alors :Hi = HXi et Ki = HYi(i = 1,2).

La variétéP a alors pour équationsHi = Ki = 0 et l’orthogonalsymplectique de son espace tangent est engendré par

−→Hi et

−→Ki. Par

suite,−→Hi est tangent àP si et seulement si

−→Hi(Hj)=−→Hi(Kj )= 0, pour

j = 1,2. Comme−→HX(HY )=H[X,Y ], la seule équation non identiquement

nulle estH[Xi,Yi ] = 0.On a un résultat analogue pourKi, i = 1,2. PosonsLi =H[Xi,Yi ]. En conséquence, l’ensembleS des points oùΩ possède unnoyau (de dimension 2) a pour équationL1 = 0 ou L2 = 0 dansP etce noyau est engendré par

−→H1,−→K1 ou

−→H2,−→K2 respectivement. Dans le

premier cas, ce sont les formes proportionnelles àω′1 et dans le second àω′2. CommeS est de codimension 1, l’intersection de kerΩ avecT S est


au moins de dimension 1. L’espace kerΩ sera tangent àS au point oùl’on a

−→Hi(Li)= −→Ki(Li)= 0 pouri = 1 ou i = 2.

(a) Supposons queE + F 3i = TM en 0 ; alors nécessairement, en

0, l’un des crochets de Lie[Xi, [Xi,Yi]] ou [Yi, [Xi,Yi]] n’est paslinéairement dépendant en 0 des vecteursXi,Yi, [Xi,Yi]. On peutsupposer que c’est[Xi, [Xi,Yi]]. On a alorsω′i([Xi, [Xi,Yi]]) 6= 0 surun voisinage de 0i.e.

−→Hi(Li) 6= 0 puisque

−→Hi(Li) = H[Xi,[Xi,Yi ]]. On en

déduit que l’intersection du noyau kerΩ deΩ avecT S est de dimension1 au dessus de ce voisinage. Sous ces hypothèses, la 2-forme restrictiondω′i àF 2

i n’est pas nulle ; elle est donc de rang 2 et son noyau est donc unchamp de droites. D’autre partdω′i(Xi, Yi)= 0 ; il existe donc un champde vecteursZi = fiXi + giYi qui engendre le noyau de la restriction dedω′i àF 2

i . On en déduit que kerΩ ∩ T S est engendré par−→HZi .

Il en résulte que toute courbe tangente àFi est anormale si et seulementsi elle est tangente au champ de directionsDi engendré parZi.

(b) Supposons queE + F 3i 6= TM sur un voisinage de 0 ; on a alors

ω′i([Xi, [Xi,Yi]]) = ω′i([Yi, [Xi,Yi]]) = 0 et kerΩ est tangent àS. Parsuite, toute courbe tangente àFi est anormale. 2Appartenance àΣP

LEMME 3.2. –Soitω un germe de1 formes indépendantes dont le1-jet appartient àΣP(R6) au dessus d’une variétéS contenant0. Il existedes1-formesω′′i , pour i = 1,2, sur un voisinageU de 0, continues surU , de classeC∞ surU \ S et surS et une partitionU− etU+ deU \ Sen deux ouverts non vides ayant les propriétés suivantes:

(1) Sur U−, ω′′1 et ω′′2 sont indépendantes et les restrictionsβ ′′i des2-formesdω′′i àE sont de rang2.

(2) SurS, on aω′′1 = ω′′2 et les2-formesβ ′′i définies surU− possèdentun même prolongement par continuité en une2-formeβ de rang2surE en tout point deS et de plusβ est de classeC∞ surS.

(3) Toute1-forme deP dont la restriction de la différentielle àE estde rang2 est proportionnelle àβ ′′1 ouβ ′′2 surU− et à β surS.

(4) Toute1-forme deP dont la restriction de la différentielle àE estnon nulle est de rang4 au desssus deU+.

Preuve. –Soit Λ une forme volume surE. On note, comme dans ladémonstration du Lemme 3.1,Q(X,Y )= aX2+ 2bXY + cY 2 le champde formes quadratiques associé. SoitS ′ l’ensemble des points oùQ est


de rang 1 ;S ′ contientS. SoitU− l’ouvert où la signature deQ est(1,1).Les solutions de l’équationaX2+2bX+ c= 0 définissent des fonctionscontinuesf et g surU− ∪ S ′ qui sontC∞ surU− et égales surS ′ et lesrestrictions def etg àS sont aussiC∞. Les 1-formesω′′1 = f ω′1+ω′2 etω′′2 = gω′1+ω′2 vérifient les conclusions du lemme.2

PROPOSITION 3.4. – Soitω un germe de1 formes indépendantes dontle 1-jet appartient àΣP(R6) au dessus d’une variétéS contenant0.Désignons parE le fibré défini parω et parU− l’ouvert des points oùle 1-jet deω appartient àΣH(R6). SurS, il existe un sous-fibréF deEunique, de dimenson2, ayant les propriétés suivantes:

(1) Pour toute suite(xn) de points deU− qui converge versx ∈ S ettelle que la limite des2-plansFi(xn) exite, alors cette limite estégale àF(x).

(2) Toute courbe anormale passant parx ∈ S et dérivable enx esttangente àF .

(3) Supposons queS soit un voisinage de0.(a) Si E + F 3 = TM sur S alors il existe un feuilletage en

courbes deS tel que toute courbe horizontale contenue dansS est anormale si et seulement si elle est contenue dans unefeuille.

(b) Si E + F 3 6= TM sur S, toute courbe horizontale contenuedansS est anormale si et seulement si elle est tangente àF .

Preuve. –Considérons un germeω de 1-formes indépendantes dont le1-jet appartient àΣP(R6) au dessus d’une variétéS contenant 0. Il existealors une baseω′ = (ω′1,ω′2) du système de PfaffP engendré parω telleque les restrictionsβ ′i dedω′i àE soit de rang maximal 4 en 0, donc, parcontinuité, sur un voisinage de ce point.

Avec les notations du lemme, les sous-fibrésFi deE noyaux deβ ′′iau dessus deU− et le sous-fibréF deE, noyau deβ, au dessus deSvérifient les propriétes (1) et (2).

Supposons queS soit un voisinage de 0. Le fibréF 2 est bien défini surS. Considérons une base(X,Y ) deF surS. Comme dans la preuve dela Proposition 3.3 le noyau deΩ est engendré par

−→HX et

−→HY . Le même

raisonnement permet d’obtenir la propriété (3).2COROLLAIRE 3.1. – Soit ω un germe de1-forme indépendantes

transverses àΣP(R6) en 0. Il existe alors une hypersurfaceSP sur un


voisinageU de 0 et une partition deU \ SP en deux ouverts non videsU+ etU− ayant les propriétés suivantes:

(1) Sur U+, la distribution E ne possède aucune courbe anormale(non constante).

(2) SurU−, la distributionE possède une décomposition en sommede WhitneyE = F1 + F2 ayant les propriétés décrites dans laProposition3.3.

(3) SurSP il existe un sous-fibréF deE unique de dimension2 ayantles propriétés suivantes:(a) Pour toute suite(xn) deU− qui converge versx ∈ SP et telle

que la limite des2-plansFi(xn) existe alors cette limite estégale àF(x).

(b) Toute courbe anormale passant parx ∈ SP et dérivable enxest tangente àF .

Preuve. –Soit ω un germe de 1-formes indépendantes transverses àΣP(R6) en 0. En reprenant les notations du lemme précédent, la formequadratiqueQ est alors transverse en 0 à la stratification canonique del’espace des formes quadratiques surR2. Il en résulte que l’ensemble,noté SP , des points oùQ est de signature(1,0) ou (0,1) est unehypersurface sur un voisinageU de 0 qui partageU en deux ouvertsnon videsU+ des points où la signature est(2,0) ou (0,2) et U−où la signature est(1,1). Le résultat découle alors des 3 propositionsprécédentes. 2Appartenance àΣ0

PROPOSITION 3.5. – (1)Soitω un germe de1 formes indépendantesdont le 1-jet appartient àΣ0(R6) au dessus d’une sous-variétéScontenant0. SurS, il existe un unique sous-fibréF deE de dimension3 tel que toute courbe anormale passant par un point deS sur M etdérivable en ce point est tangente àF .

(2) Si, de plus,S est un voisinage de0, F contient un sous-fibré endroitesD tel que toute courbe tangente àD est anormale(lorsque detelles courbes existent). De plus, pour toutx ∈ S et toutv ∈ Fx oùv /∈D,il existe un champ de vecteursV surS égal àv et dont toutes les courbesintégrales sont anormales.

Preuve. –(1) Soitω un germe de 1 formes indépendantes dont le 1-jetappartient àΣ0(R6) au dessus d’une sous-variétéS contenant 0. Notons


encoreβi la restriction dedωi àE. On sait qu’il existe alors, au dessusdeS des champs de formes linéaires surE indépendantesγl, l = 1,2,3,telles queβ1= γ1∧ γ2 etβ2= γ1∧ γ3. Il existe sur un voisinage de 0 deschamps de vecteursX1,X2, Y,Z tangents àE et tels queXi,Y soit unebase du noyau deβi au dessus deS etβi(Xj ,Z)= 1 pouri 6= j . CommesurS, Y est contenu dans le noyau de toute 2-formeα non nulle surE,−→HY est toujours dans le noyau deΩ au dessus deS. De plus, le noyau deα est toujours de dimension 2; une combinaison linéaire deX1 etX2 enest un autre élément non colinéaire àY. Par ailleurs, dansT ∗M au dessusdeS, le noyau deΩ est tangent à la variétéP. L’autre vecteur de base dekerΩ sera une combinaison linéaire de

−−→HX1 et

−−→HX2 ; plus précisément,

en (x, λ1, λ2) ∈ P, ce vecteur vaut−→L (x,λ1, λ2) = λ1

−−→HX1 − λ2

−−→HX2. Le

sous-fibréF sur S engendré parX1,X2, Y vérifie les propriétés de lapremière partie de la proposition.

