Methods for power system transient stability analysis: State of the art

Methodes pour l’analyse de la stabilitetransitoire des systemes electro-energetiques :

Etat de l’art

Methods for power system transient stabilityanalysis: State of the art

Ahmed Gherbi, Bruno Francois et Mohamed Belkacemi�

Les reseaux electriques sont souvent sujets a des perturbations pouvant entraıner des declenchements intempestifs de ses constituants (generateurs,recepteurs, elements de stockage, elements de reglage). Ces perturbations affectent la perte de la stabilite du systeme et provoquent un desequilibreimportant entre la production et la consommation de l’energie electrique. Vu son influence directe sur la fiabilite et la continuite de service, le problemede la stabilite transitoire des systemes electro-energetiques a fait l’objet de nombreuses etudes. Depuis quelques annees, differents modeles et methodesd’analyse ont ete proposes pour resoudre des classes de problemes specifiques lies a la stabilite. Cet article presente une synthese de ces differentesmethodologies permettant l’analyse de la stabilite transitoire des systemes electro-energetiques. Ces methodologies sont classees chronologiquement enmettant en relief leurs avantages et leurs inconvenients.

Power systems suffer from various types of disturbances, which may cause serious damage to system components (generators, receptors, storageelements, power control systems). These disturbances can create system instability and can lead to significant imbalances between energy productionand consumption. Because of its importance to the reliability and continuity of service, the problem of power system transient stability has received agreat deal of attention. Over the years, various models and analysis methods have been proposed to handle specific types of problems related to transientstability. This paper surveys the different methodologies for assessing power system transient stability. The methods are organized chronologicallywith anemphasis on their advantages and disadvantages.

Mots cles/Keywords : modelisation/modelling, reseau electrique/power system, simulation, stabilite transitoire/transient stability

I. Introduction

Les systemes electro-energetiques (SEE) sont souvent sujets a des per-turbations pouvant entraıner de serieux degats sur leurs constituants,notamment les generateurs et les lignes de transmission. Ces pertur-bations peuvent etre externes (telles que les coups de foudre) ou in-ternes (telles que les defauts de court-circuit, les variations brusquesde charge, etc.). Elles affectent les conditions de fonctionnement nor-mal, et conduisent souvent a la perte de la stabilite de tout le systeme.L’equilibre production-consommation de l’energie electrique, et parconsequent, la continuite de service ne sont alors plus assures [1]–[2].

Communement, on dit qu’un systeme est stable s’il demeure dansun etat d’equilibre dans les conditions normales de fonctionnement, ous’il retrouve un autre etat d’equilibre acceptable apres une perturbationquelconque. L’analyse de la stabilite d’un systeme electrique consistealors a etudier le caractere des oscillations electromecaniquesdes alter-nateurs et a maintenir le fonctionnement synchrone apres l’occurrenced’un defaut. L’etude de la stabilite revet une importance particulieredans le fonctionnement et la planification des SEE. En effet, elle per-met la determination des protections et la determination des temps cri-tiques d’elimination des defauts, plus connus sous le terme de CCT(en anglais, critical clearing time), du plan de tension et de la capacited’echange des puissances entre systemes [3].

�Ahmed Gherbi est au Laboratoire d’Automatique de Setif, Departementd’Electrotechnique, Universite de Setif, Setif, 19000-Algerie. Courriel :gherbi [email protected]. Bruno Francois est au Laboratoire L2EP, Ecole Cen-trale de Lille, Cite Scientifique, BP 48, 59651 Villeneuve d’Ascq, France.Courriel : [email protected]. Mohamed Belkacemi est au Departementd’Electrotechnique, Faculte des Sciences de l’Ingenieur, Universite de Batna,Batna, 05000-Algerie. Courriel : [email protected]

Traditionnellement, les problemes de stabilite se divisent en deuxcategories :

� La stabilite de la tension. On la definit comme etant l’aptituded’un SEE a maintenir les tensions en regime permanent sur tousles jeux de barres du systeme a la fois durant les regimes de fonc-tionnement normal et perturbe. La nature de la stabilite de la ten-sion peut etre analysee en examinant la production, le transportet la consommation de l’energie reactive. Plusieurs facteurs con-tribuent a la stabilite de la tension [4], tels que les limitationsen puissance reactive generee, les caracteristiques de charges,les caracteristiques dynamiques des appareils de compensationde l’energie reactive et l’action des appareils de regulation entension.

� La stabilite des angles. Elle s’interesse a l’aptitude des machinessynchrones a maintenir le synchronisme dans un reseau intercon-necte. Elle necessite l’etude des oscillations electromecaniquesdans le reseau [5].

Le probleme de la stabilite est etroitement lie a la nature de la per-turbation. Si celle-ci est limitee a de petites variations autour d’unpoint d’equilibre, l’analyse de la stabilite consiste a rechercher desproprietes de stabilite de ce point d’equilibre. Selon l’ampleur de laperturbation, les problemes de stabilite sont generalement divises entrois categories [3] : la stabilite statique, la stabilite dynamique et lastabilite en regime transitoire :

� La stabilite statique, appelee aussi stabilite en “petits mouve-ments ou en petits signaux”, consiste a etudier l’aptitude d’unsysteme a regagner le synchronisme apres une faible et lente per-

Can. J. Elect. Comput. Eng., Vol. 31, No. 1, Winter 2006

4 CAN. J. ELECT. COMPUT. ENG., VOL. 31, NO. 1, WINTER 2006

turbation (telle qu’une variation graduelle de charge). Dans cecas, les systemes automatiques de regulation (de tension et devitesse) ne sont pas actionnes. La methode d’etude consiste alorsa obtenir un modele lineaire, puis a caracteriser son degre destabilite soit a partir de ses valeurs propres, soit a partir de lamethode de Routh-Hurwitz.

� La stabilite dynamique est une extension de la stabilite sta-tique qui prend en compte les dispositifs de commande et deregulation. Elle constitue une propriete de l’etat du systemeet represente une condition necessaire au fonctionnement duSEE. Le probleme est alors decrit par un systeme d’equationsdifferentielles generalement lineaires.

� La stabilite transitoire traite des effets des perturbations brutalesde forte amplitude et de courte duree, comme par exemple lesdefauts de court-circuit, les enclenchements/declenchements decharges importantes, les deconnexions de lignes de transmis-sion, etc. Ce type de problemes peut etre traite en considerantune variation brusque d’une impedance de transfert ainsi qu’uneperte de synchronisme dans une partie du reseau electrique.L’intervention des regulateurs et des automatismes du reseauest indispensable pour retablir la stabilite pendant la periodetransitoire. Dans ce cas, le probleme se decrit par un systemed’equations differentielles et algebriques non lineaires. L’analysede la stabilite transitoire tient compte du regime dynamique dusysteme dans sa premiere oscillation transitoire (de l’ordre dequelques centaines de millisecondes) avant que la modificationde la configuration du systeme ne se produise par manoeuvre desappareils de protection (disjoncteurs). Dans ce type d’analyse, ladetermination du CCT, qui est une caracteristique de fonction-nement des disjoncteurs, est d’une importance majeure a la foisdans l’analyse, la planification et le fonctionnement du SEE [6].La valeur du CCT depend non seulement de la position et del’ampleur du defaut, mais aussi des parametres du SEE [7].

Vu son importance dans la continuite de service, le probleme dela stabilite transitoire des SEE a suscite de nombreux travaux derecherche. Cet article presente une etude descriptive et comparativeentre les differentes methodologies existantes pour l’analyse de la sta-bilite transitoire des SEE. Ces methodologies se distinguent entre ellespar les techniques de modelisation employees pour caracteriser la sta-bilite transitoire ainsi que les hypotheses adoptees. Nous les avonsclassees en cinq categories qui different significativement suivant lanature de la methode adoptee :

� les methodes d’integration numerique (ou temporelles) ;

� les methodes directes (ou energetiques) ;

� les methodes stochastiques (probabilistes) ;

� les methodes basees sur la reconnaissance de formes ;

� les methodes non lineaires adaptatives.

A travers cet article, nous avons voulu presenter aux lecteurs non-inities les principes de base de ces methodes. Leurs avantages et leursinconvenients seront egalement exposes. La presentation des exten-sions et innovations apportees au cours de ces dernieres anneesmontrede facon significative les orientations actuelles de cette thematique.Pour une meilleure lecture, notons que les nombreux acronymesutilises sont regroupes dans une nomenclature au tableau 1.

