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Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44 Modélisation des turbines radiales de suralimentation Computation of the turbocharging radial turbines Mohamed Mseddi, Mounir Baccar, Hédi Kchaou, Mohamed Salah Abid Laboratoire des Systèmes Électro-Mécaniques (LASEM), Département de Génie Mécanique, École Nationale d’Ingénieurs de Sfax, Route de Soukra, BP <W>, 3038 Sfax, Tunisie Reçu le 14 juin 2000; accepté le 5 octobre 2001 Résumé Pour contribuer à l’étude globale des turbines radiales de suralimentation, un modèle de calcul se traduisant par des équations donnant le taux de détente et le rendement isentropique, est présenté. Ces équations permettent de prédire à partir des données géométriques d’une turbine radiale, ses caractéristiques de fonctionnement à froid en régime stationnaire. Le modèle permet également de trouver les points de fonctionnement inaccessibles par l’expérience. Le calcul du taux de détente repose sur la combinaison de deux états de la turbine, un état statique dans lequel la roue est bloquée et un état dynamique dans lequel la roue tourne à une vitesse angulaire constante ω. Le calcul du rendement suppose qu’il y a réduction du moment cinétique entre l’entrée volute et l’entrée roue et qu’il y a glissement des filets fluides à la sortie roue. Le modèle proposé, a été testé sur une turbine radiale de suralimentation de type Garrett TA03 pour moteur d’automobile, et présente d’excellents résultats. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. Abstract To contribute to the global study of the turbocharging radial turbines, a model resulting in equations giving the turbine expansion ratio and the isentropic turbine efficiency is presented. These equations permit prediction at steady state of the performance curves of a radial turbine by using its geometry data. The model also permits finding the turbine working points which are not accessible by experience. The calculation of the expansion ratio is based on the combination of two states of the turbine, a static state in which case the impeller is blocked, and a dynamic state in which case the impeller turns with a constant angular speed. The calculation of the isentropic efficiency supposes that there is a reduction of the kinetic momentum between the volute inlet and the wheel inlet, and that there is a fluid slip at the wheel outlet. The proposed model has been tested on a radial turbine of type Garrett TA03 for turbocharged automotive engines, and presented excellent results. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. Mots-clés : Turbine radiale ; Suralimentation ; Données géométriques ; Modélisation ; Courbes caractéristiques de fonctionnement ; Fluide compressible Keywords: Radial turbines; Turbocharging; Geometry data; Computation; Performance curves; Compressible fluid 1. Introduction La suralimentation d’un moteur par un turbocompres- seur permet d’obtenir un meilleur remplissage des cy- lindres et une amélioration de la puissance du moteur. Dans ce type de suralimentation, les turbines centripètes jouent un rôle primordial pour la récupération d’éner- gie. La connaissance des performances de la turbine est alors nécessaire lors du développement d’un projet de mo- teur à combustion interne suralimenté par turbocompres- seur. Nombreux sont les travaux de recherches sur les turbines centripètes. Parmi eux, on peut citer les travaux expérimen- taux de Boussarhane [1], Chelot et al. [2], Fèvre [3], Fre- lin [4], Kurokawa et Nagahara [5], Lavy et al. [6], Mé- rigoux [7] et Podevin [8]. D’autres études théoriques ont été élaborées en vue de la modélisation des turbines centri- pètes, allant de l’approche locale multidimensionnelle (Fre- lin [4], Lymberopoulos et al. [9], Saatdjian et al. [10], Vu et Shyy [11] et Zangeneh-Kazemi et al. [12]) à l’approche glo- bale (Decombes et al. [13], Frelin et Podevin [14], Gayvallet et al. [15], Léone et Lallemand [16] et Rodgers [17]). 1296-2139/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. PII:S1296-2139(01)01131-9

Modélisation des turbines radiales de suralimentationComputation of the turbocharging radial turbines

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Page 1: Modélisation des turbines radiales de suralimentationComputation of the turbocharging radial turbines

Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44

Modélisation des turbines radiales de suralimentation

Computation of the turbocharging radial turbines

Mohamed Mseddi, Mounir Baccar, Hédi Kchaou, Mohamed Salah Abid

Laboratoire des Systèmes Électro-Mécaniques (LASEM), Département de Génie Mécanique, École Nationale d’Ingénieurs de Sfax,Route de Soukra, BP <W>, 3038 Sfax, Tunisie

