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2011Mathmatique 2

PC4 heures Calculatrices autorises

Notations Dans tout le problme, n est un entier naturel fix, suprieur ou gal 2. On noteMn,p(R) lensemble des matrices n lignes et p colonnes et coefficients rels. En particulier, Mn,1(R) dsigne lensemble des matrices colonnes n lignes et coefficients rels. Selon

lusage, on pourra librement identifier les espaces vectorielsMn,1(R) et Rn. On note Mi,j le coefficient sur la i-me ligne et j-me colonne dune matrice M . Lespace Mn,1(R) est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si (V,W ) Mn,1(R)2, on

pose

V,W =ni=1

Vi,1Wi,1 et V 2 =(

ni=1

V 2i,1

)1/2 La notation tM dsigne la transpose dune matrice M , rg(M) son rang et, lorsque M est carre, tr(M) sa

trace. On rappelle que tr(AB) = tr(BA) pour tout A Mk,l(R) et B Ml,k(R). On note galement On(R) le groupe des matrices orthogonales dordre n, O+n (R) le sous-groupe de On(R) for-

m des matrices de On(R) de dterminant positif et On (R) lensemble des matrices de On(R) de dterminantngatif.

Par dfinition, une rotation est un automorphisme orthogonal de lespaceMn,1(R) de dterminant 1.Objectif du problmeOn se donne des vecteurs X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Ym deMn,1(R), et on cherche dterminer, si cest possible, unerotation r deMn,1(R) telle que

r(Xi) = Yi pour 1 6 i 6 m

Cela revient dterminer une matrice W O+n (R) ralisantWXi = Yi pour 1 6 i 6 m

Sans hypothse sur les vecteurs Xi et Yi, une telle rotation na pas de raison dexister, ni dtre unique. Cestpourquoi on sintressera plutt, dans la suite, au problme plus faible suivant : trouver une matriceW O+n (R)minimisant la quantit

mi=1 WXi Yi22, autrement dit telle quen un sens les WXi soient aussi proches

que possible des Yi.

I Questions prliminairesI.A Gnralits sur les matrices orthogonalesI.A.1) Quel est le dterminant dune matrice de O+n (R) ? de On (R) ? On justifiera les rponses.I.A.2) On (R) est-il un sous-groupe de On(R) ?I.A.3) Montrer que les valeurs absolues des coefficients dune matrice orthogonale sont infrieures ou gales 1.

I.B Un exemple numriqueDans cette section, n = m = 2. On pose

X1 =(

20

), X2 =

(2

2

), Y1 =

123

2

, Y2 =

123

2

On introduit les affixes respectives des vecteurs X1, X2, Y1, Y2 :

1 = 2, 2 =

2 + i

2, 1 =12 + i

3

2 , 2 = 12 + i

3

2

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I.B.1) Exprimer ces affixes sous forme trigonomtrique puis simplifier pour tout rel la quantit

f() = |1 ei1|2 + |2 ei2|2

I.B.2) Dterminer les valeurs de qui minimisent f(). Illustrer le rsultat par un dessin.

II Un problme doptimisationDans cette partie, on fixe des lments X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Ym de Mn,1(R), et on se propose dobtenir unematrice W On(R) minimisant

mi=1 WXi Yi22 et, dans certains cas, une matrice W O+n (R) minimisantm

i=1 WXi Yi22.Dans toute cette partie, on noteX (respectivement Y ) la matrice deMn,m(R) dont les colonnes sontX1, . . . , Xm(respectivement Y1, . . . , Ym).

