Mathématiques Mathématiques SNSN

MODULE 10MODULE 10Les Les IDENTITÉSIDENTITÉS

TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

Radian et longueur d’arcRadian et longueur d’arc

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Dans tout cercle de rayon «Dans tout cercle de rayon « r r », on  », on détermine la longueur d’un arc AB détermine la longueur d’un arc AB de la façon suivante :de la façon suivante :

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

rr

AA

BBm AB = m AB = x x rr

Exemples : Exemples :

m AB = 1,5 x 6m AB = 1,5 x 6

m AB = 9 cmm AB = 9 cm

Dans un cercle de rayon Dans un cercle de rayon 6 cm6 cm, quelle est la , quelle est la mesure de l’arc mesure de l’arc intercepté par un angle intercepté par un angle au centre de au centre de 1,5 rad 1,5 rad ??

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

a) a) 7766

radrad

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

a) a) 7766

radrad Réponse :Réponse : - 3- 3

22

( , )( , )-1-1

22

b) b) - - 44

radrad

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

( , )( , )

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

a) a) 7766

radrad Réponse :Réponse : - 3- 3

22

( , )( , )-1-1

22

b) b) - - 44

radrad Réponse :Réponse : 22

22

- 2- 2

22

c) c) 1111

44radrad

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

a) a) 7766

radrad Réponse :Réponse : - 3- 3

22

( , )( , )-1-1

22

Réponse :Réponse : - 2- 2

22

( , )( , ) 22

22

( , )( , )b) b) - - 44

radrad Réponse :Réponse : 22

22

- 2- 2

22

c) c) 1111

44radrad

d) d) 1010

33radrad

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

a) a) 7766

radrad Réponse :Réponse : - 3- 3

22

( , )( , )-1-1

22

Réponse :Réponse : - 2- 2

22

( , )( , ) 22

22

( , )( , )b) b) - - 44

radrad Réponse :Réponse : 22

22

- 2- 2

22

c) c) 1111

44radrad

d) d) 1010

33radrad Réponse :Réponse : - 3- 3

22

( , )( , )-1-1

22

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

e) e) - 8- 8

66radrad

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

( , )( , )

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

e) e) - 8- 8

66radrad Réponse :Réponse : 33

22

-1-1

22

f) f) - - 22

radrad

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

( , )( , )

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

e) e) - 8- 8

66radrad

f) f) - - 22

radrad Réponse :Réponse :

g) g) radrad

00 - 1- 1

- 5- 5

( , )( , )Réponse :Réponse : 33

22

-1-1

22

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

22

11

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

22

33

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11 --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2233

22

11--

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

66

44

33

66

77

44

55

44 33

66

5544

33

22 33

66

1111

44

77

55 33

33 22

22

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

00

Coordonnées Coordonnées équivalenteséquivalentes du cercle trigonométrique du cercle trigonométrique

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

Ex. :Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque c’est possible.

h) h) 1111

88radrad

( , )( , )

e) e) - 8- 8

66radrad

f) f) - - 22

radrad Réponse :Réponse : 00 - 1- 1

( , )( , )Réponse :Réponse : 33

22

-1-1

22

( , )( , )Réponse :Réponse : - 1- 1 00g) g) radrad- 5- 5

( , )( , )Réponse :Réponse : coscos1111

88sinsin

111188

( - 0,3827 , - 0,9239 )( - 0,3827 , - 0,9239 )

Les 3 Les 3 identitésidentités

trigonométriquestrigonométriques

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

11

P(P() = ( , )) = ( , )xx yy

xx

yy

cos cos sin sin

Par Pythagore :Par Pythagore :

xx22 + + yy22 = 1 = 122

Donc :Donc :

coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1

IDENTITÉ IDENTITÉ ## 11

coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1

À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :

IDENTITÉ IDENTITÉ ## 22

coscos22 coscos22 coscos22

1 + tan1 + tan22 = sec = sec22

RAPPELRAPPELRAPPELRAPPEL

coscos

11== sec sec

sin sin

11== cosec cosec

tan tan

11== cot cot

À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :

coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1

IDENTITÉ IDENTITÉ ## 33

sinsin22 sinsin22 sinsin22

cotcot22 + 1 = cosec + 1 = cosec22

Ex. #1 :Ex. #1 : DémontrerDémontrersecsec22

11++

coseccosec22

11== 11

11++

11== 11

coscos22

11

sinsin22

11

++ == 11coscos22 sinsin22

== 1111

Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !

