M5 - DYNAMIQUE

Compétences attendues :• Déterminer l’accélération d’un solide.• Déterminer les actions mécaniques qui agissent sur le solide en mouvementProgramme S.T.I. :

• Principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement

Qu’est-ce que la dynamique ?

• La dynamique est la science qui permet l'étude des relations existant entre les mouvements de solides et les actions mécaniques extérieures qui sont les causes de ces mouvements.

Mise en évidence du principe• Comparons deux véhicules identiques chargés

différemment

• Quelle grandeur physique nous permet de dire que les deux véhicules n’auront pas la même accélération a ?

• Sur quelle grandeur physique faut-il agir pour que les deux véhicules aient la même accélération a ?

La masse m du véhicule

La force de poussée F

Principe fondamental de la dynamique de translation

Enoncé

La somme des forces extérieures F qui agissent sur le solide S, est égale à sa masse m multipliée par son accélération a .

NEWTON1642 - 1727

On appelle « Force » d’inertie la quantité (- m x a ) qui s’oppose à l’accélération

amF

Le solide est équilibré en rotation donc la somme des moments en G est nulle.

Méthode

1. Rassembler les données (masse et position du centre de gravité)

5. Suivant le problème, calculer l’accélération ou l’action mécanique demandée

2. Calculer l’accélération du centre de gravité

av – v0) / tou av2 – v02) /

2(x-x0)3. Faire le bilan des A.M.E.

4. Écrire le PFD et donner les équations de la dynamique

Exemple simple : La Chute libre (sans frottement)

(S)

P

(Rg)

Un solide S de masse m qui tombe…

Le PFD s’écrit :

z

Conclusion :

En l’absence de toute force de frottement, l’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute sont indépendants de la masse du solide

Conclusion :

En l’absence de toute force de frottement, l’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute sont indépendants de la masse du solide

amF

g subit une force extérieure : son poids

Plui donnant une accélération notée g

Soit : gmP

D’où : ga

Application : étude comparative

• Quelle voiture possède la plus grande accélération au démarrage ?

Modèle Clio II 1.6 16v Espace 2.0 16v Range Rover 4.4i V8

Vitesse max 185 km/h 182 km/h 202 km/h

Architecture 4 cyl. en ligne 4 cyl. en ligne 8 cylindres en V

Couple 15,1 mKg à 3750 tr/min

19,2 mKg à 3750 tr/min

44,8 mKg à 3600 tr/min

Puissance 110 ch à 5750 tr/min

140 ch à 5500tr/min

282 ch à 5400 tr/min

Masse 1092 Kg 1590 Kg 2509 kg

Fmoy au démarrage

2173 N 2862 N 5143 N

accélération

1,99 m/s2 1,8 m/s2 2,05 m/s2

Application : étude du TGV

=> 500 000 = 700 000 x a

=> a = 0,714 m/s2

Un train de 700 tonnes démarre, tiré avec une force de 500 000N sur une voie ferrée horizontale.

En négligeant les frottements, calculez :

- Son accélération

- Sa vitesse après 30s

PFD : F = m x a

V = a . t = 0,714 x 30 = 21,42 m/s = 77,11 km/h

Application : freinage d’une voiture

=> F = 1060 x 2 = 2120 N

=> a = (v – v0) / t => t = (v – v0) / a = - 13,89 / -2 = 6,95 s

Un automobiliste conduit sa voiture à 50 km/h sur une route horizontale. La voiture a une masse de 1060 kg. Soudain, il freine pour s’arrêter.

PFD : F = m x a

En supposant que la décélération est constante pendant le freinage (a=-2m/s2): - calculez la force de freinage exercée sur la voiture

- Tracer cette force de freinage sur le dessin

- Calculer la durée du freinage

- Calculer la distance de freinage

=> x = ½ a.t2 + v0.t = ½ (-2)x6,952 + 13,89x6,95 = 48, 23 m

FG

Application : Étude d’un ascenseur

A/ Un ascenseur de masse totale m=400kg, initialement immobile, est tiré par un câble vertical tendu par une force T de 5000N et s’élève depuis le rez-de-chaussée. Il accélère pendant 3 secondes.

Mouvement rectiligne uniformément varié

a = 1000/400 = 2,5m/s2 m.

g

T=5000N

m.a

Objectif : Étudier l’évolution de la tension dans le câble d’un ascenseur en vue de son dimensionnement.

