C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série II b, p. 335–340, 2000Acoustique, ondes, vibrations/Acoustics, waves, vibrations

Modèle à deux échelles de l’équation des ondesà coefficients oscillantsMichel LENCZNER a, Mahamane KADER a, Pierre PERRIER b

a Équipe de mathématiques de Besançon, Groupe matériaux intelligents, 16, route de Gray,25030 Besançon cedex, FranceTél : 03 81 66 63 49 ; 03 81 66 63 38 ; Fax : 03 81 53 14 78 ; Courriel : michel.lenczner@univ-fcomte.fr ;kader@math.univ-fcomte.fr

b Société Dassault aviation, 78, quai Marcel-Dassault, 92552 Saint Cloud cedex, FranceTél : 01 47 11 32 58 ; Fax : 01 47 11 57 95

(Reçu le 29 septembre 1999, accepté le 7 février 2000)

Résumé. On propose un modèle à deux échelles de l’équation des ondes à coefficients périodiques. Ilest obtenu à l’aide d’une méthode asymptotique combinant la convergence à deux échelleset la décomposition sur les ondes de Bloch. L’équation des ondes homogénéisée et cellesobtenues par décomposition sur les ondes de Bloch sont des cas particuliers de ce nouveaumodèle. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Two-scale model of the wave equation with oscillating coefficients

Abstract. A two-scale model for the wave equation with periodic coefficients is formulated. It has beenderived using an asymptotic method based on a two-scale convergence and on the Blochwaves decomposition. The homogenized wave equation and the Bloch waves expansionare particular cases of this new formulation. 2000 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

This note is a part of a work related to distributed control of wave propagation in some physical systemshaving a multi-scale nature. Design of a control law for such problem requires a simplified model. Sucha model has to be formulated with space and time variables. In addition, it has to give a good representationof the spectral properties of the phenomenon. Here, a methodology for modelling which satisfies theseconditions is proposed. It is applied to the one-dimensional wave equation with oscillating data andcoefficients.

Let ω = ]0,1[, N ∈ N andε = 2−N . ConsideruN(t, x) solution of the wave equation with oscillatingdata and coefficients:

∂2ttu

N(t, x)− ∂x(aN (x)∂xu

N(t, x))

= fN (t, x) for (t, x) ∈R+ ×ω

satisfaying homogeneous Dirichlet conditionsuN (t, x) = 0 for (t, x) ∈R+ ×{0,1}, and initial conditionsuN(0, x) = hN0 (x) and ∂tuN (0, x) = hN1 (x) for x ∈ ω. The oscillating coefficientaN is defined byaN (x) = a(x/ε + 1/2) wherea(x) > a0 > 0 is a 1-periodic coefficient. It is defined onR, belongs toW 1,∞(]−1/2,1/2[) and satisfiesa(−1/2) = a(1/2).

Note présentée par Pierre PERRIER.

S1287-4620(00)00133-2/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 335

M. Lenczner et al.

Let pN = (aN )1/2∂xuN andqN = ∂tu

N , they are solution of the first order system:

∂tpN −

(aN)1/2

∂xqN = 0 and ∂tq

N − ∂x((aN)1/2

pN)

= fN (1)

satisfy the boundary conditionqN (t, x) = 0 for (t, x) ∈R+ × {0,1}, and the initial conditionspN(0, x) =hN0 (x) andqN (0, x) = hN1 (x) for x ∈ ω, wherehN0 (x) = (aN )1/2∂xh

N0 (x). The construction of the two

scale model for the wave equation is based on this first order system.The data are assumed to satisfy assumptions stated in [4] in such a way that the sequences‖pN‖L2(R+×ω)

and‖qN‖L2(R+×ω) are bounded. In particular, the sequences‖fN‖L2(R+×ω), ‖hN0 ‖H1(ω) and‖hN1 ‖L2(ω)

are assumed to be bounded. In addition, the solution(pN , qN ) is supposed to vanish after a certain time.From these assumptions, one deduces that there exists an extracted subsequence of(pN , qN) which is

weakly two-scale convergent for the waves towards a limit(p, q) ∈ (L2(R+×ω×Yt×Y (m)))2. Similarly,there exists a subsequence(0, fN) which is weakly two-scale convergent for the waves towards a limit(0, f), and some extracted subsequences ofhN0 andhN1 which two-scale converge towards some limitsh0

andh1 in L2(ω× Y (m)).