II. Methodes pour l’analyse de la stabilite transitoire

A. Methode temporellePour l’etude de la stabilite transitoire, un modele approprie de chacundes elements constituant le reseau electrique est necessaire pour lestrois regimes de fonctionnement (avant, durant le defaut et apres). Depart la nature des perturbations, le comportement du systeme doit etreanalyse durant la courte periode apres l’occurrence du defaut. Ainsi,

Tableau 1Nomenclature des acronymes

AVR Automatic voltage regulatorAG Algorithme genetiqueCAE Critere des aires egalesCCT Critical clearing timeCLF Controleur a logique floueCUEP Controlling unstable equilibrium pointFACTS Flexible ac transmission systemFET Fonction d’energie transitoireFLPSS Fuzzy logic power system stabilizerOMIB One-machine infinite busPEBS Potential energy boundary surfaceRNA Reseau de neurones artificielsSEE Systemes electro-energetiquesSEP Stable equilibrium pointSIME SIngle machine equivalent

les conditions initiales de fonctionnement du systeme sont determineespar les donnees du regime permanent avant l’apparition du defaut.

Differents modeles numeriques conventionnels pour l’evaluationde la stabilite transitoire sont disponibles dans la litterature. Ilscomportent a la fois des equations differentielles du premier ordre(modelisant les generateurs synchrones et leurs systemes d’excitation)et des equations algebriques (modelisant le reseau electrique et laliaison des enroulements statoriques des machines). Dependant de laprecision du modele considere de la machine synchrone, le nombred’equations differentielles et algebriques peut varier significativementpour chaque systeme machine-turbine. Ces equations, fonctions dutemps �, s’ecrivent sous la forme generale suivante [8] :�

��

� � �� (1)

ou � est le vecteur des variables d’etat, telles que l’angle roto-rique, la tension d’excitation, les f.e.m. des machines, les puissancesmecaniques, etc. ; � est le vecteur des variables de sortie etudiees dusysteme, telles que les tensions aux jeux de barres; et � et � sont con-nues, respectivement, sous le nom de “fonction dynamique” et “fonc-tion des contraintes”.

Ces equations sont resolues simultanement dans le domaine tem-porel en utilisant des algorithmes d’integration numerique, dont lesplus utilises sont la methode d’integration de Runge-Kutta du qua-trieme ordre et la methode d’Euler modifiee.

L’analyse de la stabilite d’un SEE par la methode d’integrationnumerique se decompose en quatre etapes principales :

1. le developpement d’un modele mathematique representant lereseau electrique et le comportement dynamique des differentselements du SEE ;

2. la determination de l’etat initial du systeme et de la perturbationa etudier ;

3. l’obtention de la reponse transitoire par evaluation dans le do-maine temporel des differents regimes d’operation du SEE ;

4. l’analyse de la solution temporelle obtenue en vue de determinerle nouvel etat de fonctionnement permanent s’il existe.

Les avantages de la methode temporelle se resument dans ce quisuit :

� Elle fournit une reponse exacte sur la stabilite du systeme.� Elle produit les variations temporelles de toutes les quantites dontcertaines sont necessaires pour l’etude du phenomene de stabiliteou pour etablir le plan de protection du reseau electrique.

GHERBI / FRANCOIS / BELKACEMI : METHODES POUR L’ANALYSE DE LA STABILITE TRANSITOIRE 5

Cependant, elle presente des inconvenients, qui ne peuvent etrenegliges :

� Le temps de calcul est assez eleve et croıt avec la complexite dusysteme.

� Cette methode est tres lente et ne permet pas de calculer la margede stabilite.

� Elle ne peut etre utilisee pour l’evaluation en ligne de la stabilitetransitoire.

Les recherches actuelles portent a la fois sur l’adaptation desmethodes de resolution numerique et sur la description et la mise enequation du modele mathematique. Hiskens et Hokolowski [9] ont as-socie au systeme classiqued’equations differentielles et algebriquesunmodele d’etat comportemental du SEE, le tout constituant un systemehybride. Le comportement d’un tel systeme sur des periodes entreevenements est decrit par le systeme d’equations (1). Les equationsdifferentielles ont ete approchees, en utilisant la methode d’integrationtrapezoıdale, par un ensemble d’equations couplees avec celles dusysteme (1). Autrement dit, l’evolution des etats � et � entre les in-stants �� et �� est decrit par les equations non lineaires suivantes :��

��

��

�

��

��

��

��

� � ��

��

(2)

avec�� , le pas d’integration.

Recemment, les auteurs [10] ont exploite l’approche orientee objet(flexibilite et modularite) pour la modelisation du probleme de sta-bilite transitoire d’un SEE multimachine par l’implementation d’unebibliotheque mathematique necessaire pour la resolution des equationsdifferentielles et algebriques decrivant le processus dynamique dusysteme. La methode proposee permet une meilleure flexibilite de laresolution des equations differentielles sans affecter le temps de calcul.Les composants et les sous-systemes sont modelises d’une maniereautonome (objets) et leurs connections sont etablies par des equationsalgebriques simples decrivant les variables d’interfaces.

B. Methodes directes (ou methodes energetiques)Pour surmonter les inconvenients des methodes temporelles, plusieurstravaux ont ete conduits en vue d’une evaluation directe de la stabilitetransitoire de SEEmultimachines. Les methodes developpees, dites di-rectes, permettent la determination des limites de la stabilite transitoiresans avoir recours a la resolution des equations d’etats differentiellesdu systeme. Parmi les diverses methodes proposees, nous detailleronsci-apres les methodes reposant sur la methode de la fonction d’energietransitoire (FET) et le critere des aires egales (CAE). Ces methodesont recu un interet particulier par le milieu professionnel du fait deleur simplicite et de leur efficacite pour l’analyse directe de la stabilitetransitoire.

1. Methode reposant sur la fonction d’energie transitoireQuand l’equilibre d’un SEE est perturbe, il y a un exces (ou un deficit)d’energie associee auxmachines synchrones. Cette variation d’energiepeut entraıner les rotors des machines a osciller loin de leurs pointsd’equilibre, et engendrer la perte de synchronisme de tout le systemeelectrique. Pour eviter cela, le systeme doit etre capable d’absorber cetexces d’energie.

Pour une configuration donnee du systeme, il existe une quantitecritique d’energie transitoire que le systeme peut absorber et conver-tir en d’autres formes d’energie [11]. La seconde methode directede Lyapunov s’inspire de ce principe. Elle a fait l’objet de plusieursdeveloppements significatifs durant les deux dernieres decennies pourl’estimation de la stabilite transitoire [12]. Selon cette methode, ilexiste un seul point d’equilibre stable �� (en anglais, stable equilib-rium point, SEP) dans l’espace d’etat du systeme apres elimination dudefaut. Autour de ce point, il y a une region d’attraction. Si la tra-jectoire du systeme perturbe a l’instant d’elimination du defaut CCTse trouve dans la region d’attraction, le systeme est alors instable ;

dans le cas contraire, il est stable. Le CCT est alors defini commeetant le temps pour lequel la trajectoire se situe immediatement al’interieur de la frontiere de la region d’attraction. Cependant le calculde cette region pour un SEE non lineaire dynamique est tres difficile aeffectuer.

Cette methode consiste donc a decrire l’interieur de la regiond’attraction par comparaison de la valeur de l’energie transitoire totale(energie potentielle + energie cinetique), appelee : fonction d’energietransitoire, � ��, et calculee a l’instant d’elimination de la pertur-bation, avec l’energie critique estimee, �� . Cette derniere constituel’energie maximale qui peut etre contenue dans le SEE. La differenceentre �� et � �� definit l’indice de stabilite connu sous le nom demarge de stabilite. Le systeme est considere transitoirement stable sil’indice de stabilite est positif (c’est-a-dire� �� ). Dans le cascontraire, le systeme est instable. La valeur de cet indice representele degre de stabilite ou d’instabilite du systeme. Le temps critiqued’elimination CCT correspond a la duree pour laquelle la marge destabilite est nulle.

Pour mettre en oeuvre cette methode, la fonction d’energie de Lya-punov doit etre au prealable correctement determinee pour qu’elle soitfidelement representative de l’evolution de la stabilite du SEE etudie.C’est pourquoi durant la derniere decennie, de nombreuses investiga-tions ont ete effectuees en vue de caracteriser les expressions des fonc-tions de Lyapunov a utiliser en fonction du SEE etudie. La methode dela FET a atteint une phase de maturite et permet une evaluation preciseet fiable de la stabilite transitoire. Dans la litterature, on trouve troistypes de methodes utilisant la FET [13]. Cesmethodes considerent quela region d’attraction est formee de quelques points d’equilibre insta-bles (en anglais, unstable equilibrium point, UEP) entourant le pointd’equilibre stable �� a travers une surface particuliere multidimension-nelle. Elles se resument comme suit :

1. La methode du point d’equilibre instable (en anglais, UEPmethod). Elle consiste a choisir �� ou �� est leUEP correspondant a la valeur minimale de la fonction de Lya-punov � parmi tous les points se trouvant sur la frontiere destabilite du SEE apres l’elimination du defaut. Cette methodeest tres conservative car elle est independante des conditionsd’occurrence du defaut.

