Mcanique : tenseurs 3me partie calcul sur les surfaces leborgne/IsimathMeca/mecat_ : tenseurs 3me partie calcul sur les surfaces ... 10.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien Det D[sous l'hypothse mtrique

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Notes du cours d'quations aux Drives Partielles de l'ISIMA, deuxime annehttp://www.isima.fr/leborgneMcanique : tenseurs 3me partie calcul sur les surfacesGilles Leborgne12 janvier 2010Table des matires0 Motivation : calcul classique problmatique 31 Surfaces et systmes de coordonnes 41.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Vecteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Base (~ei(~x))i=1,...,m du systme et espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Courbes et vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Drive d'une fonction sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Base duale (dqi(~x))i=1,...,m du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Base biduale : notation qi(~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Symboles de Christoel 122.1 Symboles de Christoel dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Connexion sur C(S; R) = T 00 (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Connexion sur TS = T 10 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Symboles de Christoel sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Notation vi|j de drivation covariante dans la j-me direction . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Connexion sur T 01 (S) : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Symboles de Christoel pour la base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 * Formules de changement de base pour les symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . 183 Mtrique et systme de coordonnes 193.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Connexion sur les mtriques : premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Connexion sur les mtriques dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Mtrique tue : mtrique de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Mtrique de Killing et symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Volume 244.1 Volume algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Volume algbrique dans la base du systme et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Volume algbrique dans la base du systme et mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Volume algbrique et pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Volume positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Normale une surface 275.1 Forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Forme normale unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Vecteur normal unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Aire 306.1 lment d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Systme de coordonnes dans Rn associ ~ sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Symboles de Christoel nij pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Transport parallle dans Rn 337.0 Transport parallle dans Rn d'une fonction le long d'une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . 337.1 Transport parallle dans Rn d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . . . . . 337.2 Godsique dans Rn : une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34128 Transport parallle sur une surface dans Rn 358.1 Transport parallle sur une surface d'un champ de vecteurs le long d'une courbe . . . . . . 358.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.1.2 Dans un systme de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.3 Exemples sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.4 Exemples sur la sphre de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.1.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2 Godsique sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.2 Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.3 Shifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 Formes fondamentales et courbure 459.1 Premire forme fondamentale g T 02 (S) (mtrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . 469.2.1 Rappel : premire dnition de la courbure (positive), approche lmentaire . . . . . 469.2.2 Courbure (algbrique) : choix de la dnition de la courbure . . . . . . . . . . . . . . 479.2.3 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures . . . . . . . . . . . 489.2.4 Interprtation : courbure k(~v,~v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3 Le tenseur K T 11 (S) des courbures associ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.1 L'endomorphisme K~x associ k~x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3.2 Courbures principales, courbure moyenne, courbure gaussienne . . . . . . . . . . . . 519.4 Godsique et deuxime forme fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210 Tenseurs des dformations 5210.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.1 Transpose d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.1.2 Direntielles premires et secondes ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.3 ... et drives partielles premires et secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.4 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1.5 Application un mouvement ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2 En espace : jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.1 Rappel : transpose d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.2 Jacobienne et transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.3 F (t, ~X) dans une base de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.4 F (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2.5 FT (t, ~X) avec la base du systme ~0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.6 Remarque : F (t, ~X) dans des bases de (TS0) ~X et (TSt)~x compltes . . . . . . . . . 5810.2.7 Tenseurs des dformations C et C[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2.8 Tenseurs des dformations C et C[ dans une base de (TS0) ~X . . . . . . . . . . . . . 6010.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ sous l'hypothse mtriqueeuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.3.1 Ft(t, ~X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.3.2 (FT )t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.3.3 Ct(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.3.4 C[t(t, ~X) et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.3.5 Tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ et mtrique euclidienne . . . . 6210.4 Vitesse eulrienne ~v(t, ~x), et d~v(t, ~x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4.2 ~v[ et d~v[ et mtrique euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4.3 d~v et d~vT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.5 ~v|| et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.1 Divergence pour les volumes ou pour les surfaces qui glissent sur elles-mmes . . . . 6410.5.2 Dnition de ~v|| sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.5.3 Connexion ~v|| sur (TSt)~x, et tenseur des courbures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.4 Divergence div||~v|| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.5.5 D[t comme pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 12 janvier 20103 0. Motivation : calcul classique problmatique11 Conservation de la masse 6711.1 Principe (ou loi) de conservation de la masse pour un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.1.2 Conservation de la masse et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2 Conservation de la masse pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.1 Gradients de dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.2 Mtrique euclidienne et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.3 Aire et tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.4 Conservation de la masse pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012 Transport de la normale une surface 7112.1 Transport d'une surface par le mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.2 Gnralisation aux coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.3 Transport des vecteurs de base tangents et de la normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.4 Relation entre les lments d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A Rappels : dterminants 73A.1 Forme multilinaire alterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Forme m-linaire alterne et dterminant detB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Dterminant detB(L) d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.4 Dterminant det(L) (volume algbrique) dans Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.5 Dterminant det d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.6 Calculs par rcurrence des dterminants de matrices : mineurs et cofacteurs . . . . . . . . . 76A.7 det(A) = det(AT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.8 det([L].[M ]) = det([L]) det([M ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.9 Cofacteurs et inverse d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.10 Dterminant det et produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.11 Dterminant detB et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.12 Drive d'un dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79B Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notions 79B.1 Dnitions : varits, cartes, atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.2 Orientation d'une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81B.3 Direntiation sur une varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.4 Fibr tangent une varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.5 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.6 p-forme direntielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.7 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84B.8 Aire d'une surface orientable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.9 Produit intrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.10 Direntielle extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.11 Thorme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Connexion sur une varit de Rn 88C.1 Connexion et drive covariante pour les champs de vecteurs sur TS . . . . . . . . . . . . . 88C.2 Symboles de Christoel pour une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89C.3 La drivation associe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91C.4 Divergence div~w d'un champ de vecteurs ~w sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.5 Mtrique et connexion riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C.6 Connexion sur les formes et sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93C.7 Drive T d'un champ de tenseurs T sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.8 Divergence divT d'un champ de tenseurs T sur TS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.9 Transport parallle d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Rfrences bibliographiques 960 Motivation : calcul classique problmatiqueOn se donne une surface S Rn et une fonction : ~x S (~x) R. Par exemple est unedensit surfacique de masse sur une sphre S, qui peut tre considre comme une fonction dniesur Rn, non nulle pour ~x S et nulle pour ~x / S.3 12 janvier 20104 1. Surfaces et systmes de coordonnesOn cherche dnir les variations de sur la surface S. Ici on ne peut pas se servir de ladrivation classique dans une direction xe ~v : par exemple sur la sphre, pour ~x S, la quantitlimh0(~x+h~v) (~x)h(0.1)ne peut pas servir dnir les variations = d(~x).~v de dans la direction ~v d'un vecteur tangent :le point ~x+h~v n'est alors jamais sur la sphre pour h6=0, et (~x+h~v) = 0 pour h 6=0, et la limiteest + quand (~x) 6= 0.D'autre part, quand on manipule des champs de vecteurs tangents une surface (ou unevarit), on ne peut pas les comparer avec le calcul classique (ils n'appartiennent pas, en deuxpoints distincts, au mme plan tangent), moins de plonger la surface (ou la varit) dans unespace plus grand la contenant : par exemple en considrant la sphre (varit de dimension 2)dans l'espace plus grand qu'est R3 ; et mme dans ce cas, le vecteur dirence obtenu n'a pas debonnes proprits (cas du vecteur dplacement en mcanique, qui n'est pas un vecteur objectif :sa mesure dpend de l'observateur, i.e. il ne satisfait pas aux rgles de changement de base). De plusun tel plongement n'est pas forcment souhaitable dans toutes les situations, comme par exempledans notre espace-temps en relativit gnrale, qui est une varit quatre dimensions qu'on neveut pas ncessairement plonger dans un espace vectoriel de dimension plus grande. Il s'agit doncd'introduire des outils permettant de calculer sur ces varits. Ces outils permettront galementde mieux comprendre les calculs classiques sur les surfaces.1 Surfaces et systmes de coordonnes1.1 DnitionSoient deux entiers m,n tels que 1 m n. Soit U un ouvert de Rm. On se donne unefonction :~ :{U Rm Rn~q 7 ~x = ~x(~q) = ~(~q).(1.1)On note :S = ~(U) = Im~. (1.2)Dnition 1.1 Si ~ : U S est un diomorphisme (i.e. C et inversible et d'inverse C) alors~ est appel un systme de coordonnes sur S.Et ~q reprsentera les paramtres, U tant l'espace des paramtres, et ~x reprsentera les positionsdans l'espace, tant l'espace gomtrique.Si m = 1 alors ~ est appele une courbe (rgulire).Si m = n1 alors ~ est appele une hypersurface (paramtre) ou simplement surface (para-mtre) dans R3.Dnition 1.2 S = Im~ est galement appele surface (gomtrique).Et dans le cas m = 1, S est appele une courbe (gomtrique).Dnition 1.3 Soit ~ une surface (paramtre) d'image S = Im~ (surface gomtrique), et soit~x S. Une courbe sur S en ~x est une courbe ~c : t ] , [ ~c(t) S telle que ~c(0) = ~x.Soit ( ~Ej)j=1,...,m la base canonique de Rm et soit (~bi)n=1,...,n une base de Rn. Ainsi :~ :U Rm Rn~q =mi=1qi ~Ei = q1...qm|(~E)7 ~x =nj=1xj~bj =nj=1j(~q)~bj = 1(q1, ..., qm)...n(q1, ..., qm)|(~b).(1.3)Et on note xi = i(~q) = xi(~q). Ainsi :~x = ~x(~q) = ~(~q) = 1(q1, ..., qm)...n(q1, ..., qm)|(~b)= x1(q1, ..., qm)...xn(q1, ..., qm)|(~b). (1.4)4 12 janvier 20105 1. Surfaces et systmes de coordonnesExemple 1.4 Coordonnes polaires : m = n = 2. Soit P un point de l'espace Rn = R2. On munitR2 d'un repre cartsien, et P est alors repr l'aide du vecteur ~x = OP =(x1x2), o (x1, x2)sont les coordonnes cartsiennes du point (positions gomtriques). On pose U = R+R l'espacedes paramtres, on note ~q = (q1, q2) = (r, ), et on dnit ~ sur U par :~(r, ) =(r cos r sin )= ~x. (1.5)Pour avoir un diomorphisme, on restreint U par exemple U = R+] , [, avec donc S =~(U) =not ouvert de l'espace R2 priv du demi-axe des x 0.Exemple 1.5 Coordonnes polaires sur le cercle S de rayon R : m = 1 et n = 2.~() = R(cos sin )= ~x, (1.6)avec par exemple ] , [= U (pour avoir un ouvert).Exemple 1.6 Coordonnes sphriques : m = n = 3 (voir polycopi prcdent).~(r, , ) = r cos cosr sin cosr sin = ~x, (1.7)r tant la distance au centre (le rayon), la longitude et la latitude.Exemple 1.7 Coordonnes sphriques sur la sphre de rayon R : m = 2 et n = 3.~(, ) = R cos cossin cossin = ~x, (1.8) tant la longitude et la latitude.On dispose alors, au voisinage d'un point ~x = ~(~q) x, des courbes de coordonnes en ~xdonnes par, pour i = 1, ..., n :~c(i)~x (t) = ~(q1, ..., qi1, qi+t, qi+1, ..., qn),courbes traces dans . Ces courbes vrient :~c(i)~x (0) = ~x.1.2 Vecteur tangentSoit ~ une surface. Soit ~x S = Im~. Soit ~c une courbe rgulire sur S en ~x.Dnition 1.8 La limite :~c (0) = limt0~c(t) ~c(0)tnot= ~v(~x) (1.9)est appel un vecteur tangent la courbe en ~x.Si on considre l'ensemble des courbes sur S en ~x on obtient :Dnition 1.9 L'ensemble des vecteurs tangents en ~x est not ~V~x, et l'ensemble :TS~x = {~x} ~V~x (1.10)est appel l'espace tangent (tangent space) en ~x.Et on note :TS =~xSTS~x. (1.11)5 12 janvier 20106 1. Surfaces et systmes de coordonnesDnition 1.10 Un lment de TS est appel un champ de vecteurs.Dnition 1.11 Les rgles d'addition et de multiplication par un scalaire dans TS~x sont cellesde ~V~x : avec des notations gnriques :(~x,~v~x) + (~x, ~w~x) = (~x,~v~x + ~w~x), (~x,~v~x) = (~x, ~v~x), (1.12)i.e. dans TS~x les calculs sont usuels pour la partie vectoriel. D'o la notation abusive :TS~xnot= ~V~x, (1.13)au lieu de (1.10). Et on note abusivement ~v~x au lieu (~x,~v) un lment de TS~x.Et on note ~v un lment de TS (un champ de vecteurs).1.3 Base (~ei(~x))i=1,...,m du systme et espace tangentAu point ~x = ~(~q) S, pour i = 1, ...,m on dnit les vecteurs :~ej(~x)df= d~(~q). ~Ej =~qj(~q). (1.14)ou si on prfre par ~ei(~x) =d~c(i)~xdt (t=0), vecteur tangent la i-me courbe de coordonne au point ~x.Proposition 1.12 La famille (~ei(~x))i=1,...,m est une famille libre dans Rn, et on a :TS~x = {~x} Vect{~e1(~x), ..., ~em(~x)}. (1.15)Preuve. ~ : U S est un diomorphisme C, donc, notant E = d~(Rm), son applicationlinaire tangente d~(~q) : Rm E est un diomorphisme C, donc inversible donc injective, doncles vecteurs d~(~q). ~Ej sont indpendants (sinon les ~Ej = (d~(~q))1.(d~(~q). ~Ej) seraient lis).Puis pour une courbe ~x sur S en ~x, on a ~c(t) = ~(q1(t), ..., qm(t)) = ~(~q(t)), d'o ~c (t) =mi=1~qi (~q(t))qi(t) d'o ~c (0) =mi=1 qi(0)~ei(~x) est combinaison linaire de ~ei(~x).Exercice 1.13 Montrer que pour i = 1, ...,m, le vecteur ~ei(~x) est tangent la i-me courbe decoordonne au point ~x.Rponse. Par dnition ~c(i)~x (t) = ~(~q + t~Ei) quand ~x = ~(~q), d'o ~c(i)~x(t) = d~(~q + t ~Ei). ~Ei, d'o~c(i)~x(0) = d~(~q). ~Ei = ~ei(~x).Si on dispose d'une base (~bi)i=1,...,n de Rn, toujours avec la base canonique ( ~Ei)i=1,...,m de Rm,on note :[d~(~q)]E,b = (d1(~x). ~E1)|b...d1(~x). ~Em)|b = [iqj(~q)] i=1,...,nj=1,...,m= [~qj(~q)] =((~e1(~x))|b...(~en(~x))|b)la matrice rectangle nm de d~(~q), dite matrice jacobienne de ~, relativement aux bases choisies.Exemple 1.14 Coordonnes polaires (1.5). Avec (1.5), la premire courbe de coordonnes (r varie, x) est un rayon, la deuxime courbe de coordonnes (r x, varie) est un cercle. Et :~e1(~x) =(cos sin )|~E, ~e2(~x) =(r sin r cos )|~E(1.16)sont les vecteurs au point ~x tangents aux lignes de coordonnes. La matrice de passage des coor-donnes polaires aux coordonnes cartsiennes est la matrice P =(cos r sin sin r cos ).N.B. : ||~e1(~x)|| = 1 et ||~e2(~x)|| = r ; et (~e1, ~e2) forme une base orthogonale non norme.6 12 janvier 20107 1. Surfaces et systmes de coordonnesExemple 1.15 Coordonnes polaires restreintes au cercle S de rayon R (1.6).~f1(~x) = ~() = R( sin cos )|~E(1.17)est le vecteur de base du systme. Avec les notations de (1.16) on a ~f1 = ~e2.Exemple 1.16 Le systme de coordonnes sphrique dans R3, cf. (1.7).Les vecteurs de base du systme de coordonnes sont donnes par :~e1(~x) = cos cossin cossin , ~e2(~x) =r sin cosr cos cos0 , ~e3(~x) =r cos sinr sin sinr cos . (1.18)Ces vecteurs sont orthogonaux 2 2 mais non norms :||~e1(~x)|| = 1, ||~e2(~x)|| = r cos, ||~e3(~x)|| = r.Ils forment les colonnes de la matrice de passage des coordonnes paramtriques sphriques ~q auxcoordonnes euclidiennes ~x :P = [d~(~q)] = cos cos r sin cos r cos sinsin cos r cos cos r sin sinsin 0 r cos . (1.19)1.4 Courbes et vecteurs tangentsOn se donne une surface rgulire ~ : U Rm Rn d'image S dans Rn.Proposition 1.17 Pour tout vecteur ~v TS~x il existe une courbe ~c sur S en ~x telle que ~c (0) = ~v.Et mieux : il existe un paramtrage ~ de S tel que ~v soit le premier vecteur de base de ~ en ~x,i.e. ~v = ~u1 (~q) =not ~,1(~q) quand ~ : ~u = (u1, ..., um) ~x = ~(~u).Preuve. Pour simplier les critures, plaons-nous dans R3 et S surface (varit de dimension 2).Soit ~ : U R2 R3 un paramtrage rgulier de la surface S. Soit ~v TS~x o ~x = ~(u0, v0) S.On va chercher une courbe sur S correspondant une premire courbe de coordonnes. On chercheun nouveau paramtrage rgulier ~ : V R2 Rn de S, i.e. tel que ~(V ) = S = ~(U), avec~x = ~(a0, b0), pour lequel on veut que ~a (a0, b0) = ~v.Choisissons L : (a, b) R2 L(a, b) = (u, v) R2 l'application linaire (de changement debase de V vers U), telle que ~ = ~ L, i.e. telle que ~(a, b) = ~(u, v) quand (u, v) = L(a, b),localement au voisinage de (a0, b0). On veut donc :~v = ~a(a, b) = d~(u, v).La(a, b) = ~u(u, v) + ~v(u, v) = ~e1(u, v) + ~e2(u, v),o on a not La (a, b) =()(vecteur constant = dL(a, b). ~E1 donn par la premire colonne de L,car L tant linaire la matrice de L est celle de sa direntielle). On impose donc la premirecolonne de [L] de contenir les composantes de ~v dans la base (~e1, ~e2) du systme ~. On prendcomme deuxime colonne de [L] une colonne indpendante la premire. On dtermine ainsi ~.Conclusion : on a ainsi obtenue une courbe ~cb0 : a ~(a, b0) sur S qui convient : on a~cb0(a0) = ~x et ~cb0(a0) = ~v.Proposition 1.18 Si ~v : S TS est C (un champ de vecteurs sur S) alors il existe une courbe ~csur S t.q. :d~cdt(t) = ~v(~c(t)), ~c(0) = ~x, (1.20)et cette courbe est appele courbe intgrale de ~v, encore donne par ~c(t) = ~x+ t0~v(~c()) d .7 12 janvier 20108 1. Surfaces et systmes de coordonnesPreuve. L'quation (1.20) est une quation direntielle du premier ordre avec condition initiale :on applique le thorme de CauchyLipschitz.Ou encore, on procde comme pour la dmonstration prcdente avec cette fois ~v(~x) qui serale premier vecteur de base du nouveau paramtrage ~ de la surface, voir polycopi prcdent.Exemple 1.19 Etant donn un systme de coordonnes ~ : ~q ~x = ~(~q), la i-me ligne decoordonnes est donne par ~x(t) = ~ci(t) = ~(q1, ..., t, ..., qn) au voisinage de t = qi. Par drivation,on obtient ~cit (t) = i~(q1, ..., t, ..., qn) = =not ~ei(~x(t)) = ~ei(~ci(t)). Et donc la i-me ligne decoordonnes donne le ot de ~ei i-me vecteur de base du systme.1.5 Drive d'une fonction sur SDans le paragraphe 0, ce qu'on voulait en fait, c'est considrer la drive le long d'une courbedans S : si ~c : t ]a, b[ ~x S est une courbe rgulire en ~x = ~c(t) trace dans S, on s'intresse la fonction ( ~c) : t ]a, b[ ( ~c)(t) = (~x) R (densit linique), et on veut connatre lesvariations de le long de la courbe, i.e. on veut connatre :d( ~c)(0) = limt0(~c(t)) (~c(0))t. (1.21)drive de en ~x le long de la courbe ~c.Et si est dnie sur S, on veut connatre ses variations dans S, i.e. le long de toutes les courbesdessinables sur S.Dnition 1.20 Une fonction : S R est dite direntiable en ~x S ssi il existe une formelinaire `~x : TS~x R telle que, pour toute courbe ~c sur S en ~x (donc avec ~c(0) = ~x), on a :(~c(t)) (~x) = t `~x.~c (0) + o(t). (1.22)On note alors `~x = d(~x) : TS~x R (forme linaire restriction de ` TS~x). Et on dit que est C1quand d dpend continment de ~x.Quand est direntiable en ~x sur S on a donc :d( ~c)(0) = limt0(~c(t)) (~c(0))t= d(~x).~c (0).Et si on prend toutes les courbes en ~x, on peut obtenir les drives dans toute direction tangente S, cf. proposition 1.17, i.e. dans toute direction du plan tangent TS~x S en ~x :d(~x).~v = limh0(~c(t)) (~c(0))h, (1.23)et le vecteur d(~x).~v ne dpend pas de la courbe ~c choisie telle que ~c (0) = ~v.1.6 Base duale (dqi(~x))i=1,...,m du systmeNotations. On a ~ : U S bijective C, et on a ~1 : S U bijective C et on note :~1 :{S U~x 7 ~q = ~1(~x) not= ~q(~x),(1.24)de mme qu'on avait not ~x = ~(~q) = ~x(~q). En particulier en utilisant la base canonique ( ~Ei)de Rm, on note :~q = ~1(~x) not= ~q(~x) =mi=1qi(~x) ~Ei = q1(~x)...qm(~x)|~E= (~1)1(~x)...(~1)m(~x)|~E. (1.25)Disposant de la base (~ei(~x))i=1,...,m du systme de coordonnes, base de TS~x espace tangent Sen ~x, on en dduit la base duale (ei(~x))i=1,...,m en ~x = ~(~q), base des formes linaires ei(~x) (TS~x)dnies par, pour tout i, j = 1, ...,m :ei(~x)(~ej(~x)) = ij , ei(~x)(~ej(~x))not= = ei(~x).~ej(~x).(Les ei T 01 (S) sont des formes direntielles.)8 12 janvier 20109 1. Surfaces et systmes de coordonnesProposition 1.21 On a, pour tout i = 1, ...,m :ei(~x) = dqi(~x), (1.26)et (dqi(~x))i=1,...,m est la base duale de la base (~ei(~x))i=1,...,m dans le plan tangent TS~xPreuve. On a (~1 ~)(~q) = ~q, donc d~1(~x).(d~(~q). ~Ej) = ~Ej quand ~x = ~(~q), soit d~q(~x).~ej(~x) =~Ej , soit dqi(~x).~ej(~x) = ij pour tout i, j = 1, ...,m. Et une forme linaire, ici ei : TS~x R,est entirement dtermine par ses images sur les vecteurs de base, d'o dqi = ei pour touti, j = 1, ...,m.Remarque 1.22 Quand n = m et ~ = I, on a ~q = ~x et on note (ei) = (dqi) = (dxi) la base dualede la base canonique.Quand n = m, ~(~q) est un endomorphisme de Rn, et on peut choisir comme base de Rn la basecanonique ( ~Ei)i=1,...n de base duale (dxi). Soit alors P = P (~q) = [d~(~q)] de matrice inverseQ = Q(~x) = P1(~x) = [d~(~q)]1 = [d~1(~x)] (1.27)quand ~x = ~(~q).Proposition 1.23 Les composantes des dqi(~x) dans la base (dxi)i=1,...,n (duale de la base cano-nique) sont crites dans la ligne i de Q :dqi(~x) =nj=1Qij(~x) dxj . (1.28)Preuve. La colonne j de P contient les composantes de ~ej(~x) dans la base (~bi)i=1,...,n, et pardnition de l'inverse P1 = Q, on a : (ligne i de Q) (colonne j de P ) = ij .Exemple 1.24 Cas m = n = 2. Pour le systme de coordonnes polaires, cf (1.5), o donc on uti-lise la base canonique de R2 S de base duale (dq1(~x)=dx1, dq2(~x)=dx2) en ~x (base indpendantede ~x).On a r = r(~x), = (~x), on pose P = [d~(~q)] de matrice inverse Q = [d~1(~x)] au point~x = ~(~q) :Q =(cos sin sin rcos r), (1.29)et la base duale est donne par (lignes de Q), toujours quand ~x = ~(~q) :[dr(~x)] = ( cos sin ) , [d(~x)] = ( sin rcos r ) , (1.30)expression matricielle relative la base duale (dx, dy) de la base canonique, i.e. :dr(~x) = e1(~x) = cos dx+ sin dy not= dr(~x),d(~x) = e2(~x) = sin rdx+cos rdynot= d(~x).(1.31)Exemple 1.25 Coordonnes polaires sur le cercle S de rayon R : m = 1 et n = 2, cf. (1.6).On a : ~x S = (~x) U , et la base duale en ~x = ~() est (d(~x)) constitue du seullment d(~x) dni par d(~x). ~f1(~x) = 1.Si on souhaite exprimer d(~x) sur la base implicite (dx1, dx2) de R2 S (duale de la basecanonique), alors on retrouve (1.31)2. En eet, ce choix implicite exprime ~f1(~x) = ~e2(~x) sur la basecanonique, donn par (1.16)2, et on vrie que d(~x).~e2(~x) = ( sin Rcos R ) .(R sin R cos )= 1.9 12 janvier 201010 1. Surfaces et systmes de coordonnesExemple 1.26 Le systme de coordonnes sphrique dans R3, cf. (1.7), (1.18) et (1.19).Les vecteurs de base tant orthogonaux, les lignes de la matrice inverse Q = P1 sont donnespar les colonnes de P divises par le carr des normes des vecteurs :Q = cos cos sin cos sin sin r cos cos r cos 0 cos sinr sin sinrcosr . (1.32)Et la base duale (dr=e1, d=e2, d=e3) en ~x est exprime dans la base (dxi)i=1,2,3 en lisant leslignes de Q : dr = cos cosdx+ sin cosdy + sindz,d = sin r cosdx+cos r cosdy,d = cos sinrdx sin sinrdy +cosrdz.1.7 Base biduale : notation qi(~x)On peut alors driver toute fonction f : ~x S Rm f(~x) R dans la direction des vecteursde base du systme de coordonnes, c'est dire calculer df(~x).~ei(~x) pour i = 1, ...,m l'aide de ladrivation de fonctions composes : ayant f(~x) = (f ~)(~q) quand ~x = ~(~q), on obtient :(f ~)qi(~q) = df(~(~q)). ~qi(~q) = df(~x).~ei(~x) (=d(f c(i)~x )dt(t=0)). (1.33)Notation. On note :fqi(~x) df=(f ~)qi(~q), donc = df(~x).~ei(~x), (1.34)appele drive de f en ~x le long de la i-me ligne de coordonne (le long du i-me vecteur de basedu systme de coordonnes).Dnition 1.27 Quand f : S R, la fonction :~fdf= f ~, (1.35)o donc :~f :{U R~q 7 (~f)(~q) df= f(~x) quand ~x = ~(~q),(1.36)est appele le pull-back de f par ~.C'est la fonction qui ramne la fonction f dans U au sens o elle permet de faire des calculssur f dnie en ~x l'aide des paramtres ~q caractrisant ~x.Donc par dnition de fqi on a :fqi(~x) df=(~f)qi(~q).Exemple 1.28 f(x, y) = g(r, ) o on a not g = ~f . Et par dnition fr (x, y) =gr (r, ).Donc avec le systme ~ des coordonnes polaires, (x, y) = ~(r, ), et donc (r, ) = ~1(x, y).Si f(x, y) = r2 alors fr (x, y) = 2r (vident) (avec la dnition : f(x, y) = (~f)(r, ) = r2donne fr (x, y) =df ~fr (r, ) = 2r).Comme df(~x) L(Rn; R) est linaire, df(~x) est dtermine ds qu'on connat ses valeurs surune base ; en particulier ds qu'on connat les df(~x).~ei(~x) pour tout i, i.e. ds qu'on connat lesfqi (~x) ; et avec (1.33) on dispose ainsi de la formule :df(~x) =ni=1fqi(~x) dqi(~x), (1.37)donc au sens df(~x) =ni=1(~f)qi (~q) dqi(~x) : on a bien df(~x).~ej(~x) =ni=1(~f)qi (~q)ij =(~f)qj (~q).10 12 janvier 201011 1. Surfaces et systmes de coordonnesDnition 1.29 Soit :qi(~x) :Rm R` 7 qi(~x).` = `.~ei(~x)appel oprateur de drivation dans la i-me direction. Et ( qi (~x))i=1,...,m est appele base bidualede (~ei(~x))i=1,...,m. Et on note :qi(~x).df(~x) not=fqi(~x). (1.38)Proposition 1.30 ( qi (~x))i=1,...,m est la base duale de (dqi(~x))i=1,...,m. En particulier on re-trouve :qiqj= ij . (1.39)Preuve. qi (~x).dqj(~x) =df dqj(~x).~ei(~x) = ji , et c'est bien la base duale. Egalementqiqj a lesdeux sens :1- qiqj (~q) = 0 car les qj sont des variables deux deux indpendantes,2- qjqi (~x) =df ~qjqi (~q) =qj~qi (~q) =(~1)j~qi (~q) avec ((~1)j~) : ~q ((~1)j~)(~q) = qj ,donc qjqi (~x) = ji , les variables qj tant deux deux indpendantes.Remarque 1.31 Le calcul (1.33) de df(~x).