Modèles à facteur pour la gestion du risque de cré ?· Revue des modèles à facteur et analyse de…

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Loi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceModles facteur pour la gestion du risque de crditAreski Cousin, Jean-Paul LaurentUniversit Claude Bernard Lyon 1,ISFAGT Projet ANR AST&Risk - ISFA - 26 septembre et 10 octobre 2008Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceIntroductionModlisation de la dpendance pour la gestion de portefeuilles de crditMotivation pour les institutions financires ?Determination du niveau minimal de fonds propres rglementaires(Approche IRB : Internal Rating Based Approach)Norme comptable IAS 32 et IAS 39Gestion interne et couverture de produits drivs de crdit tels queles tranches de CDOAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceIntroductionLes modles facteur se sont imposs pour diffrentes raisons :Modles de dpendance comprhensibles et simples manipuler : lestemps de dfaut sont indpendants conditionnellement un facteuralatoireRespect de lintuition conomique : la dpendance provient dunrisque systmique non mutualisable (volution dfavorable devariables macro-conomiques)Parcimonie des paramtres de dpendanceDtermination de la distribution de la perte du portefeuille derfrence par des mthodes semi-analytiques.Approche prconise par le comit de Ble II (Approche IRB) pourcalculer le montant minimal de fond propre rglementaireAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceIntroductionPortefeuille compos de n entits1, . . . , n temps de dfaut(D1,t , . . . , Dn,t) = (1{1t}, . . . , 1{nt}) les indicatrices de dfaut ladate tM1, . . . , Mn pertes en cas de dfautProcessus de la perte agrgeLt =ni=1Mi1{it}Capital rglementaire, Mesure de risque sur la perte agrge horizon 1 anEvaluation de produits drivs dont les flux de capitaux sontgouverns par le processus de la perte agrge. Ex : E[(Lt a)+]Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceContents1 Loi de la perte agrge2 Comparaison des risques dans les modles facteur3 Revue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceLoi de la perte dans un modle facteurEn toute gnralit, le calcul de la loi de la perte ncessite n intgrationsnumriques successivesSuccs oprationnel des modles facteur: complexit des calculs estdirectement lie la dimension du facteur1, . . . , n conditionnellement indpendant sachant VRle prpondrant de la probabilit conditionnelle de dfaut :pi,t = Q(i t | V ), i = 1, . . . , nPlusieurs approches dominent par leur popularit :Approche FFT (Gregory et Laurent (2003))Approche base sur un algorithme rcursif (Andersen, Sidenius etBasu (2003))Approche base sur des approximations de la loi conditionnelle de laperteAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceApproche FFTInversion de la fonction caractristique de la perte par un algorithme FFTFonction caractristique de la perte:Lt (u) = E[e iuLt]= E 1in(1 + pi,t(e iuMi 1)) .Integration numrique (quadrature de Gauss) par rapport la loi dufacteur VAlgorithme FFT dinversion de transforme de FourierAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceAlgorithme rcursifCas o M1 = = Mn = uDcoupage du support de la loi de la perte en une subdivision de pasconstant L = 0, u, . . . , n uDtermination de la loi conditionnelle de la pertePortefeuille de taille 1 :{Q(L(1)t = 0 | V ) = 1 p1,tQ(L(1)t = 1 | V ) = p1,tConnaissant la loi conditionnelle du portefeuille de taille k, Portefeuille detaille k + 1 :Q(L(k+1)t = iu | V ) = Q(L(k)t = iu | V )(1pk+1,t)+Q(L(k)t = (i1)u | V )pk+1,tIntgration numrique de la loi de la perte conditionnelle par rapport laloi du facteurAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceMthodes bases sur des approximationsApproximation de la loi conditionnelle par une loi de Poisson, NormalPowerMthode dapproximation de Stein introduite dans le crdit par El Karouiet Jiao (2007)Approcher la loi conditionnelle de la perte par une loi standard(Poisson ou Normale) de paramtres connusErreur dapproximation sexprime de manire analytiqueAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceCas dun portefeuille homogneApplicable pour des portefeuilles de grande dimensionM1 = . . . = Mn : tous les noms ont mme exposition au risque et