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7/23/2019 Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérie…

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UniversitéTunis El Manar

École Nationale d’Ingénieurs de Tunis

Année Universitai re:2010/2011

T T H H E E S S E E

PRESENTEE POUR L’OBTENTION DU

D D O O C C T T O O R R AAT T

DISCIPLI NE : GENIE MECANIQUE

P P a a r r

BOUGHATTAS Nejmiddin

Modélisation d’un écoulement diphasique réactifdans un jet turbulent axisymétrique suivant

une méthode Eulérienne-Lagrangienne

Présentée et soutenue le, 19/03/2011

Membres du jury

Président: Mr BESSROUR Jamel, Professeur, ENIT Rapporteur: Mr BELMABROUK Hafedh, Professeur, FSM Rapporteur: Mr BENTICHA Hmaied, Professeur, EPAM Sousse

Examinateur: Mr KAIROUANI Lakdhar , Professeur, ENIT Directeur de thèse: Mr SAID Rachid, Professeur, IPEIM



i

Résumé

Ce travail porte sur l‟étude numérique et théorique de la combustion dans les brouillards de

gouttelettes dans une configuration de jet rond turbulent.

Cette étude s‟appuie sur des résultats issus de simulation de type Euler/Lagrange qui

résolvent directement les équations instantanées de la phase gazeuse et effectuent un suivi

lagrangien des trajectoires des gouttes.

La configuration étudiée représente des gouttes de combustibles ou des particules de verres

injectées à haute vitesse dans une turbulence. Le mouvement des gouttes ou des particules est

supposé uniquement gouverner par la force de traînée visqueuse et la force de graviter-

flottabilité. Le chargement de la phase dispersée est suffisamment important pour qu‟elles

influent sur la phase gazeuse (couplage inverse) mais suffisamment faible pour pouvoirnégliger les collisions inter-particulaires.

L‟approche quasi-stationnaire à symétrie sphérique dans la quelle le chauffage de la goutte

est calculé par le modèle à conductivité infinie est utilisée. Les phénomènes de convection

sont pris en compte par l‟intermédiaire de corrélations.

Le modèle de combustion de PDF présumée est utilisé pour prendre en compte certains

effets chimiques, sachant que la tabulation chimique est générée par l‟approche flamelette.

Des résultats sont présentés dans le cas d‟un jet axisymétrique turbulent réactif chargé de

gouttelettes de combustibles (Do-décane).

Mots clefs : combustion du spray, simulation numérique, écoulement diphasique, couplageinverse, modélisation de la turbulence, dispersion des gouttes, évaporation des gouttes.



ii

Abstract

This work is devoted to the numerical and theoretical study of turbulent combustion in

two-phase flow, using Reynolds Averaged Navier-stokes Simulation (RANS) for the

continuous phase coupled with a Lagrangian prediction of droplets trajectories.

The configuration corresponds to a particles or droplet injected at high velocity into

turbulent free jet. The motion of particles or droplets is supposed to be governed only by the

drag and gravity-floatability forces. The particle mass loading is large so that exchanges

between the two phases are significant. Inter-particles collisions are neglected.

Main assumption in vaporization models is "corrected spherical symmetry", which means

spherical symmetry is assumed for heat and mass transfer between the droplet and the

surrounding fluid. Convection effects are taken into account by introducing correlation laws

in the model.

The combustion model is presumed PDF, who take into account for detailed chemistry,

knowing that chemistry tabulation is generated by the flamelette approach.

Results are presented in the case of a turbulent reactive spray charged with fuel droplets

(Do-decane).

Key words

spray combustion, numerical simulation, two-phase flow, two-way coupling,turbulence modelling, particles dispersion, droplets vaporization.



iii

Remerciements

Cette thèse réalisée au sein de l‟unité de recherche EMIR „Étude des Milieux Ionisés

et Réactifs‟, n‟aurait pas connu de genèse, ni de dénouement, sans l‟intervention des

personnes dont les noms vont suivre.

Je tiens tout d‟abord à exprimer toute ma reconnaissance et ma gratitude à Monsieur

Jamel BESSROUR , de l‟intérêt qu‟il a porté à mes travaux. Il m‟a fait un grand honneur en

présidant mon jury de thèse.

J‟exprime de même mes sincères remerciements à Monsieur Hafedh

BELMABROUK et Monsieur Hmaied BENTICHA qui ont bien voulu prendre sur leur

temps pour être rapporteurs de cette thèse, et d‟en avoir amélioré le contenu par la qualité de

leurs remarques. L‟occasion m‟est ici offerte de les remercier vivement pour leurs remarques

constructives. Je joins à ces remerciements Monsieur Lakdhar KAIROUANI pour avoir

accepté d‟examiner et porter un jugement à mon travail. Qu‟ils trouvent dans ces quelques

lignes l'expression de mon profond respect.

Je suis très reconnaissant à Monsieur Rachid SAID, de m‟avoir accueilli dans son

équipe de recherche, d‟avoir dirigé ce travail, des moyens qu‟il a mis à ma disposition, de

l‟effort qu‟il a fait pour corriger ce mémoire et des discussions et des débats qu‟on a mené

ensemble. Je tiens à lui exprimer ma gratitude.

Mes remerciements s‟adressent aussi :

À Mohamed Hichem GAZZAH pour nos collaborations en cours et à venir, nos

discussions et nos moments de détente. Je regrette qu‟il n‟ait pu assister à ma soutenance.

À Sabra HABLI, à Ridha ENNETTA et à Mouldi CHRIGUI pour leurs aides précieux et

leurs participations actives aux travaux de ma thèse. Qu'il trouve ici l‟expression de toute mareconnaissance. À Marie-Sohpie GRANCHER et Gilles CABOT pour leurs accueils

chaleureux, pour leurs gentillesses, pour leurs perspicacités, et pour les moyens qu‟ils ont mis

à ma disposition, lors de mon séjour au laboratoire CORIA de Rouen. À F-X Demoulin

et à Anna Chtab pour les discussions fructueuses que j‟ai pu avoir avec, ainsi que pour les

conseils qu‟ils ont su me prodiguer.

Enfin, j‟adresse à mon père, à ma mère, à mes frères et à mes sœurs, ma

reconnaissance la plus profonde pour avoir fait de moi ce que je suis maintenant, pour leursamours, leurs encouragements et leurs appuis dans les moments les plus difficiles.



Table des matières

iv

Table des matières

I ntroduction Générale ...................................................................................................1

Dispersion du spray turbulent .......................................................................................7

Introduction ....................................................................................................................................... 9 1. Aspects fondamentaux de la modélisation d’un écoulement diphasique ............................. 9

1.1 Concepts de base ............................................................................................................ 10

1.1.1 La turbulence...................................................................................................... 10

1.1.2 Paramètres caractérisant un écoulement diphasique ..................................... 12

2. Approche lagrangienne .......................................................................................................... 15

2.1 Construction des trajectoires des particules discrètes ................................................ 16 2.1.1 Modèle d’interaction de tourbillons .................................................................. 16

2.1.2 Modèle de corrélation de temps ......................................................................... 18

2.1.3 Modèle de type langevin (one step model) ........................................................ 22

2.2 Construction des trajectoires des particules fluides .................................................... 22

2.2.1 Forme de la fonction de corrélation lagrangienne ........................................... 23

2.2.2 Méthode de génération du vecteur vitesse fluctuante de la particule fluide .. 25 3. Couplage entre les deux phases (modulation de la turbulence) ......................................... 27

4. Mise en équation et modélisation d’un écoulement diphasique ......................................... 29

4.1 Équation du mouvement d’une particule isolée .......................................................... 30

4.2 Équations de l’écoulement porteur ............................................................................... 32

4.2.1 Modèles de turbulences de premier ordre ........................................................ 33

4.2.2 Tenseur de Reynolds ........................................................................................... 37



Table des matières

v

4.3 Termes de couplage entre les deux phases ................................................................... 38

4.3.1 Terme source pour la vitesse moyenne .............................................................. 38

4.3.2 Termes sources traduisant la modulation de la turbulence ............................ 38

5. Méthode numérique ............................................................................................................... 39

6. Conditions aux limites ............................................................................................................ 41

6.1 Phase continue ................................................................................................................ 41

6.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 44

7. Résultats et discussion ............................................................................................................ 45

7.1 Phase continue ................................................................................................................ 46

7.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 51

7.3 Couplage entre les deux phases ..................................................................................... 57

Conclusion ....................................................................................................................................... 58

Références ........................................................................................................................................ 59

Combustion tur bulente en phase gazeuse ................................................................65

Introduction ..................................................................................................................................... 67

1. Notion de cinétique chimique ................................................................................................ 68

2. Les différents types de flammes ............................................................................................ 70

2.1 Flamme de prémélange .................................................................................................. 71

2.1.1 Flamme de prémélange laminaire ..................................................................... 71

2.1.2 Flamme de prémélange turbulente .................................................................... 72

2.2 Flamme de diffusion ....................................................................................................... 75

2.2.1 Flamme de diffusion laminaire .......................................................................... 75

2.2.2 Flamme de diffusion turbulente ......................................................................... 76

2.3 Flamme partiellement prémélangée ............................................................................. 80

3. Modélisation d’une flamme de diffusion turbulente ........................................................... 81

3.1 Équations instantanées de l’aérothermochimie ........................................................... 82

3.2 Traitement statistique .................................................................................................... 86

3.3 Modélisation des flux turbulents (modèle de turbulence) .......................................... 88



Table des matières

vi

3.4 Modélisation du taux de dissipation scalaire (modèle scalaire) ................................. 89

3.4.1 Modèle à échelles égales ...................................................................................... 89

3.4.2 Modèle à échelles non-égales .............................................................................. 90

3.4.3 Modèle à équation de transport de la dissipation scalaire............................... 91

3.5 Modélisation du taux moyen de réaction (modèle de combustion) ............................ 92

3.5.1 Modèle eddy dissipation ..................................................................................... 92

3.5.2 Modèle de PDF présumée ou conserved scalar equilibrium ........................... 93



5.1 Écoulement turbulent non réactif ................................................................................. 97

5.2 Écoulement à contre courant réactif laminaire ......................................................... 106

5.3 Écoulement turbulent réactif ...................................................................................... 108

Conclusion ..................................................................................................................................... 118

Références ...................................................................................................................................... 119

Combustion du spray tur bulent ................................................................................124

Introduction ................................................................................................................................... 126

1. Description de la combustion de brouillards de gouttes combustibles ............................ 126

2. Vaporisation et combustion d’une goutte isolée ................................................................ 130

2.1 Théorie quasi-stationnaire de la vaporisation d’une goutte ..................................... 130

2.2 Théorie quasi-stationnaire de la combustion d’une goutte ...................................... 136

3. Vaporisation d’une goutte en mouvement ......................................................................... 138

4. Équations pour des milieux diphasiques réactifs .............................................................. 139

5. Méthodes numériques .......................................................................................................... 145

6. Résultats et discussion .......................................................................................................... 145

Conclusion ..................................................................................................................................... 158

Références ...................................................................................................................................... 159

Conclusions et Perspectives ..................................................................................................163



Table des matières

vii

Annexes ..........................................................................................................................................169

Annexe A : Méthodes numériques .....................................................................................170

Annexe B : Statistiques ...........................................................................................................189

Annexe C : Relations stoechiométr iques d’un hydrocarbure ...............................190

Annexe D : Constantes dans le polynomiale de la chaleur spécif ique ..............192

Annexe E: Équations du modèle d’évaporation ..........................................................193

Bibl iographie générale ............................................................................................................198