THEOREM 1. –The limit(p, q) ∈ (L2(R+×ω×Yt×Y (m)))2 is solution of the following set of equationsposed inR+ ×ω× Yt × Y (m):

M

(∂τp∂τ q

)−(

0 a1/2∂y∂y(a1/2) 0

)(pq

)= 0 (2)∫

Yt×Y (m)

(∂sp− a1/2 ∂zq

)v+

(∂sq − ∂z

(a1/2p

)− f)w = 0 (3)

It satisfies also the boundary condition:∫Yt

a1/2qv dτ = 0 in (s, z, y)∈R+ ×{(

0,−2m−1),(1,2m−1

)}(4)

initial conditions:∫Y (m)

(p− h0)v+ (q − h1)wdy = 0 in (s, z, τ) ∈ {0}× ω× {−1/2} (5)

and periodicity conditions:

the couple(p, q) is (Yt × Y (m))-periodic (6)

for every couple(v,w) ∈ (L2(R+ × ω× Yt × Y (m)))2 solution of(2) and(6).

1. Introduction

Notre étude s’inscrit dans le cadre d’un travail que nous menons sur le contrôle distribué de phénomènesde propagation d’ondes qui présentent un caractère multi-échelles. La construction d’une loi de contrôlepour un tel problème requiert un modèle simplifié, formulé en variables d’espace et de temps, et qui dupoint de vue spectral, représente bien le phénomène étudié. Dans cette note, nous proposons une méthodede modélisation répondant à ces exigences. Elle est appliquée à l’équation des ondes avec données etcoefficients oscillants.

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Modèle à deux échelles de l’équation des ondes

Par soucis de clarté, la méthode est présentée en dimension 1. Son extension au cas de dimensionsupérieure ne pose pas de problème particulier. De plus, il est également possible d’envisager de l’appliquerà des équations représentant des phénomènes de propagation d’ondes ou de propagation d’instabilités enmécanique des fluides. Pour notre part, nous l’appliquons au problème de contrôle de structures turbulentescohérentes en mécanique des fluides.

Dans cette note, nous utilisons la convergence à deux échelles définie dans [1] et la décomposition parondes de Bloch présentée dans [2] pour définir ce que nous appelons la « convergence à deux échelles pourles ondes ». Le passage à la limite dans l’équation des ondes à l’aide de cette convergence conduit à unmodèle à deux échelles de l’équation d’évolution de l’équation des ondes. Le spectre associé à ce modèlecomprend à la fois le spectre de Bloch et la partie basse fréquence du spectre de l’équation des ondeshomogénéisée. Ces propriétés font de lui un bon candidat pour servir de base à la synthèse d’une loi decontrôle.

Une restriction de notre approche, est qu’elle est limitée au cas où le domaine sur lequel est posé leproblème contient une puissance de deux de cellules.

2. Décomposition en ondes de Bloch

ConsidéronsY (m) = ]−2m−1,2m−1[ pourm ∈ N, et Y = Y (0). Pour chaquej ∈ N, une partitionde l’ensembleB = [−π,π[ par des cellules(Bη)η∈Kj est construite de la façon suivante :Bη =[η − π/2j−1, η + π/2j−1[ pour j /∈ {0,1} et B0 = B1 = B. Ici, Kj = {η = (2l + 1)π/2j−1, oùl ∈ {−2j−2, . . . ,2j−2 − 1}} pourj /∈ {0,1}, K0 = {0} etK1 = {−π}.Remarque1. – (i) Pour toutj 6= j′, les ensemblesKj etKj′ sont disjoints, c’est-à-dire queKj ∩Kj′ = ∅.

(ii) Pour toutj ∈N, la famille (Bη)η∈Kj forme une partition deB, autrement dit⋃η∈Kj B

η =B.

La fonctionEj :B 7→ Kj, désigne une fonction constante sur les intervalles(Bη)η∈Kj définie parEj(k) = η pour toutk ∈Bη.

Dans la suite, on supposera toujours quej est un entier et que0 6 j 6 m. Les coefficientsκmj sontdéfinis parκmj = (2m−j+2π)−1/2 pourj 6= 0 etκm0 = (2m+1π)−1/2.

SoitH1] (Y (m)) le sous espace des fonctionsY (m)-périodiques définies surR, dont la restriction àY (m)

appartient à l’espaceH1(Y (m)) et ayant des traces égales sur les cotés oposés deY (m). La propositionsuivante fournit une décomposition des fonctions deL2(ω;H1

] (Y (m))) utilisée pour la définition de latransformation à deux échelles pour les ondes.

