MACHINES TOURNANTES

INTRODUCTION

De la grande classe des machines à rotor font partie les suivantes sous-classes de machines: turbines, générateurs, moteurs, compresseurs, pompes et soufflantes.

Bien que la variété des machines à rotor, en tant que types et dimensions, soit grande même à l'intérieur d'une seule sous-classe de machines, pourtant celles-ci ont un élément commun: le rotor. Le rotor est un sous-ensemble de ces machines, formé d'un arbre sur lequel il y a un ou plusieurs disques, et qui exécute un mouvement de rotation autour de son propre axe. Cet élément, qui est en mouvement de rotation, détermine des propriétés dynamiques spécifiques aux machines à rotor, qui ne sont pas spécifiques aux autres types de machines ou de structures.

Pendant le fonctionement des machines, leur rotor est soumis aux vibrations de flexion et de torsion. Ces vibrations sont dépendantes de la géométrie du rotor et du type du palier, tout comme, dans la même mesure, des forces d'excitation. Le rotor, en mouvement de précession, excite sa propre fondation. Celle-ci, à son tour, influence plus ou moins la vibration du rotor. La complexité des phénomènes dynamiques est augmentée si l'on tient compte qu'il y a aussi des forces hydro- et aérodynamiques, des champs à un gradient variable de température ou de pression, des champs électromagnétiques, etc., qui agissent sur le rotor.

En ce qui suit, on présente brièvement les principales caractéristiques de la dynamique des machines à rotor, par rapport à celles des systèmes sans rotor.

Tous les phénomènes dynamiques, qui apparaissent pendant le fonctionnement des machines à rotor, sont étroitement liés au mouvement de rotation du rotor, en enregistrant un transfert d'énergie de la direction du mouvement de rotation vers celui de précession.

Pendant que, au cas des structures passives, un mode de vibration est caractérisé par sa propre forme, en ce qui concerne les structures actives, le mouvement de vibration du rotor est défini par le mode de précession. C'est pour cela que, le mouvement de vibration du rotor comprend deux composantes latérales, inséparables, qu'on s'est mis d'accord à dénommer la composante verticale et respectivement celle horizontale du mode propre de précession.

Au cas des structures non-gyroscopiques, la notion de fréquence négative manque de sens. Au cas des machines à rotor elle apparaît et signifie la fréquence à laquelle le centre géométrique d'une section transversale de l'arbre tourne autour de l'axe des paliers, le sens du mouvement étant en sens contraire au mouvement de rotation de l'arbre autour de son propre axe. Ce type de mouvement est dénommé mouvement de précession inverse. Mais, si les deux mouvements de rotation, mentionnés ci-dessus, ont lieu dans le même sens, le mouvement du rotor est dénommé mouvement de précession directe.

Dans la dynamique des machines à rotor, suite à l'existence en général de quelques petites différences, assymétries, des caractéristiques du système sur les deux directions, verticale et horizontale, les modes de précession apparaissent par paires - par exemple: le premier mode vertical et le premier mode horizontal.

Un autre trait spécifique aux structures à rotor est le fait que celles-ci ont leur propre force perturbatrice, qui apparaît suite à l'existence des masses non-équilibrées, qui sont en mouvement de rotation. Même si la vitesse de rotation de l'arbre est de dizaines de milles de rotations par minute, à la plupart des machines à rotor sont excités seulement les deux ou trois premiers modes propres de précession. Cela est dû tant au fait qu'ils correspondent aux modes propres mêmes du rotor, qu'au fait qu'ils sont en général faiblement amortis. Par conséquent, dans l'étude dynamique des machines à rotor on accorde le plus d'intérêt aux premiers modes propres.

Si au cas des structures sans rotor, lors de l'étude d'un grand nombre de modes propres de vibration, les informations concernant le déphasage entre l'excitation et la réponse peuvent être parfois négligées, elles doivent être toujours prises en considération, ce déphasage étant en fait la valeur qui fait la liaison entre le mouvement de rotation et celui de précession (il est utilisé en général sous la dénomination de signal de phase).

Dans l'étude dynamique de détermination des pulsations propres des structures sans rotor, les amortissements peuvent être négligés sans obtenir des résultats erronés. Mais, les négliger, au cas des structures à rotor, conduirait à des résultats à grandes erreures.