Nomenclature

viii

Nomenclature

Lettres latines

a Taux d‟étirement d‟une flamelette laminaire s-1

A R Paramètre de moyenne pour l‟estimation des propriétés physiques -

A (aij) Matrice des coefficients de corrélation -

B (bij) Matrice de factorisation -

BT Nombre de transfert de chaleur de Spalding -

B M Nombre de transfert de masse de Spalding -

C D Coefficient de traînée -

C l Chaleur spécifique du liquide J.kg-1.K -1

C P

Chaleur spécifique du milieu gazeux J.kg-1.K -1

C vap Chaleur spécifique de la vapeur J.kg-1.K -1

C μ , C ε

C p , C t Constantes du modèle de turbulence -

D, d Diamètre de la buse m

Da Nombre de Damkhöler -

De Diamètre effectif m

D1 Coefficient de diffusion de la vapeur dans le milieu ambiant m2.s-1

D, D p,g Diamètre d‟une particule ou d‟une goutte m

G , P k Terme de production de l‟énergie de turbulence kg.m-1.s-3

g Accélération de la pesanteur m.s-2

h Enthalpie massique J.kg-1

H R Chaleur de réaction ou de combustion J.kg-1

k Energie cinétique turbulente m2.s-2

k p Energie cinétique turbulente des petites échelles des tourbillons m2.s-2

k t Energie cinétique turbulente des grands tourbillons m2.s-2



Nomenclature

ix

Le Échelle de longueur m

Lh Échelle de longueur hybride m

L Eij Échelle intégrale spatiale eulérienne m

L E 1 Nombre de Lewis -

Lvap Chaleur latente de vaporisation J.kg-1

m Paramètre de boucle -

m1 Masse molaire de la vapeur du fuel kg.mole-1

m2 Masse molaire du milieu gazeux ou de l‟air kg.mole-1

m P Masse d‟une particule kg

0

m Débit vaporisé kg.s-1

Np Nombre de particules ou de gouttes dans le brouillard - n p Nombre moyen de particules ou de gouttes par unité de volume -

Nu Nombre de Nusselt effectif -

Nu* Nombre de Nusselt lié à la convection -

P Pression Pa

P 0 Pression atmosphérique Pa

P e Nombre de Peclet -

P St Pression de saturation du vapeur du fuel prés de la surface de la goutte Pa

Pr Nombre de Prandtl du milieu gazeux -

~ P Terme de production d‟un scalaire kg.m-1.s-1

2 ~ P Terme de production de fluctuation d‟un scalaire kg.m-1.s-1

Q g Flux de chaleur arrivant sur la goutte J.m-2.s-1

Q L Quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte J.s-1

QV Débit volumique m3.s-1

Qm Débit massique Kg3

.s-1

R Constante des gaz parfaits J.kg-1.K -1

r Coordonnée radiale à partir du centre de la goutte m

r s Rayon instantané de la goutte m

r fT Rayon du film pour les transferts de chaleur m

r fm Rayon du film de diffusion de la vapeur m

R fL Coefficient de corrélation lagrangienne -

R FP Distance entre une particule fluide et une particule discrète m Rep Nombre de Reynolds particulaire -



Nomenclature

x

Re Nombre de Reynolds de l‟écoulement porteur -

R (r ij) Matrice réduit des coefficients de corrélation -

S ij Tenseur du taux de déformation moyen -

Sc Nombre de Schmidt du milieu gazeux -Sh Nombre de Sherwood effectif -

Sh* Nombre de Sherwood lié à la convection -

S g Φ Terme source sur une quantité Φ de l‟écoulement porteur -

S pΦ Terme source dû à la phase particulaire -

S l Φ Terme source dû à la phase liquide (goutte) -

S t Nombre de Stokes -

t Variable de temps s

t e Temps de vie du tourbillons s

t c Temps de traversé du tourbillons ou temps de transit s

t int Temps d'interaction particule/tourbillons s

T B Température d‟ébullition k

T S Température à la surface de la goutte k

T ∞ Température à l‟infini de la goutte k

T crit Température critique du liquide k

u Vitesse instantanée m.s-1

U Vitesse moyenne m.s-1

u' Vitesse fluctuante m.s-1

U’ Vitesse RMS ( 2' u ) m.s-1

vrel Vitesse relative particule - fluide m.s-1

Volume d‟une particule ou d‟une goutte m3

W Masse molaire Kg.mol-1

X Fraction molaire -

x Cordonnée axiale m

y Cordonnée radiale m

Y 1 Fraction massique du vapeur -

Y F Fraction massique du fuel -

S Y 1

Fraction massique du vapeur à la surface de la goutte -

1Y Fraction massique du vapeur à l‟infini de la goutte - Z Fraction de mélange -



Nomenclature

xi

Lettres grecques

α P Fraction volumique de la phase dispersée -

α , β , ζ ω , ζ ω* , β * , β 0 ,

ζ k , ζ ε Constantes des modèles de turbulence -

λg Conductivité thermique du vapeur entourant la goutte J.m-1.s-1.K -1

Taux de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente m2.s-3

t Taux de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente m2.s-3

p Energie de transfert des grandes échelles aux petites échelles des tourbillons m2.s-3

ω Taux de dissipation spécifique s-1

Taux de réaction -

k Taux de production de l‟espèce k -

Ωij Tenseur de vorticité moyen -

Taux de dissipation scalaire s-1

η L Échelle intégrale temporelle lagrangienne de la turbulence s

η P Temps de relaxation des particules s

K Échelle spatiale de Kolmogorov (plus petites structures de l‟écoulement) m

K Échelle de temps de Kolmogorov s

δij Symbole de Kronecker (=1, i= j, =0, i≠ j) -

δ L ; δT E paisseur d‟une flamme de prémélange laminaire ; turbulente m

Δt Pas de temps choisi s

Λ Débit vaporisé adimensionnel -

Rapport massique stoechiométrique oxygène/fuel -

ν Viscosité cinématique m2.s-1

μ Viscosité dynamique kg.m-1.s-1

ρ Masse volumique (densité) kg.m-3

θ Grandeur scalaire (température ou fraction massique ou de mélange) -

Ø Rapport du débit massique particule/fluide à l‟injection -

Φ Quantité transportable -

Rapport d‟équivalence fuel/air -

Ґ Φ Terme de diffusion -

Variable aléatoire Gaussienne -



Nomenclature

xii

Indices inférieurs

0 Indice relatif à la valeur initiale

c Condition sur l'axe du jet (centerline)

cof Indice relatif au co-flow

crit Indice relatif à la valeur critique

f Indice relatif au fluide porteur

g Indice relatif à la phase gazeuse entourant la goutte

in Indice relatif à la condition au limite d‟entrée

i, j Indice de composante

l Indice relatif à la phase liquide de la goutte

p Indice relatif à la phase particulaire

s Indice relatif à la surface de la goutte

st Indice relatif à la stoechiométrie

t Indice relatif au terme turbulent

vap Indice relatif à la phase vapeur

Indices supérieurs

ref état de référence auquel évaluer les propriétés physiques du film de diffusion de la

masse et de la température entourant la goutte

s Indice relatif à la surface de la goutte

T Indice relatif au transposé d‟une matrice

Loin de la surface de la goutte

Notation

' Indice de fluctuation au sens de Reynolds

' ' Indice de fluctuation au sens de Favre

Valeur moyenne au sens de Reynolds

~ Valeur moyenne au sens de Favre

Moyenne statistique sur un échantillon de taille n



Nomenclature

xiii

Abréviation

CMC Conditional Moment Closure

CTE Crossing Trajectory Effect

DNS Direct Numerical Simulation

EDM Eddy Dissipation Model

EIM Eddy Interaction Model

IEM Interaction by Exchange with the Mean

LES Large Eddy Simulation

MIL Modèle Intermittent Lagrangien

MTS Multiple Time Scale

PDF Probability Density Function

PSI-C Particle Source In Cell

RANS Reynolds Average Navier-Stokes Simulation

RMS Root Mean Square

RNG Renormalization Group

RSM Reynolds Stress Model

SDM Single Droplet Model

STD Standard

TCM Time Correlated Model



Introduction générale

1

Introduction Générale

Notre besoin pour l‟énergie, sous ses différentes formes, ne cesse de s‟accroître de jour en

jour, à cause du rythme accéléré du développement technologique.

Les hydrocarbures constituent l‟énergie la plus prépondérante parmi la panoplie globale

des énergies depuis le début du 20eme siècle (elles fournissent plus de 70% de nos besoins

courants en énergie), et c‟est alors que la combustion a commencé de jouer son rôle capital

dans les différents secteurs. En effet, c‟est l'un des rares phénomènes observables et employés

à tout les niveaux de notre société, depuis le brûleur de nos chaudières, en passant par lesmoteurs des automobiles et en arrivant aux navettes spatiales (voir figure 1). Cependant, les

ressources des hydrocarbures restent limitées et risquent un jour, de s‟épuiser et disparaître, à

cause de l‟utilisation excessive et parfois désabusée.

D‟autant plus que, les différents systèmes industriels, impliquant des phénomènes de

combustion sont soumis à des contraintes de plus en plus pressantes, tant sur le plan

économique (réduction des coûts, amélioration des performances et du rendement) que sur le

plan environnemental (réduction des émissions des polluants, des émissions sonores).

L‟ensemble de ces considérations et de ces enjeux majeurs, motivent de nombreux travaux

de recherche, liés à la combustion turbulente qui restera une technologie d‟énergie clé pour le

futur. Ces travaux traitent le sujet de la combustion sous ces divers aspects et ses diverses

implications.

Dans la majorité des cas, ces systèmes de conversion (transformation de l‟énergie

emprisonnée dans les hydrocarbures de la forme chimique à la forme de chaleur et de lumière)

sont basés sur la combustion turbulente d‟un carburant qui est stocké sous forme liquide.




2

Ce dernier est injecté à haute pression dans la chambre de combustion sous forme de

brouillard (nuage de gouttelettes ou spray) puisque le fait d'atomiser un liquide sous une

forme très dispersée est une méthode efficace pour brûler un combustible liquide peu volatile.

D‟où l'intérêt tout particulier d'étudier de façon précise la combustion dans les brouillards et

c‟est pourquoi de plus en plus de travaux leur sont consacrés.

L‟objectif des théoriciens, numériciens et expérimentateurs est de comprendre, prédire et

contrôler l'ensemble des processus se déroulant depuis l'injection du liquide dans la chambre

de combustion. La majeure partie des phénomènes en présence sont résumés grâce à quatre

intitulés principaux: spray, évaporation, mélange et combustion.

Spray: lors de la désintégration ou la pulvérisation du jet liquide en sortie de

l'injecteur, il ya formation d'une multitude de gouttes dans un large spectre detailles et de vitesses. Les propriétés caractéristiques du spray doivent être

caractérisées au niveau de l'injecteur (distribution de la taille et de la vitesse) et au

sein de l'écoulement (interaction goutte/écoulement, goutte/goutte, goutte/paroi,

taille et dynamique des gouttes etc…)

Evaporation: lorsque le spray est injecté dans une chambre où règne une haute

température, les gouttes s'échauffent et s'évaporent. Les lois de chauffage et

d'évaporation s'avèrent très différentes en fonction des propriétés de la phase porteuse et sont propres à chaque goutte de l'écoulement.

Mélange: un des phénomènes essentiels au sein de la chambre de combustion

concerne la turbulence qui agit à tous les niveaux : dispersion du spray, micro-

mélange turbulent et mélange à grande échelle de la vapeur du combustible avec

l‟oxydant et enfin, mélange éventuel des gaz brûlés au sein du spray, influençant

ainsi fortement les phénomènes d‟évaporation.