(2) Supposons maintenant queS soit un voisinage de 0. NotonsD lesous-fibré en droites engendré parY. Ce fibré est caractérisé par le faitque tout champ de vecteursT tangent àD surS vérifie [T ,X] ∈ E pourtoutX ∈E. Il en résulte que toute courbe tangente àD est anormale.

Considéronsv ∈ Fx, v /∈D ; on peut donc écrirev = a1X1+ a2X2+bY aveca1 ou a2 non nul. SurP , le champ de vecteurs

−→L + b−→HY est

dans le noyau deΩ et pour toutx ∈ S, son évaluation en(x, a1, a2) seprojette, viadπ , surV enx. Il en résulte que toute courbe intégrale deVest une courbe anormale.2

COROLLAIRE 3.2. –Soit ω un germe de1 formes indépendantestransverse àΣ0(R6) en0.

Il existe alors une stratificationUi, Sj , i = +,− et j = 0,P d’unvoisinageU de0 telle que:

(1) Sur l’ouvert U+ (resp. U−), on a la situation décrite dans laProposition3.2 (resp. Proposition3.3).

(2) Au voisinage d’un point de l’hypersurfaceSP on a la situationdécrite dans le Corollaire3.1.

(3) S0 est une sous-variété de codimension3 sur laquelle il existe deuxsous-fibrésF etD deE de dimension respective3 et 1 tels quetoute courbe anormale passant par un point deS0et dérivableen ce point est tangente àF et toute courbe tangente àD estanormale(lorsque de telles courbes existent).


Preuve. –Soit ω un germe de 1 formes indépendantes transverses àΣ0(R6) en 0. Comme dans la démontration du Lemme 3.1, la formevolume surE étant fixée, le champ de formes quadratiques associé àω

est transverse à la stratificationSi, i =E,H,P,0 de l’espace des formesquadratiques surR2. La stratification image réciproque définit les ouvertsU+,U−, l’hypersurfaceSP , sur laquelleQ est de signature(1,1), et lavariétéS0 de codimension 3 des points oùQ est nulle. Le corollaire estalors une conséquence des Propositions 3.2 à 3.5.2Appartenance àΣL

PROPOSITION 3.6. –Soit ω un germe de1-formes indépendantesappartenant àΣL,4(R6) (resp.ΣL,2(R6)) en0 au dessus d’une variétéS(resp.S ′) contenant0. Il n’existe alors aucune courbe anormale contenuedansS. SurS ′, par contre, il existe un unique sous fibréK de dimension2 tel que toute courbe anormale contenue dansS ′ est tangente àK (auxpoints où elle est dérivable).

Preuve. –La démonstration de cette proposition est laissée au lec-teur. 23.3.2. Propriétés des germes de couples de1-formes indépendantes

dont le 1-jet appartient àΣi, i = 0,2,3 ou àΣ1,j oùj =E,H,P (n= 7)

Considérons un coupleω= (ω1,ω2) de 1-formes indépendantes sur unouvertU deR7 etΛ une forme volume surR7.

On noteXi, i = 1,2, le champ de vecteurs surU défini par :

iXiΛ= ω1∧ω2∧ dωi ∧ dωi.On noteX3 le champ de vecteurs surU défini par :

iX3Λ= ω1∧ω2∧ dω1∧ dω2.

Il est alors clair que le moduleF engendré parX1,X2,X3 ne dépendque du module de 1-formes engendré parω1 et ω2 et il est indépendantdu choix de la forme volumeΛ. Par analogie avec [12] et [13], ce modulesera applelémodule de Cartan deω.

SiE désigne la distribution définie parω, F est contenu dansE et ondira queF est le module de Cartan deE. On note encoreP le module de1-formes engendré parω.


ConsidérantP comme sous-variété deT ∗R7 identifiée àU×R2, via labaseω, désignons parC l’ensemble des covecteurs(x, λ1, λ2) tels que larestriction àE deλ1dω1+ λ2dω2 soit, enx, de rang inférieur ou égal à2. Sur l’ouvertP \C, le noyau deΩ est de dimension 1 et il est engendrépar−→L (x, λ1, λ2)= λ2

1−−→HX1 + 2λ1λ2

−−→HX3 + λ2

2−−→HX2.

Appartenance àΣ3

PROPOSITION 3.7. – Si ω(0) appartient àΣ3(R7), le module deCartan deE est de dimension3 sur un voisinageU de0.

DansF , il existe un sous-fibréA localement trivial dont la fibre typeest un ensemble algébrique de dimension2, invariant par homothétie, telque toute courbe anormale est tangente presque partout àA.

De plus, six ∈U et siv est un vecteur non nul de la fibreAx, il existeun champ de vecteursX sur un voisinage dex tangent àA et tel quetoute courbe intégrale deX soit une courbe anormale.

Preuve. –La première partie de la proposition est évidente. On note(X1,X2,X3) une base du module de Cartan deE. On écritX = a1X1+a2X2+a3X3 tout champ de vecteurs tangent àF . Avec ces notations, soitA l’ensemble des vecteursv de la fibreFx dont les composantes vérifientl’équationa2

3 = 4a1a2. On construit ainsi le sous-fibré deF annoncé. Eneffet, sic : [t1, t2] → U est une courbe anormale, il existe des fonctionsabsolument continuesλi : [t1, t2]→R telles quec soit tangente au noyaudeλ1dω1+ λ2dω2|E. Or, on sait que ce noyau est de dimension 1 ; ilest donc engendré parλ2

1X1 + 2λ1λ2X3 + λ22X2. Il en résulte quec est

tangent àA presque partout.Pour la réciproque, sans perte de généralité, on peut se placer enx = 0.

Soitv ∈A0, v 6= 0. On noteV le champ de vecteursa1X1+a2X2+a3X3

surU , ai = cte caractérisé parX0 = v. Par construction deA, il existealors(λ1, λ2) tel que la projection pardπ de

−→L en(x, λ1, λ2) soit égal à

V enx. Les courbes intégrales deV sont donc anormales.2Appartenance àΣ2

PROPOSITION 3.8. – Soit ω un germe de1-formes indépendantesdont le 1-jet appartient àΣ2(R7) sur une sous-variété ferméeS d’unvoisinage U de 0. Sur S, il existe un unique sous-fibréK de ladistributionE de dimension3 ayant les propriétés suivantes:

(1) Le fibré de CartanF est de rang2 au dessus deS etF ∩K est unfibré en droites.


(2) Toute courbe anormale qui est contenue dansS est tangente àKou àF .

(3) Au dessus deS, le fibréF contient un sous-fibré localement trivialA dont la fibre type est un ensemble algébrique de dimension2,invariant par homothétie, tel que toute courbe anormale tangenteà F sur S est tangente presque partout àA. Réciproquement, six ∈ S, et si v est un vecteur non nul de la fibreAx, il existe unchamp de vecteursV sur un voisinage dex dansR7, tangent àFet tel que toute courbe intégrale deV soit une courbe anormale.

(4) Supposons queS soit un voisinage de0.(a) Si on aE + [K,E] + [K, [K,E]] = TM en 0, il existe

alors un unique sous-fibréH de dimension2 dansK surun voisinage de0 tel que toute courbe tangente àK soitanormale si et seulement si elle est tangente àH .

(b) SiE+[K,E]+ [K, [K,E]] 6= TM surS, alors toute courbetangente àK est anormale.

Preuve. –Soit ω un germe vérifiant les hypothèses de la proposition.Montrons d’abord qu’il existe une baseω′ = (ω′1,ω′2) du modulePengendré parω telle queβ ′1 = dω′1|E soit de rang 4 etβ ′2 = dω′2|E soitde rang 2 surS et que toute formeγ ∈ P telle queβ ′′ = dγ |E est derang 2, on aβ ′′ = f.β ′2. En effet, il résulte de la Remarque 2.2 que, surun voisinage de 0, il existe des 1-formes indépendantesα1, . . . , α5 dontles restrictions àE forment une base du dual et telles que surS on ait :dω1|E = (α1 ∧ α2 + α3 ∧ α4) et dω2|E = (α1 ∧ α5 + f.α3 ∧ α4) où fest une fonction surS. Les formesω′1 et ω′2 = ω2 − f.ω1 vérifient lespropriétés annoncées. Le fibréK est alors le noyau deβ

′2. La propriété

(1) est alors élémentaire. Sic : [t1, t2] → U est une courbe anormale etsi (c, λ1, λ2) est un relèvement dans la variétéP alors c est tangent aunoyau deλ1dω

′1 + λ2dω

′2|E. Ce noyau est contenu dansF aux points

où c(t) /∈ S ou bienc(t) ∈ S maisλ1(t) 6= 0 et il est contenu dansK auxpointsc(t) ∈ S etλ1(t)= 0.