Reçu le 14 juin 2000; accepté le 5 octobre 2001

Résumé

Pour contribuer à l’étude globale des turbines radiales de suralimentation, un modèle de calcul se traduisant par des équations donnantle taux de détente et le rendement isentropique, est présenté. Ces équations permettent de prédire à partir des données géométriques d’uneturbine radiale, ses caractéristiques de fonctionnement à froid en régime stationnaire. Le modèle permet également de trouver les points defonctionnement inaccessibles par l’expérience. Le calcul du taux de détente repose sur la combinaison de deux états de la turbine, un étatstatique dans lequel la roue est bloquée et un état dynamique dans lequel la roue tourne à une vitesse angulaire constanteω. Le calcul durendement suppose qu’il y a réduction du moment cinétique entre l’entrée volute et l’entrée roue et qu’il y a glissement des filets fluides àla sortie roue. Le modèle proposé, a été testé sur une turbine radiale de suralimentation de type Garrett TA03 pour moteur d’automobile, etprésente d’excellents résultats. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.

Abstract

To contribute to the global study of the turbocharging radial turbines, a model resulting in equations giving the turbine expansion ratioand the isentropic turbine efficiency is presented. These equations permit prediction at steady state of the performance curves of a radialturbine by using its geometry data. The model also permits finding the turbine working points which are not accessible by experience. Thecalculation of the expansion ratio is based on the combination of two states of the turbine, a static state in which case the impeller is blocked,and a dynamic state in which case the impeller turns with a constant angular speed. The calculation of the isentropic efficiency supposes thatthere is a reduction of the kinetic momentum between the volute inlet and the wheel inlet, and that there is a fluid slip at the wheel outlet.The proposed model has been tested on a radial turbine of type Garrett TA03 for turbocharged automotive engines, and presented excellentresults. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.

Mots-clés : Turbine radiale ; Suralimentation ; Données géométriques ; Modélisation ; Courbes caractéristiques de fonctionnement ; Fluide compressible

Keywords: Radial turbines; Turbocharging; Geometry data; Computation; Performance curves; Compressible fluid

1. Introduction

La suralimentation d’un moteur par un turbocompres-seur permet d’obtenir un meilleur remplissage des cy-lindres et une amélioration de la puissance du moteur.Dans ce type de suralimentation, les turbines centripètesjouent un rôle primordial pour la récupération d’éner-gie. La connaissance des performances de la turbine estalors nécessaire lors du développement d’un projet de mo-teur à combustion interne suralimenté par turbocompres-seur.

Nombreux sont les travaux de recherches sur les turbinescentripètes. Parmi eux, on peut citer les travaux expérimen-taux de Boussarhane [1], Chelot et al. [2], Fèvre [3], Fre-lin [4], Kurokawa et Nagahara [5], Lavy et al. [6], Mé-rigoux [7] et Podevin [8]. D’autres études théoriques ontété élaborées en vue de la modélisation des turbines centri-pètes, allant de l’approche locale multidimensionnelle (Fre-lin [4], Lymberopoulos et al. [9], Saatdjian et al. [10], Vu etShyy [11] et Zangeneh-Kazemi et al. [12]) à l’approche glo-bale (Decombes et al. [13], Frelin et Podevin [14], Gayvalletet al. [15], Léone et Lallemand [16] et Rodgers [17]).

1296-2139/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.PII: S1296-2139(01 )01131-9

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36 M. Mseddi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44

Nomenclature

a célérité des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m·s−1

Cp capacité thermique massique à pressionconstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J·kg−1·K−1

M nombre de Machp pression statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PaQm débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg·s−1

r distance de la particule fluide par rapport à l’axede rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m

R constante des gaz parfaits . . . . . . . . J·kg−1·K−1

S section de passage des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . m2

T température statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KU vitesse tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m·s−1

Vd vitesse débitante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m·s−1

Z nombre d’aubesρ masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg·m−3

γ rapport des capacités thermiques massiques àpression et volume constants

Indices

e entrée turbinei condition d’arrêtp pied de l’aubes sortie turbinet tête de l’aube2 entrée volute3 entrée roue4 sortie roue

Grandeurs adimensionnelles

Da débit adimensionnel de la turbine=Qm/(ρieaier

23)

Va vitesse adimensionnelle de la turbine=U3/aie

Pour une première estimation des performances d’un mo-teur turbosuralimenté, l’approche globale est très utile aumotoriste afin de prévoir rapidement les performances dumoteur turbosuralimenté. Dans cette approche, on ne consi-dère que les valeurs moyennes des paramètres essentiels etles performances des turbines de suralimentation sont gé-néralement représentées par des courbes caractéristiques defonctionnement des taux de détente et des rendements.

