C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, SCrie I, p. 901-905, 1998 Analyse numCrique/ Numerical Analysis

Mhthode d’&ments finis hybrides en d&composition de domaines pour des probl&mes de contact u&at&al

Khalid LHALOUANI, Taoufik SASS1

UMR 5585, LMMC-INSA de Lyon, bitiment 401, avenue Albert-Einstein, 69621 Villeurbanne cedex, France Courriel : sassi@mathinsa.insa-lyon.fr

(Requ le 2 a&t 1998, accepti ap&s &vision 1~ 12 octobre 1998)

RbumC. Nous proposons une m&hode non conforme d’6lCments finis hybrides en d&composition de domaines pour I’approximation de la solution d’un problbme de contact unilatCra1 saris frottement entre deux solides blastiques. L’espace de raccord est construit i!i l’aide de fonctions constantes qar morceaux sur la zone de contact. Une estimation d’erreur optimale de l’ordre de ha est obtenue dans ce cas. 0 Acadtfmie des Sciences/Elsevier, Paris

Nonconforming mixed variational formulation and domain

decomposition for unilateral contact problems

Abstract. In this Note, we deal with the domain decomposition method with non-matching grids for solving unilateral contact problem without friction between two deformable bodies. The unilateral contact conditions at the interface are expressed with a mixed formulation. The. space of Lagrange multiplier defined on the contact zone is approximated by piecewise constantfunctions. Optimal error bound qf h,a is obtained. 0 Academic des Sciencefilsevier, Paris

Abridged English Version

Mortar finite element method for solving unilateral contact problem without friction between two elastic bodies has been studied first in [4]. The discrete unilateral conditions constitute the key-point of the approximation model. Using projection matching to approximate the unilateral contact conditions, the error estimate is of hi (see [4]). In the case of integral matching the error bound is of ha only (see [3]).

In this Note we propose another strategy which treats the unilateral constrains at the interface by Lagrange multiplier method (see [6], [S]). The mixed formulation of the continuous problem is given by (1.8). Existence and uniqueness of solution are given in [6], [8]. In the discrete level, we assume

Note prbsentbe par Philippe G. CIARLET.

O764-4442/98/03270901 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris 901

K. Lhalouani, T. Sassi

for simplicity that 0’ and R2 are polygonally shaped. To each subdomain P, we associate a regular family of triangulation 7h,“, made of triangular elements T, the diameter of which does not exceed h,, and we set h = max(hr, ha), The finite element space Vf set in each subdomain R” is given by (2.1). The contact zone I’, inherits two regular families of independent (lD)-meshes denoted Sr. Let Sh be the regular subdivision of F;, coarser than Si and Sz. To express the contact constraints, we introduce an auxiliary space defined on Sh by (2.2). Then, we deal with the discretized mixed formulation (2.5) in which the unilateral conditions appear in the weak sense (integral matching). Such finite element approximation has been studied in [X] in the case of one deformable body in contact with a rigid support (Signorini problem), the convergence rate is of order hi. Using the same regularity assumptions for the solution to the continuous problem as in [S], we get a error estimate of hi.

1. Problkme continu et cadre fonctionnel

On considere deux materiaux Clastiques, occupant deux domaines GO, Q = 1, 2 de R2, et susceptibles d’entrer en contact unilateral sans frottement a u-avers une zone rr = I’: = I’:. Le probleme etudie consiste a trouver les deplacements u” et les contraintes Q(@) tels que :

{

diva(7L”) + S” = 0 sur W,

(T(71n)n” = y” sur I?;, (1.1) IL0 = 0 sur r%.

F;, I?;, I’; forment une partition de la frontiere I?” = %l”. Les forces f” et y” sont des donnees regulieres. La loi de comportement Clastique, avec les hypotheses habituelles de coercivite, est :

~7~,(7P) = f~l)~~~~~:h(ftP). avec E(U) = +(Vu+ VuT). (1.2)

Soit [un] le deplacement normal relatif d’un solide par rapport a l’autre sur la zone de contact rC : [zL”] = 2~~ . n1 + 7~~ . n2, (nff Ctant la normale unitaire ext&ieure a 0”).

On introduit le cadre fonctionnel suivant :

v” = {d’ E (H1(W))2 : II = 0 sur r,:}: (1.3)

V = V1 x V2 muni de la norme (1 . 1)~ = (c 1) 9 ]]iICoC,,)‘, cl

A4 = {/L E H-+&); p > 0). Soit (11,~) H u(‘u,‘u) et (A, TJ) H b(u, A) les formes bilineaires continues definies respectivement sur V x V et V x M par :

06 A” = (a&) et (.,.)-i,; designe le crochet de dualite H-~(T’,.),H~(I’,).

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MCthode d’CICments finis hybrides pour le contact

La forme bilineaire b(., .) satisfait la condition inf-sup suivante (voir [2], 151) :

il existe fir > 0 telle que inf pc Ir-‘!J(r,)

sup b(a, p) 2 p1. ,stl’

IhI.,,- l/2(,.,.) = I II 1.11 ,,,=I

La formulation hybride primale du probleme de contact unilateral saris frottement s’ecrit :

(1.7)

trouver (‘~1, A) E V x M verifiant :

u(u, 7l) + b(7,. A) = L(v), vu E v, (1.8)

b(u, p - A) < 0, V/L E hf.

