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Maria Rifqi-Berger1
Présentation du cours
Théorie Bases de la théorie des sous-ensembles flous
Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro
Maria Rifqi-Berger2
Bibliographie
« La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que-sais-je? PUF, N° 2702.
« Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.
« La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995
« Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.
Maria Rifqi-Berger3
Plan du cours
Introduction Présentation du cours Définitions de base
Sous-ensemble flou (sef) Caractéristiques de sef Opérations sur les sefs
Quelques applications commerciales de la logique floue
Maria Rifqi-Berger4
Introduction
L'imprécision du monde réel Le flou est partout Le flou est humain Le flou est plus souple
Théorie des sous-ensembles flous « mesurer une gradation dans l'appartenance à un
ensemble » Une théorie mathématique formelle pour la prise en
compte de l'imprécision et des incertitudes Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in
Information and Control, 1965.
Maria Rifqi-Berger5
Historique 1965 : Théorie des ensembles flou introduite par L.A. Zadeh (UC
Berkeley) En 1973, le Pr. Zadeh publie un article (dans l'IEEE Transactions on
Systems, Man and Cybernetics) qui mentionne pour la première fois le terme de variables linguistiques (dont la valeur est un mot et non un nombre).
En 1974, Mamdani (Université de Londres) réalise un contrôleur flou expérimental sur un moteur à vapeur.
En 1980, F.L. Smidth & Co. A/S (au Danemark) met en application la théorie de la logique floue dans le contrôle de fours à ciment. C'est la première mise en oeuvre pratique de cette nouvelle théorie.
Dans les années 80, plusieurs applications commencent à immerger (notamment au Japon).
En 1987, « explosion du flou » au Japon (avec le contrôle du métro de Sendaï) et qui atteint son apogée en 1990 (fuzzymania).
Aujourd'hui, une vaste gamme de nouveaux produits ont une étiquette « produit flou » (Fuzzy).
Maria Rifqi-Berger6
Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle
Dissoudre le flou puis traiter des données précises informations floues informations précises
part importante d'arbitraire
analyse de la sensibilité indispensable plusieurs jeux de données traités un par
un comparaison des résultats
Maria Rifqi-Berger7
Gestion des imprécisions - Approche floue Traiter des données floues puis
dissoudre le flou Garder le flou comme une information Reporter la dissolution du flou le plus tard
possible et sur la décision uniquement Accroissement de la fiabilité et de la
stabilité du système
Maria Rifqi-Berger8
Gestion des imprécisions Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi
Zadeh en 1965. Modèle mathématique pour représenter
l'imprécision et l'incertitude. Idée des ensembles flous facile à comprendre :
Freine dans 32m50ou
Freine bientôt La précision n'est pas toujours utile. Capable d'interpréter des informations
imprécises et d'agir.
Maria Rifqi-Berger9
Ensembles classiques / Ensembles flous ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant
des propriétés précises Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8
fonction caractéristique : m : R {0, 1} m(x) = 1 si 6 x 8
0 sinon. ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des
propriétés imprécises Exemple : ensemble des nombres proches de 7
fonction d'appartenance : : X [0, 1] (x) pas unique.
différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance
Maria Rifqi-Berger10
Théorie des sous-ensembles flous
X ensemble de référenceA sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance
X [0, 1]
Caractéristiques Noyau : éléments appartenant de façon absolue
Noy(A) = {x X / (x) = 1} Support : éléments appartenant au moins un peu
Supp(A) = {x X / (x) 0}
Maria Rifqi-Berger11
Infinité de fonctions d'appartenance possibles flexibilité, ajustement maximal pour une situation
donnée
Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions
Toute fonction X [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X.
Théorie des sous-ensembles flous
Maria Rifqi-Berger12
Probabilité / Flou
ensembles flous = déguisement pour les statistiques ?
NON
A B
p(B) = 0.9
Quelle bouteille boirez-vous ?