Les assymétries du système, introduites par l'effet gyroscopique des disques et des forces dynamiques des paliers et des étanchéités, déterminent, dans la modélisation des machines à rotor, l'apparition des matrices assymétriques, par comparaison aux structures non-gyroscopiques, qui sont modelées par des matrices symétriques.

Les types de paliers utilisés aux machines à rotor sont: paliers à roulements, paliers à glissement et paliers à gaz.

Compte tenant des propriétés particulières qu'ils offrent: grande capacité de chargement, grands amortissements, haute durabilité, les paliers à glissement sont les plus fréquents. Ceux-ci, tout comme l'effet gyroscopique des disques, font que les pulsations propres du système rotor-paliers soient dépendantes de la vitesse de rotation de l'arbre.

L'amortissement introduit par les paliers à glissement influence non seulement l'amplitude de la vibration, mais aussi les valeurs des pulsations propres, et si on le négligait, comme on le fait souvent dans l'étude dynamique des systèmes sans rotor, on aboutirait à de grandes erreurs dans le calcul dynamique des machines à rotor.

En ce qui l'on présente ci-dessus, on a considéré les machines dont le rotor a la longueur beaucoup plus grande que les dimension de la section, il est tenu de ne pas avoir de fissures, son axe longitudinal étant rectiligne quand la vitesse de rotation est zéro et il est appuyé sur des paliers à glissement.

Compte tenant de la grande complexité de ces types de machines et pour décrire les phénomènes de base qui gouvernent leur dynamique, par la suite, on présente une étude sur des machines beaucoup simplifiées.

• On considére un disque de masse m fixé sur un arbre qui tourne sur deux paliers avec une vitesse angulaire constante Ω. On suppose que la constante élastique de l'arbre est moindre de 10% que celle des paliers. On suppose aussi que le centre de gravité du disque, le point G, ne soit pas situé à son centre géométrique, le point C, et que ce centre géométrique coïncide avec celui de l'arbre.

Soit e la distance entre ces deux points et les hypothèses suivantes:

• on néglige la masse de l'arbre et toutes les forces de frottement;

• quand Ω=0 (l'arbre est en repos), l'axe du rotor ne se déforme pas;

• la constante élastique de l'arbre est k=48EI/l3, où E est le modul de Young et I est le moment d'inertie de la section transversale de l'arbre.

ROTOR ELASTIQUE SUR DES PALIERS RIGIDES

• Si le disque tourne autour de l'arbre, il y a une force centrifuge meΩ2 qui peut être décomposée en ses composantes verticale et horizontale. Le disque va donc vibrer simultanément suivant l'horizontale, et ces vibrations seront en résonance avec les pulsations naturelles, c'est-à-dire quand la vitesse angulaire Ω de l'arbre coïncidera avec la pulsation naturelle ω du système lorsqu'il ne tourne pas. Les vitesses auxquelles se produisent de telles résonances sont connues sous le nom de vitesses critiques.

emcrmrkc

22

2

2

2

2

1

e

m

kecr

On peut obtenir les mêmes résultats si on utilise le principe d'Alambert.

0

0

ckyym

ckxxm

G

G

iecyy

ecxx

G

G

sin

cos

iCG eerr

2

2

1

ecr

• Ţinând cont de relaţiile de mai sus (după derivare şi înlocuire) se obţine:

cu soluţia staţionară de forma:

• Concluzii:Conform relaţiilor (3.11) şi (3.12), se observă că punctul C, centrul geometric al

discului, şi de asemenea şi punctul G, centrul de greutate al discului, pentru Ω = constant au o mişcare circulară dacă e ≠ 0, de raze |rC| şi |rG|.

Deoarece segmentul şi rC şi rG pot fi scrise sub forma:

rezultă că vectorii OC şi OG sunt coliniari, cu alte cuvinte, punctele O, C şi G sunt coliniare.

Pentru Ω = constant, poziţia acestor trei puncte este fixă pe linia care le uneşte. Axa arborelui este deformată, dar are o poziţie fixă, care se roteşte în jurul axei OZ, tensiunile care apar în arbore în urma încovoierii fiind constante.

022

tieecrcr

02

2

1

tiee

cr

)( tieeCG)( ti

CC err )( tiGG err

Deoarece mişcarea punctului C în jurul axei lagărelor (axa OZ), se produce cu aceeaşi viteză unghiulară Ω ca şi mişcarea punctului G în jurul axei arborelui, mişcarea poartă numele de mişcare de precesie sincronă.

