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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
CALCULTENSORIEL
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
E : e.v. sur un corps K
a1
a2
E* : formes linéaires de E vers K
a2
a1
u
u = xi ai u*(e) = u.e xi= u*(ai) = u.ai
identification de E et de E*
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Espace vectoriel et espace dual
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
E : e.v. sur un corps K
a1
a2
b1
b2u
u = xi ai = yi bi
Composantes « contravariantes »
xi = u . ai et yi = u . bi
Composantes « covariantes »
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Covariance et contravariance
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées
x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yj
a1
a2x
y
gij = ai .aj
gij = gij-1 x . y = xiyi = xiyi = gijxiyj = gijxiyj
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Le tenseur métrique
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
exemple :
u ⊗ v =
1
2
3
3
-14
3 -1 4
6 -2 8
9 -3 12
produit tensoriel = produit des composantes
Tenseur d ’ordre N = élément de E⊗E⊗E … ⊗E
N fois
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Accélération d’un point
Gradient, divergence
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Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Composantesmixtes
Composantescovariantes
Composantescontravariantes
Si u ∈ E, alors u = ui ai = ui ai
Si T ∈ E⊗E, alors T = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj = Ti
j ai ⊗ aj
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Covariance et contravariance
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Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Composantes mathématiques d ’un tenseur
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Composantes « physiques » d ’un tenseur=
projection sur les axes de coordonnées
Si u ∈ E, alors uI= u .ai
|| ai ||
Si T ∈ E⊗E, alors TIJ = T:ai ⊗ aj
|| ai ⊗ aj ||
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Gradient, divergence
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Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type)
X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur E⊗E)
Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type
Z = X⊗Y : ordre 4 (produit des composantes)
Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté)
Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté)
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Opérations sur les tenseurs
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
M (x1)
(x2)
O
Lignes de coordonnées
ai =∂OM
∂xiEn chaque point M de l ’espace :
Tenseurmétriquelocal (gij)
a1
a2
Repère naturel
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Repère naturel
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
M (x1)
(x2)
O
Symboles de Christoffel
a1
a2
∂ai
∂xk = Γikj aj
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Symboles de Christoffel
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
uk,i =
∂uk
∂xi+ Γk
ji uj Terme « convectif » dû ausystème de coordonnées
M (x1)
(x2)
O
a1
a2
u
u+du
du = (∆u)k ak = duk ak + uk dak = (duk + Γkji uj dxi) ak
(∆u)k = uk,i dxi
CALCUL TENSORIEL
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Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Différentielle absolue, dérivée covariante
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
M (x1)
(x2)
O
Accélération d ’un point
Trajectoire(courbe paramétrée)
Terme « convectif »
a1
a2
v = dOM
dt=
∂OM
∂xi
dxi
dt= vi ai
γ = dv
dtγ i =
dvi
dt+ Γi
kl vk vl
Vitesse d ’un point
v
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Accélération d’un point
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
M (x1)
(x2)
O
Gradient : Divergence :
A = Aij ai ⊗ aj
u = ui ai
u
div(u) = ui,i
div(A) = Aij,j a i
grad(u) = ui,j ai ⊗ aj
grad(A) = Aij,k ai ⊗ aj ⊗ ak
a1
a2
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Gradient, divergence
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
(r)
(θ)
x1
x2 M
O
OM= r cos(θ)
= r sin(θ)
x1
x2
Tenseur métrique : [gij] = 1 0
0 r2[gij] =
1 0
0 1/r2
ur = u1 = u1
uθ = u2 /r = r u2Composantes physiques de u :
u = ui ai (contravariantes)
ui = u.ai (covariantes)
Repère naturel : a1
cos(θ)
sin(θ)
-r sin(θ)
r cos(θ)a2
a1
a2
u
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Tenseur métrique
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
[Γ1ij] =
1 0
0 -r
0 1/r
1/r[Γ2
ij] = 0
Symboles de Christoffel :
vr = 0 γr = - vθ2 / r
Accélération radiale d’un point : γr = γ1 = + Γ1kl vk vl = - r (vθ /r)2
dv1
dt
dvr
dt
(r)
(θ)
x1
x2 M
O
OM= r cos(θ)
= r sin(θ)
x1
x2
a1
a2
u
[gij] = 1 0
0 r2[gij] =
1 0
0 1/r2
Tenseur métrique :
CALCUL TENSORIEL
Covariance et contravariance
Repère naturel
Notions de base (cas euclidien)
Géométrie différentielle
Accélération d’un point
Gradient, divergence
Symboles de Christoffel
Espace vectoriel et espace dual
Algèbre tensorielle
Opérations sur les tenseurs
Composantes mathématiques d ’un tenseur
Les tenseurs euclidiens
Expression de quelques opérateurs
Le tenseur métrique
Différentielle absolue, dérivée covariante
Tenseur métrique
Exemple 1 : coordonnées polaires
Accélération d’un point
Composantes physiques d ’un tenseur
Accélération d’un point
