LOI DE COULOMB Liaisons imparfaites et pertes et TD par centres_d... · rapport au solide [2] ... condition…

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    15-Sep-2018

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CI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 dynamique par le thorme nergie / puissance JC ROLIN 1 Lyce G Eiffel / Dijon LOI DE COULOMB Liaisons imparfaites et pertes internes Contenu 1 TORSEURS DES LIAISONS ET INTRODUCTION DES FROTTEMENTS ............................ 2 1.1 DESCRIPTION DUNE LIAISON PARFAITE PAR SES TORSEURS ........................................................................................................ 2 1.2 SCHEMA CINEMATIQUE, SCHEMA DARCHITECTURE ET LOCALISATION DES PERTES .......................................................................... 2 1.3 ILLUSTRATION DES PERTES : TRIBOLOGIE (DU GREC , FROTTEMENT ET , SCIENCE ) .......................................... 2 1.4 INTRODUCTION DU FROTTEMENT DANS UN TORSEUR DE CONTACT PONCTUEL ............................................................................... 3 2 MODELISATION DU FROTTEMENT ET DE LADHERENCE ........................................... 3 2.1 CONTACT ADHERENT (COMPOSANTE TANGENTIELLE AVEC ABSENCE DE FROTTEMENT) .................................................................... 3 2.2 CONTACT AVEC FROTTEMENT, LOI DE COULOMB (2 PIECES GLISSENT LUNE CONTRE LAUTRE) ......................................................... 4 2.3 LOI DE COULOMB POUR LADHERENCE (2 PIECES IMMOBILES ENTRE ELLES) .................................................................................. 5 2.4 ARC-BOUTEMENT ( COINCEMENT ) .................................................................................................................................. 5 3 MODELISATION DES ACTIONS LOCALES USUELLES ................................................... 6 3.1 DOMAINES DAPPLICATION................................................................................................................................................. 6 3.2 CAS DE LA PESANTEUR, POIDS ET CENTRE DE GRAVITE .............................................................................................................. 6 3.3 ACTIONS SURFACIQUES DE CONTACT (FLUIDE SOUS PRESSION, OU CONTACT REPARTI) .................................................................... 7 3.4 LIAISON SURFACIQUE AVEC FROTTEMENT, APPLICATION AU FREINAGE ......................................................................................... 7 3.5 COMPLEMENTS ................................................................................................................................................................ 8 WIKIPEDIA : Les premires tudes empiriques sur les forces de friction sont attribues Lonard de Vinci CI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 2 sur 8 TSI Eiffel Dijon 1 TORSEURS DES LIAISONS ET INTRODUCTION DES FROTTEMENTS 1.1 Description dune liaison parfaite par ses torseurs Chaque liaison normalise est dcrite : pour les actions mcaniques par son torseur daction mcanique (ou statique), pour la cinmatique par son torseur cinmatique. Pour les deux torseurs prsent dans une criture en colonnes, la rsultante est gauche et le moment est droite. Illustration pour une liaison pivot daxe (, ). Donner les units des composantes des 2 torseurs. 1.2 Schma cinmatique, schma darchitecture et localisation des pertes Un schma cinmatique dcrit les liaisons au sein dun systme ayant une (des) possibilit(s) de mouvement(s). Si une liaison est imparfaite, cela signifie que les zones en contact sont le sige de pertes qui restent dfinir. Ses pertes dpendent : des actions aux contacts (torseur dAM), de la vitesse relative des parties en contact (torseur cinmatique). Un calcul particulier, le COMOMENT des deux torseurs (symbole ), permet dvaluer ces pertes. (parfois not ) Le comoment est une valeur scalaire gale la somme des produits scalaires de la rsultante d'un torseur par le moment de l'autre. Les deux torseurs doivent tre exprims au mme point de rduction. Schma cinmatique Le schma architectural permet notamment de dfinir les zones de contact du guidage que l'on souhaite tudier. On pourra ainsi : quantifier les actions mcaniques au niveau des zones de contact dimensionner les composants de guidage correspondants (tenue aux efforts et dure de vie). Schma architectural 