~ei(~x) n'a pas utilis la dnition classique de la driva-tion dans une direction, savoir df(~x).~ei(~x) = limh0f(~x+h~ei(~x))f(~x)h : ce calcul n'a de sens quedans Rn, et n'a pas de sens sur une surface, voir paragraphe 0 (le point ~x+ h~ei(~x) n'est pas sur lasurface en gnral, moins que la surface soit plane par exemple).Le calcul (1.33) utilise df(~x).~ej(~x) = fqj (~x) = limk0(f~)(~q+k ~Ej)(f~)(~q)k , o ne sont utilissque les points ~y = ~(~q + k ~Ej) de la surface S, et donc on drive le long de la j-me courbe decoordonnes.Et rsultat similaire pour ~f : ~x S ~f(~x) Rp fonction valeurs vectorielles.En particulier, pour chaque j = 1, ...,m, on dispose des fonctions :~ej : ~x S Rn ~ej(~x) Rn.Et, pour chaque ~x , on obtient l'endomorphisme d~ej(~x) L(Rn; Rn) entirement dni par sesvaleurs sur les vecteurs ~ei(~x) de base, et on a ( l'aide de ~ej(~x) = ~ej(~(~q)) qu'on drive) :d~ej(~x).~ei(~x) =(~ej ~)qi(~q) not=~ejqi(~x).(Drive de ~ej en ~x le long de la i-me ligne de coordonnes.) D'o :d~ej(~x) =mi=1~ejqi(~x) dqi(~x). (1.40)En eet on a alors d~ej(~x).~ek(~x) =mi=1~ejqi (~x)(dqi(~x).~ek(~x)) =ni=1~ejqi (~x)ik =~ejqk(~x) pour toutk = 1, ...,m. Et si ~v =ni=1 vi(~x)~ei(~x), on obtient :d~ej(~x).~v =ni=1vi(~x)~ejqi(~x),Exemple 1.32 Coordonnes polaires. Avec (1.16), avec la notation (1.34) :~e1r(~x) = ~0,~e1(~x) =( sin cos )=1r~e2(~x) =~e2r(~x),~e2(~x) =(r cos r sin )= r~e1(~x).(1.41)Et on a bien sr ~e1 (~x) =~e2r (~x) puisque =2~r (~q) et ~ C2 (quand ~x = ~(~q)). Et avec :d~e1 =~e1r dr + ~e1 d, d~e2 =~e2r dr + ~e2 d,11 12 janvier 201012 2. Symboles de Christoelon obtient :d~e1 =1r~e2 d, d~e2 = r~e1 d +1r~e2 dr. (1.42)Les reprsentations matricielles sont donc [d~e1] =(0 00 1r)|(~e)et [d~e2] =(0 r1r 0)|(~e).Exercice 1.33 Pour (~e1(~x), ~e2(~x)) base du systme de coordonnes polaires, calculer d~e1(~x) etd~e2(~x) dans la base cartsienne.Rponse. On passe aux coordonnes euclidiennes soit par changement de base (le faire), soit par calculdirect : avec ~e1(~x) = ~xr , on a d~e1 =1rd~x + ~x d 1r; avec d~x = I = ~E1 dx + ~E2 dy et d 1r = 1r2dr = 1r2(cos dx+ sin dy), on obtient :d~e1(~x) =1r( ~E1 dx+ ~E2 dy)1r2(x~E1 + y ~E2) (cos dx+ sin dy)=1r((1 cos2 ) ~E1 dx cos sin ~E1 dy cos sin ~E2 dx+ (1 sin2 ) ~E2 dy=1r(sin2 cos sin cos sin cos2 )|(~E),(1.43)et avec ~e2(~x) =(0 11 0)~x, application linaire en ~x, on obtient d~e2(~x) =(0 11 0)d~x, soit :d~e2(~x) = ~E1 dy + ~E2 dx =(0 11 0)|(~E). (1.44)On vrie : d~e2(~x). ~E1 = ~E2 et d~e2(~x). ~E2 = ~E1, i.e. d~e2(~x) est la rotation d'angle +2 .(Pour le calcul direct : matrice de passage P =(cos r sin sin r cos )dont la premire colonne donne~e1(~x) et la seconde ~e2(~x) dans la base euclidienne en ~x quand (r, ) = ~1(~x). La matrice inverse estQ =(cos sin sin rcos r)dont la 1re ligne contient e1 = dr et la seconde ligne e2 = d. On a donc~e2 d = (r sin ~E1 + r cos ~E2) ( sin r dx+cos rdy),~e1 d = (cos ~E1 + sin ~E2) ( sin r dx+cos rdy),~e2 dr = (r sin ~E1 + r cos ~E2) (cos dx+ sin dy),d'o (1.42) donne (1.43) et (1.44).)2 Symboles de Christoel2.1 Symboles de Christoel dans RnOn traite ici d'abord le cas m = n. Dans ce cas il est usuel de noter S = (ouvert de Rn).Soit ~ : U Rn Rn le systme de coordonnes, avec (~ei(~x))i=1,...,n la base du systmede coordonnes ~ au point ~x = ~(~q). Le champ de vecteurs ~ei T 10 () est direntiable dedirentielle d~ei T 11 (), et d~ei(~x) L(Rn; Rn) est un endomorphisme de Rn pour ~x . Et levecteur d~ej(~x).~ei(~x) =not (d~ej .~ei)(~x) Rn a un sens pour tout i, j.Dnition 2.1 Pour ~x , on note kij(~x) les composantes du vecteur (d~ej .~ei)(~x) sur la base(~ek(~x))k=1,...,n :d~ej(~x).~ei(~x) =kkij(~x)~ek(~x). (2.1)Les kij sont donc des fonctions dnies sur par :kij = ek.(d~ej .~ei) (= dqk.(d~ej .~ei)). (2.2)Les kij sont appels les symboles de Christoel du systme de coordonnes, et les kij(~x) sontappels les symboles de Christoel en ~x du systme de coordonnes.Proposition 2.2 Pour un systme de coordonnes, on a kij = kji pour tout i, j, k = 1, ..., n.12 12 janvier 201013 2. Symboles de ChristoelPreuve. On a d~ej .~ei(~x) = 2~qiqj (~q) =2~qjqi (~q) = d~ei.~ej(~x) quand ~x = ~(~q), car ~ est Cdonc C2 (thorme de Schwarz donnant 2~qiqj =2~qjqi dans ce cas).Exemple 2.3 Si on choisit un systme de coordonnes cartsien, les vecteurs ~ej obtenus sont desvecteurs constants, les d~ej sont donc nuls, et dans ce cas les kij sont tous nuls.Exercice 2.4 Pour le systme de coordonnes polaires, savoir, avec ~q = (r, ), ~(~q) =(r cos r sin ),on note 111(~x) = rrr(~x), et de mme pour les autres valeurs en exposant ou indice, notant r aulieu de 1, et au lieu de 2. Montrer que, en omettant (~x) pour allger les notations :rrr = rr = = rr = 0, r = r, r = r =1r, (2.3)c'est dire que :d~e1.~e1 = 0, d~e1.~e2 =1r~e2 = d~e2.~e1, d~e2.~e2 = r~e1. (2.4)Rponse. Voir (1.41).Exercice 2.5 Pour le systme de coordonnes sphriques (1.7), montrer que les symboles non nulssont donns par :r = r =1r, r = r =1r, r = r cos2 , r = r, (2.5) = sin cos, = = tan. (2.6)Soit d'une part :d~e1.~e1 = 0,d~e1.~e2 = d~e2.~e1 =1r~e2,d~e1.~e3 = d~e3.~e1 =1r~e3,et d'autre part pour les vecteurs ~e2 et ~e3 tangents la sphre :d~e2.~e2 = r cos2 ~e1 + sin cos~e3,d~e2.~e3 = d~e3.~e2 = tan~e2,d~e3.~e3 = r~e1.(2.7)Rponse. Calcul direct, voir polycopi prcdent.Proposition 2.6 Si pour i x on a kii = 0 pour tout k = 1, ..., n, alors la i-me ligne decoordonnes au voisinage de ~x est le segment de droite ~c(i)~x (t) = ~x+t~ei(~x), pour t dans un voisinagede 0.Preuve. La i-me ligne de coordonnes est donne par ~c(i)~x (t) = ~(~q+ t ~Ei) quand ~x = ~(~q). On a~c(i)~x(t) = d~(~q + t ~Ei). ~Ei = ~qi (~q + t ~Ei) = ~ei(~c(i)~x (t)) (i.e. ~ei est le champ de vecteurs tangent laligne), donc ~c(i)~x(t) = d~ei(~c(i)~x (t)).~c(i)~x(t) = d~ei(~c(i)~x (t)).~ei(~c(i)~x (t)).Ici par hypothse on a 2~(qi)2 (~q) = d~ei(~y).~ei(~y) = ~0 pour tout ~y quand ~y = ~(~q). Et donc~c(i)~x(t) = 0 pour tout t pour la i-me ligne de coordonnes, D'o par double intgration ~c(i)~x est ladroite ~c(i)~x (t) = ~x+ t~c(i)~x(0) = ~x+ t~ei(~x).2.2 Connexion sur C(S; R) = T 00 (S)Si f C(S; R) = T 00 (S) et ~v TS = T 10 (S), on note :~vfdf= df.~v not= f.~v T 00 (S), (2.8)o on rappelle que pour ~x S :df(~x).~v(~x) = limt0f(~c(t)) f(~c(0))t,quand ~x = ~c(0) et ~v(~x) = ~c (0), i.e. ~v est le vecteur tangent une courbe ~c t.q. ~c(0) = ~x.13 12 janvier 201014 2. Symboles de Christoel2.3 Connexion sur TS = T 10 (S) : premire approcheOn reprend U Rm, ~ : U Rn avec m < n, et S = ~(U) (varit de dimension m dans Rn).Problme rencontr : reprenons par exemple les coordonnes polaires sur le cercle S et (1.41) :on a ~e2(~x) TS~x vecteur tangent au cercle, et on a :d~e2(~x).~e2(~x) = r~e1(~x) / TS~x,bien que seul ~e2(~x) de l'espace tangent intervienne : sa drivation le long de lui-mme est unvecteur qui n'est pas dans l'espace tangent TS~x au cercle. On obtient d'ailleurs les forces d'inertiecentrifuges dduite de l'acclration 2~2 = d~e2(~x).~e2(~x) (drive seconde) quand on reste sur lecercle.Et la partie de d~e2(~x).~e2(~x) perpendiculaire au cercle, au sens du produit scalaire euclidiende R2 n'intervient pas dans la description le long du cercle, autrement dit, les forces d'inertieperpendiculaires au cercle n'ont pas d'inuence sur le mouvement sur le cercle.On convient donc de ne considrer que les projections perpendiculaires : soit :ProjTS~x : Rn TS~x, (2.9)l'oprateur de projection orthogonal sur l'espace tangent TS~x au sens du produit scalaire euclidien :pour tout ~v Rn :ProjTS~x .~v TS~x, dni t.q. (ProjTS~x .~v, ~w)Rn = (~v, ~w)Rn ~w TS~x. (2.10)(Ou si on prfre (~v ProjTS~x .~v, ~w)Rn = 0 pour tout ~w TS~x, i.e. ~v ProjTS~x .~v TS~x.)Dnition 2.7 On note : :{TS T 11 (S)~w 7 ~w, ~w.~v df= ProjTS .(d~w.~v)not= ~v ~w,(2.11)dite drivation covariante de ~w le long de ~v sur l'espace tangent. Le sens de (2.11) est : pour tout~x S :(~v ~w)(~x)df= ProjTS~x .(d~w(~x).~v(~x)). (2.12)Dnition 2.8 La connexion riemannienne sur TS est l'oprateur : :{TS TS TS(~v, ~w) 7 (~v, ~w) df= ~v ~w.(2.13)Dnition 2.9 Quand f C(S; R) et ~w TS, on pose (formule de Leibniz de drivation d'unproduit), pour tout ~v TS :(f ~w).~v = (f.~v) ~w + f (~w).~v TS, (2.14)et on note :(f ~w) = f.~w + f ~w T 11 (S). (2.15)Exemple 2.10 Quand n = m, on a ProjTS~x = I et :(~v ~w)(~x) = d~w(~x).~v(~x) = (~w.~v)(~x)la drive covariante usuelle de ~w dans la direction ~v.Exemple 2.11 La connexion sur le cercle est dnie sur les champs de vecteurs ~w TS de laforme ~w(~x) = (~x)~e2(~x). Et d~w(~x) est dni sur l'espace tangent au cercle par sa valeur sur levecteur de base ~e2(~x). On a :d~w(~x).~e2(~x) = (d(~x).~e2(~x))~e2(~x) + (~x)(d~e2(~x).~e2(~x) =(~x)~e2(~x) (~x) r ~e1(~x),D'o :(~e2 ~w)(~x) =(~x)~e2(~x).14 12 janvier 201015 2. Symboles de Christoel2.4 Symboles de Christoel sur SDnition 2.12 Pour ~x S, pour i, j = 1, ...,m, on note kij(~x) les composantes de (~ei~ej)(~x) =ProjTS~x(d~ej .~ei)(~x) sur la base (~ek(~x))k=1,...,m :(~ei~ej)(~x) =mk=1kij(~x)~ek(~x), i, j = 1, ...,m. (2.16)Les kij sont donc des fonctions dnies sur par :kij = ek.~ei~ej (= dqk.~ei~ej). (2.17)Les kij sont appels les symboles de Christoel du systme de coordonnes, et les kij(~x) sontappels les symboles de Christoel en ~x du systme de coordonnes.Proposition 2.13 Pour un systme de coordonnes, on a kij = kji pour tout i, j, k = 1, ...,m.Preuve. On a d~ej .~ei(~x) = 2~qiqj (~q) =2~qjqi (~q) = d~ei.~ej(~x) quand ~x = ~(~q), car ~ est Cdonc C2 (thorme de Schwarz donnant 2~qiqj =2~qjqi dans ce cas). D'o ProjTS~x(d~ej .~ei(~x)) =ProjTS~x(d~ei.~ej(~x)).Exemple 2.14 Sur le cercle, pour la connexion riemannienne, 222 est l'unique symbole de Chris-toel, et 222 = 0, voir (2.4).Exemple 2.15 Sur la sphre, pour la connexion riemannienne, voir (2.7) :222 = 0, 322 = sin cos, 223 = tan, 323 = 0, 233 = 0, 333 = 0. (2.18)2.5 Notation vi|j de drivation covariante dans la j-me directionProposition 2.16 et notation. Soit un champ de vecteurs ~w sur S et un systme de coordonnes~ : U S de base (~ei(~x)) en ~x = ~(~q). On note wi(~x) les composantes de ~w(~x) sur la base dusystme en ~x :~w(~x) =mi=1wi(~x)~ei(~x).On a, pour j = 1, ...,m :~ej ~w = (mi=1wiqj+mi,k=1ijkwk)~einot=iwi|j~ei, (2.19)c'est dire wi|j = dqi.~ej ~w est donn par :wi|j =wiqj+mk=1ijkwk. (2.20)C'est la i-me composante de la drive covariante de ~w le long de la j-me ligne de coordonnes.Preuve. De ~w =i wi~ei on dduit d~w.~ej =i(dwi.~ej)~ei+k wk(d~ek.~ej), et dwi.~ej(~x) = wiqj (~x)et (2.16).Exemple 2.17 Quand n = m, dans le systme de coordonnes cartsien, posant :~w =iwi ~Ei, (2.21)on a d~w =i dwi ~Ei, au sens d~w. ~Ej =i(dwi. ~Ej) ~Ei :wi|j =wixjnot= wi,j .Et la direntielle d~w(~x) a pour matrice [d~w]|~E = [wixj ] i=1,...,nj=1,...,n = [wi,j ] i=1,...,nj=1,...,n.15 12 janvier 201016 2. Symboles de ChristoelProposition 2.18 Si on dispose de deux champs de vecteurs ~w,~v sur S et du systme de coor-donnes ~ : U S de base (~ei(~x)) en ~x = ~(~q), on a en ~x, pour les composantes dans cettebase :(~v ~w)i =mj=1wi|jvj i.e. =jwiqjvj +mj,k=1ijkwkvj , (2.22)o on a pos ~w =mi=1 wi~ei, ~v =mi=1 vi~ei et ~v ~w =mi=1(~v ~w)i~ei.Preuve. On a ~v ~w =j vj~ej ~w, d'o le rsultat avec (2.19).Dnition 2.19 La drive de Lie dans Rn est l'oprateur dni par :L~v ~w = d~w.~v d~v.~wnot= [~v, ~w], (2.23)et la drive de Lie sur S est l'oprateur dni par :L~v ~w = ~v ~w ~w~vnot= [~v, ~w]. (2.24)Corollaire 2.20 Pour les composantes de la drivation de Lie L~v ~w, les symboles de Christoeldisparaissent : pour ~w,~v TS et i = 1, ...,m :[~v, ~w]i =mj=1wiqjvj mj=1viqjwj (=mj=1wi|jvj mj=1vi|jwj),quand [~v, ~w]i est la i-me composante de [~v, ~w] sur la base du systme de coordonnes, i.e quand[~v, ~w] =mi=1[~v, ~w]i~ei. En d'autres termes, les composantes de [~v, ~w] dans la base du systme decoordonnes ne dpendent pas des symboles de Christoel.Preuve. Pour un systme de coordonnes, on a ijk ikj = 0 pour tout i, j, k.2.6 DivergenceRappel dans Rn :Dnition 2.21 La divergence d'un champ de vecteurs wTRn est la trace de sa direntielle :div~w = Tr(d~w). (2.25)(Comme ~w T 10 (Rn), on a d~w T 11 (Rn) est la trace est bien dnie.)Sur la surface S, l'oprateur joue le rle de d (drivation) : pour ~w TS = T 10 (S), on a~w T 11 (S), et :Dnition 2.22 La divergence d'un champ de vecteurs ~w TS est la trace de sa direntielle :div~w = Tr(~w). (2.26)Exemple 2.23 Cas n = m dans le systme de coordonnes cartsien, posant :~w =iwi ~Ei, (2.27)on a d~w =i dwi ~Ei, au sens d~w. ~Ej =i(dwi. ~Ej) ~Ei, de matrice [d~w] = [(wixj)] i=1,...,nj=1,...,n. Ainsi :div~w =ni=1wi,i (=ni=1wixi). (2.28)Exemple 2.24 Cas n m. Dans le systme de coordonnes ~, posant :~w(~x) =mi=1wi(~x)~ei(~x), (2.29)on a :div~w =mi=1wi|i (=mi=1wiqi+mi,k=1iikwk). (2.30)16 12 janvier 201017 2. Symboles de Christoel2.7 Connexion sur T 01 (S) : premire approcheDans Rn (casm = n), soit T 01 () une forme direntielle, donc avec (~x) L(Rn; R) = Rn(forme linaire). On a pour tout champ de vecteurs ~v T, la fonction :.~v : ~x (.~v)(~x) df= (~x).~v(~x)est C(; R) = T 00 () de drive d(.~v) T 01 () dnie par, pour tout champ de vecteurs ~w T :d(.~v). ~w = (d.~w).~v + .(d~v.~w) not= (d.~v + .d~v). ~w(formule de Leibniz). Et ainsi la direntielle d est donne par :(d.~w).~v = d(.~v). ~w .(d~v.~w) not= d(~w,~v), (2.31)la dernire notation grce l'isomorphisme canonique entre L(TS~x;L(TS~x; R)) = L(TS~x;TS~x) etL(TS~x, TS~x; R) = L2(TS~x; R) qui permet d'crire d(~x) L2(TS~x; R), et donc d T 02 ().Pour les connexions sur S (cas m n), soit T 01 (S) une forme direntielle et ~v TS unchamp de vecteurs. Alors .~v est une fonction, sa direntielle d~v.~w est remplace par ~v.~w =~w~v = ProjTS(d~v.~w), et on va galement remplacer d.~w par ~w = .~w :Dnition 2.25 La drive covariante d'une forme direntielle T 01 (S) sur S dans la directiondu champ de vecteurs ~w TS est la forme direntielle .~w = ~w T 01 (S) dnie par, pourtout ~v TS :(.~v). ~w = (.~w).~v + .(~v.~w), (2.32)soit :(.~w).~v df= (.~v). ~w .(~v.~w)not= (~w).~vnot= (~w,~v).(2.33)Et le tenseur T 02 (S) ainsi dni est appel drivation de sur S.Et quand S = est un ouvert de Rn (cas m = n), on note = d.En particulier, si f C(S; R) et T 01 (S), alors f T 01 (S) et :~w(f) = (~wf)+ f (~w), (2.34)au sens ~w(f).~v = (df.~w)(.~v) + f (~w.~v), et :(f) = (f)+ f (). (2.35)Notations. Si f C, alors = df T 01 (S) et :(df) not= 2f not= d2f|TSnot= d2f (2.36)est ainsi dni sur toute varit S Rn.2.8 Symboles de Christoel pour la base dualeProposition 2.26 Pour (ei(~x)) = (dqi(~x)) la base duale de la base (~ei(~x)) = ( ~qi (~q)) d'un systmede coordonnes ~ : ~q U ~x S, on a :~eiej = mk=1jikek, (2.37)(on vrie la cohrence de la position relative des indices) o les kij sont les symboles de Christoeldu systme ~, cf. (2.16)).Preuve. Cas m = n : on a ej .~ei = ji , d'o ej .~ei : S R est une fonction constante, et donc(ej .~ei) = 0 = ej .~ei + ej .~ei, et donc dans Rn :(ej .~ek).~ei + ej .(~ei.~ek) = 0 = (ej .~ei).~ek + jik,d'o (2.37).17 12 janvier 201018 2. Symboles de ChristoelExemple 2.27 Pour le systme de coordonnes polaires on a donc :de1.~e1 = 0 (= rrre1 rre2),de1.~e2 = re2 = r d (= rre1 re2),de2.~e1 = 1re2 1rd (= rre1 re2),de2.~e2 = 1re1 = 1rdr (= re1 e2).(2.38)Exemple 2.28 Sur le cercle de R2 et la base polaire rduite ~e2, on a donc :e2 = 0, (2.39)car ~e2e2 = 0.Exemple 2.29 Sur la sphre S(0; R) de R2, on a~e2e2 = 222e2223e3,~e2e3 = 322e2323e3,~e3e3 = 332e2 233e3, donc avec (2.18) :~e2e2 = tane3, ~e2e3 = sin cose2 = ~e3e2, ~e3e3 = 0. (2.40)2.9 * Formules de changement de base pour les symboles de ChristoelLe champ de vecteurs d~ej .~ei n'est pas objectif, c'est dire il dpend de l'observateur : enparticulier le vecteur d~ej .~ei ne satisfait pas aux formules de changement de base ( cause de laprsence des symboles de Christoel).Et si ~ei(~x) et ~ej(~x) sont tangents la surface, le vecteur d~ej(~x).~ei(~x) ne l'est pas en gnralcf. (2.7).La drive de Lie corrige ces deux problmes. Voir polycopi prcdent, ce paragraphe, et lessuivants.On dispose ici de deux reprsentations paramtriques de S, i.e. on dispose de deux systmes decoordonnes ~1 : U1 S et ~2 : U2 S (avec U1, U2 ouverts de Rm espaces des paramtres).Un point ~x S s'crit donc des deux manires ~x = ~1(~q1) = ~2(~q2).Notons (~ei;(~x) = (d~(~q). ~Ei)i=1,...,m la base du systme de coordonnes ~ pour = 1, 2,toujours avec ( ~Ei)i=1,...,m la base canonique de Rm et ~x = ~(~q).Exercice 2.30 Soit ~ : ~q2 U2 ~(~q2) = ~q1 U1 le diomorphisme de changement deparamtres, avec donc ~2 = ~1 ~. N.B. : on note souvent ~ = ~q1 c'est dire :~(~q2)not= ~q1(~q2).Soit P (~x) la matrice de changement de base de (~ei;1(~x)) vers (~ei;2(~x)) (pour chaque ~x donn),i.e. :~ej;2(~x) =iP ij (~x)~ei;1(~x),c'est dire la colonne j de P (~x) donne les composantes de ~ej;2(~x) dans la base (~ei;1(~x)).Avec ~(~q1) =i i(~q1) ~Ei, montrer que :P ij (~x) =iqj2(~q2) (not=qi1qj2(~q2)), (2.41)c'est dire P (~x) = [d~(~q2)] est la matrice de l'application linaire d~(~q2) dans les bases canoniquesde Rn (au point ~x = ~2(~q2)).On appliquera les rsultats au cas Rn = R2, ~1 = I les coordonnes cartsiennes et ~2 lescoordonnes polaires.Rponse. C'est un rsultat gnrique pour un changement de variables. Ici on a d~(~q2). ~Ej = ~qj (~q2) =iiqj(~q2) ~Ei, et ~ei;(~x) =df d~(~q). ~Ei = ~qi (~q).18 12 janvier 201019 3. Mtrique et systme de coordonnesComme ~2 = ~1 ~, on a d~2(~q2) = d~1(~q1) d~(~q2), et donc :~ej;2(~x) = d~2(~q2). ~Ej = d~1(~q1).(d~(~q2). ~Ej) =iiqj(~q2)d~1(~q1). ~Ei =iiqj(~q2)~ei;1(~x).On a donc bien P ij (~x) =iqj(~q2).Si ~1 = I (coordonnes cartsiennes) et ~2 les coordonnes polaires, on a ~q1 = ~x et ~q2 = (r, ) avec~(r, ) =(x = 1(r, ) = r cos y = 2(r, ) = r sin ). Et P = [d~(r, )] =(cos r sin sin r cos )est la matrice de passage descoordonnes cartsiennes aux coordonnes polaires (c'est dire de la base canonique vers la base polaire).Exercice 2.31 Suite. Montrer que, pour tout i, j :d~ej;2.~ei;2 =`mP `j Pmi d~e`;1.~em;1 +k2kqi2qj2~ek;1. (2.42)(On peut remplacer 2kqi2qj2parPkjqi2ou par Pkiqj2, correspondant au hessien de k, mais on perdalors la visualisation de la symtrie en i, j.)Ici les notations sont abusives au sens o toutes les quantits sont prises en ~x sauf 2kqi2qj2quiprend ses valeurs en ~q2 = ~12 (~x). (2.42) s'crit galement :kkij;2~ek;2 =(`mP `j Pmi `m;1 +2qi2qj2)~e;1, (2.43)et donne, avec ~e;1 =kQk~ek;2 o Q = P1 :kij;2 =(`mP `j Pmi `m;1 +2qi2qj2)Qk=(`mq`1qi2qm1qi2`m;1 +2q1qi2qj2)qk2q1.(2.44)On appliquera les rsultats au cas Rn = R2, ~1 = I les coordonnes cartsiennes et ~2 les coor-donnes polaires.Rponse. On a ~ej;2 =k Pkj ~ek;1, d'o d~ej;2.~ei;2 =k(dPkj .~ei;2)~ek;1 +k Pkj (d~ek;1.~ei;2).On a P kj (~x) =kqj(~q2), avec ~q2 = ~12 (~x), d'o dPkj (~x) = dkqj(~q2).d~12 (~x), d'o dPkj (~x).~ei;2(~x) =d kqj(~q2).(d~12 (~x).~ei;2(~x)) = dkqj(~q2). ~Ei =2kqi2qj2(~q2).On a d~ek;1.~ei;2 =` P`i d~ek;1.~e`;1. D'o en sommant les deux rsultat on obtient (2.42).D'o immdiatement (2.43), d'o (2.44).En particulier, si ~1 = I et ~2 est le systme polaire, on obtient kij;2 =`2q`1qi2qj2qk2q`1: on remarquedonc que les symboles de Christoel en polaires ne sont pas nuls, bien qu'ils le soient en cartsien : cessymboles ne peuvent donc pas tre le composantes d'un tenseur puisqu'ils ne satisfont pas aux formules dechangement de base.3 Mtrique et systme de coordonnes3.1 DnitionDnition 3.1 Dans S varit de dimensionm dans Rn, une mtrique riemannienne est un champde tenseurs g T 02 (S) qui est symtrique dni positif. I.e. c'est une application g : ~x S g(~x) =not g~x L(Rn,Rn; R) qui est C telle que g~x dnit un produit scalaire dans Rn (formebilinaire symtrique dnie positive). I.e. g~x est bilinaire et vrie g~x(~v, ~w) = g~x(~w,~v) pour tout~v, ~w Rn, et g~x(~v,~v) > 0 pour tout ~v 6= ~0.Dnition 3.2 La mtrique euclidienne sur S est la mtrique riemannienne telle que g~x est leproduit scalaire euclidien (, )Rn restreint TS. Autrement dit g~x(~v(~x), ~w(~x)) =df (~v(~x), ~w(~x))Rnpour tout ~v, ~w TS.19 12 janvier 201020 3. Mtrique et systme de coordonnesSoit un systme de coordonnes ~ : U Rm S Rn, de base (~ei(~x) = ~qi (~q))i=1,...,m et debase duale (ei(~x) = dqi(~x))i=1,...,m en ~x = ~(~q).En un point ~x de S, une mtrique est un produit scalaire dans TS~x. On notera g(~x) = g~x deproduit scalaire (cette mtrique en ~x) :g~x =ijgij(~x) ei(~x) ej(~x) o donc g~x(~ei(~x), ~ej(~x)) = gij(~x), (3.1)soit :g =ijgijei ej avec g(~ei, ~ej) = gij . (3.2)Donc pour ~v =i vi(~x)~ei(~x) et ~w =i wi(~x)~ei(~x) (expression sur la base du systme decoordonnes) on a :g~x(~v, ~w) =ijgij(~x)vi(~x)wj(~x) = [~v]T .[g~x].[~w].Remarque 3.3 En gnral la mtrique euclidienne sur S n'est pas le push-forward de la mtriqueeuclidienne de Rm restreinte U . En eet, par dnition du pull-back de g(, ) on a :(~g)(~q)( ~Ei, ~Ej) = g(~x)(~ei(~x), ~ej(~x)) = gij(~x) 6= ij ,et donc (~g) n'est pas la mtrique euclidienne dans U . Sauf si (~ei(~x)) est une b.o.n. indpendam-ment de ~x pour la mtrique g(, ), ce qui n'est pas le cas pour la surface = le cercle dans Rn oubien = la sphre dans R3 (dans ces cas la base du systme n'est pas norme).Exemple 3.4 La mtrique euclidienne dans Rn est donne dans le systme cartsien usuel par :(, )Rn = g~x =ni=1dxi dxi, [gij ] = I,o (dxi) est la base duale de la base canonique ( ~Ei), et dans ce cas gij(~x) = ( ~Ei, ~Ej)Rn = ij estindpendant de ~x.Exemple 3.5 Dans R2, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnes polaires comme :(, )Rn = g~x = dr dr + r2 d d, [gij(~x)] =(1 00 r2). (3.3)L'expression dans la base des polaires est obtenue en calculant les g~x(~ei(~x), ~ej(~x)), ou bien enappliquant les formules de changement de base [g]new = PT .[g]old.P des formes bilinaires, o Pest la matrice de passage P = [d~(r, )] =(cos r sin sin r cos ).Exemple 3.6 Sur le cercle de R2, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnes polairescomme :g~x = r2 d d, [gij ] = [g11] = ( r2 ) ,puisque (~e2(~x), ~e2(~x))Rn = r2.Exemple 3.7 Dans R3, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnes sphriques comme :g~x = dr dr + r2 cos2 d d + r2 d d, [gij ] = 1 0 00 r2 cos2 00 0 r2 . (3.4)Exemple 3.8 Sur la surface de la sphre de R3, la mtrique euclidienne s'exprime en coordonnessphriques comme :g~x = r2 cos2 d d + r2 d d, [gij ] =(r2 cos2 00 r2). (3.5)20 12 janvier 201021 3. Mtrique et systme de coordonnesExercice 3.9 Exprimer dans R3, l'aide des coordonnes sphriques, la direntielle dg de lamtrique (3.4).Rponse. On a dg T 03 (R3) dni par les dg.~v T 02 (R3) donns par, avec (3.4) :dg.~v = (d2r.~v) dr + dr (d2r.~v)+ [2r cos2 (dr.~v) r2 sin cos (d.~v)]d d + r2 cos2 ((d2.~v) d + d (d2.~v))+ 2r(dr.~v)d d+ r2((d2.~v) d+ d (d2.~v)).Et on a dg.~e1 = ~0 = dg.~e2 = dg.~e3, en utilisant les symboles de Christoel, c'est dire dg = 0.C'tait de fait vident, car c'est la direntielle de la mtrique euclidienne qui est constante donc dedirentielle nulle : dg = 0.3.2 Connexion sur les mtriques : premire approcheDans le cas m = n, on pose = d oprateur de drivation. Dans le cas m n :Dnition 3.10 Connaissant (2.31), si , T 01 (S) sont deux formes direntielles sur S, ondnit la drive covariante de T 02 (S) dans la direction ~v par (formule de Leibniz dedrivation d'un produit) :( ).~v df= (.~v) + (.~v) not= ~v( ). (3.6)et la drive sur S est note :( ) = () + (). (3.7)Et si T T 02 (S) est somme de tenseurs lmentaires, T =mi,j=1 i j , alors T est dni parlinarit (donc T T 03 (S)) :T.~v =mi,j=1(i j).~vnot= ~vT. (3.8)3.3 Connexion sur les mtriques dans une baseSoit un systme de coordonnes ~ : U S de base (~ei(~x))i=1,...,m en ~x = ~(~q) et de base duale(ei(~x))i=1,...,m. On a en particulier, avec (2.37), pour tout i, j, k = 1, ...,m :(ei ej).~eknot= ~ek(ei ej)df= (~ekei) ej + ei (~ekej)= m`=1ki` e` ej m`=1ki` ei e`.(3.9)D'o, T T 02 (S) tant de la forme T =ij Tijei ej , on a :~vTdf=ij(dTij .~v) ei ej +ijTij ~v(ei ej). (3.10)Cette dnition est en particulier applicable aux mtriques T = g. Ainsi par exemple pourk = 1, ...,m :g.~ek =ijgijqkei ej ij`gijik`e` ej ij`gijjk`ei e` = ~ekg, (3.11)soit :g.~ek =ijgijqkei ej ij`g`j`k`ei ej ij`gi``k`ei ej . (3.12)Et g.~v =mk=1 vkg.~ek = ~vg =mk=1 vk~ekg pour tout ~v =mk=1 vk~ek TS~x.21 12 janvier 201022 3. Mtrique et systme de coordonnes3.4 Mtrique tue : mtrique de KillingOn se donne une mtrique g(, ) sur S.Dnition 3.11 Dans le cas m = n, la mtrique est tue dans ssi dg = 0 dans T 03 ().Dans le cas m n, la mtrique est tue sur S ssi :g = 0 (3.13)dans T 03 (S).Une mtrique vriant cette proprit est appele mtrique de Killing.N.B. : Wilhlem Killing, mathmaticien allemand du dbut du 20me sicle, tudiant de Weiers-trass, a donn son nom ce type de mtrique. Comme une mtrique de Killing est annule pardirentiation (par dnition), il est tentant de parler de mtrique tue.Exemple 3.12 Dans Rn la mtrique euclidienne g =i dxi dxi est un tenseur constant (ind-pendant de ~x), donc toute drivation la tue : on a dg = 0 (puisque d2xi = 0).Proposition 3.13 Si g(, ) T 02 (S) est la mtrique euclidienne restreinte S, alors g(, ) est unemtrique de Killing, i.e. g = 0 sur S.Preuve. Soit ~ : U Rn S Rn est un systme de coordonnes (donc avec m n), de base(~ei)i=1,...,m. On a :gij = g(~ei, ~ej) = (~ei, ~ej)Rn ,donc :gij .~ek = (~ei.~ek, ~ej)Rn + (~ei,~ej .~ek)Rn =m`=1`ikg`,j + `jkgi,`,d'o g.~ek = 0 avec (3.12), vrai pour tout k = 1, ...,m.Exemple 3.14 Vrication dans le cas des polaires et S = C(~0, R) le cercle de rayon R (ici m = 1et n = 2). La mtrique euclidienne de R2 restreinte TS est une mtrique de Killing.Ici g~x est dni sur TS~x, i.e. uniquement sur Vect{~e2(~x)}. Et on a g = g22 e2 e2 = r2 d det avec (3.12) o i = j = ` = 2 :g.~e2 = (r2 r2 r2 )d d = 0 0 0,puisque = 0. On a bien g~x.~e2 = 0.Proposition 3.15 Soit g T 02 (S) une mtrique. S'il existe un systme de coordonnes pour lequelcette mtrique est tue, alors elle l'est dans tout systme de coordonnes.Preuve. La dnition d'une mtrique tue est g = 0 indpendante de toute base (de toute repr-sentation dans une base) : c'est une dnition intrinsque. Si g est une mtrique, si sa direntielleg vrie g = 0, on a g = 0 quelle que soit l'expression de g dans un systme de coordonnes,d'o le rsultat.Exemple 3.16 La mtrique euclidienne de Rn exprime en polaire est une mtrique de Killing(ici m = n = 2).Par exemple pour la mtrique euclidienne exprime en coordonnes polaires, cf. (3.3), on a :dg~x.~v = (d2r.~v) dr + dr (d2r.~v) + (d(r2).~v)d d + r2(d2.~v) d + r2d (d2.~v),avec en particulier d(r2) = 2r dr. En particulier on a, avec les symboles de Christoel (2.38) :dg~x.~e1 = 0 + 0 + 2r d d + r2(1r)d d + r2(1r)d d = 0,et :dg~x.~e2 = r d dr r dr d + 0 + r21rdr d + r2 1rd dr = 0.Et donc pour tout ~v (donc combinaison linaire de ~e1 et ~e2) on a dg~x.~v = 0. Donc la direntiationtue la mtrique euclidienne, ce qu'on savait dj, bien qu'ici la mtrique euclidienne soit exprimeen polaire.Exemple 3.17 Voir l'exercice 3.9.22 12 janvier 201023 3. Mtrique et systme de coordonnes3.5 Mtrique de Killing et symboles de ChristoelSoit un systme de coordonnes ~ de base (~ei(~x))i=1,...,m en ~x, de base duale (ei(~x))i=1,...,men ~x. Soit g(, ) une mtrique de Killing donne (i.e. telle que g = 0). On note :g(~x) =mi,jgij(~x) ei(~x) ej(~x).Proposition 3.18 Pour tout i, j, k = 1, ...,m on a :gijqk=m`=1(gi``jk + gj``ik), (3.14)les ijk = ei.(~ej .~ek) tant les symboles de Christoel. D'o, pour tout i, j, k = 1, ...,m :2m`=1`ikgj` =gijqk+gkjqi gikqj, (3.15)permettant de calculer les ijk l'aide des gij .Preuve. On a g(~x) =ij gij(~x) ei(~x) ej(~x). D'o :dg.~ek =ij(dgij .~ek) ei ej +ijgij (dei.~ek) ej +ijgij ei (dej .~ek),et g tant une mtrique de Killing on obtient avec (2.37) :0 =ijgijqkei ej ij`gijik`e` ej ij`gijjk`ei e`=ijgijqkei ej ij`g`j`kiei ej ij`gi``kjei ej .Et (ei ej) tant une base on obtient (3.14). D'o :gijqk+gkjqi gikqj=n`=1(gi``jk + gj``ik) +n`=1(gk``ji + gj``ki)n`=1(gi``kj + gk``ij)=n`=1[`jk(gi` gi`) + `ik(gj` + gj`) + `ji(gk` gk`)],i.e. (3.15) qui se lit galement 2[Lk].[g] = [Bk], soit 2[Lk] = [Bk].[g]1, o [Lk] est la matrice des(Lk)ij = jik pour i, j = 1, ..., n et o [Bk] est la matrice des (Bk)ij =gijxk+ gkjxi gikxj pouri, j = 1, ..., n. Connaissant g on en dduit donc les ijk.Le corollaire suivant sera utilis lors de l'tude des surfaces, cas m = n1 et ~en = ~n tant alorsun vecteur normal unitaire la surface :Corollaire 3.19 Notons g =ni,j=1 gijeiej une mtrique de Killing dans Rn. Supposons que ~enest norm et orthogonal tous les autres vecteurs de base, i.e. g~x(~en(~x), ~ej(~x)) = nj pour tout j.La matrice [g] = [gij ] de g est donc de la forme :[g] =g11 . . . g1,n1 0.........gn1,1 . . . gn1,n1 00 . . . 