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Lycée Jean-Pierre Vernant SUJET (b) Contrôle commun des Secondes Vendredi 11 Mai 2012 La calculatrice est autorisée. Vous utiliserez une copie pour les exercices 1, 2 et 3 et une autre copie pour les exercices 4 et 5. N’oubliez pas d’écrire votre nom et votre classe sur chacune d’entre elles. Exercice 1 sur 3 points Reproduire le dessin suivant sur la copie, au centre d’une page ; bien respecter le nombre de carreaux. 1) Construire les points D et E, sachant que −−→ BD = 1 2 −−→ BC et −−→ CE = −−→ AB + −→ AC . 2) Soit le point G défini par 3 −→ GA 2 −−→ GC = −−→ BC . En utilisant la relation de Chasles, montrer que −→ AG =2 −→ CA −−→ BC . Placer le point G. A B C Laisser apparents les traits de construction : le « chemin » doit être visible. Exercice 2 sur 4 points Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2; 5),B(2; 1), et C (5; 1). 1) Faire une figure, qu’il faudra compléter au fil des questions. 2) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 3) Calculer les longueurs AC et BD. 4) En déduire plus précisément la nature du quadrilatère ABCD. Exercice 3 sur 6 points Résoudre les équations et inéquations suivantes. 1) 16x = x 3 2) 3(x 1)(2 5x) > (x 1) 2 3) x 2 (3x + 1) 2 3x 2 0 Exercice 4 sur 6 points Une machine fabrique en série des tiges métalliques de forme cylindrique pour l’industrie automobile. Une tige peut présenter l’un des deux défauts suivants : – défaut D 1 : le diamètre n’est pas conforme ; – défaut D 2 : la longueur n’est pas conforme. Sur le lot L de 100 tiges, on donne les informations suivantes : – 12 tiges présentent le défaut D 1 ; – 8 tiges présentent le défaut D 2 ; – 5 tiges présentent simultanément les défauts D 1 et D 2 . 1) En utilisant éventuellement le diagramme ci-dessous, donner le nombre de tiges du lot L, qui : a) ne présentent que le défaut D 1 ; b) ne présentent que le défaut D 2 ; c) ne présentent ni le défaut D 1 , ni le défaut D 2 . L D 2 D 1

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Lycée Jean-Pierre Vernant SUJET (b)

Contrôle commun des Secondes

Vendredi 11 Mai 2012

La calculatrice est autorisée.

Vous utiliserez une copie pour les exercices 1, 2 et 3 et une autre copie pour les exercices 4

et 5. N’oubliez pas d’écrire votre nom et votre classe sur chacune d’entre elles.

Exercice 1 sur 3 points

Reproduire le dessin suivant sur la copie, au centre d’une page ; bien respecter le nombre de carreaux.

1) Construire les points D et E, sachant que−−→BD = −1

2

−−→BC et

−−→CE =

−−→AB +

−→AC.

2) Soit le point G défini par 3−→GA− 2

−−→GC =

−−→BC. En utilisant la

relation de Chasles, montrer que−→AG = 2

−→CA − −−→

BC. Placer lepoint G.

A

B

C

Laisser apparents les traits de construction : le « chemin » doit être visible.

Exercice 2 sur 4 points

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−2; 5), B(2;−1), et C(5; 1).

1) Faire une figure, qu’il faudra compléter au fil des questions.

2) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

3) Calculer les longueurs AC et BD.

4) En déduire plus précisément la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 3 sur 6 points

Résoudre les équations et inéquations suivantes.

1) 16x = x3 2) 3(x − 1)(2 − 5x) > (x − 1)2 3)x2 − (3x + 1)2

3x − 26 0

Exercice 4 sur 6 points

Une machine fabrique en série des tiges métalliques de forme cylindrique pour l’industrie automobile.

Une tige peut présenter l’un des deux défauts suivants :

– défaut D1 : le diamètre n’est pas conforme ;– défaut D2 : la longueur n’est pas conforme.

Sur le lot L de 100 tiges, on donne les informations suivantes :

– 12 tiges présentent le défaut D1 ;– 8 tiges présentent le défaut D2 ;– 5 tiges présentent simultanément les défauts D1 et D2.

1) En utilisant éventuellement le diagramme ci-dessous, donner le nombre de tiges du lot L, qui :

a) ne présentent que le défaut D1 ;

b) ne présentent que le défaut D2 ;

c) ne présentent ni le défaut D1, ni le défaut D2.

L

D2D1

2) On tire au hasard une tige dans le lot L. Chacune des tiges a la même probabilité d’être tirée.

a) Déterminer la probabilité de l’événement A : « La tige choisie présente les deux défauts ».

b) Montrer que la probabilité de l’événement B : « la tige choisie présente un des défauts et un seul »est égale à 0, 1.

c) Déterminer la probabilité de l’événement C : « la tige choisie ne présente aucun des deux défauts ».

3) Décrire par une phrase, sans utiliser de négation, les événements A, B et C (on pourra utiliser « auplus » et « au moins »).

4) Choisir la bonne réponse (attention, une réponse fausse sera pénalisée).

A ∩ B 6= ∅ C = A ∪ B C = A ∩ B

Exercice 5 sur 11 points

Partie A

1) Calculer l’image par la fonction inverse de −√

3 et −3

5(on pourra poser u(x) =

1

xet on présentera

les résultats sous forme de quotients avec un dénominateur entier)

2) Calculer l’image par la fonction carré de(

3√

2 − 7)

. (on pourra poser v(x) = x2)

3) Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 0, 001 par la fonction inverse, puis le (ou les) antécédent(s) de49

36par la fonction carré.

4) Déterminer un encadrement du carré de x, lorsque −0, 6 6 x 6 −0, 2. Justifier précisément.

5) Déterminer un encadrement de l’inverse de x, lorsque x ∈ [0, 4 ; 5]. Justifier précisément.

Partie B

On a tracé ci-contre la représentation graphique de la fonctioninverse, sur ] 0 ; +∞ [, dans un repère orthonormé.

1) Déterminer l’expression de la fonction affine f , définie sur R,telle que f(0, 5) = 2, 5 et f(1, 75) = 1, 25.

2) Tracer la courbe représentative de cette fonction f dans lerepère ci-contre.

3) Par lecture graphique, résoudre l’équation1

x= f(x).

Justifier la démarche à l’aide d’une phrase.

1

2

3

1 2 30

Partie C

Soit g la fonction définie sur [ 0 ; 7 ] par g(x) =49

4−

(

x − 7

2

)2

.

1) a) Calculer g

(

−4

3

)

en détaillant les calculs.

b) Calculer g

(

7

2

)

.

c) Montrer que g admet un maximum sur [ 0 ; 7 ].

2) Soit M un point de la droite d’équation y = −x+7, dontl’abscisse x est comprise entre 0 et 7.

a) Exprimer en fonction de x, l’ordonnée du point M.

b) Exprimer en fonction de x, l’aire A(x) du rectangleMNOP.

c) Vérifier que A(x) = g(x) pour tout réel x ∈ [ 0 ; 7 ].

d) En déduire la valeur de x pour laquelle l’aire A(x) durectangle MNOP est maximale.

Quelle est alors la nature du rectangle ?

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

M

O

N

P