mmetaux de recouvrementLa perte agrge est gouverne par le processus de comptageNt =ni=1 Di,tTemps de dfaut sont supposs tre changeables(1, . . . , n)d= ((1), . . . , (n))pour toute permutation Mmes marginales, mmes lois des couples, mme lois jointes dessous-ensembles de mme tailleEn particulier, (D1,t , . . . , Dn,t) = (1{1t}, . . . , 1{nt})changeables pour tout tAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceThorme de De Finetti et reprsentation facteurD1,t , . . . , Dn,t , . . . forment une suite de variables alatoires de BernoullichangeablesTheorme de De Finetti, il existe un unique facteur alatoire pt tel queD1, . . . , Dn soient conditionnellement indpendants sachant ptSi t reprsente la loi de pt , alors la perte agrge est simplement unmlange de Binomiales :Q(Nt = k) = C kn 10pk(1 p)(nk)t(dp), k = 0, . . . , n.Le calcul de la loi de la perte se rsume une simple intgrationnumriqueEchangeabilit au sens strict garantit seulement lexistence dune mesuresigne Jaynes (1986)Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceCas de portefeuille infiniment granulairePortefeuille homogne de grande tailleD1,t , . . . , Dn,t , . . . forment une suite de variables de BernoullichangeablesThorme de De Finetti : la perte unitaire (par unit dexposition)converge vers pt1nni=1Di,tp.s pt as n Risque individuel mutualisablePerte unitaire dun portefeuille homogne de grande taille peut treapproche par le facteur mlange ptAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceCas de portefeuille infiniment granulaireSi les temps de dfaut sont conditionnellement indpendants sachant V ,pt coincide avec la probabilit conditionnelle de dfaut Q(1 t | V )1nni=1 Di,tp.s E[D1,t | V ] = Q(1 t | V )Ble 2: perte agrge approche par la probabilit conditionnelle de dfautpour des portefeuilles de grande tailleApproche gnralisable des portefeuilles non homognes (Vasicek(2002),Gordy(2003)) lorsque :Expositions individuelles ngligeables par rapport lexposition totaleAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceContents1 Loi de la perte agrge2 Comparaison des risques dans les modles facteur3 Revue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceOrdre convexeCompare le niveau de dispersion entre deux variables alatoiresOrdre convexe: X cx Y if E[f (X )] E[f (Y )] pour toute fonctionconvexe fX cx Y E[(X K)+] E[(Y K)+] for all K IRX cx Y si E[X ] = E[Y ] et FX , la fonction de rpartition de X et FY , lafonction de rpartition de Y sont telles que :Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceOrdre supermodulaireCompare le niveau de dpendance interne entre deux vecteurs alatoires(X1, . . . , Xn) sm (Y1, . . . , Yn) si E[f (X1, . . . , Xn)] E[f (Y1, . . . , Yn)]pour toute fonction supermodulaire fDefinition (fonction supermodulaire)Une fonction f : Rn R est supermodulaire si pour tout x IRn,1 i < j n et , > 0, lingalit suivante est vrifie :f (x1, . . . , xi + , . . . , xj + , . . . , xn) f (x1, . . . , xi + , . . . , xj , . . . , xn) f (x1, . . . , xi , . . . , xj + , . . . , xn) f (x1, . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn)Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRevue de la littratureMller(1997)Stop-loss order for portfolios of dependent risks(D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn ) ni=1MiDi cxni=1MiDiBuerle and Mller(2005)Stochastic orders and risk measures: Consistency and boundsX cx Y (X ) (Y )pour toute mesure de risque convexe Lefvre and Utev(1996)Comparing sums of exchangeable Bernoulli random variablesp cx p ni=1Di cxni=1DiAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRsultats principauxComparaison de deux portefeuilles de crditPremier portefeuille : D1, . . . , Dn variables alatoires de Bernoullichangeable associes au facteur pSecond portefeuille : D1 , . . . , Dn variables alatoires de Bernoullichangeable associes au facteur pPertes : Lt =ni=1 MiDi and Lt =ni=1 MiDiTheoremp cx p (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )En particulier, si p cx p, alors:E[(Lt a)+] E[(Lt a)+] pour tout a > 0.(Lt) (Lt ) pout toute mesure de risque convexe Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRsultats principauxSoient D1, . . . , Dn, . . . une suite de variables de Bernoulli changeablesassocie au facteur pSoient D1 , . . . , Dn , . . . une suite de variables de Bernoulli changeablesassocie au facteur pTheorem (Rciproque)(D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn ),n N p cx p.Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceComparaison du risque des tranches de CDO dans lesmodles facteurPour la plupart des modles facteur :Modles facteur bas sur des fonctions copules (copule gaussienne,copules archimdiennes)Modles Poisson multivaris ou chocs communsModles structurels multivarisLaugmentation du paramtre de dpendance entrane :Une diminution de la prime des tranches equity (tranches couvrantles premires pertes)Une augmentation de la prime des tranches senior (tranchescouvrant les dernires pertes)Une augmentation des mesures de risque convexes sur la perteagrgeAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisContents1 Loi de la perte agrge2 Comparaison des risques dans les modles facteur3 Revue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisCoefficient de dpendance de queueX , Y deux variables alatoires de fonction de rpartitions FX et FY et decopule CCoefficient de dpendance de queue infrieure :L = limu0+Q(X F1X (u) | Y F1Y (u))= limu0+C(u, u)uCoefficient de dpendance de queue suprieure :U = limu1Q(X > F1X (u) | Y > F1Y (u))= limu1C(u, u) + 1 2u1 uAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModle facteur gaussienLa structure de dpendance des temps de dfaut est rgie par desvariables latentes V1, . . . , Vn telles que:Vi = V +1 2Vi , i = 1 . . . no V , Vi , i = 1 . . . n sont indpendantes de loi Normales centres rduitesLes temps de dfaut sont dfinis par: i = F1((Vi )), i = 1 . . . no F : fonction de rpartition de i , i = 1, . . . , net : fonction de rpartition de ViL = U = 0 lorsque 0 < 1L = U = 1 lorsque = 1Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModle facteur gaussienDi = 1{it}, i = 1 . . . n sont indpendantes connaissant le facteur V1nni=1 Dip.s E[Di | V ] = Q(i t | V ) = ptLa probabilit mlange pt scrit alors :pt = (1 (F (t)) V1 2).TheoremPour tout horizon t, notons Di = 1{it}, i = 1 . . . n etDi = 1{i t}, i = 1 . . . n les indicatrices de dfaut correspondantes (resp.) et , alors : pt cx ptAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModle facteur gaussien0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.20.40.60.81Distribution de la probabilit conditionnelle de dfaut : copule gaussienne=0.1=0.9PD=0.26Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisCopules archimdiennesSchnbucher and Schubert(2001), Gregory and Laurent(2003),Madan et al.(2004), Friend and Rogge(2005)V est une variable alatoire positive de transforme de Laplace 1U1, . . . , Un sont des variables alatoires uniformes sur [0, 1],indpendantes de VVi = 1( ln UiV), i = 1 . . . n (Marshall and Olkin (1988))Q(V1 v1, . . . , Vn vn) = 1 ((v1) + . . . + (vn))i = F1(Vi )F : distribution function of iL = limu0+ 1(2(u))u = limx+1(2x)1(x)U = 2 limu1 11(2(u))1u = 2 limx0+11(2x)11(x) .Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisCopules archimdiennesDi = 1{it}, i = 1 . . . n indpendantes sachant V1nni=1 Dip.s E[Di | V ] = Q(i t | V )Probabilit conditionnelle de dfaut : pt = exp {(F (t)V )}Copule Gnrateur Paramtre L U KClayton 1(t 1) 0 21 0 +2Gumbel ( ln(t)) 1 0 2 21 1 1Frank ln[1et1e]IR 0 0 non analytiqueTheorem p cx p (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisCopules archimdiennes0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91IndependenceComonotonic{0.01;0.1;0.2;0.4} increasesP(i t)=0.08 Exemple de la copule deClaytonFonctions de rpartition de laprobabilit mlange ordonnessuivant lordre convexeAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles structurelsHull, Predescu and White(2005)Soient n entreprisesVi,t , i = 1 . . . n la valeur des actifs la date tVi,t = Vt +1 2Vi,t , i = 1 . . . nV , Vi , i = 1 . . . n sont des Browniens standards indpendantsTemps de dfaut :i = inf{t IR+|Vi,t f (t)}, i = 1 . . . n, f : IR IR continueDi = 1{iT} , i = 1 . . . n sont indpendants sachant (Vt , t [0, T ])Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles structurelsTheoremPour tout horizon T , soient Di = 1{iT}, i = 1 . . . n etDi = 1{i T}, i = 1 . . . n les indicatrices de dfaut correspondants resp. et , alors : (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisStructural model0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.20.40.60.81Distribution de la probabilit conditionnelle de dfaut : copule gaussienne=0.1=0.9PD=0.261nni=1 Dip.s p1nni=1 Dip.s pEmpiriquement, on constatelorsque que lesprobabilits mlanges sontordonnes suivant lordreconvexe : p cx pAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisDuffie(1998), Lindskog and McNeil(2003), Elouerkhaoui(2006)N it , i = 1, . . . , n Poisson de paramtre : risque idiosyncratiqueNt Poisson de paramtre : risque systmique(B ij )i,j Bernoulli de moyenne pToutes les sources de risque indpendantesN it = N it +Ntj=1 Bij , i = 1 . . . ni = inf{t > 0|N it > 0}, i = 1 . . . nPossibilit de dfauts simultans, risque ArmageddonAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisPage 1 sur 110/10/2008http://www.boursorama.com/graphiques/impression.phtml?id=1859455Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisStructure de dpendance de (1, . . . , n) : copule de Marshall-Olkini Exp( + p)Di = 1{it}, i = 1 . . . n conditionnellement indpendant sachant Nt1nni=1 Dip.s E[Di | Nt ] = Q(i t | Nt)Probabilit conditionnelle de dfaut:pt = 1 (1 p)Nt exp(t)Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisComparaison entre modles Poisson multivaris de paramtres (, , p) et(, , p)Ordre supermodulaire ncessite que les lois marginales du vecteur destemps de dfaut soient les mmes : + p = + p3 axes de comparaison:p = p: v.s = : v.s p = : v.s pAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisTheorem (p = p)Soient (, , p) et (, , p) tels que + p = + p, alors: , p cx p (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.400.010.020.030.040.050.060.070.08retention levelstop loss premium=0.1=0.05=0.01p=0.1t=5 yearsP(i t)=0.08Primes stop-loss E [(Lt a)+]:30 noms dans le portefeuilleMi = 1, i = 1 . . . nLorsque augmente, les primes stop-losspeuvent tre ordonnes (ordre stop-loss)Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisTheorem ( = )Soient (, , p) et (, , p) tels que + p = + p, alors:p p, p cx p (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91p=0.1p=0.3=0.05t=5 yearsP(i t)=0.08Ordre convexe pour les probabilits mlangesAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisTheorem ( = )Soient (, , p) et (, , p) tels que + p = + p, alors:p p, p cx p (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.600.010.020.030.040.050.060.070.08retention levelstop loss premiump=0.3p=0.2p=0.1=0.05t=5 yearsP(i t)=0.08Primes stop-loss E[(Lt K)+]:30 nomsMi = 1, i = 1 . . . nLorsque p augmente, les primes stop-losspeuvent tre ordonnes (ordre stop-loss)Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisModles Poisson multivarisTheorem ( = )Soient (, , p) et (, , p) tels que p = p, alors :p p, p cx p (D1, . . . , Dn) sm (D1 , . . . , Dn )0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.010.020.030.040.050.060.070.08retention levelstop loss premiump=0.67p=0.33p=0.22t=5 yearsP(i t)=0.08Primes stop-loss E[(Lt K)+]:30 nomsMi = 1, i = 1 . . . nLorsque p augmente, les primes stop-losspeuvent tre ordonnes (ordre stop-loss)Areski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivarisConclusionLes modles facteur constituent un cadre intressant pour ladtermination de la loi de la perte agrge sur laquelle sappuient :le calcul du niveau minimal de fond propre (Ble 2)lvaluation et la couverture de produits drivs multi-nomsDans le cas de portefeuilles homognes, lhypothse dindpendanceconditionnelle nest plus restrictive grce au thorme de De FinettiLa probabilit conditionnelle de dfaut qui peut tre vue comme la pertedun portefeuille infiniment granulaire joue un rle prpondrant la foispour le calcul de la distribution de la perte mais aussi pour lanalyse durisque dans ces modlesCependant, les modles facteur ne refltent pas ou peu lvolutionstochastique de la corrlation et notamment le phnomne de contagionAreski COUSIN Modles facteur pour la gestion du risque de crditLoi de la perte agrgeComparaison des risques dans les modles facteurRevue des modles facteur et analyse de la dpendanceRappels dpendance dans les extrmesModles facteur bass sur des fonctions copulesModles structurels multivarisModles Poisson multivaris

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