1.3 Illustration des pertes : TRIBOLOGIE (du grec , frottement et , science ) On illustre ci-contre les actions locales au niveau du contact en P entre deux solides repres 1 et 2 en mouvement relatif. Le torseur daction mcanique de contact en P de 1 sur 2 { }21,PT : FN est la composante ou action normale sur laxe , FT est la composante tangentielle sur laxe (loi de coulomb) qui soppose au dplacement. Le torseur cinmatique { }1/2V avec VT la vitesse tangentielle sur laxe . Le comoment des 2 torseurs se rduit au produit scalaire . = . Le rsultat est ngatif ce qui illustre les pertes de cette liaison. Action locale de contact entre deux solides en dplacement relatif TRIBOLOGIE : Les frottements apportent plusieurs inconvnients : usure par adhsion (arrachement de matriaux adhrents l'un l'autre), usure par abrasion ou rosion, (les frottements ou chocs, tent de la matire en surface), efforts supplmentaires fournir pour un mme travail. Les frottements sont donc source de gaspillage d'nergie et de matires premires. https://fr.wikipedia.org/wiki/Scalaire_%28math%C3%A9matiques%29https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaireCI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 3 sur 8 TSI Eiffel Dijon 1.4 Introduction du frottement dans un torseur de contact ponctuel Soit le contact ponctuel avec frottement de deux solides [1] et [2] au point M, sur le plan tangent commun 1 et 2. Soit 1/2n le vecteur unitaire de la normale en M au plan , dirig de [2] vers [1]. Laction de contact de [2] sur [1] projete sur la normale 1/2n et sur le plan peut scrire : Le torseur daction mcanique de cette liaison ponctuelle comporte 2 composantes pour sa rsultante. 1/212 n.N leffort normal de contact positif pour quil y ait contact, 12T leffort tangentiel contenu dans le plan . Contact ponctuel avec frottement Le torseur cinmatique du mouvement du solide [1] par rapport au solide [2] au point M de contact est de la forme : Avec 1/2,MV vitesse de glissement en M du solide [1] par rapport au solide [2]. Les lois de Coulomb distinguent deux cas : 0V 1/2,M = (phnomne dADHERENCE) 0 V 1/2,M (phnomne de GLISSEMENT). Si 0 V 1/2,M , il y a glissement relatif et leffort tangentiel 12T soppose la vitesse 1/2,MV . Glissement relatif 2 MODELISATION DU FROTTEMENT ET DE LADHERENCE Les liaisons tant considres imparfaites, il y a lieu de faire intervenir la modlisation du frottement et de trouver la condition limite entre adhrence et frottement. Cette recherche constitue parfois lobjectif principal dune tude quand il sagit de : dimensionner un frein opposer un frottement la vitesse relative pour arrter un lment mobile, dimensionner un limiteur de couple contrler la limite dadhrence pour respecter un critre de scurit, valuer les pertes ou la puissance interne dun systme valuer un rendement (thorme nergie / puissance) 2.1 Contact adhrent (composante tangentielle avec absence de frottement) Exemple : Voiture (1) sur une route (0) en pente, les roues (2) et (3) tant immobiles (absence de rotation) par rapport (0) Le frein main sur les roues arrire est serr : les roues avant sont libres, les roues arrire sont en adhrence. 2.1.1 Contact ponctuel parfait en A Roue avant libre (absence de frein) Le torseur rduit en A du sol sur la roue 2 est : Lisolement de la roue (2) montre quelle est soumise 2 forces de mme droite support et de sens opposs, le moment en A est donc nul. Roue avant libre : contact sans adhrence CI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 4 sur 8 TSI Eiffel Dijon 2.1.2 Contact adhrent en B Roue arrire freine et quilibre du vhicule. On admet le problme plan, on isole lensemble S = {1, 2, 3), la voiture est de masse m. Le BAME comporte : Une action distance (pesanteur) au centre de gravit G (direction, sens et intensit connus). { }=1pes,GT Modlisation Deux actions de contact en A et B du sol (0) sur les roues (2) et (3) Action en A de direction connue { }=20,AT Action en B inconnue { }=20,AT Application du PFS lensemble S en H : TRS sur 0x : TRS sur 0y : TMS sur 0z en H : Graphique des 3 forces concourantes Conclusion dans le cas dun contact adhrent : Le vhicule reste immobile car laction de contact du sol (0) sur la roue arrire (3) comporte une composante tangentielle X03 qui soppose ce dplacement. On dit quil y a adhrence. 