Dans le cas où le motoriste ne dispose pas de ces courbesen régime instationnaire avec des gaz de combustion (capa-cités thermiques massiques fonctions de la richesse et de latempérature) comme en fonctionnement réel sur site moteur,il peut alors considérer en première estimation, l’écoulementde gaz dans la turbine quasi-stationnaire. Ainsi, il peut uti-liser, à chaque pas de temps du calcul du cycle moteur, unmodèle représentant le comportement de la turbine en ré-gime stationnaire et fonctionnant à l’air. En effet, dans lecas où la turbine de suralimentation fonctionne réellementen gaz de combustion, une des méthodes de prévision descaractéristiques est la méthode des essais en air (Friberg etal. [18]).

D’autre part, les méthodes de calcul généralement utili-sées dans l’approche globale consistent à calculer les diffé-rents paramètres (pression, vitesse, température. . .), en dessections caractéristiques de la turbine (entrée turbine, entréevolute, entrée roue. . .). Dans ces modèles où l’écoulementest supposé monodimensionnel et stationnaire, le passaged’une section de la turbine à l’autre s’effectue par le biaisdes bilans d’énergie et de quantité de mouvement comptabi-lisant les pertes mécaniques et thermiques.

Toutefois, dans les travaux globaux publiés sur les tur-bines centripètes, les modèles présentés se traduisent pardes systèmes d’équations complexes, difficiles à utiliser par

l’ingénieur motoriste afin de prévoir rapidement les perfor-mances du moteur turbosuralimenté.

Dans cette étude, notre objectif est donc d’établir deséquations simples qui traduisent les caractéristiques defonctionnement de la turbine. Ces équations permettront, àpartir des données géométriques de la turbine, de calculerle taux de détente de celle-ci et son rendement isentropique,pour un débit et une vitesse de rotation donnés.

Le calcul du taux de détente repose sur la combinaisondes différences des pressions d’arrêt correspondants à deuxétats de la turbine [19], un état statique dans lequel la roueest bloquée et un état dynamique dans lequel la roue tourneà une vitesse angulaire constanteω. La différence totale despressions d’arrêt permet d’en déduire le taux de détente dela turbine.

Pour le calcul du rendement, le modèle s’appuyantsur l’application du théorème d’Euler, suppose qu’il y aréduction du moment cinétique entre l’entrée volute etl’entrée roue et qu’il y a glissement des filets fluides à lasortie roue.

Les résultats obtenus par notre modèle, sont comparésavec des résultats antérieurs expérimentaux [8] et numé-riques [14] relatifs à une turbine centripète de suralimenta-tion pour automobile, de la firme Garrett.

2. Modélisation

2.1. Hypothèses

La modélisation de l’écoulement des gaz dans la turbineest basée sur les hypothèses suivantes : l’écoulement estsupposé stationnaire et monodimensionnel. La fonctiond’état utilisée est celle des gaz parfaits et le rapportγ

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M. Mseddi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44 37

des capacités thermiques massiques est constant. D’autrepart, les transformations subies par les gaz sont considéréesadiabatiques.

2.2. Calcul du taux de détente

Le but de ce paragraphe est de calculer explicitement letaux de détente de la turbine connaissant outre ses donnéesgéométriques, son débit et sa vitesse de rotation.

La méthode de calcul du taux de détente consiste àétudier la turbine en deux temps. Dans un premier temps,la roue de la turbine est bloquée. L’étude du mouvementdu fluide permet de calculer la perte des pressions d’arrêtdans la turbine à l’état statique. Dans un deuxième temps,on étudiera le mouvement du fluide à travers la roue mobiletournant à une vitesse angulaire constanteω, pour tenircompte de l’effet des forces centrifuges. La combinaisondes deux états précédents de la turbine (roue bloquée etroue tournante) permettra, à partir de la différence totaledes pressions d’arrêt, de calculer explicitement le taux dedétente.

