Marie-Françoise BOURDEAU Jeanne-Marie DUMAS

Autour des nombresAutour des nombres

en première L(option) en première L(option) et et

en terminale L (spécialité)en terminale L (spécialité)

Écritures des nombresÉcritures des nombres

ArithmétiqueArithmétique

DénombrementDénombrement

Écritures des nombresÉcritures des nombres

Écritures des entiers naturels

Écriture décimale des réels

Écritures des entiers naturelsÉcritures des entiers naturels( en 1ère L)( en 1ère L)

de 3000 à 2900 av. J-C.

Apparition de la numération hiéroglyphique en Egypte

1900 à 1600 av. J-C.

Premier système de numération de position chez les babyloniens (base 60 )

IIIe siècle av. J-C. Invention du zéro par les Babyloniens

IVe/Ve siècle. Numération de position à base dix et apparition du zéro en Inde

IXe siècle. Introduction du zéro en Espagne par les arabes

XIIe siècle.

Introduction du zéro en Europe occidentale.Les chiffres arabes s’y stabilisent graphiquement pour donner naissance à la forme qu'ils ont actuellement

Repères chronologiquesRepères chronologiques

Les deux grands types de Les deux grands types de numérationnumération

La numération de type additif (numération égyptienne, romaine...)

La numération de position

LaLa numération égyptiennenumération égyptienne

Le système hiéroglyphique.

Système additif non positionnel de base 10

19 X 23 = (1 + 2 +16) X 23

Le principe de base est la Le principe de base est la duplicationduplication

1 (1) 23 23

2 (1) 46 + 46

4 (0) 92

8 (0) 184

16 (1) 368 + 368

= 437

Multiplication égyptienneMultiplication égyptienne

Multiplication égyptienneMultiplication égyptiennevariantevariante

12 12

12 1 12

6 2 24

3 4 48

1 8 96 144

12 12 = 6 24 = 3 48 = (2 + 1) 48 = 96 + 48

Numération romaineNumération romaine7 symboles

une barre pour multiplier par mille

Formation des nombres

Par addition III VI XXVIIII

Par soustraction

IV IX CM

720 62

Le système décimal fait appel à deux principes fondamentaux que l'on retrouve dans toutes les bases de calcul.

Le premier principe fondamental est le principe de position

Le deuxième principe fondamental est le principe du zéro.

Système décimal et autres basesSystème décimal et autres bases

Numération à base quelconqueNumération à base quelconque

an, an – 1, ...., a2, a1, a0 étant n + 1 chiffres en base b, le nombre qui s’écrit anan – 1...., a2a1a0 en base b désigne le nombre

an bn + an – 1 bn– 1 +....+ a2 b2 + a1 b + a0

Pour écrire un nombre N en base b, on calcule le quotient q et le reste r de la division euclidienne de N par b puis le quotient et le reste de la division euclidienne de q par b, etc

On a 475 = 7 67 + 6 = 7 (7 9 + 4) + 6 = 7 (7 (7 1 + 2 ) + 4) + 6. donc 475 = 1 7 3 + 2 7 2 + 4 7 + 6.

(475)base10 s’écrit (1246)base 7

Disposition pratique

Algorithme du passage de la Algorithme du passage de la base 10 à la base b (b < 10)base 10 à la base b (b < 10)

Avec une calculatrice TI 82/83

PROGRAMM:BASE : Prompt B,N :1 Q :While Q> 0 : int(N/B) Q :N–Q*B R :Disp "R=",R :Q N :End

Avec un tableur

Pour une base b inférieure à 10 et N entier compris entre 0 et 2 ^41

La base 10 a été adoptée quasi universellement.

Mais il reste néanmoins des exemples historiques et des traces d'utilisation d'autres bases....