2. La methode du point d’equilibre instable controle (en anglais,controlling unstable equilibrium point (CUEP) method). Elleconsiste a identifier le CUEP correspondant au defaut etudieet a l’utiliser pour la construction de la fonction de Lyapunovlocale telle que �� ou �� est le CUEP insta-ble controle. En pratique, la determination du CUEP est assezcomplexe. Pour surmonter cette complexite, differentes modifi-cations de la methode ont ete decrites dans la litterature [13]–[14]. L’un des avantages des methodes de CUEP est leur capacitea determiner l’indice de stabilite ou la marge d’energie transitoirepour evaluer la stabilite relative du systeme etudie. Cependant,elles peuvent souffrir de problemes de convergence dans le cal-cul du CUEP et le temps de calcul augmente avec le nombre demachines [13].

3. La methode PEBS (en anglais, potential energy boundary sur-face). Elle consiste a choisir�� ou��est la valeur maximale de l’energie potentielle le long de la tra-jectoire generee par le defaut dans l’espace d’etat. Cette methodepermet l’evaluation rapide et precise de la stabilite. Dans [14], lesauteurs ont applique la methode du PEBS pour une premiere ap-proximation du CCT ; ensuite la methode temporelle est utiliseeen vue de tester et d’ameliorer sa precision. La methode proposeea prouve son efficacite dans l’evaluation en ligne de la stabilite.

Sur la base des principaux articles publies, certains avantages dela methode directe de Lyapunov peuvent etre deduits et se resumentcomme suit :

� Elle peut etre appliquee pour l’analyse en ligne de la stabilite.

� Elle est capable d’estimer le degre de stabilite d’un systeme pourun etat de fonctionnement et une configuration donnee.


Figure 1: Methode du critere des aires egales.

� Pour la determination du CCT des disjoncteurs lors del’apparition de differents types de defauts, le temps de calcul estreduit par rapport a celui de la methode temporelle.

Cependant, cette methode presente des inconvenients, notamment :

� Des modeles simplifies de la machine synchrone sont utilisesdans la determination des fonctions de Lyapunov.Generalement,la f.e.m. et la puissancemecanique sont supposeesconstantes du-rant l’application de la perturbation.

� Les charges sont souvent modelisees comme des impedancesconstantes.

� Des equations, decrivant le systeme en regime perturbe, sontnecessaires pour avoir les conditions initiales calculees en post-defaut et pour determiner le CCT.

� Le critere se limite a une region estimee de la stabilite ; mais sile point de fonctionnement se trouve hors de cette region, on nepeut alors rien dire en ce qui concerne la stabilite (ou l’instabilite)du systeme car la theorie de Lyapunov repose sur des conditionssuffisantes mais pas necessaires.

� La methode fournit des resultats conservatifs de part la diffi-culte quant a la determination de la fonction de Lyapunov et del’energie critique necessaire pour rendre le systeme instable pourune perturbation donnee. L’energie critique �� est difficile aobtenir. Sun et al. [15] ont propose une nouvelle fonction de Lya-punov en utilisant la theorie du systeme de Hamilton applicablepour un SEE simple.

� Bien que les conductances de transfert jouent un role importantdans les reseaux reduits, la majorite des chercheurs les negligeafin d’eviter les grandes difficultes rencontrees dans la construc-tion de la fonction de Lyapunov. Certains chercheurs [16] onttente d’introduire les conductances de transfert, mais cela con-duit a des calculs matriciels plus compliques.

2. Methode du critere des aires egalesLa methode du critere des aires egales (CAE) permet la predictionde la stabilite transitoire d’un systeme OMIB (pour one-machine in-finite bus) (figure 1(a)). Elle est basee sur l’interpretation graphique

de l’energie emmagasinee dans les masses tournantes en utilisant lacaracteristique de la puissance en fonction de l’angle relatif rotorique(figure 1(b)).

En regime sinusoıdal etabli, le fonctionnement du systeme est decritpar l’equation du flux de la puissance electrique [5] :

��

�

�� Æ � �� Æ� (3)

ou� est la reactance du systeme de transmission ; ��Æ� est la ten-sion de sortie de la machine G ; ��Æ� est la tension au jeu de barresde puissance infinie ; Æ � Æ� � Æ� est l’angle relatif rotorique de lamachine ; et �� est la puissance electrique maximale.

Pour le cas d’une machine synchrone connectee a un reseau infini,l’equation d’oscillation est donnee par :

�

��

�Æ

�� (4)

ou � est la constante d’inertie de la machine ; �� est la frequence dusysteme ; � est appelee la puissance d’acceleration de la machine ;et �� est appelee la puissance mecanique de la machine supposeeconstante.

A l’etat initial, correspondant a Æ � Æ�, le systeme est en regimepermanent. Il est caracterise par son etat d’equilibre et l’egalite�� .

Pendant la perturbation, la puissance electrique � �� de la machinedecroıt brusquement alors que la puissance mecanique �� demeurepresque constante. La puissance d’acceleration � devient positive, lamachine tend a accelerer et son angle Æ decroıt. L’aire �� entre ��et �� est appelee l’aire d’acceleration et est donnee par :

��

� Æ��

Æ�

�� Æ� (5)

Une fois le defaut elimine, en Æ � Æ�� (correspondant au CCT), lapuissance d’acceleration devient negative (� � � ��) apres defaut,et la machine tend a freiner. Son angle rotorique continue a augmenterjusqu’a ce que l’aire de deceleration, donnee par :

��

� Æ��

Æ��

�� Æ� (6)

devienne egale a l’aire de l’acceleration ��.

En Æ � Æ��, l’angle rotorique commence a decroıtre en sedirigeant vers un point d’equilibre et oscille entre Æ� et Æ�� a safrequence naturelle jusqu’a ce que la machine se stabilise. La methodedu CAE est caracterisee par l’egalite des energies �� et ��.L’angle critique Æ�� et l’angle maximal Æ�� sont donnes respective-ment par :

Æ��

��Æ� � Æ�� Æ� � �� Æ��

��

(7)

et

Æ��

��

��

�� (8)

Le systeme est considere instable si l’angle de la machine con-tinue a augmenter quand la puissance d’acceleration devient nulleen Æ � Æ��. La stabilite d’un systeme monomachine peut doncetre determinee par observation de la variation de la puissanced’acceleration et de la vitesse de la machine pendant la periode apresdefaut. En d’autres termes :

� Si �� , le systeme est stable.

� Si �� , le systeme est instable.


Khan et Shahzad [17] ont decrit un programme interactif, sousenvironnement DOS, comportant une interface graphique permet-tant l’etude de la stabilite transitoire sur la base du CAE et de lamethode d’integration numerique. Une methode de calcul des aires,d’acceleration et de deceleration, est presentee pour un systeme avecet sans pertes. Ce programme, a caractere pedagogique, se limite aumodele classique de la machine et peut calculer uniquement l’anglecritique Æ�� d’elimination de defaut pour un type de defaut specifique.

L’avantage de la methode du CAE est l’analyse simple et directe dela stabilite transitoire sans avoir recours a la resolution des equationsd’oscillation du systeme dans les conditions transitoires. Bien qu’ellene puisse etre applicable pour des systemesmultimachines, la methodedu CAE montre l’effet de certains facteurs sur la stabilite transitoiredu SEE.

Cependant, cette methode presente les inconvenients suivants :

� Elle permet uniquement le calcul de l’angle critique Æ��d’elimination de la perturbation.

� Elle n’est applicable que pour un systeme monomachine (unemachine raccordee a un reseau infini) ou a un systeme a deuxmachines.

� La machine synchrone est representee par son modele classiquesimplifie ou les effets transitoires et subtransitoires sont negliges.

� La puissance mecanique de la turbine est supposee constante.

Certains scientifiques [18] ont tente durant ces dernieres anneesd’ameliorer la methode du CAE classique en introduisant de nou-velles methodologies. Ces dernieres representent une generalisation dela CAE pour la prediction de la stabilite en ligne des SEE multima-chines. En effet, une methode dite du CAE etendu, qui constitue uneapplication particuliere de la methode directe de Lyapunov pour lesgrands SEE multimachines, est actuellement largement utilisee dansl’estimation de la stabilite transitoire. Elle consiste a :

1. diviser les machines du systeme en deux groupes (l’un regroupeles machines critiques susceptibles de provoquer l’instabilite dusysteme et l’autre regroupe les machines restantes du systemeetudie) ;

2. reduire les deux groupes ainsi formes a deux machinesequivalentes ;

3. remplacer le systeme obtenu par un systeme monomachineequivalent ;

4. appliquer le CAE classique sur ce systeme equivalent.