0 1 . (3.16)Comme les gnj sont constants (soit = 0 soit = 1) pour tout j = 1, ..., n, on a, pour tout j, k =1, ..., n :gnjqk= 0. (3.17)D'o avec j = n dans (3.15) :2nij = gijqn. (3.18)23 12 janvier 201024 4. VolumeExemple 3.20 Sur la sphre de R3, soit ~q = (, , r), et soit le systme de coordonnes ~x =~(~q) = ~(, , r) = ~(r, , ) o ~ est le systme de coordonnes sphriques (1.7). Posons ~f1(~x) =~,1(~x) = ~ (~x) = ~,2(~x) = ~e2(~x) (suivant un parallle), ~f2(~x) = ~,2(~x) = ~ (~x) = ~,3(~x) = ~e3(~x)(suivant un mridien) et ~f3(~x) = ~,3(~x) = ~r (~x) = ~,1(~x) = ~e1(~x) (vecteur radial unitaire). Lamatrice de g dans cette base est [g]|~f = r2 cos2 0 00 r2 00 0 1 = [gij ], cf. exercice 3.7.D'o (3.18) donne :311 = 12g11q3= r cos2 = r, 322 = 12g22q3= r = r, 333 = 0 = rrr,et les 3ij = rij = 0 quand i 6= j. Dj vu avec (2.5) et (2.6).4 VolumeIci m = n. Voir annexe A pour les dterminants.4.1 Volume algbriqueDans Rn le volume algbrique T 0n(Rn) (non ncessairement positif) limit par n vecteurs~w1, ... ~wn Rn est par dnition le dterminant :(~w1, ..., ~wn)df= det(~w1, ..., ~wn). (4.1)4.2 Volume algbrique dans la base du systme et jacobienSoit ~ : ~q U Rn ~x = ~(~q) Rn un systme de coordonnes dans .Dans l'espace U des paramtres, on prend comme base la base canonique note ( ~Ei)i=1,...,m,de base duale note (dXi)i=1,...,m.Dans l'espace gomtrique Rn muni de la mtrique euclidienne, on se xe une base orthonorme(~bi)i=1,...,n. On pose :~x = ~(~q) =ni=1i(~q)~bi = 1(~q)...n(~q)|(~bi)= x1(~q)...xn(~q)|(~bi). (4.2)Ainsi :d~(~q) =ijiqj(~q)~bj dXi = [iqj]|~E,~bnot= [(P~x)ij ], (4.3)et [P~x] = [d~(~q)] = [iqj (~q)] = [Pij ] est la matrice jacobienne de ~ en ~q relativement aux bases ( ~Ei)et (~bi).La base du systme est (~ej(~x))j=1,...,n o :~ej(~x) = d~(~q). ~Ej =ni=1iqj(~q)~bi =1qj (~q)...nqj (~q)|(~bi), (4.4)et les composantes de ~ej(~x) sont donnes par la j-me colonne de [P~x]. (Autrement dit c'est lamatrice de l'endomorphisme P~x =ij Pij~bi bj de Rn qui fait passer de la base (~bi) la base(~ei(~x)) : on a P~x.~bj =i Pij~bi = ~ej(~x).)Et la base duale est (ei(~x) = dqi(~x))i=1,...,n en ~x = ~(~q).24 12 janvier 201025 4. VolumeAinsi, quand ~x = ~(~q), le jacobien de ~ en ~q :J~(~q)df= det[d~(~q)] = det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) = det(P~x) (4.5)est le volume limit par les vecteurs ~ei(~x). Le calcul matriciel redonne ce rsultat puisque :det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) = det(d~(~q). ~E1, ..., d~(~q). ~En) = det(d~(~q)) det( ~E1, ..., ~En),et det( ~E1, ..., ~En) = 1 est le volume limit par les vecteurs de la base canonique.Soit n vecteurs ~wj , j = 1, ..., n. On note ij et wij(~x) les composantes des ~wj respectivementdans les bases (~bi) et (~ei(~x)) :~wj =iij~bi =iwij(~x)~ei(~x), (4.6)o donc wij(~x) = dqi(~x). ~wj . On note :[W~x] = [wij(~x)] = ( [~w1]|~e(~x) . . . [~wn]|~e(~x) ) (4.7)la matrice dont les colonnes sont les composantes des ~wj dans la base du systme. On a en ~x = ~(~q) :~wj =kwkj (~x)~ek(~x) =kwkj (~x)d~(~q). ~Ek =kiwkj (~x)iqk(~q)~bi=i([d~(~q)][W~x])ij~bi (=iij~bi),(4.8)d'o ij = ([d~(~q)][W~x])ij , d'o :[ij ] = [d~(~q)][W~x],et donc :det[ij ] = det[d~(~q)] det[W~x] = J~(~q) det[W~x]. (4.9)Et (~bi) tant une b.o.n. pour la mtrique euclidienne, on a (~w1, ..., ~wn) = det[ij ](volume limitpar les ~wj). D'o :Proposition 4.1 Le volume ~x en ~x = ~(~q) exprim en dans la base du systme de coordonnesest donn par, pour tout ~w1, ..., ~wn Rn avec ~wj =i wij(~x)~ei(~x) :~x(~w1, ..., ~wn) = J~(~q) det[wij(~x)]. (4.10)En particulier on retrouve :(~e1(~x), ...~en(~x)) = J~(~q) (4.11)est le volume limit par les vecteurs de base du systme.4.3 Volume algbrique dans la base du systme et mtriqueProposition 4.2 Soit g(, ) la mtrique euclidienne exprime dans la base du systme :g~x =ijgij(~x) dqi(~x) dqj(~x), (4.12)et :[g~x] = [g~x(~ei(~x), ~ej(~x))] = [gij(~x)] (4.13)la matrice de g(, ) dans cette base. Quand J~(~q) = det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) > 0, i.e. quand la base dusystme en ~x = ~(~q) est directe, on a :J~(~q) =det[g~x] (4.14)Et l'lment de volume en ~x s'crit :~x =det[g~x] dq1(~x) ... dqn(~x),soit encore :~x(~w1, ..., ~wn) =det[g~x] det[wij(~x)], quand ~wj =iwij(~x)~ei(~x), (4.15)i.e. quand les wij(~x) sont les composantes des ~wj dans la base (~ei(~x)) du systme.25 12 janvier 201026 4. VolumePreuve. On a [d~(~q)] matrice jacobienne de ~ dont les colonnes sont les composantes des~ej(~x) dans une base orthonorme B = (~bi). Donc : (det[d~(~q)])2 = det[d~(~q)]T .det[d~(~q)] =det([d~(~q)]T .[d~(~q)]) = det([~ei(~x)]T|~b.[~ej(~x)]|~b) = det[(~ei(~x), ~ej(~x))Rn ] o (, )Rn est le produit sca-laire euclidien, et par hypothse gij = g~x(~ei(~x), ~ej(~x)) = (~ei(~x), ~ej(~x))Rn puisque g(, ) est lamtrique euclidienne.Exemple 4.3 En polaire [g~x] =(1 00 r2), et J~q =det[g~x] = r, et donc le volume limit par~v1 = v11~e1(~x) + v21~e2(~x) et ~v2 = v12~e1(~x) + v22~e2(~x) est donn par(~v1, ~v2) = r det(v11 v12v21 v22),ce qu'on vrie immdiatement : ici ||~e1|| = 1, ||~e2|| = r, ~e1 ~e2, la base (~e1, ~e2r ) est orthonorme,donc ~v1 = v11~e1 + v21~e2 = v11(~e1) + rv21(~e2r ), idem pour ~v2, et donc (~v1, ~v2) = det(v11 v12rv21 rv22).4.4 Volume algbrique et pull-backOn considre le tenseur volume algbrique T 0n() dni en (4.1).Par dnition du pull-back d'un tenseur, ici (~ T 0n(U)) pull-back du tenseur lment devolume , on a (~)(~q) T 0nRn~q dni par, pour tout ~W1, ..., ~Wn TRn~q :(~)~q( ~W1, ..., ~Wn) = ~x((~ ~W1)(~x), ..., (~ ~Wn)(~x))= ~x(d~(~q). ~W1, ..., d~(~q). ~Wn)= det(d~(~q). ~W1, ..., d~(~q). ~Wn)= J~(~q) det( ~W1, ..., ~Wn).(4.16)puisque (~ ~Wj)(~x) =df d~(~q). ~Wj TRn~x est le push-forward de ~Wj .Dans U l'espace des paramtres ~q notons dV l'lment de volume algbrique, avec donc, pourtout ~Wi TRn~q :dV ( ~W1, ..., ~Wn) = det( ~W1, ..., ~Wn). (4.17)Donc (4.16) donne dans T 0n(U) :J~ dV = ~, (4.18)i.e. le pull-back de l'lment de volume (en ~x) par ~ est J dV (en ~q). Soit encore, quand ~x = ~(~q) :~(~q) = J~(~q) dV =det[g~x] dV , (4.19)quand J~(~q) = det[d~(~q)] > 0. D'o :Dnition 4.4 On dnit la mtrique C[ T 20 (U) comme tant le pull-back de la mtriqueeuclidienne g(, ) = (, )Rn :C[df= ~g, (4.20)i.e. pour tout ~q U , avec ~x = ~(~q) et ~wi = d~(~q). ~W push-forward de ~Wi, :C[~q( ~W1, ~W2)df= g~x(~w1, ~w2). (4.21)On obtient :Proposition 4.5 C[ = ~g T 20 (U) est une mtrique sur U , et :~(~q) =det[C[(~q)] det =det[(~g)(~q)] det, (4.22)dni un forme multilinaire alterne qui permet de calculer le volume gomtrique det(~w1, ..., ~wn)dans en eectuant le calcul sur la conguration de rfrence U .Preuve. C[~q est trivialement un produit scalaire, ~ tant un diomorphisme. Et on a (4.19).26 12 janvier 201027 5. Normale une surface4.5 Volume positifDnition 4.6 Le volume (positif) limit par n vecteurs est donn par la valeur absolue dudterminant de ces vecteurs :dv~x(~v1, ..., ~vn) = |det(~v1, ..., ~vn)|.N.B. : la valeur absolue du jacobien sert tenir compte d'un changement ventuel d'orientationde la base (mme orientation si le jacobien det(d~(~q)) > 0 et orientation oppose sinon), le volume(positif) d'un domaine tant toujours positif (ou nul), donc indpendant de l'orientation choisie.Voir cours d'intgration.La formule de changement de base dans les intgrales est :~xf(~x) dx1...dxn =~qUf(~(~q)) |J~(~q)| dq1...dqn, (4.23)le volume d'un domaine tant donn par le cas f = 1.5 Normale une surfaceSoit ~ : U Rn1 S Rn une hypersurface rgulire. La mtrique g(, ) choisie sur Sest la mtrique euclidienne (permettant le calcul des volumes usuels), mtrique qui sera souventexprime dans la base du systme. La base dans U sera la base canonique de Rn1.5.1 Forme normaleL'espace tangent TS~x la surface en ~x = ~(~q) est engendr par les vecteurs tangents, pouri = 1, ..., n1 :~ei(~x) = d~(~q). ~Ei, (5.1)ces vecteurs tant indpendants puisque ~ est une surface rgulire.Dnition 5.1 La forme normale en ~x la surface ~ est la forme linaire :`~x : ~v Rn `~x(~v)df= det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~v). (5.2)(`~x est linaire car le dterminant est une forme multilinaire et l'usage du dterminant impose lamtrique euclidienne dans Rn.)La forme normale la surface ~ est la forme direntielle ` T 01 (S) dnie par `(~x) = `~x.Proposition 5.2 La forme normale en ~x est nulle sur TS~x : elle vrie :Ker`~x = TS~x. (5.3)Preuve. Les ~ei(~x) pour i = 1, ..., n1 tant indpendants, et `~x tant donn par (5.2), `~x(~v) = 0quivaut ~v combinaison linaire des ~ei(~x), i.e. ~v TS~x.Exemple 5.3 Dans R2 et les coordonnes polaires ~ : (r, ) ~x = ~(r, ) =(r cos r sin ). On note~e1(~x) = ~r (r, ) =(cos sin )et ~e2(~x) = ~ (r, ) =(r sin r cos )les vecteurs de base du systme.Soit S = C(~0, R) le cercle de rayon R (notre surface en 2-D), donn par ~x = ~R() =R(cos sin ), de vecteur tangent :~f1(~x) = ~R () = R( sin cos )= ~e2(~x).La forme normale au cercle `~x tant linaire est donne par son image sur les vecteurs d'unebase en ~x. Et (~e1(~x), ~e2(~x)) est une base en ~x. On a `~x(~e1(~x)) = det(~f1(~x), ~e1(~x)) = R, et`~x(~e2(~x)) = det(~f1(~x), ~e2(~x)) = 0, d'o :`~x = Rdr(~x) (5.4)est la forme normale au cercle.27 12 janvier 201028 5. Normale une surfaceExemple 5.4 Pour le cercle ~() = ~x =(R cos()R sin())= ~R() parcouru en sens inverse, devecteur tangent :~f1(~x) = ~ () = R(sin() cos())= ~e2(~x).On dduit `~x(~e1(~x)) = det(~f1(~x), ~e1(~x)) = det(~e1(~x), ~e2(~x)) = R, `~x(~e2(~x)) = 0, d'o :`~x = Rdr(~x). (5.5)(La forme normale a le signe oppos par rapport l'exercice prcdent.)Exemple 5.5 Pour un rayon r ~x = ~(r, 0) =(r cos 0r sin 0), le vecteur tangent en ~x est :~f1(~x) =~r(r, 0) =(cos 0sin 0)= ~e1(~x).On a `~x.~e1(~x) = det(~f1(~x), ~e1(~x)) = 0, et `~x.~e2(~x) = det(~f1(~x), ~e2(~x)) = r, d'o :`~x = r d(~x).En particulier `~x.~e2(~x)||~e2(~x)|| = 1 est le volume (ici l'aire en 2-D) limit par les vecteurs normauxorthogonaux ~e1(~x) et~e2(~x)||~e2(~x)|| .5.2 Forme normale unitaireOn rappelle que la mtrique utilise sur S est la mtrique riemannienne g(, ) = (, )g = (, )Rndans Rn, et on note ||~v|| = ||~v||g =(~v,~v)g =(~v,~v)Rn = ||~v||Rn la norme associe.Remarque 5.6 On a tendance crire ||~v|| = ||~v||Rn quand implicitement ~v est exprime dans labase canonique, et on a tendance crire ||~v|| = ||~v||g quand implicitement ~v est exprime dansla base du systme, en particulier sur une surface o g(, ) est la mtrique euclidienne restreinte la surface. Auquel cas gij(~x) = g(~ei(~x), ~ej(~x)) = (~ei(~x), ~ej(~x))Rn donne les composante de g(, ) =(, )Rn dans la base (duale) du systme, et en particulier gii = ||~ei||2Rn .On rappelle que la norme ||`|| d'une forme linaire ` Rn est donne par :||`|| = sup~vRn|`(~v)|||~v||g.Exemple 5.7 g(, ) = dr dr+ r2 d d en coordonnes polaires, et ||~v||g =v1 + r2v2 quand~v = v1(~x)~e1(~x) + v2(~x)~e2(~x). D'o ||`|| = sup~vRn|v1(~x)1(~x)+v2(~x)2(~x)|v1(~x)+r2v2(~x)quand i(~x) = `(~ei(~x)).Dnition 5.8 `~x tant la forme linaire normale en ~x la surface S, cf. (5.2), on appelle formenormale unitaire la surface en ~x la forme linaire :n[~x =`~x||`~x||not= n[(~x). (5.6)Ainsi n[ T 01 (S) est champ de formes sur S.On a donc :n[~x.~v =`~x.~v||`~x||,pour tout ~v Rn.Proposition 5.9 Si ~v T~xS alors n[~x(~v) = 0. Et ||n[~x|| = 1.Preuve.|n[~x.~v|||~v|| =`~x.~v||~v||||`~x|| donne ||n[~x|| =||`~x||||`~x|| = 1 et n[~x.~v = 0 si ~v T~xS.28 12 janvier 201029 5. Normale une surfaceExemple 5.10 Suite de l'exemple 5.3 : ||`~x|| = supv1,v2|v1`~x(~e1(~x))|(v1)2+r2(v2)2| 12= supv1|v1R||v1| = R. D'o :n[~x = dr(~x). (5.7)au point ~x = ~(R, ).Exemple 5.11 Suite de l'exemple 5.4 :n[~x = dr(~x). (5.8)au point ~x = ~() = ~(R,).Exemple 5.12 Suite de l'exemple 5.5 : ||`~x|| = supv1,v2|v2`~x(~e2(~x))|(v1)2+r2(v2)2| 12= supv2|v2R||Rv2| = 1 =`. ~e2(~x)||~e2(~x)|| . D'o :n[~x = `~x = r d(~x), (5.9)au point ~x = ~(r, 0).5.3 Vecteur normal unitaireEn un point ~x Rn, disposant d'un produit scalaire g~x(, ) dans Rn, l'aide du thorme dereprsentation de Riesz, la forme linaire `~x (resp. n[~x) peut tre reprsente par un vecteur~~x(resp. ~n~x) :!~~x Rn, ~v Rn, `~x(~v) = (~~x, ~v)g~x avec ||~~x||g~x = ||`~x||,!~n~x Rn, ~v Rn, n[~x(~v) = (~n~x, ~v)g~x avec ||~n~x||g~x = 1 (= ||n[~x||).(5.10)Proposition 5.13 et dnition. ~n TS (est un champ de vecteurs sur S) qui vrie :~n~x =~~x||~~x||get n[~x.~n~x = g~x(~n~x, ~n~x) = 1 (= (~n~x, ~n~x)g~x = ||~n~x||2g).Et :~v TS~x, (~n~x, ~v)g~x = 0.Les vecteurs ~~x et ~n~x sont normaux la surface S en ~x, et ~n~x est appel vecteur normal unitaire la surface ~ en ~x.Et ~n~x est tel que la base (~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~n(~x)) est une base directe, i.e. tel que :det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~n(~x)) > 0. (5.11)(Le volume algbrique limit par les vecteurs de la base est positif.)Preuve. On a g(~n~x ~~x||~~x||g, ~v) = n[~x.~v `x||`~x|| .~v = 0 pour tout ~v TS~x, par bilinarit de g(, )et dnition de n[~x. Donc ~n~x =~~x||~~x||g. Donc n[~x.~n~x = 1 = g(~n~x, ~n~x) est donn par le thorme deRiesz (ou bien calcul : g(~n~x, ~n~x) = 1||~~x||2gg(~~x, ~~x) = 1).Puis pour ~v TS~x on a `~x.~v = 0 = ||`~x||n[~x.~v, d'o n[~x.~v = 0 = (~n~x, ~v)g~x .Puis `~x.~~x = ||~~x||2g 0, d'o det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~) 0, d'o (5.11) (le dterminant est uneforme multilinaire).Exemple 5.14 Cercle dans le sens trigonomtrique : suite des exemples 5.3 et 5.10 :~n~x = ~e1(~x), (5.12)i.e. le vecteur normal unitaire pointe vers l'intrieur du cercle.Exemple 5.15 Cercle dans le sens inverse : suite des exemples 5.4 et 5.11 :~n~x = +~e1(~x), (5.13)i.e. le vecteur normal unitaire pointe vers l'extrieur du cercle.29 12 janvier 201030 6. AireExemple 5.16 Suite des exemples 5.5 et 5.12 : ~n(~x) = ~e2(~x)r .Exemple 5.17 On se place en coordonnes sphriques (1.7), et on se place sur la sphre de rayon R(x). Et on note~x = ~R(, ) =R cos cosR sin cosR sin (= ~(R, , )).On dispose des deux vecteurs tangents la sphre (du systme de coordonnes ~R) :~f1(~x) =~R(, ) = ~e2(R, , ),~f2(~x) =~R(, ) = ~e3(R, , ).Et on note :~f3(~x) =~r(R, , ) = ~e1(R, , ).Donc ici (~f1, ~f2, ~f3) est la base (~e2, ~e3, ~e1) dans la notation des coordonnes sphriques.La forme normale est donne par `~x.~v = det(~f1, ~f2, ~v), donc `~x.~e2(~x) = `~x.~e3(~x) = 0 et`~x.~e1(~x) = det(~e2, ~e3, ~e1) = R2 cos, ce qui donne :`~x = R2 cos dr.D'o :n[(~x) = dr(~x), ~n(~x) = ~e1(~x).On retrouve le rsultat attendu.Remarque 5.18 Une notation utilise pour ~~x est :~ = ~e1 ... ~en1,o (~e1, ..., ~en1) est une base de l'hyperplan tangent T~xS, qui donne donc :(~e1 ... ~en1, ~v)Rn = det(~e1, ..., ~en1, ~v)pour tout ~v. En particulier dans R3 on retrouve (~a ~b,~c)Rn = det(~a,~b,~c) ; d'o `(~v) =det(~e1, ~e2, ~v) = (~e1 ~e2, ~v)R3 , et on obtient ~n = ~e1~e2||~e1~e2|| Vect{~e1, ~e2}.Proposition 5.19 ~n~xn[~x est l'application linaire de projection orthogonale sur ~n~x relativementau produit scalaire g~x(, ) :(~n~x n[~x).~v = v~n~x = ~v (5.14)quand ~v = ~v|| + ~v = ~v|| + v~n~x T~xS g Vect{~n~x}, o :v = n[~x.~v (= (~n~x, ~v)g~x). (5.15)Preuve. Par dnition de la contraction on a (~n~x n[~x).~v = (n[~x.~v)~n~x.Remarque 5.20 En mcanique quantique on note |~v =df ~v un vecteur et `| =df ` une formelinaire. Et on note |~v`| =df ~v` l'application linaire de projection sur ~v, et on note |~v`|.|~w =`|~w|~v. Ainsi on note ~n~x n[~x = |~n~xn[~x|.6 Aire6.1 lment d'aireOn reprend notre surface ~ avec en chaque ~x son vecteur normal unitaire ~n(~x) = ~n~x. La mtriquesur S = Im~ est la mtrique euclidienne g(, ) = (, )Rn .30 12 janvier 201031 6. AireDnition 6.1 On appelle lment d'aire en ~x la forme multilinaire alterne d~x = d(~x) dniesur TS~x par :d~x :{(TS~x)n1 R(~v1, ..., ~vn1) d(~x)(~v1, ..., ~vn1)df= det(~v1, ..., ~vn1, ~n~x).(6.1)En particulier d(~x)(~e1(~x), ..., ~en1(~x)) donne l'aire limite par les vecteurs tangents de la basedu systme de coordonnes sur la surface.Dnition 6.2 L'lment d'aire vectoriel est :d~~x = ~n(~x) d~x. (6.2)(Il sert mesurer les uxS~f(~x).d~~x =S~f(~x).~n(~x) d~x.)6.2 Systme de coordonnes dans Rn associ ~ sur SOn reprend notre systme de coordonnes ~ : U Rn1 S Rn sur S.On note : U = U] , [ Rn Rn le systme de coordonnes dni par, pour tout~q Rn1 :((~q, z)) = ~(~q) + z ~n~(~q) (= ~x+ z ~n~x), (6.3)o donc z donne l'altitude au dessus de la surface .Exemple 6.3 Voir exemple 5.17 (sphriques) o ~q = (, ), z = r et (, , z) = ~(z, , ). : U (U) est un diomorphisme (pour assez petit), et est donc galement un systmede coordonnes. On note z = qn et donc (~q, z) = (q1, ..., qn1, qn) U .Comme ~n = z =qn , on note :~en(~x) = ~n(~x). (6.4)La base du systme est (~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~en(~x)) (base directe) en ~x = ~(~q), o ~ei(~x) = qi (~q)pour i = 1, ..., n. Sa base duale est (e1(~x), ..., en(~x)) = (dq1(~x), ..., dqn(~x)) o en particulier :en(~x) = dqn(~x) = n[(~x), (6.5)o n[ est la forme linaire normale unitaire.Remarque 6.4 Soit (~bi)i=1,...,n une b.o.n. de Rn en ~x avec ~bn = ~n(~x). On a :d~q =ni,j=1(d~q)ij~bi dXj , (6.6)o donc [d~q] = [(d~q)ij ] est la matrice jacobienne de (relativement (~bi) et la base canoniquede Rn U).6.3 Aired(~q) est un endomorphisme de Rn de matrice [d~q], matrice n n, et on pourra considrerdet[d~q]. Alors que [d~~q] est une matrice n (n1) et son dterminant n'a pas de sens.Quand, pour la mtrique euclidienne, on dispose d'une base orthonorme B = (~bi) en ~x, on a :det[d(~q)]] = det(~e1(~x), ..., ~en(~x)) = d(~x)(~e1(~x), ..., ~en1(~x))not= J(~q), (6.7)les ~ei(~x) tant exprims sur la base B.Et l'lment d'aire est not sur TS~x :d(~x) = J(~q) dq1(~x) ... dqn1(~x). (6.8)Soit g(, ) la mtrique euclidienne exprime dans la base du systme :g~x =ni,j=1gij(~x) dqi(~x) dqj(~x). (6.9)On a :[gij ] i=1,...,nj=1,...,n=([gij ] i=1,...,n1j=1,...,n100 1)(6.10)puisque g(~ei, ~n) = in par dnition de ~n~x.31 12 janvier 201032 6. AireProposition 6.5 Avec g(, ) la mtrique euclidienne exprime dans la base du systme , cf. (6.9),et d exprime l'aide de sa matrice [F ], cf. (6.6), on a, quand ~x = ~(~q) :d(~x) = J(~q) dq1(~x) ... dqn1(~x),=det[gij(~x)] i=1,...,n1j=1,...,n1dq1(~x) ... dqn1(~x),=det[gij(~x)] i=1,...,nj=1,...,ndq1(~x) ... dqn1(~x),(6.11)o J(~q) = det(d(~q)) est le jacobien du systme de coordonne en ~q, cf. (6.7).Preuve. On applique (4.14).Exemple 6.6 Dans R2, pour le cercle ~ : [0, 2] ~x =(R cos R sin ), on a ~n(~x) = ~e1(~x),cf. (5.12), et donc d(~x)(~e1(~x)) = det(~e1(~x), ~n(~x)) = 0 et d(~x)(~e2(~x)) = det(~e2(~x), ~n(~x)) =det(~e1(~x), ~e2(~x)) = R :d(~x) = Rd(~x).Ici l'lment d'aire positif s'appelle lment de longueur (cas 1-D), et en particulierSd = 2Rest bien la longueur du cercle.Exemple 6.7 Dans R2, pour le cercle ~ : [0, 2] ~x =(R cos()R sin()), le vecteur tangentest ~f(~x) = ~e2(~x) (on tourne dans l'autre sens), le vecteur normal unitaire est ~n(~x) = +~e1(~x)cf. (5.13) (normale pointant vers l'extrieur). Et d(~x)(~f(~x)) = det(~f(~x), ~n(~x)) = +R, d'o :d(~x) = Rd(~x),mme signe que pour l'exemple prcdent.Dnition 6.8 On appelle lment d'aire positif en ~x la forme dont l'image est la valeur absolue :d~xnot= |J(~q)| dq1(~x)...dqn1(~x),donne par, pour tout ~v1, ...~vn1 TS~x :d~x(~v1, ..., ~vn1) = |d~x(~v1, ..., ~vn1)| (= |det(~v1, ..., ~vn1, ~n(~x))|).Remarque 6.9 Notation de Hodge. Ayant dni la forme normale `, cf. (5.2), on note d = `,o ` est obtenue l'aide de l'oprateur de Hodge (ou l'oprateur toil de Hodge) dni par :(`)(~v1, ..., ~vn1) = `(~vn),pour tout base oriente (~v1, ..., ~vn) de Rn. Voir cours de gomtrie direntielle.(L'oprateur de Hodge est dni de manire plus gnrale par ` Ak` Ank o :(`)(~v1, ..., ~vnk) = `(~vnk+1, ..., ~vn),pour tout base oriente (~v1, ..., ~vn) de Rn.)6.4 Symboles de Christoel nij pour On disposait des symboles de Christoel pour ~ :kij = ek.(d~ei.~ej), i, j, k = 1, ..., n1.On dispose des symboles de Christoel kij = ek.(d~ei.~ej) pour , pour tout i, j, k = 1, ..., n. Il estimmdiat que :kij = kij , i, j, k = 1, ..., n1. (6.12)Et (3.18) page 23 donne :32 12 janvier 201033 7. Transport parallle dans RnProposition 6.10 Quand g est une mtrique de Killing (i.e. t.q. dg = 0), ce qui est le cas de lamtrique euclidienne, et quand g(, ) est exprime sur la base du systme :g =ni,j=1gij dqi dqj , (6.13)i.e. quand les gij = g(~ei, ~ej), alors on a, pour tout i, j = 1, ..., n1 :nij = 12gijxn, (6.14)i.e. les nij sont calculables l'aide de la mtrique exprime sur la base du systme. (Ce sont, pourles ~ei, ~ej TS, les composantes normales nij = n[.(d~ei.~ej) des drives covariantes d~ei.~ej , soitencore nij = g(~n, d~ei.~ej)).7 Transport parallle dans Rn7.0 Transport parallle dans Rn d'une fonction le long d'une courbeOn se donne une courbe ~c :]a, b[ Rn.Dnition 7.1 Une fonction f : Rn R est transporte paralllement le long de ~c ssi ~c est unecourbe de niveau de f :f ~c est constante, (7.1)i.e. f(~x) = constante quand ~x = ~c(t) (l'altitude f(~x) ne change pas lorsqu'on se promne le longde la courbe).Quand f : Rn R est transporte paralllement le long de ~c, par drivation de (7.1) :df(~x).~v(~x) = 0, (7.2)en tout point ~x = ~c(t) quand ~v(~x) = ~c (t) : les variations de f le long de la courbe sont nulles.Exemple 7.2 Toute fonction constante est transporte paralllement toute courbe.Exemple 7.3 La fonction f(x, y) = r o r =x2 + y2 est transporte paralllement tout cercle~c(t) =(R cos tR sin t)centr l'origine : f ~c est constant sur ces cercles (puisque f(~c(t)) = R). Ouencore, utilisant le produit scalaire canonique, df(~x) est reprsent par son gradient ~f(~x) (legradient indique la direction de variation maximale). Et ~f(~x) =(xryr)= ~xr est parallle ~x,alors que ~c (t) =(yx) ~x. On a bien df(~x).~c (t) = (~f(~x), ~v(~x))R2 = 0 quand ~x = ~c(t).7.1 Transport parallle dans Rn d'un champ de vecteurs le long d'unecourbeDnition 7.4 Soit ~c : t ]a, b[ ~c(t) Rn une courbe rgulire. Un champ de vecteurs ~w dnidans Rn est dit transport paralllement la courbe ~c ssi la fonction :~w ~c est constante, (7.3)c'est dire ssi, pour tout t ]a, b[, au point ~x = ~c(t), quand ~v(~x) = ~c (t), par drivation de fonctionscomposes :d~w(~x).~v(~x) = 0 (7.4)en tout point ~x = ~c(t) quand ~v(~x) = ~c (t). I.e. en ~x les variations de ~w dans la direction ~v(~x) sontnulles.33 12 janvier 201034 7. Transport parallle dans RnExemple 7.5 Tout champ de vecteurs ~w qui est constant est transport paralllement toutecourbe, car on a d~w(~x) = 0 en tout ~x.N.B. : on peut ici considrer les champs de vecteurs constants, c'est dire ~w(~x) = ~w(~y) pourtout ~x, ~y, car on est dans Rn ; quand on sera sur des surfaces, seule la notion de vecteur tangentaura un sens, et par exemple sur la sphre, un champ de vecteurs ne peut pas tre constant : endeux points distincts voisins, les vecteurs tangents n'appartiennent pas au mme plan tangent.Voir paragraphe suivant.Exemple 7.6 On se place dans R2. On choisit les coordonnes polaires : soit ~ le systme decoordonnes polaires. Soit ~w une champ de vecteurs exprim sur la base du systme de coordonnespolaires :~w : ~x R2 ~w(~x) = (~x)~e1(~x) + (~x)~e2(~x) =((~x)(~x))|(~e),o ~e1(~x) = ~,r(~q) et ~e2(~x) = ~,(~q), quand ~x = ~(r, ), sont les vecteurs de base du systme decoordonnes. En ~x on considre sa direntielle d~w(~x) applique au vecteur ~e2(~x), ce qui donne,voir (1.42) :d~w.~e2 = (d.~e2)~e1 + (d~e1.~e2) + (d.~e2)~e2 + (d~e2.~e2)= ( r)~e1 + (r+)~e2.Et on considre la courbe S=le cercle ~c() =(R cos R sin )=not ~x pour [0, 2[ (et R > 0)relativement la base canonique de R2. Le vecteur vitesse (vecteur tangent) la courbe ~c en ~x estdonn par ~c () =(R sin R cos )= ~e2(~x) quand ~x = ~c().Le champ ~w est transport paralllement le long de S ssi d~w.~e2 = 0, c'est dire ssi r = 0et r + = 0. D'o22 + = 0. On en dduit :(r, ) = a(r) cos + b(r) sin , d'o (r, ) =1r(a(r) sin + b(r) cos ),avec a et b des fonctions quelconques. Donc, dans la base canonique :~w(~x) = (a(r) cos +b(r) sin )(cos sin )|(~E)+(a(r) sin +b(r) cos )( sin cos )|(~E)=(a(r)b(r))|(~E),et ~w(~x) est un vecteur qui ne dpend que de r. Donc seuls les champs de vecteurs de R2 qui nedpendent que de r (et pas de ) sont transports paralllement au cercle. (C'tait intuitivementvident.)N.B. : ici on a utilis implicitement le pull-back de (idem pour ) dans la notation (r, ).On aurait d poser par exemple (r, ) = (x, y) et crire l'quation direntielle pour et nonpour .Proposition 7.7 Dans un systme de coordonnes ~, un champ de vecteurs ~w est transportparalllement une courbe ~c de vecteur tangent ~v(~x) = ~c (t) en ~x = ~c(t) ssi on a (7.4) i.e. ssi, pourtout i = 1, ..., n :nk=1wi|kvk = 0, i.e.nk=1(wiqk+nj=1ijkwj)vk = 0. (7.5)Preuve. C'est l'expression de d~w.~v dans la base du systme de coordonnes, c'est dire quand~w =i wi~ei et ~v =i vi~ei, voir (2.22).7.2 Godsique dans Rn : une droiteDnition 7.8 Une godsique est une courbe ~c : t [a, b] ~x = ~c(t) Rn telle que son vecteurvitesse ~v(~x) = ~c (t) est transport paralllement lui-mme le long de ~c, c'est dire tel que :(~v(~x) =) (~v ~c)(t) est constant dans [a, b], (7.6)(quand ~x = ~c(t)) c'est dire tel que ~v est constant de long de la courbe.34 12 janvier 201035 8. Transport parallle sur une surface dans RnProposition 7.9 Dans Rn les godsiques sont les courbes telles que :(~v ~c) = 0, (7.7)c'est dire telles que :~c (t) = 0, pour tout t. (7.8)C'est dire, dans Rn, les godsiques sont les droites.Preuve. On cherche des courbes ~c telles que ~v(~x) = (~v ~c)(t) = ~c (t) est constant, donc telles que~c (t) = 0. Et ~v(~x) = ~c (t) est constant s'crit = ~c (0) pour tout t ; d'o ~c(t) = ~c (0)t + ~x0, cequi est l'quation d'une droite.Remarque 7.10 Dans (7.7) on pourrait crire (~v ~c)(t) = d~v(~x).~v(~x) = 0, mais cette dernirecriture d~v(~x).~v(~x) n'a pas de sens immdiat : pour calculer d~v(~x) il faut calculer ses variationsdans toutes les directions, or ~v n'est dni que sur la courbe (penser aux densits liniques), cequi fait qu'on ne peut driver que dans la direction de la courbe (celle du vecteur ~v tangent lacourbe), et on ne peut pas driver dans des directions non tangentes la courbe. I.e. on ne peutdriver ~v que dans la direction ~v(~x), i.e. on ne peut driver que la fonction t (~v ~c)(t), et c'estle sens qu'il faut donner d~v.~v (bien que d~v(~x) : Rn Rn n'est pas dni sur tout Rn a priori).Autrement dit la notation d~v de la direntielle n'est pas licite : seule la drive directionnelledans la direction ~v l'est. On conserve quand mme abusivement la notation de la direntielle,et on crit donc quand mme d~v.~v = 0. Cet abus disparatra quand on dnira (plus loin) ladirentiation sur une surface.8 Transport parallle sur une surface dans Rn8.1 Transport parallle sur une surface d'un champ de vecteurs le longd'une courbe8.1.1 DnitionOn se donne une surface S dans Rn.Ici on se place dans le cas o on ne voit que S (on ne peut pas s'chapper de la surface). Donclocalement on ne peut se dplacer que dans la direction de vecteurs qui sont parallles S (i.e.le long de courbes dans S).Soit ~c :]a, b[ S une courbe sur S de vecteurs vitesses ~v(~x) = ~c (t) quand ~x = ~c(t).Soit ~w TS un champ de vecteurs sur S. (En mcanique par exemple, S est une surfacesoumise une force surfacique tangentielle ~w.)On s'intresse aux valeurs du champ de vecteurs ~w le long de ~c, i.e. on s'intresse aux vecteurs :~w(~x) = (~w ~c)(t).Les variations de ce champ ~w en ~x = ~c(t) le long de la courbe sont donnes par (~w ~c)(t). De cesvariations on ne retient que ce qu'on voit, i.e. on retient que les projections sur le plan tangent TS~xau point ~x = ~c(t) savoir :ProjTS~x((~w ~c)(t)).Dnition 8.1 Le champ de vecteurs ~w TS est dit transport sur la surface (ou dans TS)paralllement la courbe ~c ssi, quand ~x = ~c(t) :ProjTS~x((~w ~c)(t)) = 0, t [a, b], (8.1)i.e. ssi :ProjTS~x(d~w(~x).~v(~x)) = 0, ~x ~c([a, b]). (8.2)Dnition 8.2 On reprend la notation des connexions, cf. (2.11) : on note :(~v ~w)(~x)df= ProjTS~x(d~w(~x).~v(~x)),la drive covariante sur S de ~w dans la direction ~v en ~x. Et on note :D~wdtdf= ~v ~w, donc = ProjTS~x(d(~w ~c)dt(t)). (8.3)35 12 janvier 201036 8. Transport parallle sur une surface dans RnCorollaire 8.3 (Caractrisation d'un transport parallle.) ~w TS est transport paralllement la courbe sur la surface ssi :D~wdt= 0 (= ~v ~w). (8.4)Dnition 8.4 Si ~w est un champ de vecteurs instationnaire, i.e. ~w : [0, T ] S ~w(t, ~x) TS~x,alors on note :D~wdtdf= ~wt+~v ~w,et D~wdt est appele drive matrielle ou drive totale.Remarque 8.5 Soit u ~c(u) = ~c(t(u)) un autre paramtrage de la courbe ~c avec t : u t(u) undiomorphisme. Comme (~w ~c)(u) = (~w ~c)(t(u)), on a :(~w ~c)(u) = (~w ~c)(t(u)) t(u),et donc (~w ~c)(u) est parallle (~w ~c)(t) : si une projection est nulle pour un paramtrage, elleest nulle pour tout autre paramtrage.8.1.2 Dans un systme de coordonnesSoit ~ : ~q = (q1, ..., qm) ~x = ~(~q) Rn, avec m n, un paramtrage de la surface(rgulire) S qui dnit un systme de coordonnes sur cette surface. Soit (~ei(~x) = ~qi (~q))i=1,...,mla base du systme de coordonnes en ~x = ~(~q).Proposition 8.6 Soit ~c une courbe sur S, de vecteur vitesse ~v(~x) = ~c (t) (tangent S) en ~x = ~c(t).On note vi les composantes de ~v dans la base (~ei). Soit ~w TS un champ de vecteurs sur S, et wises composantes dans la base (~ei). Donc :~v(~x) =mi=1vi(~x)~ei(~x), ~w(~x) =mi=1wi(~x)~ei(~x).Le champ de vecteurs ~w est transport sur S paralllement ~c ssi, pour tout i = 1, ...,m :mj=1wi|jvj = 0, i.e.mj=1(wiqj+mk=1ijkwk)vj = 0, (8.5)cf. (2.20) et (2.22).Preuve. C'est (2.22) avec (2.20) : avec ~w =mi=1 wi~ei on a d~w.~v =mi=1(dwi.~v)~ei+mi=1 wid~ei.~v,et avec ~v =mj=1 vj~ej on obtient d~w.~v =mi,j=1 vj(dwi.~ej)~ei +mi,j=1 wivjd~ei.~ej , et doncd~w.~v =mi=1(mj=1vjwiqj)~ei +nk=1mi,j=1wivjkij~ek,soit d~w.