La propriété (3) se démontre comme dans la Proposition 3.7.Supposons queS soit un voisinage de 0. Il est alors facile de construire

une base(X1,X2, Y1, Y2,Z) deE surS telle que :– X1 engendre le noyau deβ ′1.– (X2, Y1, Y2) soit une base du noyau deβ ′2 (i.e.K).


– β ′1(X2,Z) = β ′1(Y1, Y2) = β ′2(X1,Z) = 1 est les autres évaluationssur cette base sont nulles.

– F soit engendré parX1,X2.

PuisqueS est un voisinage de 0, toute 1-formeα pour laquelledα|Eest de rang 2 est proportionnelle àω′2. Par suite, l’ensembleC est lemodule engendré parω′2 (privé de la section nulle). DansP considérécomme sous-variété deT ∗M , C est une sous-variété de codimension1 d’équationH[Z,X2] = 0. Le noyau deΩ sur C est engendré par−−→HX2,−→HY1,−→HY2. L’intersection deT C et KerΩ est au moins de dimension

2. Par ailleurs, le fibréE + [K,E] est égal au noyau deω′2 et il estengendré parX1,X2, Y1, Y2,Z, [Z,X2].

Si E + [K,E] + [K, [K,E]] = TM , cette propriété est vraie surun voisinage de 0 dansS. Sous cette hypothèse, dansE, on a doncω′2[X2, [Z,X2]] 6= 0 ou bienω′2[Yi, [Z,X2]] 6= 0 pour i = 1 ou 2. Onen déduit que la restriction dedω′2 àE + [K,E] est au moins de rang 4.Ce rang ne peut pas être égal à 6 car sinon le rang deβ ′2 (surE) seraitégal à 4 et, par suite, il existe deux champs de vecteurs indépendantsY ′1etY ′2 tangents àK et tels quedω′2(Y ′i ,X)= 0 pour toutX ∈E + [K,E].On en déduit que l’intersection du noyau deω′2 avecT C est de dimension2 et il engendré par

−→HY ′1,−→HY ′2, ce qui achève la démonstration sous cette

hypothèse.Si maintenantE + [K,E] + [K, [K,E]] 6= TM sur S, on en déduit

queω′2[Y, [Z,X2]] = 0 surS pour toutY tangent àK . Par suite, le noyaudeΩ est tangent àC et toute courbe tangente àK sera anormale.2

En utilisant les arguments classiques de transversalité, on obtient :

COROLLAIRE 3.3. – Soit ω un germe de1-formes indépendantestransverses àΣ2(R7). Il existe alors une sous-variétéS2 de codimension3 sur un voisinageU de0∈R7 ayant les propriétés suivantes:

(1) Le module de CartanF est de rang maximal3 sur U \ S2 et derang 2 surS2.

(2) F contient un sous-ensembleA qui est un fibré localement trivialau dessus deU \ S2 (resp.S2) dont la fibre type est un ensemblealgébrique de dimension2 tel que pour toutv ∈ Ax, il existelocalement un champ de vecteursX tangent àA et égal àv enx et dont toutes les courbes intégrales sont anormales.


(3) Il existe surS2 un unique sous-fibréK de dimension3 tel quedim(K ∩ F) = 1 et toute courbe anormale tracée dansS2 esttangente àK ou àF . En particulier, siK + F est transverse àS2, aucune courbe anormale n’est entièrement contenue dansS2.

Appartenance àΣ1

PROPOSITION 3.9. – Soit ω un germe de1-formes indépendantesdont le1-jet appartient àΣ1,j (R7), j = E,H,P sur une sous-variétéSj d’un voisinageU de 0. Alors le module de CartanF associé est derang1 au dessus deSj et toute courbe contenue dansSj et tangente àF(presque partout) est anormale. De plus, on a:

(1) Si j = E, les seules courbes anormales contenues dansSE sontcelles qui sont tangentes àF .

(2) Si j =H, sur SH , il existe deux uniques sous-fibrésKi, i = 1,2,tels queK1 ∩ K2 = F et K1 + K2 = E. Toute courbe anormalecontenue dansSH est tangente(presque partout) à l’un des fibrésK1 ouK2.Si, de plus,SH est un voisinage de0 et si E + [Ki,E] +[Ki, [Ki,E]] = TM pour i = 1 ou i = 2, Ki contient un uniquesous-fibréHi de dimension2 sur un voisinage de0 tel que toutecourbe tangente àKi est anormale si et seulement si elle esttangente àHi. Par contre, siE + [Ki,E] + [Ki, [Ki,E]] 6= TMsurSH , toute courbe tangente àKi est anormale.

(3) Si j = P , sur SP , il existe un unique fibréK ayant les mêmespropriétés que les fibrésKi précédents.

(4) Pour toute suite(xn) de points deSH qui converge versx dansSP

alors la limite deKixn est égale àKx .

Preuve. –Il est clair que, par définition,F est de dimension 1 surSj

et il est contenu dans le noyau dedα|E pour toutα ∈P .Nous n’établirons ici que les propriétés (2) et (4), les autres étant

laissées au lecteur.(2) Si j =H, comme dans la preuve de la proposition précédente, on

peut construire sur un voisinageU de 0 une baseω′ = (ω′1,ω′2) du moduleP engendré parω telle que la restrictionβ ′i dedω′i àE soit de rang 2 surSH (pour i = 1,2). Le fibréKi sur SH est le noyau deβ ′i sur SH ; ilcontient doncF etE =K1+K2.


Supposons maintenant queSH soit un voisinage de 0. SurSH il existeune baseX1,X2, Y1, Y2,Z deE telle que(Xi, Yi,Z) soit une base deKi,i = 1,2 etZ engendreF ; β ′j (Xi, Yi)= 1 pourj 6= i.

Dans ce contexte, l’ensembleC est la réunion des formes proportion-nelles àω′1 ou àω′2. Considéré comme sous-variété deT ∗M, C a pouréquation (dansP) :H[Xj ,Yj ] = 0, j = 1 ouj = 2. Le même raisonnementque dans la preuve de la Proposition 3.8 permet d’établir les propriétésannoncées.

(4) On peut supposer quex = 0. On peut alors choisir une sectionnon nulleZ du moduleF sur un voisinage de 0. SurSH ∪ SP , Z estune base de chaque fibre deF. Choisissant un système de coordonnées(x1, . . . , x6, z) sur un voisinage de 0 dans lequelZ = ∂

∂z, la situation

induite surR6 identifiée au sous-espace d’équationz= 0 est exactementla situation de la Proposition 3.5.2

COROLLAIRE 3.4. –Soit ω un germe de1-formes indépendantestransverses àΣ1,j (R7) en 0, j = E,H,P. Il existe alors une stratifi-cation S3, S2, S1,jj=E,H,P d’un ouvert de0 ayant les propriétés sui-vantes:

(1) S3 est ouverte,S2 est une sous variété de codimension2, S1,E etS1,H (resp.S1,P ) sont des sous-variétés de codimension4 (resp.5).

(2) Sur S3 ∪ S2 on a la situation générique décrite dans le Corol-laire 3.3.

(3) SurS1,j , j =E,H,P , le module de CartanF est de dimension1et par toute direction tangente àF en un point deS1,j passe unecourbe anormale. On a de plus:(a) toute courbe anormale qui rencontreS1,E en un pointx est

tangente àF si elle est dérivable enx. Toute courbe contenuedans cette variété qui est tangente àF presque partout(si elleexiste) est anormale,

(b) il existe surS1,H deux uniques sous fibrésK1 et K2 de Etransverses qui contiennentF. Toute courbe anormale quirencontreS1,H en un pointx est tangente à l’un des fibrésK1 ouK2,

(c) il existe surS1,P un unique sous fibréK qui contientF ettel que toute courbe anormale qui rencontreS1,P et qui estdérivable en ce point est tangente àK . De plus, pour toute


suitexn ∈ S1,H qui converge versS1,P , la limite de(Ki)xn estégale àKx .

Appartenance àΣ0

PROPOSITION 3.10. – Soit ω un germe de1-formes indépendantesdont le1-jet appartient àΣ0(R7) sur un voisinageU de0. Il existe dessous-fibrésK etH deE de dimension respective4 et2 tels queH ⊂K etH est intégrable. Toute courbe anormale est tangente àK et toute courbetangente àH est anormale. Pour toutx ∈ U et toutv ∈ K, il existe unchamp de vecteurs localV tangent àK, tel queVx = v et toutes lescourbes intégrales deV sont anormales.

Preuve. –La démonstration de cette proposition est laissée au lec-teur. 2

Remarque3.3. – Puisque la codimension deΣ0(R7) est égale à 8, iln’existe aucun germe de 1-formes indépendantes transverses àΣ0(R7).

3.4. Etude des anormales pour les distributions de codimension 2sur des variétés homogènes de dimension 6 et 7

3.4.1. Anormales pour une distribution sur une variété homogèneDans ce paragraphe, on se place dans la situation oùM est une variété

homogène,i.e. oùM est le quotient d’un groupe de LieG par un sous-groupe discretΓ .