Conclusions

1. Si on regarde les relations on observe que le point C, le centre géométrique du disque et aussi le point G, le centre de gravité du disque, pour Ω=constant ont un mouvement circulaire, si e0, des rayons rC et rG.

2. Parce que le segment CG=eei(Ωt+φ) et aussi parce que rC et rG peuvent être écrits sous la forme rC=rCei(Ωt+φ), rG=rGei(Ωt+φ), il en résulte que les vecteurs OC et OG sont colinéaires, c'est-à-dire que les points O, C et G sont sur la même ligne droite.

3. Pour Ω=constant la position de ces trois points est fixe sur cette ligne droite. L'axe de l'arbre est déformé mais il a une position fixe, celui-ci tourne autour de l'axe Z et les tensions de flexion restent constantes .

022

tieecrcr 02

2

1

tiee

cr⇒ ⇒

4. Parce que le mouvement du point C, autour de l'axe des paliers (l'axe Z), se produit avec la même vitesse angulaire Ω comme celle du point G, autour de l'axe de l'arbre, il porte le nom de mouvement de précession synchrone .

5. Pour des vitesses inférieures à celle critique, le point C se trouve entre O et G, tandis que pour des vitesses supérieures à celle critique, C est à l'extérieur. De plus, C et G sont toujours du même côté par rapport à O.

6. Pour le cas où Ω=ω=k/m, les rayons rC et rG deviennent infinis et Ω porte le nom de vitesse critique.

L'EFFET D'AMORTISSEMENT EXTERIEUR

La solution générale a la forme:

-si l’amortisement est nul:

-avec amortisement:

02

tie eemckrcrccrm

titi eReRtcr 21

titi eReRtcr 21

La solution particulière de l'équation inhomogène est: Maintenant l'amplitude du mouvement, notée ici avec rC, est complexe, parce que l'excitation et la réponse sont toujours déphasées.

)(~

0)( tiCc ertr

ICRCC rirr )()(~

Eliminant le rapport Ω/ω entre la partie réelle (rC)R et celle imaginaire (rC)I, on obtient une courbe polaire (courbe Nyquist).

ROTOR ELASTIQUE SUR DES PALIERS ELASTIQUES

temykym

temxkxm

CyC

CxC

sin

cos

2

2

• Donc, le rotor symétrique qui est fixé sur des paliers anisotropes a deux vitesses critiques.

t

e

tYty

t

e

tXtx

y

y

CC

x

xCC

sin

1

sin

cos

1

cos

2

2

2

2

m

k

m

k yy

xx ;

Si on regarde la figure on observe que les points C, P et aussi le point G décrivent des ellipses qui ont les axes orientés comme les axes principaux de rigidité des paliers, les points O, P, C et G étant sur la même ligne droite. Le mouvement porte le nom de mouvement de précession syncrone.

• AVEC AMORTISSEMENT DANS LES PALIERS:

Alors, un calcul qui néglige l'amortissement des paliers va donner des résultats erronés pour les vitesses critiques!

ROTOR ELASTIQUE DISSYMETRIQUE SANS AMORTISSEMENT

ti

iPT

i

C

C

C

C

PC

C

T

eeJJ

eemr

kk

kkriJ

rJ

m

0

02

2221

1211

0

00

0

0

Les vitesses critiques:

00

00

0

0

2221

1211

C

C

C

C

PC

C

T

r

kk

kkriJ

rJ

m

2

11

222

2112112

mkJ

Jkmkkk

P

T

DES PALIERS HYDRODYNAMIQUESQuand la vitesse de rotation Ω est zéro, l'arbre occupe la position la plus basse, donc le centre du palier OP et celui de l'arbre OA sont les deux sur le même axe vertical OX, la distance entre eux, c'est-à-dire l'excentricité e, ayant la valeur maximale égale avec la différence entre les deux rayons, celui du paliers et celui de l'arbre. Au fur et à mesure que la vitesse de rotation augmente, l'arbre est levé par les forces portantes qui commencent à exister dans le film de lubrifiant et qui augmentent elles aussi, le phénomène étant similaire avec celui de "surfing", et porte le nom d'effet de coin.

Pour une certaine vitesse de rotation Ω l'arbre occupe une certaine position, définie par l'excentricité e et par l'angle de position φ. Donc, si l'arbre a une vitesse de rotation Ω constante, ces deux paramètres sont constants et le régime est nommé stationnaire.