• base 5• base 12• base 20• base 60

Les bases 2, 8, 16 sont utilisées en informatique

Écriture décimale des Écriture décimale des nombres réels (en Terminale)nombres réels (en Terminale)

Écriture décimale d’un quotient d’entiers

Caractérisation d’un nombre rationnel

S o i t x e s t u n r é e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f , à t o u t r a n g n , i l e x i s t e :

N e s t u n n a t u r e l

nd u n e s u i t e d ' e n t i e r s d e 9;...;2;1;0 b n u n r é e l , 10 nb

t e l s q u e :

nn

nn bdddd

Nx1010

...100010010

321

Écriture Écriture décimaledécimale d’un réel positif d’un réel positif

...10

...100010010

321 n

nddddNx

01 ..... eeeN pp p a r t i e e n t i è r e

......,0 321 ndddd p a r t i e d é c i m a l e x s e n o t e ....,..... 32101 dddeee pp

Écriture décimale d’un quotient Écriture décimale d’un quotient d’entiers naturelsd’entiers naturels

Elle est obtenue à l’aide d’un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives (voir fichier quotient.doc)

Un tableur apporte ensuite le calcul des décimales successives (voir fichier decimales.xls)

Périodicité de l’écriture Périodicité de l’écriture décimale d’un quotient d’entiersdécimale d’un quotient d’entiers

14141

10, 07142857142857142857……..

Réciproquement : Réciproquement :

Un nombre dont le développement Un nombre dont le développement décimal est périodique à partir d’un décimal est périodique à partir d’un certain rang est celui d’un quotient certain rang est celui d’un quotient de deux entiersde deux entiers

(voir fichier fraction.doc)(voir fichier fraction.doc)

Les nombres rationnels sont les nombres dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain rang

Les nombres irrationnels sont les nombres dont le développement décimal n’est pas périodique à partir d’un certain rang

Arithmétique en premièreArithmétique en première

Nombres premiers

Recherche des diviseurs d’un naturel

Diviseurs communs à deux naturels

THEOREMES

•Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier.

•Tout entier naturel composé admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée.

•Tout nombre naturel qui n’admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée est un nombre premier

Application : Crible d’Ératosthène

T h é o r è m e : L ’ e n s e m b l e d e s n o m b r e s p r e m i e r s e s t i n f i n i . R a i s o n n e m e n t p a r l ’ a b s u r d e : S u p p o s o n s q u e l ’ e n s e m b l e d e s n o m b r e s p r e m i e r s s o i t f i n i e t a p p e l o n s p l e p l u s g r a n d d e c e s n o m b r e s e t A l e p r o d u i t d e t o u s c e s n o m b r e s p r e m i e r s . pA .....7532 A + 1 e s t u n n a t u r e l s u p é r i e u r o u é g a l à 2 . I l a d m e t a u m o i n s u n d i v i s e u r p r e m i e r q , q n e p e u t p a s ê t r e 2 , 3 , … . p , c a r s i n o n q d i v i s a n t A e t A + 1 , i l d i v i s e r a i t 1 l e u r d i f f é r e n c e . C e c i e s t a b s u r d e e t d o n c l ’ e n s e m b l e d e s n o m b r e s p r e m i e r s e s t i n f i n i .

R e c h e r c h e d e t o u s l e s d i v i s e u r s n a t u r e l s à l ' a i d e d ' u n a r b r e : 532180 22

2 02 1

2 2

1

2 4

3 0

1

3 13 2

1 8

3

1

3 0 3 23 03 23 1 3 1

5 0 5 05 05 05 05 05 05 05 0

9 1 242 6 3 6

5 15 15 15 1 5 15 15 1 5 15 1

1 64 5 1 01 5

3

9 2 1 8 4 1 2 3 66 02 0 1 8 09 03 05

L e n o m b r e d e d i v i s e u r s v a u t :

233

Recherche des diviseurs communs à deux naturels

Propriété : Soient a et b deux naturels où b est non nul et a = bq+r la division euclidienne de a par b. Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r.