Combustion: enfin, la combustion aura lieu au sein du combustible évaporé, ses

propriétés sont totalement dépendantes des phénomènes présentés ci-dessus. Tous

les régimes de combustion (prémélangé, non-prémélangé, partiellement

prémélangé) peuvent se rencontrer dans la chambre. De plus les problèmes

d‟extinction, ou encore de retour de flamme (flashback) au cœur du spray peuvent

apparaître. Aussi, les interactions entre le spray, les flammes et les ondes

acoustiques qui se propagent au sein de la chambre de combustion doivent être

évoquées.




3

Vu la richesse et la diversité du sujet, il est difficile, voir impossible, de réaliser une

modélisation globale de l'ensemble des phénomènes présents. Par conséquent, les chercheurs

sont amenés à restreindre leur travail au niveau des limites des outils mathématiques,

informatiques ou expérimentaux dont ils disposent. L'un des challenges découlant directement

de cette constatation est de faire reculer ces frontières. D‟autre part, les outils numériques et

expérimentaux sont complémentaires. Cependant, la mise au point d'une expérience peut

s'avérer parfois impossible, trop coûteuse ou même dangereuse, en regard des résultats

cherchés. Ceci a conduit la communauté scientifique à adopter la modélisation numérique

comme outil majeur de recherche et de développement.

Toutefois, si les problèmes de modélisation de la combustion turbulente au sein d'un milieu

purement gazeux commencent à être bien connus, et pour la majeur partie d'entre euxmaîtrisés, ce n'est plus de tout le cas lorsque une phase liquide évolue au sein d'un oxydant

gazeux. L'apparition de termes sources directement liées à la présence dispersée de

gouttelettes de combustible, nécessite le développement de nouveaux modèles afin d'être

correctement pris en compte dans les chambres de combustion ; puisque l'inclusion d'une

nouvelle phase liquide au sein d'un gaz modifie considérablement les caractéristiques de

l‟écoulement concerné.

Les travaux de recherche de cette thèse convergent inéluctablement dans ce contexte. Eneffet, l'objectif général de ce travail est le développement d‟un modèle mathématique et

numérique basé sur l‟approche Eulérienne-Lagrangienne permettant la description des

différents phénomènes existant au sein d‟un écoulement turbulent diphasique réactif et de le

valider, par comparaison, avec les valeurs expérimentales publiées dans la littérature. Par

conséquent, le travail proposé traitera différents sujets liés à cette thématique dans le but de

mieux comprendre et maîtriser les phénomènes aérothermochimiques liés aux brouillards de

combustible en milieu réactif.

La configuration adoptée est celle d‟un brûleur rond ou axisymétrique (tube injectant du

combustible dans l‟atmosphère au repos). Malgré sa simplicité apparente, c‟est une

configuration fondamentale à bien des égards, tant dans sa mise en œuvre largement répandue

que dans la multiplicité des problèmes qu‟elle permet d‟illustrer.

Le développement de notre travail dans cette thèse s‟effectue en trois parties.




4

Dans la première partie, la dispersion des gouttes ou des particules sera abordée comme

une finalité en soi et non pas sous l'angle de la combustion ultérieure de la vapeur issue du

spray.

Nous débuterons par aborder les aspects fondamentaux de la modélisation d'un écoulementdiphasique gaz-particules. Ensuite, plusieurs modèles de turbulence de premier ordre (k -ε avec

la correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω (88), k -ω (98) et MTS) seront testés afin de sélectionner

le modèle qui s'adapte le mieux avec l'expérience.

Une fois le modèle de turbulence est fixé pour la modélisation de l‟écoulement porteur,

deux modèles stochastiques Lagrangiens (modèle d‟interaction de tourbillon et modèle de

corrélation de temps) sont employés pour la prédiction de la phase dispersée. Ces deux

modèles tiennent compte de l'effet de l'anisotropie de la turbulence sur la dispersion des particules. Cette hypothèse est accomplie en appliquant des relations algébriques déduites

d‟une fermeture au second ordre pour estimer le tenseur de Reynolds.

Enfin, l'interaction entre les deux phases est accomplie à travers des termes sources, dans le

but de prendre en considération les échanges de quantités de mouvements. Quand à la

modulation de la turbulence, elle n‟a pas d‟influence sur l‟écoulement porteur puisqu‟il a été

supposé dilué.

Dans la deuxième partie, on traitera la modélisation de la combustion turbulente dans un

milieu purement gazeux, ceci dans le but de développer et valider un code de calcul réactif.

Au début, une brève description des différents types de flammes est établie. Ensuite, une

description plus fine des flammes de diffusion d‟un point de vue théor ique est menée, en

présentant les équations moyennées et fermées d‟un écoulement turbulent réactif.

Plusieurs modèles de turbulence (STD k -ε, k -ε avec la correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω

(98) et MTS), ainsi que plusieurs modèles scalaires (modèle standard à échelle égale, modèleà échelle non-égale, modèle à équation de transport) seront concourus et confrontés aux

résultats expérimentaux, pour la configuration d‟un jet de propane non réactif. Également,

deux modèles de combustion (modèle de dissipation scalaire, modèle de PDF présumé ou

conserved scalar model) seront testés pour la configuration d‟un jet de méthane réactif, où on

a recouru à deux méthodes de tabulation chimique (Flamelette, Chemkin) qui seront elles-

mêmes mises à l‟épreuve pour la configuration d‟une flamme laminaire de méthane à contre

courant.




5

La troisième partie cristallise la finalité de ce travail de recherche. On y traitera la

combustion turbulente dans les brouillards de gouttelettes du combustible.

Dans un premier temps, nous rappelons les différentes approches phénoménologiques des

mécanismes mis en jeu lors de la combustion turbulente des sprays. Par la suite, nous présenterons une description générale de la combustion et de l‟évaporation d‟une goutte

isolée, ainsi qu‟une goutte dans un brouillard. On présentera ensuite, le développement

mathématique nécessaire pour l‟établissement des équations décrivant un écoulement gazeux

chargé de gouttelettes réactives. L‟étape suivante consiste à proposer l‟application que nous

avons choisie de traiter, ainsi que l‟exploitation des résultats du code de calcul développé.

Une conclusion générale viendra clôturer ce travail. Elle passera en revue les principaux

résultats obtenus le long de notre étude, qui constitue le maillon de la chaîne, auquelsuccédera quelques perspectives ultérieures tant au niveau de l‟application de ce travail qu‟au

niveau des compléments qui peuvent lui être conférés.




6

Application Configuration Image

Moteur de fusée

Turbine à gaz

Four industriel

Moteur à injectiondirecte

Figure 1: Différents systèmes industriels impliquant la combustion de spray (Kuo, 1986).



7

Première partie

Dispersion du spray turbulent




8


Introduction ....................................................................................................................................... 9

1. Aspects fondamentaux de la modélisation d’un écoulement diphasique ............................. 9

1.1 Concepts de base ............................................................................................................ 10

1.1.1 La turbulence...................................................................................................... 10

1.1.2 Paramètres caractérisant un écoulement diphasique ..................................... 12

2. Approche lagrangienne .......................................................................................................... 15

2.1 Construction des trajectoires des particules discrètes ................................................ 16 2.1.1 Modèle d’interaction de tourbillons .................................................................. 16

2.1.2 Modèle de corrélation de temps ......................................................................... 18

2.1.3 Modèle de type langevin (one step model) ........................................................ 22

2.2 Construction des trajectoires des particules fluides .................................................... 22

2.2.1 Forme de la fonction de corrélation lagrangienne ........................................... 23

2.2.2 Méthode de génération du vecteur vitesse fluctuante de la particule fluide .. 25

3. Couplage entre les deux phases (modulation de la turbulence) ......................................... 27

4. Mise en équation et modélisation d’un écoulement diphasique ......................................... 29 4.1 Équation du mouvement d’une particule isolée .......................................................... 30

4.2 Équations de l’écoulement porteur ............................................................................... 32

4.2.1 Modèles de turbulences de premier ordre ........................................................ 33

4.2.2 Tenseur de Reynolds ........................................................................................... 37

4.3 Termes de couplage entre les deux phases ................................................................... 38

4.3.1 Terme source pour la vitesse moyenne .............................................................. 38

4.3.2 Termes sources traduisant la modulation de la turbulence ............................ 38

5. Méthode numérique ............................................................................................................... 39 6. Conditions aux limites ............................................................................................................ 41

6.1 Phase continue ................................................................................................................ 41

6.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 44


7.1 Phase continue ................................................................................................................ 46

7.2 Phase dispersée ............................................................................................................... 51

7.3 Couplage entre les deux phases ..................................................................................... 57

Conclusion ....................................................................................................................................... 58 Références ........................................................................................................................................ 59




9

Introduction

Plusieurs papiers édités (Shirolkar et al., 1996; Gouesbet Berlemont, 1999; Loth, 2000;

Mashayek et al., 2003) traitent le sujet de la modélisation des écoulements turbulents

diphasiques et discutent ses aspects théoriques et expérimentaux. Leur objectif est de fournir

une vue d'ensemble sur la modélisation d'un tel problème. Nous essayons, basé sur la vaste

quantité d'informations disponibles, d‟élaborer un exposé dans lequel un examen des

différentes méthodes, permettant la modélisation de ce type d‟écoulement, sera présenté.

Nous allons également rappeler plusieurs définitions (telles que la fonction de corrélation

lagrangienne, nombre de Stokes, l‟échelle intégrale de temps…) qui sont généralement

employées pour impliquer certaines prétentions ou servir comme outils conceptuels pour

dériver un modèle.

En premier abord et en début de cette première partie, nous allons nous intéresser aux

aspects fondamentaux de la modélisation des écoulements diphasiques. Un examen des

modèles Lagrangiens sera abordé dans la deuxième section. Par la suite, on discutera le

couplage entre les deux phases. Les équations décrivant notre configuration seront

mentionnées ultérieurement, ainsi que la méthode numérique permettant leur résolution. La

dernière section sera consacrée à la discussion des résultats des simulations.

1. Aspects fondamentaux de la modélisation d’un écoulement diphasique

On présentera dans cette première section une synthèse bibliographique des différentes

techniques de modélisation des écoulements diphasiques. De même, une discussion des

concepts de base, utilisée pour la description des modèles de dispersion des particules, est




10

fournie, ainsi que les principes fondamentaux des interactions fluide-particules. Cette

discussion permet la compréhension de la signification physique des modèles de dispersion.

1.1 Concepts de base

Afin de prévoir le mouvement de la phase dispersée, il est important de connaître

certaines propriétés de la phase porteuse. Ces informations peuvent être obtenues soit

expérimentalement, soit à partir d‟un modèle de turbulence, appliqué pour la prédiction de la

phase continue. Par conséquent, la section suivante sera dédiée à la compréhension des

caractéristiques d‟un écoulement turbulent et à la nature de son interaction avec les particules.

1.1.1 La turbulence

La turbulence apparaît toujours à des nombres de Reynolds élevés. Elle résulte

souvent de l‟instabilité des écoulements laminaires, qui se produisent lorsqu‟un potentiel

d‟énergie est imposé (habituellement un gradient de pression ou de vitesse). Dans le but de

bien comprendre le transport turbulent des particules, on discutera les aspects importants

relatifs à un écoulement turbulent, tels que la vorticité, les structures tournantes, connues sous

le nom de tourbillons, et le mécanisme d‟affaiblissement de la turbulence.

