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Présentation du cours

Théorie Bases de la théorie des sous-ensembles flous

Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro

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Bibliographie

« La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que-sais-je? PUF, N° 2702.

« Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.

« La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995

« Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.

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Plan du cours

Introduction Présentation du cours Définitions de base

Sous-ensemble flou (sef) Caractéristiques de sef Opérations sur les sefs

Quelques applications commerciales de la logique floue

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Introduction

L'imprécision du monde réel Le flou est partout Le flou est humain Le flou est plus souple

Théorie des sous-ensembles flous « mesurer une gradation dans l'appartenance à un

ensemble » Une théorie mathématique formelle pour la prise en

compte de l'imprécision et des incertitudes Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in

Information and Control, 1965.

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Historique 1965 : Théorie des ensembles flou introduite par L.A. Zadeh (UC

Berkeley) En 1973, le Pr. Zadeh publie un article (dans l'IEEE Transactions on

Systems, Man and Cybernetics) qui mentionne pour la première fois le terme de variables linguistiques (dont la valeur est un mot et non un nombre).

En 1974, Mamdani (Université de Londres) réalise un contrôleur flou expérimental sur un moteur à vapeur.

En 1980, F.L. Smidth & Co. A/S (au Danemark) met en application la théorie de la logique floue dans le contrôle de fours à ciment. C'est la première mise en oeuvre pratique de cette nouvelle théorie.

Dans les années 80, plusieurs applications commencent à immerger (notamment au Japon).

En 1987, « explosion du flou » au Japon (avec le contrôle du métro de Sendaï) et qui atteint son apogée en 1990 (fuzzymania).

Aujourd'hui, une vaste gamme de nouveaux produits ont une étiquette « produit flou » (Fuzzy).

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Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle

Dissoudre le flou puis traiter des données précises informations floues informations précises

part importante d'arbitraire

analyse de la sensibilité indispensable plusieurs jeux de données traités un par

un comparaison des résultats

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Gestion des imprécisions - Approche floue Traiter des données floues puis

dissoudre le flou Garder le flou comme une information Reporter la dissolution du flou le plus tard

possible et sur la décision uniquement Accroissement de la fiabilité et de la

stabilité du système

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Gestion des imprécisions Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi

Zadeh en 1965. Modèle mathématique pour représenter

l'imprécision et l'incertitude. Idée des ensembles flous facile à comprendre :

Freine dans 32m50ou

Freine bientôt La précision n'est pas toujours utile. Capable d'interpréter des informations

imprécises et d'agir.

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Ensembles classiques / Ensembles flous ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant

des propriétés précises Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8

fonction caractéristique : m : R {0, 1} m(x) = 1 si 6 x 8

0 sinon. ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des

propriétés imprécises Exemple : ensemble des nombres proches de 7

fonction d'appartenance : : X [0, 1] (x) pas unique.

différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance

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Théorie des sous-ensembles flous

X ensemble de référenceA sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance

X [0, 1]

Caractéristiques Noyau : éléments appartenant de façon absolue

Noy(A) = {x X / (x) = 1} Support : éléments appartenant au moins un peu

Supp(A) = {x X / (x) 0}

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Infinité de fonctions d'appartenance possibles flexibilité, ajustement maximal pour une situation

donnée

Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions

Toute fonction X [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X.

Théorie des sous-ensembles flous

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Probabilité / Flou

ensembles flous = déguisement pour les statistiques ?

NON

A B

p(B) = 0.9

Quelle bouteille boirez-vous ?

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A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique.

A est proche d'un liquide tout à fait potable.

Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales.

Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir.

2 philosophies différentes

Probabilité / Flou

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La théorie des sous-ensembles flous Une extension de la théorie des ensembles classiques Une théorie plus générale qui englobe la théorie des

ensembles classiques La théorie des ensembles classiques est un cas particulier Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés

existantes dans la théorie des ensembles classiques Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même

temps La logique floue : application de la théorie des sous-

ensembles flous pour la modélisation du raisonnement Extension de la logique classique

La commande floue : utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques Cas particulier de la logique floue

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1

0

Jeune

X15 20 30 35

Exemples de sous-ensembles flous

X={moto,auto,train} (moyens de transport) A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train

X=[0, 130] (ensemble des âges) A: sous-ensemble de X des âges jeunes

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Fonctions d’appartenance

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Caractéristiques d'un sef

Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance f

A.

Noyau de A : Noy(A) = {x X | fA(x)=1}

Support de A : Supp(A) = {x X | fA(x)>0}

Hauteur de A : h(A) = supx X fA(x)

Cardinalité de A: |A| = x X fA(x)

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Support d’un sef

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Noyau d’un sef

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Opérations sur les sefs (1)

Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément

Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et f

B.