PROPOSITION 1. –Pour m 6= 0, pour chaquev ∈ L2(ω;H1] (Y (m))), il existe une famille unique de

fonctionsvj] (k, z, y)∈L2(B ×ω;H1] (Y )), indexée parj ∈ {0, . . . ,m}, telle que:

v(z, y) =∑

06j6mκmj

∫B

vj]

(k, z, y− 1

2

)eiEj(k)y dk (7)

les fonctionsvj] (k, z, y) étant définies comme suit:

vj] (k, z, y) = κmj

2m−1−1∑r=−2m−1

v

(z, y+ r+

1

2

)e−iEj(k)(y+r+ 1

2 ) (8)

pour tout k ∈ Bη et tout η ∈ Kj . Le choix de la constanteκmj est tel que l’opérateurv 7→ vj] (k, z, y)

est une isométrie deL2(ω × Y (m)) dans (L2(B × ω × Y ))m+1, c’est-à-dire que‖v‖2L2(ω×Y (m)) =∑mj=0 ‖v

j]‖2L2(B×ω×Y ).

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M. Lenczner et al.

Les fonctionsvj] vérifient les propriétés d’orthogonalité énoncées dans la proposition suivante.

PROPOSITION 2. –Soientv] et v′] deux fonctions deL2(ω;H1] (Y )), deux entiers0 6 j, j′ 6 m et

deux réels(η, η′) ∈ Kj × Kj′ . Si l’une des conditionsj 6= j′ ou η 6= η′ est satisfaite, alors pour tout(k, k′) ∈Bη ×Bη′ , les fonctionsv](z, y) eiEj(k)y etv′](z, y) eiEj′(k)y sont orthogonales au sens du produitscalaire deL2(ω× Y (m)).

Le spectre de Bloch défini dans [3] (ou d’une façon équivalente dans [2]) est constitué des valeurs proprespositives(µjp(k))j∈N, k∈Kj , p∈N∗ solution du problème spectral :

−∂y(a(y)∂yφ

jp(k, y)

)= µjp(k)φjp(k, y) dansY (9)

avec les conditions aux limites :

φjp(k, y) e−iEj(k)y et e−iEj(k)ya(y)∂yφjp(k, y) sontY -periodiques (10)

On complète la famille de ces fonctions propres avecφj0(k, y) (notée égalementφ0(y)), fonction constantesur Y (m). Chacune des fonctionsφjp(k) est choisie de norme égale à1 pour la norme de l’espaceL2(Y (m)). Pour chaquek et j, l’ensemble des fonctions(φjp(k, .))p∈N forme une famille orthogonale,complète pour l’espaceL2(Y ). L’ensemble des fonctions(φjp(k, .))p∈N∗ forme également une famillecomplète orthogonale deH1

],Ej(k)(Y ) pour le produit scalaire(φ,ψ) = (∫Y a(y)∂yφ · ∂yψ dy)1/2, où

H1],η(Y ) est l’espace des fonctions définies surR parH1

],η(Y ) = {v tel quev(y) = v](y − 1/2) eiηy oùv] ∈H1

] (Y )}.D’après laproposition 1, l’ensemble de toutes les fonctions propres(φjp(k, .))j∈{0,...,m}, k∈Kj , p∈N∗

forme une famille orthonormée, complète deL2(Y (m))/R et orthogonale complète deH1] (Y (m))/R.

Grâce à laproposition 2, on peut décomposerH1] (Y (m)) d’une façon qui est essentielle pour la suite :

H1]

(Y (m)

)=H1

]

(Y (m− 1)

)/R⊕ vect

((φmp (k, .)

)p∈N∗, k∈Km

)⊕ vect(φ0)

Autrement dit, la contribution au spectre de Bloch des solutions de (9) lorsquej passe dem− 1 àm estexactement

⋃p∈N∗, k∈Km{µ

mp (k)}.

3. La transformation à deux échelles pour les ondes

Dans cette partie, on combine la transformation à deux échelles [1] par rapport aux variables d’espace etde temps avec la décomposition en ondes orthogonales introduite au paragraphe précédent.

Soitm ∈ N tel que0 6m6N0 6N. La transformée à deux échelles, de paramètrem, d’une fonctionv(x) ∈ L2(ω) est la fonctionv(z, y) ∈ L2(ω × Y (m)) définie de la façon suivantev(z, y) = v(xN` (m) +εy), pour toutz ∈ ]2m`ε,2m(`+1)ε[, y ∈ Y (m) et tout` ∈ {0, . . . ,2N−m−1} oùxN` (m) = 2mε(`+1/2).

On définit également une transformation à deux échelles de paramètreα ∈R+ par rapport à la variable detemps. SoitYt = Y. La transformée à deux échellesuα(s, τ) ∈ L2(R+×Yt) d’une fonctionu(t) ∈ L2(R+)est définie paruα(s, τ) = u(tNi + αετ), pour touts ∈ ]tNi − αε/2, tNi + αε/2[, τ ∈ Yt et touti ∈ N, oùtNi = (i+ 1/2)αε.