Soit E une distribution surG invariante à gauche. Par passage auquotient, on obtient une distributionE surM . A E correspond un sousespace vectorielE de l’algèbre de LieG de G. En toute généralité,réciproquement, tout sous-ensembleA de G induit par translation àgauche un fibréA surG puis, par passage au quotient, un fibréA surM dont la fibre type estA. Si on considère la trivialisationG × G∗ deT ∗G, l’annulateurP de E s’identifie àG× P oùP est l’annulateur deE dansG∗. Si on noteΩ la 2-forme fermée surP induite par la formesymplectique canonique deT ∗G, le noyau deΩ en (x, λ) ∈ T ∗G estdéterminé par le noyau deΩ en (e, λ) via la translation à gauche oùedésigne le neutre du groupeG. On noteΩ la 2-forme correspondantesur le système de PfaffP sur M obtenu par passage au quotient.Remarquons que pourP le noyau deΩ en (x, λ) est complètementdéterminé par le noyau deΩ en (e, λ). La description qui va suivre


est donc une application directe des Propositions 3.2 à 3.10. Dans lereste de ce paragraphe,M désigne le quotient d’un groupe de LieG dedimension 6 ou 7 par un sous groupe discretΓ et E une distributionde codimension 2 obtenue par passage au quotient d’une distributioninvariante à gaucheE surG et on noteE le sous espace deG associé àE. On suppose queE vérifie les conditions d’Hörmander ou, de manièreéquivalente, que l’algèbre de Lie engendré parE est égale àG. Dans lecas contraire, toutes les courbes horizontales sont anormales. Comme onl’a déjà vu dans les paragraphes précédents, les différents cas dépendentdes “singularités” d’un coupleω = (ω1,ω2) de 1-formes qui définissentE localement.

Considérons donc une baseω = (ω1,ω2) de l’annulateurP deE dansG∗.

3.4.2. Cas des variétés de dimension 6Une forme volumeΛ surG étant choisie, au coupleω est associée une

forme quadratiqueQ surR2 définie parQ(X,Y )= aX2+ 2bXY + cY 2

oùa, b et c sont caractérisées par les relations :

ω1∧ ω2∧ dω1∧ dω1= aΛ, ω1∧ω2∧ dω1∧ dω2= bΛ,ω1∧ ω2∧ dω2∧ dω2= cΛ.

On a alors la situation suivante :

Q est de signature(2,0) ou (0,2) : la distributionE ne possède pas decourbe anormale. Cette distribution vérifie les conditionsH 2 fortes.

Q est de signature(1,1) : il existe deux sous-fibrés uniquesFi (i =1,2), de dimension 2, supplémentaires dansE tels que toute courbeanormale est tangente à un seul des fibrésFi . De plus siFi est le sousespace deG associé àFi alors toute courbe tangente àFi est anormalesi et seulement siE +F3

i 6= G. Dans le cas contraire, il existe dansFiune droite vectorielle uniqueDi telle que toute courbe tangente àFi estanormale si et seulement si elle est tangente au sous fibréDi associé àDi .

Q est de signature(1,0) ou (0,1) : il existe un unique sous-fibréF deE de dimension 2 tel que toute courbe anormale est tangente àF . Deplus, siF est le sous espace deG associé, toute courbe tangente àFest anormale si et seulement siE +F3 6= G. Dans le cas contraire, il


existe dansF une unique droite vectorielleD telle que toute courbe estanormale si et seulement si elle est tangente au sous-fibréD associé àD.

Q est identiquement nulle : il existe deux sous-fibrés uniquesD et Ftels queD ⊂ F , de dimension respective 1 et 3 ayant les propriétéssuivantes :

(1) Toute courbe anormale est tangente àF .(2) Toute courbe tangente àD est anormale.(3) Pour toutx ∈M et tout vecteurx ∈ Fx , il existe un champ de

vecteursV surM égal àv enx tel que toute courbe intégrale deV est anormale.

3.4.3. Cas des variétés de dimension 7Une forme volumeΛ surG étant choisie, au coupleω est associé le

sous-espace vectorielF deG engendré par les vecteursXi, i = 1,2 (resp.X3) défini par :

iXiΛ= ω1∧ω2∧ dωi ∧ dωi (resp.iX3Λ= ω1∧ ω2∧ dω1∧ dω2).

On a alors la situation suivante :

dimF = 3 : il existe dansF un sous-ensemble algébriqueA dedimension 2, invariant par homothétie, tel que toute courbe anormaleest tangente presque partout au sous-fibréA deE induit parA. Pourtout x ∈M et toutv ∈ Ax, il existe un champ de vecteursV égal àvenx et tel que toute courbe intégrale deV soit une courbe anormale.

dimF = 2 : E (resp. F ) contient un sous espace vectorielK dedimension 3 (resp.un ensemble algébriqueA de dimension 2) tel quedimF ∩K= 1 avec les propriétés suivantes :

(1) Toute courbe anormale est tangente au fibréA ou K sur Minduit parA etK respectivement.

(2) Pour toutx ∈M et toutv ∈ Ax, il existe un champ de vecteursV égal àv enx et tel que toute courbe intégrale deV soit unecourbe anormale.

(3) PourK on a l’une des situations suivantes :


(a) E+[K,E] + [K, [K,E]] = G : dans ce cas, il existe unsous-espace vectorielH de K de dimension 2 tel quetoute courbe anormale tangente presque partout au fibréK

est anormale si et seulement si elle est tangente presquepartout àH surM induit parH.

(b) E+[K,E] + [K, [K,E]] 6= G : dans ce cas, toute courbetangente àK est anormale.

dimF = 1 : SiZ est une base deF, considérons la 6-formeΛ = iZΛsur G. Au coupleω est associée une forme quadratiqueQ sur R2

définie parQ(X,Y )= aX2 + 2bXY + cY 2 où a, b et c sont donnéspar les relations :

ω1∧ω2∧ dω1∧ dω1= aΛ, ω1∧ω2∧ dω1∧ dω2= bΛ,ω1∧ω2∧ dω2∧ dω2= cΛ.

On a alors l’une des trois situations suivantes :

(1) Q est de signature(2,0) ou (0,2) : les seules courbesanormales sont les courbes tangentes au fibréF .

(2) Q est de signature(1,1) : il existe dansE deux sous espacesvectorielsK1 et K2 de dimension 3 qui contiennentF etqui sont transverses dansE tels que toute courbe anormaleest tangente (presque partout) à l’un des fibrésKi induit surM par Ki , i = 1,2. De plus, pouri = 1 ou i = 2, si E +[Ki ,E] + [Ki , [Ki ,E]] = G, Ki contient un unique sous espaceHi qui peut être transverse àF ou le contenir et tel qu’unecourbe tangente (presque partout) au fibréKi est anormale si etseulement si elle est tangente presque partout au fibréHi induitsurM . Dans le cas contraire, toute courbe tangente (presquepartout) au fibréKi est anormale.

(3) Q est de signature(1,0) ou (0,1) : il existe dansE un seulsous-espace vectorielK qui possède les mêmes propriétés queles sous espacesKi précédents.

dimF = 0 : il existe dansE deux sous-espaces vectorielsH etK telsqueH⊂K de dimension respective 2 et 4,H étant une sous algèbrecommutative deG avec les propriétés suivantes :

(a) Toute courbe anormale est tangente au fibréK induit surM ettoute courbe tangente au fibréH induit est anormale.


(b) Pour toutx ∈M et toutv ∈Kx , il existe un champ de vecteursV surM , égal àv enx et tel que toute courbe intégrale deVsoit une courbe anormale.

4. Application à la généricité de couples de tenseurs de Poissoncompatibles

4.1. Introduction et résultats

4.1.1. Structures bipoissoniennesSi Λ désigne un champ de bivecteurs surM , on désigne par

Λ# :T ∗M→ TM le morphisme de fibrés vectoriels associé àΛ, définien tout pointx deM par :

∀α,β ∈ T ∗x M,⟨β,Λ#(x)α

⟩=Λ(x)(α,β).On fera l’abus classique qui consiste à noterΛ au lieu deΛ#.

De manière duale, siΩ est une 2-forme différentielle surM , on noteraΩ[ : TM→ T ∗M le morphisme de fibrés vectoriels associé àΩ , définien tout pointx deM par :

∀X,Y ∈ TxM, ⟨Ω[(x)X,Y

⟩=Ω(x)(X,Y ).On sera, ici aussi, amené à utiliser souvent, par abus de notation,Ω à laplace deΩ[.

DÉFINITION 4.1. – Une variété de Poisson est la donnée d’un couple(M,Λ) oùM est une variété différentiable etΛ un tenseur de Poisson,i.e. un tenseur2-fois antisymétrique vérifiant la condition[Λ,Λ] = 0 où[ , ] désigne le crochet de Schouten défini par:

[Λ,Λ](α,β)= LΛβ(Λ)α +Λ.LΛα(β)+Λ.d〈α,Λ0β〉.Si (M,Λ) est une variété de Poisson, l’image deΛ dansTM est une

distribution singulière que l’on notera imΛ. Le théorème suivant dû àWeinstein [24] donne les propriétés de cette distribution :

THÉORÈME 4.1. – SoitM une variété de Poisson de dimensionm.Alors la distribution imΛ est intégrable. De plus, siΛ est de rang2p en


un pointa deM , il existe alors un voisinage ouvert dea qui s’identifie auproduit d’une variété symplectiqueV de dimension2p et d’une variétéde PoissonV ′ de dimensionm− 2p dont le rang au point image dea estnul.

