Mécanique des milieux continus

Tome I. Concepts généraux

Avant-propos

Chapitre I. Le milieu continu : une modélisation

Chapitre II. Étude des déformations du milieu continu

Chapitre III. Cinématique du milieu continu

Chapitre IV. Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts

Chapitre V. Modélisation des efforts pour le milieu continu

Chapitre VI. Étude des contraintes

Annexe I. Éléments de calcul tensoriel

Annexe II. Opérateurs différentiels : formules essentielles

Index alphabétique

Tome II. Thermoélasticité

Chapitre VII. Le comportement thermoélastique

Chapitre VIII. Évolutions et équilibres thermoélastiques

Chapitre IX. Quelques thèmes classiques en élasticité tridimensionnelle

Chapitre X. Approches variationnelles en thermoélasticité linéarisée

Annexe III. Éléments d’élasticité plane

Bibliographie

Index alphabétique

Tome III. Milieux curvilignes

Chapitre XI. Statique des milieux curvilignes

Chapitre XII. Structures curvilignes thermoélastiques

Glossaire

Bibliographie

Index alphabétique

Sommaire

I Le milieu continu : une modélisation 91 Échelle, modélisation, validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Les concepts et leur formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Étude des déformations du milieu continu 391 Transport, transformation, déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Transport convectif en transformation homogène . . . . . . . . . . . . 463 Déformation en transformation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Déformation d’un milieu continu : cas général . . . . . . . . . . . . . . 585 Transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Compatibilité géométrique d’un champ de déformation linéarisée . . . 667 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

III Cinématique du milieu continu 871 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Cinématique lagrangienne du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . 933 Cinématique eulérienne du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Dérivées particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 1351 Problématique de la modélisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . 1432 Dualisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels1483 Méthode des puissances virtuelles pour un système de points matériels 1544 La méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605 Mouvements rigidifiants ; distributeurs, torseurs . . . . . . . . . . . . 1646 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697 Théorèmes de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique . . . 172

7

8

8 Et maintenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

V Modélisation des efforts pour le milieu continu 1851 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Modélisation des efforts intérieurs par un champ scalaire : la pression 1923 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : les contraintes2034 Les contraintes en description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . 2275 Bilan et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

VI Étude des contraintes 2491 La mise en œuvre du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2552 Notions pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2553 Représentation de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654 Critères de limite d’élasticité pour les matériaux isotropes . . . . . . . 2725 Dérivation temporelle du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . 277Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Annexes

I Éléments de calcul tensoriel 2931 Tenseurs sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2992 Produit tensoriel de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Décomposition d’un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3034 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085 Tenseurs sur un espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . 3136 Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Schéma sur les tenseurs euclidiens en bases orthonormées . . . . . . . . . 339

II Opérateurs différentiels : formules essentielles 3511 Coordonnées cartésiennes orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . 3532 Coordonnées cartésiennes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3553 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3564 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Bibliographie 361

Index alphabétique 369