Modèles de choix discrets (II) Mirta B. Gordon Laboratoire Leibniz-IMAG Grenoble Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS : modèles, concepts

Modèles de choix discrets (II)

Mirta B. GordonLaboratoire Leibniz-IMAG

Grenoble

Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS :modèles, concepts méthodes

mars 2004 [email protected] - Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS - choix discrets II

2

plan

•introduction modèles en physique modèles en sciences sociales

•encore un modèle de Schelling ! critical mass (p104) un modèle général

•modèle d’un marché à bien unique modèle des acheteurs détermiation du prix par le monopoliste transitions de phases


3

modèles en physique

•ingrédients minimalistes (modèle « simple »)

•prédiction de propriétés observables expliquer comment des atomes « sans volonté » ni

« coordination » se rangent pour former un réseau cristallin expliquer comment des moments magnétiques microscopiques

s’ordonnent pour donner lieu à l’existence d’aimants macroscopiques

•description mathématique abstraite déduire des résultats non ambigus et non intuitifs à partir

d’hypothèses simples généralisable à d'autres systèmes

modèle d’Ising du ferromagnétisme (E=-½i,kJsisk)

ordre-désordre dans les alliages croissance cristalline sur un substrat


4

modèles en sciences humaines et sociales

•modèles deterministes équilibre général en microéconomie

• économie convexe (analogie avec la mécanique) -> solution unique• externalités -> pour introduire des non-convexités

•modèles probabilistes d’équilibre (mécanique statistique : beaucoup de degrés de liberté)

• agents hétérogènes• avec des interactions entre agents

• modèles de ségrégation et de masse critique de Schelling• modèle de choix discrets (Föllmer et plus récents)

dynamiques • statistiques -> trajectoires vers l’équilibre• d’auto-organisation

•exemple simple


5

"the dying seminar" (T. Schelling)

•situation des chercheurs doivent décider chaque samedi s’ils assistent

ou non au séminaire du département chacun a un seuil de "masse critique" : il n’assiste que si la

fraction de participants dépasse ce seuil

•questions combien de participants y aura-t-il les samedis successifs ?

si l’on connaît les seuils des autres parfaitement si on « apprend » à les connaître

• quelles observables utiliser pour « apprendre »?• combien de fois doit-on « échantillonner » pour répondre correctement?• …


6

formalisation

•N participants potentiels (i=1,2,…,N) au séminaire

• i : choix de chaque agent : assister (i = 1)

ne pas assister (i=0)

•seuil Hi : fraction de participants au dessous duquel l’agent i n’assiste pas au séminaire

•fraction de personnes qui assistent :

•décision individuelle :

N

1kkN

1

i

N

1kki

i

N

1kki

HN1

si1

HN1

si0


7

quel est le nombre d’assistants?

•on ordonne les individus par Hi croissants, et on représente l’histogramme du nombre de personnes pour chaque intervalle de seuils (H,H+H)

• lissons et normalisons (divisant par N) l’histogramme

densité de probabilité des seuils dans la population : f(H)

courbe plus ou moins en « cloche » autour de la moyenne

•distribution cumulative F(H) : fraction de chercheurs avec seuils inférieurs à H

fonction sigmoïdale

h

0

20

40

60

80

1000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Co

un

ts

Bin

Cu

mu

lative

Co

un

ts

uniform distribution

20

40

60

80

1000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60C

ou

nts

Bin

truncated normal

Cu

mu

lativ

e C

ou

nts

seuils = 0participants inconditionnels

seuils = 1

distributionuniforme

distributionnormale tronquée

fraction vs H


8

expérimentation

• Participation initiale : 15 personnes




9

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

H

act

ua

l att

en

da

nce

expected attendance

exemple 1

•les seuils se trouvent répartis entre 0 et 1 aucune personne a un seuil inférieur à 18% 20% des personnes ont un seuil = 1 : ils n’assistent que si tous

assistent

•la participation se stabilise autour de 58%

la distribution cumulative F(H) a une pente < 1 au point de croisement

espéré = réalisé : = F(H)

taux de participation espéré = F(H)

nombre de participants

;

F(H

)


10

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

H

act

ua

l att

en

da

nce

expected attendance

convergence vers l’équilibre

la distribution cumulative F(H) a une pente < 1 au point de croisement




;

F(H

)


11

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

actu

al a

tten

danc

e

expected attendance

selfconsistent solutions

exemple 2

•les seuils se trouvent répartis entre 0 et 1 18% des personnes ont un seuil = 0 : participants inconditionnels 20% des personnes ont un seuil = 1

•la participation se stabilise autour de 0 ou de 100%



la distribution cumulative F(H) a une pente > 1 au point de croisement


;

F(H

)


12

distribution logistique

xcosh2)x(p

2

x2exp11

)x(F

≈1/

≈ 1/

de paramètre3


13

dying seminar : distribution logistique

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

self-consistent solutions

M

m

H

logistic

actu

al a

ttend

ance

expected attendance

•deux solutions stables (extrêmes)

•une solution instable (au milieu)

•suivant la valeur moyenne et la variance de la distribution :

le séminaire meurt la participation est très forte les deux possibilités (courbe rouge)

laquelle sera réalisée?

problème de théorie des jeux

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

H

A B C

actu

al a

tten

danc

e

expected attendancenombre de participants

;

F(H

)


;

F(H

)

modèle général d’une population ayant à faire des choix discrets

sous influence sociale


15

définitions de base

•N agents (i=1,2,…,N)

• i : choix de chaque agent : oui (i = 1)

non (i=0)

•la notation si ε {+1,-1} est équivalente il suffit de remplacer dans toutes les équations

•suivant le contexte, « oui » et « non » veulent dire : acheter ou pas, participer ou non, adopter un standard ou non, .... etc.

21si

i


16

population inhomogène

•au lieu des seuils de Schelling : des préférences individuelles

Hi : envie du « oui » chez l’individu i• distribution (gelée) des Hi dans la population

H : valeur moyenne des Hi

dans la population : variance de la distribution

•fi : distribution des préférences

autour de la moyenne

ii HH

0

20

40

60

80

100-4 -2 0 2 4

-4 -2 0 2 40

50

100

150

200

Cou

nts

Bin

Cum

ulat

ive

Cou

nts

normal distribution

support compact ou infini


17

influence sociale

•on peut traiter n’importe quel type de voisinage : • réseau de conexions ocales, régulier ou non• réseau aléatoire, petit monde• réseau global

•la préférence de l’individu i est représentée par la somme

ik

kiki

ii J1

HV

ikkik

iJ

1

poids attrtibué par i aux choix de ses « voisins »

nombre de voisins de i voisinage de i

choix du voisin k = 0 ou 1


18

choix

•chaque individu maximise son utilité ou surplus :

•où P est un seuil global, ou le prix d’une unité (peut être nul)

0surplusi

prix de réserve

1PJ1

HVsi ik

kiki

iii

0PJ1

Hsurplusik

kiki

ii

0PJ1

HVsi ik

kiki

iii

fin du premier cours

Documents

Modèles de choix discrets (II) Mirta B. Gordon Laboratoire Leibniz-IMAG Grenoble Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS : modèles, concepts