1/ Quelle est la nature de son mouvement dans la phase 1 ?

2/ Calculer son accélération a.

PFD : F = m x a

-4000 + 5000 = 400xa

- m.g + T = m.a

G

Isolement de la

charge

Etude de l’ascenceur : suiteB/ L’ascenseur continue ensuite en mouvement rectiligne uniforme pendant 6s.

vitesse au début du MRU = vitesse à la fin du MRUV

V = a .t = 2,5 x 3 = 7,5 m/s

m.g

T

1/ Quelle est la vitesse de l’ascenseur dans cette phase 2 ?

2/ Quelle est la nouvelle tension T du câble ?

T = 4000N

- 4000 + T = 0

- m.g + T = m x 0 PFD : F = m x aG

Isolement de la

charge

Etude de l’ascenceur : suiteC/ Avant d’arriver à l’étage souhaité, le mécanisme de freinage agit pendant 4s jusqu’à l’arrêt.

Calcul de la décélération a de l’ascenseur :

m.g

T

m.a

1/ Si son mouvement est uniformément retardé, quelle est la tension du câble ?

Calcul de la Tension T dans le câble :

a = (v – v0) / t = (0 – 7,5) / 4 = - 1,875 m/s2

PFD : F = m x a - m.g + T = - m.a - 4000 + T = - 400x1,875 T = 3250 N

G

Isolement de la

charge

Etude de l’ascenceur : suite

Evolution de la tension dans le câble :Phase 1: T = 5000NPhase 2: T = 4000N

Phase 3: T = 3250N

D/ Analyser l’évolution de la tension durant les trois phases et choisir un cable dans le document constructeur. (le coefficient de sécurité dans les appareils de levage est 8)

Choix du câble :

Tmaxi = 5000N

Tmaxi effectif = 5000N x 8 = 40000NCable choisi :

MGE180:Fmax=95800N

Application : véhicule dans une côte

Objectif : Évaluer le couple moteur d’un véhicule traction avant de 1200 kg montant une côte.* Déterminer la force de poussée de la route sur la roue avant si :

- le véhicule démarre avec une accélération de 1m/s2.- le véhicule roule à vitesse constante

* En déduire, pour chaque cas, le couple à fournir aux roues avant si leur rayon est de 35cm.

X

Y

A

B

G

15%

A

B

P

m.a

P - 1780N-11867N

0

Correction : véhicule dans une côte

sur X => - XP + XB = m . a

X

A

B

G

15%

Calcul du couple C à fournir aux roues avant :C = R . XB = 0,35 . 2980 = 1043 m.N

Calcul de la force de pousée F :=> -1780 +XB = 1200 . a

XBXP

m.a

PFD => F = m . a

C = R . XB = 0,35 . 1780 = 623 m.N

MRU (a = 0m/s2) => XB = 1780N

MRUV (a = 1 m/s2) => XB = 1200 + 1780 = 2980N

Application : Solide en liaison glissière

On considère un solide S de 3kg en liaison glissière d’axe Ox avec le solide fixe 1. Le solide S atteint la vitesse de 1 m/s en 0,5s.

xyz

N

G

STerreT

0003000

)/(

xyz

YX

G

ST S

S

0000

)/1( /1

/1

1,0tan/1

/1 S

S

YX

xyz

X

G

STS

00000

)/2(/2

Appliquer le Principe fondamental de la dynamique au solide S et déterminer les composantes inconnues des actions mécaniques extérieures agissant sur S.

G

F1/S

P

F2/S

m.a

Soient l’isolement et le bilan des actions mécaniques extérieures agissant sur S :

L’objectif de l’étude est de déterminer l’effort nécessaire pour obtenir cette vitesse spécifiée.

Correction : solide en liaison glissière

xyzGxyzGxyz

Y

GxyzG

amXXN

S

S

S

00000.

00000

0000

0003000 /2

/1

/1

101

1 ,YXplusde

/S

/S

Appliquons le PFD au solide S et déterminons X1/S,Y1/S et X2/S

0./2()/1()/( amSTSTSTerreTPFD

GGGG

030

6)5,001(.3).(.

/1

/2/10

S

SS

Y

NtvvmamXX

Résolution : NY /S 30)2( 1 NxX S 3301,0)3( /1

NX S 936)1( /2

)3(

)2(

)1(

d’où les 2 équations :