On dira que le feuilletage deM défini par imΛ est lefeuilletage deWeinsteindeΛ.

DÉFINITION 4.2. – Une structure bipoissonienne sur une variétédifférentiableM est définie par la donnée d’un couple(Λ∞,Λ0) detenseurs de Poisson non colinéaires oùΛ∞ est de rang maximum et oùΛ0 est compatible avecΛ∞, i.e. vérifie la relation

[Λ∞,Λ0] = 0

où [ , ] désigne le crochet de Schouten défini par:

2[Λ∞,Λ0](α,β)=LΛ∞β(Λ0)α+Λ0.LΛ∞α(β)+Λ0.d〈α,Λ∞β〉+LΛ0β(Λ∞)α+Λ∞.LΛ0α(β)+Λ∞.d〈α,Λ0β〉.

Les diverses contraintes sur les champs de tenseurs 2-fois contrava-riantsΛ∞ etΛ0 se traduisent, en coordonnées locales, par :

Λija =−Λji

a et σijkΛila ∂lΛ

jkb +Λil

b ∂lΛjka = 0 oùa, b ∈ ∞,0.

L’antisymétrie des tenseurs de PoissonΛ∞ etΛ0 entrainent les relations :tΛ#

a =−Λ#a.

Remarque4.1. – La condition[Λ,Λ] = 0 est équivalente, sur unevariété de dimension paire, pour des élémentsΛ# de rang maximum, àla condition de fermeture :d(Λ#−1)= 0.

DÉFINITION 4.3. –(M,Λ∞,Λ0) est une variété bipoissonienne. Unchamp d’endomorphismesN :TM → TM tel que Λ#

0 = N.Λ#∞ estappelé opérateur de récursion du couple(Λ∞,Λ0).

Dans le cas oùN existe, la condition de compatibilité deΛ∞ et Λ0

entraine la nullité de la torsion de Nijenhuis deN définie par :

T (N)(X,Y )= [NX,NY ] −N[NX,Y ] −N[X,NY ] +N2[X,Y ].


PROPOSITION 4.1. – (1)(M,Λ∞,Λ0) est une variété bipoissoniennede dimension4. Il existe surM un unique opérateur de récursion.

(2) (M,Λ∞,Λ0) est une variété bipoissonienne de dimension5. Ilexiste un opérateur de récursionN (non unique) pour le couple(Λ∞,Λ0)

si et seulement sikerΛ∞ ⊂ kerΛ0.

A tout couple de tenseurs de Poisson compatibles(Λ∞,Λ0), onassocie la famille de tenseurs(Λt)t∈R∪∞ définie par :

pour t ∈R, Λt =Λ0+ t.Λ∞,pour t =∞, on posera :Λt =Λ∞.

Cette famille est en bijection avec l’ensemble des directions du planengendré, en chaque point, par les deux bivecteurs non colinéairesΛ∞ etΛ0.

On noteEt l’espace caractéristique deΛt , i.e. la distribution singulièreimΛt ⊂ TM . Remarquons queEt est intégrable puisqu’on a :

[Λtα,Λtβ] =Λt α,βΛtoù α,βΛt = LΛtβ(α)−LΛtα(β)+ d〈β,Λtα〉.

On noteWt le feuilletage de Weinstein associé.LorsqueM est de dimension impaire 2m+ 1, introduisons maintenant

d’autres objets liés à la famille des tenseurs(Λt)t∈R∪∞. Considéronslocalement un champ de 2m+ 1-vecteursΞ de rang maximum 2m+ 1sur un ouvertU deM . On introduit l’opérateurj défini par :

∀ω,ω1, . . . ,ω2m ∈ χ∗(M), (jωΞ) (ω1, . . . ,ω2m)=Ξ(ω,ω1, . . . ,ω2m).

On associe alors aux tenseursΛm−l∞ ∧Λl0, l = 0, . . . ,m, les 1-formesωl

définies par :

jωlΞ =Λm−l∞ ∧Λl

0.

Le module de 1-formes surU engendré parω0, . . . ,ωm ne dépendpas du choix (local) deΞ . Par recollement, on définit ainsi un sous-moduleC de 1-formes surM appelémodule de Cartan de la structurebipoissonienne.

L’annulateur O du module de Cartan est appelé ossature de lastructure bipoissonienne.


L’intersectionA de tous les espaces caractéristiquesEt est appeléearmature de la structure bipoissonienne.

LorsqueΛ∞ etΛ0 sont de rang maximum 2m, chaque feuille deWt

est une hypersurface, le module de Cartan est une distribution régulièrede rangm + 1 qui est engendré par les champs de direction de 1-formes kerΛt , t ∈R∪∞, l’ossature et l’armature sont des distributionsrégulières égales et intégrables (cf.par exemple [20]). Il est clair que cettesituation n’a plus lieu si par exempleΛ0 présente des singularités de rang.

Pour les dimensions 4 et 5, l’objet de cette partie est d’établir lesrésultats suivants :

THÉORÈME 4.2. – Sur les variétés de dimension4, génériquementdans l’ensemble des couples de tenseurs de Poisson compatibles indé-pendantsΛ= (Λ∞,Λ0) (dont le premier est de rang maximum), il existeune stratification de la variété

S4(Λ)= SE(Λ),SH,4(Λ), SH,2(Λ), SP,4(Λ), SP,2(Λ)telle que siN est l’opérateur de récursion associé on ait:

(1) SE(Λ) est un ouvert(éventuellement vide) sur lequel l’opérateurde récursionN est inversible et possède deux valeurs proprescomplexes conjuguées.

(2) SH,4(Λ)∪SH,2(Λ) est un ouvert(éventuellement vide) sur lequelil existe une décomposition du fibréTM en somme directe dessous-fibrésF1 et F2, de dimension2, intégrables, qui sont lesespaces propres de l’opérateur de récursionN. De plus, ilexiste deux fonctions réelles et distinctest1 et t2 sur SH,4(Λ) ∪SH,2(Λ) telles que les tenseursΛt1 etΛt2 soient de rang2 et lesfeuilletages de WeinsteinWt1 etWt2 associés soient précisémentles feuilletages définis parF1 etF2. Sur l’ouvertSH,4(Λ), t1 et t2sont toutes deux différentes de0 et sur la sous-variétéSH,2(Λ),de codimension1, l’une des fonctionst1 ou t2 est égale à0.

(3) Au dessus de la variétéSP,4(Λ) ∪ SP,2(Λ) de codimension1 (sielle est non vide), l’opérateur de récursion ne possède qu’uneseule valeur propre qui est réelle et il existe un champ de plansF

égal au sous-espace propre de l’opérateur de récursion. De plus,il existe une unique fonction réellet0 telle queΛt0 soit de rang2et que le feuilletage de Weinstein associé soit tangent àF . Sur la


variétéSP,4(Λ) (de codimension1) on a t0 6= 0 tandis que sur lavariétéSP,2(Λ) (de codimension2) on a t0= 0.

THÉORÈME 4.3. – Sur les variétés de dimension5, génériquementdans l’ensemble des couples de tenseurs de Poisson compatibles indé-pendantsΛ= (Λ∞,Λ0) (dont le premier est de rang maximum), il existeune stratification de la variété

S5(Λ)= S3(Λ), S2,4(Λ), S2,2(Λ), S1,E(Λ), S1,H,4(Λ), S1,H,2(Λ),

S1,P ,4(Λ)

telle que:(1) s’il n’est pas vide,S3(Λ) est un ouvert sur lequel on a:• la dimension du fibré de CartanC est égale à3,• la codimension du feuilletage de WeinsteinWt est égale à1 pour

tout t ∈R ∪ ∞,• les fibrésO etA sont égaux et de rang2.

(2) S2,4(Λ) ∪ S2,2(Λ) est une sous-variété, éventuellement vide, decodimension2. On a de plus, au dessus de cette sous-variété:• la dimension du fibré de CartanC est égale à2 et doncdimO =

3,• A est un fibré en droites,• il existe une unique fonction réellet0 telle que le feuilletage de

WeinsteinWt0 associé soit de codimension3 et pour toutt 6= t0,la codimension du feuilletage de WeinsteinWt est 1. En fait,t0 6= 0 sur la variété(de codimension2) S2,4(Λ) et t0= 0 sur lavariété(de codimension3) S2,2(Λ).

(3) S1,E(Λ)∪S1,H,4(Λ)∪S1,H,2(Λ)∪S1,P ,4(Λ) est une sous-variété,éventuellement vide, de codimension4 et S1,H,2(Λ) ∪ S1,P ,4(Λ)

sont des points isolés. Au dessus de cette sous-variété, on a:• la dimension du fibré de CartanC est égale à1 et doncdimO =

4,• tous les feuilletages de WeinsteinWt , pour tout t ∈ R ∪ ∞,

sont tangents àO,• dimA est égale respectivement à0, 2 et 4 au dessus deS1,H,4(Λ)∪S1,H,2(Λ), S1,P ,4(Λ) etS1,E(Λ) respectivement. Deplus :• surS1,H,4(Λ)∪S1,H,2(Λ), il existe deux fonctions réellest1 et t2

distinctes telles que les feuilletages de WeinsteinWti , i = 1,2,


associés soient de dimension2 et transverses dansO et lesautres feuilletagesWt pour t 6= t1 et t 6= t2 ont le même fibrétangentO : par ailleurs, surS1,H,4, t0 et t1 sont tous deuxdifférents de0 et l’une des deux fonctions vaut0 surS1,H,2,• sur S1,P ,4(Λ), il existe un uniquet0 6= ∞ tel que la dimension

du feuilletage de WeinsteinWt0 soit 2 et pour t 6= t0 les autresfeuilletages de Weinstein ont le même fibré tangentO,• sur S1,E(Λ) tous les feuilletages de WeinsteinWt ont le même

fibré tangentO.