La vorticité est une caractéristique particulière locale de l‟écoulement, elle est définie

comme deux fois le taux moyen de rotation de deux lignes initialement perpendiculaires

suivant un élément fluide. Par conséquent, la vorticité est une mesure de rotation sans

déformation. Les écoulements turbulents sont caractérisés par des niveaux de vorticité plus

élevés que les écoulements laminaires, et pour cette raison là, les petites particules sont

emportées par les tourbillons à travers l'écoulement turbulents. Les tourbillons turbulents , ou

simplement un tourbillon est une idée conceptuelle plutôt qu'une définition physiqueemployée pour se référer aux structures tournantes, observées dans les écoulements

turbulents. Normalement, les écoulements turbulents contiennent des tourbillons de

différentes tailles, chacun d'eux se distingue par une quantité d'énergie cinétique rotationelle.

Ces tourbillons résultent de l'action des forces de dissipation sur les structures produites par

l'augmentation de l'énergie cinétique rotationelle.

Dans les écoulements turbulents, le tourbillon n'est pas uniquement convexe (se

déplaçant autour de lui même par le champ d'écoulement), mais, il est également accru par unmécanisme appelé étirement de tourbillons.




11

Figure1-1: Interaction tourbillon- particules dans un écoulement (Shirolkar et al., 1996)

Pour cette raison là, les structures à grande échelle (tourbillons de grande taille) se

décomposent en de plus petites structures (tourbillon de petite taille). Ce phénomène mène aumécanisme connu sous le nom déclin de la turbulence (turbulence decay). Les plus grands

tourbillons, qui ont une inertie importante, ne peuvent pas répondre rapidement aux forces

visqueuses, et par conséquent, elles vont se décomposer pour donner des tourbillons plus

petits. Cette cascade d'énergie (transfert d‟énergie des gros tourbillons vers les petits

tourbillons) continue jusqu'à ce que les forces visqueuses deviennent dominantes. Ainsi, dans

chaque écoulement turbulent, il y a une limite minimale pour la taille des petits tourbillons.

Aussi, chaque tourbillon possède une échelle de temps et de longueur, désignéerespectivement: temps de vie d'un tourbillon (Eddy life time) et taille caractéristique d'un

tourbillon (Eddy characteristic size). La signification physique de ces deux échelles est

respectivement :

- L‟intervalle de temps pour lequel cette structure tournante maintient son format d'origine

avant de se dissiper complètement ou bien avant de se décomposer en plus petits tourbillons.

- La dimension physique d'une structure tournante.

L'interaction entre les tourbillons et les particules injectées est connue sous le nom de la

dispersion turbulente de particules en raison de l'effet dispersif observé sur ces derniers. La

figure 1-1, illustre le transport des particules dû au mouvement des tourbillons dans

l'écoulement turbulent. Cette figure montre la présence de tourbillons de différentes tailles qui

interagissent avec des particules de tailles variées. La taille de la particule et la taille du

tourbillon sont deux paramètres importants pour la détermination des résultats de l'interaction

tourbillon-particule. Le transport des particules, dû aux tourbillons, dépend également des

différentes propriétés de l'écoulement porteur et des particules, telles que la viscosité du

fluide, la densité du fluide et des particules, la distribution de l'énergie cinétique turbulente…




12

1.1.2 Paramètres caractérisant un écoulement diphasique

Les différentes grandeurs caractéristiques des écoulements diphasiques (gaz-particule)

sont résumées en bref, comme suit :

Fraction volumique

La fraction volumique de la phase dispersée représente le volume occupé par les

particules par unité de volume, elle s'exprime par:

p

3

p

p p p n D

n 6

(1-1)

n P : nombre de particules présentes dans une unité de volume.

La fraction volumique est utilisée pour caractériser l‟interaction entre les deux phases. Concentration massique

La concentration massique s‟exprime en fonction de la fraction volumique par:

p p p C (1-2)

Taux de chargement

Le taux de chargement représente le rapport des débits massiques entre les particules et

le fluide. Il est définit par la relation suivante :

tion secu

tion secu

q

qØ

f f

p p

mf

mp

(1-3)

Nombre de Reynolds des particules

Il caractérise l‟effet de la phase dispersée sur la variation de l‟écoulement turbulent.

f

p f p f

ep

uu D R

(1-4)

Echelle de longueur de Kolmogorov

Représente ou caractérise la taille des plus petites structures de l‟écoulement turbulent.

413

f

f

K

(1-5)

L‟échelle de temps de Kolmogorov correspondante est donnée par :

21

f

f K

(1-6)




13

Temps de relaxation des particules

C‟est l‟échelle de temps des particules qui représente le temps nécessaire pour la

particule à répondre aux sollicitations du fluide.

p f D

p

f

p

ep D f

p p

p

uuC

D

RC

D

3

4

3

4 2

(1-7)

Deux particules avec deux masses volumiques et deux diamètres différents, mais un même

η p possèdent deux trajectoires identiques.

Temps caractéristique de la turbulence

L‟échelle intégrale temporelle lagrangienne représente le temps de corrélation des

fluctuations de vitesse d‟une particule fluide.

Dans le cas d'une turbulence homogène et isotrope, on a :

2

20140

'

L

u.

k . (1-8)

Dans le cas d'une turbulence non isotrope, plusieurs expressions peuvent être trouvées dans

la littérature:

Selon Berlemont et al. (1990), on a

'

y

'

x

y x L

uuCte (1-9)

Burry & Bergeles (1993) proposent l'expression suivante:

2

22 '

y

'

x

y x L

uuCte (1-10)

La constante varie de 0.2 à 0.6 en fonction du type d‟écoulement. Elle est égale à 0.2 dans

le cas d'un écoulement dans un tube ou dans un jet.

Coefficient de traînée

Le coefficient de traînée C D est calculé en utilisant les corrélations empiriques standard

pour une sphère rigide comme le montre la figure 1-2:

Pour des Reynolds de particules faible ( Rep < 0.5), Stokes (1851) développe une solution

analytique du coefficient de traînée de la forme :

R C pe

D

24

(1-11)




14

Figure 1-2: Coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds des paricules

Pour des Reynolds de particules plus importants (0.5 < Rep < 1000), Clift et al. (1978)

proposent une extension semi-empirique qui reprend la forme de Schiller & Nauman (1933) :

68701501

24 .

pe

pe

D R. R C (1-12)

Pour des Reynolds de particules supérieurs à 1000, la forme du sillage derrière la particule

ne change quasiment plus et le coefficient de traînée devient constant :

C D = 0.44 (1-13)

Ce régime est désigné comme un régime newtonien.

Finalement, le coefficient de traînée chute brutalement pour Repcrit = 2.5 105, lorsque la

couche limite autour de la particule passe à l‟état turbulent.

Nombre de Stokes

Il caractérise l‟influence de la turbulence sur le mouvement des particules . Il est définicomme le rapport du temps de relaxation de la particule τ p et du temps caractéristique de la

turbulence τ L.

L

p

t S

(1-14)

Si S t 0 ; les particules suivent parfaitement le fluide. La vitesse de la particule est très

proche de celle du fluide environnant.

Si S t ∞ ; les particules possèdent une forte inertie et elles ne sont pas affectées par laturbulence.




15

2. Approche lagrangienne

Classiquement, deux approches théoriques sont utilisées pour modéliser les écoulements

diphasiques, qui sont l‟approche Eulérienne (Euler Euler) et l‟approche Lagrangienne (EulerLagrange). Il est important de mentionner que les deux approches montrent leurs propres

avantages et inconvénients, et sont complémentaires. N'importe quel progrès réalisé dans une

approche permettra d‟accomplir un progrès dans l'autre. L'approche Eulérienne permet de

traiter les deux phases comme deux milieux continus équivalents pour les quels sont écrites

des équations locales de bilans instantanés de masse, de quantités de mouvements et d‟énergie

(Picart et al, 1986; Simonin et al., 1993; Rizk Elghobashi, 1989…).

Dans l‟approche Lagrangienne, un certain nombre de trajectoires de particules sont

simulées, et les grandeurs moyennes et fluctuantes caractérisant leur comportement sont

ensuite obtenues statistiquement (Berlemont et al., 1990; Gosman Ioannides, 1981;

Pozorski Minier, 1998…). Les modèles lagrangiens sont basés sur deux étapes : la première

décrit l'écoulement continu, et la seconde étape consiste à suivre les trajectoires des particules

en prenant en considération les caractéristiques de l‟écoulement.

N‟importe quelle approche peut être employée pour la description de l‟écoulement

turbulent. La méthode basée sur la simulation numérique directe (DNS) offre une opportunité

unique pour étudier les effets spécifiques comme l‟interaction tourbillon/particule (Elghobashi

et Truesdel, 1993; Eaton et Fessler, 1994;…), mais demeure limitée pour des écoulements à

faible nombre de Reynolds. La simulation des grandes échelles (LES) peut manipuler des

écoulements plus complexe (Boivin et al., 2000; Almeida and Jaberi, 2008;…). Mais le

meilleur rapport qualité/prix, obtenu jusqu‟à maintenant pour les problèmes industriels est

accompli à travers une modélisation stochastique complète (RANS), utilisant un modèle de

turbulence à deux équations, garni par des relations algébriques, afin de prendre en compte

l‟anisotropie de l‟écoulement, ou bien à travers un modèle de second ordre (RSM) pour une

meilleur prédiction du tenseur de Reynolds.

Le point de départ de cette approche est la loi fondamentale de la dynamique:

F dt

ud m

p

p (1-15)

p

pu

dt

xd (1-16)




16

Où ∑ F désigne l‟ensemble des forces agissant sur la particule. La résolution de ces

équations nécessite la connaissance de la vitesse instantanée du fluide, à la position de la

particule discrète ainsi que le pas de temps nécessaire pour l‟intégration de ces dernières.

2.1 Construction des trajectoires des particules discrètes

Plusieurs schémas permettant la construction des trajectoires des particules discrètes sont

discutés et présentés. Ils sont classés suivant la méthode adoptée pour la détermination de la

vitesse instantanée du fluide à la position de la particule discrète, nécessaire pour la résolution

de l'équation de mouvement de la particule. Cependant, il faut maintenir à l'esprit que tous ces

schémas sont très sensibles à l'approximation des échelles de la turbulence (de temps ou delongueur).

En plus, trois effets caractérisent la dispersion turbulente des particules : Effet d'inertie,

Effet de croisement des trajectoires et Effet de continuité de l'écoulement turbulent.

* l'effet d'inertie est valorisé lorsque aucune force extérieure n'est appliquée sur la particule

(le mouvement de la particule est contrôlé seulement par l'inertie). Le paramètre clé sera donc

le temps de relaxation de la particule η p qui décrit sa réponse à n'importe quelle fluctuation de

l'écoulement qui l'entoure.

* l'effet de croisement des trajectoires (CTE) est dû à la présence de forces extérieures qui

s'appliquent sur la particule notamment la gravité. Comme conséquence, la particule ne suit

plus les tourbillons, mais les croise le long de sa trajectoire.

* le troisième effet qui peut modifier le comportement des particules est dû à la continuité

de l'écoulement turbulent. Un résultat net de cet effet est l'existence de corrélation de vitesse

du fluide négatif et positif le long de la trajectoire de la particule discrète.

2.1.1 Modèle d’interaction de tourbillons

Historiquement, la première approche, qui a été développée et extensivement utilisée dans

les codes de calculs, est le modèle d'interaction de tourbillons " Eddy Interaction Model ".