Maria Rifqi-Berger13
A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique.
A est proche d'un liquide tout à fait potable.
Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales.
Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir.
2 philosophies différentes
Probabilité / Flou
Maria Rifqi-Berger14
La théorie des sous-ensembles flous Une extension de la théorie des ensembles classiques Une théorie plus générale qui englobe la théorie des
ensembles classiques La théorie des ensembles classiques est un cas particulier Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés
existantes dans la théorie des ensembles classiques Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même
temps La logique floue : application de la théorie des sous-
ensembles flous pour la modélisation du raisonnement Extension de la logique classique
La commande floue : utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques Cas particulier de la logique floue
Maria Rifqi-Berger15
1
0
Jeune
X15 20 30 35
Exemples de sous-ensembles flous
X={moto,auto,train} (moyens de transport) A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train
X=[0, 130] (ensemble des âges) A: sous-ensemble de X des âges jeunes
Maria Rifqi-Berger16
Fonctions d’appartenance
Maria Rifqi-Berger17
Caractéristiques d'un sef
Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance f
A.
Noyau de A : Noy(A) = {x X | fA(x)=1}
Support de A : Supp(A) = {x X | fA(x)>0}
Hauteur de A : h(A) = supx X fA(x)
Cardinalité de A: |A| = x X fA(x)
Maria Rifqi-Berger18
Support d’un sef
Maria Rifqi-Berger19
Noyau d’un sef
Maria Rifqi-Berger20
Opérations sur les sefs (1)
Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément
Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et f
B.
Égalité de sefs: A = B ssi x X, fA (x) = fB(x)
Inclusion de sefs: A B ssi x X, fA (x) < fB(x)
Intersection de sefs: A B: x X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x))
Union de sefs: A B: x X, fA B (x) = max(f
A (x), f
B(x))
Maria Rifqi-Berger21
Opérations sur les sefs (2)
Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice):
A ∅U = A, A ∩∅ = ∅, A U X = X, A ∩X = A
Associativité de ∩ et de U: (A U B) UC = A U(B UC)
Commutativité de ∩ et de U: A∩B = B∩A
Distributivité de ∩ par rapport à U: A∩(B UC) = (A∩B) U(A∩C) A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)
Maria Rifqi-Berger22
Complément Ac d'un sous-ensemble flou x X, fAc (x) = 1 – fA(x)
Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): (Ac)c = A (A∩B)c = Ac U Bc
(A U B)c = Ac ∩ Bc
D'autres propriétés ne le sont pas (généralement): Ac ∩A ≠∅(contradiction) Ac U A ≠X (tiers exclu).
Opérations sur les sefs (3)
Maria Rifqi-Berger23
Opérations sur les sefs (4)
Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩et U
Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1] [0,1] telle que x, y, F(x,y) [0,1].
L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET)
L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU)
Maria Rifqi-Berger24
Opérations sur les sefs (5) Justification des choix des opérateurs
Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants
D'autres opérateurs sont possibles : conjonction normes triangulaires (t-normes) disjonction conormes triangulaires (t-conormes) Propriétés communes : associativité,
commutativité, monotonie, élément neutre.