Remarque4.2. – Le cas deS3(Λ) correspond à la situation développéede manière exhaustive en termes de feuilletages dans [20] pour desvariétés connexes orientables de dimension 5. Trois cas se présententalors :• les feuilles deA sont des toresT2, fibres d’une fibration localement

triviale au dessus d’une variété de dimension 3 fermée, connexe etorientable,• les adhérences des feuilles deA sont de dimension 3 et on a une

fibration deM au dessus d’une surface fermée,• les adhérences des feuilles deA sont de dimension 4 etM est un

fibré sur le cercleS1.

4.1.2. Champs bihamiltoniens et champs bidynamiquesConsidérons une variété de Poisson(M,Λ). Classiquement, un champ

hamiltonien est un champ de vecteursX tel qu’il existe une fonctionhamiltonienneh :M→ R telle queX = Λ(dh). Les courbes intégralesde X qui représente la “dynamique” associée à l’hamiltonienh sontalors contenues dans l’une des “feuilles”h = cte, i.e. dans un “niveaud’énergie constant”. Si, de plus,Λ n’est pas de rang égal à la dimensiondeM , un champ hamiltonien est alors tangent au feuilletage de WeinsteindeΛ et les courbes intégrales deX sont contenues dans l’intersection des“feuilles” h= cte et les feuilles de Weinstein deΛ.

Plus généralement, on peut définir :

DÉFINITION 4.4. – (M,Λ) est une variété de Poisson.(1) On dit queX est un champ localement hamiltonien s’il existe une

1-forme ferméeα telle queX =Λα.


(2) On dit queX est un champ dynamique s’il existe une formedifférentielleα telle queX = Λα et telle que la restriction deαà chaque feuille de Weinstein deΛ soit fermée.

Si X est un champ localement hamiltonien, il existe localement unefonction hamiltonienneh telle queX = Λ(dh). Si X est un champdynamique, il résulte du Théorème 4.1 de Weinstein que pour toutx ∈M ,il existe localement une fonctionh telle queX est égal à l’image parΛ dela restriction dedh à la feuille de Weinstein passant parx ou, de manièreéquivalente, sur chaque feuille de Weinstein, localement, il existe unefonction “hamiltonienne”h telle que les courbes intégrales deX soientcontenues dans un “niveau d’énergie”h= cte.

Si maintenant(M,Λ∞,Λ0) est une variété bipoissonienne, un champbihamiltonien est un champX qui est hamiltonien pour chacune desstructures de Poisson(M,Λ∞) et (M,Λ0). Dans ce cas, siX =Λ∞ dh∞ = Λ0 dh0, les courbes intégrales deX sont contenues dansl’intersection des “niveaux d’énergie”h∞ = cte eth0= cte et les feuillesde Weinstein deΛ∞ etΛ0. Dans ce cas(M,Λ∞,Λ0,X) s’appelle unevariété bihamiltonienne([8,20], . . .).

Plus généralement, on peut définir :

DÉFINITION 4.5. – Soit(M,Λ∞,Λ0) une variété bipoissonienne.(1) On dit que le champ de vecteursX est localement bihamiltonien si

X est localement hamiltonien pour chacune des deux structures.(2) On dit que le champX est bidynamique siX est dynamique pour

chacune des deux structures.

Pour les variétés de dimension 4 et 5, on obtient les résultats suivants :

THÉORÈME 4.4. – Sur une variété bipoissonienne(M,Λ∞,Λ0) dedimension4, générique au sens du Théorème4.2, on a:

X est bidynamique

⇔

LX3∞ = 0, sur une partie dense deM

LX30= 0, sur une partie dense deM

X ∈ im30, sur une partie dense deSH,2

(i)

(ii) .

(iii )


Sous ces conditions équivalentes, il existe un unique couple de1-formesfermées(α∞, α0) tel queX =Λ∞α∞ =Λ0α0 ; en d’autres termes,X estlocalement bihamiltonien.

THÉORÈME 4.5. – Sur une variété bipoissonienne(M,Λ∞,Λ0) dedimension5, générique au sens du Théorème4.3, on a:

X est bidynamique

⇔

LXΛ∞ = 0, surS3

LXΛ0= 0, surS3

X ∈ imΛ∞ ∩ imΛ0, surS3

(i)

(ii)

(iii )

.

Sous ces hypothèses équivalentes, il existe un couple de1-formes fermées(α∞, α0) tel queX = Λiαi , i =∞,0. Un autre couple(α′∞, α′0) vérifieces mêmes propriétés si et seulementαi − α′i appartient au noyau deΛi ,i =∞,0 ; en d’autres termes,X est localement bihamiltonien.

COROLLAIRE 4.1. – Soit (M,Λ∞,Λ0) une variété bipoissoniennegénérique. Tout champ bidynamiqueX surM est tangent à l’intersectiondes feuilletages de Weinstein deΛ∞ etΛ0 et est aussi tangent à toutesles strates de la stratificationSp(Λ).

4.2. Généricité des champs de bivecteurs compatibles transverses

On se propose d’établir que l’ensemble des éléments deP 2 transversesà Sp(M) n’est pas vide (pourp = 4,5). On obtiendra alors, pour toutélément génériquew (i.e.appartenant à un ensemble résiduel) deP 2, unestratificationSp(w) sur la variété. L’obtention de tels résultats se ramèneà la recherche d’exemples de sections deW2(Rp) transverses à chaquestrate deSp(Rp) en 0∈Rp.

Nous démontrerons ensuite les Théorèmes 4.2 et 4.3.Afin d’alléger les notations, le système de coordonnées(x1, . . . , xp)

en 0 étant fixé, nous écrirons∂xi au lieu de ∂∂xi

pour i = 1, . . . , p et onécrira tout bivecteur deVp2 sous la forme

∑16i<j6p y

ij ∂xi ∧ ∂xj .4.2.1. Cas d’une variété de dimension 4

PROPOSITION 4.2. – Exemples d’éléments compatibles transverses àS4(M)


(1)

wE = ∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4,

λ(∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4)+µ(∂x1∧ ∂x4+ ∂x2 ∧ ∂x3)

,

oùµ est un réel non nul, est un élément deP 2 transverse àSE(R4) en0.

(2)

wH,4= ∂x1 ∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4,

a∂x1 ∧ ∂x2+ b∂x3∧ ∂x4

,oùa etb sont deux réels différents, tous deux non nuls, est un élément deP 2 transverse àSH,4(R4) en0.

(3)

wH,2= ∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4,

a∂x1∧ ∂x2+ x3∂x3∧ ∂x4

est un élément deP 2 transverse àSH,2(R4) en0.

(4)

wP,4=

∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4,

(a + x1)∂x1∧ ∂x2+ ∂x1∧ ∂x4− x3∂x2∧ ∂x3+ x4∂x2

∧ ∂x4+ a∂x3 ∧ ∂x4

,

où le réela est non nul, est un élément deP 2 transverse àSP,4(R4) en0.


(5)

wP,2= ∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4,

x1∂x1∧ ∂x2+ ∂x1 ∧ ∂x4− x3∂x2∧ ∂x3+ x4∂x2∧ ∂x4

est un élément deP 2 transverse àSP,2(R4) en0.

Preuve. –(1) Remarquons queSE(R4) est ouvert ; puisque pour toutxdans un voisinage de 0, on awE(x) ∈ SE(R4), on en déduit quewE estbien transverse àSE(R4) en 0. Il est alors évident quewE ∈ P 2.

(2) La démonstration est analogue pourwH,4 transverse à l’ouvertSH,4(R4).

(3) Un résultat classique de [18] indique que chaque 2-forme différen-tielle a dx1 ∧ dx2 + xidx3 ∧ dx4, où i ∈ 1,2,3,4, est transverse à lastrateσ 2 (notéeΣ2 dans [18]) du fibréΛ2T ∗M correspondant à l’en-semble des valeurs des 2-formes de rang 2 en les différents points deM .Cette transversalité se transpose à la stratification du fibréΛ2TM. Le faitqueSH soit ouvert permet alors de conclure à la transversalité dewH,2 àSH,2(R4) en 0.

Un simple calcul montre que[∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4, a∂x1 ∧ ∂x2+ x3∂x3 ∧ ∂x4]= [a∂x1∧ ∂x2+ x3∂x3∧ ∂x4, a∂x1 ∧ ∂x2+ x3∂x3∧ ∂x4]= 0.

∂x1 ∧ ∂x2 + ∂x3 ∧ ∂x4 et a∂x1 ∧ ∂x2 + x3∂x3 ∧ ∂x4 sont donc deuxtenseurs de Poisson compatibles.

