Mesures de répartition de la population

Claude Marois 2012

Mesures de dispersion

• Géométrie de l’espace: propriétés formelles de l’espace géographique ou d’une distribution spatiale • Il y a des mesures de:

points: lieux géographiqueslignes: réseaux surface : unités géographiques

• Elles peuvent être:

descriptivesdispersion d’association

Concepts de base

• Dispersion : c’est le degré d’étalement d’un ensemble de points ou de lieux géographiques à l’intérieur d’un espace fini ou ouvert

• Espacement : c’est la répartition de points entre eux et non par rapport à des limites; on ne s’intéresse qu’à la position relative des points entre eux.

• Localisation : c’est situer un événement ou un lieu par rapport à un système de référence (p. ex. : coordonnées cartésiennes );

elle implique aussi la fréquence relative d’une variable dans un espace donné.

Distance

• Distance : mesure l’écartement entre deux lieux, elle se traduit dans deux types d’espace: - espace métrique : espace mesurable par une métrique;

- espace topologique : espace où les concepts de distance et de direction ne sont pas utiles ; la seule propriété importante est celle de contact, - topologie : partie de la géométrie étudiant les propriétés qualitatives et les positions relatives des objets indépendamment de leur forme et de leur grandeur;

La distance:

• C’est un concept qui prend des expressions différentes distance-temps, distance-coût, distance-perçue ; • Plusieurs indicateurs et mesures permettent de ressortir les caractéristiques spatiales d’une distribution, de comparer deux distributions etc ;

• Elles mettent en évidence le type d’organisation, la fréquence du phénomène dans l’espace, le degré d’étalement de cette distribution ;

• Limites:

- degré de finesse du découpage :plus le découpage est fin, plus il y a des chances de mettre en évidence des variations spatiales;

plus un découpage est détaillé, plus on risque de révéler l’hétérogénéité du milieu;

- - le type de découpage : pour un même territoire à l’étude, il y a plusieurs découpages géographiques possibles.

- la valeur des indices est fonction des formes géographiques et des superficies.

Même organisation et dispersion: densité différente

Même densité et dispersion: organisation différente

Même densité et organisation: dispersion différente

Quotient de localisation

Indicateur classique: quotient de localisation On a “N” unités spatiales et “ ” groupes, on définit les variables suivantes:

1) P = population totale de la région à l’étude

2) Pij = population du groupe “i” et de la zone d’analyse “j”

3) Pi = = population totale du groupe   “i”

4) Pj = = population totale du lieu “j”

Quotient de localisation

les valeurs prises par cet indice sont: si Ql >1 indique que le groupe “i” est mieux représenté en “j” que dans l’ensemble des lieux

si Ql=1 proportion identique

si 0 <Ql < 1 indique que le groupe “i” est sous-représenté en “j” par rapport à l’ensemble des lieux • le quotient de localisation compare la proportion du groupe “i” à l’échelle du lieu “j” par rapport à la proportion du groupe “i” à l’échelle de la région d’étude;

• on peut calculer autant de Ql qu’il y a de zones ou d’unités spatiales; • il y a une lacune : l’indicateur ne tient pas compte de la taille des zones.

Exemple

Si Pij = population de l’ethnie britannique de la ville de Montréal

Pj = population de l’ethnie britannique de l’île de Montréal

Pi= population totale de la ville de Montréal

P = population totale de l’île de Montréal

les données du recensement de 1986:

P = 1 788 000 Pi: 1 015 400Pj= 135 000 Pij = 51 500 alors Ql= (51.5/1015.4) = 0.6715 (135.0/1788.0)

le groupe est sous-représenté

Quotient de localisation

Exemple:

Si Pij = population de l’ethnie britannique de la ville de Montréal

Pi = population de l’ethnie britannique de l’île de Montréal

Pj= population totale de la ville de Montréal

P = population totale de l’île de Montréal

Quotient de localisation

Les données du recensement de 1986:

