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Physique
MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL
-EXERCICE 17.7-
ENONCE : Mobile sur un plateau tournant
.O
Mv!
2L
ze!
Un jouet est constitu d'un plateau circulaire pouvanttourner
sans frottements autour d'un axe vertical Oz.Une piste carre (de ct
2L) est amnage sur le plateau;un mobile M, assimil un point matriel
de masse m,peutse dplacer sur cette piste avec une vitesse v
quelconque.Initialement, tout est immobile.A t=0, le mobile dmarre
et fait une fois le tour du carr.
De quel angle le plateau a-t-il tourn autour de son axe Oz ?
Rq : le moment dinertie du plateau autour de son axe sera
simplement not J .
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Physique
MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL
CORRIGE : Mobile sur un plateau tournant
1) Analyse du problme :
Puisque le mobile peut avancer sur la piste, il y a des
frottements entre la piste et lui : ces frottements ntant pas
modliss par lnonc, il faut en faire des forces intrieures nous
prendrons pour systme {plateau + mobile}. Ce systme ntant pas un
solide, les forces intrieures peuvent travailler (on ne sait pas
sil y a du glissement ou non) on ne pourra appliquer un thorme
nergtique.
On demande un angle de rotation, le TMC simpose : la liaison
tant sans frottements, on utilisera le TMC scalaire. Or, les poids
tant parallles laxe de rotation, les moments projets sur cet axe
seront nuls il y a conservation du moment cintique scalaire du
systme.
On noubliera pas de prciser le rfrentiel dtude, qui sera le sol
: on remarquera que la vitesse v! (en ce qui concerne le mobile)
est donne par rapport au plateau.
2) Rsolution du problme :
.O
M
v!
ze!
r
H
re!
e!
i!
Nous raisonnerons sur la figure ci-contre.Le sens + des
rotations est le sens trigonomtrique.On ne confondra pas l'angle
dont tourne le mobile Mpar rapport au plateau, avec l'angle dont
tourne leplateau par rapport au sol.
Nous allons donc exploiter la conservation du moment cintique
scalaire, soit :
( ) 0z t cste = = , puisque tout est immobile t=0.
Plateau : plateau J =i (
i est la vitesse de rotation du plateau/sol)
Mobile : / /mob sol mob solOM mv = ####!! !
;avec : / /mob sol mob plateau ev v v= +! ! !
, o ev!
(vitesse dentranement)
est la vitesse dun point P concidant avec M, mais appartenant au
plateau : P dcrit un cercle de
rayon r, la vitesse angulaire i ev r e=
i! ! /mob sol rv vi r e r e r e = + = +
i i i!! ! ! ! ; on a alors :
2/ ( ) ( )mob sol r r zmre r e r e r e mr e = + + = +
i i i i i! ! ! ! ! ! ceci pour [ ]/ 4, / 4
Par ailleurs : cosr L = (ceci pour [ ]/ 4, / 4 ) 2
20 ( )cos ( )zmLJ
= = + +
i i i
22(1 cos )
JmL
+ = i i
21 cos ( )dd
A
=
+ avec : 2
JAmL
=
On constate que les variations de langle ne dpendent que de
celles de langle , et sont indpendantes de la vitesse du mobile (le
temps mis pour faire un tour dpend bien sr de cette vitesse). Nous
nous bornerons intgrer de 0 / 4 et nous multiplierons le rsultat
par 8.