LES COEFFICIENTS DYNAMIQUES DES PALIERS

y

F

x

Fy

F

x

F

kk

kkK

yy

xx

yyyx

xyxx

y

F

x

Fy

F

x

F

cc

ccC

yy

xx

yyyx

xyxx

L'INTERACTION ROTOR-PALIER HYDRODYNAMIQUE

• Les paliers de glissement sont supérieurs aux paliers à roulements dans le fonctionnement des rotors à vitesses de rotation élevées, offrant de larges possibilités d'amortissement, de chargement et en réalisant en même temps de faibles frottements dans l'ensemble essieu-palier. C'est pour cela que les paliers de glissement sont utilisés dans les machines dont les rotors ont de grandes vitesses de rotation, telles que: turbines, pompes, compresseurs, etc., en leur accroissant la durée de vie et en leur assurant un fonctionnement silencieux. Ces avantages sont attribués aux caractéristiques mécaniques du film de lubrifiant formé entre les deux surfaces, de l'essieu et respectivement du palier.

• Dans beaucoup de situations, les caractéristiques dynamiques du film de lubrifiant ont un effet très important sur les vibrations de l'essieu dans le palier. Ainsi, si le système rotor-paliers est correctement projeté, l'amplitude des vibrations dues au balourd peut être beaucoup réduite à l'endroit des vitesses critiques. Au contraire, par un projet incorrect, non seulement l'amplitude des vibrations peut s'accroître, mais il peut aussi apparaître le phénomène d'instabilité (connu dans la littérature de spécialité sous le nom d' oil whirl et oil whip), celui-ci étant en fait la vibration auto-excitée de l'essieu tournant dans le palier et il est dû aux propriétés dynamiques du film de lubrifiant. Une grande attention doit être accordée à l'évitement de l'apparition de ce phénomène d'instabilité et cela est à présent possible grâce aux récents progrès obtenus dans les phénomènes de lubrification et dans la dynamique des rotors.

• Par-dessus le phénomène d'oil whip, les machines qui travaillent à de hautes vitesses de rotation présentent aussi d'autres types de vibrations auto-excitées, telles celles dues aux forces aérodynamiques, à l'amortissement intérieur ou d'autres non-linéarités du système qui produisent des vibrations sous-synchrones, comme, par exemple, des arbres à section asymétrique ou quelques frottements entre l'arbre et des étanchements.

LA STABILITE DU SYSTEME ROTOR-PALIERS HYDRODYNAMIQUES

Le phénomène "oil whip" présente les suivantes caractéristiques fondamentales:Il apparaît quand la vitesse de rotation Ω de l'arbre devient approximativement égale

à deux fois la vitesse de rotation critique ω et il ne disparaît même si la vitesse de rotation Ω accroît rapidement. L'arbre vibre fortement, et parfois il arrive que les paliers et même le rotor se détériorent

La fréquence et la forme du mode de vibration correspondent à celles caractéristiques à la première vitesse de rotation critique et elles ne se modifient pas beaucoup au changement de la vitesse de rotation de l'arbre.

Le mouvement de précession du centre de l'arbre a lieu dans le même sens que celui de rotation du rotor.

Plus le chargement sur le palier est moindre, plus le phénomène apparaît plus rapidement

Les phénomènes suivants dépendent des combinaisons possibles entre le rotor et les paliers:

Si le phénomène apparaît quand la vitesse de rotation de l'arbre Ω a dépassé de beaucoup la valeur 2ω, la décroissance de la vitesse de rotation de l'arbre, il ne disparaîtra qu'au moment oů la vitesse de rotation arrive dans la zone 2ω. Ce phénomène est aussi connu sous le nom d'effet d'inertie du phénomène d'oil whip.

Des vibrations de moindres amplitudes, mais de fréquence Ω/2 apparaissent beaucoup avant que la vitesse de rotation de l'arbre aboutisse à la valeur 2ω. Ce type de vibration est appelé oil whirl et il est différent des grandes amplitudes qui correspondent au phénomène "oil whip".

La fréquence des vibrations d'oil whirl accroît avec la vitesse de rotation de l'arbre et l'amplitude devient maximale et égale à celle qui correspond aux vibrations "oil whip", quand la vitesse de rotation de l'arbre est 2ω.

UTILISATION DE LA METHODE DES ELEMENTS FINIS AU MODELAGE DU SYSTEME ROTOR-PALIERS

FKCM

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