Cette approche proposée par Gosman & Ioannides (1981) a été adoptée, par la suite, par

Shuen et al. (1983), Faeth (1983), Sommerfeld et al. (1993), Chen et Pereira (2000), parmid‟autres. Dans ce modèle, La particule est assumée être en interaction avec une succession de




17

Figure 1-3 : Modèle d'interaction de tourbillons (Graham & James, 1996)

tourbillons turbulents au cours de son mouvement, comme le montre la figure 1-3. Chaque

tourbillon est supposé caractérisé par une vitesse fluctuante constante, une échelle de temps

(Eddy Life Time) et une échelle de longueur (Eddy Length Scale).

Ces deux échelles peuvent être estimées à partir des propriétés de la turbulence (k et ε) le

long de la trajectoire de la particule discrète, comme le montre les relations (1-18) et (1-19).

La vitesse fluctuante, utilisée pour chaque tourbillon, est déterminée par un tirage aléatoire,suivant une fonction de densité de probabilité (PDF) Gaussienne.

uu f

2 et vv f

2 (1-17)

Où est une variable aléatoire Gaussienne.

L'échelle de longueur est estimée par:

23234/3

164.0k k

C Le (1-18)

Le temps caractéristique du tourbillon est défini par la relation suivante:

'

u

Lt ee (1-19)

Dans le cas d'une turbulence isotrope, t e est donné par:

k C

k

Lt ee

4/3

2

3

32

(1-20)

Temps = 0 Temps = t1

P

F

P

F

Particule Discrète

Particule Fluide et tourbillon

XP0

d (t1)

Ue

Up0

XP0 + Ue t1

2 Le




18

Le temps de transit ou de traversée d'un tourbillon, déterminé à partir de la relation

d (t 1)= Le, est estimé par la relation suivante:

p f p

e pc

uu

Lt

1ln (1-21)

Le temps d'interaction entre une particule et un tourbillon (Eddy Interaction Time) doit être

le minimum du temps caractéristique du tourbillon t e (Eddy Life Time) et du temps de

traversée d'un tourbillon t c (Eddy Transit Time).

ceint t ,t mint t (1-22)

L'équation (1-21) n‟a pas de solution lorsque Le > p f p uu . Dans ce cas, la particule est

assumée attrapée par le tourbillon et le temps d'interaction sera l'échelle de temps t e.

ceint

eint

t,tmint

tt

p

erel

p

erel

Lv si

Lv si

(1-23)

Durant cette interaction, la vitesse fluctuante du fluide reste constante et la particule

discrète se déplace en respectant son équation de mouvement. À la fin de cette interaction, la

particule est captée par un autre tourbillon que l‟on va considérer. Une nouvelle vitesse

fluctuante est tirée et le processus est répété.

Ce modèle tient compte de l'effet d'inertie et de croisement des trajectoires, mais ne tient

pas compte de l'effet de continuité. L'analyse de la performance d'une variété de modèles

d'interaction de tourbillons a été investie par Graham (1996), (1998) et Graham & James

(1996).

2.1.2 Modèle de corrélation de temps

Cette méthode appelée aussi modèle à deux étapes, est similaire à la précédente, dans le

sens qu'elle résout l'équation de quantité de mouvement d'une particule. La différence réside

dans la façon de déterminer la vitesse fluctuante de la particule fluide à la position de la

particule discrète.




19

Figure 1-4 : Trajectoire couplée ( Burry & Bergeles, 1993)

C'est une technique qui est basée sur la réalisation simultanée d'une trajectoire pour les

particules fluides, et une autre pour les particules discrètes. À l‟origine, elle a été développée

par Ormancey & Martinon (1984), elle a été adoptée par la suite par Zhou & Leschziner

(1991), Lu et al. (1993), Burry & Bergeles (1993) et étendue par Berlemont et al. (1990).

La figure 1-4 présente une vue d'ensemble de la méthode. À chaque fois qu'une particule

discrète est lancée, on lance également, du même point et au même instant, une particule

fluide.

La particule fluide est déplacée à x f (t+ Δt ) en respectant l'équation suivante :

x f,i (t+ Δt ) = x f,i (t ) + u f,i ( x f,i (t )) Δt . (1-24)

La vitesse instantanée du fluide u f,i est décomposée en une partie moyenne, qui est connue

par interpolation à la position de la particule discrète à partir des résultats du modèle de

turbulence, et une partie fluctuante u' , qui est générée à l'aide d'une PDF Gaussienne et en

respectant des corrélations lagrangiennes de temps.

La particule discrète est déplacée à x p(t+ Δt ) en intégrant les équations (1-15) et (1-16). Des

différences apparaissent entre les deux trajectoires. Ainsi, à chaque pas de temps Δt , la vitesse

du fluide est transférée de la position de la particule fluide à la position de la particule discrète

en respectant des corrélations spatiales Eulériennes. À l'étape de temps suivante, les deux

particules sont lancées de nouveau, du même endroit P = x p (t + t ), et au même instant, et le

processus est répété.

CorrélationEulérienne

xf (t)=x p(t)

v p(t)

uf (t)

F=xf (t+t)

P=x p(t+t)v p(t+t)

uf (x p,t+t)

Uf (t+t)


Suivi Lagrangiende la particule

fluide

Particule discrète




20

Le temps d‟intégration doit être choisi de façon à capter tous les événements subis par la

particule au cours de son parcours, Desjonquères (1987) a montré que Δt est de l'ordre de:

510

L p ,mint

(1-25)

Cette technique a été étendue par Berlemont et al. (1990), qui ont introduit une méthode de

matrice de corrélation pour la trajectoire des particules fluides, dans le but d'utiliser n'importe

quel type de corrélation. Ils ont également défini un domaine de corrélation autour de la

particule fluide, à l'aide d'une échelle de longueur L D, comme le montre la figure 1-5.

Lorsque la distance r entre les deux particules est plus grande que L D, on considère alors

une nouvelle particule fluide dont la trajectoire sera simulée à partir du point P , et le

processus sera répété.

Toujours selon Berlemont et al. (1990), cette méthode traite l'effet de croisement de

trajectoires d'une manière très physique, mais elle inclut aussi l'effet de continuité à l'aide des

corrélations Eulériennes.

Le processus de détermination de la vitesse fluctuante du fluide à la position de la particule

discrète est le suivant:

n F p e' u' u 22

F P

F P

' u' u

' u' u 2

212 1 P ' u (1-26)

où en est une variable aléatoire Gaussienne.

Cependant, les corrélations Eulériennes, entre la particule fluide et la particule discrète,

doivent être exprimées dans un repère dont le premier axe est colinéaire au vecteur FP . Par

conséquent, un changement de repère est nécessaire à chaque pas de temps.

Dans la littérature, on trouve plusieurs expressions des corrélations spatiales entre les deux

points F et P . Berlemont et al. (1990) et Burry & Bergeles (1993) utilisent la fonction de

Frenkiel (1948) pour modéliser la corrélation entre F et P . Par contre, Pascal & Osterlé (2000)

utilisent la décroissance exponentielle pour modéliser la fonction de corrélation.

Berlemont et al. (1990) proposent l'expression suivante:

Ln

r mcos

Ln

r exp P ' u F ' u P ' u F ' u

ji E ij ji E ij

ji ji

11 22

22 (1-27)




21

Figure 1-5 : Trajectoire couplée et domaine de corrélation ( Berlemont et al ., 1990)

Alors que Burry & Bergeles (1993) proposent la forme suivante:

Ln

r mcos

Ln

r exp F ' u F ' u P ' u F ' u

ji E ij ji E ij

ji ji

11 22

(1-28)

avec

r : Distance entre les points F et P .nij : paramètre de boucle qui permet d'introduire l'effet de continuité dans la corrélation

Eulérienne (on choisit nij = 0 dans la direction principale et n jj = 1 dans la direction

transversale.)

ji E L : Échelle spatiale eulérienne de corrélation définie par:

ji L

'

j

'

iij ji E uuC L (Berlemont et al., 1990) (1-29)

ji L

'

j

'

i

ij ji E

uuC L

2

22

(Burry & Bergeles, 1993) (1-30)

Avec C ij = 1

L D est définie comme la moyenne arithmétique des échelles spatiales Eulériennes de la

turbulence :

2

j j E ii E

D

L L

L

(1-31)

P

F

P

P

FF


r LD

Particule Discrète

Particule Fluide etdomaine de corrélation




22

2.1.3 Modèle de type langevin (one step model)

Ce modèle utilise une équation de type Langevin et il est basé sur un processus

stochastique d'une seule étape (les deux étapes Eulérienne et Lagrangienne, de la méthode

précédente, sont mélangées pour donner un schéma stochastique simple). Il présente un bon

compromis entre précision et simplicité. La vitesse de la particule fluide „vue‟ par la particule

discrète est générée en respectant une échelle de temps Lagrangienne. Par conséquent, le

problème se ramène à l'approximation de l'échelle de Temps/espace T *.

La vitesse du fluide vue est donnée par:

n fi fi bet ' aut t ' u

*

iT

t expa

221

2 1 at ' ub fi (1-32)

Avec en , une variable aléatoire Gaussienne.

Différentes expressions de T * peuvent être trouvées dans la littérature (Wang & Stock,

1990; Pozorski & Minier, 1998). Le modèle de type Langevin n‟est pas retenu dans notre

étude.

2.2 Construction des trajectoires des particules fluides

La construction de la trajectoire d‟une particule fluide est donnée par l‟équation (1-24),

d‟où la nécessité de déterminer à chaque instant t , la vitesse instantanée u f,i ( x f,i (t )) du fluide

au point x f,i (t ).

t xu' t xu t xu i f,i f,i f,i f,i f,i f, (1-33)

La partie moyenne i f,u est soit mesurée expérimentalement, soit déterminée par la

résolution des équations de transport moyennées utilisant un modèle de turbulence. Mais cen‟est pas le cas pour la partie fluctuante u‟ f,i , qui reste inconnue et qui représente la principale

difficulté de notre problème.

Pour estimer les fluctuations de vitesse de la particule fluide u f,i’ ( x f,i (t )), on suppose que le

champ de fluctuation de vitesse est Gaussien (Hypothèse classique pour les modèles de

turbulence). Cette hypothèse ne suffit pas. En effet, les fluctuations de vitesse dans un

écoulement turbulent ne sont pas totalement indépendantes. Elles obéissent à des fonctions de




23

corrélation tant Eulérienne que Lagrangienne (corrélation spatiale Eulérienne, corrélation

temporelle Eulérienne, corrélation temporelle Lagrangienne).

Dans le cadre d‟une description Lagrangienne du comportement des particules fluides, la

dépendance entre les fluctuations à l‟instant t et l‟instant t + Δt se fait seulement parl‟intermédiaire de la fonction de corrélation temporelle Lagrangienne du fluide, définie par :

t ' ut ' u

t ' ut ' u )( R

ji

ji fL

ij22

(1-34)

Le problème est donc de modéliser ces corrélations et d‟effectuer des tirages aléatoires des

fluctuations de vitesse qui les respectent.

2.2.1 Forme de la fonction de corrélation lagrangienne

La première approche a été proposée par Gosman & Ioannides (1981), et a été appelée

“ Eddy Life Time ”. Chaque vitesse fluctuante du liquide est maintenue constante sur un

intervalle de temps, égal à l'échelle intégrale de temps lagrangienne L .

La fonction de corrélation Lagrangienne résultante diminue linéairement de 1 à 0 de délai

égal à 2 L .

L

fL R

21 (1-35)

Figure 1-6 : Eddy Life Time et fonction de corrélation Lagrangienne.