2.2.1. État statiqueLa roue est supposée bloquée. C’est l’état statique de la

turbine. L’écoulement dans la turbine est alors similaire àcelui à travers un diaphragme de sections.

D’autre part, pour un écoulement de fluide incompres-sible, la perte des pressions d’arrêt dans la turbine peuts’écrire :

pie − pis = Q2m

2ρs2(1)

Pour tenir compte de la compressibilité du gaz, la massevolumique moyenneρ de l’équation (1) peut être définiepar :

ρ = ρie + ρis

2(2)

En utilisant la loi des gaz parfaits, on obtient :

ρ = 1

2

(pie

RTie+ pis

RTis

)(3)

De même, comme la roue de la turbine est bloquée,le premier principe de la thermodynamique stipule quel’enthalpie d’arrêt se conserve au cours de l’écoulementadiabatique et permanent dans la turbine, d’où alors :

Tie = Tis (4)

À partir des équations (3) et (4), la masse volumiquemoyenneρ s’écrit :

ρ = pie + pis

2RTie(5)

Le débit adimensionnelDa des gaz traversant la turbine,déduit de l’analyse dimensionnelle [20], est défini par :

Da = Qm

ρieaier23

(6)

Fig. 1. Roue d’une turbine centripète.

avecr3 le rayon extérieur de la roue (Fig. 1) etaie la céléritédes gaz à l’entrée turbine telle que :

aie = √γRTie (7)

À partir des équations (1), (5) et (6) et en posantC =r43/s

2 , la perte des pressions d’arrêt dans la turbine à l’étatstatique s’écrit :

pie − pis = γCD2ap

2ie

pie + pis(8)

2.2.2. État dynamiqueLa roue tourne à une vitesse angulaire constanteω.

C’est l’état dynamique de la turbine. La Fig. 1 montre lagéométrie d’une roue de turbine centripète. D’autre part, onsuppose que dans la roue mobile, les différences de pressions’établissent de telle sorte qu’elles équilibrent les forcescentrifuges, soit :

dp

ρ= ω2r dr (9)

Les gaz étant supposés parfaits :ρ = p/(RT ), l’intégra-tion de l’équation (9) entre l’entrée et la sortie roue, donne :

4∫3

RTdp

p= ω2

2

4∫3

r dr (10)

Pour calculer cette intégrale, on pourra prendre en pre-mière approximation pour la températureT , celle à l’entréeturbineTie. Pour un filet moyen de fluide et compte tenu del’équation (7), on a :

p3

p4= exp

[γω2

2a2ie

(r23 − r2

4m

)](11)

D’autre part, dans l’état dynamique de la turbine, on netient pas compte des pertes de pression entre l’entrée turbineet l’entrée roue, ainsi qu’entre la sortie roue et la sortieturbine. Alors, on peut écrire :

p3

p4= pie

pis(12)

À partir de l’équation (12), l’équation (11) donne :

pie

pis= exp

(γ k1V

2a

)(13)

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38 M. Mseddi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44

avec

k1 = 1

2

[1−

(r4m

r3

)2]

une constante ne dépendant que des données géométriquesde la roue de turbine,

r4m =√r24t + r2

4p

2

le rayon moyen d’une particule fluide à la sortie roue, etVa la vitesse adimensionnelle de la turbine. Cette vitesse estle rapport entre la vitesse périphérique de la roue et la vitessedu son à l’entrée de la turbine.

À partir de l’équation (13), nous retrouvons la différencedes pressions d’arrêt dans la turbine à l’état dynamique :

pie − pis = p2is[exp(2γ k1V

2a )− 1]

pie + pis(14)

2.2.3. Combinaison des deux étatsLa combinaison des deux états consiste à ajouter l’effet

dynamique à l’effet statique. A partir des équations (8) et(14), on obtient la différence totale des pressions d’arrêt dansla turbine :

pie − pis = γCD2ap

2ie + p2

is[exp(2γ k1V2a )− 1]

pie + pis(15)

soit encore :

p2ie − p2

is = γCD2ap

2ie + p2

is

[exp

(2γ k1V

2a

) − 1]

(16)

Après avoir divisé l’équation (16) parp2ie, nous en

déduisons le taux de détentepie/pis de la turbine :

pie

pis= exp(γ k1V

2a )√

1− γCD2a

(17)

L’étude de la turbine en deux temps : roue bloquée et rouetournante, a donc permis de calculer le taux de détente enfonction de son débit et de sa vitesse de rotation.