Cependant, le systeme equivalent a deux machines ne representepas, d’une maniere precise, le comportement dynamique du systememultimachine original et les resultats ne sont qu’approximatifs.

Haque [19] a presente une methode modifiee du CAE applicablea un systeme multimachine. Elle consiste a etudier la stabilite tran-sitoire d’une seule machine, dite “critique”, definie comme etant lamachine la plus severement perturbee pouvant initier l’instabilite dusysteme. La stabilite transitoire est determinee, en verifiant les li-mites d’instabilite uniquement sur cette machine critique, en utilisantla methode du CAE modifie. La limite de stabilite est diagnostiquee apartir de l’occurrence simultanee de la puissance d’acceleration nulleet la vitesse de la machine critique durant la periode apres elimina-tion du defaut. Contrairement a la methode de CAE classique, cettemethode evite d’une part la determination du point critique instable,qui necessite un temps de calcul important, et d’autre part, diminuecertaines hypotheses simplificatrices adoptees par d’autres methodes.

C. Methodes probabilistesD’une maniere generale, les approches statistiques consistent a :

1. generer une base de donnees composeed’exemples de problemescouvrant une grande gamme de situations. Chaque exemple est

fait d’une description d’un etat particulier du systeme electriqueet d’une information de la robustesse de cet etat vis-a-vis duprobleme etudie. L’etat du systeme est decrit par des parametressusceptibles d’etre choisis comme entrees au critere final de sta-bilite. L’information sur la robustesse de l’etat du systeme peutetre, soit une classification discrete (c’est-a-dire conduisant a unesituation acceptable ou non quand il est soumis a un incident),soit la marge de stabilite transitoire.

2. analyser la base de donnees decrivant les situations possibles dusysteme, et construire un modele reliant les parametres d’etat dusysteme avec le critere de stabilite en utilisant, par exemple, desmethodes d’apprentissage automatique.

Vu la nature aleatoire et probabiliste des facteurs initiaux d’une per-turbation (notamment la position et le type du defaut), plusieurs ap-proches ont ete decrites pour realiser des analyses stochastiques envue de maintenir la stabilite transitoire du systeme electrique [20]. Lesprincipales sont resumees ci-apres.

Laparo [21] a developpe un modele dynamique du systemeelectrique a “structure variable” tenant compte des phenomenes tran-sitoires et des stabilisateurs de tension et de vitesse en vue de l’etudedes effets des evenements cascades sur la securite du systeme. Lesevenements cascades sont des evenements primaires, qui sont desperturbations independantes de l’etat modelisees par des manoeuvresaleatoires dans le systeme, et des evenements secondaires qui sont desperturbations dependantes de l’etat dues par exemple aux actions desappareils de protection. Une nouvelle methode de mesure de la securitedynamique, indiquant la probabilite d’existence d’un point de fonc-tionnement dans la region de securite, a ete proposee.

Wehenkel et al. [22] ont propose une approche probabilistique enutilisant la methode de Monte-Carlo et la methode de reconnaissancedes formes. Cette approche tient compte des evenements les plus pro-bables pouvant conduire a la perte de stabilite, la nature des pheno-menes dynamiques (lents et rapides), ainsi qu’aux incertitudes demodelisation. Elle consiste en trois etapes :

1. la modelisation probabiliste des causes pouvant conduire a desconditions extremes de fonctionnement (fonctionnement anor-mal des systemes de protections, perturbations multiples simul-tanees) ainsi que les incertitudes (comportement de charge,systemes externes) ;

2. l’utilisation des simulations de Monte-Carlo a des scenariosdependante de l’information disponible du systeme qui con-siste en une combinaison aleatoire des conditions de fonction-nement, hypotheses de modelisation dynamique (exemple, lesparametres des protections, systemes externes, charges, etc.) etdes perturbations ;

3. la construction d’une base de donneesdes resultats de simulation,rassemblant les variables cles et leurs comportements temporels.

Vittal et al. [23] ont propose une approche interessante pour calculerle “risque d’instabilite transitoire” d’un point de fonctionnement d’unsysteme electrique. Le risque est defini comme le produit de la proba-bilite d’instabilite transitoire avec le cout industriel de cette instabilitesur une periode de fonctionnement donnee. La determination de cetindice de risque permet d’etablir des decisions relatives aux limites defonctionnement ; la securite dynamique s’en trouve ainsi amelioree.

D. Methodes issues de la reconnaissancede formesLes methodes de reconnaissancede formes ont fait l’objet de beaucoupd’investigations depuis une trentaine d’annees pour l’analyse rapidede la stabilite transitoire [24]. La mise en oeuvre d’un systeme de re-connaissance de formes applique aux SEE peut etre divisee en troisetapes :

1. La representation proprement dite (description). Elle consiste adecrire le reseau electrique par une modelisation mathematiquedes situations physiques caracteristiques de son comportement.


Figure 2: Reseau de neuronesmulticouche.

2. L’extraction de caracteristiques. Elle consiste a extraire un en-semble de fonctions discriminantes a partir des attributs selec-tionnes precedemment. Ces caracteristiques conduisent a dis-tinguer des situations uniques appelees “formes”.

3. La classification. Cette etape consiste a concevoir et a deriverun classificateur qui associe une situation reelle a une forme etetablit des decisions basees sur les caracteristiques selectionneesprecedemment.

Pour la description initiale d’un SEE, quatre types de parametrespeuvent etre utilises :

� le module de la tension et l’angle de phase en chaque jeu de bar-res du SEE ;

� les puissances active et reactive de chaque machine ;

� les puissances active et reactive aux jeux de barres de charge ;

� l’ecoulement des puissances active et reactive a travers toutes leslignes de transmission.

Cependant, tous ces parametres representent des conditions sta-tiques du systeme. Prabhakara et El-Abiad [25] ont considere lesangles rotoriques relatifs des machines, les pertes de puissancedans les lignes et les puissances synchronisantes des machines pourobtenir une description plus appropriee de l’etat du systeme. Certainschercheurs [26] ont montre que des ameliorations dans la classifica-tion peuvent etre obtenues en utilisant des mesures transitoires, tellesque l’energie cinetique individuelle de toutes les machines. Un algo-rithme de reconnaissance utilisant des donnees statiques et transitoiresa ete construit par [27]. Les mesures sont groupees en deux caracte-ristiques qui sont l’energie asynchrone et la marge de puissance trans-mise. Les classificateurs les plus repandus et les plus performants al’heure actuelle sont les reseaux de neurones.

Bien qu’elles soient extraordinairement rapides pour l’extractiondes informations sur le cas inconnu a l’etude, les methodes par re-connaissance des formes presentent certaines limitations, a savoir :

� la precision de la methode de classification reste limiteepuisqu’elle est basee sur une methode d’interpolation ;

� un grand nombre de simulations est necessaire pour la formationd’un ensemble convenable de cas tests preanalyses.

E. Techniques non lineaires adaptativesLes methodes precedemment decrites necessitent des calculs lourds etsurtout des temps prohibitifs de calcul. Elles sont difficilement envisa-geables pour une analyse en ligne (en temps reel) de la stabilite. C’estpourquoi des techniques adaptatives ont ete utilisees pour l’analyse entemps reel de la stabilite des SEE. Ces methodes suscitent de grandsespoirs dans la communaute des chercheurs qui engage des travauximportants en vue d’analyser et d’ameliorer la stabilite des SEE. Dansce cadre, nous presenterons quelques applications des reseaux de neu-rones, de la logique floue et des algorithmes genetiques apres un ex-pose de leur principe.

Figure 3: Modele d’un neurone.

Figure 4: Principe de l’apprentissage.

1. Les reseaux de neurones artificielsLe terme “reseaux de neurones artificiels” (RNA) est utilise pourdecrire diverses architectures de processeurs elementaires simples(neurones) fortement interconnectes fonctionnant en parallele pourexecuter des taches de calculs. L’architecture typiquement utiliseecomporte des neurones organises en couches comme le montre lafigure 2.

Sur la base des informations qu’il recoit, chaque neurone � calculesa sortie en effectuant la somme ponderee de ses influx et en appliquantsur le resultat obtenu une fonction d’activation (figure 3) :

� � �

��

��

�� (9)

ou � est la fonction de transfert appelee : fonction d’activation du neu-rone (la fonction sigmoıde est generalement utilisee) ; �� est l’entree �du neurone; �� est le poids synaptique entre le neurone et celui de lacouche precedente ; et � est le biais caracterisant le seuil d’activationdu �eme neurone.