Une première extension a été proposée par Ormancey & Martinon (1984). Elle est devenue

omni présente dans la communauté Lagrangienne. Dans cette approche (random eddy lifetime

ou modified eddy lifetime), une distribution de Poisson d'intervalle de temps est introduite:chaque fluctuation de vitesse du fluide est maintenue constante jusqu'à un nombre aléatoire

u’

L

1

L

R fL




24

(uniformément distribué entre 0 et 1) plus petit que Δt / L. La fonction de corrélation

lagrangienne résultante diminue exponentiellement de 1 à 0:

L fL exp R (1-36)

Figure 1-7 : Schéma de distribution de Poisson et fonction de corrélation Lagrangienne.

Plus tard, Desjonqueres (1987), a défini un processus qui peut prendre en compte n'importe

quel type de fonction de corrélation. Ceci peut être fait par une matrice de corrélation comme

décrite par Berlemont et al. (1990). En plus, Desjonqueres (1987) a introduit la fonction de

corrélation de Frenkiel (1948), définie par:

L L

fLm

m

cosmexp R

11 22 (1-37)

où m est un paramètre de boucle.

Figure 1-8 : Schéma de distribution et fonction de corrélation Lagrangienne de Frenkiel.

Notons que cette fonction de corrélation présente des boucles négatives. Sachant que, pour

m=0, on obtient la forme qui décroît exponentiellement de 1 à 0. La valeur retenue par Picart

et al. (1986), lors des confrontations des simulations avec les résultats expérimentaux, estm=1.

u’

1

R fL

u’

1

R fL




25

2.2.2 Méthode de génération du vecteur vitesse fluctuante de la particule fluide

Plusieurs méthodes permettent la génération du vecteur vitesse fluctuante de l'écoulement:

* Méthode basée sur l'équation de Langevin

Cette méthode est dérivée de l'équation de Langevin et conduit à la décroissance

exponentielle de R fl . Elle a été testée par Pozorski & Minier (1998).

Le processus est le suivant:

n

' ' bet uat u (1-38)

Où en est une variable aléatoire Gaussienne ( 10 2 nn e ,e ).

21u at b et t

expa 2' 2

L

(1-39)

* Méthode basée sur une matrice de corrélation

La méthode présentée ci-dessus permet la prise en compte de n'importe quel type defonction de corrélation.

Dans une description bidimensionnelle, on doit définir le vecteur des fluctuations de

vitesse des particules fluides de composantes :

u' = ( u x' (0), u y' (0), u x' ( Δt ), u y' ( Δt ), u x' (2 Δt ), u y' (2 Δt ),...., u x' (iΔt ), u y' (iΔt ),.......) (1-40)

Le nombre de pas de temps utilisé pour la trajectoire en question peut être constant ou

variable:

Constant, lorsque la dispersion est calculée en fonction du temps.

Variable, lorsque la dispersion est calculée en fonction de la distance à partir de

l‟injecteur.

Mathématiquement, le problème consiste à obtenir un vecteur X de variables aléatoires

normales, corrélées, sachant qu‟on connaît < xi x j > = ai j, où ai j sont connus (matrice A).

On dispose pour cela d‟une matrice de corrélation A (ai j) et d'un vecteur Y ( yi) de variables

aléatoires centrées, de variance unité, non corrélées.




26

La matrice de corrélation A est donnée par :

t i' ut i' ut i' ut i' u' ut i' u' u

t i' u' ut i' ut i' u' u

' u' u' u

' u

t i' u

t i' u

' u

' u

t i' u t i' u .... ' u ' u

y y x y y y x

x y x x x

y y x

x

y

x

y

x

y x y x

2

2

2

2

00

00

000

0

0

0

00

(1-41)

Les termes de cette matrice peuvent se regrouper en trois familles :

t i' ut i' u x x , t i' ut i' u y y et t i' ut i' u y x sont les composantes du

tenseur de Reynolds et sont définies ou données par le modèle de turbulence.

t j' ut i' u x x et t j' ut i' u y y sont des corrélations temporelles

Lagrangiennes exprimées sous la forme suivante (cas de fonction de corrélation de

Frenkiel):

x L x L x x

x x

m

t i jmcos

m

t i jexp

t j' ut i' u

t j' ut i' u

11 22

22

(1-42)

y L y L y y

y y

m

t i jmcos

m

t i jexp

t j' ut i' u

t j' ut i' u

11 2222

(1-43)

t j' ut i' u y x et t j' ut i' u x y sont des corrélations temporelles

Lagrangiennes croisées et modélisées sous la forme suivante (cas de fonction de

corrélation de Frenkiel):

y L y L

y x y x y xm

t i jmcos

m

t i jexpt iut i' ut jut j' ut j' ut i' u

11 22

(1-44)

x L x L

y x y x x ym

t i jmcos

m

t i jexpt iut i' ut jut j' ut j' ut i' u

11 22

(1-45)




27

Cette modélisation n'est pas entièrement satisfaisante, essentiellement pour les échelles

temporelles qu'elle fait intervenir. Le bon terme serait η Lxy , mais nous manquons

d'informations pour l'estimation d'une telle échelle. Nous utilisons donc cette forme (1-44 ;

1-45) dont la justification sera apportée par les résultats satisfaisants que nous obtenons.

En partant d‟un vecteur Y ( yi), de variables aléatoires centrées, de variance unité, non

corrélées (on a supposé une distribution Gaussienne pour les fluctuations de vitesse) c‟est à

dire que 0i y et ijii y y ( 12 i y , ii y y =0 pour i ≠ j). Supposons une relation linéaire entre u

et Y , le problème sera résolu si on trouve une matrice B qui satisfait u' = B Y .

Après quelques passages mathématiques (Desjonquères, 1987), on montre que A = B T B

où B T est la matrice transposée de B . Cette factorisation de la matrice A est appelée

factorisation ou décomposition de Cholesky.

Les éléments de B sont donnés par les relations suivantes:

1111 ab (1-46)

1111 bab ii (1-47)

i jbbbab jj

j

k

jk ik ijij

11

1

(1-48)

ibabi

k ik iiii

1

1

1

2 (1-49)

D‟où la matrice B est déterminée en premier lieu à partir de la matrice de corrélation A,

pour en déduire, par la suite, les éléments du vecteur u' et ce en multipliant B par Y .

3. Couplage entre les deux phases (modulation de la turbulence)

Dans cette partie, nous proposons d‟étudier l‟action des particules sur le fluide. En effet, la

présence de particules induit des modifications sur l‟écoulement gazeux, aussi bien sur les

vitesses moyennes (effet d‟entraînement ou de ralentissement) que sur la turbulence

(atténuation ou amplification).

De nombreuses études ont été consacrées à cette modulation de la turbulence et de

nouveaux développements sont prévus à l'avenir puisque aucun modèle n'est disponibleactuellement pour toute condition d'écoulement.




28

Les différents mécanismes dépendants qui contribuent à la modulation de la turbulence,

sont :

La dissipation de l‟énergie cinétique turbulente par les particules.

L‟augmentation de la viscosité apparente due à la présence des particules.

L‟étirement des tourbillons ou présence de sillage derrière la particule.

L‟augmentation du gradient de vitesse entre les particules.

La concentration préférentielle des particules due à la turbulence.

Figure 1-9 : Modification de l’intensité turbulente en fonction des échelles spatiales

(Gore & Crowe, 1989)

Dans le but de proposer une classification de l'influence des particules sur le fluide, Gore et

Crowe (1989) ont résumé plusieurs mesures expérimentales et ont considéré le rapport entre

le diamètre des particules et une longueur caractéristique de la turbulence du fluide porteur

( Le), comme le montre la figure 1-9.

Pour un rapport dp / Le < 0.1, la turbulence est réduite, alors qu‟au contraire, pour un

rapport dp / Le > 0.1, on a une augmentation de la turbulence (La figure 1-9 indique 0.08 au

lieu de 0.1). Ce critère montre que la turbulence est atténuée en présence de particules de petitdiamètre et amplifiée en présence de particules de taille relativement élevée.




29

La même tendance a été décrite par Elghobashi (1994), qui a établi une carte des régimes

d'interaction entre les particules et la turbulence, en considérant l'échelle de temps de

Kolmogorov η k et le temps de relaxation de particule η p comme le montre la figure 1-10.

Les particules favorisent la production de la turbulence pour η p / η k > 102

. Pourη p / η k 102, les particules favorisent la dissipation, pour une fraction volumique comprise

entre 10-3 et 10-6 (Two-way coupling).

En même temps, plusieurs études numériques sont développées dans le but de mieux

comprendre le phénomène d'interaction turbulence/particule. La DNS et la LES sont deux

outils efficaces pour une meilleur description du mécanisme Two-way coupling. Plusieurs

papiers édités peuvent être trouvés dans la littérature, parmi lesquels, on peut citer Squires &

Eaton (1990), Elgobashi & Truesdell (1993), Ahmed & Elgobashi (2000), Vermorel et al.(2003) et c.…

Figure 1-10 : Carte de régime d'interaction entre particules et turbulence ( Elghobashi, 1994)

4. Mise en équation et modélisation d’un écoulement diphasique

Le point de départ concernant la mise en équations d‟un écoulement diphasique gaz-

particules consiste à établir des équations du mouvement d‟une particule isolée dans un

One waycoupling

Effet

négligeablesur laturbulence

α p

η p / η k

1-10 3-

10 5-10 7-

10

2-10

210

410

010

Les particulesfavorisent ladissipation de k

Four way

coupling

Two way

coupling

Les particulesfavorisent la

production de k




30

champ turbulent. Nous déterminerons quelles sont les forces agissant sur cette particule et, en

se plaçant dans un cadre précis d‟hypothèses simplificatrices, nous justifierons le fait de ne

prendre finalement en compte que la force de traînée visqueuse et la force de flottabilité.

Une fois les équations de la trajectoire sont obtenues, nous établissons les équations aux

grandeurs moyennes régissant l‟écoulement turbulent gazeux. Ensuite, nous exposons

brièvement les modèles de turbulence permettant la fermeture de ces équations, ainsi que les

relations algébriques destinées à l‟estimation du tenseur de Reynolds. Nous finirons par

l‟exposition des équations de couplage entre les deux phases.

4.1 Équation du mouvement d’une particule isolée

Cette équation constitue le point de départ de la simulation d‟une trajectoire de particule

discrète dans l‟approche lagrangienne. Les premiers travaux de référence sur le sujet

remontent au milieu du 19ème siècle. Stokes (1851) étudie alors les efforts de traînée exercés

par un fluide laminaire sur des corps de géométrie sphérique. Basset (1888), Boussinesq

(1885) et Oseen (1927) s‟intéressent par la suite au mouvement d‟une particule soumise à la

gravité dans un champ fluide au repos pour donner naissance à ce que l‟on appelle le modèle

B.B.O. Dans sa thèse, Tchen (1947) propose une extension de ce modèle dans le cas d‟un

écoulement turbulent. Plus récemment, Maxey & Riley (1983) et Gatignol (1983) reprennent

les équations de Tchen pour corriger certaines inconsistances du modèle.

Les équations présentées ci-dessous s‟inspirent directement de ces deux dernières études et

reposent sur les hypothèses suivantes :

Les particules sont sphériques et indéformables.

Les particules ne sont pas en rotation et sont animées uniquement d‟un mouvement de

translation.

L'écoulement autour de la particule est homogène (ceci revient à supposer que le

diamètre des particules est plus petit que l'échelle de Kolmogorov).

Les interactions de type hydrodynamique ou collisionnel entre particules ne sont pas

prises en compte.

La turbulence n‟est pas perturbée par la présence de particules.