En utilisant la condition (1.7), on montre que le probleme (1.8) admet une solution unique (u, A) E V x M (voir [6], [8]).

2. Probleme approchk et estimation d’erreur

On introduit pour chaque solide V, suppose de forme polygonale, une famille de triangulations regulibre 7; que l’on suppose en plus uniformement reguliere au voisinage de l?, (voiu [7]). Chaque famille 7,; est for-n&e de G triangles D T dont le diambtre ne depasse pas h,, on note 12 = max( hr ! h2). Les traces sur Ir de ces deux triangulations sont independantes. On designera par SI, la subdivision la plus gross&e induite par les triangulations ?;; et par :cl, :cz, . . . , zN, les nceuds de Sh. Pour 9 = 0, 1, on note P,(T) l’espace des polynomes de degre inferieur ou Cgal a (I sur T. On construit les espaces discrets V,: sur chaque sous-domaine :

I$’ = {II;; E (Co(=))“: ~$1~ E (Pl(T))2, VT E &;, u;/~; = O}. (2.1)

On introduit l’espace de raccord (espace des fonctions constantes par morceaux) W, sur I,.

(2.2)

et on delinit le c6ne convexe ferme des multiplicateurs discrets par :

On note IIh l’optrateur de projection sur WI, defini pour toute fonction cp E L2(I’<.) par :

. r ($5 - &(p)/Lh tl.c = 0, vp,, E Iv,,. /.

Concernant le projecteur II,,, rappelons quelques resultats qui nous seront utiles pour les estimations d’erreur et dont on peut trouver une demonstration dans [9], [ 1 I].

LEMME 1. - Soit cp E L2(I’,). Alors il existe me constante c > 0 t&e que :

IIQL(P - v4/H-+(r,.) 5 ch+ l~hio - cPlo,r,. (2.3)

De plus, si cp E H”(r,), u = + ou u = 1, alors il existe une constante c > 0 telle que :

Inh(P - ~lO,r, 5 c Il~l/H”(r,)ff. (2.4)

Et si cp > 0 p.p. SW rc, alors lIhcp E Mh.

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K. Lhaalouani, T. Sassi

Le probleme discret associe au problbme continu (1.8) s’kcrit :

trouver (21h, A,) E Vh x Mh tel que :

a(TAh, %) + b(%, Ah) = L(%), vvh f v,,,

b(Uh./-Lh - Ah) 2 0, VI-lb E Mh.

(2.5)

Le couple d’espaces (vh, TV!,) verifie la condition inf-sup discrete suivante (v&r [ 11, [IO])

il existe une constante /!!z > 0 indtpendante de h telle que : inf P E M’h SUP b(uh,f%) 2 662, (2.6)

‘.hE’h II~l,lI~I-1r2(I. )=I ,,t.*,‘,.=l c

par suite le probleme (2.5) admet une solution unique (‘Uh, Ah) (voir [6], [S]).

LEMME 2. - Soient (u, A) la solution du problkme continu et (?&, Xh) celle du probltke discret. Alors, pour tout Vh E ‘/j, et ph E Mr,, on a

a(u, - u/r, u - t&) 5 (L(u - t&, ‘1L - vh) - b(u - Uh, x - Fiji)

+ b(ti, - uh, x - A,) + b(=: /t - @,L). (2.7)

La demonstration du Lemme 1 se trouve dans [9].

LEMME 3. - Si la solution (u, X) du problsme (I .8) est telle que u E iB”(f>})‘, et si (uh, Ah) est la solution du probkme discret (2.5), alors il existe une constante C(U) > 0 indkpendante de h telle que :

(2.9)

De’monstration. - Soit 21, l’operateur d’interpolation de Lagrange sur VI,. En choisissant dans le lemme 2, zih = Z&u et @h = &A et en utilisanc les proprietes d’approximation de & (voir [7]) et les inegalites (2.3)-(2.4), on obtient d’une part

et d’autre part,

Ib(u - zh’(L, x - Ah)1 < c(u)hjjA - &a/H-U2(r,). (2.11)

L’estimation (2.8) est obtenue en additionant de (2.10) et (2.11). La preuve de (2.9) se deduit de mar&e classique en utilisant la coercivite de a(., .) et la condition (2.6).

Notons que la majoration de l’inegalite (2.8) differe de celle obtenue dans [8]. Cette difference se traduit par I’apparition d’un h devant 11X - Xhjjn-~,~(~,). Ceci va nous permettre d’atneliorer I’estimation d’erreur obtenue dans [8].

THBO&ME 1. -- Sous les mt?mes hypoth&es que le lemme 3, on a

(2.12)

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MCthode d’&kments finis hybrides pour le contact

D.&zorzstration. - En injectant la relation (2.9) dans (2.8), la preuve du thkorkme 1 se ram&e alors S+ l’estimation du terme b(u, ph - A).

RGfdrences bibliographiques

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