Ce que l’on appelle “apprentissage”, pour un reseau de neurones,consiste en fait a evaluer les poids synaptiques en optimisant un critere.Ce critere mesure la qualite des reponses du reseau par rapport a unensemble d’exemples qui lui sont soumis. Ainsi, l’ensemble des poidsrepresente l’information qui a ete codee et stockee dans le reseau. Pra-tiquement, pour realiser un apprentissage supervise, on dispose d’uncomportement precis des sorties que l’on desire inculquer au reseau deneurones. La mesure de la difference, entre les reponses du reseau etles reponses correctes, est utilisee par un algorithme d’apprentissagepour corriger les poids synaptiques de facon a reduire cette erreurcomme illustre par la figure 4.

De part leurs aptitudes a la classification, la memorisation, laprediction, l’interpolation et l’approximation, les RNA entraınes appa-raissent comme une alternative auxmethodes analytiques non lineairesconventionnelles appliquees aux SEE [28]. Ainsi diverses approchesinteressantes utilisant les RNA [29] ont ete developpees pour resoudre


Figure 5: Modele de reseau de neurones propose par [37].

des problemes dans les systemes electriques, tels que : la regulation,la surveillance et la prevision des defauts, l’evaluation de la stabilite,l’identification et la modelisation des charges.

Les diverses applications des RNA dans le domaine de l’evaluationen ligne de la stabilite se differencient suivant le choix des variablesd’entree et de sortie ainsi que le type d’algorithme d’apprentissageadopte. La majorite des auteurs choisissent intuitivement les variablesd’entree parmi les variables du SEE etudie. Cette selection peut etrerealisee a partir d’une analyse de la sensibilite de chaque variabled’entree consideree par rapport a la grandeur de sortie etudiee [30].Generalement, les variables de sortie sont soit le CCT, soit un criterede stabilite du SEE [31]. Plus rarement, la marge de stabilite est choisiecomme sortie [32].

L’approche proposee dans [33] est basee sur l’utilisation des RNApour resoudre le probleme de la securite dynamique d’un systememul-timachine. Pour cela, un modele neuronal multicouche avec un al-gorithme de retro-propagation de l’erreur est utilise pour predire leCCT sous differentes conditions de fonctionnement et topologies dusysteme electrique. Les parametres d’entree sont calcules a partir desangles rotoriques et de la puissance de sortie de chaque machine. Lasortie du reseau de neurones est le CCT et est calcule par integrationnumerique des equations d’etat du systeme. Concernant l’evaluationde la securite dynamique, [34] a propose de combiner un apprentis-sage supervise et un apprentissage non supervise, ce dernier permet-tant la classification des formes d’entree sur la base de leurs ressem-blances. En se basant sur cette methode, [35] a propose une nouvellemethodologie pour une prediction precise de la tension aux jeux debarres lors de fortes variations de la charge. L’apprentissagenon super-vise reste applique pour decouvrir les similarites des formes d’entree.Le reseau de neurones a ete organise en quatre etages paralleleshierarchiques fonctionnant simultanement. Ils permettent de predirela tension pour chaque groupe de formes. Les formes d’entree de tousles etages des reseaux de neurones sont les variables du systeme quiaffectent souvent la tension des jeux de barres. Vu sa precision elevee,cette methodologie peut etre appliquee dans les applications en tempsreel pour l’estimation de la tension aux jeux de barres lors d’une per-turbation, et dans l’evaluation en ligne de la stabilite transitoire.

Krishna et Padiyar [36] ont utilise les RNA multicouches pourl’evaluation en ligne de la stabilite transitoire d’un systeme electrique

constitue de �� jeux de barres et �� machines. Pour cela, ils ont con-sidere deux types de RNA, l’un avec une seule sortie pour la predictionde la stabilite du systeme, et l’autre avec �� sorties pour predirele mode d’instabilite pour les cas instables. Au total, �� exem-ples d’entraınement ont ete generes par simulations dans le domainetemporel pour des defauts triphases en differentes positions dans lesysteme. Les auteurs ont choisi comme entrees aux RNA, les puis-sances mecaniques, avant l’occurrence du defaut, de toutes les ma-chines ainsi que les valeurs absolues des elements diagonaux de lamatrice admittance reduite apres elimination du defaut. Apres avoirconstate que la methode d’apprentissage basee sur la descente dugradient etait tres lente, les auteurs ont choisi d’utiliser la methoded’apprentissage de Levenberg-Marquardt. Bien qu’elle soit relative-ment plus rapide, cette methode necessite une grande capacite dememoire dependant du nombre de poids synaptiques, du nombre desorties et du nombre d’exemples d’apprentissage. Pour les cas etudies,la prediction de la stabilite a ete effectuee avec une bonne precisionpour des charges variant dans l’intervalle de ��% a ��% de lacharge nominale ; par contre la prediction du mode d’instabilite n’estpas suffisamment precise bien que les charges considerees soient dansl’intervalle de ��% a ��% de la charge nominale.

Amjady [37] a propose une nouvelle architecture de RNA avecun algorithme d’apprentissage ameliore pour l’estimation du CCT.Cette architecture comprend un certain nombre, � , de sous-RNAfonctionnant en parallele, comme illustre sur la figure 5(a). Unsysteme de repartition a ete considere pour distribuer des echantillonsd’entraınement entre les sous-RNA de telle sorte que chaque en-traınement appartienne a un seul sous-RNA. Chaque sous-RNA � estun reseau a liaison fonctionnelle ayant plusieurs entrees et une seulesortie �� (� � �� ). Il possede ses propres poids synaptiquescomme illustre dans la figure 5(b), ou les � sont des fonctions lineairesindependantes, et les � (� � �� ) sont les poids synaptiques dechaque sous-RNA. Cette architecture, ne presentant pas de couchescachees, diminue la non linearite du reseau de neurones et simplifiel’algorithme d’apprentissage. En utilisant la fonction identite commefonction d’activation � , la sortie du RNA est calculee pour un signald’entree par :

� � �

��

��

��

��

�� (10)

Une comparaison des resultats obtenus avec ceux obtenus avec unreseau classique multicouche a apprentissage par retro-propagation del’erreur, montre que la methode proposee presenteun temps de reponsetres court et est convenable pour l’estimation de la stabilite transitoire.

Sur la base des references bibliographiques utilisees, il s’avere queles reseaux de neurones presentent une precision proche de celle desmethodes de simulation numerique, et ne sont plus limites en ce quiconcerne la modelisation du SEE. Les RNA constituent donc une so-lution ideale pour la localisation des defauts en temps reel pour unsysteme donne.

Malheureusement, la nature combinatoire et complexe des SEE apour consequence un nombre tres important de points de fonction-nement possibles pour un SEE de grande taille. Generalement, il estfacile d’entraıner un RNA pour differents points de fonctionnement,pour une topologie et un defaut donnes, bien que cela necessite beau-coup de simulations pour un reseau de grande taille. Cependant,lorsque la topologie ou le defaut change, le RNA manque de precisiondans la plupart des cas. Pour cela, le RNA devrait etre entraıne da-vantage avec chaque nouvelle topologie et chaque nouveau defaut. Ungrand nombre de simulations numeriques serait donc necessaire pourtenir compte du nombre important de defauts et de topologies sur unreseau a grande echelle. De ce fait, les RNA ne sont pas utilises pourresoudre le probleme de l’analyse de la stabilite transitoire en tempsreel des grands reseaux electriques [38].


2. Systeme a logique floueTenant compte de l’imprecision et de l’ignorance, la logique flouea ete proposee comme une methode rationnelle de manipulation del’incertain et du qualitatif, dont elle permet la construction d’unmodele efficace dans les problemes de prise de decisions, de mani-pulation de l’information, de la commande et de la classification. Unsysteme a logique floue comprend trois etapes : la fuzzification, l’eva-luation des regles et la defuzzification.

La fuzzification consiste a convertir les performances subjectivesdes differentes grandeurs et ressources disponibles dans le SEE entermes linguistiques constituants ce que l’on appelle des ensemblesapproximatifs flous. Chaque ensemble flou est defini par une fonc-tion d’appartenance egale a � si l’information recueillie est certaineet comprise entre � et � suivant le degre de certitude de celle-ci.Pour des raisons de facilite et de rapidite dans l’execution des cal-culs, les variations de ce degre d’appartenance sont decrites par desfonctions triangulaires ou trapezoıdales. Dans la majorite des appli-cations, trois ensembles sont retenus pour chaque variable : “petit”,“moyen” et “grand”. La figure 6 montre la fuzzification d’une varia-ble d’entree � en trois ensembles. Les fonctions d’appartenance cor-respondantes se chevauchent de maniere a assurer une equiprobabilitede chance qu’une variable appartienne au moins a un ensemble.