II.A Un produit scalaire matricielII.A.1) Montrer que lapplication

Mn,m(R)2 R, (M,N) 7 tr((tM)N)est un produit scalaire surMn,m(R). On pose dsormais

M,NF = tr((tM)N) et MF = M,M1/2FII.A.2) Montrer que, pour toute matrice W Mn(R), on a

mi=1WXi Yi22 = WX Y 2F

II.A.3) Simplifier WM,WNF et WMF pour W On(R) et (M,N) Mn,m(R)2.II.A.4) Simplifier aussi MW,NW F et MWF pour W Om(R) et (M,N) Mn,m(R)2 .II.B Dans cette section, on suppose que m = n.II.B.1) Calculer WF pour W On(R).II.B.2) Montrer que si une suite (Mk)kN dlments de On(R) converge versM Mn(R), alorsM On(R)et en dduire que On(R) est une partie ferme deMn(R).II.B.3) Montrer que On(R) est une partie compacte deMn(R).II.C Dans cette section, m et n ne sont plus supposs gaux.II.C.1) Justifier lexistence dune matrice W On(R) minimisant WX Y 2F , cest--dire vrifiant

Z On(R), WX Y 2F 6 ZX Y 2FII.C.2) Montrer que les matrices W On(R) minimisant WX Y 2F sont les matrices W On(R)maximisant WX,Y F .II.C.3) Dterminer laide de X et Y une matrice A Mn(R) telle que, pour toute matrice W On(R),

WX,Y F = W,AFII.D Dans cette section, dsigne une matrice diagonale dordre n coefficients positifs.II.D.1) Dterminer une matrice W On(R) maximisant W ,F .II.D.2) On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matrice vrifient :

1,1 > . . . > r,r > 0 et i,i = 0 pour r + 1 6 i 6 n

(avec ventuellement r = n dans le cas o tous les coefficients diagonaux de sont non nuls). Dterminer toutesles matrices W On(R) maximisant W ,F .II.E Dans cette section, on admet que A peut scrire sous la forme Q(tP ) avec (Q,P ) On(R)2et Mn(R) diagonale avec des coefficients diagonaux vrifiant 1,1 > . . . > n,n > 0. Ce rsultat seradmontr dans la partie III.II.E.1) Dterminer laide de P et Q une matrice W On(R) maximisant W,AF , et appartenant O+n (R) si et seulement si detP detQ > 0.II.E.2) Montrer que si detA > 0, il existe une unique matrice W O+n (R) maximisant W,AF , au sens o

Z O+n (R), W,AF > Z,AF

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II.E.3) Dans cette question, on suppose que n,n = 0. Dterminer une matrice W On (R) maximisantW ,F .II.E.4) Dans cette question, on suppose que detA = 0 et que detP detQ < 0. Dduire de la questionprcdente une matrice W O+n (R) maximisant W,AF .

III Une dcomposition matricielleLobjectif de cette partie est dtablir le rsultat admis dans la partie prcdente.Soit M Mn,p(R) de rang r > 1.III.A Soit B = (tM)M .III.A.1) Montrer que B est une matrice symtrique relle. Que peut-on en dduire ?III.A.2) Montrer que B est positive, cest--dire que pour tout V Mp,1(R), (tV )BV > 0. En dduire queles valeurs propres de B sont positives.III.A.3) Montrer que kerB = kerM . En dduire que rg(B) = r. (M tant une matrice deMn,p(R), on posekerM = {X Mp,1(R), MX = 0}.)III.B Dans la suite de cette partie, on note : f lapplication linaire de Rp dans Rn canoniquement associe M , g lendomorphisme de Rp canoniquement associ B, 1, . . . , p les valeurs propres (distinctes ou non) de g ranges par ordre dcroissant :

1 > 2 > . . . > r > 0 = r+1 = . . . = p

et enfin (v1, . . . , vp) une base orthonorme de Rp forme de vecteurs propres de g associs respectivementaux valeurs propres 1, . . . , p.

III.B.1) On pose i =i pour 1 6 i 6 p et ui = 1i f(vi) pour 1 6 i 6 r. Montrer que (u1, . . . , ur) est une

base orthonorme de Im(f).III.B.2) Soit = (i,j) Mn,p(R) la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont 1,1, . . . ,r,r quivalent 1, . . . , r. Montrer quil existe Q On(R) et P Op(R) telles que

M = QP1 = Q(tP )

IV Sur la trace des matrices orthogonalesDans cette partie, on tudie la trace maximale dune matrice de On (R), ce qui va permettre daboutir dans lescas laisss en suspens dans la partie II une matrice W O+n (R) minimisant

mi=1 WXi Yi22.