Cette équation montre qu’il existe un blocage de débit(Da)b tel que :

(Da)b = 1√γC

(18)

2.3. Calcul du rendement isentropique

Notre but est de calculer le rendement isentropiqued’une turbine centripète à partir d’une expression analytiquesimple connaissant ses données géométriques, sa vitesse derotation et son débit. Par définition, le rendement isentro-pique d’une turbine s’écrit :

ηis = �Tr

�Tis(19)

Ce rendement est significatif dans le cas du fonctionne-ment à froid où les échanges de chaleur sont faibles.

Fig. 2. Triangle des vitesses à l’entrée roue de la turbine.

Fig. 3. Triangle des vitesses à la sortie roue de la turbine.

Pour une évolution isentropique entre l’entrée et la sortieturbine, le refroidissement isentropique�Tis = (Tie − T ′

is)

est tel que :

�Tis = [1− (τd)

(1−γ )/γ ]Tie (20)

oùτd = pie/pis, le taux de détente donné par l’équation (17).La températureT ′

is est celle qu’atteindrait le gaz à la sortiede la turbine, si l’évolution était isentropique.

D’autre part, d’après le principe de conservation del’énergie, appliqué entre l’entrée et la sortie turbine, lerefroidissement réel�Tr = (Tie − Tis) est proportionnel àla variation d’enthalpie�h tel que :�Tr = �h/Cp. Letravail fournie par un kg de fluide est égale à la variationde son enthalpie�h. De même, conformément au théorèmed’Euler, on a [21] :

�h=U3V3u −U4V4u (21)

Le calcul de�h s’appuie sur la connaissance des tri-angles des vitesses entrée roue (Fig. 2) et sortie roue (Fig. 3)de la turbine. Le refroidissement réel peut donc s’écrire :

�Tr = Tie(γ − 1)

[U3

aie

V3u

aie− U4

aie

V4u

aie

](22)

D’où :

ηis = γ − 1

1− (τd)(1−γ )/γ

[U3

aie

V3u

aie− U4

aie

V4u

aie

](23)

Le calcul du rendementηis repose donc sur la dé-termination des expressions des quatre termes suivants :U3/aie, V3u/aie, U4/aie etV4u/aie.

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M. Mseddi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44 39

Le rapportU3/aie est la vitesse adimensionnelleVa de laturbine :U3

aie= Va (24)

D’autre part, d’après Descombes et al. [13], Frelin etPodevin [14] et Friberg [21], il y a réduction du momentcinétique entre l’entrée dans la volute et l’entrée dans laroue, et on dit qu’il y a « usure » du moment cinétique.L’évolution réelle est donc telle que :

rnVu = Cte (25)

Cette relation traduit la dégradation énergétique dans lavolute et permet d’obtenir la vitesse du fluide à l’entrée dela roue qui constitue un élément important dans l’estimationde la puissance fournie par la turbine.

SoientS2 la section entrée volute etr2 le rayon au centred’inertie deS2. En appliquant l’équation (25) entre l’entréevolute et l’entrée roue, on obtient :

V3u =(r2

r3

)n

V2u (26)

Nous pouvons écrire approximativement queρ2 = ρie, etV2u =Qm/(ρ2S2), l’équation (26) devient :

V3u

aie= r2

3

S2

(r2

r3

)n

Da (27)

De même, en appliquant la relationU = ωr, à un filetmoyen de fluide entre l’entrée et la sortie roue, nous avons :

U4

aie= r4m

r3Va (28)

D’autre part, comme le nombre d’aubes de la turbinen’est pas infini, il y a glissement ou déviation des filetsfluides à la sortie roue. Ces filets fluides ne suivent plusparfaitement le contour des aubes dans le mouvement relatifet l’angle de sortie relatifβ4 ne serait pas exactement égalau calageβ+

4 des profils (Fig. 3, triangles des vitesses enpointillés). En effet, dans la roue, les filets fluides sortent dela roue avec un angleβ4 supérieur à celui des aubagesβ+