Ensuite, on definit les regles qui permettent d’associer les ensem-bles d’entree a des ensembles de sortie. Ces regles sont elaborees apartir d’une base de connaissance representee. Par exemple, pour con-cevoir une commande floue, l’expert humain doit definir les reglesde commande, c’est-a-dire ce qu’il ferait dans telle ou telle situation(representees ici qualitativement par des ensembles flous d’entrees).Comme dans le cas de la logique classique, on dispose d’operateurspour mettre en equations ces regles. Cependant, au lieu de ne traiterque des valeurs binaires, la logique floue traite des valeurs comprisesentre � et �. Des operateurs de type ET, OU et NON sont utilises pourles ensembles flous� et � et sont definis par :

� ET � � �� (11)

� OU � � � �� (12)

NON � � �� (13)

ou �� et �� indiquent respectivement les degres d’apparte-nance de l’element � aux ensembles flous� et �.

A l’issue de ce traitement des variables floues sont generees et ilconvient de les transformer en une grandeur physique; c’est l’ope-ration de “defuzzification”. Elle consiste a calculer une valeur uniquea partir des differents degres d’appartenance aux ensembles de sortie.

Plusieurs applications a base de systemes a logique floue ontdemontre l’apport de ces systemes en ce qui concerne la robustesseet la capacite d’adaptation par rapport aux methodes classiques [39].Ils sont principalement utilises pour les systemes d’excitation des ma-chines synchrones, les regulateurs de tension automatique, les stabi-lisateurs de SEE et les FACTS (en anglais, flexible ac transmission sys-tems). La premiere etape dans la conception d’un controleur a logiquefloue (CLF) est la determination des variables representatives d’unsysteme dynamique a considerer comme variables d’entree. Les va-riables linguistiques, choisies sur la base de la connaissance empiriqueet l’intuition pour la formulation des regles de la commandefloue, sontaussi des facteurs importants dans la performance du systeme de com-mande flou. La figure 7 presente le principe d’un controleur a logiquefloue.

Lie et al. [40] ont decrit un CLF, concu pour implementer dessystemes de compensation de puissance reactive comportant une ca-pacite serie variable dans le systeme de transmission. Les relationsdu regime stationnaire de l’angle rotorique Æ et de la puissanceelectrique�� sont utilisees comme signaux d’entrees. Les regles flouesont ete derivees a partir des relations du regime stationnaire de Æ,�� et l’ajustement de l’impedance de la ligne. Cette technique decompensation, connue sous le nom de FACTS, permet d’ameliorer

Figure 6: Fuzzification de la variable d’entree � en trois ensembles.

Figure 7: Principe d’un controleur a logique floue.

l’amortissement des oscillations electromecaniques et d’augmenter lapuissance transportee. Les resultats de simulation ont montre que leCLF propose ameliorait notablement la stabilite transitoire pour unSEE du �eme ordre constitue d’une machine connectee a un reseauinfini.

El-Sherbiny et al. [41] ont developpe un CLF permettant d’amortirles oscillations electromecaniques et d’accroıtre la stabilite du SEE.Les signaux d’entree du CLF sont la somme ponderee des etatsmecaniques et la somme ponderee des etats electriques. Le signal desortie du CLF est ajoute a la sortie d’un controleur �� pour donnerle signal de controle d’excitation. Les signaux d’entree sont d’abordexprimes par quelques variables linguistiques avant d’etre traitees parle CLF d’excitation. Le CLF propose ameliore les performances dy-namiques du SEE dans un large intervalle de variation du point defonctionnement.

Yong et al. [42] ont decrit une methode a base de logique floue pourle controle de l’excitation et de la vitesse des machines synchrones.La logique floue est utilisee pour generer deux signaux de compen-sation afin de modifier les commandes durant les perturbations dusysteme. Les performances du schema de commande ont ete testeessur un systeme monomachine. Les oscillations du systeme sont alorsrapidement amorties.

La combinaison des systemes a logique floue avec des reseaux deneurones a ete egalement appliquee durant ces dernieres annees pourl’analyse de la stabilite transitoire des SEE et a donne naissance ade nouveaux dispositifs de commande neuro-flou. Un schema typede commande neuro-flou, base sur la linearisation entree/sortie pourla stabilisation d’un SEE multimachine, a ete propose par [43]. Ceschema est un controleur distribue, ou l’entree de commande est cal-culee uniquement avec des informations locales. Les resultats de sim-ulation obtenus ont montre que la stabilite transitoire et la regulationde tension pouvait etre atteintes efficacement en utilisant ce schema.


Su et al. [44] ont presente une approche generale pour deduire unnouveau type de modele neuro-flou en utilisant des reseaux de neu-rones composites hyper-rectangulaires pour un systeme complexe apartir des informations numeriques et/ou linguistiques. Pour identifierefficacement la structure et les parametres du modele flou, les auteursont partitionne d’abord l’espace de sortie plutot que l’espace d’entree.Un algorithme d’apprentissage a ete developpe afin d’ajuster les poidsde ce modele neuro-flou propose pour predire la stabilite transitoireen temps reel. Compare avec un reseau de neurones multicouche, lemodele propose presente une meilleure aptitude a la classification.

Dans le but d’ameliorer la stabilite transitoire et dynamique d’unSEE a grande echelle, [45] a propose une structure coordonnee decontrole incluant un stabilisateur de puissance a logique floue (enanglais, fuzzy logic power system stabilizer, FLPSS) et un regulateurde tension automatique (en anglais, automatic voltage regulator, AVR).Le FLPSS est applique a certaines machines du systeme tandis que lesautres ne sont equipees que d’un AVR. Le retard du fonctionnementdu FLPSS apres l’arrivee d’une perturbation permet de coordonnerl’interaction entre ce dernier et le AVR. L’utilisation de cette coordina-tion retardee a demontre son bon fonctionnement pour l’amortissementdes oscillations des systemes de puissance a grande echelle. Pour at-teindre les meilleures performances d’amortissement possible, deuxsignaux ont ete consideres comme entrees au FLPSS : la variation dela derivee de l’angle de puissance (� �Æ) et la variation de la deriveede la vitesse (� ��) de la machine synchrone. Par ailleurs, la varia-tion du signal de la tension terminale (��) aux bornes de la machinesert comme entree a l’AVR. Ces variables contribuent efficacementa l’amortissement des oscillations de la frequence et de la tensionterminale �. L’efficacite de cette approche de coordination retardeeFLPSS-AVR est demontree par une simulation numerique d’un SEE agrande echelle.

3. Applications des algorithmes genetiquesAu cours de ces dernieres annees, il y a eu une croissance tres rapidedes travaux utilisant les algorithmes genetiques (AG) dans les etudesde la stabilite transitoire des SEE [46]–[48]. Cela est du a la simplicitede leur mecanisme, la facilite de leur mise en application et leur ef-ficacite meme pour des problemes complexes. Les AG sont des tech-niques d’optimisation probabilistes inspirees du processus naturel del’evolution genetique des especes. A chaque generation (iteration), unnouvel ensemble de chaınes de caracteres (population) est cree en uti-lisant des parties des meilleurs elements de la generation precedente,ainsi que des parties nouvelles. Un AG manipule une populationformee d’un nombre constant d’individus. Chaque individu representele codage d’un vecteur solution possible au probleme a resoudre,donne sous forme d’un ensemble de chaınes de caracteres. Chaquechaıne de caracteres correspond a un chromosome (le genotype del’individu) qui represente le codage d’une variable, chaque caractere aun gene et chaque lettre de l’alphabet a un allele. La population evolueen generations successives. Les individus les plus forts survivent et sereproduisent entre eux pour creer de nouveaux individus, tandis queles plus faibles disparaissent petit a petit. De plus, lors des creationsd’individus, des mutations genetiques (i.e., modification d’un caracteredans la chaıne) se produisent.

Dans les AG, la fonction selective est utilisee au lieu de la fonc-tion objective utilisee dans les methodes traditionnelles d’optimisation.L’application des operateurs genetiques sur des individus juges par unefonction selective particuliere permet d’explorer l’espace des solutionsa la recherche d’un extremum. Generalement, l’application de l’AGcontient les etapes suivantes :

1. produire la population initiale ;2. evaluer la fonction selective de tous les individus dans lapopulation ;

3. creer une nouvelle population en executant des operations tellesque la selection proportionnelle, le croisement, et la mutation surles individus dont la fonction selective a ete juste mesuree ;

4. si les conditions de convergence sont satisfaites, alors afficher lasolution optimisee, sinon, abandonner l’ancienne population etrepeter les memes etapes avec la nouvelle population.