(4) Avec des notations déjà usitées,SP a pour équation locale :(y12− y34)2 + 4(y13y24− y14y23) = 0. L’espace tangent àSP,4(R4) en(∂x1 ∧ ∂x2 + ∂x3 ∧ ∂x4, a∂x1 ∧ ∂x2 + ∂x1 ∧ ∂x4 + a∂x3 ∧ ∂x4)0 apour équation :(dy23)0 = 0. La transversalité d’un champ de bivecteurs(w1,w2) àSP,4(R4) en 0 se traduit alors par la non nullité d’au moins un

des 4 réels∂w23

2∂xi

où i ∈ 1,2,3,4. Un simple calcul permet de conclure àla transversalité.

(5) L’espace(V42−0)×σ 2 a pour équation locale :y12y34−y13y24+

y14y23= 0.Les espaces tangents àSP (R4) et à(V4

2 − 0)× σ 2 en (∂x1 ∧ ∂x2+∂x3 ∧ ∂x4, ∂x1 ∧ ∂x4)0 ont la même équation :(dy23)0= 0. Etablissons


que

wP,2= ∂x1∧ ∂x2+ ∂x3 ∧ ∂x4,

x1∂x1∧ ∂x2+ ∂x1 ∧ ∂x4− x3∂x2∧ ∂x3+ x4∂x2∧ ∂x4

est un élément deP 2 transverse àSP,2(R4) en 0 en exhibant deuxvecteurs tangents àR4 en 0 dont l’image pardwP,2(0) sont deux vecteursnon colinéaires tous deux transverses àTwP,2(0)S

P,2. On peut choisir∂x1 + ∂x3 et ∂x3 qui ont pour image respective∂y12− ∂y23 et −∂y23.Le fait que les deux tenseurs soient compatibles s’obtient par simplescalculs. 2

Preuve du Théorème 4.2. –(1) Les propriétés de la strateSE(Λ) sont évidentes.(2) Considérons un couple(Λ∞,Λ0) tel queSH (Λ) ne soit pas vide.

En fait SH (Λ)= SH,4(Λ) ∪ SH,2(Λ). CommeΛ∞ est de rang 4, soientf1(x) et f2(x) les opposées des racines enx ∈ SH (Λ) du polynômeX2 + 2BX + C où Λ∞ ∧ Λ0 = B Λ2∞ et Λ2

0 = CΛ2∞. f1(x) et f2(x)

sont alors les valeurs propres, enx, de l’opérateur de récursionN =Λ#

0.(Λ#∞)−1 dont le polynôme caractéristiqueχ s’écrit alors sous la

forme :(X− f1)2(X− f2)

2 ; f1(x) etf2(x) sont distinctes en tout pointde SH (Λ) et l’endomorphismeN(x) est diagonalisable en tout pointde l’ouvert SH (Λ). On note alorsNi = N − fiId ; kerNi(x) est bienentendu le sous-espace propre associé à la valeur proprefi(x) ; puisqueN(x) est diagonalisable, on a aussi kerNi(x) = kerN2

i (x), sous-espacecaractéristique deN(x).

On a une décomposition deT SH (Λ) en somme directe :T SH (Λ) =kerN1⊕kerN2. Etablissons que chacune des 2 distributions kerNi estintégrable en prouvant, puisqueNi est partout de rang 2 surSH (Λ),qu’elle est involutive, en utilisant en particulier le fait que[N,N] = 0 :

Pour tout champ de vecteursu et v de kerNi on a :

[N,N](u, v)= [Nu,Nv] −N[Nu,v] −N[u,Nv] +N2[u, v]= f 2

i [u, v] + fi.u(fi).v − fi.v(fi).u− fi.N[u, v]+ fi.v(fi).u− fi.N[u, v] − fi.u(fi).v+N2[u, v]

= (N − fiId)2[u, v].


On obtient donc :(N−fiId)2[u, v] = 0 et par conséquent, puisqueN estdiagonalisable,(N − fiId)[u, v] = 0; ainsi [u, v] ∈ kerNi et le résultaten découle.

On obtient alors, sur l’ouvertSH(Λ), 2 feuilletages supplémentaires.Le point x0 de SH (Λ) étant fixé, choisissons une basee1, . . . , e4 de

Tx0M dans laquelle on ait :Λ∞ = e1 ∧ e2+ e3 ∧ e4 etΛ0= a.e1 ∧ e2+b.e3 ∧ e4 aveca 6= b. Pout t ∈ R, on a alors :Λt = (a + t).e1 ∧ e2 +(b + t).e3 ∧ e4. Pour t1 = −a et t2 = −b, le rang deΛt est égal à 2.imΛt1 (resp.imΛt2) est alors engendré pare3 et e4 (resp.e1 et e2) quiconstituent précisément une base de kerN2 (resp.kerN1). SurSH,4(Λ)on ati 6= 0 ; par contre, surSH,2(Λ) l’une desti vaut 0.

(3) Au dessus deSP (Λ), lorsque cet ensemble est non vide, ladémonstration est analogue au cas précédent : on a une distributionégale à ker(N − f0Id) oùN , non diagonalisable, admetf0 comme seulefonction valeur propre. 24.2.2. Cas d’une variété de dimension 5

PROPOSITION 4.3. – Exemples d’éléments compatibles transverses àS5(M)

(1)

w3= ∂x1∧ ∂x2+ ∂x3 ∧ ∂x4,

∂x5∧ ∂x4+ λ∂x1∧ ∂x3

,oùλ est un réel non nul, est un élément deP 2 transverse àS3(R5) en0.

(2)

w2,4=

∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4,

∂x1∧ ∂x5+ x4∂x2∧ ∂x3+ x3∂x2∧ ∂x4+ λ∂x3

∧ ∂x4− λx4∂x3∧ ∂x5− λx3∂x4∧ ∂x5

oùλ 6= 0 est un élément deP 2 transverse àS2,4(R5) en0.

Preuve. –On utilise des techniques analogues à celles utilisées pour ladémonstration de la Proposition 4.2.

(1) S3(R5) est ouvert etw3(0) ∈ S3(R5).


(2) L’espace tangent àS2(R5) en(∂x1∧ ∂x2+ ∂x3∧ ∂x4, ∂x1∧ ∂x5+λ∂x3 ∧ ∂x4)0 a pour équations locales :dy24 − λdy45 = 0 et dy23 −λdy35= 0. On obtient le résultat escompté par simples calculs.2

Preuve du Théorème 4.3. –De nouveau, les arguments classiques detransversalité permettent d’obtenir la structure de chacune des strates.

(1) On se place en un pointx0 de S3(Λ). On choisit alors une baseadéquate deTx0M dans laquelle on a une écriture du type :Λ∞ =e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4, Λ0 = e5 ∧ e4 + λ.e1 ∧ e3 où λ 6= 0. On peut alorsécrire :∀t ∈R, Λt = e1∧ (t.e2+ λ.e3)+ (t.e3+ e5)∧ e4. Il est alors facile de

voir que∀t ∈ R ∪ ∞, codimWt = 1 et que⋂t∈R∪∞imΛt = 〈e1, e4〉.

Un simple calcul permet d’établir queC = 〈e∗2, e∗3, e∗5〉 ; on obtientimmédiatementO = C = 〈e1, e4〉, ce qui permet d’obtenir le résultatannoncé.

(2) On se place en un pointx0 deS2(Λ). Dans une base adéquate deTx0M , on a une écriture de la forme :Λ∞ = e1∧ e2+ e3∧ e4, Λ0= e1∧ e5+ λ.e3∧ e4. On en déduit alors :∀t ∈ R, Λt = e1 ∧ (te2+ e5)+ (λ+ t).e3 ∧ e4. On obtient le résultat

escompté au niveau de la dimension des feuilles avect0 = −λ. D’autrepart, il est facile de voir que l’espace

⋂t∈R∪∞ imΛt est engendré pare1

d’où le résultat sur la dimension deA.Un simple calcul donne iciC = 〈e∗2, e∗5〉 donc de dimension 2 et son

annulateurO est de dimension 3.(3) se démontre de manière analogue en considérant les trois cas

classiques. En particulier, on a :C = 〈e∗5〉 et doncO = 〈e1, e2, e3, e4〉.(a) pourx0 ∈ S1,E(Λ), on a en utilisant les écritures déjà usitées :

∀t ∈ R ∪ ∞, imΛt = e1, e2, e3, e4 et ainsi dimA= 4.(b) pourx0 ∈ S1,P (Λ), il existe un réelt0 tel que imΛt0 = e1, e4 et

pour t 6= t0, imΛt = e1, e2, e3, e4 ; on a alors dimA= 2.(c) pourx0 ∈ S1,H (Λ), il existe deux élémentst1 et t2 distincts tels

que : imΛt1 = e3, e4 et imΛt2 = e1, e2. Le résultat en découle.24.3. Existence de champs localement bihamiltoniens

L’objet de ce paragraphe est de prouver les Théorèmes 4.4 et 4.5. Oncommence par rappeler sous forme de lemmes des résultats sur le crochetde Schouten de 2 tenseurs de Poisson qui nous serviront à la preuve deces théorèmes.


LEMME 4.1. –Pourα,β ∈X ∗(M), on a:(1) [Λ,Λ](α,β)=Λ#(dβ)[Λ#(α)+LΛ#β(Λ)α.(2) 2[Λ0,Λ1](α,β)=Λ#

0(dβ)[Λ#

1(α)+LΛ#1β(Λ0)α+Λ#

1(dβ)[Λ#

0(α)

+LΛ#0β(Λ1)α.