4(Fig. 4). Nous pouvons alors écrire d’après le triangle desvitesses à la sortie roue, représenté sur la Fig. 3 :

V4u =U4 + χU4 − Vd∞tgβ+

4

(29)

Le termeχU4 représente l’énergie perdue par glissementà la sortie roue, oùχ est définie par la formule empirique deStodola :

χ = π

Zsinβ+

4 (30)

La vitesse débitanteVd∞ (pour un nombre infini d’aubes)peut être calculée à partir de la loi de conservation de lamasse, soitVd∞ = Qm/ρ4S4, telle queS4 = π(r2

4t − r24p).

On suppose également queρ4 = ρi 4 etρi 4 = ρie/τd, d’où :

V4u

aie= r4m

r3(1+ χ)Va − r2

3

S4 tgβ+4

τdDa (31)

Fig. 4. Angle de sortie roue d’une turbine centripète.

Tableau 1Expressions des constantesk1, k2, k3, k4 et k5 d’une turbine radiale

k1 k2 k3 k4 k5

1

2

[1−

( r4m

r3

)2] r23S2

r2

r3

r4mr3

S4 tgβ+4

(1+ π

Zsinβ+

4

)( r4m

r3

)2

En utilisant les équations (24), (27), (28) et (31), l’équa-tion (23) devient :

ηis = (γ − 1)DaVa

1− [exp(γ k1V 2

a )/√

1− γCD2a

](1−γ )/γ

·{k2k

n3 + k4

[exp(γ k1V

2a )√

1− γCD2a

]− k5

Va

Da

}(32)

L’équation (32) permet alors de calculer le rendementisentropique d’une turbine pour une isovitesseVa et desdébitsDa inférieurs à(Da)b.

Les constantesk1, k2, k3, k4 et k5 du modèle sontobtenues à partir des données géométriques de la turbine,et sont résumées dans le Tableau 1.

Dans l’équation (31) et pour un filet moyen de fluide,β+

4 est l’angle qui correspond au rayon moyenr4m définiau paragraphe 2.2. Cet angle peut être obtenu en supposantque dans l’intervalle[r4p, r4t], l’angleβ+

4 varie linéairementavecr4 entreβ+

4p etβ+4t.

3. Comparaison avec des résultats antérieurs

Afin de valider notre modèle, nous l’appliquons à uneturbine radiale de suralimentation pour automobile de typeGarrett TA03. Cette turbine a fait l’objet de plusieurs re-cherches (Fèvre [3], Frelin et Podevin [14] et Podevin [8]).Les courbes caractéristiques expérimentales [8] sont obte-nues en régime stationnaire sur des bancs dits « froids ». Onentraîne la turbine avec de l’air comprimé, généralemententre 6 et 10 bars, pris à la température ambiante. Le rap-

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40 M. Mseddi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 35–44

Fig. 5. Détermination de la constanteC, pour la turbine Garrett TA03 pourautomobile.

Tableau 2Valeurs des constantes du modèle établi, pour la turbine Garrett TA03

Turbine k1 k2 k3 k4 k5

Garrett TA03 0,356 2,067 1,567 0,774 0,323

port γ des capacités thermiques massiques de l’air est sup-posé constant et égal à 1,4.

Pour cette turbine étudiée, les valeurs des constantesk1,k2, k3, k4 etk5 du modèle sont répertoriées dans le Tableau 2.

Le calcul du taux de détente de la turbine en fonctionde sa vitesse de rotation et de son débit, repose sur laconnaissance de ses données géométriques ainsi que dela valeur de la constanteC. Sur la Fig. 5, nous avonsreprésenté la courbe caractéristique expérimentaleVa = 0(roue bloquée) de la turbine Garrett TA03, avec en abscisseD2

a et en ordonnée(1 − τ−2d ). La droite obtenue permet de

retrouver à partir de l’équation (17) en prenantVa = 0, lavaleur de la constanteC égale à 11,315.

D’autre part, pour six valeurs de la vitesse adimension-nelle Va, les Figs. 6 et 7 comparent le taux de détente etle rendement isentropique de la turbine obtenus par notremodèle, à ceux trouvés expérimentalement par Podevin [8],pour la turbine Garrett TA03.