31

L‟équation s‟écrit :

Basset dehistoire' d Termed t

d

ud

D

u D

C D

m

pressionde gradient de Forcet D

u Dm

é flotabilit deTerme g mm

ajoutéemassedeTermedt ud

Dt u DC m

trainéede Forceuuuum D

C

dt

dum

t

i , pi , f

H

p p

p f f

i , f

f

i f p

i , pi , f A f

p f i , pi , f p

p

f

p

Di , p

p

9

21

4

3

(1-50)

Sachant que d /dt représente la Dérivée temporelle le long de la trajectoire de la particule

discrète et D/ Dt représente la Dérivée suivant le mouvement du fluide.

i

i , p

i

i , f x

ut dt

d et

xu

t Dt

D (1-51)

Cette formulation ne tient pas compte de la portance relative aux effets de cisaillement du

champ fluide et de la rotation de la particule ainsi qu‟aux éventuelles non-linéarités du champ

fluide (termes de Faxen).

Soit une nouvelle écriture de l‟équation du mouvement :

d t

d

ud

D

u D

C Dt D

u D

g dt

ud

Dt

u DC uu

RC

Ddt

du

t

i , pi , f

H p p

f f i , f

p

f

p

f

i

i , pi , f

A

p

f

i , pi , f

ep D f

p p

i , p

1

9

12

1

3

4

12

(1-52)

Odar & Hamilton (1964) ont été les premiers à proposer les fonctions empiriques C A et C H qui

représentent respectivement le coefficient de masse ajoutée et le coefficient de Basset.

2

2

1201

132012

C

C A

A.

A..C

3

3

1

520

480 C

C

H A

A.

.C (1-53)




32

Où AC représente le facteur d‟accélération donnée par la relation suivante :

dt

uud D

uu A

p f

p

p f

C

2

(1-54)

Dans le cas des écoulements gaz-solide où ρ p >> ρ f , les forces de masse ajoutée et de

Basset ainsi que la force liée au gradient de pression peuvent être négligées.

Par conséquent, l‟équation du mouvement d‟une particule s‟écrit :

archimède' d poussée gra vitétrainéeté flottabilitrainée

p

p F F F F F dt

ud m (1-55)

L‟équation retenue pour notre étude est la suivante :

p

f

ii , pi , f

p

i , p g uu

dt

du

1

1 (1-56)

Avec 68706870

2

15013150118 .

pe p f

p

.

pe f

p p

p R. D

m

R.

D

(1-57)

4.2 Équations de l’écoulement porteur

Le système des équations régissant le jet turbulent se compose de l‟équation de continuité

et de l‟équation de conservation de la quantité de mouvement.

0

i

i

U x

(1-58)

Pu

j

ji

i

j

j

i

ji j

ji

iS

x

' u' u

x

U

x

U

x x

P

x

U U

(1-59)

Où PuiS est le terme de source de quantité de mouvement qui traduit les forces

d‟interactions particules-fluide et qui sera détaillé dans 4-3.

Ce système d‟équations fait apparaître des corrélations doubles ji ' u' u qui rendent le

système ouvert. Sa fermeture nécessite l‟utilisation d‟un modèle de turbulence pour modéliserces corrélations.




33

4.2.1 Modèles de turbulences de premier ordre

Les modèles de turbulence de premier ordre sont basés sur l‟hypothèse de Boussinesq

(1877) qui consiste à modéliser directement les tensions de Reynolds à l‟aide d‟une viscosité

turbulente et du gradient de la vitesse moyenne.

k - x

U

x

U ' u' u ij

i

j

j

it ji

3

2

(1-60)

La question est alors de savoir comment évaluer cette nouvelle inconnue, qui est la

viscosité turbulente µt .

Modèle k -ε

Depuis sa création dans les années 70, le modèle k -ε reste jusqu‟à nos jours le modèle le

plus populaire et le plus utilisé des modèles de turbulence. Cependant, l'un de ses défauts

majeurs est son incapacité de prédire correctement le taux d‟épanouissement des jets ronds.

La viscosité turbulente est définie par :

k C t

2

(1-61)

Les équations modélisées de k et de ε sont les suivantes :

k

jk

t

j j

jS

x

k

x x

k U

avec GS k (1-62)

S

x x x

U

jk

t

j j

j

avec

k C G

k C S

2

21

(1-63)

Le terme de production de l‟énergie de turbulence est donné par l‟expression suivante :

j

i

i

j

j

it

x

U

x

U

x

U G

(1-64)

Les constantes de ce modèle sont d‟après Launder Spalding (1974) données dans le tableau

1-1. Ces constantes incluent la correction de Rodi (1972).

C µ C ε1 C ε2 ζ k ζ ε

0.09 – 0.04 f 1.44 1.92 – 0.0667 f 1.0 1.3

Tableau 1-1: Constantes empirique du modèle k -ε.




34

avec x

U

x

U

U

Y f

.

cc

20

2

(1-65)

Où U c est la vitesse longitudinale sur l‟axe du jet, Y la demi-largeur du jet et ΔU la variation

radiale de la vitesse longitudinale sur Y .

Modèle RNG k -ε

Concernant le modèle RNG k -ε, dont la structure des équations de l‟énergie cinétique de la

turbulence et sa dissipation scalaire conservent identiquement les mêmes formes que le

modèle k -ε standard, il entre dans le cadre des nouveaux modèles proposés. Il a été développé

par Yakhot & Orszak (1986), puis révisé par Yakhot et al (1992). Les constantes empiriques

du modèle RNG k -ε sont données dans le tableau 1-2 :

C µ C ε1 C ε2 ζ k ζ ε

0.0845 1.42 – R 1.68 0.7179 0.7179

Tableau 1-2: Constantes du modèle RNG k -ε.

avec3

0

1

1

R ,

C

G , 0 = 4.38 et β = 0.015 (1-66)

Modèle k -ω (88)

Le modèle k -ω a été proposé par Wilcox (1988). ω est définie comme une fréquence

caractéristique de la décroissance de la turbulence sous sa propre inertie ou comme un taux de

dissipation par unité d‟énergie cinétique turbulente.

Cette nouvelle variable est donnée par :

k C

(1-67)


k t (1-68)




35

Les équations modélisées de k et de ω sont les suivantes :

k

j*

t

j j

jS

x

k

x x

k U

avec k GS *

k (1-69)

S

x x x

U

j

t

j j

j

avec 2

Gk

S (1-70)

Les constantes empiriques utilisées dans ce modèle sont données dans le tableau 1-3:

β * ζ ω ζ ω* α β

0.09 2.0 2.0 5/9 3/40

Tableau 1-3: Constantes du modèle k -ω (88).

Modèle k -ω (98)

La principale différence par rapport au modèle précèdent vient des constantes,

récapitulées dans le tableau 1-4, d‟après Wilcox (1998).

β * ζ ω ζ ω* α β β 0

* β 0

β 0* f β* 2.0 2.0 13/25 β 0 f β 0.09 9/125

Tableau 1-4: Constantes du modèle k -ω (98).

0

4001

6801

01

2

2

k

k

k

k

* f

avec

j j

k x x

k

3

1

(1-71)

801

701

f avec 30

*

ki jk ij

w

S ;

i

j

j

iij

x

U

x

U

2

1 et

i

j

j

iij

x

U

x

U S

2

1

(1-72)

Ωij et S ij représentent respectivement le tenseur de vorticité moyen et le tenseur du taux moyen

de contrainte.




36

Modèle Multiple-Time-Scale : MTS (Two-scale k -ε model)

Le modèle MTS a été proposé par Kim & Chen (1987). Il est basé sur une fermeture en un

point unique et sur une méthode simplifiée de partage du spectre. L‟avantage du modèle MTS

réside dans sa capacité de prendre en compte l‟instabilité du champ de la turbulence. Cemodèle considère que le spectre d‟énergie turbulente est divisé en deux régions, une région de

production de l‟énergie cinétique turbulente et une région de dissipation de l‟énergie cinétique

turbulente.

Par conséquent, Le modèle MTS utilise quatre équations partielles pour la fermeture de la

turbulence afin d‟expliquer la production, la cascade et la dissipation de l‟énergie cinétique

turbulente. Ces quatre équations sont :

(i) l‟énergie cinétique turbulente des grands tourbillons, k p.

(ii) l‟énergie cinétique turbulente des petites échelles des tourbillons, k t.

(iii) le taux de transfert d‟énergie des grandes échelles aux petites échelles des

tourbillons, ε p.

(iv) le taux de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente, εt .


p

t

k C

2

(1-73)

Les équations modélisées de k p, k t , ε p et de εt sont les suivantes :

t

t

k

j

t

k

t

j j

t jS

x

k

x x

k U

avec t pk t

S (1-74)

p

p

k

j

p

k

t

j j

p jS

x

k

x x

k U

avec P k GS

p

(1-75)

t

t

S x x x

U

j

t t

j j

t j

avec

t

t t

t

t p

t

t

p

t k

C k

C k

C S t

2

32

2

1

(1-76)

p

S x x x

U

j

p

p

t

j j

p j

avec

p

p

p

p

p

p

p

pk

C k

GC

k

GC S

p

2

32

2

1

(1-77)

L‟hypothèse de l‟équilibre spectral entre la région de transfert et celle de dissipation donne :

ε = εt et k = k t + k p (1-78)




37

Les constantes empiriques de ce modèle sont données dans le tableau 1-5:

C µ C p1 C p2 C p3 C t 1 C t 2 C t 3 ζ kp ζ kt ζ ε p ζ εt

0.09 0.21 1.24 1.84 0.29 1.28 1.66 0.75 0.75 1.15 1.15

Tableau 1-5: Constantes du modèle MTS.

4.2.2 Tenseur de Reynolds

Les modèles de turbulence de premier ordre prédisent l‟énergie cinétique turbulente k ,

mais ne donnent aucune information précise sur sa répartition selon les directions. Plusieurs

moyens permettent une meilleure estimation de la structure anisotropique de la turbulence,

parmi lesquels, on peut citer le modèle de second ordre RSM, qui est difficile à manipuler à

cause des problèmes de stabilité. Une solution intermédiaire consiste à estimer le tenseur de

Reynolds à partir des relations algébriques déduites d‟une fermeture de second ordre (Rodi,

1979). Ces relations sont complémentaires aux modèles de turbulence de 1ere ordre, et sont

définies comme suit :

G D x

U

x

U k G P

cGk ' u' u ijij

i

j

j

iijijij ji

3

2

3

21

1

3

2321

1

(1-79)

Avec k , , G, et les gradients de vitesse sont calculés à l‟aide d‟un modèle de turbulence de

premier ordre. Les tenseurs P ij et Dij sont donnés par :

k

j

k i

k

ik jij

x

U uu

x

U uu P (1-80)

j

k

k i

i

k

k jij x

U uu

x

U uu D (1-81)

Les constantes c’ 1, γ1 , γ2 et γ3 sont données respectivement par 1.8, 0.76, 0.18 et 0.11 (Picart

et al., 1986).




38

4.3 Termes de couplage entre les deux phases

La présence des particules induit des modifications au sein l‟écoulement gazeux aussi bien

sur les vitesses moyennes que sur la turbulence. Par conséquent, il faut introduire des termes

sources dans les équations de transport de la phase fluide. Cette méthode est appelée méthode

PSI-CELL „„Particle Source In Cell‟‟ proposée par Crowe et al. (1977).

4.3.1 Terme source pour la vitesse moyenne ou la quantité de mouvement moyenne

L‟équation du terme source de la quantité de mouvement s‟écrit :

g

t d

ud mnS p p Pu

(1-82)

Où u

représente la vitesse instantanée de la particule et m p sa masse. n p indique le nombre

moyen de particules par unité de volume.