2.2 Contact avec frottement, loi de Coulomb (2 pices glissent lune contre lautre) 2.2.1 Contact ponctuel avec frottement en A, roue bloque glissant sur le sol (verglas par exemple) La modlisation ci-contre du contact en A entre le sol (0) et la roue (2) montre un effort normal N 1/2 et un effort tangentiel T 1/2 de sens oppos au mouvement avec : La composante normale 00220 .yYN La composante tangentielle0.0220 xXT Roue glissant par rapport au sol 2.2.2 Loi de Coulomb, cne de frottement et coefficient de frottement La loi de Coulomb permet de modliser le frottement sec, c'est--dire indpendant de la vitesse de glissement entre les 2 solides. Cette approximation est admise en labsence dautres lments exprimentaux. Lors du glissement, on dfinit un cne de frottement tel que la rsultante soit tangente ce cne dangle par rapport la normale . = = On nonce alors les trois rgles suivantes relative la loi de coulomb sur le glissement : 2020 . NfT avec f = tan et langle entre la normale et la rsultante de .20 0. 02,20 AVT car la composante due au frottement est tangente la vitesse de glissement 0. 02,20 AVT la composante tangentielle (action mcanique) soppose au dplacement vitesse V Ce dernier rsultat correspond une puissance interne, ngative associe des pertes. CI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 5 sur 8 TSI Eiffel Dijon 2.2.3 Exemple de la voiture en pente La voiture ne glisse pas (adhrence) si en valeur absolue < Avec f = tan , coefficient dadhrence des pneus sur le sol. Pneus neufs sur route normale Route sche f = 0,8 environ Route mouille f = 0,5 environ 2.3 Loi de Coulomb pour ladhrence (2 pices immobiles entre elles) Soit a langle maximum entre la normale au contact et la rsultante de 0 2 la limite du glissement. On peut crire une inquation en valeur absolue en introduisant cette fois le coefficient dadhrence fa, tel que fa = tan a. La composante tangentielle soppose toujours au dplacement qui tend tre provoqu, La valeur de fa (adhrence) est proche de celle de f (frottement) mais en ralit suprieure, phnomne de dcollage , Les systmes ABS et ESP ont pour objectif de maintenir les roues en situation dadhrence et non de glissement. Passage de ladhrence au frottement (glissement) STICK / SLIP : Lalternance sous forme priodique dadhrence / frottement ou stick / slip en anglais explique le bruit de crissement (freins ou craie au tableau) et les tremblements de terre dus aux plaques tectoniques. Ce phnomne fait intervenir la dformation lastique des liaisons au contact. 2.4 Arc-boutement ( coincement ) Lexemple connu de tous est celui du tiroir qui se met lgrement en biais et se coince lorsque l'on veut le refermer. L'arc-boutement est une configuration pour laquelle l'quilibre permis par l'adhrence est indpendant de l'intensit des forces mais dpendant de leurs points dapplication. L'arc-boutement se produit lorsque l'angle entre la normale au contact et la rsultante en ce point est infrieur l'angle du cne de frottement. Ici en dplaant le point dapplication de la force gauche, la rsultante va sortir du cne dadhrence, il y aura glissement. Animation flash en ligne : https://fr.wikipedia.org/wiki/Arc-boutement#/media/File:Arc-boutement1.gif Serre joint Coinceur descalade Larc-boutement ne dpend pas de lintensit de la force mais de son point dapplication https://fr.wikipedia.org/wiki/Arc-boutement#/media/File:Arc-boutement1.gifhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Arc-boutement#/media/File:Arc-boutement1.gifCI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 6 sur 8 TSI Eiffel Dijon 3 MODELISATION DES ACTIONS LOCALES USUELLES 3.1 Domaines dapplication Le modle global associe un torseur daction mcanique pour une utilisation pratique en statique (tude de lquilibre) ou en dynamique (tude de lacclration). Le modle local permet dtudier laction et son effet en tout point de la zone o elle sexerce ce qui est utile pour ltude de la dformation des solides, des pressions de contact, des contraintes dans les matriaux. Action locales en RDM : Seul le modle charge rpartie donne une flche correcte Poutre de longueur L GZ4I.E.8L.pf = Modle local avec charge rpartie p (N/m) Poutre de longueur L GZ4I.E.48L.pf5= Modle global avec charge ponctuelle (F = p.L L/2) Contact ponctuel ou surfacique : Modle local : A cause des dformations, le contact rel entre deux solides seffectue suivant une surface. Modle global En supposant les solides indformables, on considre que ltendue de la surface est extrmement faible et que le contact peut tre assimil un point : cest le contact ponctuel. Conclusion : Ces deux modles ne sont pas interchangeables, si on peut dterminer le torseur daction mcanique partir de la rpartition locale des efforts, on ne peut pas faire le travail inverse sans faire dhypothses sur la rpartition. 