On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).

Ex. #2 :Ex. #2 : DémontrerDémontrer cos x cos x tan x = sin x tan x = sin x

== sin xsin xcos x cos x

cos xcos x

sin xsin x

== sin xsin xsin xsin x

Ex. #3 :Ex. #3 : SimplifierSimplifier (1 + tan(1 + tan22x) cosx) cos22xx

(sec(sec22x) cosx) cos22xx

coscos22xx

11 coscos22xx

11

Ex. #4 :Ex. #4 : DémontrerDémontrer tantan22x – tanx – tan22x sinx sin22x = sinx = sin22xx

tantan22x (1 – sinx (1 – sin22x) = sinx) = sin22xx

tantan22x (cosx (cos22x) = sinx) = sin22xx

(cos(cos22x) = sinx) = sin22xx

coscos22xx

sinsin22 x x

sinsin22x = sinx = sin22xx

Ex. #5 :Ex. #5 : DémontrerDémontrer – – sin x = cot x cos xsin x = cot x cos x

sin xsin x

11

– – sinsin22x = cot x cos xx = cot x cos x

sin xsin x

11

sin xsin x

1 – sin1 – sin22x = cot x cos xx = cot x cos x

sin xsin x

coscos22x = cot x cos xx = cot x cos x

sin xsin x

coscos x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x

sin xsin x

cotcot x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x

Autres Autres identitésidentités

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))

Somme de Somme de uu et et vv

cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))

Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( + ) . = , calculer précisément sin ( + ) .44

33

44

33

sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))

Somme de Somme de uu et et vv

cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))

Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( = , calculer précisément sin (uu + + vv) .) .44

33

sin ( + ) = sin ( + ) = 44

33

sin ( )sin ( )44

cos ( )cos ( )33

++ sin ( )sin ( )33

cos ( )cos ( )44

sin ( ) = sin ( ) = 771212

( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( ) 22

22

33

22

11

22

22

22

sin ( ) = sin ( ) = 771212

( )( ) ++ ( )( ) 22

44

66

44

sin ( ) = sin ( ) = 771212

+ 2 + 2

66

44

22

44

sin (sin (uu – – vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(vv) cos() cos(uu))

Différence entre Différence entre uu et et vv

cos (cos (uu – – vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(uu) sin() sin(vv))

Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément cos ( = , calculer précisément cos (uu – – vv) .) .3344

2233

cos ( – ) = cos ( – ) = 3344

2233

cos ( )cos ( )3344

cos ( )cos ( )2233

++ sin ( )sin ( )3344

sin ( )sin ( )2233

cos ( ) = cos ( ) = 1212

( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( )- 2- 2

22

- 1- 1

22

33

22

22

22

cos ( ) = cos ( ) = 1212

( )( ) ++ ( )( ) 22

44

66

44

+ 6 + 6

cos ( ) = cos ( ) = 1212

cos (cos (- - ) = cos ) = cos

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P(P() = ( , )) = ( , )cos cos

xx

- -

P(P(-- ) = ( , )) = ( , )cos (cos (- - ))

cos (cos (- - ) = cos ) = cos

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P(P( ) = ( , )) = ( , )coscos

Exemple :Exemple :

33

33

33

11

22

xx

11

22

--

33

P( P( ) = ( , )) = ( , )coscos--

33

--

33

11

22

coscos

33

coscos --

33

Donc :Donc :

==

= =

33

sin (sin (- - ) = - sin ) = - sin

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

P(P() = ( , )) = ( , )sinsin yy

- -

P(P(-- ) = ( , )) = ( , )sin (sin (-- ))

- y- y

sin (sin (- - ) = - sin ) = - sin

11-1-1

11

-1-1

yy

xx

yy

- y- y

Exemple :Exemple : = =

33

33

--

33

P(P( ) = ( , )) = ( , )sinsin

33

33

P( P( ) = ( , )) = ( , )sinsin--

33

--

33

- - 3 3

22

33

22

- - 3 3

22

33

22

sinsin --

33

-- sin sin

33

Donc :Donc :

==