IV.A IV.A.1) Dterminer la trace maximale dune matrice de On(R).IV.A.2) Soit E un espace vectoriel euclidien, et w un automorphisme orthogonal de E. Justifier que lesseules valeurs propres possibles pour w sont 1 et 1.IV.A.3) Montrer que 1 est valeur propre de toute matrice W On (R).IV.A.4) Montrer que si F est un sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidien E, stable par unautomorphisme orthogonal w de E, alors lorthogonal de F est aussi stable par w.IV.A.5) Montrer que pour tout W On (R), il existe P1 On(R) et W1 O+n1(R) tels que

W = P1

(1 01,n1

0n1,1 W1

)(tP1)

o 0k,l dsigne la matrice nulle dansMk,l(R).IV.A.6) Conclure sur la trace maximale dune matrice de On (R).IV.B On rappelle que minimiser

mi=1 WXi Yi22 revient maximiser W,AF avec A Mn(R) une

certaine matrice qui peut scrire sous la forme Q(tP ) avec (P,Q) On(R)2 et Mn(R) diagonale, coefficients diagonaux vrifiant

1,1 > . . . > n,n > 0

IV.B.1) Dterminer une matrice W On (R) maximisant W ,F en commenant par crire W ,F laide de tr(W ) et des coefficients W i,i, pour 1 6 i 6 n 1.IV.B.2) En dduire, lorsque detP detQ < 0, une matrice W O+n (R) maximisant W,AF .

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V Calcul numriqueDans cette partie, on tudie un algorithme permettant de calculer de manire approche une matriceW O+n (R)minimisant

mi=1 WXi Yi22 pour certaines matrices Y .

V.A tude dune suite de relsOn considre E lensemble des suites (xk)kN de rels vrifiant :

x0 > 0 et xk+1 = xk x2k + 3

3x2k + 1pour k N

V.A.1) crire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer les trente premiers termesde la suite (xk)kN E telle que x0 = 0,1.V.A.2) Reprsenter graphiquement le comportement dune suite (xk)kN E pour un x0 > 0 quelconque.On effectuera les calculs ncessaires une reprsentation soigne.V.A.3) Dmontrer la convergence dune telle suite et prciser sa limite.

V.B tude dune suite de matricesOn considre F lensemble des suites (Zk)kN de matrices deMn(R) vrifiant les deux conditions suivantes :i. Z0 est inversible ;ii. Zk+1 = Zk(tZkZk + 3In)(3tZkZk + In)1 pour k N (In dsigne la matrice identit dordre n).V.B.1) Montrer que pour toute matrice Z Mn(R), la matrice 3tZZ + In est bien inversible.V.B.2) Soit (Zk)kN F . Daprs la deuxime partie, Z0 peut scrire sous la forme QD(tP ) avec (Q,P ) On(R)2 et D Mn(R) diagonale coefficients diagonaux strictement positifs. On dfinit, pour tout k N,lassertion Pk ainsi : Zk peut scrire sous la forme QDk(tP ) avec Dk diagonale coefficients diagonauxstrictement positifs . Montrer que pour tout k N, Pk est vraie.V.B.3) Dterminer la limite de la suite (Zk)kN.

V.C Une applicationOn fixe X1, . . . , Xm des lments de Mn,1(R), et on note X la matrice de Mn,m(R) dont les colonnes sontX1, . . . , Xm. On fixe galement W0 O+n (R), et on pose Y0 = W0X. On suppose de plus la matrice X de rangn.V.C.1) Montrer quil existe un ouvert U de Mn,m(R) contenant Y0 tel que pour tout Y U , lon aitdet(Y (tX)) > 0.V.C.2) Dans le cas o Y U , quelle valeur donner Z0 pour que la suite (Zk)kN F converge versW O+n (R) minimisant

mi=1 WXi Yi22 ?

FIN