~v =mi=1(mj=1 vj wiqj )~ei +ni=1mk,j=1 wkvjikj~ei.En projetant sur TS~x, il reste ProjTS~x(d~w.~v) =mi=1(mj=1 vj wiqj +mk,j=1 wkvjikj)~ei, soitProjTS~x(d~w.~v) =mi,j=1 wi|jvj~ei o on a not wi|j =wiqj +mk=1 wkikj .Et donc ~w est transport paralllement ~v ssi ProjTS~xd~w.~v = 0, i.e. ssi les composantes de d~w.~vsur la base du systme sont nulles, i.e. ssi pour tout i = 1, ...,m on a 0 = (d~w.~v)i =mj=1 wi|jvj .8.1.3 Exemples sur le cercleExemple 8.7 En 2-D on prend S = la courbe = le cercle ~c() =(R cos R sin )=not ~x pour R > 0x et [0, 2[, relativement la base canonique de R2. On se place en coordonnes polaires.Le vecteur vitesse (vecteur tangent) la courbe ~c en ~x est donn par ~c () =(R sin R cos )= ~e2(~x)quand ~x = ~c().36 12 janvier 201037 8. Transport parallle sur une surface dans RnSoit ~w = ~e2 : S TS. On considre ses variations d~e2 le long de ~c, i.e. on regarde :d~e2.~e2 = r~er + ~e2 = r~eren les ~x = ~c(t), et de ces variations on ne voit que celle parallles ~e2 (le plan tangent en ~x est iciune droite qui a pour vecteur directeur ~v = ~e2(~x)) ; on obtient :e2.(d~e2.~e2) = 0. (8.6)Le champ ~e2 est transport paralllement le long de lui-mme.Exemple 8.8 Suite ; mme courbe ~c. On prend maintenant un champ de vecteurs ~w : S TStangent S, donc de la forme ( valeurs dans TS) :~w : ~x S ~w(~x) = (~x)~e2(~x) quand ~x = ~c().On considre ses variations d~w = d ~e2 + d~e2 le long de ~c, i.e. on regarded~w.~e2 = (d.~e2)~e2 + (d~e2.~e2) =~e2 + (r~e1 + ~e2)en ~x = ~c(t), et de ces variations on ne voit que celle parallles ~e2 (le plan tangent en ~x est ici unedroite qui a pour vecteur directeur ~v = ~e2(~x)) ; on obtient :e2.(d~w.~e2) =+ . (8.7)Ici = 0, voir (2.3), et donc le champ ~w est transport sur S paralllement ~c ssi = 0, i.e.ssi = 0 est constant le long du cercle R =constante (i.e. ne dpend pas de ). Donc seulsles champs ~w : ~x (cste)~e2(~x) TS sont transports paralllement au cercle sur le cercle.On retrouve en particulier que le champ ~e2 est transport paralllement le long de lui-mme.Interprtation mcanique : pour que le champ soit transport parallment, il ne doit pas yavoir d'acclration tangentielle, uniquement une acclration centrifuge ou centripte. C'est le casd'un avion en vol altitude constante (sans toucher aux commandes de vol), qui est dans ce castransport paralllement un grand cercle terrestre : s'il acclre (resp. s'il coupe ses moteurs),il s'loigne (resp. il se rapproche) de la terre, et il ne reste pas parallle un grand cercle terrestre,et il n'est plus transport paralllement la terre.Exemple explicite avec la courbe ~() = ~c(2) = R(cos(2)sin(2))=not ~x pour R > 0 x et ]0,2[.8.1.4 Exemples sur la sphre de R3Exemple 8.9 Avec les coordonnes sphriques, on prend le mridien ~c() =R cos 0 cosR sin 0 cosR sin devecteur vitesse ~v(~x) = ~c () = ~e3(~x) en ~x = ~c(), et on prend le champ de vecteurs ~w(~x) = ~e3(~x).On a ~w(~x) = (~w ~c)() =R cos 0 sinR sin 0 sinR cos, et d(~w~c)d () =R cos 0 cosR sin 0 cosR sin = R~e1(~x), deprojection sur le plan tangent ProjTS(d~wcd ()) = ~0. Donc le champ de vecteur ~e3 est transportparalllement le long du mridien (le long de lui-mme).(Noter que ||~e3(~x)|| = R est constant, en particulier le long d'un mridien.)Exemple 8.10 Suite : mme mridien et on prend maintenant le champ de vecteurs, pour ~x surle mridien, ~w(~x) = ~e2(~x)||~e2(~x)|| = sin 0cos 00, unitaire tangent au parallle. On a d(~w~c)d () = ~0, deprojection sur le plan tangent ProjTS(d~wcd ()) = ~0. Donc le champ de vecteur ~w est transportparalllement le long du mridien.Donc tout vecteur de type ~e3(~x)+~e2(~x)||~e2(~x)|| , avec et constants, est transport paralllementle long d'un mridien. Un tel vecteur une longueur constante (iciR22 + 2) et tourne enmme temps que le mridien : il est transport paralllement au mridien. Exemple : un avionqui suit un mridien : son fuselage ou ses ailes sont transportes paralllement la terre le long dumridien.37 12 janvier 201038 8. Transport parallle sur une surface dans RnExemple 8.11 Suite : mme mridien et on prend maintenant le champ de vecteurs ~w(~x) = ~e2(~x)(tangent au parallle non unitaire). On a ~w(~x) = (~w ~c)() = R sin 0 coscos 0 cos0, et d(~w~c)d () =R sin 0 sin cos 0 sin0 = cossin~e2(~x) (ailleurs que sur l'quateur), de projection sur le plan tangentProjTS(d~wcd ()) = cossin~e2(~x) 6= ~0 (ailleurs que sur l'quateur et aux ples). Donc le champ devecteur ~e2 n'est pas transport paralllement le long du mridien (sa longueur ||~w(~x)|| = R coschange avec contrairement au vecteur unitaire associ ~w||~w|| de l'exemple prcdent).Exemple 8.12 En 3-D, avec les coordonnes sphriques, on prend ~c() =R cos cos0R sin cos0R sin0 (unparallle qui n'est pas un grand cercle sauf si 0 = 0 i.e. si c'est l'quateur) de vecteur vitesse~v(~x) = ~c () = ~e2(~x) en ~x = ~c(), et on prend le champ de vecteurs ~w(~x) = ~e2(~x). On a d~w.~v =d~e2.~e2 = r cos2 ~e1 + sin cos~e3, de projection :ProjTS(d~e2.~e2) = sin0 cos0~e3 6= ~0 pour 0 6= 0 :le vecteur tangent aux parallles n'est pas transport paralllement au parallle sur la sphre, saufdans le cas de l'quateur qui transporte eectivement son vecteur tangent par rapport lui mme.(Remarque : pour 0 = 2 , le parallle est rduit un point : ce n'est pas une courbe rgulire.)8.1.5 RemarqueRemarque 8.13 Si ~w ~c : t ~w(~c(t)) est bien dni, ainsi que (~w ~c)(t), il n'en est pas demme de d~w(~x) puisque ~w n'est dni que sur la surface alors que d~w(~x) est l'application linairequi doit tre dnie sur Rn (dveloppement limit ~w(~y) ~w(~x) = d~w(~x).(~y~x) + o(~y~x) avec ~y~xvecteur non tangent la surface en gnral). Ainsi la formule (8.2) n'est pas bien dni si elle estconsidre brutalement, i.e. sans rfrence la surface S et la courbe ~c : cette formule (8.2) quesi elle exprime (8.1) (voir galement remarque 7.10).Cela ne pose pas de problme dans les applications en mcanique, voir exemples suivants.D'ailleurs sur la surface, le calcul donnera des expressions du type ~wqi (~x) =df (~w~)qi (~q), et seulesles drives le long des lignes de coordonnes sur la surface seront considres (les drives direc-tionnelles paralllement la surface), i.e. en d'autres termes l'expression d~w(~x) ne sera pas consid-re comme tant d~w(~x) =ni=1 ~wqi (~x) dqi(~x), mais comme tantmi=1 ~wqi (~x) dqi(~x) =not ~w(~x)(connexion) lorsqu'on drivera le long de la surface.8.2 Godsique sur une surface8.2.1 DnitionOn se donne une surface S Rn. On se donne deux points voisins sur la surface S.Intuitivement : la godsique joignant ces deux points est la courbe dans S qui est la pluscourte possible. Ou encore la courbe qui permet de joindre ces deux points en un minimumde temps, sous-entendu dans l'ensemble des courbes parcourues une mme vitesse constante.Ou encore la courbe sur la surface obtenue en appliquant une droite sur cette surface, le rsultatpassant par les deux points.Mathmatiquement, la dnition est :Dnition 8.14 Une godsique sur S est une courbe gomtrique Im~c image d'une courbe rgu-lire ~c : t [a, b] ~c(t) S sur la surface S, telle que, notant ~v(~x) = ~c (t) la vitesse au point~x = ~c(t) :1- le paramtrage t [a, b] de ~c est choisi tel que la courbe ~c est parcourue vitesse constante,i.e. qu'il vrie ||~c (t)|| = ||~c (a)|| pour tout t [a, b], i.e. ||~v(~x)|| = constante pour tout ~x Im~c,et2- son vecteur vitesse est transport sur S paralllement lui-mme le long de ~c, i.e. :ProjTS~x((~v ~c)(t)) = ~0, t [a, b]. (8.8)38 12 janvier 201039 8. Transport parallle sur une surface dans RnEt comme ~c (t) = ~v(~x) = ~v(~c(t)) = (~v ~c)(t) donne ~c (t) = (~v ~c)(t) :Dnition 8.15 Bis. Ou encore, une godsique est une courbe ~c parcourue vitesse constantetelle que :ProjTS~x(~c(t)) = 0, t [a, b], (8.9)i.e. l'acclration ~c (t) est orthogonale au plan tangent, i.e. l'acclration tangentielle est nulle.Il n'y a donc pas de force tangentielle pour une particule soumise ~F = m~, i.e. la particuleva tout droit sur la surface, i.e. ne prend pas de virage sur le plan tangent ; en d'autres termesla force ~F = m~ est S, i.e. est exclusivement centrifuge ou centripte (ou nulle) relativement la surface.Et comme ~c (t) = ~v(~x) = ~v(~c(t)) donne ~c (t) = d~v(~x).~v(~x) :Dnition 8.16 Ter. Ou encore, une godsique est une courbe ~c parcourue vitesse constantetelle que son champ ~v de vecteurs tangents, donn par ~v(~x) = ~c (t) quand ~x = ~c(t), vrie :ProjTS(d~v.~v) = ~0. (8.10)Avec la notation prcdente (8.3), on peut rcrire (8.8) comme, pour tout t :D~vdt= 0, (8.11)qui signie que l'acclration sur la surface est nulle. Ou encore avec la notation des connexions,aux points ~x = ~c(t) :~v~v = 0 (= ~c (t)~v). (8.12)Remarque 8.17 Rappel. Pour une courbe parcourue vitesse ~c (t) constante, on a ||~c (t)||2Rn =(~c (t),~c (t))Rn constant et donc de drive nulle : 2(~c (t),~c (t))Rn = 0, d'o ~c (t) ~c (t), i.e.l'acclration est toujours orthogonale la vitesse (pour une courbe parcourue vitesse constante).Supposer de plus ProjTS(~c (t)) = 0 revient supposer que l'acclration est galement nulledans une direction du plan tangent orthogonale la vitesse (on ne peut conserver qu'une acclra-tion normale la surface). Intuitivement, cela revient dire que la courbe ressemble une droitepuisqu'acclration latrale nulle signie qu'on ne va n'y droite ni gauche. I.e. localement sion se place dans un voisinage du point ou la surface semble plate (voisinage susamment petitpour assimiler la surface au plan tangent donn par le dveloppement limit au premier ordre),les godsiques semblent tre droites. Par exemple sur terre quand on construit une maison, unmur droit et horizontal suit une godsique (courbe la plus courte). Ou encore le pont du lacPontchartrain en Louisiane (tats-Unis) qui est long de 38,4 km, et qui est tout droit ou en lignedroite au sens sur la surface terrestre, alors qu'en fait il suit une godsique (sa longueur permetd'ailleurs de voir la rotondit de la terre). D'ailleurs sur une sphre une godsique est un morceaude grand cercle : on obtient la courbe la plus courte entre deux points, voir exercices suivants.Exemple 8.18 Un mridien est une godsique, voir exemple 8.9, puisqu'ayant ||~e3(~x)|| = Rconstant, le paramtrage usuel permet de parcourir le mridien vitesse constante.Un parallle n'est pas une godsique sauf si c'est l'quateur, voir exemple 8.12 (bien que||~e2(~x)|| = ||~v(~x)|| = R cos0 = constante et donc que le paramtrage usuel permet de parcourirle parallle vitesse constante).Par exemple, le chemin le plus court pour aller de Madrid New York n'est pas de suivre le40me parallle mais de se placer sur un grand cercle passant par ces villes, cf remarque 8.17 : lechemin le plus court est obtenu en prenant l'intersection de la sphre avec le plan qui passe par lestrois points : centre de la terre, Madrid et New-York (plan qui n'est pas parallle l'quateur, i.e.qui ne contient pas de parallle). Autrement dit, si on essaie d'appliquer une droite sur la sphre,on obtient un grand cercle.Exercice 8.19 On rappelle qu'un grand cercle sur la sphre S = S(0, R) de R3 est l'intersectionde la sphre et d'un plan passant par le centre de la sphre. Montrer que les grands cercles sontdes godsiques.Rponse. Quitte faire un changement de base euclidien orthonorm (x, y, z) (X,Y, Z) on se ramneau cas o le plan a pour quation Z = 0 : le grand cercle est l'quateur dont on a dj vu qu'il tait unegodsique, exemple 8.12.39 12 janvier 201040 8. Transport parallle sur une surface dans Rn(Si l'quation du plan est ax + by + cz = 0, le changement de variable envoie ~E3 troisime vecteurde base canonique sur ~b3 = ~n o ~n =(a,b,c)ta2+b2+c2vecteur normal unitaire du plan, et ~E1 et ~E2 sur deuxvecteurs ~b1,~b2 tels que (~b1,~b2,~b3) forme une base orthonorme.)Rponse. Bis : calcul direct = exercice de calcul direntiel.Les grands cercles donc de la forme, pour une sphre centre l'origine, si R > 0 (rayon) et si(a, b, c) R3 est non nul (vecteur normal un plan passant par l'origine) :{ax+ by + cz = 0,x2 + y2 + z2 = R2.On se place en coordonnes sphriques (satisfaction automatique de x2 + y2 + z2 = R2) ; les grands cerclessont donc dnis par (relation implicite entre et ) :a cos cos+ b sin cos+ c sin = 0, [0, 2], [2,2]. (8.13)Par exemple, si a = b = 0 (le plan est horizontal), alors on a c 6= 0 d'o = 0, ce avec quelconque, etle grand cercle est l'quateur ; si c = 0 (le vecteur normal est horizontal), alors a cos + b sin = 0, i.e.tan =cste (si b 6= 0) (sinon c'est cotan = cste), et donc =cste : on est sur un mridien.On suppose c 6= 0, et quitte multiplier par une constante, on prend c = 1 et on obtient l'expressionexplicite : = () = tan1(a cos + b sin ).Paramtrons un grand cercle en , soit :~c() = R cos cos(())sin cos(())sin(()) .Son vecteur vitesse en ~x = ~c() est ~v(~x) = ~c () = R sin cos(())cos cos(())0+R() cos sin(()) sin sin(())cos(()),i.e.~c () = ~e2(~x) + ()~e3(~x), quand ~x = ~c().Et donc, en omettant ~x et pour allger l'criture :~c = d~e2.~c + ~e3 + d~e3.~c= d~e2.~e2 + d~e2.~e3 + ~e3 + d~e3.~e2 + 2d~e3.~e3,= R cos2 ~e1 + sin cos~e3 2 tan~e2 + ~e3 2R~e1Et en projetant sur le plan tangent on obtient :ProjTS(~c()) = 2 tan~e2 + ( + sin cos)~e3.Cette projection n'est pas nulle (le long d'un mridien par exemple o quand n'est pas constant),mais le grand cercle n'a pas t parcouru vitesse constante : la paramtrisation choisie du grand cercle(paramtrisation en ) ne permet pas d'appliquer la dnition d'une godsique. Choisissons maintenantune paramtrisation vitesse constante.Les vecteurs ~e2 et ~e3 tant orthogonaux, on a ||~c ||2 = ||~e2 + ~e3||2 = ||~e2||2 + 2||~e3||2, et donc :||~c || = R(cos2 + 2)12 ,est la vitesse de parcours avec le paramtrage en . On eectue alors le changement de paramtrage ttel que dt = (cos2 + 2)12 d, i.e. on pose :~c(t) = ~c(), o doncddt(t) = (cos2 + 2)12 et = ((t)).(Il faut un changement de paramtrage inversible d'inverse continu, ce qui est le cas car cos2 + 2 =1R||~c ()|| avec ||~c ()|| ||~e2|| > 0.) On a maintenant :~c (t) = ~c ()ddt(t) = (cos2 + 2)12~c (), quand = (t), = (),de norme constante = R : avec la paramtrisation t propose, le cercle est parcouru vitesse constante.40 12 janvier 201041 8. Transport parallle sur une surface dans RnEt :~c (t) =d2dt2~c () + (ddt)2~c (), quand = (t).Et ayant ( )(t) = ((t))(t), on ad2dt2= ( sin cos+ )(cos2 + 2)32 = sin cos (cos2 + 2)2,et donc~c (t) = sin cos (cos2 + 2)2~c () +1(cos2 + 2)~c (),et donc la projection ProjTS(~c(t)) donne, au pralable multiplie par (cos2 + 2)2 6= 0 pour simplier,et notant P = ProjTS(~c(t)) (cos2 + 2)2 :P = (sin cos )(~e2 + ~e3) + (cos2 + 2)(2 tan~e2 + ( + sin cos)~e3)Cette projection est nulle ssi les composantes en ~e2 et en ~e3 sont nulles, i.e. ssi :{( + sin cos+ 2 tan2) = 0,22 cos sin+ ( + sin cos) cos2 = 0.On a tan1 (x) = 11+x2.Et () = tan1(a cos + b sin ).Et () = a sin +b cos 1+tan2()= cos2 (a sin + b cos ).Et () = 2 sin cos(a sin + b cos ) cos2 (a cos + b sin ) = 2 tan2 cos sin.D'o la premire nullit.D'o ( + sin cos) cos2 = 2 cos sin2, d'o la deuxime nullit.Proposition 8.20 Soit ~ : u ~x = ~(u) S une courbe (non parcourue vitesse constante apriori). Cette courbe est une godsique ssi :ProjTS(~(u)) =(~ (u), ~ (u))Rn||~ (u)||2~ (u). (8.14)Si on note ~w(~x) = ~ (u) le vecteur tangent en ~x = ~(u), on a de manire quivalente :ProjTS(d~w(~x). ~w(~x)) =(d~w(~x). ~w(~x), ~w(~x))Rn||~w(~x)||2~w(~x). (8.15)Preuve. On se ramne un paramtrage vitesse constante : soit t : u t(u) une fonction C2strictement croissante (de fonction inverse u : t u(t) C2 strictement croissante) et soit ~c : t ~c(t) = ~(u(t)) la courbe telle que ||~c (t)|| = 1 pour tout t. Comme ~c (t) = ~ (u(t))u(t), on choisitdonc u(t) = 1||~ (u(t))|| , ou encore t(u) = ||~ (u)||.Comme ~(u) = ~c(t) quand t = t(u), i.e. ~(u) = ~c(t(u)), on obtient ~ (u) = ~c (t(u)) t(u), puis :~ (u) = ~c (t(u))(t(u))2 + ~c (t(u))t(u).Ayant ~c une godsique, on a ProjTS(~c (t)) = 0, et donc (avec Proj linaire et ~c (t) dans le plantangent) :ProjTS(~(u)) = ~c (t(u))t(u) = ~ (u)t(u)t(u).Et t(u) = ||~ (u)|| =((~ (u), ~ (u))Rn) 12donne :t(u) =12((~ (u), ~ (u))Rn) 122(~ (u), ~ (u))Rn ,soit t(u) = (~(u),~ (u))Rn||~ (u)|| . D'o (8.14).Puis ~ (u) = ~w(~(u)) donne ~ (u) = d~w(~(u)).~ (u), soit ~ (u) = d~w(~x). ~w(~x) quand ~x =(u). D'o (8.15).41 12 janvier 201042 8. Transport parallle sur une surface dans Rn8.2.2 EquationLa principale dicult rside dans les notations. On commence par reprendre les notationsprcdentes :Soit U un ouvert dans Rm (espace des paramtres) ; et soit S une varit de dimension mdans Rn (espace gomtrique) paramtrise par :~ : ~q = q1...qm U ~x = ~(~q) = x1(~q)...xn(~q) S,avec ~ suppose tre un diomorphisme C. C'est une systme de coordonnes sur S. On disposeainsi de la base (~ei(~x))i=1,...,m du systme.On considre une courbe (rgulire) sur S :~c : t ]a, b[ ~x = ~x(t) = ~c(t) = ~(~q(t)) S.avec ~q : t ]a, b[ ~q(t) U Rm une fonction donne (courbe dans U Rm).On choisit comme base la base canonique ( ~Ei)i=1,...,m de Rm, et on note alors :~q : t ]a, b[ ~q(t) =mi=1qi(t) ~Ei Rm.La vitesse le long de la courbe est :d~qdt(t) = ~q(t) =mi=1qi(t) ~Ei = q1(t)...qm(t)Rm.Proposition 8.21 On a en ~x = ~c(t) = ~(~q(t)) :~c (t) =mi=1qi(t)~ei(~x), (8.16)i.e. les (qi(t))i=1,...,m sont les coordonnes du vecteur vitesse ~c (t) = ~v(~x) de la courbe ~c en ~x = ~c(t)dans la base du systme de coordonnes en ~x. On note abusivement :~c =mi=1qi ~ei. (8.17)Preuve. On a ~c(t) = ~(~q(t)) d'o en drivant :~c (t) = d~(~q(t)).d~qdt(t) =mi=1dqidt(t) d~(~q(t)). ~Ei =mi=1qi(t)~ei(~x),puisque ~ei(~x) =df d~(~q). ~Ei quand ~x = ~(~q).Corollaire 8.22 La projection de l'acclration dans le plan tangent est donne par :ProjTS(~c(t)) =mi=1(q i(t) +mj,k=1ijkqj(t)qk(t))~ei(~x). (8.18)Preuve. En drivant ~c (t) =mi=1 qi(t)~ei(~c(t)), cf. (8.16), on a :~c (t) =mi=1q i(t)~ei(~c(t)) +mj=1qj(t) d~ej(~c(t)).~c (t) =mi=1q i(t)~ei(~x) +mj,k=1qj(t)qk(t) d~ej(~x).~ek(~x).Comme d~ej .~ek =ni=1ijk~ei, on dduit que ProjTS(d~ej .~ek) =mi=1ijk~ei, d'o (8.18).On en dduit :42 12 janvier 201043 8. Transport parallle sur une surface dans RnCorollaire 8.23 (Les quations dterminant une godsique.) Soit ~c : t ~x = ~c(t) = ~(~q(t)) Sune courbe sur S, et soit ~v(~x) = ~c (t) son vecteur tangent au point ~x = ~c(t). Les trois propositionssuivantes sont quivalentes :(i) ~c est une godsique,(ii) pour tout i = 1, ...,m :q i(t) +mj,k=1ijk(~x) qj(t) qk(t) = 0, (8.19)(iii) son vecteur tangent est transport paralllement la courbe :ProjTS(d~v.~v) = 0. (8.20)Et en particulier, une courbe qui vrie (8.19) ou (8.20) est parcourue vitesse constante (c'estune godsique).Preuve. (i)(ii). Si ~c est une godsique, alors ProjTS(~c (t)) = 0 et (8.18) implique (8.19).(ii)(iii). On a ~c (t) = ~v(~c(t)), d'o ~c (t) = d~v(~x).~v(~x) quand ~x = ~c(t). Donc (8.19) quivaut (8.20).(iii)(i). Car ~c (t) = d~v(~x).~v(~x).Remarque 8.24 On peut montrer directement qu'une courbe qui vrie (8.19) est parcourue vitesse constante : avec (8.14) et (8.18) on obtient :(~c (t),~c (t))Rn||~c (t)||~c (t) = 0,et comme la courbe est rgulire on a ~c (t) 6= ~0, et donc (~c (t),~c (t))Rn = 0 = 12ddt (||~c(t)||2) = 0 :la courbe est parcourue vitesse constante.Exercice 8.25 Rciproque de l'exercice 8.19. Montrer l'aide de (8.19) que les godsiques surla sphre S = S(0, R) de R3, passant par un point ~x0 donn, sont les grands cercles.Rponse. Premire rponse : soit ~x0 donn sur la sphre et soit ~c une godsique passant par ~x. Soit~c (t) = ~v(~x) quand ~x = ~c(t). Quitte faire un changement de variables, on peut supposer que ~x0 est surl'quateur, et que ~v(~x0) est tangent horizontal. L'quateur est solution de (8.19), et donc c'est la solution.Et c'est un grand cercle.Rponse. Bis. Deuxime rponse : calculs gnriques (exercice de calcul direntiel).1- Les grands cercles (non verticaux) d'une sphre de rayon R centre l'origine sont donnes par (8.13),o on prend c=1 :a cos + b sin = tan.(On a cos 6= 0, i.e. 6= /2, le plan choisi tant non vertical ne passant pas par les ples).En supposant = (t) et = (t), on obtient donc en drivant :(a sin + b cos ) = (1 + tan2 ),et en drivant encore :(a sin + b cos ) + 2(a cos b sin ) = (1 + tan2 ) + 22 tan(1 + tan2 ),soit :(a sin + b cos ) tan = (1 + tan2 ) + 2 tan(a sin + b cos ),soit :( 2 tan)(a sin + b cos ) = 1cos2 ( + cos sin). (8.21)2- Les godsiques satisfont une quation direntielle vrie par les grands cercles : ce sont lesgrands cercles. Vrions-le avec les quations de la godsique donnes par (8.19), avec (2.6) :{ 2 tan = 0, + 2 sin cos = 0.Et ces quations vrient trivialement (8.21).Remarque : on peut intgrer la premire quation, rcrite = 2 tan = 2 sincos: on obtientlog() = 2 log(cos) + c = log( ccos2 ), o c = log c R. D'o = ccos2 = c(1 + tan2 ). La secondequation donne alors + c2 tan 1cos2 = 0, quation direntielle en ~.43 12 janvier 201044 8. Transport parallle sur une surface dans RnProposition 8.26 Soit ~c une courbe sur S. Si ~c est la courbe la plus courte joignant deux pointsA et B (ncessairement sur la courbe), alors ~c est une godsique sur S.Preuve. On considre une famille de courbes ~cu : t [a, b] ~cu(t) sur S, avec u ] 1, 1[ tellesque ~cu(a) = A et ~cu(b) = B pour tout u (toutes les courbes commencent en A pour se termineren B), famille telle que ~c = ~cu0 est la courbe la plus courte joignant A et B. On note ~c(u, t) = ~cu(t)et on suppose que toutes les fonctions ~c sont 2 fois direntiables. La longueur d'une courbe ~cuest :L(u) = ba||~cu (t)|| dt = ba||~ct(u, t)|| dt.Par hypothse L(u) est minimum pour u = 0. On a :u(||~ct(u, t)||) = u((~ct(u, t),~ct(u, t))Rn)12 ) =( 2~cut (u, t),~ct (u, t))Rn||~ct (u, t)||,d'o, en drivant sous le signe:dLdu(u) = ba(2~cut(u, t),~cu(t)||~cu (t)||)Rn dt.On note ~wu(t) =~cu(t)||~cu (t)|| (vecteur vitesse normalis), et par intgration par parties on obtient :dLdu(u) = ba(~cu(u, t),d~wudt(t))Rn dt+ (~cu(u, 1), ~wu(1))Rn (~cu(u, 0), ~wu(0))Rn ,avec ~c(u, 1) = B constant pour tout u, donc de drive en u nulle, idem pour ~c(u, 0) = A : lestermes de bord sont nuls. Donc avec dLdu (u0) = 0, on a : ba(~cu(u0, t),d~wu0dt(t))Rn dt = 0.Ceci devant tre vrai pour tout a, b (ou tout A,B sur la courbe), on en dduit que pour tout ton a ~cu (u0, t) d~wu0dt (t) pour tout t. Les courbes ~cu tant toutes dans S, le vecteur~cu (u, t) estdans TS. Et si on prend toutes les familles de courbes possibles, notant ~x = ~cu(t), on en dduit quel'acclration ProjT~xSd~wu0dt (t) est nulle (voir exercice suivant) : la courbe est une godsique.Exercice 8.27 Soit ~c : t [a, b] ~c(t) une courbe non parcourue vitesse constante. On se donneun paramtrage s intrinsque de la courbe (parcours vitesse unit), i.e. on pose ~r(s) = ~c(t(s))pour s [0, L], o donc s t(s) est un changement de variable d'inverse t t(s) qui donne||~r (s)|| = 1 pour tout s. On pose ~w(t) = ~c(t)||~c (t)|| . Montrer qued~wdt (t) est parallle ~r(s), i.e. queces deux vecteurs sont normaux la courbe (alors que ~c (t) n'est pas parallle ~r (s) en gnral).Rponse. On a d||~c(t)||dt= ddt((~c (t),~c (t))Rn)12 = 1||~c (t)|| (~c(t),~c (t))Rn = (~c(t), ~w(t))Rn , d'o d'unepart :~w (t) =~c (t)||~c (t)|| ~c (t)(~c (t), ~w(t))Rn||~c (t)||2 .Et d'autre part ~r(s) = ~c(t(s)) donne ~r (s) = ~c (t(s)) t(s) qui est norm 1, d'o t(s) = 1||~c (t(s))|| . Puis~r (s) = ~c (t(s)) (t(s))2 + ~c (t(s)) t(s),avec t(s) = ((~c (t(s)),~c (t(s)))Rn)12 qui donne t(s) = t(s)(~c (t(s)),~c (t(s)))Rn ||~c (t(s))||3. Donc,notant t = t(s) :~r (s) = ~c (t)1||~c (t)||2 ~c(t) (~c (t),~c (t))Rn1||~c (t)||4 .Et donc ~w (t) = ||~c (t)||~r (s) : les vecteurs sont parallles. Et comme pour une paramtrage curviligneintrinsque on a ~r (s) ~r (s) (car ||~r (s)||2 = 1), on en dduit que ~w est galement orthogonal lacourbe.44 12 janvier 201045 9. Formes fondamentales et courbure8.3 ShifterSoit ~c une courbe sur S.Soit ~w0 TS~x0 un vecteur du plan tangent S en ~x0. Par rsolution de l'quation direntiellelinaire avec condition initiale :D~wdt= 0, avec condition initiale ~w(~x0) = ~w0, (8.22)voir la notation (8.3), il existe un unique champ de vecteur ~w le long de ~c solution.Dnition 8.28 Ce champ de vecteurs solution est dit tre le champ de vecteurs transportparalllement ~c partir de ~w0.Dnition 8.29 On appelle alors transport parallle du point ~c(s) au point ~c(t) le long de ~cl'application St,s (shifter en anglais) :St,s :{T~c(s)S T~c(t)S~w(~c(s)) ~w(~c(t))de transport parallle des vecteurs du plan tangent T~c(s)S en les vecteurs du plan tangent T~c(t)Sle long de ~c.Exemple 8.30 En coordonnes sphriques, sur la sphre, le long d'un mridien le vecteur ~e3(~x)(vecteur de base tangent au mridien) est transport paralllement au mridien. Par contre, lelong d'un parallle le vecteur ~e2(~x) (vecteur de base tangent au parallle) n'est par transportparalllement au parallle (sauf pour le parallle = l'quateur = grand cercle).Exemple 8.31 Dans Rn, i.e. le cas TS = Rn, on a ProjTS = I identit, et un transport parallledans Rn n'est qu'un dplacement identit vectorielle du point ~x0 au point ~x, i.e. : St,s : (~x0, ~w0)(~x, ~w0).9 Formes fondamentales et courbure9.1 Premire forme fondamentale g T 02 (S) (mtrique)Soit ~ : Rm Rn une surface rgulire avec m n1. Et ~ dnit galement le systme decoordonnes sur la surface et ~ei(~x) = d~(~q). ~Ei la base du systme de coordonnes sur la surfaceen ~x = ~(~q). Et on note (ei(~x) = dqi(~x))i=1,...,m la base duale sur la surface.Et on note G T 20 (Rm) une mtrique dans Rm et g T 20 (Rn) une mtrique dans Rn.Dnition 9.1 La premire forme fondamentale sur la surface S = Im~ est le tenseur mtriqueg|TS restreint la surface, encore not g T 02 (S).Il est donc dni comme tant en ~x S la forme bilinaire g~x L2(TS~x, TS~x; R) donne parles :g~x(~v~x, ~w~x) R,pour tous les ~v~x, ~w~x TS~x. De manire quivalente, il est dni par les :g~x(~ei(~x), ~ej(~x))not= gij(~x), i, j = 1, ...,m,et donc comme :g =mi,j=1gij dqi dqj ,au sens g(~x) =mi,j=1 gij(~x)ei(~x) ej(~x) en tout ~x S.Et [g~x]~ = [gij(~x)] i=1,...,mj=1,...,mest la matrice reprsentant g~x(, ) dans la base du systme de coor-donnes.45 12 janvier 201046 9. Formes fondamentales et courbureExemple 9.2 Si on utilise le produit scalaire g(, ) canonique de Rn, on a :gij(~x) = (~ei(~x), ~ej(~x))Rn = [~ei(~x)]T .