Preuve. –(1) Par définition, on a :

[Λ,Λ](α,β)=LΛβ(Λ)α +Λ.LΛα(β)+Λ.d〈α,Λβ〉.On est donc ramené à établir, en utilisant les abus de notations classiques,que :dβ.Λα = LΛαβ + d〈α,Λβ〉.

En utilisant la relationLX = iX d + d iX, on obtient :

(LΛαβ)X= (iΛαdβ)X + (diΛαβ)X = dβ(Λα,X)+X.iΛαβ= dβ(Λα(X))−X〈Λβ,α〉.

On obtient le résultat escompté puisqueX 〈Λβ,α〉 = d〈Λβ,α〉 (X).(2) On obtient ce résultat par des calculs analogues aux précédents.2On a aussi le résultat classique :

LEMME 4.2. –(M,Λ) est une variété de Poisson.X est un champ de vecteurs surM tel qu’il existe une forme ferméeα

telle queX=Λ#(α).

On a alorsLXΛ= 0.

LEMME 4.3. –(M,Λ) est une variété de Poisson.

Si

LXΛ= 0etX ∈ imΛ

alors dα|imΛ = 0 pourX=Λα.

Preuve. –A l’aide de la relation (1) du Lemme 4.1, on aboutit à :∀β,γ ∈ χ∗(M), dα(Λβ,Λγ ) = 0 et le résultat cherché en dé-

coule. 24.3.1. Preuve du Théorème 4.4M est une variété de dimension 4. On se donne un couple(Λ∞,Λ0)

de tenseurs de Poisson compatibles et transverses à la stratificationraffinéeS4(M) deP 2(M). On dira alors que(M,Λ∞,Λ0) est unevariétébipoissonienne générique.


On rappelle le résultat suivant de [18] :

LEMME 4.4. – Pour un tenseur de PoissonΛ générique relativementà la stratification σ4, σ2, σ0 par le rang du fibré vectorielΛ2TM , siΛ est transverse à la strateσ2(M), l’équationX = Λα a une solutionunique(en α) si et seulement si le noyau deΛ s’annule surX sur unouvert dense deσ2 (Λ).

On a la caractérisation des champs localement bihamiltoniens sui-vante :

LEMME 4.5. –Sur une variété bipoissonienne générique de dimen-sion4, on a:

X est localement bihamiltonien pourΛ∞ etΛ0⇔

LXΛ∞ = 0

LXΛ0= 0

X ∈ imΛ0

(i′)

(ii ′)

(iii ′)

.

Preuve. –(⇒) : trivial d’après le Lemme 4.2.(⇐) : d’après le Lemme 4.3, on a :

LXΛ0= 0etX ∈ im Λ0

⇒ dβ|imΛ0 = 0 pourX =Λ0β.

Le fait queX=Λ∞α oùdα = 0 est alors évident ;X est ainsi dynamiquepourΛ∞.

Génériquement, l’ensemble des pointsx deM où dim imΛ0x = 4 estl’ouvert denseM \ (σ2(Λ0) ∪ σ0(Λ0)) ; la forme β étant fermée surM \ (σ2(Λ0) ∪ σ0(Λ0)) l’est aussi surM et on a ainsiX = Λ0β oùdβ = 0; on en déduit donc queX est dynamique pourΛ0. 2

Preuve du Théorème 4.4. –Par un argument de densité on a leséquivalences suivantes :(i) ⇔ (i′) et ( ii)⇔ (ii ′).

Etablissons alors l’équivalence (iii)⇔ (iii ′) : l’implication (iii ′) ⇒(iii) est évidente. Prouvons alors (iii)⇒ (iii ′) : on introduit la projectionsuivant la deuxième composanteπ : (Λ∞,Λ0) → Λ0 (pour Λ∞ derang maximum) ;π−1(σ2(M))= SH,2(M) ∪ SP,2(M) est alors une sousvariété de codimension 1 (image réciproque de la strate de rang 2 par


la submersionπ ) avecSH,2(M) = SH,2(M) ∪ SP,2(M). La conclusionrésulte alors du Lemme 4.4.24.3.2. Preuve du Théorème 4.5M est maintenant une variété de dimension 5. On se donne un couple

de tenseurs de Poisson compatibles et transverses à la stratificationraffinéeS5(M) de P 2(M). On dira encore que le triplet(M,Λ∞,Λ0)

est unevariété bipoissonienne générique.Modulo un équivalent du Lemme 4.4 qui va suivre, la démonstration

du Théorème 4.5 est analogue à celle du Théorème 4.4 et sera laissée aulecteur.

Nous allons terminer ce paragraphe en établissant le résultat suivant :

LEMME 4.6. –SoitΛ un bivecteur de rang au moins2 sur la variétéM de dimension5 qui est transverse à la variétéσ2(M) deΛ2TM desbivecteurs de rang2 sur M . Alors il existe une1-formeα sur M (nonunique) telle queΛα = X si et seulement siX ∈ imΛ sur une partiedense de l’ensemble des points oùΛ est de rang4.

Preuve. –On note σ2(Λ) l’ensemble des points oùΛ est de rang2. Par hypothèse,Λ est donc transverse à la stratification par le rang(σ4(M),σ2(M),σ0(M)) de Λ2TM. Considérons un pointa ∈ σ2(Λ).D’après [18], il existe une carte(U,ψ) où U est un voisinage deadansR5 et un champ surU de matricesP inversibles de dimension 5telles que :ψ(a) = 0 et P−1.A.tP−1 ψ−1 = A où A est la matriceantisymétrique associée àΛ dans le système de coordonnées défini par lacarte et oùA est la matrice

0 −1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 −x1 −x2

0 0 x1 0 −x3

0 0 x2 x3 0

.


Si on noteB la matrice des composantes deX dans le système decoordonnées, on cherche à résoudre l’équation matricielle :

AT = B(1)

avec la condition que le vecteur colonneB appartient, sur un ensembledense deU \ σ2(Λ), à l’image deA (considérée comme applicationlinéaire). En fait l’Équation (1) est équivalente à l’équation:

AS = B(2)

avec B(y) = P−1.B(x) si ψ(x) = y. Par suite,A est de rang 2 surσ2(A) = ψ(σ2(Λ)) dont les équations sontx1 = x2 = x3 = 0. Si V =ψ(U), A est de rang 4 surV \ σ2(A). Enfin,B appartient à l’image deAsur un ensemble dense deV \ σ2(A). Posons

B =b1...

b5

et S = s1...s5

.La condition d’appartenance à l’image deA se traduit par l’équation :

b3x3− b4x2+ b5x1= 0.(3)

Par suite,B appartient à l’image deA surV \ σ2(A). Les solutions sontdonnées par :s2=−b1, s1= b2. Pour les autres composantes on a :• si x1 6= 0, s3= x3s5+b4

x1, s4= −x2s5−b3

x1, s5 est indéterminée,

• si x2 6= 0, s3= −x3s4+b5x2

, s4 est indéterminée,s5= −x1s4−b3x2

,

• si x3 6= 0, s3 est indéterminée,s4= −x2s3+b5x3

, s5= x1s3−b4x3

.Montrons que pour toutes fonctionsb3, b4, b5 vérifiant la condition (3),considérées comme fonctions sur un ouvert deR3, à paramètresx1, x2, x3,il existe une solution globales3, s4, s5 qui estC∞. En effet, il suffit deremarquer que surV l’image de l’application linéaireF associée auchamp de matrices 0 −x1 −x2

x1 0 −x3

x2 x3 0


est engendrée par les vecteurs colonnes

B1=−x1

0x3

, B2= x2

x1+ x3

x2

et B3= 0x1

x2

et si

S1=0

10

, S2= 1

0−1

et S3=1

00

,on aF(Si)= Bi, i = 1,2,3. Si maintenant

C =b3

b4

b5

vérifie la condition (3),C appartient au module engendré parB1,B2,B3

sur chacun des ouverts d’équationxi 6= 0, i = 1,2,3 ; il existe desfonctionsγi, i = 3,4,5 C∞ surV \ 0 telles que :C = γ3B1+ γ4B2+γ5B3 ; alors pourS = γ3S1 + γ4S2 + γ5S3 on a F(S) = C. Par suite,s3 = γ4 + γ5, s4 = γ3, s5 = −γ4 est une solutionC∞ sur V \ 0 del’Équation (2). On a donc :

b3=−x1s4− x2s5, b4= x1s3− x3s5, b5= x2s3+ x3s4.(4)

D’autre part, il résulte de la condition (3) queb3, b4 et b5 sont nullesen 0. On en déduit que chaquebi, i = 3,4,5, s’écrit de manière uniqueλix1+µix2+ νix3 oùλi,µi etνi sont des fonctionsC∞ surV ; ainsi lesfonctionss3, s4 et s5 se prolongent en des fonctionsC∞ surV, comptetenu de (4). Il existe donc une solutionC∞ sur V de l’Équation (2) etpar conséquent, il en est de même pour l’Équation (1). On obtient unesolution globale en recollant des solutions locales par une partition del’unité. 2

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Documents

Localisation des courbes anormales et couples de tenseurs de Poisson en petite dimension