3.2 Cas de la pesanteur, poids et centre de gravit 3.2.1 Modle local Lacclration de la pesanteur g (m/s) sexerce sur chaque volume lmentaire dv (m3) au point M dun solide S de masse volumique (kg/m3) et permet de dfinir une force locale en M ou poids, tel que : On intgre sur la totalit du solide S, le torseur des actions mcaniques en A : Masses volumiques usuelles : - Eau 1000kg /m3 - Acier 7900kg /m3 - aluminium 2700kg /m3 - Bton 2300 2700 kg/m3 Cairn 3.2.2 Modle global, centre de gravit En SII, on admet uniforme le champ de gravit g, le centre de masse est alors le centre de gravit G dfinit par : Pour un solide lmentaire S de masse volumique uniforme, le torseur des actions mcaniques en G est : Torseur de pesanteur en O d'un cylindre 2 en acier Longueur L = 1m ; rayon r=0,4m, masse volumique = 7900kg/m3 L CI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 7 sur 8 TSI Eiffel Dijon 3.2.3 Barycentre Pour un systme constitu de n solides lmentaires homognes, dont on connat pour chacun le centre de gravit Gi et la masse Mi, on peut crire lgalit suivante dite du barycentre centre des poids avec M masse totale du solide : Pour chaque axe du repre (, , , ) : niii AGmmAG1.1Exemple : Solide compos de 2 parties 2 et 3 Soit : ======n1iiGGn1iiGGn1iiGG m.zm1z ; m.ym1y ; m.xm1xiii 3.3 Actions surfaciques de contact (fluide sous pression, ou contact rparti) 3.3.1 Modle local Laction dun fluide 1 sur une surface lmentaire ds centre en M dun solide 2, est dfinie par la force lmentaire : 3.3.2 Modle global, centre de pousse (action dun fluide) ou centre de liaison (action dun solide) En intgrant laction locale lmentaire sur la totalit de la surface S de contact entre 1 et 2, on obtient le torseur : Par dfinition, le point C est le centre de pousse (action dun fluide) ou le centre de liaison (action dun solide sans glissement) tel que le moment en ce point est nul. avec C est centre de pousse. La pression de contact est suppose uniforme, sur une surface plane de diamtre d (diamtre du piston). Le torseur de laction mcanique du fluide sur le solide 1 se rduit sur laxe (C, y ) la rsultante : == 4d..ps.pF21Fluide Exemple : tige de vrin 3.4 Liaison surfacique avec frottement, application au freinage Dans le cas dun frottement, entre deux solides 0 et 2 en contact par une surface S, en tout point de contact M, laction mcanique lmentaire peut se dcomposer en une composante normale . due la pression p et en une composante tangentielle . due au frottement. Sur la totalit de la surface S en contact, le torseur daction mcanique est : Frein disque Lapplication des lois de Coulomb permet dcrire la relation = . , et donne le sens de qui soppose au dplacement. On peut ainsi pour des gomtries simples calculer leffort de freinage partir de la pression CI20 Cinmatique et actions mcaniques dans les systmes CI23 Dynamique par le thorme nergie / puissance J-C Rolin Page 8 sur 8 TSI Eiffel Dijon 3.5 Complments 3.5.1 Matage ou pression de matage Les liaisons contact direct ou sur paliers lisses font intervenir la pression maximum au matage. La pression de matage conduit une dformation permanente. Cette pression dpend notamment de la rsistance maximum lastique Re et des mouvements relatifs. Sa valeur fluctue donc de 0,01.Re Re. La rsistance lastique Re est de l'ordre de 200 300 MPa pour les aciers courants. 3.5.2 Rsistance au roulement et coefficient de roulement (m) Les pices se dforment sous l'effet des actions mcaniques au niveau du contact ce qui va engendrer une composante tangentielle de la rsultante en cas de mouvement (ou de "tendance au mouvement). Cette composante tangentielle s'oppose au mouvement, c'est une action rsistante. Etude de l'quilibre d'une roue porteuse 1 en liaison pivot par rapport au chssis 2 et roulant sur un plan horizontal 0. Cas 1 : absence de couple transmis Cas 2 : couple transmis par la liaison Le coefficient de roulement est homogne une longueur; il reprsente le dplacement maximal du point d'application de la rsultante par rapport au point de contact thorique. Valeurs usuelles du coefficient de roulement

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