Modèles de choix discrets (III) Mirta B. Gordon Laboratoire Leibniz-IMAG Grenoble Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS : modèles, concepts

Modèles de choix discrets (III)

Mirta B. GordonLaboratoire Leibniz-IMAG

Grenoble

Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS :modèles, concepts méthodes

mars 2004 [email protected] - Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS - choix discrets III 2

plan

•introduction modèles en physique modèles en sciences sociales

•encore un modèle de Schelling ! critical mass (p104) un modèle général

•modèle d’un marché à bien unique modèle des acheteurs détermiation du prix par le monopoliste transitions de phases

modèle général d’une population devant des choix discrets

sous influence sociale


définitions de base

•N agents (i=1,2,…,N)

• i : choix de chaque agent : oui (i = 1)

non (i=0)

•suivant le contexte, « oui » et « non » veulent dire : acheter ou pas, participer ou non, adopter un standard ou non, .... etc.


population inhomogène

•au lieu des seuils de Schelling : des préférences individuelles

Hi : envie du « oui » chez l’individu i• distribution (gelée) des Hi dans la population

H : valeur moyenne des Hi

dans la population : variance de la distribution

•fi : distribution des préférences

autour de la moyenne

ii HH

0

20

40

60

80

100-4 -2 0 2 4

-4 -2 0 2 40

50

100

150

200

Cou

nts

Bin

Cum

ulat

ive

Cou

nts

normal distribution

support compact ou infini


influence sociale

•on peut traiter n’importe quel type de voisinage : • réseau de conexions ocales, régulier ou non• réseau aléatoire, petit monde• réseau global

•la préférence de l’individu i est représentée par la somme

ik

kiki

ii J1

HV

ikkik

iJ

1

poids attrtibué par i aux choix de ses « voisins »

nombre de voisins de i voisinage de i

choix du voisin k = 0 ou 1


choix

•chaque individu maximise son utilité ou surplus :

•où P est un seuil global, ou le prix d’une unité (peut être nul)

0surplusi

prix de réserve

1PJ1

HVsi ik

kiki

iii

0PJ1

Hsurplusik

kiki

ii

0PJ1

HVsi ik

kiki

iii

hypothèses simplificatrices permettant des calculs analytiques


•choisir « comme les autres » procure avantages ou plaisir :Jik > 0

• ... et encore plus simple : terme social homogène (Jik=J)

•la préférence de l’individu i

ik

ki

J1

Ji

poids attrtibué aux choix des « voisins »

nombre de voisins de i

modèle d’interactions positives

iik

ki

ii JH1

JHVi

fraction des voisins de i qui achètent


voisinage global : « champ moyen »

•on peut traiter n’importe quel type de voisinage

remarque : si fini : terme social très sensible au changement d’avis d’un seul voisin

•voisinage global

•et N très grand :

•limite des grands nombres : insensible aux fluctuations : les agents ne peuvent pas influencer

individuellement le terme de choix collectif J

ik

ki

J1

Ji

poids des « voisins » nombre de voisins de i

N

1kk

N

)ik(1k

ki N1

1N1

i

i1Ni

N


modèle de « consommateur »

•interactions homogènes positives : Jik=J

•voisinage global :

•préférence « privée » i tiré d’une distribution f(i) de moyenne nulle

prix de réserve de l’individu i :

•maximisation individuelle du surplus

si Vi > P alors i=1 et le surplus est Vi – P

si Vi < P alors i=0 et le surplus est 0

•surplus de l’individu i : PVPJH iiii

i1Ni

JHV ii

ii HH


commentaires

•comparaison avec les modèles de Schelling : P=0, J=1 i a un support borné (0 ≤ Hi=H+i ≤ 1) suivant le modèle :

voisinage local (segregation) champ moyen (dying seminar, bounded neighbourhood)

•plus riche : préférences plus générales effet social pondéré par J en variant P on peut modéliser des effets externes (l’offre, …)


méthode générale

•on suppose que chaque agent i connaît son i (information privée)

et aussi (par apprentissage, expérimentation, des enquêtes,...)

•probabilité que i choisisse i=1 ou i=0 :

)1(proba10PJHproba)0(probaZ

JHPf0PJHproba)1(proba

i

ii

JHPf)0(proba0)1(proba1EN1

kk

loi des grands nombres


fraction d’acheteurs

•fraction de voisins de i qui achètent :

•loi des grands nombres :

•il faut résoudre :

-> équivalent à chercher les attracteurs dans le modèle du « dying seminar »

k

kN1

ZG

ZF1df1dfZ

Z

Z

JHPf)0(proba0)1(proba1EN1

kk

analyse du modèle :deux distributions des i


distribution uniforme

•distribution des préférences autour de la moyenne H

autrement0

aasia2/1f i


-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

i=1

i=0

J/a=1

z/a

(P-H)/a

utilités des consomateurs

•rappel : Z=P-(H+J)

•-a < Hi < a

•si J<JB=2a : solution unique

•si J>JB=2a : solutions multiplespour a ≤ P-H ≤ J-a il y a deux solutions

P>H+J

P< H+J

P< H+J

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

i=1

i=0

P=H+J-a

J/a=2.5

z/a

(P-H)/aP=H-a


diagramme de phases du consommateur

•représentation des résultats dans le plan P-H, J

H < P

0 1 2 3 4-2

-1

0

1

2

3

4

=0 & =1

0<<1

=1

=0

(p-h)/a

j/a

H > P

J> JB : deux solutions


distribution logistique

•distribution des préférences autour de la moyenne H

2cosh2f

Zexp11

ZF

ZF1df1dfZ

Z


fraction d’acheteurs

•en fonction de H-P, et J


diagramme de phases du consommateur

2 4 6 8 10j

-3

-2

-1

0

1

2

hp

under blue low , above red high

H < P

JB

solution

unique

deux solutions

H > P

grand

petit

con

tin

ue

P=H

fin du deuxième cours

Documents

Modèles de choix discrets (III) Mirta B. Gordon Laboratoire Leibniz-IMAG Grenoble Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS : modèles, concepts