La Fig. 6 montre que les résultats obtenus sont dansl’ensemble satisfaisants et que pour des taux de détenteinférieurs à 2, la corrélation est très bonne. De même, onremarque aussi que les courbes caractéristiques obtenues àpartir de notre modèle sont plus complètes que celles issuesde l’expérience, et que grâce à notre modèle, les points defonctionnement correspondant aux faibles débits ont pu êtreobtenus. Expérimentalement, ces points ne peuvent pas êtredéterminés à cause de la zone de pompage du compresseur.

De même, d’après la Fig. 7, l’allure générale des courbesde rendement est très satisfaisante. Ces courbes sont obte-nues pour une valeur de l’exposantn de la constantek3 égaleà 0,35. Cette valeur est proche de celle proposée par Frelinet Podevin [14] et Friberg [21](n= 0,5).

Par rapport à l’expérience, les écarts moyensEm pour letaux de détente et le rendement isentropique, sont respective-ment de 3 % et de 5,8 %. Ceci nous permet de conclure quele modèle proposé reproduit fidèlement la réalité physique.

D’autre part, afin de comparer les résultats de notre mo-dèle avec les travaux numériques et expérimentaux anté-rieurs, nous avons représenté sur la Fig. 8, le taux de détente

Tableau 3Écarts moyens des modèles, par rapport à l’expérience, pour la turbineGarrett TA03

Modèle Em (τd) Em (ηis)

Modèle de Frelin et Podevin [14] 0,6 % 5 %Notre modèle 1,8 % 7 %

et le rendement isentropique de la turbine, en fonction de lavitesse réduiteVr et le débit corrigéDc :

Vr = N√Tie

et Dc =Qm

√Tie

288

101 325

Pie

Pour trois valeurs deVr, la Fig. 8 montre une comparaisondes taux de détente et du rendement isentropique issus denotre modèle, ceux obtenus par le modèle présenté parFrelin et Podevin [14] et ceux expérimentaux [8]. On noteune bonne concordance entre notre modèle et les travauxantérieurs.

Nous avons également comparé dans le Tableau 3, lesécarts moyensEm (τd) et Em (ηis) du taux de détente etdu rendement isentropique obtenus par notre modèle et parle modèle de Frelin et Podevin, par rapport à l’expérience.

D’après le Tableau 3, même si pour notre modèle, lesécarts moyens sont un peu plus élevés que ceux correspon-dant au modèle de Frelin et Podevin [14], cependant, cesécarts restent raisonnables et montrent que notre modèle estun outil efficace de première estimation des performancesd’une turbine radiale de suralimentation.

4. Conclusion

Un modèle de calcul permettant de prédire les perfor-mances des turbines radiales de suralimentation, est pré-senté. Ce modèle repose sur les données géométriques dela turbine et se traduit par des équations simples donnant letaux de détente et le rendement isentropique.

La comparaison de nos résultats avec ceux expérimentauxet numériques de la littérature, a montré une bonne concor-dance.

Grâce au modèle présenté, il est possible de construire unréseau donnant, pour une isovitesse de rotation quelconquede la turbine, le taux de détente et le rendement en fonctiondu débit.

D’autre part, pour une première estimation des pointsde fonctionnement de la turbine couplée avec un moteurturbosuralimenté, le modèle obtenu permet au motoristed’éviter les interpolations et les extrapolations dans le casde l’utilisation des courbes caractéristiques expérimentalesde la turbine ainsi que les calculs longs et onéreux desapproches locales multidimensionnelles.

Pour l’adaptation d’un turbocompresseur de suralimenta-tion à un moteur d’automobile, le modèle proposé constitueun outil efficace de première estimation des performancesd’une turbine radiale de suralimentation.

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Fig. 6. Comparaison des taux de détente calculés par notre modèle, à ceux de l’expérience (Podevin [8]), pour la turbine Garrett TA03 pour automobile.

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Fig. 7. Comparaison des rendements isentropiques calculés par notre modèle, à ceux de l’expérience (Podevin [8]), pour la turbine Garrett TA03 pourautomobile.

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Fig. 8. Comparaison des taux de détente et des rendements isentropiques issus de notre modèle, du modèle de Frelin et Podevin [14] et de l’expérience (Podevin[8]), pour la turbine Garrett TA03 pour automobile.

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