PGDD(PGDD(a;ba;b))

C’est le dernier reste non nul dans

(voir fichier euclide.xls)

Arithmétique en terminaleArithmétique en terminale

Initiation au raisonnement par récurrenceDivision euclidienne dans Multiples d’un naturel dans Congruence dans compatibilité avec les opérations applications aux clés de contrôle critères de divisibilité par 3, 4, 9, 11.

Le raisonnement par Le raisonnement par récurrencerécurrence

Exemple Vérifier que pour tout naturel n :

23(n+1) – 1 = 8(23n – 1) + 7

En déduire par récurrence que, pour tout naturel n, 23n – 1 est divisible par 7.

Congruence et division Congruence et division euclidienneeuclidienne

Soient a et b deux relatifs et n un naturel.Il est équivalent de dire:a est congru à b modulo na et b ont le même reste dans la division

euclidienne par n

Application aux clés de contrôle : le numéro INSEE

Exemple : A = 2561275113114 identifie une personne La clé de contrôle est K = 97 – r, où r le reste de la division de A par 97. Le numéro INSEE est constitué des 15 chiffres obtenus en accolant à A la clé K. Mais les capacités du tableur ne permettent pas d'obtenir K .

On considère les deux entiers a et b tels que A = a 10 6 + b avec 0 b < 106 et a' et b' les restes dans la division par 97de a et b . Comme 10 6 27 ( 97), alors :

A 27 a'+b' (97) r est le reste de la division de 27 a'+b' par 97. On obtient K= 64, puis :

Le numéro INSEE :2561275113114 64

DénombrementDénombrementLe triangle de Pascal.

O

R

1

1

1

1

2

1

1

3

3

K

L

4

6 10

Une approche possible :Les chemins sur quadrillage.

1

1

1

1

2

1

1

3

3 6 10

10

4

41

1

1

5

5

1

1

11

2 1

1 11

1

13 3

4 46

5 510 10

1

Triangle de Pascal

Lien entre le nombre de parties d’un ensemble et le nombre de chemins sur un quadrillage

O

R

E = {a ; b ; c ; d ; e}

Le chemin jaune allant de O à R est associé au sous-ensemble {a ; c ; d}.

A chaque chemin composé de 5 déplacements, dont trois horizontaux, on associe un unique sous-ensemble de E à trois éléments et réciproquement.

npOn note

le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.

C’est aussi le nombre de chemins allant de O à M(p; n – p)

1 11

n n n=p pp-

Propriétés des combinaisons et Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillagechemins sur quadrillage

O

U V

T

p

n - p

Propriétés des combinaisons et Propriétés des combinaisons et chemins sur quadrillagechemins sur quadrillage

O

A’

B’

Il y a autant de chemins allant de O vers A’ que de chemins allant de O vers B’ donc

On peut étendre cette propriété à un trajet composé de n déplacements dont p déplacements vers le haut

n n=p n- p

6 6=2 4

Formule du binôme Formule du binôme et chemins sur quadrillageet chemins sur quadrillage

O a

b

a

b

a²

b²

ab + ba

(a + b)3 = aaa+aab+aba+baa+bba+bab+abb+bbb

3ab²

Calcul des Calcul des

np

Seule l’utilisation de la formule

pour des valeurs numériques données de p est exigible, l’expression à l’aide des factorielles ne l’est pas.

11 ...1 2

n n pn np p

Cette formule peut résulter de la relation

( ( 1))1nn p n pp p

Nombre de sous-ensembles d’un Nombre de sous-ensembles d’un ensembleensemble

Outre l’utilisation de la formule du binôme, on peutégalement exploiter le texte de Pascal sur le trianglearithmétique. Le raisonnement de Pascal est le suivant

1 11

n n n=p pp-

Partant de la propriété

Il en déduit que la somme des coefficients d’une même ligne est le double de la somme des coefficients de la ligne précédente et achève sa démonstration par un raisonnement par récurrence.