P = 1 788 000 Pj = 1 015 400Pi = 135 000 Pij = 51 500

Alors

Ql = (51.5/1015.4 = 0.6715 (135.0/1788.0)

le groupe est sous-représenté

Exemple : quotient de localisation

On a 16 zones composant une région pour chacune, on a la population qui a voté pour un parti vert et la population totale

No. zone Nb. Votants Population totale (Pij/Pi)

1 529 2025 0.2612 0.4683

2 1089 1764 0.6173 1.1068

3 1064 1764 0.6173 1.1068

4 676 1849 0.3656 0.6555

5 1089 1764 0.6173 1.1068

6 1444 1936 0.7458 1.3372

7 729 2116 0.3445 0.6177

8 1089 1849 0.5889 1.0559

9 1600 2025 0.7901 1.4167

10 676 2401 0.2815 0.5047

11 1089 1444 0.7541 1.3521

12 1521 2025 0.7511 1.3467

13 841 1600 0.5256 0.9424

14 1156 1681 0.6876 1.2329

15 1369 2116 0.6469 1.01599

16 841 1764 0.4767 0.8547

Σ = 16802 Σ = 30 123 0.5528

Courbe de Lorenz : indice de dissimilarité D

Mesure de similarité

• Technique permettant de mesurer la similarité de deux distributions spatiales:

- représentation graphique - calcul d’un indice de dissimilarité D

• Les étapes de calcul

a) définir 2 variables X et Yb) calculer le rapport Y/Xc) ranger Y/X selon un ordre croissant d) calculer le % de X par rapport à Σ Xe) répéter la même opération pour Y f) cumuler les % de X et de Y g) reporter les % cumulées de X sur l’axe des “X”

et les % cumulées de Y sur l’axe des “Y”

Courbe de Lorenz

• La courbe se situe sous la bissectrice des axes: plus la similarité est grande, plus la courbe se rapproche de la bissectrice; en revanche, si la courbe s’éloigne de la diagonale, alors les distributions spatiales sont différentes;

• L’indice de dissimilarité D est graphiquement la distance maximale entre la diagonale et la courbe dont les valeurs varient entre O et 100% D= Σ I % Xi-%Yi l

2

d’où %Xi et %Yi = pourcentages non-cumulés si D→0 association spatiale D→100 dissociation

Courbe de Lorenz

Propriétés de la courbe de Lorenz:

a) si les 2 distributions sont proportionnellement identiques, la courbe sur le graphique est une diagonale;

b) l’espace compris entre les 2 courbes représente les différences entre les 2 distributions; plus la zone de déviation entre la courbe théorique et la courbe observée est grande, plus la dissymétrie est grande;

c) les données de X et de Y ne peuvent être des valeurs négatives à cause des valeurs cumulatives;

d) si X ou Y est une variable de superficie, alors D devient une mesure de concentration spatiale.

Courbe de Lorenz

Exemple : courbe de Lorenz

On veut comparer la superficie des quartiers et leur population: dans ce cas, la courbe de Lorenz devient un indice de concentration à cause de la comparaison entre la superficie et la population.

y = population par quartier x = superficie du quartier en km2

No X sup. Y pop. Y/X

1 12.5 1014 81.1

2 27.5 2000 75.6

3 18.0 864 48.0

4 34.5 1454 42.1

5 31.8 2894 91.0

6 29.4 3015 102.6

7 47.5 4914 103.5

8 60.4 2514 41.6

9 19.5 914 46.9

No. X Y %X %Y %Xc %Yc

8 60.4 2514 21.5 12.8 21.5 12.8

4 34.5 1454 12.3 7.4 33.8 20.2

9 19.5 914 6.9 4.6 40.7 24.8

3 18.0 864 6.4 4.4 47.6 29.2

2 27.5 2080 9.8 10.6 56.9 39.8

1 12.5 1014 4.4 5.2 61.3 45.0

5 31.8 2094 11.3 14.7 72.6 59.7

6 29.4 3015 10.5 15.3 83.1 75.0

7 47.5 4914 16.9 25.0 100 100

ΣX = 281.1 ΣY = 19663

Exemple : courbe de Lorenz On veut comparer la superficie des quartiers et leur population: dans ce cas, la courbe de Lorenz devient un indice de concentration à cause de la comparaison entre la superficie et la population. y = population par quartier x = superficie du quartier en km2