Maria Rifqi-Berger25
Normes triangulaires (t-normes)
Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1] [0,1] telle que x, y, z [0,1]: ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité) ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité) ⊤(x,y)⊤(z,t) si x z et y t (monotonie) ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre)
Exemples de telles fonctions : min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0)
⊤ est une t-norme Utilisée pour l'intersection ou la conjonction
Maria Rifqi-Berger26
Normes triangulaires (t-conormes)
Soit une fonction :[0,1]×[0,1] [0,1] telle que x, y, z [0,1]: (x,y) = (y,x) (commutativité) (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité) (x,y) (z,t) si x z et y t (monotonie) (x,0) = x (0 est élément neutre)
Exemples de telle fonction: max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)
est une t-conorme Utilisée pour l'union
Maria Rifqi-Berger27
Dualité t-norme / t-conorme Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié Etant donné un opérateur de complémentation
par exemple: fc = 1-f Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et
seulement si : 1 – (x,y) = ⊤ (1-x, 1-y) 1 – (x,y) = (1-x, 1-y)⊤
En termes de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan
Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux : on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) =
min(1-x, 1-y) On montre que (à faire en exercice)
les opérateurs probabilistes sont duaux les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux
Maria Rifqi-Berger28
Comparaison des normes de Zadeh et des normes probabilistes
Maria Rifqi-Berger29
Exemples X={moto,auto,train} (moyens de transport)
Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train
Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 / train
X=[0, 130] (ensemble des âges)
1
0
Jeune
X15 20 30 35 7055
Salarié
Maria Rifqi-Berger30
Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil [0,1] fixé : soit [0,1], x X, x A si et seulement si
fA(x) A est un sous-ensemble classique de X. (fA
prend ses valeurs dans {0,1}). On vérifie que (à faire en exercice):
Si > ' alors A A' et si B A alors B A (A ∩ B) = A ∩ B , et (A B) = A B x X, fA(x) = sup]0,1] f(x) (i.e. on peut
reconstruire A à partir de ses -coupes).
Caractéristiques d'un sef (2): -coupes
Maria Rifqi-Berger31
-coupes d’un sef
Maria Rifqi-Berger32
Relations entre sous-ensembles flous Relation: notion fondamentale des
mathématiques classiques Basée sur le produit cartésien d'ensembles
Les relations établissent des liens entre éléments soit d'un même ensemble soit d'ensembles différents
Elles permettent de construire des applications une application est une relation particulière
Maria Rifqi-Berger33
Produit cartésien de sefs
Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence
Soit X1 et X
2, deux univers de référence et X leur
produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2
Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance: x X, x=(x
1,x
2), f
A(x)=min( f
A1(x
1), f
A2(x
2) )
Maria Rifqi-Berger34
X2
X1
A2
A1
x2 (x
2 , x
1)
x1
Produit cartésien
Maria Rifqi-Berger35
Exemple d'application du produit cartésien
X1={moto,auto,train} (moyens de transport)
Transport rapide: A
1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train
X2={pasCher, cher} (prix)
Prix souhaité : A
2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher
Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)
Maria Rifqi-Berger36
Relations floues Une relation floue R entre 2 ensembles de références X
et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR
Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance
Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion}
La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par : (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))
Maria Rifqi-Berger37
Transitivité : propriété très utilisée pour des relations si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors
est-ce que A ressemble à C ? si x < y et que y < z alors x < z
Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie RR R.
En particulier, si on utilise la composition max-min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si : (x,z) XxZ, fR(x,z) sup y Y min(fR(x,y),
fR(y,z))
Relation floue transitive
Maria Rifqi-Berger38
Principe d'extension (1)
Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs.
Maria Rifqi-Berger39
Entrée précise
Maria Rifqi-Berger40
Entrée floue
Maria Rifqi-Berger41
Principe d'extension (2) Idée: possédant une fonction sur un univers
classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X.
Définition: Étant donné un sef A de X, et une application de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par :
yY, fB(y)= sup{x X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon
Le sef B est l'image du sef A par la fonction .
Maria Rifqi-Berger42
Exemple d'application du principe d'extension (1)
X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport)
Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses) On définit la fonction qui associe une vitesse à un
moyen de transport : (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R
Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane
Mesure de la vitesse d'un side-car? fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4 fB(R)= fsc(moto)= 0.5
Maria Rifqi-Berger43
Exemples d'application du principe d'extension (2)
Fonction mathématique classique : (x)= x2
A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. f
B
qui correspond à la A2. y Y, f
B(y)= sup{x X | y=x2} f
A(x) si -1(y)≠∅
0 sinon Mesure de surprise : (p)= -log(p)
A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. f
B
qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A.