Mathématiques – cours : Chap 53 : Géométrie élémentaire de l’espace

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Chap 5³ : Géométrie élémentaire de l’espace espace affine de dimension 3, de direction

I. Repères cartésiens 3( , , ) , !( , , ) ,

: ( , , , )

: donnée de 3 vecteurs non coplanaires

Repère de donnée d'un point e

Base de

t d'une bas

e de

i j k u x y z u xi y j zk

O O i j k

⇒∀ ∈ ∃ ∈ = + +

=R

II. Produit scalaire

' ' '

( , , ) 0

| |

Bilinéaire, symétrique, défini positif Norme associée :

Base orthogonale si

Cauchy-Schwartz : Inégalité triangulaire

u v xx yy zz u u u

u v w u v u w v w

u v u v u v u v

⋅ = + + = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ ≤ ⇒ + ≤ +

2 2 2

2 2 2 2

2

2( )

Identité de polarisation :

Identité du parallélisme logique :

u v u v u v

u v u v u v

+ = + + ⋅

+ + − = +

cos( , )u v u v u v⋅ =

III. Produit vectoriel

' ' '' ' ' 0' ' '

Bilinéaire, antisymétrique, et colinéairesx x yz y z

u v y y zx z x u v u vz z xy x y

− ∧ = = − ∧ = ⇔ −

1 2 3 ( ) ( ) BON directe, indirecte si e e e u v u u v v∧ = + − ∧ ⊥ ∧ ⊥

Preuve : 2

1 2 1 2 1 1 2 2( , , , ) 1 ( ) ( ) 0Vrai pour O i j k e e e e e e e e∧ = ∧ ⋅ = ∧ ⋅ =

sinu v u v nθ∧ =

IV. Déterminant (ou produit mixte)

' "det( , , ) ( ) ' " ' " ' " ' " ' " ' " '

' "

(det( , , ) 0 )

d

(règle de Sarrus)

3-linéaire (à gauche, à droite, et au milieu), Alterné si 2 sont égaux , Antisymétrique

x x xu v w u v u y y y xy z yz x zx y x y z y z x z x y

z z z

u v w

= ∧ ⋅ = = + + − − −

=

et( , , ) 0 , , coplanairesu v w u v w= ⇔

| det( , , ) | 6 ( )

Développement par rapport à une colonne, un ligne... signes alternés

AB AC AD Vol ABCD

+ − +− + −+ − +

→

=

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V. Plans et droites

Caractérisation d’un plan : Point et vecteur normal : 0AM n⋅ =

Point et vecteurs directeurs : det( , , ) 0 ouAM u v n u v= = ∧

3 points : se ramener aux vecteurs

''

'Equations paramétriques :

A

A

A

x x s tM y y s t

z z s s

α αβ βγ γ

= + +∈ ⇔ = + + = + +

P

0 0 0 00 2 2 2

| | | |( , )Distance d'un point à un plan : AM n ax by cz dd M

n a b c⋅ + + −

= =+ +

P

Caractérisation d’une droite : Equations paramétriques : A

A

A

x x ty y tz z t

αβγ

= + = + = +

Equations cartésiennes : 2 équations de plans (non uniques)

00( , )Distance d'un point à une droite :

u AMd M D

u

∧=

Perpendiculaire commune : D et D’ parallèles : même plan P, infinité de perpendiculaires communes D et D’ sécantes : même plan P perpendiculaire commune : celle à P passant par le point d’intersection

D et D’ non coplanaires perpendiculaire coplanaire à et et à et u v u u v v∧ ∧

( ) ( ) ( )Double produit vectoriel : u v w u w v u v w∧ ∧ = ⋅ − ⋅

VI. Sphères

, , 0M M R M MA MB= ∈ Ω = = ∈ ⋅ =E E

:( , )( , ) ( , ) ,

Intersection entre sphère de centre et de rayon avec droite de

projeté orth. de sur ( )

Intersection entre et plan de l'espace : (

Rd Rd R Hd R A B A B

d

ΩΩ > ⇒ ∩ =∅Ω = ⇒ ∩ = ΩΩ < ⇒ ∩ = ≠

D EMD DD D DD D

P

1 2 1 2 1 2

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( , )

( , ) ( ):

|

,

|

idem droite)

est un cercle de centre de rayon contenu dans Intersection entre et sphères de centre et , de rayon et

ou

R

d R H R dR R

R R R R> + <

Ω ≤

Ω < ⇒ ∩ −

−

Ω

Ω ΩΩ Ω Ω Ω ⇒ ∩ =

P

P P P P

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| || |

Les deux sphères sont tangente ou est un cerc

sle

R R R RR R R R

∅Ω Ω = Ω Ω =

> Ω Ω >+ − ⇒

+ − ∩⇒