Les applications des AG dans les etudes de la stabilite transitoireconcernent essentiellement l’optimisation du point de fonctionnementd’un SEE, pendant et apres elimination d’un defaut. En effet, ce pointde fonctionnement n’est pas seulement un etat d’equilibre stable, maisdoit aussi satisfaire toutes les contraintes d’egalite et d’inegalite sta-tiques, telles que les limites superieures et inferieures des generateurset des tensions aux jeux de barres du systeme. Donc, un problemed’optimisation de la repartition de puissances peut etre formule, avecpour fonction a minimiser le cout de fonctionnement d’un SEE as-socie aux pertes de puissances, de sorte que la stabilite angulaire soitpreservee. De plus, a la suite d’une perturbation importante, le pointde fonctionnement optimal devrait supporter le defaut et assurer quele SEE rejoigne un nouvel etat d’equilibre stable apres l’eliminationdu defaut sans violation des contraintes d’egalite et d’inegalite memependant la periode transitoire de la dynamique. Ces conditions pourtoutes les contingences specifiees sont appelees : contraintes de la sta-bilite transitoires.

Zhang et al. [46] ont presente une approche utilisant l’AG pourla resolution du probleme de stabilite transitoire avec contrainte del’optimisation de la puissance generee par les unites de produc-tion. Donc, seules les puissances generees sont considerees commeparametres de controle qui sont codees par un chromosome de l’AG.Cette approche a ete testee sur un reseau test de �� jeux de barres et�� unites de production en specifiant �� perturbations. L’evaluation dela stabilite transitoire est realisee pour chaque contingence et tout nou-veau point de fonctionnement en utilisant la methode temporelle avecun pas d’integration de ��ms et une duree de simulation de �� s.

Dans [47], les auteurs ont presente une methode similaire, combi-nant l’approche temporelle avec les AG pour l’obtention du point defonctionnement optimal qui satisfait les limites appropriees de stabilitetransitoire. Pour cela, un programme oriente objet a ete developpe etteste sur un reseau test a neuf jeux de barres et trois machines [10].Des resultats proches de ceux utilisant les methodes algorithmiquestraditionnelles ont ete obtenus.

III. Discussion sur les implantations des methodes discutees

Vu son importance dans la continuite de service et la planificationdu SEE actuel et futur, l’etude de la stabilite transitoire a toujoursete caracterisee par une tache dure et complexe a cause des mul-tiples problemes dont elle represente. Son caractere non lineaire etson evolution tres rapide en font un des domaines d’actualite lesplus importants et en meme temps les plus problematiques a evaluer.L’evaluation de la stabilite transitoire du reseau electrique devient unetache de plus en plus ardue, a cause de nouvelles exigences telles que :l’augmentation tres significative de la complexite des reseaux a traiteret les transmissions a longues distances entre producteurs et con-sommateurs d’energie electrique. Differentes methodes d’analyse etd’evaluation de la stabilite transitoire ont ete etablies dans la litterature.Dans la section II, nous avons classe ces methodes suivant le typed’informations necessaires, les exigences de calcul et les informationsfournies.

Lesmethodes deterministes (temporelles et directes) ont ete longue-ment utilisees au fil du temps soit separement, soit combinees pourdonner naissance a des methodes hybrides. La methode temporellepermet la determination, avec une bonne precision, de l’evolution tem-porelle des variables d’etat du SEE multimachine de grande taille etpermet d’en deduire le CCT ou la limite de puissance pour un certaintemps d’elimination du defaut. Elle constitue la methode de referencede toute analyse de stabilite transitoire. Cependant, elle ne permet pasde fournir des outils efficaces de commande en mode preventif et enmode curatif [2]. Les performances actuelles des processeursde calculpermettent une execution rapide de ces methodes.

Les methodes directes de type energetique basees sur le CAEou encore la seconde methode de Lyapunov sont utilisees pour la


determination rapide et directe de la marge de stabilite d’un SEE. Legain en temps de calcul resulte de l’elimination de la phase de si-mulation “apres defaut” qui est la plus laborieuse. En revanche, cesmethodes sont, d’une part, limitees a des SEE de tailles reduites com-portant le modele classiquede la machine synchrone; et d’autre part, laconstruction de fonctions de Lyapunov pour la modelisation detailleedu SEE est assezdelicate. Pour contourner ces difficultes, les methodeshybrides qui combinent les avantages essentiels des deux methodesprecedentes ont fait leur apparition. Ainsi, la methode SIME (pourSIngle machine equivalent) est largement utilisee par la communautedes chercheurs. Cette methode consiste a identifier une machine ditecritique responsable a la rupture eventuelle de synchronisme; et en-suite, a transformer le systeme multimachine en un systeme monoma-chine (OMIB) equivalent qui peut etre analyse au moyen de la methodedu CAE. Cette methode a prouve son efficacite pour l’evaluation di-recte du CCT et la limite de stabilite transitoire en mode preventif eten mode curatif. Cependant, la difficulte de determination de la ma-chine critique et les approximations employees rendent la methode as-sez delicate [2].

L’autre famille de methodes non conventionnelles d’etude de lastabilite transitoire concerne l’apprentissage automatique supervisequi regroupe la reconnaissance des formes et des methodes intelli-gentes. Ces methodes s’appuient sur un ensemble de cas preanalysespour en deduire des informations du cas inconnu a l’etude. Lescas preanalyses sont generalement obtenus hors ligne au moyen desmethodes deterministes. La difficulte de ces methodes reside dans laconstruction de la base de donnees regroupant un nombre importantde cas de fonctionnement preanalyses. En revanche, elles permettent,d’une part, d’extraire plus rapidement des renseignements sur le casa l’etude, et d’autre part, de traiter plusieurs problemes a la fois (parexemple, la stabilite transitoire, la stabilite de tension), contrairementaux methodes precedentes.

IV. Conclusion

Dans cet article, nous avons essaye de presenter une synthese desprincipales methodologies pour l’evaluation de la stabilite transitoiredes systemes d’energie electrique. Bien que les methodes tradition-nelles demeurent encore applicables pour l’analyse de la stabilite tran-sitoire, les methodes dites intelligentes (reseaux de neurones, systemesa logique floue et algorithmes genetiques) trouvent actuellement uneplace privilegiee de part leur nature adaptative et non lineaire face a desphenomenes d’instabilite lies aux interactions entre une multitude derecepteurs et de generateurs. Ainsi dans le contexte de l’augmentationdes unites de production decentralisees dans les reseaux electriques,davantage d’etudes et de recherches seront a mener sur ces methodes,notamment pour la localisation et l’identification des defauts pouvantentraıner l’instabilite, pour la determination des modifications a ap-porter aux temps critiques d’elimination des perturbations, ainsi quesur le renforcement de la stabilite par une localisation appropriee deces unites.

References

[1] U.G. Knight, Power Systems in Emergencies:From ContingencyPlanning to CrisisManagement, New York : JohnWiley & Sons Ltd., 2001.

[2] M. Crappe, Stabilite et sauvegarde des reseaux electriques, Paris : Hermes SciencePublications, 2003.

[3] P. Kundur, J. Paserba et al., “Definition and classification of power system stability,”IEEE Trans. Power Syst., vol. 19, no. 2, mai 2004, pp. 1387–1401.

[4] S. Repo, On-line Voltage Stability Assessment of Power System: An Approach ofBlack-Box Modeling, Ph.D. dissertation, Tampere University of Technology, Tam-pere, Finlande, 3 sept., 2001.

[5] P. Kundur,Power System Stability and Control, New York : McGraw Hill, 1994.[6] A.Z. Khan, “Effects of power system parameters on critical clearing time: Compre-

hensive analysis,” Electric Power Syst. Research, vol. 49, no. 2, 1999, pp. 37–44.

[7] Y. Kato et S. Iwamoto, “Transient stability preventive control for stable operatingcondition with desired CCT,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 17, no. 4, nov. 2002,pp. 1154–1161.

[8] K.W Chan, C.H. Cheung et H.T. Su, “Time domain simulation based transient sta-bility assessment and control,” dans Proc. Int. Conf. Power Syst. Technol., vol. 3,13–17 oct., 2002, pp. 1578–1582.

[9] I.A. Hiskens et P. Hokolowski, “Systematic modeling and symbolically assistedsimulation of power systems,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 6, no. 3, mai 2001,pp. 229–234.

[10] A. Gherbi, M. Belkacemi et B. Francois, “Object-oriented power system transientstability modeling,”WSEAS Trans. Circuits Syst., vol. 3, no. 9, nov. 2004, pp. 2012–2016.