[~ej(~x)].Et pour la sphre prcdente, cas n=3 et ~ : R2 R3, avec la base du systme sphrique, onretrouve :[g~x]sph =(R2 cos2 00 R2), (9.1)quand ~x = ~(, ), i.e. :g~x = R2 cos2 d d +R2 d d,mtrique usuelle (riemanienne) sur la sphre.9.2 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courbures9.2.1 Rappel : premire dnition de la courbure (positive), approche lmentaireOn va reformuler les rsultats du cours de premire anne Intgration sur les courbes et sur-faces (cours sur les repres de Frnet), en termes de gomtrie direntielle, ce qui permettra dedonner un sens la courbure sous forme tensorielle.On se place dans Rn (avec ici n = 2 ou 3).On se donne une courbe :~c : t [a, b] ~x = ~c(t) Rnde paramtre t. On choisit reparamtrer la courbe l'aide de la coordonne curviligne intrinsque,i.e. un paramtrage de la courbe :~r : s [0, L] ~x = ~r(s)o s : t [a, b] s(t) [0, L] est un changement de variable (diomorphisme croissant d'inverset : s [0, L] t(s) [a, b]) t.q. :~r(s) = ~c(t(s)) avec ||~r (s)|| = 1.Donc la courbe gomtrique Im~c = Im~r est parcourue vitesse unit quand on choisit de lareprsenter avec ~r.Remarque 9.3 Comme ~r (s) = ~c (t(s)). dtds (s), on a doncdsdt (t) = ||~c(t)||, ce qui donne la fonctions : t s(t) = t0||~c ()|| d (le changement de variable), et s(t) est la longueur de la courbe entreles points ~c(a) = ~r(0) et ~c(t) = ~r(s(t)).Notation. On note :~u(~x) = ~r (s), quand ~x = ~r(s), (9.2)le vecteur unitaire tangent la courbe en ~x.Comme ||~u(~x)||2 = 1 = ||~r (s)||2 = (~r (s), ~r (s))Rn , on en dduit 2(~r (s), ~r (s)) = 0 (pardrivation), i.e. que, pour tout s :~r (s) ~r (s).Le vecteur ~r (s) tant tangent la courbe, on en dduit que ~r (s) est orthogonal la courbe (i.e.dans l'hyperplan orthogonal ~u(~x)). En particulier, il n'y a pas d'acclration tangentielle lacourbe (courbe parcourue vitesse constante) quand on choisit le paramtrage intrinsque.Dnition 9.4k(~x) = ||~r (s)||, quand ~x = ~r(s), (9.3)est appel la courbure de la courbe en ~x.Dnition 9.5 Quand k(~x) 6= 0, R(~x) = 1k(~x) est le rayon de courbure et~n(~x) =~r (s)||~r (s)||, quand ~x = ~r(s), (9.4)appel vecteur normal la courbe en ~x. Dans ce cas k(~x) 6= 0, ~n(~x) tant dni, on a :~r (s) = k(~x)~n(~x), (9.5)et le plan (~x, ~u(~x), ~n(~x)) est appel l'hyperplan osculateur (le plan osculateur dans R3).46 12 janvier 201047 9. Formes fondamentales et courbureRemarque 9.6 Si k(~x) = 0, dans R2 on peut choisir ~n(~x) = (u2(~x)u1(~x))( ~u(~x) =(u1(~x)u2(~x))) :il n'y a pas unicit du choix du sens de ~n(~x). Dans R3, on a encore plus de choix : cette dnitionde la normale ne sera pas retenue dans la suite : on lui prfrera la dnition partir de la formenormale.Remarque 9.7 Le plan osculateur (~x,~r (s), ~r (s)) en ~x est galement dni par (~x,~c (t),~c (t)) :en eet ~c (t)//~r (s(t)), car ~c (t) = ~r (s(t))s(t), et ~c (t) Vect{~r (s(t)), ~r (s(t))} car ~c (t) =~r (s(t))(s(t))2 + ~r (s)s(t).Exemple 9.8 Pour le cercle ~c(t) = R(cos tsin t), on retrouve bien sr que le rayon est = R (ind-pendant de s), et la courbure est k =1R(indpendante de s) : de fait, la courbure et le rayon decourbure ont t dnis pour avoir ce rsultat. Ici la coordonne curviligne intrinsque est s =tR.Exemple 9.9 On reprend les notations de l'exemple 5.3.Pour le cercle ~x = ~() = R(cos sin )= ~r(s) = R(cos sRsin sR), pour [0, 2] et s [0, 2R],on a ~r (s) = 1R(cos sin )= 1R~p1(~x), d'o :~n(~x) = ~p1(~x),et le vecteur normal unitaire est dirige vers le centre du cercle. Et on retrouve le rsultat del'exemple 5.10.Exemple 9.10 On reprend les notations de l'exemple 5.4 (cercle parcouru en sens inverse).Pour le cercle ~x = ~z(R,) = ~() = R(cos() sin())= ~r2(s) = R(cos sR sin sR), pour [0, 2]et s [0, 2R], on a ~r2 (s) = 1R(cos sR sin sR)= 1R(cos sin )= 1R~p1(~z(R,)) = 1R~p1(~x),d'o :~n(~x) = ~p1(~x),et la normale unitaire est encore dirige vers le centre du cercle. Attention : cf. exemple 5.11 : lesens a chang par rapport la dnition de la forme normale unitaire.9.2.2 Courbure (algbrique) : choix de la dnition de la courbureLes deux exemples prcdents (9.9) et (9.10) montrent qu'on retrouve, mais uniquement ausigne prs, la normale unitaire dnie prcdemment en (5.2) et (5.6).Cela pose un problme : il faut savoir quelle dnition on choisit. En fait, la dnition clas-sique (9.3) ne sera pas retenue dans la suite : elle impose k 0 (et le sens de ~n en consquence),alors qu'il est naturel de considrer les courbures ngatives, ce que permet la dnition 5.2 de laforme normale et de la forme normale unitaire dnition 5.6. Penser une courbe sinusode dontla courbure change de sens (change de signe).En outre, la dnition classique quation (9.3) ne permet pas de considrer le cas k(~x) = 0pour dnir un vecteur normal (en un tel point ~x) ; alors que pour la dnition quation (5.10), lechoix de la normale n'est pas li la courbure.D'o la nouvelle dnition de la courbure :Dnition 9.11 On considre le vecteur normal unitaire ~n(~x) donn par (5.10) partir de laforme normale dnie en (5.2). Il vrie en particulier (5.11).Soit ~r une courbe dans S paramtre par une coordonne curviligne intrinsque.On appelle courbure (algbrique) de la courbe ~r en ~x = ~r(s) Im~r le rel k~r(~x) donn par,quand ~x = ~r(s) :~r (s) = k~r(~x)~n(~x), (9.6)Et quand k(~x) 6= 0, R(~x) = 1k(~x)est le rayon de courbure (algbrique). Si k(~x) = 0 on dit que lerayon de courbure est inni.47 12 janvier 201048 9. Formes fondamentales et courbureExemple 9.12 Le cercle parcouru dans le sens trigonomtrique vrie : le vecteur unitaire~n~x = ~e1(~x) pointe vers l'intrieur du cercle, voir exemple 5.14, et on a ~r (s) = 1R~e1(~x), voirexemple 9.9. Donc ~r (s) = + 1R~n~x, et la courbure est positive.Exemple 9.13 Le cercle parcouru dans le sens inverse vrie : le vecteur unitaire ~n~x = ~e1(~x)pointe vers l'extrieur du cercle, voir exemple 5.15, et on a ~r (s) = 1R~e1(~x), voir exemple 9.10.Donc ~r (s) = 1R~n~x, et la courbure est ngative.Exemple 9.14 L'ellipsode x2a2 +y2a2 +z2c2 = 1, ellipsode de rvolution autour de l'axe des z(comme la plante Terre), est paramtre usuellement par ~(, ) = a cos cosa sin cosc sin, et tantla longitude et la latitude. Plaons-nous sur l'quateur = 0 : la courbe considre est donc lecercle de centre la terre, et de rayon a. savoir ~c1() = a cos a sin 0, et donc la courbure le longde cette courbe est constante : k~c1(~x) =1a .Considrons un mridien par exemple = 0 : la courbe considre est ~c() = a cos0c sin, i.e.une ellipse dans un plan vertical, et la courbure le long du meridien n'est pas constante : k~c2(~x)varie entre 1a et1c .Si on prend une courbe quelconque, on obtient la courbure associe.9.2.3 Deuxime forme fondamentale k T 02 (S) : tenseur des courburesLa courbure tant caractrise par les variations ~r (s) du vecteur tangent ~r (s) le long dela courbe (en coordonnes intrinsques), on peut galement exprime cette courbure l'aide desvariations en fonction de ~x.Notons :~u(~x) df= ~r (s), quand ~x = ~r(s),le vecteur tangent unitaire en ~x la courbe ~r, i.e. ~u(~r(s)) = ~r (s). Donc en drivant en s :d~u(~x).~u(~x) = ~r (s) = k~r(~x)~n(~x), quand ~x = ~r(s).D'o :k~r(~x) = n[(~x).(d~u(~x).~u(~x)) (= g(~n(~x), d~u(~x).~u(~x))), (9.7)not :k~r = n[.(d~u.~u) (= g(~n, d~u.~u)), (9.8)g(, ) tant une mtrique donne (euclidienne dans le cas classique Rn).Dnition 9.15 On dnit le tenseur des courbures sur TS comme tant le tenseur k T 02 (S)dni par :k(~v, ~w) = n[.(d~v.~w) (= g(~n, d~v.~w)), (9.9)i.e. k(~v, ~w) est la composante normale TS de la drive covariante d~v.~w.(N.B. : dans certaines rfrences mathmatiques comme par exemple dans Marsden et Hu-ghes [9], il y a un signe dans la dnition (9.9) ; ici on garde le signe +, ce qui donnera, pour letenseur de courbure associ, le bon signe pour la courbure de la sphre, voir paragraphe suivant.)En particulier pour une courbe ~r(s) de vecteur tangent ~v(~x) = ~r (s) en ~x = ~r(s), on a :k(~v,~v) = k~rla courbure dnie prcdemment.Cette dnition n'est pas immdiatement satisfaisante car, ~v tant driv dans (9.9), il n'estpas clair que k soit un tenseur :48 12 janvier 201049 9. Formes fondamentales et courbureProposition 9.16 Soit m = n1, i.e. S est une varit de dimension n1 dans Rn. On noted(n[) not= dn[ T 02 (S) la direntielle de la forme normale unitaire n[ T 01 (S). On a, pour tout~v, ~w TS :dn[.(~w,~v) = n[.(d~v.~w). (9.10)D'o :k = dn[, (9.11)et k est un tenseur T 02 (S) qui mesure les variations de n[ le long de la surface (les variationsqui donnent la courbure).Dans le systme de coordonnes on a pour tout i, j = 1, ...,m :k(~ei, ~ej) = nijnot= kij , soit [k] = [nij ] i=1,...,mj=1,...,m. (9.12)En particulier k(, ) est symtrique : pour tout ~v, ~w TS on a :k(~v, ~w) = k(~w,~v).Et on a, pour tout i, j = 1, ...,m, quand gij = g(~ei, ~ej) :kij = 12gijxn(= nij), (9.13)i.e. le tenseur des courbures est entirement dtermin par la mtrique sur la surface.En particulier, si la base du systme de coordonnes est orthogonale (sans tre ncessairementnorme), la matrice [kij ] est diagonale.Preuve. Par dnition de n[ T 01 (S) on a n[.~v = 0 pour tout ~v TS, et donc par drivation on adn[ T 02 (S) avec pour tout ~w TS :dn[.(~w,~v) + n[.(d~v.~w) = 0,d'o (9.10). En particulier :dn[.(~ej , ~ei) = n[.(d~ei.~ej) = nij ,par dnition des symboles de Christoel (cf. le systme de coordonnes dni en (6.3)). Ceux-citant symtriques en ij , k(, ) est symtrique. D'o (9.13) avec (3.18).Dnition 9.17 Dnition alternative : on dnit le tenseur des courbures sur TS comme tantle tenseur k T 02 (S) dni par (9.11) :kdf= dn[. (9.14)9.2.4 Interprtation : courbure k(~v,~v)Proposition 9.18 (Interprtation du tenseur des courbures.) Soit ~c une courbe rgulire sur S,soit ~x = ~c(t) un point sur cette courbe.On suppose que (localement au voisinage de ~x) la courbe est contenue dans un plan orthogonal S, i.e. contenue dans un plan P~x qui contient ~n(~x).Et on suppose la courbe parcourue vitesse unit (quitte la reparamtrer), i.e. ||~v(~x)|| =||~c (t)|| = 1 pour tout t quand ~x = ~c(t). Alors la valeur :~v~x = k~x(~v~x, ~v~x) (9.15)est la courbure en ~x dans la direction ~v~x = ~v(~x) (unitaire).Preuve. On a ||~c (t)||2 = 1 donc par drivation on a ~c (t) ~c (t) (courbe parcourue vitesseconstante). Par hypothse P~x = Vect{~c (t), ~n(~x)} 3 ~c (t), et donc ~c (t) = (~x)~n(~x) pour uncertain : et par dnition (~x) est la courbure.Et ~c (t) = ~v(~x) = ~v(~c(t)) donne ~c (t) = d~v(~x).~v(~x), et donc n[(~x).~c (t) = n[(~x).(d~v(~x).~v(~x)) =k(~v(~x), ~v(~x)). Donc k(~v,~v) =not est la courbure annonce (quand ~v est unitaire).49 12 janvier 201050 9. Formes fondamentales et courbureCorollaire 9.19 On se place dans la base du systme de coordonnes ~. On note ~v =i vi~ei et :k =mi,j=1kij dqi dqj . (9.16)On a :~v = k(~v,~v) =mi,j=1kijvivj . (9.17)Et en particulier :i = k(~ei||~ei||,~ei||~ei||) (=1||~ei||2kii) (9.18)est la courbure de la surface dans la direction du i-me vecteur de base.N.B. : ce n'est pas en gnral la courbure le long de la i-me ligne de coordonnes dans sonplan osculateur mais c'est la courbure de la godsique qui en ~x a pour vecteur tangent un vecteurparallle ~ei (voir l'exemple des parallles en coordonnes sphriques rcrit dans l'exemple sui-vant 9.20, et voir paragraphe 9.4). En d'autres termes, c'est la courbure de la surface en un point ~xdans la direction ~v, et non la courbure d'une courbe choisie au hasard sur la surface dont un vecteurtangent en ~x est ~v (il y a beaucoup de telles courbes, courbes qui n'ont pas mme courbure, cf. unparallle et un grand cercle tangents en un point sur la sphre terrestre).Preuve. Pour une courbe passant par ~x contenue dans le plan vertical de vecteur tangent ~ei(~x),cette mme courbe reparamtre pour tre parcourue vitesse unitaire a pour vecteur tangent~ei||~ei|| , d'o la valeur de i = k(~ei||~ei|| ,~ei||~ei|| ).Exemple 9.20 Pour la sphre exprime en coordonnes sphriques, avec (9.1) et (9.13) on obtient,ici avec xn = x3 = r :k~x =(R cos2 00 R). (9.19)Ou encore on utilise (2.5). Cela signie :k = R cos2 d d R d d.Donc, le long d'un mridien parcouru vitesse unit pour avoir la courbure :k(~e3||~e3||,~e3||~e3||) = RR2= 1R,et le mridien (qui est un grand cercle) est une courbe de courbure 1R et de rayon de courbure R.En particulier, le centre de courbure par rapport un point ~x sur le mridien est donne par~x+ (R).~n(~x) = le centre de la sphre : rsultat qu'il fallait retrouver.Et le long d'un parallle parcouru vitesse unit pour avoir la courbure :k(~e2||~e2||,~e2||~e2||) =R cos2 R2 cos2 =1Ret le parallle (qui n'est pas un grand cercle quand 6= 0) est une courbe de courbure 1R etde rayon de courbure R. En particulier, le centre de courbure par rapport un point ~x sur lemridien est donne par ~x+ (R).~n(~x) = le centre de la sphre.Ce dernier rsultat est moins intuitif (on aurait pu imaginer que le rayon de courbure tait celuidu cercle contenu dans le plan du parallle) : pour le comprendre il faut remarquer que c'est lacourbure de la surface qu'on calcule et non la courbure d'une courbe sur la surface. Ici un point ~xde la sphre passe beaucoup de courbes dont le vecteur tangent en ~x est parallle au vecteur~v = ~e2(~x). Et seul ce vecteur tangent est pris en compte dans le calcul de k(~v,~v) = dn[(~v,~v).Et on s'intresse de fait la courbe dont le plan osculateur ~x + Vect{~r (s), ~r (s)} contient lanormale la sphre : il est immdiat que c'est un grand cercle (godsique), et que ce n'est pas unparallle. D'o le rsultat.Calcul pour le parallle : ~c () = ~e2(~x) = R cos sin cos 0, d'o ~c () = R cos cos sin 0,d'o le plan osculateur (~x,Vect{~r (s), ~r (s)}) = (~x,Vect{~c (t),~c (t)}) est le plan horizontal (quicontient le parallle), plan qui ne contient pas le vecteur normal la sphre ~n(~x) = ~x||~x|| . Si = 0on est sur l'quateur qui est un grand cercle.50 12 janvier 201051 9. Formes fondamentales et courbure9.3 Le tenseur K T 11 (S) des courbures associ9.3.1 L'endomorphisme K~x associ k~xDisposant de la mtrique g(, ), l'aide du thorme de reprsentation de Riesz, au tenseur decourbure k T 02 (S) on associe l'endomorphisme K~x L(T~xS, T~xS) dni par :(K.~v, ~w)g = k(~v, ~w) (= g(d~v.~w, ~n)), (9.20)au sens o, pour tout ~v, ~w TS (deux champs de vecteurs surfaciques), pour tout ~x S :g~x(K(~x).~v(~x), ~w(~x)) = k~x(~v(~x), ~w(~x)).On exprime galement (9.20) en crivant :k = K[. (9.21)Et k tant symtrique, K est symtrique.Reprsentation matricielle. Dans la base (~ei)i=1,...,n1 du systme de coordonnes, soient [K] =[Kji ] la matrice de K, [g] = [gij ] la matrice de g, et [k] = [kij ] la matrice de k. On a donc pos :K =n1i,j=1Kij~ei ej , g =n1i,j=1gijei ej , k =n1i,j=1kijei ej .Avec (9.20) on obtient :[g].[K] = [k] i.e. [K] = [g]1.[k]. (9.22)En eet (9.20) donne [~w]T .[g].[K].[~v] = [~w]T .[k].[~v] pour tout ~v, ~w. Cela s'crit galement pourtout i, j :n1`=1gi`K`j = kij ou encore Kij =n1`=1gi`.k`j , (9.23)o [gij ] =df [gij ]1 = [g]1.Exercice 9.21 Expliciter les calculs sur la base du systme de coordonnes permettant d'obte-nir (9.22) ou (9.23).Rponse. On pose K =n1`,m=1K`m~e` dqm et donc K.~ej =`K`j~e` (colonne j de [K]). On a (9.20)d'o :g(K.~ej , ~ei) = k(~ej , ~ei),soit : `K`j g`i = kji,soit` gi`K`j = kij (par symtrie de g et de k), soit ([g].[K])ij = kij , ce pour tout i, j, soit (9.23),d'o (9.22).Remarque 9.22 En passant au transpos dans (9.22), on a galement, par symtrie de k, g et K :[K].[g] = [k] i.e. [K] = [k].[g]1. (9.24)9.3.2 Courbures principales, courbure moyenne, courbure gaussienneDnition 9.23 Les valeurs propres de l'endomorphisme K~x sont appeles les courbures princi-pales et leurs inverses les rayons de courbure principaux. Le premier invariant : la trace :Tr(K~x) (9.25)est appele courbure moyenne (somme des valeurs propres), et le dernier invariant : le dterminant :det(K~x) (9.26)est appel courbure gaussienne (produit des valeurs propres).51 12 janvier 201052 10. Tenseurs des dformationsProposition 9.24 Si la base du systme de coordonnes est orthogonale, alors (cf. (9.18)) :i(~x) = Kii (~x).donne la courbure en ~x de la courbe contenue dans le plan Vect{~ei(~x), ~n(~x)}.Preuve. En eet, dans ce cas [g] est diagonale, et Kii =kiigiiavec gii = g(~ei, ~ei) = ||~ei||2 : onapplique (9.18).Exemple 9.25 Pour la sphre on a [g]1 =( 1R2 cos2 00 1R2)dans le systme de coordonnessphriques qui est orthogonal, et donc avec (9.19) :[K~x] =( 1R 00 1R).Et [K~x] est la matrice des courbures (inverse des rayons de courbure) dans la base du systme decoordonnes. En particulier [~e1]T .[K].[~e1] = ( 1 0 ) .( 1R 00 1R).(10)= 1R donne la courbured'un grand cercle (courbe sur la surface contenue dans un plan normal la surface).Les rayons de courbures valent bien R ( et R en valeur absolue), et les signes sont enaccord avec le centre du cercle osculateur qui est le point ~x+ (R).~n~x (centre de la sphre).La courbure moyenne est 2R = Tr(K), la courbure Gaussienne est1R2 = det(K).Remarque 9.26 Une autre dnition de la courbure moyenne est 1n1 |Tr(K)|, qui pour la sphreredonne bien le rsultat attendu 1R . Et pour obtenir une autre courbure moyenne partir de lacourbure gaussienne, on prend (|detK|)1n1 qui pour la sphre redonne 1R .9.4 Godsique et deuxime forme fondamentaleProposition 9.27 L'quation d'une godsique ~c :]a, b[ S (qui est en particulier une courbeparcourue la vitesse unit) s'exprime galement :d~vdt= k(~v,~v)~n,au sens d~v.~v = k(~v,~v)~n, o on a not ~v(~x) = ~c (t) quand ~x = ~c(t).Preuve. La notation d~v(~x)dt est la notation abusive ded(~v~c)dt (t) =d~c dt (t) = ~c(t) = d~v(~x).~v(~x)quand ~x = ~c(t). Et si on projette sur la normale on obtient ~n[(d~v.~v) = k(~v,~v). Et pour unegodsique, la projection de d~v.~v sur le plan tangent est nul, ce qui est le cas quand d~v.~v estnormal la surface.10 Tenseurs des dformations10.1 Rappel10.1.1 Transpose d'une forme bilinaireDnition 10.1 Si b : E F R est une application bilinaire, on appelle application bilinairetranspose l'application bT : F E R dnie par, pour tout (~u,~v) E F :bT (~v, ~u) = b(~u,~v). (10.1)(Il est immdiat que l'application bT ainsi dnie est bilinaire.)52 12 janvier 201053 10. Tenseurs des dformations10.1.2 Direntielles premires et secondes ...Soit E et F deux espaces vectoriels et soit U un ouvert dans E. Soit :f : U F (10.2)une fonction C0(U ;F ).Soit ~u x dans U . La direntielle de f en ~u U note (Df)(~u) = Df(~u) est l'applicationlinaire (si elle existe) :Df(~u) : E F (10.3)donne par, pour ~v E :Df(~u).~v = limh0f(~u+ h~v) f(~u)h F.Et Df(~u).~v est appele la drive directionnelle de f en ~u dans la direction ~v. Et si l'application :Df : U L(E;F ) (10.4)existe et est continue sur U , on dit que f est C1(U ;F ).La direntielle seconde en ~u U est l'application linaire :D(Df)(~u) not= D2f(~u) : E L(E;F ) (10.5)donne par (si elle existe), pour ~v E :D2f(~u).~v = limh0Df(~u+ h~v)Df(~u)h L(E;F ),i.e. est dnie par, pour ~v, ~w E :(D2f(~u).~v). ~w = limh0Df(~u+ h~v). ~w Df(~u). ~wh F.Et si l'application :D2f : U L(E;L(E;F ))(ainsi dnie) est continue sur U , on dit que f est C2(U ;F ). l'aide du diomorphisme canonique L(E;L(E;F )) ' L(E,E;F ) on note :(D2f(~u).~v). ~w not= D2f(~u)(~v, ~w).Et le thorme de Schwarz indique que si f est C2 alors D2f(~u) est symtrique : pour tout ~v, ~w Eon a D2f(~u)(~v, ~w) = D2f(~u)(~w,~v) :D2f(~u) = D2f(~u)T .10.1.3 ... et drives partielles premires et secondesSupposons que E = E1 E2 et U = U1 U2 o Ui est un ouvert dans Ei.Pour ~u = (~u1, ~u2) U1 U2, on notera :f~u2 : U1 F, f~u2(~u1)df= f(~u1, ~u2), (10.6)idem pour f~u1 .La direntielle Df en ~u = (~u1, ~u2) est donne par, pour ~v = (~v1, ~v2) E1 E2 :Df(~u).~v = Df(~u).(~v1, ~v2) = Df(~u).(~v1, 0) +Df(~u).(0, ~v2)not= D1f(~u).~v1 +D2f(~u).~v2.Les applications linaires ainsi dnies :D1f(~u) L(E1;F ), D2f(~u) L(E2;F ), (10.7)sont appeles les drives partielles. On a donc :D1f(~u).~v1 = limh0f(~u1 + h~v1, ~u2) f(~u1, ~u2)h F, (10.8)soit encore :D1f(~u) = Df~u2(~u1) (10.9)la direntielle de f~u2 en ~u1. Idem pour D2f(~u).53 12 janvier 201054 10. Tenseurs des dformationsPuis par bilinarit, quand ~u U et ~vi, ~wi Ei :D2f(~u)((~v1, ~v2), (~w1, ~w2)) = D2f(~u)(~v1, 0), (~w1, 0)) +D2f(~u)((~v1, 0), (0, ~w2))+D2f(~u)(0, ~v2), (~w1, 0)) +D2f(~u)((0, ~v2), (0, ~w2))not= D11f(~u)(~v1, ~w1) +D12f(~u)(~v1, ~w2)+D21f(~u)(~v2, ~w1) +D22f(~u)(~v2, ~w2).Les applications bilinaires ainsi dnies :Dijf(~u) L(Ei, Ej ;F ), (10.10)o :D11f(~u1, ~u2) = D2f~u2(~u1), (10.11)idem pour D22, et :D12f(~u).(~v1, ~w2) = D2f(~u)((~v1, 0), (0, ~w2)) = D((Df)(~u).(~v1, 0)).(0, ~w2)= D(D1f(~u).~v1).(0, ~w2) = D2(D1f(~u).~v1). ~w2,(10.12)idem pour D21f(~u), sont appeles les drives partielles secondes. Ainsi :Dij = Dj Di. (10.13)Quand f C2, la symtrie de D2 donne D2f(~u)((~v1, 0), (0, ~w2)) = D2f(~u)((0, ~w2), (~v1, 0)), soitD12f(~u)(~v1, ~w2) = D21f(~u)(~w2, ~v1), soit :D12f(~u) = D2(D1f)(~u) = D1(D2f)(~u) = D21f(~u)T . (10.14)10.1.4 Cas particulierCas particulier E1 = R et f : R E2 F , on a :Df(~u).(1,~0) = D1f(~u).1not=fx1(~u) F, (10.15)Et on a, pour v R et ~w E2 :D12f(~u).(v, ~w) = D2f(~u).((v, 0), (0, ~w)) = D((Df)(~u).(v, 0)).(0, ~w)= v D((fx1)(~u)).(0, ~w) = v D2((fx1)(~u)). ~w,ainsi que :D21f(~u).(~w, v) = D2f(~u).((0, ~w), (v, 0)) = D((Df)(~u).(0, ~w)).(v, 0)= D((D2f)(~u). ~w).(v, 0) = vx1((D2f)(~u). ~w).Par symtrie de D2 quand f C2, on obtient :D2(fx1)(~u) =x1(D2f)(~u) L(E2;F ), (10.16)avec donc :D2 fx1=x1D2f. (10.17)Si de plus E2 = R, on retrouve : fx1x2(x1, x2) = fx2x1(x1, x2) not=2fx1x2(x1, x2) F,toujours quand f C2.54 12 janvier 201055 10. Tenseurs des dformations10.1.5 Application un mouvement ~Soit un mouvement (une application C2) :~ :{[0, T ] S0 Rn(t, ~X) 7 ~x = ~(t, ~X).(10.18)(Par exemple S0 est une surface.) Sa direntielle au point (t, ~X) est donne par, pour tout s Ret ~W (TS0) ~X :D~(t, ~X).(s, ~W ) = limh0~(t+ hs, ~X + h ~W ) ~(t, ~X)h,quand S0 est une varit plate (un ouvert dans (TS0) ~X), et si S0 est une varit quelconque, onremplace le terme h ~W dans le membre de droite par ~c(h) o ~c est une courbe en ~X dans S0 telleque ~c (0) = ~W . Utilisant le paragraphe prcdent o ici x1 = t dans (10.15), on notera :D1.1 =tet D2 = d (10.19)les drives partielles en temps et en espace, o donc pour (t, ~X) [0, T ] S0 : ~t(t, ~X) Rn et d~(t, ~X) L((TS0) ~X ; Rn), (10.20)et d~(t, ~X). ~w Rn pour tout ~w (TS0) ~X . Et par exemple on aura pour la drivation secondecroise :D12 ~(t, ~X) =d~t(t, ~X) = d ~t(t, ~X) =d~t(t, ~X) L((TS0) ~X ; Rn), (10.21)et, pour tout ~w (TS0) ~X :d~t(t, ~X). ~w Rn. (10.22)10.2 En espace : jacobienne et transpose10.2.1 Rappel : transpose d'une application linaireSoit (E, (, )E) et (F, (, )F ) deux espaces vectoriels munis de produits scalaires, et L L(E;F )une application linaire continue de E dans F (si E et F sont de dimension nie alors une telleapplication linaire est toujours continue).Dnition 10.2 L'application linaire transpose de L est l'application LT : F E dnie par :(LT . ~w, ~u)E = (L.~u, ~w)F , (~u, ~w) E F. (10.23)Ayant suppos L continue, une telle application linaire LT existe : ~w x la forme linaire`~w : ~u (L.~u, ~w)F est continue, et donc, par application du thorme de reprsentation de Riesz,il existe ~a E t.q. `~w.~u = (~a, ~u)E , on note ~a = LT . ~w, et il est immdiat que LT est linaire.On s'intresse dans la suite uniquement au cas d'espace de dimension nie comme les TS~x.Notons m = dimE et n = dimF . Soit (~ei) une base de E de base duale (ei), et soit (~fi) une basede F de base duale (f i). Alors L est entirement dtermine par les f i.(L.~ej) =not Lij , et LT parles ei.(LT . ~fj) =not (LT )ij . On a donc not :L =mi=1nj=1Lij~fi ej , LT =mi=1nj=1(LT )ij~ei f j .[L] = [Lij ] est la matrice de L, et [LT ] = [(LT )ij ] celle de LT , dans les bases choisies.55 12 janvier 201056 10. Tenseurs des dformationsExemple 10.3 Soit E = R2, F = R3, bases canoniques ( ~E1;R2 , ~E2;R2) de R2 et ( ~E1;R3 , ~E2;R3 , ~E3;R3)de R3. Soit L : R2 R3 donn par L. ~E1;R2 = ~E1;R3 , L. ~E2;R2 = ~E2;R3 , i.e. [L] = 1 00 10 0 (etL(R2) = R2 {0} est le plan horizontal de R3). On prend les produits scalaires canoniques,on a LT : R3 R2 donn par (LT . ~Ej;R3 , ~Ei;R2)R2 = (L. ~Ei;R2 , ~Ej;R3)R3 , d'o LT . ~E1;R3 = ~E1;R2 ,LT . ~E2;R3 = ~E2;R2 , L. ~E3;R2 = ~0, soit [LT ] =(1 0 00 1 0)(et KerLT = Vect{ ~E3;R3} = (ImL)).10.2.2 Jacobienne et transposeSoient S0 une varit de dimension m dans Rn (plus loin se sera une surface).On reprend les notations (10.18) (plus loin ce sera l'application mouvement d'une surface) :soit ~ : [0, T ] S0 Rn une application C2. On utilisera les notations (10.19) et (10.20). A t xon note :~t( ~X)df= ~(t, ~X) not= ~x, ~t(S0) = St. (10.24)Et on suppose que ~t : S0 St dnit un diomorphisme. Ainsi St est une varit de dimensionmdans Rn. (Exemple : un objet occupe la position S0 l'instant 0 et la position St l'instant t,autrement dit S est une photo de l'objet l'instant ).Dnition 10.4 Notons quand ~x = ~t( ~X), toujours partir de (10.18) :Ft( ~X)df= d~t( ~X)not= F ~X;t L((TS0) ~X ; Rn)la direntielle de ~t en ~X, appele gradient de dformation (bien que ce ne soit pas un gradientmais une direntielle).C'est l'application linaire dnie sur (TS0) ~X par, t x :Ft( ~X). ~W = lims0~t(~c(s)) ~t(~c(0))h(= (~ ~c)(0) not= d~( ~X).~c (0)),o ~c : s ~c(s) est une courbe dans S0 en ~X, i.e. t.q. ~c(0) = ~X et ~c (0) = ~W .Proposition 10.5 Soit ~c0 : s ] , [ S0 une courbe en ~X S0 (donc telle que ~c0(0) = ~X) devecteur tangent ~c0(0) =not ~W ( ~X) en ~X. Cette courbe est transforme par le mouvement en lacourbe ~ct : s ] , [ St o ~ct(s) = (~ ~c0)(s). Alors ~ct est une courbe en ~x = ~t( ~X) de vecteurtangent en ~x donn par ~w(~x) = ~ct (0) o :~w(~x) = d~t( ~X). ~W ( ~X) (TSt)~x, (10.25)et Ft( ~X) transforme les vecteurs tangents (TS0) ~X en des vecteurs tangents (TSt)~x.Preuve. On drive ~ct(s) = (~ ~c0)(s).Dnition 10.6 La formule (10.25) est appele formule de transport des champs de vecteurstangents par le mouvement ~.Remarque 10.7 On notera galement, pour ~X S0 x :~ ~X(t)df= ~(t, ~X) = ~x (10.26)l'application trajectoire de ~X dans Rn. (Exemple : un point de l'objet se trouve en ~X l'instant 0et en ~x l'instant t.) Ici ~X x, la vitesse ~V (t, ~X) = ~t (t, ~X) =d~ ~Xt (t) = ~v(t, ~x) Rn, n'est pasun vecteur tangent St, moins que la surface S0 ne glisse sur elle-mme.56 12 janvier 201057 10. Tenseurs des dformations10.2.3 F (t, ~X) dans une base de RnSoit (~bi;0)i=1,...,n et (~bi;t)i=1,...,n deux bases de Rn. On notera (bi0)i=1,...,n et (bit)i=1,...,n les basesduales.Pour ~X Rn notons :~X =i=1,...,nXi~bi;0, (10.27)et pour ~X S0 notons :~x = ~(t, ~X) =ni=1i(t, ~X)~bi;t =ni=1xi~bi;t. (10.28)D'o :F (t, ~X) = d~t( ~X) =ni=1~bi;t di(t, ~X), (10.29)au sens, pour tout ~W (TS0) ~X :d~t( ~X). ~W =ni=1(di(t, ~X). ~W )~bi;t. (10.30)Remarque 10.8 On peut crire :di(t, ~X) =nj=1iXj(t, ~X) bjj;0,et donc, notant F ij (t, ~X) =iXj (t, ~X) :F (t, ~X) = d~(t, ~X) =ni,j=1F ij (t, ~X)~bi;t bj0. (10.31)Mais cette expression ne sera pas utilise : elle pourrait inciter penser que F va de Rn valeursdans Rn (reprsent par une matrice [F ij ] i=1,...,nj=1,...,nn n), ce qui n'est pas le cas quand m < n :l'ensemble de dnition de F est (TS0) ~X et non Rn tout entier (quand m < n). Dans la suite, lamatrice reprsentant F sera une matrice nm.10.2.4 F (t, ~X) avec la base du systme ~0On a Ft( ~X) L((TS0) ~X ; Rn) avec dim (TS0) ~X = m, et sa reprsentation dans une base est unematrice nm.Soit ~0 : U Rm S0 Rn un systme de coordonnes sur S0 et soit (~eI;0( ~X))I=1,...m labase du systme en ~X = ~0(~q0) ( savoir ~eI;0( ~X) = d~0(~q0). ~Ei pour I = 1, ...,m o ( ~EI)I=1,...,mest la base canonique de Rm.) Soit (eI0( ~X))I=1,...m la base duale.Soit (~bi;t)i=1,...,n une base de Rn de base duale (bit)i=1,...,n. N.B. : cette base va tre driveen temps et est donc bien considre comme tant une base dans Rn tout entier (pas uniquementde (TSt)~x).On peut alors reprsenter Ft par :Ft( ~X) =ni=1mJ=1F iJ(t, ~X)~bi;t eJ0 ( ~X). (10.32)Et [F iJ ] i=1,...,nj=1,...,m= [F ] est la matrice nm qui reprsente F dans les bases choisies. En particulierpour J = 1, ...,m :Ft( ~X).~eJ;0( ~X) =ni=1F iJ(t, ~X)~bi;t. (10.33)57 12 janvier 201058 10. Tenseurs des dformations10.2.5 FT (t, ~X) avec la base du systme ~0On a FTt ( ~X) L(Rn; (TS0) ~X), et sa reprsentation dans une base est une matrice m n.Avec les bases prcdentes (~bi;t)i=1,...,n de Rn et (~eI;0( ~X))I=1,...m du systme de coordonnessur S0, on peut reprsenter FT par :FTt ( ~X) =mI=1nj=1(FT )Ij (t, ~X)~eI;0( ~X) bjt . (10.34)Et [(FT )Ij ] I=1,...,mj=1,...,n= [FT ] est la matrice m n qui reprsente FT dans les bases choisies. Enparticulier pour j = 1, ..., n :FTt ( ~X).~bj;t =mI=1(FT )Ij (t, ~X)~eI;0( ~X). (10.35)Et comme (FTt .~bj;t, ~eI;0)g0 = (Ft.~eI;0,~bj;t)gt par dnition de la transpose, et comme FTt .~bj;t =mK=1(FTt )Kj ~eK;0 et Ft.~eI;0 =nk=1(Ft)kI~bk;t on obtient :[g0]|e0 .[FTt ] = [Ft]T .[gt]|b, (10.36)o [g0]|e0 = [g0(~eI;0, ~eJ;0)]I,J=1,...,m et [gt]|b = [gt(~bi;t,~bj;t)]i,j=1,...n sont respectivement les matricesdes mtriques dans les bases choisies de (TS0) ~X et Rn.10.2.6 Remarque : F (t, ~X) dans des bases de (TS0) ~X et (TSt)~x compltesSoit ~t = ~t ~0 le systme de coordonnes choisi pour St. Soit (~ei;t(~x))i=1,...,m sa base en ~x, savoir ~ei;t(~x) = d~t(~qt). ~Ei, de base duale (eit(~x))i=1,...,m. Par drivation on a d~t = d~t.d~0, etdonc quand ~x = ~t( ~X) :~ei;t(~x) = d~t( ~X).~ei;0( ~X). (10.37)Ou encore on applique (10.25).Comme Ft( ~X) = d~(t, ~X) L((TS0) ~X ; (TSt)~x), on peut exprimer Ft( ~X) comme :F ~X;t =mi=1mJ=1(Ft)iJ( ~X) ~ei;t(~x) eJ0 ( ~X). (10.38)Mais la drive en temps posera problme : on ne pourra pas driver brutalement (10.38) entemps, au sens o, si on drive (10.38) on obtient brutalement, quand ~x = ~(t, ~X) :Ft(t, ~X) =mi=1mJ=1F iJt(t, ~X) ~ei;t(~x) eJ0 ( ~X) +mi=1mJ=1F iJd~ei(t, ~x)dt eJ0 ( ~X), (10.39)o on a not ~ei(t, ~x) =df ~ei;t(~x), et o pour i = 1, ...,m :d~ei(t, ~x)dt=~eit(t, ~x) + d~ei(t, ~x).~v(t, ~x), (10.40)est la drive totale de ~ei. Cela n'a pas de sens ici : la vitesse ~v(t, ~x) / (TSt)~x a priori (sauf sipar exemple on a un mouvement de surface qui glisse sur elle-mme), alors que d~ei;t(~x) est unoprateur qui agit uniquement dans (TSt)~x tel que dni prcdemment : on a ~ei TSt = T 10 (St)et donc d~ei;t T 11 (St).Il faut donc corriger cette approche : par exemple, quand m = n1, en considrant les surfacesSt comme tant les bres moyennes de surfaces paisses. Par exemple, on utilise (6.3), ici :t((~q, z)) = ~t(~q) + z ~n~t(~q), (10.41)ce qui permet de dnir (~ei;t)i=1,...,n comme base de Rn (base du systme t = base de ~t com-plte) et non plus uniquement (~ei;t)i=1,...,m sur le plan tangent (TSt)~x.58 12 janvier 201059 10. Tenseurs des dformationsEt maintenant, on part de (10.38), modi en :F ~X;t =ni=1mJ=1(Ft)iJ( ~X) ~ei;t(~x) eJ0 ( ~X), (10.42)o (Ft)iJ = 0 pour tout i m+ 1. Et (10.39) est modie pour donner :Ft(t, ~X) =mi=1mJ=1F iJt(t, ~X) ~ei;t(~x) eJ0 ( ~X) +ni=1mJ=1F iJd~ei(t, ~x)dt eJ0 ( ~X), (10.43)Et on pourra se servir des symboles de Christoel nij , cf. paragraphe 6.4 : pour i = 1, ...,m, (10.40)donne :~vt =nj=1vjt~ej;t d~ei(t, ~x)dt=~eit(t, ~x) +nj,k=1vjtkij~ek(t, ~x). (10.44)Et d~ei(t,~x)dt n'est pas ncessairement dans le plan tangent cause denj=1 vjtnij~en(t, ~x).10.2.7 Tenseurs des dformations C et C[Soient ~W1, ~W2 dans (TS0) ~X et leurs transports ~wi = F ~X;t. ~Wi dans (TSt)~x o ~x = ~t( ~X). Pardnition de la transpose on a :(~w1, ~w2)g~x,t = (F ~X;t. ~W1, F ~X;t. ~W2)g~x,t = (FT~X;t.F ~X;t.~W1, ~W2)g ~X,0 . (10.45)Dnition 10.9 L'endomorphisme Ct( ~X) = C ~X;t : (TS0) ~X (TS0) ~X dni par :C ~X;t = FT~X;t.F ~X;t (10.46)est appel le tenseur des dformations en ~X. Et Ct = FTt .Ft = TS0 TS0 est appel le tenseurdes dformations.Il est immdiat que C ~X;t est symtrique : (FT .F )T = FT .