A chaque fonction propreφjp(k) on associe la fonctionψjp(k, y) =√a/µjp(k)∂yφ

jp(k, y). Cette famille

est complétée parψj0(k, y) = (∫Y (m) a

−1(y) dy)−1a−1/2(y) (notée égalementψ0(y)). Les propriétés

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Modèle à deux échelles de l’équation des ondes

énoncées ci-dessus sur la famille desφjp(k, y) sont également vraies pour la famille desψjp(k, y) en utilisant

le produit scalaire(φ,ψ) = (∫Y ∂y(a1/2φ) · ∂y(a1/2ψ)dy)1/2 surH1

],η(Y ).

Posonsαjp = 2π/√µjp. Considérons un couple(p, q)(t, x) ∈ (L2(R+ × ω))2. On lui associe sa

transformée à deux échelles(p, q) par rapport à la variabley. Les coefficients de(p, q) sur la baseorthonormée(ψ0,0), (ψjp(k, .),0), (0, φ0), (0, φjp(k, .)) de(L2(Y (m)))2 sont notés respectivementc0(t, z),cjp(k, t, z), d0(t, z) et djp(k, t, z). Enfin, les transformés à deux échelles de ces coefficients par rapport à lavariable de tempst et de coefficient respectivement1, αjp,1 et αjp sont notéesc0(s, z, τ), cjp(k, s, z, τ),

d0(s, z, τ) et djp(k, s, z, τ).

DÉFINITION. – La transformation à deux échelles pour les ondes est une isométrie de(L2(R+×ω))2 dans(L2(R+ × ω× Yt × Y (m)))2 : (p, q) 7→ 2−m/2(p, q) définie par:

(p, q) = (c0ψ0, d0 φ0) +∑

06j6m

∫B

∑p∈N∗

(cjpψ

jp, d

jp φ

jp

)dk

Utilisant cette définition, on dit qu’une suite(pN , qN) ∈ L2(R+ × ω)2 est convergente à deux échellespour les ondes dansL2 vers une limite(p, q) ∈ (L2(R+×ω×Yt×Y (m)))2 si sa tranformée à deux échellespour les ondes(pN , qN ) converge vers(p, q) dans(L2(R+ × ω × Yt × Y (m)))2. Cette convergence peutêtre forte ou bien faible.

La transformation à deux échelles pour les ondes de la dérivée∂t(p, q) du couple(p, q) est égale àM∂τ (p, q)/ε où l’opérateurM est défini de(L2(R+ ×ω× Yt × Y (m)))2 dans lui même par :

M(p, q) =

(c0ψ0 +

∑06j6m

∫B

∑p∈N∗

cjp

αjpψjp dk, d0φ0 +

∑06j6m

∫B

∑p∈N∗

djp

αjpφjp dk

)

4. Modèle à deux échelles de l’équation des ondes

Des hypothèses faites dans la version anglaise, on déduit qu’il existe une sous suite extraite de(pN , qN)qui converge faiblement à deux échelles pour les ondes vers une limite(p, q) ∈ (L2(R+ × ω × Yt ×Y (m)))2. De même, la suite(0, fN) converge faiblement à deux échelles pour les ondes vers une limite(0, f) et les suiteshN0 ethN1 convergent à deux échelles vers des limitesh0 eth1 dansL2(ω× Y (m)).

PROPOSITION 3. –La limite (p, q) ∈ (L2(R+ × ω × Yt × Y (m)))2 est solution du système d’équations(2)–(6).

Remarque2. – (i) En utilisant la décomposition (7) du couple(p, q), les inconnuesp et q peuvent êtreremplacées par des combinaisons de fonctions(Yt × Y )-périodiques. On en déduit alors un modèle posésur le domaine indépendant dem, B ×R+ × ω× Yt × Y au lieu deR+ ×ω× Yt × Y (m).

(ii) Toujours en utilisant la décomposition (7), les équations (2) munies des conditions aux limites (6) peu-vent être formulées sous forme d’une famille d’équation du second ordre :∂2

ττuj(k)− ∂y(a∂yu

j(k)) = 0posées dansB × Yt × Y où lesuj(k) vérifient les conditions de périodicité (10). Le spectre associé à cetopérateur est précisément la partie du spectre de Bloch

⋃j∈{0,...,m}, k∈Kj , p∈N∗{µ

jp(k)}. Lorsquem tend

vers l’infini, ce spectre tend vers le spectre de Bloch complet.(iii) Les projections dep et q respectivement surψ0 et surφ0 ne dépendent pas deτ et vérifient un

système d’équation du premier ordre qui peut être ramené à une équation des ondes posée dansR+ × ω.Dans le cas particulier oùm= 0, on retrouve l’équation homogénéisée déjà obtenue dans la litérature.

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M. Lenczner et al.

Références bibliographiques

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