[11] J.F. Canard, Impact de la generationd’energie dispersee dans les reseaux de distri-bution, These de doctorat, Institut Nationale Polytechniquede Grenoble, Grenoble,France, dec. 2000.

[12] H.D. Chiang, F.F. Wu et P.P. Varaiya, “Foundation of direct methods for powersystem transient stability analysis,” IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 34, no. 2, fev.1987, pp. 160–173.

[13] M.A. Pai, Energy Function Analysis for Power System Stability, Boston: KluwerAcademic Publishers, 1989.

[14] T.S. Chung et F. Da-Zhong, “A fast approach to transient stability estimation us-ing an improved potential energy boundary surface method,” Electric Power Syst.Research, vol. 34, no. 1, juillet 1995, pp. 47–55.

[15] Y.Z. Sun, X. Li et Y.H. Song, “Novel energy-based Lyapunov function for con-trolled power system,” IEEE Power Eng. Review, vol. 20, no. 5, mai 2000,pp. 55–57.

[16] K. Xiong, “Transient stability of multimachine power systems with transfer con-ductances,” dans Proc. IEEE Int. Conf. Control Applic., Hartford, Conn., 5–7 oct.,1997, pp. 577–579.

[17] A.Z. Khan et F. Shahzad, “A PC based software package for equal area criterion ofpower system transient stability,”IEEE Trans. Power Syst., vol. 13, no. 1, fev. 1998,pp. 21–26.

[18] Y. Xue, “Fast analysis of stability using EEAC and simulation technologies,” IEEETrans. Power Syst., vol. 13, no. 1, fev. 1998, pp. 12–16.

[19] M.H. Haque, “Further developmentsof equal area criterion formultimachinepowersystems,” Electric Power Syst. Research, vol. 33, no. 3, juin 1995, pp. 175–183.

[20] R. Billinton, M. Fotuhi-Firuzabad et L. Bertling, “Bibliography on the applicationof probability methods in power system reliability evaluation, 1996-1999,” IEEETrans. Power Syst., vol. 16, no. 4, 2001, pp. 595–602.

[21] K.A. Laparo, “Probabilistic mechanism for dynamic security assessment of powersystems,” Rapport, Dept. of Energy, E.-U., 1984.

[22] L. Wehenkel, C. Lebrevelec, M. Trotignon et J. Batut, “Probabilistic design ofpower-system special stability controls,”Control Eng. Practice, vol. 7, no. 2, 1999,pp. 183–194.

[23] V. Vittal, J.D. McCalley, V.V. Acker, W. Fu et N. Abi-Samra, “Transient instabil-ity risk assessment,” dans Proc. IEEE Power Eng. Society Summer Meeting, juillet1999, pp. 206–211.

[24] L. Wehenkel, Automatic Learning Techniques in Power Systems, vol. 3, Norwell,Mass.: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[25] F.S. Prabhakara et A.H. El-Abiad, “A simplified determinationof transient stabilityregions by Lyapunovdirect methods,” IEEE Trans. Power App. Syst., vol. 94, no. 2,1975, pp. 672–689.

[26] H. Hakimmashhadi et G. Heydt, “Fast transient security assessment,” IEEE Trans.Power App. Syst., vol. 102, no. 12, dec. 1983, pp. 3816–3824.

[27] S. Yamashiro, T. Koike et A. El-Abiad, “Fast transient security assessment andenhancement using pattern recognition,” dans Proc. 8th Power Syst. ComputationConf., aout 1984, pp. 891–897.

[28] R. Aggarwal et Y.H. Song, “Artificial neural networks in power systems: Part 3,examples of applications in power systems,” IEE Power Eng. J., vol. 12, no. 6,1998, pp. 279–287.

[29] M. El-Sharkawi et D. Niebur, “A tutorial course on artificial neural networkswith applications to power systems,” IEEE Power Eng. Society, 96T112-0, 1996,pp. 117–125.

[30] A.G. Bahbah et A.A. Girgis, “An investigation on the effect of line reclosing ontransient stability assessment for multimachine power systems,” dans Proc. IEEEPower Eng. Society Summer Meeting, vol. 2, 18–22 juillet, 1999, pp. 1082–1087.

[31] A.R. Edwards, K.W. Chan, R.W. Dunn et A.R. Daniels, “Transient stability screen-ing using artificial neural networks within a dynamic security assessment system,”IEE Proc. C, vol. 143, no. 2, 1996, pp. 129–134.

[32] Y. Mansour, A.Y. Chang, J. Tamby, E. Vashedi, B.R. Corns et M.A. El-Sharkawi,“Large scale dynamic security screening and ranking using neural networks,” IEEETrans. Power Syst., vol. 12, no. 2, mai 1997, pp. 954–960.

[33] D.J. Sobajic et Y.H. Pao, “Artificial neural-net based dynamic security assessmentfor electric power systems,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 4, no. 1, fev. 1989,pp. 220–228.

[34] Y.H. Pao et D.J. Sobajic, “Combined use of unsupervised and supervised learningfor dynamic security assessment,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 7, no. 2, mai 1992,pp. 878–884.

[35] L. Srivastava, S.N. Singh et J. Sharma, “Parallel self-organising hierarchical neuralnetwork-based fast voltage estimation,” IEE Proc. C, vol. 145, no. 1, jan. 1998,pp. 98–104.

[36] S. Krishna et K.R. Padiyar, “Transient stability assessment using artificial neuralnetworks,” dans Proc. IEEE Int. Conf. Indust. Technol. 2000, vol. 2, 19–22 jan.,2000, pp. 627–632.


[37] N. Amjady, “Transient stability assessment by a new artificial neural network,” dansProc. IEEE Power Eng. SocietyWinter Meeting, vol. 2, 23–27 jan., 2000, pp. 1315–1319.

[38] E. Hobson et G.N. Allen, “Effectiveness of artificial neural networks for first swingstability determinationof practical systems,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 9, no. 2,mai 1994, pp. 1062–1068.

[39] R.C. Bansal, “Bibliography on the fuzzy set theory applications to power systems(1994–2001),” IEEE Trans. Power Syst., vol. 18, no. 4, 2003, pp. 1291–1299.

[40] T.T. Lie, A. Ghosh et G.H. Shrestha, “Fuzzy logic control of power system transientstability,” presente au �nd IEE Int. Conf. Advances Power Syst. Control, Operationand Management, Hong Kong, dec. 1993.

[41] M.K. El-Sherbiny, A.M. Sharaf, G. El-Saady et E.A. Ibrahim, “A novel fuzzy statefeedback controller for power system stabilization,” Electric Power Syst. Research,vol. 39, no. 1, 1996, pp. 61–65.

[42] T. Yong, R.H. Lasseter et W. Cui, “Coordinationof excitation and governingcontrolbased on fuzzy logic,” dans Proc. IEEE Power Eng. Society Winter Meeting, vol. 1,31 jan.–4 fev., 1999, pp. 737–742.

[43] Y.H. Hwang, J.H. Park et G.T. Park, “Decentralizedneuro-fuzzycontrolleron input-output linearized for multimachine power systems,” presente au IEEE Int. FuzzySyst. Conf., Seoul, Coree du Sud, 22–25 aout, 1999.

[44] M.C. Su, C.W. Liu et S.S. Tsay, “Neural-network-based fuzzy model and its appli-cation to transient stability prediction in power systems,” IEEE Trans. Syst., Man,Cybern. C, vol. 29, no. 1, fev. 1999, pp. 149–157.

[45] M.A.L. Badr, F.A. Khalifa, S.A. Gawish et W. Sabry, “Large-scale power systemtransient and dynamic stability using delayed-operationFLPSS-AVR controller co-ordination,”Can. J. Elect. Comput. Eng., vol. 26, no. 2, avril 2001, pp. 61–64.

[46] X. Zhang,R.W. Dunn et F. Li, “Stability constrainedoptimal power flow for balanc-ing market using genetic algorithm,” dans Proc. IEEE Power Eng. Society GeneralMeeting 2003, vol. 2, 13–17 juillet, 2003, pp. 932–937.

[47] A. Gherbi, M. Belkacemi et T. Bouktir, “Object-oriented transient stability con-strained optimal power flow,” presente au � st Int. Conf. Power Syst. (PCSE ’05),Oum El-Bouaghi, Algerie, 9–11mai, 2005.

[48] R.C. Bansal, “Optimizationmethods for electric power systems: An overview,” Int.J. Emerging Electric Power Syst., vol. 2, no. 1, 2005, pp. 1–25.

Documents

Methods for power system transient stability analysis: State of the art