(FT )T = FT .F .Ce tenseur mesure les dformations relatives des vecteurs transports par ~t : (10.45) donne :(~w1, ~w2)g~x,t = (C ~X;t. ~W1, ~W2)g ~X,0 . (10.47)N.B. : la dnition de Ct( ~X) dpend trs fortement du choix des mtriques sur (TS0) ~X et (TSt)~x.Soit le tenseur :C[t T 02 (S0) (10.48)associ Ct l'aide du thorme de Riesz : pour tout ~W1, ~W2 (TS0) ~X :C[t ( ~X)( ~W1, ~W2)df= (Ct( ~X). ~W1, ~W2)g ~X;0 , (10.49)encore not :C[~X;t(~W1, ~W2)df= (C ~X;t. ~W1, ~W2)g ~X;0 . (10.50)Et avec (10.47) et ~wi = Ft( ~X). ~Wi, on a :C[~X;t(~W1, ~W2) = g~x;t(~w1, ~w2) (= g~x;t(F ~X;t. ~W1, F ~X;t. ~W2)), (10.51)qui mesure les dformations relatives des vecteurs ~W1 et ~W2 aprs le mouvement ~.Proposition 10.10 C[t T 02 (S0) est le pull-back de la mtrique gt T 02 (St) par ~t :C[t = ~t gt, (10.52)Et C[t est une mtrique sur S0 qui ramne le calcul des dformes dans St un calcul sur laconguration de rfrence S0.59 12 janvier 201060 10. Tenseurs des dformationsPreuve. Par dnition du pull-back on a quand ~x = ~( ~X) :(~t gt) ~X( ~W1, ~W2) = g~x,t(d~t( ~X). ~W1, d~( ~X). ~W2) = g ~X;0(C ~X;t. ~W1, ~W2) = C[~X;t( ~W1, ~W2).Et C[t est bien le pull-back de gt par ~t.Puis C[~X;t est trivialement bilinaire symtrique, cf. (10.49), etC[~X;t(~W, ~W ) = g~x;t(F ~X;t. ~W,F ~X;t. ~W ) = ||F ~X;t. ~W ||2g(~x;t) > 0quand ~W 6= ~0 (car F ~X;t est inversible, ~ tant un mouvement) : C[~X;test un produit scalaire.N.B. : Ct( ~X) L((TS0) ~X ; (TS0) ~X) est un endomorphisme sur (TS0) ~X , et comme on dispose del'isomorphisme canonique L((TS0) ~X ; (TS0) ~X) ' L((TS0) ~X , (TS0) ~X; R), on identie Ct canonique-ment au tenseur Ct T 11 (S0) : l'isomorphisme est donn par `(Ct, ~X . ~W ) = Ct, ~X( ~W, `), et on noteC = C.10.2.8 Tenseurs des dformations C et C[ dans une base de (TS0) ~XOn reprend Ft donn par (10.32). On a pour J = 1, ...,m :Ct.~eJ;0 = FTt .(Ft.~eJ;0) =nk=1(Ft)kJ FTt .~bk;t =nk=1mI=1(Ft)kJ(FTt )Ik~eI;0.Ainsi :Ct =mI,J=1(Ct)IJ ~eI;0 eJ0 . (10.53)o :(Ct)IJ =nk=1(FTt )Ik(Ft)kJ . (10.54)Et comme [FT ] = [g0]1|e0 .[Ft]T .[gt]|bt , on a galement :[Ct] = [g0]1|e0 .[Ft]T .[gt]|bt .[Ft]. (10.55)Dans la base (~eI;0( ~X)) de (TS0) ~X , soit [C[t ] = [CIJ;t] la matrice de C[t :C[t =mI,J=1Ct;IJ eI0 eJ0 , (10.56)o donc Ct;IJ = C[t (~eI;0, ~eJ;0) = (Ct.~eI;0, ~eJ;0)g0 . Et avec (10.49) ou (10.51), on a :[C[t ] = [g0]|e0 .[Ct] soit Ct;IJ =mK=1gIK;0(Ct)KJ . (10.57)En eet C[(~eI;0, ~eJ;0) = (C.~eI;0, ~eJ;0)g0 =K CKI (~eK;0, ~eJ;0)g0 =K CKI gKJ;0 = ([C]T .[g0])IJ ,soit [C[] = [C]T .[g0]|e0 et la matrice [g0] est symtrique (de mme que [C] d'ailleurs).10.3 En temps : tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[sous l'hypothse mtrique euclidienne10.3.1 Ft (t, ~X)On a ~ : [0, T ] S0 Rn avec ~ C2, et donc :~V = ~t: [0, T ] S0 Rn, ~V (t, ~X) = ~t(t, ~X) not= ~Vt( ~X), (10.58)et ~V (t, ~X) a un sens, est appel la vitesse lagrangienne, et ~V C1.60 12 janvier 201061 10. Tenseurs des dformationsOn a Ft( ~X) = d~t( ~X) =not F (t, ~X) = d~(t, ~X) L((TS0) ~X : Rn) au sens F (t, ~X). ~W ( ~X) =d~t( ~X). ~W ( ~X) quand ~W TS0. Ainsi ~X x on dispose de F ~X : [0, T ] F ~X(t) = F (t, ~X) dniesur (TS0) ~X . Et donc :Ft(t, ~X) = d ~t(t, ~X) = d~V (t, ~X) L((TS0) ~X : Rn), (10.59)voir (10.20), au sens, pour tout ~W ~X (TS0) ~X :Ft(t, ~X). ~W ~X = d ~t(t, ~X). ~W ~X = d~V (t, ~X). ~W ~X , (10.60)sous l'hypothse ~ C2.10.3.2 (FT )t (t, ~X) et mtrique euclidienneOn dispose des mtriques g0 dnie dans S0 et gt dnie dans Rn St.On a Ft L((TS0) ~X ; Rn). On a FTt L(Rn; (TS0) ~X) dni pour tout ~W1( ~X) (TS0) ~X et tout~w2 Rn par :g ~X,0(FT (t, ~X). ~w2, ~W1( ~X)) = g~x,t(F (t, ~X). ~W1( ~X), ~w2), (10.61)quand ~x = ~(t, ~X). La drive en temps donne :(FTt(t, ~X). ~w2, ~W1( ~X))g ~X,0= (Ft(t, ~X). ~W1( ~X), ~w2)g~x,t +dg~x,tdt(F (t, ~X). ~W1( ~X), ~w2(t, ~x)).(10.62)Hypothse. On prend gt = (, )Rn la mtrique euclidienne de Rn (plus gnralement on peutconsidrer une mtrique constante dans le temps).N.B. : souvent on prend galement g0 = (, )Rn la mtrique euclidienne de Rn restreinte S0,autrement dit, on dispose du mme instrument de mesure (le produit scalaire euclidien) chaqueinstant dans Rn. (L'expression de ce produit scalaire dans une base dpendra nanmoins de la basechoisie qui pourra tre la base d'un systme de coordonnes.)Dans ce cas on a dg~x,tdt = 0 (la mtrique euclidienne ne dpend pas du temps), et (10.62) donne :(FTt.~w2, ~W1)g0 = (Ft. ~W1, ~w2)Rn = ((Ft)T . ~w2, ~W1)g0 , (10.63)pour tout ~W1 (TS0) ~X et ~w Rn, et donc, ayant choisi gt = (, )Rn la mtrique euclidienne,on a :FTt= (Ft)T . (10.64)10.3.3 Ct (t, ~X) et mtrique euclidienneOn a C(t, ~X) = FT (t, ~X).F (t, ~X) pour (t, ~X) [0, T ] S0 dni par, pour tout ~W1, ~W2 (TS0) ~X :(C. ~W1, ~W2)g0 = (F. ~W1, F. ~W2)gt . (10.65)D'o par drivation en temps :(Ct. ~W1, ~W2)g0 = (Ft. ~W1, F. ~W2)gt + (F. ~W1,Ft. ~W2)gt +dg(t, ~x)dt(F. ~W1, F. ~W2). (10.66)On reprend l'hypothse prcdente : gt = (, )Rn la mtrique euclidienne de Rn (constante). Etdonc :Ct=FTt.F + FT .Ft, (10.67)qui vaut 2 fois la partie symtrique de (FT .Ft ) grce (10.64). En particulierCt est symtrique.61 12 janvier 201062 10. Tenseurs des dformations10.3.4 C[t (t, ~X) et mtrique euclidienneOn a :C[t ( ~W1, ~W2) = (C. ~W1, ~W2)g0 (= (~gt)(~x)( ~W1, ~W2)), (10.68)et donc :C[t( ~W1, ~W2) = (Ct. ~W1, ~W2)g0 , (10.69)avec (10.67).Exprim avec la mtrique euclidienne dans St on a galement :C[t( ~W1, ~W2) = (F. ~W1,Ft. ~W2)gt + (Ft. ~W1, F. ~W2)gt . (10.70)10.3.5 Tenseurs des taux de dformation lagrangien D et D[ et mtrique euclidienneDnition 10.11 Le tenseur taux de dformation lagrangien est le tenseur Dt T 11 (S0) dnipar :Dt =12Ct(t) T 11 (S0), (10.71)au sens :D(t, ~X) =12Ct(t, ~X) not= Dt( ~X), (10.72)avec Dt( ~X) endomorphisme de (TS0) ~X qui est symtrique quand gt est la mtrique euclidienne.On lui associe le tenseur D[t T 02 (S0) l'aide du thorme de reprsentation de Riesz :D[t( ~W1, ~W2) = (Dt. ~W1, ~W2)g0 . (10.73)Et comme (Dt. ~W1, ~W2)g0 =12 (Ctt .~W1, ~W2)g0 =12t (Ct. ~W1, ~W2)g0 =12tC[t ( ~W1, ~W2)g0 =12C[tt ( ~W1, ~W2), on a :D[t =12C[tt(t) T 02 (S0). (10.74)10.4 Vitesse eulrienne ~v(t, ~x), et d~v(t, ~x)10.4.1 DnitionPosons :~V (t, ~X) = ~t(t, ~X) not= ~v(t, ~x), (10.75)quand ~x = ~(t, ~X), ~V tant la vitesse lagrangienne et ~v la vitesse eulrienne. Ainsi :~Vt : S0 Rn et ~vt : St Rn, (10.76)et donc :d~Vt( ~X) L((TS0) ~X ; Rn) et d~vt(~x) L((TSt)~x; Rn). (10.77)(Les variations spatiales le long des surfaces.)Comme ~V (t, ~X) = ~v(t, ~x) = ~v(t, ~(t, ~X)), soit encore :~Vt( ~X) = (~vt ~t)( ~X), (10.78)on a, quand ~x = ~(t, ~X) :d~V (t, ~X) = d~v(t, ~x).Ft( ~X). (10.79)Ainsi pour les ~W ( ~X) (TS0) ~X , quand ~w(t, ~x) = Ft( ~X). ~W ( ~X) = (~t ~W )( ~X) (push-forwardpar ~) :d~v(t, ~x). ~w(t, ~x) = d~V (t, ~X). ~W ( ~X) Rn. (10.80)Remarque 10.12 d~vt n'est pas un endomorphisme de Rn, sauf quand (TSt)~x = Rn i.e. quandSt est un ouvert de Rn. Et donc en gnral sa trace Tr(d~vt(~x)) = div(~vt(~x)) n'a pas de sens (latrace est un oprateur dnit sur les endomorphismes qui sont en particulier reprsents par desmatrices carres).62 12 janvier 201063 10. Tenseurs des dformations10.4.2 ~v[ et d~v[ et mtrique euclidienneOn a ~vt : St ~vt(~x) Rn, donc sa direntielle en ~x vrie :d~vt(~x) L((TSt)~x; Rn).Soit la forme bilinaire :(d~vt)[(~x) L((TSt)~x,Rn; R) (10.81)associ par Riesz d~vt(~x) relativement la mtrique gt(, ) : pour tout ~u(~x) (TSt)~x et tout~w Rn :(d~vt)[(~x)(~u(~x), ~w) = (d~vt(~x).~u(~x), ~w)g~x;t . (10.82)Pour ~x St, soit ~v[t(~x) L(Rn; R) = Rn la forme linaire associe par Riesz ~vt(~x) Rn :pour tout ~w Rn :~v[t(~x). ~w = (~vt(~x), ~w)g~x;t . (10.83)On a ainsi dni la forme direntielle ~v[t : St Rn. Sa direntielle en ~x vrie :d(~v[t)(~x) L((TSt)~x; Rn).Proposition 10.13 On a, quand gt est la mtrique euclidienne :d(~v[t)(~x) = (d~vt)[(~x) L((TSt)~x,Rn; R), (10.84)o on a utilis l'isomorphisme canonique L((TSt)~x; Rn) ' L((TSt)~x,Rn; R).Preuve. Avec (10.83), on a pour ~w Rn :~v[t(~x). ~w = g~x;t(~vt(~x), ~w),d'o pour tout ~u TSt :(d(~v[t)(~x).~u(~x)). ~w = (dg~x;t.~u(~x))(~vt(~x), ~w) + g~x;t(d~vt(~x).~u(~x), ~w),d'o avec (10.82) et dg = 0 pour la mtrique euclidienne (qui est une mtrique de Killing) :(d(~v[t)(~x).~u(~x)). ~w = (d~vt)[(~x)(~u(~x), ~w).Et on a l'identication (d(~v[t)(~x).~u(~x)). ~w = d(~v[t)(~x)(~u(~x), ~w) grce l'isomorphisme canonique.10.4.3 d~v et d~vTAyant d~vt(~x) L((TSt)~x; Rn), on a d~vTt (~x) L(Rn; (TSt)~x) dni par, pour tout ~u~x (TSt)~xet tout ~w Rn :(d~vTt (~x). ~w, ~u~x)g~x;t = (d~vt(~x).~u~x, ~w)g~x;t . (10.85)On dnit alors :(d~vTt )[(~x) L(Rn, (TSt)~x; R) (10.86)par :(d~vTt )[(~x)(~w, ~u~x) = (d~vTt (~x). ~w, ~u~x)g~x;t , (10.87)Et avec (10.84) on dnit le transpos ((d~vt)[)T (~x) L(Rn, (TSt)~x; R) par (comme le transposd'un tenseur(02)), pour ~w Rn et ~u~x (TSt)~x :((d~vt)[)T (~w, ~u~x) = (d~vt)[(~u~x, ~w) (10.88)Proposition 10.14 On a, mtrique euclidienne ou non :((d~vt)T )[ = ((d~vt)[)T .Preuve. Pour ~w Rn et ~u TSt :((d~vt)T )[(~w, ~u~x) = ((d~vt)T . ~w, ~u~x)g~x;t = (d~vt.~u~x, ~w)g~x;t = (d~vt)[(~u~x, ~w) = ((d~vt)[)T (~w, ~u~x).63 12 janvier 201064 10. Tenseurs des dformations10.5 ~v|| et divergence10.5.1 Divergence pour les volumes ou pour les surfaces qui glissent sur elles-mmesLa divergence de la vitesse eulrienne est une mesure de la compressibilit, voir cours prcdents.Pour les volumes, i.e. dans le cas o St est un ouvert de Rn, on a (TSt)~x = Rn et on ad~vt(~x) L(Rn; Rn) : l'oprateur d~vt(~x) est un endomorphisme de Rn.Une surface qui glisse sur elle-mme, cas St = S0, est donne par un mouvement ~t : S0 St = S0 qui vrie : la vitesse ~V (t, ~X) = ~t (t, ~X) = ~v(t, ~x) (TSt)~x (vitesse tangente la surface).Ainsi d~vt(~x) L((TSt)~x; (TSt)~x) : l'oprateur d~vt(~x) est un endomorphisme de (TSt)~x. D'o :Proposition 10.15 Dans le cas particulier o S0 = 0 et St = t sont des ouverts de Rn, on ad~vt(~x) endomorphisme de Rn, et dans le cas particulier o St = S0 (la surface glisse sur elle-mme),on a d~vt(~x) endomorphisme de (TSt)~x, la trace a un sens et vaut, lorsque gt(, ) est la mtriqueeuclidienne :Tr(d~vt(~x))not= div~vt(~x) = Tr(Ft(t, ~X).F (t, ~X)1)= Tr(D(t, ~X).C(t, ~X)1).(10.89)(La dernire galit pourra tre gnralise des mouvements quelconques de surfaces.)Preuve. Ici F (t, ~X) est considr comme un oprateur (TS0) ~X Im((TS0) ~X) = (TSt)~x eton dispose de son inverse F (t, ~X)1 : (TSt)~x (TS0) ~X . On applique (10.79), soit d~vt(~x) =d~V (t, ~X).F (t, ~X)1 = Ft (t, ~X).F (t, ~X)1 L((TSt)~x; (TSt)~x). D'o (10.89)1.Puis C = FT .F donne 2D = Ct =FTt .F + FT Ft , d'o :FT .2D.F1 = FT .FTt+Ft.F1 =Ft.F1 + (Ft.F1)T ,puisque gt(, ) est la mtrique euclidienne, cf. (10.64). Et Ft .F1 L((TSt)~x; (TSt)~x), d'o :Tr(Ft.F1) = Tr(FT .D.F1).Puis F1 = C1.FT , d'o FT .D.F1 = FT .D.C1.FT . D'o :Tr(Ft.F1) = Tr(FT .D.C1.FT ) = Tr(D.C1).En eet, rappel : qu'elle que soit le choix de la base (~ai) dans (TS0) ~X , une base (~bi) tant don-ne dans (TSt)~x = (TS0) ~X ici, et [P ] = [Pij ] tant la matrice de passage de (~ai) (~bi), on aTr(P1.A.P ) =ijk(P1)ijAjkPki =ijk(Pki (P1)ij)Ajk =jk kjAjk =k Akk = Tr(A) (la traceest intrinsque : ne dpend pas de l'observateur, soit ici ne dpend de la base). Ici P = FT .10.5.2 Dnition de ~v|| sur les surfacesL'oprateur somme d~vt+d~vTt n'a pas de sens en gnral sur les varits : d~vt(~x) L((TSt)~x; Rn)alors que d~vTt L(Rn; (TSt)~x). (Cela a un sens dans le cadre du paragraphe prcdent.)Soit St une surface dans Rn (une varit de dimension m = n1). tant donn un systme decoordonnes ~t sur St, on dispose du vecteur normal unitaire ~nt(~x) en tout ~x St. On dcomposealors ~vt suivant sa partie parallle et sa partie normale :~vt = ~vt || + vtn~nt (TSt)~xVect{~nt(~x)}, (10.90)o vtn(~x) =df n[t(~x).~vt(~x) = (~vt(~x), ~nt(~x))gt,~x est la projection sur la normale la surface relati-vement la mtrique gt sur (TSt)~x, et o ~vt || = ~vt vtn~nt. Et on note :~v = ~v|| + vn~n. (10.91)64 12 janvier 201065 10. Tenseurs des dformations10.5.3 Connexion ~v|| sur (TSt)~x, et tenseur des courbures(10.90) donne :d~vt(~x) = d~vt ||(~x) + dvtn(~x)~nt(~x) + vtn(~x) d~nt(~x), L((TSt)~x; Rn), (10.92)au sens, pour tout ~u(~x) (TSt)~x (avec notations allges) :d~v.~u = d~v||.~u+ (dvn.~u)~n+ vn d~n.~u. (10.93)D'o, pour tout ~u, ~w (TSt)~x, puisque (~n, ~w)gt = 0 :(d~v.~u, ~w)gt = (d~v||.~u, ~w)gt + vn (d~n.~u, ~w)gt .Comme ~vt || TSt, et on peut utiliser la connexion dnie en (2.11) : pour tout ~u (TSt)~x :(~vt ||.~u)(~x) = Proj(TSt)~x(d~vt ||(~x).~u(~x)), (10.94)not :~v||.~u = ProjTSt(d~v||.~u). (10.95)Et donc, avec k = d~n[ T 02 (St) le tenseur de courbure donn par (9.11) et K T 11 (St) l'endo-morphisme associ donn par (9.20), pour tout ~u, ~w (TSt)~x :(d~v.~u, ~w)gt = (~v||.~u, ~w)gt vn k(~u, ~w)= (~v||.~u, ~w)gt vn(K~u, ~w)gt(10.96)caractrise la projection de d~v.~u sur (TSt)~x, i.e. caractrise d~v[ sur (TSt)~x (TSt)~x.10.5.4 Divergence div||~v||Comme :~vt || L((TSt)~x; (TSt)~x) ' T 11 (St), (10.97)est un endomorphisme sur (TSt)~x. Et on peut dnir sa trace :div||~vt ||df= Tr(~vt ||) (10.98)Le transpos de ~v|| est aussi un endomorphisme sur (TSt)~x :(~vt ||)T L((TSt)~x; (TSt)~x) ' T 11 (St), (10.99)o, pour tout ~u, ~w (TSt)~x :((~vt ||)T . ~w, ~u)gt = (~vt ||.~u, ~w)gt (10.100)Et ainsi le symtris :~vt || + (~vt ||)T2 T 11 (St) (10.101)est bien dni, et :div||~vt || = Tr(~vt || + (~vt ||)T2). (10.102)10.5.5 D[t comme pull-backOn dnit les bmols :(~vt ||)[ T 02 (TSt), ((~vt ||)T )[ T 02 (TSt), (10.103)o, pour tout ~u, ~w (TSt)~x :(~vt ||)[(~u, ~w) = (~vt ||.~u, ~w)gt , ((~vt ||)T )[(~w, ~u) = ((~vt ||)T . ~w, ~u)gt . (10.104)Et par dnition des symtriques de tenseurs, on a :((~vt ||)T )[ = ((~vt ||)[)T (10.105)65 12 janvier 201066 10. Tenseurs des dformationsProposition 10.16 Quand gt est la mtrique euclidienne, le tenseur D[t T 02 (S0) est donn par :D[t = ~(~v[t || + (~v[t ||)T2 vtn kt), (10.106)pull-back, o kt = d~n[t est le tenseur des courbures sur (TSt)~x, cf. (9.11).Autrement dit, D[t( ~W1, ~W2) = (~v[t ||+(~v[t ||)T2 vtn kt)(~w1, ~w2) quand ~Wi (TS0) ~X et ~wi =F (t, ~X). ~Wi (TSt)~x, ou encore :(Dt ~W1, ~W2)g0 = ((~vt || + (~vt ||)T2 vtnKt). ~w1, ~w2)gt . (10.107)Preuve. On a dans T 11 (S0) :Ct=FT .Ft= d~V T .F + FT .d~V = FT .d~vT .F + FT .d~v.F = FT .(d~vT + d~v).F.Donc :(Ct. ~W1, ~W2)g0 = ((d~vT + d~v).F. ~W1, F. ~W2)gt = (d~vT + d~v)[(F. ~W1, F. ~W2)gt ,i.e. (10.106) avec (10.92) sachant (~nt(~x), ~w2)Rn = 0 o ~w2 = F. ~W2 (TSt)~x.Lemme 10.17 On a pour les reprsentations matricielles dans des bases donnes :[D].[C1] = [D[].[C[]1. (10.108)Preuve. On se xe une base en ~X dans (TS0) ~X ce qui permet d'avoir les reprsentations matri-cielles. La dnition de D[t donne [D[t ] = [Dt].[g0], et de mme [C[t ] = [Ct].[g0], les matrices tantsymtriques. D'o :[D].[C1] = [D[].[g0]1.[g0].[C[]1 = [D[].[C[]1.Corollaire 10.18 On a :Tr(Dt.C1t ) = div||~vt || vtnTr(Kt), (10.109)ainsi que :Tr([D[t ].[C[t ]1) = div||~vt || vtnTr(Kt). (10.110)Preuve. Notons :Zt =~vt || + (~vt ||)T2 vnKt, Tr(Zt) = div~vt || vnTr(Kt), (10.111)l'endomorphisme de (TSt)~x associ au membre de droite de (10.107). Ainsi (10.107) se rcrit :(D ~W1, ~W2)g0 = (Z.~w1, ~w2)gt = (Z.F. ~W1, F. ~W2)gt= (FT .Z.F. ~W1, ~W2)g0 ,et donc :D = FT .Z.F.Et donc :FT .D.F1 = Z. (10.112)Comme Tr(AB) =ik AikBki = Tr(BA), on a :Tr(Z) = Tr(D.F1.FT ) = Tr(D.C1), (10.113)puisque C = FT .F , d'o (10.109). D'o (10.110) l'aide de (10.108).66 12 janvier 201067 11. Conservation de la masseNotation. Comme C[t = ~gt est le pull-back de la mtrique gt, on peut utiliser la mtrique C[tsur S0 plutt que la mtrique g0. (On prend souvent g0 et gt les mtriques euclidiennes, et donc icion n'utilise pas la mtrique g0 sur S0 mais la mtrique ~gt.) Et la forme bilinaire D[t on peutalors associ l'endomorphisme Dt dni implicitement par :(Dt.~U1, ~U2)C[t = D[t(~U1, ~U2). (10.114)Comme matriciellement on obtient [D[t ] = [Dt][C[t ], et donc [D[t ].[C[t ]1 = [D], on obtient :Tr(Dt) = Tr([D[t ].[C[t ]1) not= TrC[(D[t)not= TrCt(Dt), (10.115)la trace TrC[(D[t) tant la trace de l'endomorphisme associ D[t au travers de la mtrique C[t =~gt (l'endomorphisme D). Et le rsultat (10.110) est rcrit :TrC[(D[t) = div||~vt || vtnTr(Kt). (10.116)Voir par exemple l'utilisation de cette notation dans Marsden et Hughes [9].11 Conservation de la masse11.1 Principe (ou loi) de conservation de la masse pour un volume11.1.1 PrincipeSoit t : ~X 0 ~x = t( ~X) = (t, ~X) t un mouvement dans Rn, o 0 et t sont desouverts de Rn. On note :F (t, ~X) = dt( ~X) L(Rn; Rn) et J(t, ~X) = det(F (t, ~X)) (11.1)la direntielle et le jacobien de t en ~X. Et Ft : ~X F (t, ~X) est appel le gradient de dformation(bien que ce soit une direntielle).Soit (t, ~x) la densit massique d'un objet occupant l'ouvert t l'instant t (en particulier(0, ~X) est la densit massique de l'objet occupant l'ouvert 0 l'instant 0). On suppose C.Loi de conservation de la masse : pour tout t [0, T ], pour tout ouvert A 0,~xt(A)(t, ~x) dx =~XA(0, ~X) dX (= constante du temps), (11.2)i.e. l'objet transport conserve sa masse au cours du temps.Proposition 11.1 Localisation. La loi de conservation de la masse s'crit, pour tout t [0, T ] ettout ~X 0 :(t, ~x) |J(t, ~X)| = (0, ~X), (11.3)quand ~x = (t, ~X).Preuve. On utilise la formule de changement de variables dans les intgrales :~x(A)(t, ~x) dx =~XA(t,(t, ~X)) |J(t, ~X)| dXavec (11.2). Et siBf(y) dy =Bg(y) dy pour tout B borlien, alors f = g, voir cours d'intgration(souvent vu sous la forme : si h est intgrable, siBh(y) dy = 0 pour tout B dans la tribu, alorsh = 0).67 12 janvier 201068 11. Conservation de la masse11.1.2 Conservation de la masse et divergenceOn note :~Vt( ~X) = ~V (t, ~X) =t(t, ~X) Rn (11.4)la vitesse lagrangienne dans t (et = ~t (t, ~X) sur t), et on note ~v(t, ~x) la vitesse eulrienne :~vt(~x) = ~v(t, ~x)df= ~V (t, ~X) Rn (11.5)quand ~x = t( ~X). Et ~vt Tt = T 10 (t) est un champ de vecteurs sur t de direntielled~vt T 11 (t).Proposition 11.2 Avec J(t, ~X) = det([Ft( ~X)]), on a pour ~X 0 quand ~x = t( ~X) :Jt(t, ~X) = div~v(t, ~x) J(t, ~X), (11.6)o ~v(t, ~x) = t (t, ~X) est la vitesse eulrienne.Preuve. On se donne une base (~aI( ~X)) en ~X et une base (~bi(~x)) en ~x = ( ~X), et on note [Ft( ~X)]la matrice de Ft( ~X) = d(t, ~X) dans ces bases.On applique (A.31) et (10.89) avec A(t) = [d(t, ~X)] et J = det(A).Corollaire 11.3 (Localisation bis.) Si, en ~x t l'instant t, la vitesse eulrienne est ~v(t, ~x) =~vt(~x), la loi de conservation de la masse s'crit en les points (t, ~x) [0, T ] t :ddt+ div~v = 0, (11.7)o ddt =t + d est la drive totale et div la divergence dans t. Et donc, avec les drivespartielles :t+ div(~v) = 0. (11.8)Preuve. t tant un diomorphisme, J est C, ne s'annule pas, et est positif (car l'est t = 0).D'o par drivation de (11.3) en temps :d(t,(t, ~X))dtJ(t, ~X) + (t,( ~X))Jt(t, ~X) = 0,ddt tant la drive totale, d'o (11.7) l'aide de (11.6) sachant J 6= 0. D'o avec ~x = (t, ~X), avec~V (t, ~X) = t (t, ~X) la vitesse lagrangienne, et avec les drives partielles :(t(t, ~x) + d(t, ~x).~V (t, ~X)) + (t, ~x) div~v(t, ~x) = 0,d'o (11.8) puisque ~v(t, ~x) =df ~V (t, ~X) quand ~x = (t, ~X), sachant div(~v) = d.~v + div~v.11.2 Conservation de la masse pour les surfacesIci St est une surface dans Rn (varit de dimension m) pour t [0, T ].11.2.1 Gradients de dformationsS0 est dforme en St par le mouvement ~t :~t : ~X S0 ~x = ~t( ~X) Rn, (11.9)ce qui dnit St = Im~t. Et on note F (t, ~X) = Ft( ~X) =df d~t( ~X) =not d~(t, ~X) la direntielleen espace de ~ appele gradient de dformation, avec donc :Ft( ~X) L((TS0) ~X ; Rn), (11.10)et Im(Ft( ~X)) = (TSt)~x.68 12 janvier 201069 11. Conservation de la masseSoit ~0 : U Rm S0 Rn un systme de coordonnes sur S0 de base (~bi;0 = d~0. ~Ei)i=1,...,m.Et soit :~t = ~t ~0 : U St. (11.11)Proposition 11.4 ~t est un systme de coordonnes sur St de base (~bi;t(~x))i=1,...,m en ~x = ~t( ~X)o :~bi;t(~x) = Ft( ~X).~bi;0( ~X).Preuve. ~t est un diomorphisme car compos de diomorphismes. Et ~bi;t(~x) = d~t(~q). ~Ei =d~t( ~X).~0(~q). ~Ei = Ft( ~X).~bi;0( ~X).Soit J(t, ~X) l'aire limite par les vecteurs ~bi;t(~x) dans (TSt)~x muni de la mtrique euclidienne.Cette aire est gal au volume de hauteur 1 dont la base est donne par ces vecteurs.Notons :Ft( ~X) L((TS0) ~X ; (TSt)~x), Ft( ~X)df= Ft( ~X), (11.12)la bijection permettant de considrer l'inverse Ft( ~X)1 L((TSt)~x; (TS0) ~X), et dont la matrice estune matrice carremm (alors que la matrice de Ft est une matrice nm). Ici t est ncessairementx et Ft (t, ~X) n'a pas de sens ( moins que m = n o que la surface glisse sur elle-mme pourque St = S = S0 pour tout [0, T ]).11.2.2 Mtrique euclidienne et airePour le moment on travaille t x.On suppose qu'on dispose d'une base (~ai;t(~x))i=1,...,m en chaque point ~x St, et qu'ainsi lavarit St est considre indpendamment d'un espace plus grand la contenant (ici Rn). Et ondispose de mme d'une base (~ai;0(~x))i=1,...,m en chaque point ~X S0. Ainsi :Ft( ~X) =mi,j=1Ftij ~ai,t(~x) ai0( ~X), (11.13)et [Ftij ] est la matrice carremm de Ft( ~X). Et le volume limit par des vecteurs ~ci;0( ~X) (TS0) ~Xpour i = 1, ...,m est transform en le volume limit par les vecteurs ~ci;t(~x) = Ft( ~X).~ci;0( ~X) (TSt)~x pour i = 1, ...,m donn par :det([~c1;t(~x)]|at , ..., [~cm;t(~x)]|at) = det([F (t, ~X)]) det([~c1;0( ~X)]|a0 , ..., [~cm;0( ~X)]|a0). (11.14)On pose :Jt( ~X) = det([F (t, ~X)]), (11.15)qui est le volume transport : si (~ci;0( ~X)) est une b.o.n. pour la mtrique euclidienne sur (TS0) ~X ,alors det([F (t, ~X)]) est le volume dans (TSt)~x limit par les vecteurs transports, volume indpen-dant de la b.o.n. choisie.11.2.3 Aire et tenseur des dformationsSoit Ct = FTt .Ft le tenseur des dformations.Lemme 11.5 On a :Ct( ~X) = Ft( ~X)T .Ft( ~X), (11.16)et pour gt la mtrique euclidienne sur (TSt)~x :Jt( ~X) = (det[C[t ( ~X)])12 . (11.17)Preuve. Pour ~U, ~W (TS0) ~X on a (Ct.~U, ~W )g0 = (FTt .Ft.~U, ~W )g0 = (Ft.~U, Ft. ~W )gt =(Ft.~U, Ft. ~W )gt = (FTt .Ft.~U, ~W )g0 .D'o C[t (~bi;0,~bj;0) = gt(~bi;t,~bj;t) = (~bi;t,~bj;t)Rn car on a impos la mtrique euclidienne, d'o[C[t (~bi;0,~bj;0)] = [[~bi;t]Tat .[~bj;t]at ] = ([Ft]T .[Ft])ij , d'o [C[t ] = [Ft]T .[Ft], d'o det[C[t ] = (det[Ft])2.69 12 janvier 201070 11. Conservation de la masseRemarque 11.6 On rappelle que C[t = ~t gt, donc que Jt( ~X) = (det[~t gt( ~X)])12 : donc le volumedpend exclusivement du pull-back de la mtrique gt par ~.Le tenseur des dformations Ct( ~X) est un endomorphisme de (TS0) ~X qui permet de se placersur la varit S0 de dimension m indpendamment de l'espace ambiant Rn. En particulier, commeprcdemment on note pour (t, ~X) [0, T ] S0 :Dt( ~X) =12Ct(t, ~X), (11.18)drivation temporelle dans S0.Proposition 11.7 On prend gt la mtrique euclidienne sur St. On a sur [0, T ] (TS0) ~X :Jt= J Tr(D.C1) = J Tr([D[].[C[]1). (11.19)Preuve. Avec (A.31) on a :d(det[C[t ])dt= det([C[t ]) Tr(d[C[t ]dt.[C[t ]1) = J2 Tr(2[D[t ].[C[t ]1).EtdJdt=d(det[C[t ])12dt=12(det[C[t ]) 12d(det[C[t ])dt.Puis on utilise (10.108).11.2.4 Conservation de la masse pour les surfacesSur les surfaces, la loi de conservation de la masse s'nonce, quand Jt = det(Ft( ~X)) :constante =~xSt(t, ~x) dx =~XS0(t, ~(t, ~X)) |J(t, ~X)| dX. (11.20)Faire le parallle avec (11.3).Comme F est un diomorphisme et F0 = I, on a J > 0 et les valeurs absolues sont redondantes.Proposition 11.8 La loi de conservation de la masse sur les surfaces s'nonce galement :(t, ~(t, ~X)) J(t, ~X) = (0, ~X), (11.21)et encore :ddt+ Tr([D[].[C[]1) = 0, (11.22)et donc :ddt+ div||~v|| + vnTr(K) = 0, (11.23)expression faisant intervenir le tenseur des courbures et la composante parallle (TSt)~x de lavitesse eulrienne.Preuve. (11.21) se dduit de (11.20) (ici on utilise Ft et non Ft), d'o (11.22) par drivation enutilisant (11.19). Puis on se sert de (10.109).70 12 janvier 201071 12. Transport de la normale une surface12 Transport de la normale une surface12.1 Transport d'une surface par le mouvement(Voir notes de cours mcanique : fonctions lagrangiennes et eulriennes..., qu'on prsentediremment ici.)On se place ici dans le cas St varit de dimension m = n1 dans Rn.On suppose disposer de la mtrique euclidienne (qu'on exprimera dans un systme de coordon-nes).Ici on s'intresse un objet sans paisseur occupant un domaine surfacique St0 Rn l'instant t0 et un domaine surfacique St Rn l'instant t. En ~x St l'instant t sa densitmassique est note (t, ~x) (densit surfacique) et sa vitesse eulrienne est note ~v(t, ~x) (dniedans tout Rn : l'objet se dplace dans l'espace, pas uniquement le long de la surface).La dicult rside dans les notations.Soit S0 une (hyper-) surface (de dimension n1) dans Rn qui se dplace dans Rn. Soit :~t :{S0 Rn St Rn~X 7 ~x = ~t( ~X),(12.1)le mouvement de la surface avec ~0 = I (l'identit). Pour ~X S0 et ~x St, on notera galement :~N( ~X) = ~n0( ~X) et ~n(~x) = ~nt(~x)les vecteurs unitaires normaux S0 en ~X et St en ~x.12.2 Gnralisation aux coquesDe manire pouvoir gnraliser les calculs aux coques dformables (ou surfaces paissesdformables), considrons que la surface St = ~(S0) est la bre moyenne d'un objet ayant unepaisseur : on dispose des ouverts 0 et t de Rn avec S0 0 et St t, et on dispose d'unmouvement, pour t [0, T ] :t :{0 t~X 7 t( ~X) t.q. ~X S0, t( ~X) = ~t( ~X),(12.2)avec 0 = I. Et on pose, pour tout ~X 0 :Ft( ~X)df= dt( ~X) (12.3)le gradient de dformation.Exemple 12.1 Soit S0 donne, soit > 0 donn, et soit :0 = {~Y = ~X + h ~N( ~X) , ~X S0, h ] , [}.(0 est d'paisseur 2.) Soit la fonction t :t :{0 t~Y 7 t(~Y ),dnie par, pour tout ~X S0 et tout h ] , [, notant ~x = ~t( ~X) :t( ~X + h ~N( ~X)) = ~t( ~X) + h~n(~t( ~X)) = ~x+ h~n(~x). (12.4)C'est un mouvement de coque o S0 est la bre moyenne, mouvement qui conserve la normale la bre moyenne : on a dt( ~X). ~N( ~X) = limh0t( ~X+h ~N( ~X))t( ~X)h = ~n(~x), i.e. le transport dela normale en ~X donne la normale en ~x.(Un mouvement de coque quelconque ne conserve pas la normale la bre moyenne.)71 12 janvier 201072 12. Transport de la normale une surface12.3 Transport des vecteurs de base tangents et de la normaleSoit t donn en (12.2) (dduit de ~t).On se donne :~0 :{U Rn1 S0 Rn~q 7 ~X = ~0(~q)un systme de coordonnes sur S0. Et on prend comme systme de coordonnes sur St le systmedonn par :~t = ~t ~0 :{U Rn1 St Rn~q 7 ~x = ~t(~q) = ~t( ~X).La base du systme de coordonnes sur la surface St est (~et;i(~x))i=1,...,n1 en ~x = ~t(~q) o :~et;i(~x) = d~t(~q). ~Ei = d~t(~q).~e0;i( ~X), (12.5)i.e. la base du systme de coordonnes ~0 est transporte par le mouvement ~t en la base dusystme de coordonnes ~t. Et la base duale est (eit(~x) = dqit(~x))i=1,...,n1 au point ~x = ~t(~q).Comme t restreint S0 est gale ~t, cf. (12.2), on a aussi :~et;i(~x) = dt( ~X).~e0;i( ~X), pour i = 1, ..., n1, (12.6)Proposition 12.2 On a quand ~x = ~t( ~X) St et Ft( ~X) = dt( ~X) :~nt(~x) =Ft( ~X)T .~n0( ~X)||Ft( ~X)T .~n0( ~X)||. (12.7)Attention : la normale n'est pas transporte par le mouvement en un vecteur normal (et unitaire),sauf dans le cas trs particulier de mouvements comme dans l'exemple 12.1 (surface paisse dontla dformation conserve la normale la bre moyenne).Preuve. La forme normale la surface S0 en ~X est donne par, pour tout ~V Rn :`0( ~X).~V = det(~e0;1( ~X), ..., ~e0;n1( ~X), ~V ).La forme normale la surface St en ~x est donne par, pour tout ~v Rn, notant ~v = Ft( ~X).~V :`t(~x).~v = det(~et;1(~x), ..., ~et;n1(~x), ~v)= det(Ft( ~X).~e0;1( ~X), ..., Ft( ~X).~e0;n( ~X), Ft( ~X).~V )= det(Ft( ~X)) det(~e0;1( ~X), ..., ~e0;n( ~X), ~V )= det(Ft( ~X))`0( ~X).~V .D'o pour les vecteurs associs par le thorme de reprsentation de Riesz l'aide des mtriques gtsur St et g0 sur S0, cf. (5.10), pour tout ~v Rn t.q. ~v = Ft( ~X).~V :gt,~x(~t(~x), ~v) = det(Ft( ~X)) g0 ~X(~0( ~X), ~V )d'o, pour tout ~V Rn :g0, ~X(FTt ( ~X).~t(~x), ~V ) = g0 ~X(det(Ft( ~X))~0( ~X), ~V ).D'o :Ft( ~X)T .~t(~x) = det(Ft( ~X))~0( ~X).D'o (12.7) par normalisation des ~.72 12 janvier 201073 A. Rappels : dterminants12.4 Relation entre les lments d'aireOn se replace sur nos surfaces S0 et St (les bres moyennes).Proposition 12.3 Lorsque la mtrique choisie est la mtrique euclidienne dans Rn : en ~x = ~t( ~X),pour tout ~V1, ..., ~Vn1 T (S0) ~X , notant ~vi = Ft( ~X).~Vi T (St)~x pour i = 1, ..., n1, et notantJt( ~X) = det(Ft( ~X)), on a :dt(~x)(~v1, ..., ~vn1) = |Jt( ~X)| ||Ft( ~X)T . ~N( ~X)|| d0( ~X)(~V1, ..., ~Vn1). (12.8)D'o, pour toute fonction ft : St R intgrable :~xStft(~x) dt(~x) =~XS0ft(t( ~X))|Jt( ~X)| ||Ft( ~X)T . ~N( ~X)|| d0( ~X). (12.9)Preuve. Soit ~M = F1t .~n (le pull-back de ~n par ~t), avec donc ~n = Ft. ~M . Avec (12.7) on a(projection de ~W sur Vect{ ~N}) :N [. ~M = g0, ~X( ~M, ~N) = g0, ~X(F1t .~n, ~N) = gt,~x(~n, FTt . ~N) = ||FTt . ~N || gt,~x(~n, ~n),ce avec gt,~x(~n, ~n) = 1. D'o ~M = ||FTt . ~N ||. ~N + ~M|| avec ~M|| (TS0) ~X qui est orthogonal ~Npour le produit scalaire euclidien.D'o, pour tout ~v1, ..., ~vn1 (TSt)~x vecteurs indpendants (sinon on aura 0 = 0), avec ~Vi =F1t .~vi (TS0) ~X (les pull-back) :dt(~x).(~v1, ..., ~vn1) = det(~v1, ..., ~vn1, ~n)= det(Ft.~V1, ..., Ft.