Égalité de sefs: A = B ssi x X, fA (x) = fB(x)

Inclusion de sefs: A B ssi x X, fA (x) < fB(x)

Intersection de sefs: A B: x X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x))

Union de sefs: A B: x X, fA B (x) = max(f

A (x), f

B(x))

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Opérations sur les sefs (2)

Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice):

A ∅U = A, A ∩∅ = ∅, A U X = X, A ∩X = A

Associativité de ∩ et de U: (A U B) UC = A U(B UC)

Commutativité de ∩ et de U: A∩B = B∩A

Distributivité de ∩ par rapport à U: A∩(B UC) = (A∩B) U(A∩C) A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)

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Complément Ac d'un sous-ensemble flou x X, fAc (x) = 1 – fA(x)

Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): (Ac)c = A (A∩B)c = Ac U Bc

(A U B)c = Ac ∩ Bc

D'autres propriétés ne le sont pas (généralement): Ac ∩A ≠∅(contradiction) Ac U A ≠X (tiers exclu).

Opérations sur les sefs (3)

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Opérations sur les sefs (4)

Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩et U

Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1] [0,1] telle que x, y, F(x,y) [0,1].

L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET)

L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU)

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Opérations sur les sefs (5) Justification des choix des opérateurs

Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants

D'autres opérateurs sont possibles : conjonction normes triangulaires (t-normes) disjonction conormes triangulaires (t-conormes) Propriétés communes : associativité,

commutativité, monotonie, élément neutre.

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Normes triangulaires (t-normes)

Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1] [0,1] telle que x, y, z [0,1]: ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité) ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité) ⊤(x,y)⊤(z,t) si x z et y t (monotonie) ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre)

Exemples de telles fonctions : min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0)

⊤ est une t-norme Utilisée pour l'intersection ou la conjonction

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Normes triangulaires (t-conormes)

Soit une fonction :[0,1]×[0,1] [0,1] telle que x, y, z [0,1]: (x,y) = (y,x) (commutativité) (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité) (x,y) (z,t) si x z et y t (monotonie) (x,0) = x (0 est élément neutre)

Exemples de telle fonction: max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)

est une t-conorme Utilisée pour l'union

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Dualité t-norme / t-conorme Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié Etant donné un opérateur de complémentation

par exemple: fc = 1-f Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et

seulement si : 1 – (x,y) = ⊤ (1-x, 1-y) 1 – (x,y) = (1-x, 1-y)⊤

En termes de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan

Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux : on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) =

min(1-x, 1-y) On montre que (à faire en exercice)

les opérateurs probabilistes sont duaux les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux

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Comparaison des normes de Zadeh et des normes probabilistes

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Exemples X={moto,auto,train} (moyens de transport)

Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train

Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 / train

X=[0, 130] (ensemble des âges)

1

0

Jeune

X15 20 30 35 7055

Salarié

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Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil [0,1] fixé : soit [0,1], x X, x A si et seulement si

fA(x) A est un sous-ensemble classique de X. (fA

prend ses valeurs dans {0,1}). On vérifie que (à faire en exercice):

Si > ' alors A A' et si B A alors B A (A ∩ B) = A ∩ B , et (A B) = A B x X, fA(x) = sup]0,1] f(x) (i.e. on peut

reconstruire A à partir de ses -coupes).

Caractéristiques d'un sef (2): -coupes

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-coupes d’un sef

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Relations entre sous-ensembles flous Relation: notion fondamentale des

mathématiques classiques Basée sur le produit cartésien d'ensembles

Les relations établissent des liens entre éléments soit d'un même ensemble soit d'ensembles différents

Elles permettent de construire des applications une application est une relation particulière

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Produit cartésien de sefs

Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence

Soit X1 et X

2, deux univers de référence et X leur

produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2

Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance: x X, x=(x

1,x

2), f

A(x)=min( f

A1(x

1), f

A2(x

2) )

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X2

X1

A2

A1

x2 (x

2 , x

1)

x1

Produit cartésien

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Exemple d'application du produit cartésien

X1={moto,auto,train} (moyens de transport)

Transport rapide: A

1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train

X2={pasCher, cher} (prix)

Prix souhaité : A

2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher

Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)

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Relations floues Une relation floue R entre 2 ensembles de références X

et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR

Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance

Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion}

La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par : (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))

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Transitivité : propriété très utilisée pour des relations si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors

est-ce que A ressemble à C ? si x < y et que y < z alors x < z

Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie RR R.

En particulier, si on utilise la composition max-min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si : (x,z) XxZ, fR(x,z) sup y Y min(fR(x,y),

fR(y,z))

Relation floue transitive

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Principe d'extension (1)

Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs.

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Entrée précise

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Entrée floue

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Principe d'extension (2) Idée: possédant une fonction sur un univers

classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X.

Définition: Étant donné un sef A de X, et une application de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par :

yY, fB(y)= sup{x X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon

Le sef B est l'image du sef A par la fonction .

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Exemple d'application du principe d'extension (1)

X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport)

Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses) On définit la fonction qui associe une vitesse à un

moyen de transport : (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R

Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane

Mesure de la vitesse d'un side-car? fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4 fB(R)= fsc(moto)= 0.5

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Exemples d'application du principe d'extension (2)

Fonction mathématique classique : (x)= x2

A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. f

B

qui correspond à la A2. y Y, f

B(y)= sup{x X | y=x2} f

A(x) si -1(y)≠∅

0 sinon Mesure de surprise : (p)= -log(p)

A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. f

B

qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A.