No X pop. Y pop. X/Y

1 12.5 1014 81.1

2 27.5 2080 75.6

3 18.0 864 48.0

4 34.5 1454 42.1

5 31.8 2894 91.0

6 29.4 3015 102.6

7 47.5 4914 103.5

8 60.4 2514 41.6

9 19.5 914 46.9

Exemple : courbe de Lorenz

On veut connaître la similarité spatiale de 2 groupes d’individus à partir d’une région composée de 10 municipalités

X Y X/Y No./Croi

X Y %X %Y

1. 1200 100 0.08 4. 3400 140 13.3 1.7

2. 2700 200 0.07 3. 1800 80 7.0 0.9

3. 1800 80 0.04 2. 2700 200 10.5 2.4

4. 3400 140 0.04 1. 1200 100 4.7 1.2

5. 3100 280 0.09 5. 3100 280 12.1 3.3

6. 2000 200 0.10 6. 2000 200 7.8 2.4

7. 1500 600 0.40 7. 1500 600 5.9 7.0

8. 2500 1400 0.56 8. 2500 1400 9.8 16.5

9. 3400 2500 0.73 9. 3400 2500 13.3 29.4

10. 4000 3000 0.75 10. 4000 3000 15.6 35.3

Exemple : courbe de Lorenz%X %Y │∑ ∆│

4. 13.3 1.7 11.6

3. 7.0 0.1 6.1

2. 10.5 2,4 8.1

1. 4.7 1.2 3.5

5. 12,1 3.3 8.8

6. 7.8 2.4 5.4

7. 5.9 7.0 1.1

8. 9.8 16.5 6.7

9. 13.3 29.4 16.1

10. 15.6 35.3 19.7

D= ΣI%x - %yI= 87.1 = 43.55 2 2

Σ 87.1

Courbe de Lorenz

Courbe de Lorenz

Entropie relative : mesure de dispersion

La notion d’entropie est utile pour mesurer la dispersion d’une distribution ou l’hétérogénéité d’une structure d’une région

• L’équation prend la forme : H égale moins la somme de

quand la valeur de H est maximale i.e. en “n” il y a une dispersion spatiale ou une diversification maximale;

quand H = 0, il y a une concentration spatiale ou une structure peu structurée; tous les Pij=0 sauf une proportion qui égale à 1.00; pour obtenir un indice H variant entre O et 1, on divise H par Ln “n”

Pij ln Pij

Exemple : Entropie relative, mesure de dispersion

Pij Ln Pij Hmax= ln « n » = 2.1972

52 67 106

72 108 1444

84 115 1369

Zones Nb Pij

1 52 0.0152

2 67 0.0196

3 106 0.0310

4 72 0.0210

5 108 0.0316

6 1444 0.4225

7 84 0.0245

8 115 0.0336

9 1369 0.4006

Σ = 3417 1.0000

Formule de l’entropie :

● H = 0.0152 ln 0.0152 + 0.0196 ln 0.0196 + …………….+0.0336 ln 0.0336 + 0.4006 ln 0.4006 ● H = (0.0152) (-4.1864) + (0.0196) (-3.9322)+ …..+(0.0336) (-3.3932)+ (0.04006) (-3.2117)

● H =

• H = - 1.3736 multiplier le résultat par – pour rendre le résultat positif (+)

• Hmax = ln “9” = 2.1972

• Indice d’entropie relative 1.3736 = 0.6251 2. 1972

Entropie relative

• H = 0.0152 ln 0.0152 + 0.0196 ln 0.0196 + 0.0336 ln 0.0336 + 0.4006 ln 0.4006

• H = (- 0.0636) * (- 0.0770) + (- 0.1076) *(- 0.0811) + (- 0.1091) * (- 0.36400) +(- 0.0908) * (- 0.1140) + (- 0.3664)

• H = 1.3736

• Hmax = ln “9” = 2.1972

• Indice d’entropie relative:

1.3736 = 0.6251 2.1972

varie entre 0 et 1