~Vn1, Ft. ~M)= det(Ft) det(~V1, ..., ~Vn1, ~M)= det(Ft) det(~V1, ..., ~Vn1, ||FTt . ~N || ~N),(12.10)puisque ~M|| est combinaison linaire des ~Vi et n'intervient pas dans le dterminant, d'o (12.8).D'o (12.9).Exemple 12.4 En particulier quand est donn par (12.4) avec donc Ft( ~X)T . ~N( ~X) = ~n(~x)(normale transporte par ), on a :dt(~x)(~v1, ..., ~vn1) = |Jt( ~X)| d0( ~X)(~V1, ..., ~Vn1). (12.11)A Rappels : dterminantsSoit E un espace vectoriel de dimension m de dual E = L(E; R).A.1 Forme multilinaire alterneUne forme p-linaire (linaire, bilinaire et trilinaire quand p = 1 et 2 et 3) est une applicationz : (~v1, ..., ~vp) Ep R qui est linaire par rapport chaque ~vi :z(..., ~vi1, ~vi + ~u,~vi+1, ...) = z(..., ~vi1, ~vi, ~vi+1, ...) + z(..., ~vi1, ~u,~vi+1, ...),pour tout R, tout ~u E et tout ~vi E pour tout i = 1, ..., p.Elle est dite alterne ssi :z(~v1, ..., ~vi, ..., ~vj , ..., ~vp) = z(~v1, ..., ~vj , ..., ~vi, ..., ~vp) (A.1)pour tout ~vi E pour tout i, j = 1, ..., p. Ou de manire quivalente ssi z(~v1, ..., ~vp) est nulle dsque deux des ~vi sont gaux.73 12 janvier 201074 A. Rappels : dterminantsSoit Sp l'ensemble des bijections de {1, ..., p} dans lui-mme, une telle bijection tant appeleune permutation. Une transposition est une permutation Sp qui change deux entiers :i 6= j, (i) = j, (j) = i, et (k) = k pour tout k 6= i, j. Toute permutation est compose detranspositions, et la signature () d'une permutation est 1 si elle est compose d'un nombre pairde transpositions et 1 sinon.Si z est p-linaire, alors la forme p-linaire za dnie par :za(~v1, ..., ~vp) =Spz(~v1 , ..., ~vp) (A.2)est une forme p-linaire alterne appele antisymtrise de z.Soit p formes linaires `p, ..., `p E. Le produit tensoriel de ces p formes est l'applicationmultilinaire `1 ... `p : Ep R dnie par :(`1 ... `p)(~v1, ..., ~vp)df=pi=1`i.~vi (= `1(~v1)...`p(~vp)). (A.3)Le produit extrieur `1 ... `p de ces p formes est la partie alterne de `1 ... `p, i.e. avec lanotation (A.2) : `1 ... `p =df (`1 ... `p)a, soit :`1 ... `p =Sp`p ... `p , (A.4)i.e. pour tout ~vi :(`1 ... `p)(~v1, ..., ~vp) =Sp()pi=1`i.~vi . (A.5)Exemple A.1 Dans R2 muni de sa base canonique ( ~Ei) de base duale (dxi), on a :dx1 dx2 = dx1 dx2 dx2 dx1,avec donc (dx1 dx2)(~v1, ~v2) = aire du paralllogramme de cts ~v1 et ~v2.A.2 Forme m-linaire alterne et dterminant detBProposition A.2 Si p = m (la dimension de E) alors l'ensemble Am(E) des formes m-linairesalternes est de dimension 1. D'o si B = (~bi)i=1,...m est une base de E de base duale (bi)i=1,...m,alors b1 ... bm est une base de Am(E) et :(b1 ... bm)(~b1, ...,~bm) = 1. (A.6)Donc si z est une forme m-linaire alterne alors il existe R tel que :z = b1 ... bm, savoir = z(~b1, ...,~bm).Preuve. (bi) tant la base duale, avec (A.5) on a immdiatement (A.6).Soit z une forme m-linaire alterne. Une telle forme est entirement dtermine par ses valeurssur les vecteurs de base, i.e. par les z(~b1 , ...,~bm) pour toute permutation Sm. Toute permu-tation est compose de transposition, et donc, z tant alterne, z est dtermine z(~b1 , ...,~bm) o est croissante, donc avec l'identit : z est dtermine par z(~b1, ...,~bm) =not .Dnition A.3 Le dterminant detB relativement la base B est la forme m-linaire alternedans E espace de dimension m donn quand = 1 :detBdf= b1 ... bm. (A.7)74 12 janvier 201075 A. Rappels : dterminantsCorollaire A.4 Si C = (~ci) est une autre base, il existe R tel que :detB= detC, (A.8) savoir = detB(~c1, ...,~cm).N.B. : si > 0 on dit que les bases ont mme orientation.Soit (~vj)j=1,...,m m vecteurs dans E. Soit (vij)i=1,...,m les composantes de ~vj dans la base B :~vj =mi=1vij~bi = v1j...vmj|B.Alors [vij ] est la matrice des composantes, et :detB(~v1, ..., ~vm)not= detB[vij ]. (A.9)A.3 Dterminant detB(L) d'un endomorphismeDnition A.5 Soit L L(E) un endomorphisme de E et B = (~bi)i=1,...m une base de E de baseduale (bi)i=1,...m. On dnit le dterminant detB(L) par :detB(L) df= detB(L.~b1, ..., L.~bm). (A.10)Soit les rels :Lijdf= bi.(L.~bj), (A.11)et [L] = [Lij ] appele la matrice de L relativement la base B. Autrement dit on a pos L =mi,j=1 Lij~bi bj . On note :detB(L) not= detB[Lij ]. (A.12)A.4 Dterminant det(L) (volume algbrique) dans RmOn se place dans Rm muni de sa base canonique ( ~Ei), et on note (dxi) sa base duale.Dnition A.6 Le dterminant dans Rm est le dterminant det(~Ei) o (~Ei) est une base cano-nique. On note :det = dx1 ... dxm. (A.13)Et le dterminant est appel volume algbrique.Exemple A.7 Dans R2 on a dx1 dx2 = dx1 dx2 dx2 dx1. Si (~b1,~b2) est une base donnepar ~bj =i ij~Ei, on a det(~b1,~b2) = 1122 1221 6= 1 en gnral.Dnition A.8 Si L L(Rm) est un endomorphisme de Rm on note :det(L) = det(L. ~E1, ..., L ~Em) = det[Lij ] = det[L], (A.14)o on a not L =ij Lij~Ei dxj .A.5 Dterminant det d'une matriceDe manire gnrale, si [A] = [aij ] est une matrice, on la considre comme tant la matrice del'endomorphisme A L(Rm) :A =ijaij ~Ei dxj (A.15)exprim dans la base canonique, et le dterminant de la matrice est par dnition :det[aij ] = det(A). (A.16)Remarque A.9 Dans un espace vectoriel de dimension m, il n'y a pas de base canonique engnral : la base canonique n'a de sens que dans un espace produit comme R ... R o unvecteur de la base canonique est l'un des vecteurs (1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1) de R ... R.Par exemple dans un plan inclin dans R3, il n'y a pas de base canonique, comme dans lesespaces tangents (TSt)~x.75 12 janvier 201076 A. Rappels : dterminantsA.6 Calculs par rcurrence des dterminants de matrices : mineurs etcofacteursOn s'intresse au calcul de dterminant de matrices A = [aij ]i,j=1,...,m. On considre l'endomor-phisme de Rm associ cette matrice relativement la base canonique, cf. (A.15).Dnition A.10 Soit M ij la matrice m1m1 dduite de A en supprimant la i-me ligne et laj-me colonne. Cette matrice peut-tre considr comme la matrice d'un endomorphisme de Rm1dans la base canonique de Rm1.Les mineurs de A sont les dterminants mij = det(Mij).Dnition A.11 Le cofacteurs sont les :cij = (1)i+1mij . (A.17)La matrice des cofacteurs est la matrice C = [cij ] i=1,...,mj=1,...,m.Proposition A.12 Le dterminant de A est donn par exemple par le dveloppement par rapport la premire colonne :det(A) =mi=1(1)i+1 ai1mi1 =mi=1ai1 ci1 = (A.CT )11 = (C.AT )11, (A.18)o CT = [cji ] i=1,...,mj=1,...,mest la matrice transpose de C.Et de mme, en dveloppant par rapport la j-me colonne pour j [1,m]N quelconque :det(A) =mi=1aij cij = (A.CT )jj = (C.AT )jj . (A.19)Preuve. Le dterminant est une forme multi-linaire alterne sur les colonnes, et donc det(A) =det(~a1, ...,~am) =i ai1 det( ~Ei, ...,~am) =i ai1 det( ~Ei,~a2a12 ~Ei...,~ama1m ~Ei) =i ai1ci1.Exemple A.13 Dans R3 on trouve :det a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 = a11 det( a22 a23a32 a33) a21 det(a12 a13a32 a33)+ a31 det(a12 a13a22 a23).A.7 det(A) = det(AT )Si A = [aij ] i=1,...,mj=1,...,m, sa matrice transpose est AT = [aji ] i=1,...,mj=1,...,m.Donc si C est la matrice des cofacteurs de A, alors CT est la matrice des cofacteurs de AT .D'o :Proposition A.14 On a :det(AT ) = det(A). (A.20)Preuve. Avec (A.19) on a det(A) = 1mij aijcij =1mij aji cji = det(AT ).A.8 det([L].[M ]) = det([L]) det([M ])Proposition A.15 Si [L] et [M ] sont deux matrices mm alors :det([L].[M ]) = det([L]) det([M ]), (A.21)i.e. le dterminant du produit est le produit des dterminants.En particulier si [L] est inversible alors :det([L]1) = (det[L])1. (A.22)Preuve. Dmonstration par rcurrence sur la dimension de l'espace l'aide la dnition A.10 etde (A.19).76 12 janvier 201077 A. Rappels : dterminantsA.9 Cofacteurs et inverse d'une matriceProposition A.16 On a, I tant la matrice identit de Rm :A.CT = C.AT = det(A) I, (A.23)et donc quand A est inversible :A1 =1det(A)CT . (A.24)Preuve. Terme diagonal :(A.CT )ii =mj=1aijcij = det(A),cf. (A.19).Terme extra diagonal, j 6= i. Pour la lisibilit prenons i = 1 et j = 2 (idem pour les autrescas). Soit alors B dont les deux premires colonnes sont identiques et gales la premire colonnede A, et dont toutes les autres colonnes sont celles de A : on a donc pos bi1 = bi2 = bi1 pourtout i = 1, ...,m et bij = bij pour tout i = 1, ...,m et tout j = 3, ...m). Deux colonnes de B tantidentiques on a detB = 0, et les cofacteurs ck2 sont donc les mmes pour A et pour B (toutes lescolonnes sauf la deuxime sont gales). D'o :(A.CT )12 =mk=1a1kc2k =mk=1b1kc2k =mk=1b2kc2k = det(B.CT ) = det(B) det(CT ) = 0.D'o (A.23), d'o (A.24).A.10 Dterminant det et produit scalaire euclidienOn se place dans Rm muni de sa base de son produit scalaire euclidien, et on prend une baseorthonorme B = (~bi) (relativement au produit scalaire euclidien), et on note (bi) sa base duale.Proposition A.17 Le dterminant est indpendant du choix de la base orthonorme de mmeorientation :detB= det quand B est une b.o.n. oriente positive (A.25)Preuve. Il s'agit de montrer que b1 ... bm = dx1 ... dxm.On a (b1 ... bm)(~b1, ...,~bm) = 1.On a (dx1 ... dxm)(~b1, ...,~bm) = (dx1 ... dxm)(L. ~E1, ..., L. ~Em) = det(L) o L est l'endo-morphisme de changement de base.Soit P la matrice de L donn par L =mi,j=1 Pij~Ei dxj , o donc ~bj = L. ~Ej =mi=1 Pij~Ei.Par hypothse (~bi) est orthonorme, soit (~bi,~bj)Rm = ij , d'o ij =k` Pki P`j ( ~Ek, ~E`)Rm =k` Pki P`j k` =k Pki Pkj = (PT .P )ij , d'o PT .P = I. D'o (detP )2 = 1, d'o detP = 1 cardetP > 0, les bases ayant mme orientation.A.11 Dterminant detB et produit scalaireSoit g(, ) = (, )g un produit scalaire, soit (~bi)i=1,...m une base, et soit [g]B = [gij ] = [g(~bi,~bj)]la matrice de g dans la base (~bi). En d'autres termes g =ij gij bi bj . Et si ~v =k vk~bk et~w =` w`~b` sont deux vecteurs exprims sur la base (~b), on a :g(~v, ~w) =k`vkv`gk` = [~v]TB .[g]B .[~w]B .Si ~vi =mk=1 vki~bk pour i = 1, ...,m sontm vecteurs exprims sur la base B, on note [V ]B = [vij ]B lamatrice dont les colonnes sont les composantes des ~vj dans la base (~bi). On obtient matriciellement :[g(~vi, ~vj)] i=1,...,mj=1,...,m= [V ]TB .[g]B .[V ]B ,77 12 janvier 201078 A. Rappels : dterminantsd'o pour les dterminants de matrices :det[g(~vi, ~vj)] = det[g]B .(det[V ]B)2.Si de plus (~bi) est une base directe relativement g(, ), i.e. si det[g] > 0, et si les (~vi) forment unebase oriente positivement, i.e. si det[g(~vi, ~vj)] > 0, on en dduit :detB(~v1, ..., ~vm) =det[g(~vi, ~vj)]det[g]B(= det[V ]B), (A.26)expression gnrique utilise par exemple dans le cas de la mtrique euclidienne exprime dans unsystme de coordonnes ~.Proposition A.18 Si C = (~ci) est une base quelconque on a :detC=1det[g]Cdet =1|detP |det . (A.27)o P est la matrice de passage d'une base orthonorme B = (~bi) C, i.e. ~cj =i Pij~bi.Preuve. (A.26) donne detC(~b1, ...,~bm) =det[g(~bi,~bj)]det[g]C= 1det[g]Cquand B = (~bi) est une baseorthonorme.Quand P est la matrice de changement de base, ~cj =i Pij~bi, soit P ij = bi.(~cj) pour touti, j, on a [g]C = PT .[g]B .P car g(~ci,~cj) = g(P.~bi, P.~bj) =k` Pki P`j g(~bk,~b`), d'o det[g]C =(detP )2 det[g]B avec ici B orthonorme.Exemple A.19 Dans R2, le volume limit par le paralllogramme de cts donns par les vecteurs~v et ~w est |det(~v, ~w)|. En cartsien, on a :det = dx1 dx2 = dx1 dx2 dx2 dx1 (A.28)(antisymtrique), et donc det(~v, ~w) = v1w2 v2w1 quand ~v = v1 ~E1 + v2 ~E2, et ~w = w1 ~E1 +w2 ~E2.En particulier, det( ~E1, ~E2) = 1 = (dx1 dx2)( ~E1, ~E2) = (dx1 dx2 dx2 dx1)( ~E1, ~E2) = 1est le volume (ici l'aire) du quadrangle limit par les vecteurs de base canonique ; etEt si on change l'ordre des vecteurs, on obtient par exemple det( ~E2, ~E1) = 1. Et le volumelimit par ~E2 et ~E1 est donn par la valeur absolue du dterminant.Exemple A.20 Et en polaire, avec P =(cos r sin sin r cos )la matrice de changement de base,on a J~ = detP = r et doncdet = dx1 dx2 = r dr d = r(dr d d dr), (A.29)et donc det(~v, ~w) = r(vrw vwr) quand ~v = vr~e1 + v~e2 et ~w = wr~e1 + w~e2. Les formules dechangement de base donnent eectivement(vrv)= P1(v1v2)avec P1 =(cos sin sin rcos r)etdonc(vrv)=(cos v1 + sin v21r ( sin v1 + cos v2). Et on trouve bien : r(vrw vwr) = v1w2 v2w1.Ici g =(1 00 r2),det[g] = r =det[g(~ei, ~ej)]En particulier, (r dr d)(~e1, ~e2) = r (dr d d dr)(~e1, ~e2) = r est le volume (ici l'aire)limit par les deux vecteurs (de base du systme) orthogonaux ~e1 et ~e2 de longueur respective 1et r.Exemple A.21 Sur la sphre de R3, la mtrique euclidienne dans la base du systme sphriquea pour matrice [g] =(g(~e2, ~e2) g(~e2, ~e3)g(~e3, ~e2) g(~e3, ~e3))=(R2 cos2 00 R2), cf. (3.4). D'odet[g] =R2 cos.Exemple A.22 Sur la sphre de R3, pour la base normalise (~f1, ~f2) o ~f1(~x) = ~e2(~x)R cos et ~f2(~x) =~e3(~x)R , la matrice de g est [g] =(g(~f1, ~f1) g(~f1, ~f2)g(~f2, ~f1) g(~f2, ~f2))=(1 00 1)= I, autrement dit (~f1, ~f2) estorthonorme pour g(, ). D'odet[g] = 1. Cette base normalise est trs utilise pour les calculsde surface.78 12 janvier 201079 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsA.12 Drive d'un dterminantLemme A.23 Soit A(t) = [aij(t)] i=1,...,mj=1,...,mune fonction matricielle C1([0, T ]; Rm2).Soit [cij(t)] = (detA)[(A1)ji ] la matrice des cofacteurs de A(t). On a :d(detA)dt=mi,j=1daijdtcij = det(A)mi,j=1daijdt(A1)ji , (A.30)soit :d(detA)dt= det(A) Tr(dAdt.A1). (A.31)Preuve. Soit ~aj Rm le vecteur dont les composantes dans la base canonique sont stockes dansla j-me colonne de A : [~aj ] = aij...amj. Ainsi det(A) = det(~a1, ...,~am). Comme det est une formemultilinaire alterne on a :d(det(A))dt= det(d~a1dt,~a2, ...,~am) + ...+ det(~a1,~a2, ...,d~amdt).Le j-me terme de la somme dvelopp par rapport la j-me colonne donne :det(~a1, ...,~aj1,d~ajdt,~aj+1, ...,~am) =mi=1daijdtcij ,et on fait la somme : d(detA)dt =mi,j=1daijdt cij .Remarque A.24 (A.31) est une relation matricielle, et la trace est ici la somme des termesdiagonaux de la matrice.On rappelle cependant que la trace est par dnition un oprateur qui agit sur les endomor-phismes, qu'une matrice A carre peut toujours tre considre comme tant la matrice d'unendomorphisme, et que la valeur de la trace est alors indpendante de la base choisie : notant Pla matrice de passage d'une base dans une autre et Q = P1 on aTr(QAP ) =ik`QikAk`P`i =k`(PQ)`kAk` =kAkk = Tr(A),la formule de changement de base A P1AP tant vraie pour les endomorphismes (ou lestenseurs T 11 ).B Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelquesnotionsAppel calcul de Cartan, cf. Cartan [3].Ici on dira qu'une paramtrisation est rgulire si elle est injective et au moins C2 (on aurabesoin de la normale).Le but est d'introduire les varits sans rfrence un espace plus grand : par exemple onrelativit gnrale, nous vivons sur la varit espace-temps de dimension 4, varit qui n'est pasun espace vectoriel (c'est une surface) et qu'on ne veut pas considrer comme sous-ensemble d'unespace vectoriel plus grand (de dimension 5).On renvoie un cours de gomtrie direntielle pour une prsentation complte. Ici on ne faitqu'une introduction.79 12 janvier 201080 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsB.1 Dnitions : varits, cartes, atlasJusqu' prsent on a considr une paramtrisation ~ : U S de la surface S (la gomtrie).Ici on considre l'inverse ~ = ~1 : S U . Et on notera S =M (Manifold en anglais).En particulier, avec les notations prcdentes, on pourra avoir M = un ouvert de Rn oubienM = S une surface dans Rn. Dans tous les cas,M sera notre ensemble gomtrique, qu'onva essayer de cartographier (i.e. de reprer les points de cet ensemble par exemple l'aide decoordonnes polaire, cartsiennes, sphriques...)Remarque B.1 Attention ! En gomtrie direntielle, ~ est appel un systme de coordonnes.Alors qu'en mcanique, le systme de coordonnes c'est ~ = ~1 ! Ici la fonction : ~x ~q envoieun point gomtrique ~x vers sa reprsentation en coordonnes paramtriques ~q.Soit doncM un ensemble de points dans Rn. On va dnir la notion de M varit de dimen-sion p.Dnition B.2 Une carte locale surM est une bijection ~ : S U , o S un sous-ensemble deMet U est un ouvert de Rp, la carte tant alors note (S, ~).Dnition B.3 Un atlas sur M est une collection de cartes locales {(Si, ~i); i I}, o I est unensemble donn, telle que :1-M =iI Si, et2- toutes les cartes sont compatibles entre elles, i.e. si (Si, ~i) et (Sj , ~j) sont deux cartes tellesque SiSj 6= alors ~j ~1i est un diomorphisme C l o il a un sens, i.e. de l'ouvert~i(SiSj) Rp sur l'ouvert ~j(SiSj) Rp.Dnition B.4 SiM peut tre muni d'un tel atlas, on dit queM est une varit de dimension p.Exemple B.5 Le cercle centr en ~0 de rayon R dans R2 peut tre muni des deux cartes ~i = ~1i :~x = (x, y) Si ~q() Ui o ~i() = (R cos ,R sin ) o U1 =] , [ (ouvert qui exclut lepoint ~x = (R, 0) S) et pour U2 =]0, 2[ (ouvert qui exclut le point ~x = (0, R) S). Ces deuxcartes (S1, 1) et (S2, 2) forment un atlas du cercle, et le cercle est une varit de dimension 1.Par exemple pour ] 2 ,2 , [, on a 1(x, y) = arctan(yx ) = (x, y).Exemple B.6 M est la France, Si une rgion de France cartographier, et Ui est la photo prised'un avion, ~i est une carte locale, et l'atlas est donn par un atlas routier (ici l'atlas routier estl'ensemble des images Ui = ~i(Si)).Exemple B.7 Une hyper-surface S dans Rn est une varit de dimension n1. Exemple de lasphre dans R3.Exemple B.8 Projection strographique. On considre la sphre S2 = S(0, R) = M de R3centre en 0 de rayon R, laquelle on enlve le ple nord. Pour ~x un point de cette sphre, ontrace une droite qui passe par ~x et le ple nord, et on prend ~1 : ~x ~q = (u, v) R2 l'intersectionde cette droite avec le plan z = 1. Ici S1 = S2 {ple nord}, la carte est (S1, ~1), et U = R2.(On appelle galement projection strographique la projection prcdente ou on remplace leplan d'quation z = 1 par le plan d'quation z =constante).Si on veut disposer du ple nord, on fait la construction symtrique partir du ple sud. Al'aide des deux cartes ainsi dnies, on a recouvert la sphre : ces deux cartes forment un atlas.Exemple B.9 Un point ~x de la sphreM = S2 = S(0, R) de R3 centre en 0 de rayon R, laquelleon a enlev les ples et le mridien de Greenwich, ensemble not S, peut tre repr par (, ) U(longitude-latitude) avec U =]0, 2[] 2 ,2 [ ouvert de R2, i.e. on pose ~ : ~x ~(~x) = (, ).A l'aide des coordonnes sphriques, ~r : (, ) ~r(, ) = ~x =R cos cosR sin cosR sin, et on a~ = ~r1 : ~x ~r1(~x), et ~ : S U est une carte dansM.80 12 janvier 201081 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsB.2 Orientation d'une surfaceSoit ~1 = ~ : U Rn1 S Rn une paramtrisation locale rgulire de M.Soit (~ei(~x))i=1,...,n1 la base image de la base canonique ( ~Ei)i=1,...,n1 de Rn1 par ~, i.e.~ei(~x) = d~(~q). ~Ei quand ~x = ~(~q). (En d'autres termes (~ei(~x))i=1,...,n1 est la base du systmede coordonnes ~.)Dnition B.10 Soit ~ : ~r V Rn1 S Rn une seconde paramtrisation locale rgulirede S. On dit que ~ et ~ dnissent la mme orientation locale de S ssi le changement de param-trisation ~1 ~ : ~q U ~r V est de jacobien positif, i.e. ssi det(d(~1 ~)(~q)) > 0 pour tout~q U .(Noter que [d~(~q)] est une matrice n (n1), alors que [d(~1 ~)(~q)] est une matrice carre(n1) (n1).)Exemple B.11 Dans R2, soit S le cercle de rayon R ( un point prs) paramtr par ~ : ]0, 2[ ~x = R(cos sin ). Par convention, on dit qu'on dispose de l'orientation positive du cercle.On a ~e1(~x) = ~ () = R( sin cos )= ~a1().Pour > 0, soit la paramtrisation du cercle ~ : t [0, 2 [ ~y = R(cos(t)sin(t)). On a~f(~y) = ~ (t) = R( sin(t)cos(t))= ~b1(t) (cercle parcouru dans le mme sens la vitesse R).La relation entre ~x = ~() et ~y = ~(t) est donne l'aide de ~(t) = ~(t). Donc au point~x = ~(t) = ~(t) = ~y, on a ~b1(t) = ~a1(t), i.e. ~f1(~x) = ~e1(~x) : la matrice de changement de baseest le scalaire > 0, et donc on conserve bien l'orientation du cercle.Exemple B.12 Paramtrisation du cercle en sens inverse. Pour > 0, soit la paramtrisation ducercle ~ : t [0, 2 [ ~y = R(cos(2 t)sin(2 t)). On a ~g1(~y) = ~ (t) = R( sin(2 t)cos(2 t))=~c1(t) (cercle parcouru en sens inverse la vitesse R).La relation entre ~x = ~() et ~y = ~(t) est donne l'aide de ~(2 t) = ~(t) : Donc aupoint ~x = ~(2 t) = ~(t) = ~y, on a ~c1(t) = ~a1(2 t), i.e. ~f1(~x) = ~e1(~x) : la matrice dechangement de base est le scalaire < 0, et donc ~ et ~ donnent deux orientations direntesdu cercle.Proposition B.13 Localement il n'existe que deux orientations possibles.Preuve. Une application rgulire ~ : Rn1 Rn1 a son jacobien > 0 ou < 0. Ici ~ = ~1 ~.Dnition B.14 (Orientation locale.) Une carte locale (S, ~1) dtermine une orientation de S,i.e. : l'orientation de S au voisinage de ~x0 dtermine par ~ est donne par l'orientation de la base(~ei(~x))i=1,...,n1.Donc, pour un autre diomorphisme local ~ (une autre carte locale (S2, ~1)), de base associe(~fi(~x))i=1,...,n1 o ~fi(~x) = d~(~q2). ~Ei quand ~x = ~(~q2), cette base mme orientation que la base(~ei(~x)) si la matrice de changement de base a son dterminant positif.Dnition B.15 (Orientation globale). Soit S une surface rgulire (une varit). On dit que Sest orientable ssi il existe un atlas (Ui, ~1i )I de S qui conserve l'orientation, i.e. ssi sur UiUjon a det(d(~j ~1i )(~q)) > 0 pour tout point ~q commun aux cartes ~i et ~j , pour tous i, j.Exemple B.16 La sphre est orientable, le ruban de Mbius n'est pas orientable.81 12 janvier 201082 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsB.3 Direntiation sur une varitA l'aide d'un atlas on peut dnir une topologie sur une varit (les ouverts, d'o la continuit)puis la direntiabilit :Dnition B.17 Une sous-ensemble A d'une varitM est un ouvert ssi pour tout a A il existeune carte locale (Ua, ~a) avec a Ua et Ua A.I.e., pour tout a A, il existe Ua A tel Ua est l'image rciproque d'un ouvert de Rm aveca Ua (puisque par dnition d'une carte ~a : Ua Va l'ensemble Va est ouvert dans Rm).Corollaire B.18 Ayant dni les ouverts deM, on a ainsi dni une topologie surM.Preuve. On vrie aisment que l'ensemble des ouverts ainsi dnis sont tels qu'une union quel-conque et une intersection nie sont des ouverts, et que l'ensemble vide etM tout entier sont desouverts.Exemple B.19 La sphre S2 de R3, munie des cartes de l'exemple B.8, est munie de la topologieattendue : celle induite de R3, i.e. ses ouverts concident avec les S2 o est un ouvert de R3.(Ici S2 est galement considr comme ensemble plong dans R3. Dans la suite, S2 sera souventconsidre par elle-mme : sans rfrence son plongement dans R3).Dnition B.20 Soit f :M1 M2 oM1 etM2 sont deux varits de dimensions respectivesm1 et m2. On dit que f est de classe Cr en ~x M1 ssi il existe une carte (U1, ~1) au voisinagede ~x, avec ~1 : U1 V1, et une carte (U2, ~2) au voisinage de f(~x), avec ~2 : U2 V2, tel quef(U1) U2 et tel que ~2 f ~11 : V1 V2 est de classe Cr (de l'ouvert V1 Rm1 dans l' ouvertV2 Rm2).Et ~2 f ~11 =not f~1~2 est appel u reprsentant local de f .Proposition B.21 L'identit I :MM est un diomorphisme.Preuve. Par dnition d'une varit, les changements de cartes ~2 ~11 : V V sont desdiomorphismes, donc ~2 I ~11 = ~2 ~11 est un diomorphisme.Corollaire B.22 Les cartes (U, ~) sont tels que les ~ sont des diomorphismes.Preuve. On applique la dnition prcdente : on note ~ : U V Rm la bijection dnissantla carte locale. 1- soit ~ : V V Rm un diomorphisme. Alors (U, ~ ~) est galement unecarte locale. 2- On en dduit que ~1 (~ ~) I : U V , o I est l'identit de U , est undiomorphisme ; i.e. ~ est un diomorphisme.B.4 Fibr tangent une varitDnition B.23 Soit M une varit, soit ~x M et soient deux rels a, b t.q. a < 0 < b. Unecourbe sur M en ~x est une application ~c : t ]a, b[ ~c(t) M telle que ~c(0) = ~x et telle que ~cest C1. Une courbe est rgulire ssi ~c (t) 6= 0 pour tout t. On ne traitera que de courbes rgulires.Remarque B.24 En appliquant la dnition B.20, o iciM joue le rle deM2, le caractre C1est bien dni : il sut de prendre ~1 : U V o V est un ouvert de Rm, ~2 l'identit de ]a, b[dans lui-mme : dire que ~c est Cr quivaut dire que ~1 ~c :]a, b[ V est Cr.Le br tangent une varit sera la runion des espaces vectoriels tangents. C'est l'ensemblede vecteurs tangents la varit, vecteurs qui ne peuvent pas ici tre dnis comme tant desbipoints sur la varit : exemple de la sphre o un vecteur (non nul) tangent en un point A n'estpas un bipoint ~v = ~AB o B est aussi un point de la sphre ; pour que ~v soit tangent la sphre,et ~v = ~AC, le point C n'appartient pas la sphre (il est forcment strictement au dessus de lasphre).On suit l'approche d'Abraham et Marsden, i.e. l'approche l'aide des courbes traces sur lavarit : un vecteur vitesse (vecteur tangent la courbe) sera dclar tre un vecteur tangent lavarit.82 12 janvier 201083 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsDnition B.25 Soit (U, ~) une carte tel que ~x U M. Deux courbes ~c1,~c2 sont tangentesen ~x relativement ~ ssi les courbes ~ ~c1 et ~ ~c2 :] , [ Rm sont tangentes en 0, i.e. ssi :limt0||~(~c1(t)) ~(~c2(t))||Rmt= 0. (B.1)Remarque B.26 Dans le cas des surfaces plonges dans Rn (ou dans le cas des ouverts de Rn) et~ de classe C1, on retrouve les rsultats usuels : l'expression (B.1) dit que les vecteurs tangents sontidentiques : avec ~ci(0) = ~x, on a||~(~c1(t))~(~c2(t))||Rmt = ||~(~c1(t))~(~c1(0))t ~(~c2(t))~(~c2(0))t ||Rm =||d~(~x).(~c 1(0)~c 2(0)) + o(1)||, et ~ tant un diomorphisme, quand t 0 on obtient ||~c 1(0)~c 2(0)|| = 0, i.e. que les vecteurs tangents ~c 1(0) et ~c 2(0) sont gaux (vitesses gales).Proposition B.27 Le fait que deux courbes soient tangentes ne dpend pas de la carte choisie : si(U1, ~1) et (u2, ~2) sont deux cartes en ~x, si ~c1 et ~c2 sont deux courbes tangentes en ~x relativement ~1, alors elles sont tangentes en ~x relativement ~2.Preuve. Pour i = 1, 2. On a ~2~ci = (~2~11 )(~1~ci) (au voisinage de ~x), et donc d(~2~ci)(t) =d(~2 ~11 )(~1(~ci(t))).d(~1 ~ci)(t), et donc d(~2 ~ci)(0) = d(~2 ~11 )(~x).d(~1 ~ci)(0). Commed(~1 ~c1)(0) = d(~1 ~c2)(0), on en dduit d(~2 ~c1)(0) = d(~2 ~c2)(0).Il est immdiat que la relation tre tangent en ~x est une relation d'quivalence (rexive,symtrique, transitive). On dnit alors les classes d'quivalence des courbes tangentes en ~x : pour~c une courbe donne en ~x, on note [~c]~x sa classe d'quivalence :[~c]~x = {courbes tangentes ~c en ~x}.Exemple B.28 Dans le cas d'une varit qui est un ouvert dans Rm, une courbe est donnepar ~c :]a, b[ Rm et son vecteur tangent en ~x est parfaitement dni par ~c (0) = limt0 ~c(t)~xt .Un reprsentant de [~c]~x est alors donn par la droite ~c(t) = ~x+ t~c (0), i.e. [~c]~x est caractris parle vecteur tangent ~c (0) cette droite.Dnition B.29 On appelle espace tangent M en ~x, ou br tangent M en ~x, l'espace :T~x(M) = {[~c]~x : ~c courbe en ~x}Et on note :TM =~xMT~x(M),appel br tangent (ou espace tangent) deM.On peut alors dnir la direntielle :Dnition B.30 Pour f : M N de classe C1 et ~c :]a, b[ M une courbe sur M, la fonctionf ~c :]a, b[ N est une courbe sur N . On dnit Tf : TM TN par :Tf([~c]~x) = [f ~c]f(~x)not= (f(~x), Df(~x).~v), (B.2)quand ~v est un reprsentant de la classe [~c]~x. Et Df(~x).~v est appel direntielle de f en ~x dansla direction ~v.Cette dnition a bien un sens : par dnition Df(~x).~v = d(f ~c)(t=0) = limt0f(~c(t)) f(~x)tR. Et on vrie facilement que la courbe f ~c est tangente toute courbe f ~c pour tout ~c [~c]~x :cette dnition est indpendante de la courbe choisie dans [~c]~x.B.5 ConnexionOn reprend ce qui a t dit au paragraphe C, o on remplace S parM.83 12 janvier 201084 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsB.6 p-forme direntielleUne p-forme extrieure (ou plus simplement une p-forme) sur Rn est un tenseur T 0p ()qui est altern, i.e. tel que, pour tout ~x, la forme multilinaire (~x) L((Rn)p; R) est alterne.C'est dire, pour tout ~x, ~x est multilinaire et, pour tous ~v1, ..., ~vp T~x(Rn) :~x(~v1, ..., ~vp) = sign()~x(~v(1), ..., ~v(p))pour toute permutation sur {1, ..., p}, o sign() = 1 est la signature de la permutation.(Dnition quivalente : ~x(~v1, ..., ~vk) = 0 chaque fois que deux des vecteurs sont gaux.)On note Ap(Rn) l'ensemble des ( 0 p ) tenseurs qui sont alterns. Et un lment de Ap(Rn)est appel une p-forme sur Rn.B.7 VolumeEn particulier le dterminant vrie det An(Rn) (c'est une n-forme), et il dnit le volume, etl'ensemble des n-formes dans Rn est de dimension 1, i.e. toute n-formes dans Rn est proportionnelleau dterminant. En coordonnes cartsiennes, (dxi)i=1,...,n tant la base duale de la base canonique( ~Ei)i=1,...,n de Rn, on note :det = dx1 ... dxn.C'est la forme multi-linaire alterne vriant det( ~E1, ..., ~En) = 1. Et donc An() est nces-sairement de type :(~x) = g(~x) dx1 ... dxn,o g C(; R).Remarque B.31 Rappel dans Rn. Soit ~ : U Rn Rn un diomorphisme.Le pull-back d'une fonction g C(; R) par ~ est une fonction f C(U ; R), note f = ~g,dnie par :(~g)(~q) = g(~x),quand ~x = ~(~q). Le pull-back permet de faire des calculs sur la conguration de rfrence, ici U ,au lieu de les faire sur la conguration actuelle, ici .Pour p 1, le pull-back d'un tenseur t T 0p () par ~ est le tenseur not ~t T 0p (U) dnipar, quand ~x = ~(~q), et quand ~vi(~x) = d~(~q).~Vi(~q) pour i = 1, ..., p (les transports des ~Vi par ~) :(~t)(~q, ~V1, ..., ~Vp) = t(~x,~v1, ..., ~vp),i.e. (~t)(~q, ~V1, ..., ~Vp) = t(~(~q), d~(~q).~V1, ..., d~(~q).~Vp). Not encore :(~t)~q(~V1, ..., ~Vp) = t ~x(~v1, ..., ~vp),Et, quand f = ~g est le pull-back de g par ~, le pull-back de par ~ est donn par, quand~x = ~(~q) :(~)(~q) = f(~q) J~(~q) dX1 ... dXn, (B.3)o (dXi)i=1,...,n est la base duale de la base canonique dans Rn U et J~(~q) = det(d~(~q)) lejacobien de ~ en ~q.Remarque B.32 Attention aux notations : dans (B.3) on a utilis la notation dXi et non dqi.Si on avait utilis cette dernire notation, on aurait crit ~(~q) = f(~q) J~(~q) dq1 ... dqn, lanotation dqi est alors celle de la base duale de la base euclidienne dans Rn U ; d'ailleurs onintgre sur U . Ce n'est donc pas dqi(~x), notation pour la base duale dans Rn de la base(~ei(~x)) en ~x du systme de coordonnes : (dXi) est la base duale de la base canonique dansl'espace de dpart.Pour viter les confusions d'criture, on utilisera dXi (et non dqi) quand on travaillera dans Usans rfrence ~.Dnition B.33 L'intgrale de sur (ouvert de Rn) est la valeur de l'intgrale de Lebesguede g sur : df=g dx1...dxn. (B.4)84 12 janvier 201085 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsOn suppose que det(d~(~q)) > 0 pour tout ~q. On a donc galement dans ce cas :U~df=U(~g)(~q) J~(~q) dX1...dXn. (B.5)(Ici on est dans le cas ~ : U diomorphisme avec U et ouverts de Rn.)Et on obtient pour un diomorphisme ~ qui conserve l'orientation (i.e. J~(~q) > 0 pour tout ~q),rcriture de (4.23) (changement de variables dans les intgrales) : =U~, (B.6)criture usuelle de (4.23) en gomtrie direntielle (lorsque ~ conserve l'orientation dans Rn) quiva tre gnralise aux surfaces orientables de Rn.Interprtation : pour calculer l'intgrale de sur (conguration actuelle), il sut de calculerl'intgrale de son pull-back ~ sur U (conguration de rfrence).B.8 Aire d'une surface orientableOn rcrit (B.6) dans le langage de la gomtrie direntielle. On se donne une surface rgulireorientable S Rn paramtre par :~ : U Rn1 S Rn.On note (~ei(~x))i=1,...,n1 la base sur S dnie par ~ei(~x) = ~qi (~q) au point ~x = ~(~q). Et on note(ei(~x) = dqi(~x))i=1,...,n1 la base duale. Et on suppose que ~ dnit l'orientation.Soit une (n1)-forme sur S (donc (~x) est une forme multilinaire alterne dnie sur T~xSle plan tangent S en ~x). On a de la forme :(~x) = g(~x)dq1(~x) ...dqn1(~x),qu'on peut caractriser l'aide de son pull-back dans U , qui est de la forme, quand f(~q) =(~g)(~q) = g(~x) quand ~x = ~(~q) :~(~q) = f(~q)det(C[~q) dX1 ... dXn1.Dnition B.34 On dnit alors l'intgrale de sur une surface oriente S par :Sdf=U~, (B.7)qui n'est autre que la formule de changement de variables usuelle.B.9 Produit intrieurPour ~w T (Rn) on dnit l'oprateur de produit intrieur (contraction) :i~w :{An(Rn) An1(Rn), 7 i~w, (i~w~x)(~v1, ..., ~vn1)df= ~x(~w,~v1, ..., ~vn1).En particulier pour = det le dterminant (qui dtermine le volume), pour ~v1, ..., ~vn1 tangents la surface, pour ~n le vecteur normal unitaire la surface, i~n dtermine l'aire (au signe prs) duparalllpipde de ct ~v1, ..., ~vn1. On a en eet (au signe prs), en se restreignant TS~x :(i~n det)~x = (1)n1dq1(~x) ... dqn1(~x) = (1)n1d~x,puisque :(i~n det)~x(~e1(~x), ..., ~en1(~x)) = det(~n(~x), ~e1(~x), ..., ~en1(~x)) = (1)n1 det(~e1(~x), ..., ~en1(~x), ~n(~x)).85 12 janvier 201086 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsB.10 Direntielle extrieure(En quelque sorte, l'opration rciproque du produit intrieur.)On introduit l'oprateur de direntiation extrieure :dext :{An1(Rn) An(Rn), 7 dext,comme suit : pour une forme n1-linaire alterne sur Rn on commence par considrer sa diren-tielle usuelle dnie en ~x, i.e. l'application linaire tangente d(~x) =not (~x) L(Rn,An1(Rn))(dnie par le dveloppement limit l'ordre 1). Donc (~x). ~w An1(Rn) est la drive dans ladirection ~w dnie par :((~x). ~w)(~v1, ..., ~vn1) = limh0(~x+ h~w) (~x)h(~v1, ..., ~vn1) R.(On supposera au moins C1.) Et on associe la direntielle extrieure (alterne) dext An(Rn), en posant :dext~x(~v0, ~v1, ..., ~vn1)df=n1i=0(1)i((~x).~vi)(~v0, ..., ~vi1, ~vi+1, ..., ~vn1).En particulier, si ~x = a1...an1(~x)dxa1 ... dxan1 (et toute (n1)-forme direntielle est unesomme de tels termes), on a :dext~x = da1...an1(~x) dxa1 ... dxan1 ,o da1...an1(~x) =nai=1a1...an1xai dxai . Comme les dai dai sont nuls, il reste :dext~x =a1...an1xandxan dxa1 ... dxan1 = (~x)dx1 ... dxn,o les (~x) sont faciles dterminer : ainsi si An1(Rn) alors dext~x est proportionnel auvolume.Exemple B.35 On prend le systme de coordonnes cartsien dans Rn. Soit la mesure :~x = xn dx1 ... dxn1, (B.8)qui donne :dext~x = dxn dx1 ... dxn1,i.e. :dext~x = (1)n dx1 ... dxn = (1)n det = (1)nd,o d est l'lment de volume.Et pour une surface plane (horizontale) de normale ~n = ~En, on a i~n(dext~x)( ~E1, ..., ~En1) =dext~x( ~En, ~E1, ..., ~En1), d'o :i~ndext~x = dx1 ... dxn1.Exemple B.36 Soit ~ un systme de coordonnes sur une surface. On prend le systme decoordonnes dans Rn dduit de ~, cf. (10.41). Soit (sur la surface) la mesure :~x = g(~x) dq1(~x) ... dqn1(~x), (B.9)qui donne :dext~x = dg(~x) dq1(~x) ... dqn1(~x)On a dg(~x) =ni=1gqi (~x)dqi(~x), et donc :dext~x =gqn(~x) dqn(~x) dq1(~x) ... dqn1(~x). (B.10)86 12 janvier 201087 B. Annexe : Langage de gomtrie direntielle : quelques notionsEn particulier :g(~x) = qn(~x) = dext~x = dqn(~x) dq1(~x) ... dqn1(~x),et donc dext = (1)n+1 detdet(~e1,...,~en) , i.e. l'lment de volume est donn par :det = d = dx1 ... dxn = (1)n+1J dext,o det est le volume et J est le jacobien du systme de coordonnes .Puis i~n(dext~x)(~e1, ..., ~en1) = dext~x(~n,~e1, ..., ~en1), d'o :i~ndext~x = dq1(~x) ... dqn1(~x) :la contraction avec le vecteur normal unitaire donne la mesure de surface.Exemple B.37 Dans R2, on prend les coordonnes polaires avec donc les vecteurs de base ~e1(~x) =(cos sin )et ~e2(~x) = r( sin cos ), et la base duale (dr(~x), d(~x)). L'lment de volume est d =dx dy = r dr d.Sur le cercle ~ : ~x =(R cos R sin )(paramtr dans le sens trigonomtrique), la normaleunitaire est donne par ~n(~x) = ~e1(~x), cf. remarque 5.18, qui fait de (~e2, ~n) une base directe. Lesystme de coordonnes associ ~ est donc donn par, cf. (10.41) :(, z) = ~() + z~n(~x) = R(cos sin ) z(cos sin ),et les vecteurs de base sont (pour |z| < R, ce qui est susant car on s'intresse au cercle) :~f1(~x) =(, z) = (R z)( sin cos )=R zR~e2(~x),~f2(~x) =z(r, z) = ~n(~x) = (cos sin )= ~e1(~x).La base duale est donc f1(~x) = RRzd(~x) et f2(~x) = dr(~x) = dz(~x).Soit (~x) = z d(~x) la mesure sur le cercle. (Par rapport l'exemple prcdent, ici on a qn = zet dqn = dz). Donc dext = dz d = dr d, et r dext = r dr d est l'lment de volume.Puis pour ~x sur le cercle (avec donc z=0 et ~f1 = ~e2) on obtient i~ndext~x(~f1) = dext(~n,~e2) =(dz d)(~n,~e2) = 1 = d(~f1). Et donc i~ndext~x = d.Exemple B.38 Dans R2, on prend les coordonnes polaires avec donc les vecteurs de base ~e1(~x) =(cos sin )et ~e2(~x) = r( sin cos ), et la base duale (dr(~x), d(~x)). L'lment de volume est d =dx dy = r dr d.Soit un rayon 0 x, i. e. la courbe ~ : r R+ ~x =(r cos 0r sin 0). Cette courbe dnitun systme de coordonnes sur la varit de dimension 1 (le rayon Im~) ; le vecteur directeur estdonne par ~f1(~x) = ~e1(~x) et le vecteur normal unitaire par ~n(~x) = 1r~e2(~x), cf. exemple 5.16, quifait de (~f1, ~n) une base directe. Le systme de coordonnes de R2 associ ~ est donc donnpar, cf. (10.41) :(r, z) = ~(r) + z~n(~x) =(r cos 0r sin 0)+ z( sin 0cos 0),et les vecteurs de base sont :~f1(~x) =r(r, z) =(cos 0sin 0)= ~e1(~x), ~f2(~x) =z(r, z) = ~n(~x) =1r~e2(~x).La base duale est donc f1(~x) = dr(~x) et f2(~x) = r d(~x) = dz(~x) (et ici dz est une mesuredimensionnelle, tout comme dr, et contrairement d qui est adimensionnelle ; ici z mesurel'loignement au rayon).Soit = z dr la mesure au point ~x = (r, z). (Par rapport l'exemple prcdent, ici on aqn = z et dqn = dz). Donc dext = dz dr = r dr d, et dext est l'lment de volume.Puis i~ndext~x A(R2) est caractris par i~ndext~x(~f1) = dext(~n, ~f1) = (dz dr)(~n, ~f1) = 1 =dr(~f1). Donc i~ndext~x = dr.87 12 janvier 201088 C. Connexion sur une varit de RnThorme B.39 Si f C2, alors dext(dextf) = 0Preuve. La direntielle seconde f = d2f est symtrique dans ce cas, et donc sa partie antisy-mtrique d2extf est nulle.Remarque B.40 N.B. : attention aux notations : la direntiation extrieure d'une forme estsouvent not d (notation de Cartan rserve aux p-formes direntielles, i.e. aux formes multi-linaires alternes) et non dext, et dans ce cas (Cartan) la direntiation usuelle est note etnon d. Attention donc au contexte.B.11 Thorme de StokesProposition B.41 Thorme de Stokes. Soit ouvert rgulier born de Rn de bord la surfacergulire S = oriente de telle que sorte que la normale soit entrante dans ; i.e., si ~ : U S Rn1 est un paramtrage de , l'orientation de ce paramtrage qui donne (~e1, ..., ~en1, ~n)repre direct vrie ~n pointe vers l'intrieur de .Alors pour une n1-forme sur S : dext =S. (B.11)Preuve. Dans R2 : une surface S est une varit de dimension 1 (une courbe). Soit une 1-forme.Elle est de la forme (~x) = P (~x)dx+Q(~x)dy, qui donne dext(~x) = Py (~x)dydx+Qx (~x)dxdy =(Py (~x)+Qx (~x))dxdy. Et la formule de Green-Riemann (voir cours de 1re anne) indique que :(Py(~x) +Qx(~x))dxdy =SP (~x)dx+Q(~x)dy,ce qui n'est autre que (B.11).Dans R3, c'est la formule d'Ostrogradski :(Px+Qy+Rz) dxdydz =SP dydz +Qdzdx+Rdxdy,et ici avec qui est forcment de la forme = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy. Ou encoreavec dx1dx2 = n3d et permutation sur les indices, c'est la formule de la divergencediv~v d =S~v.~n d.Dans Rn, voir par exemple Abraham et Marsden (dmonstration l'aide d'une partition del'unit et d'un changement de variables).C Connexion sur une varit de RnC.1 Connexion et drive covariante pour les champs de vecteurs sur TSSoit S une varit.Mme si ~v et ~w sont des champs de vecteurs sur S (i.e. ~v, ~w TS), il n'y a aucune raisonpour que (d~w.~v)(~x) TS~x (soit dans le plan tangent TS~x) ; par exemple, sur la sphre de R3, on ad~e2.~e2 = r cos2 ~e1 + sin cos~e3, voir (2.5) et (2.6), i.e. bien que ~e2(~x) soit un vecteur tangent,quand r 6= 0 et 6= 2 , d~e2.~e2(~x) est un vecteur entrant dans la sphre et non tangent (termer cos2 ~e1).Ici on veut dnir une drivation sur la sphre qui reste sur la sphre. On va voir qu'une telledrivation appele connexion est par exemple la drivation usuelle qu'on projette ensuite sur leplan tangent : si on vit dans le plan tangent, on ne voit que ce qui est tangent, i.e. on ne voit queles projections sur le plan tangent. Cela donnera la connexion riemannienne (celle qui est utiliseen physique).88 12 janvier 201089 C. Connexion sur une varit de RnDnition C.1 Une connexion (ane) sur une varit S est une application : :{TS TS TS,(~v, ~w) ~v ~w,(C.1)qui deux champs de vecteurs du plan tangent associent un troisime champ de vecteurs du plantangent, telle que :(i) est bilinaire, et(ii) pour f C(S; R) (fonction sur S valeurs scalaires) et tout ~v, ~w TS :(f~v) ~w = f ~v ~w, (C.2)(iii) et :~v(f ~w) = f~v ~w + (df.~v)~w. (C.3)Dnition C.2 Et ~v ~w est appele drive covariante de ~w dans la direction ~v.Exemple C.3 On retrouve le cas particulier classique de la drivation covariante dans un ouvertdans Rn : dni par ~v ~w = d~w.~v est une connexion. En eet, (i) (~v, ~w) ~v ~w = d~w.~v estbilinaire, (ii) d~w.(f~v) = f d~w.~v, et (iii) d(f ~w).~v = f d~w.~v + (df.~v)~w.Exemple C.4 (La connexion riemannienne sur la sphre.) Dans R3, on prend la la sphre S =S(0, R) donne par (1.7) avec r = R constant. En un point ~x = ~(~q), on dispose des vecteurstangents ~e2(~x) = ~ (~q), et ~e3(~x) =~ (~q), et on ne veut considrer que les vecteurs en ~x de TS~xdu plan tangent la sphre au point ~x. On considre alors la connexion donne par la projectionde la direntielle usuelle dans R3 sur le plan tangent :~v ~w = ProjTS(d~w.~v). (C.4)Ainsi, avec (2.6) et (2.7), on dnit la connexion Riemannienne sur la sphre par :~e2~e2 = sin cos~e3 (= ~e2 + ~e3),~e2~e3 = tan~e2 = ~e3~e2, (= ~e2 + ~e3),~e3~e3 = 0 (= ~e2 + ~e3).C.2 Symboles de Christoel pour une connexionSoit U un ouvert de Rm, avec m n, et une surface paramtre ~ : ~q = (q1, ...qm) U (~q) S Rn. Soit (~ei(~x))i=1,...,m la base de TS~x du systme de coordonnes ~ au point ~x = ~(~q),i.e. ~ei(~x) =df ~qi (~q) quand ~x = ~(~q).Dnition C.5 Soit une connexion sur S. Par dnition d'une connexion sur S, disposant desdeux champs de vecteurs ~ei et ~ej dans TS pour i, j [1,m], on sait que ~ei~ej TS (est un champde vecteurs sur S), qui donc s'exprime sur la base (~ei)i=1,...,m. On note kij(~x) les composantes dece champ de vecteurs en tout ~x S :~ei~ej(~x) =mk=1kij(~x)~ek(~x). (C.5)(Noter la cohrence de position des indices.) Les kij(~x) sont appels les symboles de Christoel en ~xde la connexion (relativement au systme ~). Et les kij sont appels les symboles de Christoelde la connexion (relativement au systme ~).On se donne une connexion et un systme de coordonnes ~ : U S de base (~ei(~x) = ~qi (~q))quand ~x = ~(~q).Proposition C.6 Pour un champ de vecteurs ~w TS avec ~w =i wi~ei, les composantes de~ej ~w (drive covariante de ~w dans la direction de la j-me ligne de coordonnes) dans la base89 12 janvier 201090 C. Connexion sur une varit de Rn(~ei) du systme sont donnes par :(~ej ~w)i =wiqj+mk=1ijkwk not= wi|j . (C.6)Si on dispose d'un second champ de vecteurs ~v TS avec ~v =j vj~ej , les composantes de ~v ~wdans la base (~ei) du systme sont donnes par :(~v ~w)i =mj=1wiqjvj +mj,k=1ijkvjwk. (C.7)Preuve. On a :~ej ~w = ~ej (iwi~ei) =i(dwi.~ej)~ei +iwi~ej~ei=iwiqj~ei +iwikkji~ek =iwiqj~ei +kiwkijk~ei,et avec ~v ~w =j vj~ej ~w, on a les rsultats.Exemple C.7 On reprend la connexion ~v ~w = d~w.~v dans un ouvert donne dans l'exemple C.3.On peut paramtrer localement cet ouvert l'aide d'un systme de coordonnes cartsien, et lesvecteurs ~ei obtenus sont des vecteurs constants ; et dans ce cas les kij sont tous nuls. Immdiat.Exemple C.8 On reprend la connexion riemannienne de l'exemple C.4 des coordonnes sph-riques. Les vecteurs du plan tangent sont des combinaisons linaires de ~e2 et ~e3. On calcule doncd~e2.~e2, d~e2.~e3 = d~e3.~e2 et d~e3.~e3, et on ne retient que les composantes en ~e2 et ~e3. La connexion estdnie par les symboles donns dans (2.6) : ~e2~e2 = sin cos~e3, ~e2~e3 = tan~e2 = ~e3~e2, et~e3~e3 = ~0 : = sin cos, = = tan. (C.8)Exemple C.9 (La connexion Riemannienne sur le cercle.) Dans R2, on prend la surface 1-D donne par le cercle c() =(R cos R sin )= ~x. En un point ~x, on dispose du vecteur tangent~c () =(R sin R cos )= ~e2(~x), et on ne veut considrer que les vecteurs en ~x de TS~x du plantangent au cercle au point ~x (i.e. de la droite tangente au cercle en ~x), i.e. les vecteurs en ~xparallles ~e2(~x).On considre alors la connexion donne par la projection de la direntielle usuelle dans R2 surla droite engendre par le vecteur ~e2(~x) paralllement ~e1(~x), projection donne par :P : ~v (d.~v)~e2.(On vrie que P (~e1) = 0 et que P (~e2) = ~e2 : le vecteur ~e2 est conserv.) Donc la connexion est : : (~v, ~w) ~v ~w = (d.(d~w.~v))~e2(~x).On vrie que est bien une connexion sur TS : (i) la bilinarit est immdiate, (ii) car d~w.(f ~w) =fd~w.~v, (iii) car d(f ~w).~v = f d~w.~v + (df.~v)~w.En particulier, on a ~e2~e2 = (d.(r~e1 + ~e2))~e2 = 0 car e2.~e1 = 0 et = 0.Les seuls vecteurs tangents sont de la forme ~v(~x) = a(~x)~e2(~x) avec donc d~v = da~e2 + a d~e2 etd~v.~e2 = a~e2 + a d~e2.~e2. Et on a donc :~e2~v =a(~x)~e2(~x),car ~e2~e2 = 0. Donc avec un champ de vecteur tangent ~w(~x) = b(~x)~e2(~x), on obtient~w~v(~x) = b(~x)a(~x)~e2(~x),drive covariante de ~v dans la direction ~w sur le cercle.90 12 janvier 201091 C. Connexion sur une varit de RnC.3 La drivation associeLa connexion telle que dnie en (C.1) n'est pas symtrique : c'est de fait une drivationde ~w dans la direction ~v (qui n'est pas driv). C'est immdiat dans un systme de coordonnes ~de base (~ei(~x)) : comme est bilinaire, est dni par ses images sur les vecteurs de base, savoir les :~Cij = ~ei~ej =mk=1kij~ek,pour i, j = 1, ...,m o m est la dimension de la varit S, au sens ~Cij(~x) =mk=1 kij(~x)~ek(~x).Soient ~v et ~w les champs de vecteurs dnis par leurs composantes :~v =ivi~ei, ~w =iwi~ei.Avec (C.2) on a :~v~ej =ivi ~Cij , (C.9)et les composantes vi ne sont pas drives : seules les valeurs ponctuelles ~v(~x) interviennent.Avec (C.3) on a :~ei ~w =jwj ~Cij +j(dwj .~ei)~ej , (C.10)et, dans le dernier terme, les composantes wi sont drives : (dwj .~ei)(~x) = wjqi (~x).De manire gnrale :~v ~w =i,j(viwj ~Cij + viwjqi~ej)(C.11)fait intervenir les valeurs ponctuelles de ~v et de ~w et les valeurs drives de ~w.Comme dans ~v ~w seules les valeurs ponctuelles de ~v interviennent (pas les drives), pour toutchamp de vecteurs ~w TS = T 10 (S) on peut dnir :~w :{TS TS~v ~w.~v df= ~v ~w.(C.12)(Dans Rn usuel on a ~w.~v = d~w.~v.) Et ~w peut tre identi au tenseur T 11 (S) donn par :~w(~v, `) = `.(~w.~v), (C.13)pour tout ~v TS et tout ` T 01 (S). (Autrement dit,~w(~x) = ~w~x est la forme bilinaire~w~x : T~xS T~xS R dnie par ~w~x(~v, `) = `.(~w~x.~v) pour tout ~v T~xS et tout ` (T~xS).)Pour simplier les notations, et qu'il n'y a pas d'ambigut (quand on fait attention), on noteabusivement = = . Donc : :{TS T 11 (S)~w ~w, ~w.~v = ~v ~w(C.14)est donn par (C.11) : c'est la drivation (associe la connexion) de ~w dans la direction ~v. Ainsi,notant :~w =ij(~w)ij~ei ej ,on a ei(~w.~ej) = (~w)ij , et donc cf. (C.10) (ou encore avec (C.6)) :(~w)ij =wiqj+mk=1ijkwk = wi|j . (C.15)composantes du tenseur de drivation de ~w sur la surface dans la base du systme de coordonnes.91 12 janvier 201092 C. Connexion sur une varit de RnRemarque C.10 Le fait que dans ~v ~w seules les valeurs ponctuelles de ~v interviennent (pas lesdrives), a permis de dnir le tenseur ~w en (C.13).Mais on ne peut pas dnir du tenseur de type :Z~v : ~w Z~v.~w = ~v ~w,avec donc Z~v.~w donn par (C.11) ; Z~v est galement linaire en ~w mais ne permet pas de dnirun tenseur T 1? () puisqu'il fait intervenir la fois ~w T 10 () et d~w T 11 ().Remarque C.11 Dnition alternative : tant donne une connexion sur S et ~w TS = T 10 (S),on appelle drive du champ de vecteurs ~w sur S le tenseur ~w T 11 (S) tel que la contraction~w.~v soit gale ~v ~w, pour tout champ de vecteurs ~v TS :~w.~v df= ~v ~w.I.e., pour tout (`, ~v) T 01 (S) T 10 (S) :~w(`, ~v) = `(~v ~w). (C.16)On retrouve bien sr les rsultats prcdents.Exemple C.12 Dans un ouvert de Rn, on retrouve les notations usuelles : dans la base canonique,on a ~w(~x) =i wi(~x) ~Ei, puis ~v ~w(~x) = d~w(~x).~v =i(dwi(~x).~v) ~Ei et en particulier ~ej ~w(~x) =d~w(~x).~ej =iwixj (~x) ~Ei, et donc d~w(~x) =ijwixj (~x) ~Ei Ej . Et la matrice [d~w(~x)] reprsentantd~w(~x) dans la base canonique est la matrice [wixj ].C.4 Divergence div~w d'un champ de vecteurs ~w sur TSDnition C.13 La divergence d'un champ de vecteurs ~w TS est Tr(~w) = la trace du tenseur~w T 11 (S) (la divergence d'un champ de vecteurs est une fonction valeurs relles).Dans la base d'un systme de coordonnes, la divergence est obtenue par contraction des indices :div~w =iwi|i =i(wiqi+kiikwk) T 00 (S), (C.17)i.e. pour tout ~x S, div~w(~x) =i wi|i(~x) =i(wiqi (~x) +k iikwk(~x)).Exemple C.14 Dans un ouvert de Rn et la drivation usuelle (les symboles de Christoel sontnuls) on a :div~w =iwi,i =iwixinot=iwi|i,cette dernire notation n'ayant ici pas d'intrt.C.5 Mtrique et connexion riemannienneDnition C.15 Une mtrique riemannienne g(, ) sur une surface S est une forme bilinairesymtrique dnie positive sur TS :g : ~x S g~x T 02 (TS~x), g~x symtrique dnie positive.(I.e. g~x est un produit scalaire sur TS~x, i.e. est bilinaire sur TS~x, avec g~x(~v, ~w) = g~x(~w,~v) pourtout ~v, ~w TS~x et g~x(~v,~v) > 0 pour tout ~v TS~x.)Remarque C.16 On choisit souvent (dans un premier temps) pour mtrique Riemannienne cellequi localement est donne par le produit scalaire canonique de Rn : localement au voisinage d'unpoint ~x, la surface (la varit) est approche par son plan tangent TS~x dans lequel on choisit leproduit scalaire euclidien.Dnition C.17 Si S est une surface et une connexion sur la surface, on dnit la torsioncomme tant l'application bilinaire TS TS TS dnie par :Tor(~v, ~w) = ~v ~w ~w~v [~v, ~w].92 12 janvier 201093 C. Connexion sur une varit de RnExemple C.18 Dans Rn avec = d la drivation usuelle, la torsion est nulle.On va se restreindre aux connexions les plus simples sur les surfaces : celles de torsion nulle, quide plus tuent la mtrique (ces connexions transportent les vecteurs paralllement sur une surface).En clair on se restreint aux connexions qui fonctionnent comme la connexion riemannienne sur lasphre, voir exemple C.4.Thorme C.19 On se donne une mtrique riemannienne. Il existe une unique connexion sur Stelle que :(i) la torsion est nulle, i.e. ~v ~w ~w~v = [~v, ~w] pour tout ~v, ~w TS,(ii) la connexion applique la mtrique riemannienne est nulle (la connexion tue la mtrique),i.e. ~vg = 0 pour tout ~v TS.Sur la base (~ei(~x)) d'un systme de coordonnes, de base duale (ei(~x)), (i) et (ii) s'exprimentrespectivement :(iii) les symboles de Christoel vrient la symtrie en i, j :kij = kji, i, j, k, (C.18)(iv) si g~x =jk gjk(~x)ej(~x) ek(~x) pour tout ~x S alors :gjkqi=`(`ijg`k + `ikgj`). (C.19)D'o on dduit, notant [gij ] =df [gij ]1 (matrice inverse) :kij =12mgkm(gimqj+gmjqi gijqm), (C.20)quations donnant les kij en fonction de la mtrique choisie (pour un systme de coordonnesdonn).Preuve. Les quations (C.18) l'aide de (i) et (C.19) l'aide de (ii) sont immdiates. Puis onforme gjkqi +gikqj gijqk, de qui donne, l'aide de la symtrie kij = kji :gjkqi+gikqj gijqk=`2g`k`ij .D'o (C.20).Exemple C.20 Les hypothses (i) et (ii) ont t faites pour reproduire ce qui se passe sur lasphre de R3. Sur cette sphre, on veut que la connexion souhaite soit celle donne dansl'exemple C.4 (projection de la direntiation usuelle dans R3 sur le plan tangent). De la matrice[g]sph trouve, cf (3.4) et (3.5), on ne retient que le dernier bloc 2*2 en , en xant r = R, savoir[gij ] =(R2 cos2 00 R2), d'o [gij ] =( 1R2 cos2 00 1R2).Et on retrouve (C.8) l'aide de (C.20). Par exemple, ayant (q1, q2) = (, ) : = 211 =12(g21(...) + g22(g12q1+g21q1 g11q2)) =12(0 1R2(0 2R2 cos sin)) = cos sin.C.6 Connexion sur les formes et sur les tenseursDnition C.21 Une connexion sur les champs de tenseurs de T rs (S), encore appele une drivesur les champs de tenseurs, est une forme bilinaire : :{TS T rs (S) T rs (S),(~v, T ) ~vT,telle que :93 12 janvier 201094 C. Connexion sur une varit de Rn(i) pour T rs (S) = T00 (S) (champ de fonctions), ~v est la direntiation ~vf = df.~v,(ii) pour T rs (S) = TS = T10 (S) (champ de vecteurs), ~v est une connexion sur les champs devecteurs,(iii) compatible avec les contractions, i.e., pour une forme sur TS et ~v un champ de vecteurssur TS, on a ~v(.~w) = (~v). ~w + .(~v ~w) (donc = d(.~w).~v)),(iv) est une drivation : ~v(T1 T2) = (~vT1) T2 + T1 (~vT2) quand T1 T r1s1 (S) etT2 T r2s2 (S).Et ~vT est appele la drive covariante de T dans la direction ~v.Proposition C.22 Etant donne une base (~ei(~x)) d'un systme de coordonnes de base duale(ei(~x)) (avec les ei T 01 (S)), on a :~ejei = kijkek T 01 (S), (C.21)o les kij sont les symboles de Christoel pour la connexion , cf. (C.5). (Noter la cohrence deposition des indices, et ne pas oublier le signe .)Et si ` =i `iei T 01 (S) (une forme sur S), on a~ej ` T 01 (S) de la forme~ej ` =i(~ej `)iei,les composantes (~ej `)i tant donnes par :(~ej `)i =`iqjk`kkjinot= `i|j . (C.22)Preuve. On a ei.~ek = ik est une fonction constante sur S, et donc d(ek.~ek).~ej = 0, et donc :d(ei.~ek).~ej = 0 = ~ej (ei.~ek) = (~ejei).~ek + ei.(~ej~ek) = (~ejei).~ek + ijk,d'o (C.21). Puis ~ej ` =i~ej (`iei) =i`iqj ei +i `i~ejei =i`iqj ei i `ik ijkek,d'o (C.22).Proposition C.23 (Cas particulier des mtriques.) On se donne un systme de coordonnes sur Sde base (~ei(~x)) en ~x S, de base duale (ei(~x)). On a :~ek(ei ej) = `(ik`e` ej + jk`ei e`). (C.23)Et si T T 02 (S) avec T =ij Tijei ej , on a ~ekT T 02 (S) et :(~ekT )ij =Tijqk`(T`j`ki + Ti``kj). (C.24)Preuve. On a ~ek(ei ej) = (~ekei) ej + ei (~ekej) = ` ik`e` ej ei ` jk`e`.Puis ~ekT =ij [Tijqkei ej + Tij~ekei ej + Tijei ~ekej ]. Etij Tij~ekei ej =ij` Tijik`e`ej = ij` T`j`kieiej , et de mmeij Tijei~ekej = ij` Tijeijk`e` =ij` Ti``kjei ej , d'o (C.24).Proposition C.24 Pour T =T i1...irj1...js~ei1 ... ~eir ej1 ejs T rs (S) dans la base du systmede coordonnes, on a :(~ekT )i1...irj1...js=T i1...irj1...jsqk+`T `i2...irj1...js i1k` +`T i1`...irj1...js i2k` + ...`T i1i2...ir`j2...js `kj1 `T i1i2...irj1`...js `kj2 ...(C.25)Preuve. Exercice.94 12 janvier 201095 C. Connexion sur une varit de RnC.7 Drive T d'un champ de tenseurs T sur TSSoit T T rs (S) un tenseur de type(rs).Dnition C.25 Sa drive est le tenseur T T rs+1 de type(rs+1)tel que la contraction T.~vsoit gale ~vT .Soit ~ : U Rm Rn un systme de coordonnes sur S de base (~ei(~x)) en ~x = ~(~q), et debase duale (ei(~x)).Proposition C.26 Soit ` T 01 (S) avec `(~x) =i `i(~x)ei(~x) pour ~x S. On a ` T 02 (S) avec :` =ij`i|jei ej , (C.26)i.e. les `i|j sont les composantes de ` donnes par (C.22).Preuve. On a (ij `i|jei ej).~ek =i `i|kei et on a ~ek` =i `i|kei = `.~ek, d'o l'galit.Proposition C.27 Quand T i1...irj1...js sont les composantes de T sur cette base les composantes deT notes T i1...irj1...js |k sur cette base sont donnes par :T i1...irj1...js |k = (~ekT )i1...irj1...jsPreuve. Exercice.Exemple C.28 Dans un ouvert de Rn, on retrouve les notations usuelles avec le gradient d'unchamp de tenseurs T . Par exemple pour un tenseur T T 20 (S), dans la base canonique, on aT (~x) =ij Tij(~x) ~Ei ~Ej , puis ~vT (~x) = dT (~x).~v =ij(dTij(~x).~v) ~Ei ~Ej et en particulier~EkT (~x) =ijT ijxk(~x) ~Ei ~Ej , et donc T (~x) = dT (~x) =ijkT ijxk(~x) ~Ei ~Ej Ek.C.8 Divergence divT d'un champ de tenseurs T sur TSPour T T rs (S) on a T T rs+1.Dnition C.29 On suppose r 1. Alors divT est le tenseur de T r1s obtenu par contraction desderniers indices covariant et contravariant de T , i.e. dans la base d'un systme de coordonnesou les composantes de T sont les T i1...irj1...js :(divT )i1...ir1j1...js =kTi1...ir1kj1...js |kExemple C.30 Pour un champ de vecteurs ~w T 10 (S) de matrice [wi], on a div~w une fonctionsur S donne par :div~w =iwi|i.Pour un champ de tenseurs T T 11 (S) de matrice [T ij ], i.e. T =ij Tij~ei ej et donc T =ijk Tij |k~ei ej ek, on a divT champ de formes donn par :divT =j(iT ij |i)ej ,i.e. (divT )j =i Tij |i, et donc dans R3, divT = (i Ti1 |ii Ti2 |ii Ti3 |i ) (matrice ligne doncpour la divergence d'un tenseur de type(11)qui correspond un endomorphisme). Ainsi, en mca-nique,divT.~v d =ij Tij |ivj d pour tout champ de vecteurs ~v =i vi~ei.Pour un champ de tenseurs T T 20 (S) de matrice [T ij ], i.e. T =ij Tij~ei ~ej on a divTchamp de vecteurs donn par :divT =i(jT ij |j)~ei.Et en mcanique, si ` =i viei est un champ de formes (noter la position des indices), on obtient`.divT =ij Tij|jvi =not divT.`, d'odivT.` d =ij Tij|jvi d.La divergence d'un tenseur de T 02 (S) n'est pas dnie. En particulier, la divergence d'unemtrique n'a pas de sens.95 12 janvier 201096 RFRENCESC.9 Transport parallle d'un champ de vecteursOn reprend le paragraphe 8.1 avec le langage des connexions.Soit S une surface rgulire et soit une connexion sur S.Soit ~c : [0, T ] S une courbe rgulire sur S de vecteur tangent ~v(~x) = ~c (t) en ~x = ~c(t).Dnition C.31 Soit ~w un champ de vecteurs sur S ; la drive covariante de ~w le long de ~cest dnie par ~v ~w, est note ~c ~w, et est appele la drive matrielle de ~w le long de ~c ; avec~x = ~c(t) c'est donc :~c ~wdf= ~v ~wnot=D~wdt. (C.27)Exemple C.32 Si on se place dans un ouvert de Rn, et si on prend comme connexion la connexionusuelle (la drivation), on retrouve :(~c ~w)(~x)df= (~v ~w)(~x) = d~w(~x).~v(~x) = d~w(~x).~c (t) =d(~w c)dt(t),drive covariante usuelle de ~w le long du vecteur vitesse ~v(~x) = ~c (t) au point ~x = c(t).Dnition C.33 (Cette dnition dpend de la connexion choisie.) Un champ de vecteurs ~w estdit transport paralllement la courbe ~c ssi, pour tout t avec ~x = ~c(t) :D~wdt(~x) = ~0, relativement la connexion ,i.e. ssi d~w(~x).d~cdt (t) = 0, i.e. ssi ~w est invariant le long de la courbe ~c (i.e. les variations de ~w sontnulles dans la direction des vecteurs tangents la courbe).Exemple C.34 Dans un ouvert de Rn avec la connexion = la drivation, on veut que d(~wc)dt (t) = 0,et donc que ~w c =constant= ~w(~x) en tout ~x point de la courbe : le champ de vecteurs est enchaque point de la courbe donn par un mme vecteur (constant).Dnition C.35 Un vecteurs ~w0 en ~c(0) est dit transport paralllement le long de ~c s'il existeun champ de vecteurs ~w transport paralllement la courbe ~c tel que ~w0 = ~w(0). (Un tel champde vecteurs est unique puisque solution de l'quation direntielle D~wdt = 0 avec condition initiale~w(0) = ~w0.)Remarque C.36 Si ~w est un champ de vecteurs sur S qui dpend de t, i.e. ~w : [0, T ] S TS,on note :D~wDt(t, ~x) = ~wt(t, ~x) +D~wdt(t, ~x) = ~wt(t, ~x) +~v ~w(t, ~x), (C.28)et est appele la drive matrielle de ~w le long de ~c (ou drive totale).Rfrences[1] Abraham R., Marsden J.E. : Foundation of mechanics, 2nd edition. Addison-Wesley, 1985.[2] Arnold V.I. : Mathematical Methods of Classical Mechanics. Second Edition, Springer 1989.[3] Cartan H. : Cours de calcul direntiel. Hermann 1990.[4] Ciarlet P.G. : An Introduction to Dierential Geometry, with Applications to Elasticity .Springer, 2005[5] Germain P. : Mcanique des milieux continus. Masson 1972.[6] Gurtin M. E. : Topics in Finite Elasticity. Regional conference series in applied mathematics.Society for Industrial and Applied Mathematics. 1981. 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