4.3.2 Termes sources traduisant la modulation de la turbulence

Dans la littérature, on peut trouver différentes modélisations des termes sources de

modulation de la turbulence. Cependant, nous présenterons seulement la modélisation

classique ou standard de la turbulence du fluide en écoulement diphasique (Berlemont et al .,

1990) et la modélisation complète ou consistante (Crowe, 2000). Le modèle semi-empirique

de Yarin et Hestroni (1994), le modèle thermodynamique de Sadiki et Ahmadi (2002), ainsi

que le nouveau modèle de Mando et al. (2009) ne seront pas discutés dans ce travail.

L‟ensemble des expressions des termes des modèles de modulation de l‟écoulement porteur

sont récapitulées dans le tableau 1-6, sachant que certains auteurs (Boulet et Moissette, 2002)

ont mélangé ou mixé le modèle standard et le modèle consistant dans leurs simulations.

Le défaut majeur du modèle standard (Berlemont et al., 1990), est qu'il ne prédit qu'une

atténuation de l'énergie cinétique turbulente alors qu'il a été démontré expérimentalement que

les particules de grosses tailles ont tendance à augmenter la turbulence (Gore & Crowe 1989).

Lain et sommerfeld (2003) ont concouru plusieurs modèles de modulation de la turbulence,

et ont signalé que, bien que, le modèle consistant présente des prédictions meilleures que le

modèle standard, dans le sens qu‟il peut prédire aussi bien l‟atténuation que amplification de

la turbulence, n‟est pas complètement satisfaisant, et que le modèle hybride ne doit pas être

pris en compte, puisqu‟il combine deux types de contributions basées sur deux concepts

différents.




39

Tableau 1-6: Tableau récapitulatif des expressions des termes sources

de modulation de la turbulence.

La constante C ε3 varie entre 0.9 et 2.3 (= 1.9, Berlemont 1990 ; = 1.1, Berlemont 1995).

Concernant le taux de dissipation pour le modèle complet, Crowe (2000) propose uneestimation plutôt qu‟une équation de bilan.

Lh désigne une échelle de longueur hybride telle que :

111

L

L eh

(1-83)

Le est exprimé par la relation (1-18), et représente la distance moyenne entre deux

particules donnée par :

p

/

P

p D

D

313

6

(1-84)

5. Méthode numérique

Les calculs réalisés sont basés sur une version améliorée du code de calcul TEACH

(Gosman et Ideriah, 1976) pour la simulation de l‟écoulement porteur, et sur le code de calcul

Termes sources Formulation

< Spk >

Berlemont (1990)

fi pu pk ' u' S S i

< Spk >

Crowe (2000) pi pu pi fi pu ' u' S uuS

ii

< Spε >

Forme classique pk p S

k C S

3

Equation spécifique de ε f lors de l‟utilisationdu modèle de Crowe (2000) h

f

p f Lk

23




40

PALAS (PArticle Lagrangian Simulation; Berlemont et al., 1990) pour la simulation de la

phase dispersée. Le couplage entre les deux codes ou les deux phases s‟effectuent selon la

procédure suivante :

1. Prédiction de l‟écoulement porteur jusqu'à une convergence partielle.

2. Suivi des particules à travers le champ turbulent.

3. Calcul des termes sources pour chaque variable et à chaque volume de contrôle.

4. Re-calcul de la phase continue avec prise en compte des termes sources induites par

les particules jusqu'à une convergence partielle de la phase Eulérienne.

5. Répétition des étapes 2-3-4 jusqu'à la convergence totale.

Généralement, un grand nombre d‟itérations entre la phase Eulérienne et la phase

Lagrangienne est nécessaire pour achever une convergence satisfaisante des résultats. Ce

nombre dépend du taux de chargement des particules, du diamètre des particules, et du type

de l‟écoulement. Dans notre cas, et puisque le taux de chargement est de l‟ordre de 8 % ; trois

itérations peuvent amener à des résultats satisfaisants.

La méthode des volumes finis (MVF) à maillage décalé de Patankar (1980) est utilisée

pour la résolution numérique des équations de transports de l'écoulement porteur.

La formulation est elliptique de type convection-diffusion, utilisant un schéma hybride en

espace et le couplage pression-vitesse s‟appuit sur l‟algorithme SIMPLE. La convergence est

détectée pour la valeur de 0.3 %. Le calcul est mené avec un maillage structuré, évolutif et

raffiné près de la section d‟émission et près de l‟axe de symétrie. Différentes tailles de grilles

sont testées, comme le montre la figure 1-11 et dévoilent que les résultats sont indépendants

des influences numériques pour des grilles plus fines que 54 x 54 pour un domaine de 0.6m de

longueur et de rayon égal à 0.2m.

Le système d'équation (1-79, 1-80, 1-81) est résolu en utilisant un algorithme de

prédiction-correction (P.C.M) comme il a été préconisé par Picart et al (1986).

Pour la simulation de la phase dispersée, typiquement, 25000 trajectoires pour une classe

de taille 40 – 45 μm ont été réalisées. La taille des particules ainsi que leurs positions

d‟injection sont générées aléatoirement suivant une loi uniforme. La détermination des

grandeurs caractéristiques des particules est achevée statistiquement à travers un algorithme

dit „de mise à jour‟. Les détails de la méthode numérique sont développés dans les annexes A

et B.




41

0 20 40 60

X / d

0

4

8

12

U

f 0

/

U

f c

7 0 X 7 0

6 5 X 6 5

5 4 X 5 4

4 0 X 4 0

Figure 1-11 : Test d’indépendance de la taille de la grille basée sur l’évolution da la vitesse axiale.

6. Conditions aux limites

La formulation du problème à résoudre nécessite la spécification des conditions aux limites

à la frontière du domaine d‟étude. Deux sortes de conditions aux limites sont utilisées : lesconditions de Dirichlet qui consistent à fixer la valeur d‟une variable en un point de la

frontière et les conditions de Neumann qui consistent à fixer la valeur de la dérivée de la

variable.

6.1 Phase continue

Dans le cas d‟un jet axisymétrique, et pour des raisons de symétrie, seul la moitié du domaineest considérée comme domaine de calcul.

Condition à l'entrée

Nous devons imposer des champs initiaux qui représentent l‟état de base du modèle au

moment où commence la simulation.

L 'écoul ement du co-courant ( pour x = 0 et y ≥ d /2 )

Un léger co-courant (coflow) d‟air permet, entre autre, d‟éviter les recirculations éventuelleset stabiliser le calcul sans changer radicalement l‟écoulement.




42

En effet, un jet avec un rapport de la vitesse du co-courant par la vitesse de sortie de la buse

inférieure à 0.05 est comparable ou identique à un jet débouchant dans un milieu stagnant (R.

A. Antonia, R. W. Bilger, 1973).

ucof = 0.05 ms-1

(1-85)L‟énergie cinétique de turbulence k est estimée par la relation suivante :

2010 cof in u.k (1-86)

La dissipation de l'énergie cinétique de la turbulence est donné par :

LARGE

.

in

in R.

k C

0050

51

(1-87)

L 'écoul ement du jet central ( pour x = 0 et 0 ≤ y < d /2 )Les profils des vitesses moyennes et fluctuantes longitudinales ont été calculés en

extrapolation avec les valeurs mesurées à x = 0.5d (voir figure 1-12).

Le profil de k est obtenu en supposant 2' u = 2' v et 2' w = 0.

Le profil de la vitesse est donné par :

.

in

d

yuu

51

0

21

(1-88)

0 2 4 6 8

Y ( m m )

0.0

0.4

0.8

1.2

U

f

/

U

f c

E x i t w a l l

1 / 5 power

Figure 1-12-a: Condition initiale pour la vitesse

moyenne longitudinale à x=0.5d ( phase continue)

0 2 4 6 8

Y ( m m )

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

U ' f

/

U

f c

E x i t w a l l

Figure 1-12-b: Condition initiale pour la vitesse

fluctuante longitudinale à x=0.5d ( phase continue)

Exp. (1994) x/d = 0.5

Sim. x/d = 0




43

L‟énergie cinétique de turbulence k est estimée par la relation suivante :

2

10040

d

y..uk inin (1-89)

Le profil de la dissipation de l‟énergie cinétique de la turbulence du jet central est donné par

la relation suivante :

m

in

in L

k C 23

(1-90)

Avec Lm représente la longueur de mélange et d le diamètre de la buse ( Lm = 0.005 d)

A noter que la vitesse radiale est supposée égale à zéro sur toute la section d'entrée. Pour le

modèle MTS, une condition d‟instabilité est utilisée pour estimer les quantités turbulentes à la

section d‟émission (Chen, 1985) : k p = k t = 0.5 k et ε p = 0.5 εt = 0.5 ε

Condition àla sorti e

Loin de l‟entrée, on supposera que le régime est établi (écoulement développé). Ce qui se

traduit par la non variation dans la direction axiale, c'est-à-dire le gradient de toutes les

variables dans la direction axiale est égal à zéro, à l‟exception de la vitesse longitudinale qui

suit un traitement spécial pour vérifier le principe de la conservation de la masse :

u (ni, j) = u (ni-1, j) + uinc (1-91)

La correction uinc est l'incrément de vitesse nécessaire pour la conservation de la masse à la

sortie.

0

outlet x

, Φ = V , k , ou ε. (1-92)

Condition sur l’axe de symétrie

Toutes les dérivées radiales sont nulles ainsi que la composante radiale v de la vitesse qui est

nulle :

00

r r

(1-93)

Condition sur les bords du jet

Les conditions aux limites sur les bords du jet sont classiques, à savoir :

u = 0 ; 0r v ; k = 0 ; ε = 0 (1-94)




44

0 2 4 6 8 10

Y ( m m )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

U p

/

U

f c

E x i t w a l l

Figure 1-13-a: Condition initiale pour la vitesse

moyenne longitudinale à x=0.5d ( phase dispersée)

0 2 4 6 8

Y ( m m )

0.00

0.10

0.20

0.30

U ' p

/

U f c

E x i t w a l l

Figure 1-13-b: Condition initiale pour la vitesse

fluctuante longitudinale à x=0.5d ( phase dispersée)

6.2 Phase dispersée

De même que l‟écoulement turbulent, des conditions aux limites à la frontière du domaine

d‟étude, concernant la dispersion des particules doivent être spécifiées.

Condition ini tiale

La vitesse initiale des particules est égale à 0.65 fois celle du fluide à l'injection, comme le

montre la figure 1-13-a. La vitesse fluctuante (RMS) longitudinale des particules à l'injection

est égale à 3 fois celle du fluide à l'injection (figure 1-13-b). La vitesse fluctuante (RMS)

transversale des particules est égale à celle du fluide.

Condition àla sorti e

Lorsque la particule atteint la sortie du domaine de calcul, sa trajectoire sera arrêtée et une

nouvelle particule sera lancée.

Condition sur l’axe de symétr ie

Lorsque la particule atteint l'axe de symétrie, on note la position de l‟impact puis on tire une

autre particule dont la vitesse sera l'opposée de la vitesse de la particule juste avant l'impact.

Condition sur les bords du jet

Les conditions aux limites sur les parois sont les mêmes que celle de l‟axe de symétrie.

Exp. (1994)x/d = 0.5

Sim. x/d = 0.33

Sim. x/d = 1




45

7. Résultats et discussion

Les paramètres utilisés dans les simulations numériques sont les mêmes que ceux utilisés

dans le travail expérimental de Prevost (1994). Ils sont résumés dans le tableau 1-7. Unereprésentation schématique de cette expérience est donnée sur la figure 1-14, elle consiste à

injecter des particules de verre dans un jet rond turbulent dirigé vers le bas et débouchant dans

l‟air ambiant. Les mesures des vitesses simultanées de la phase continue et la phase dispersée

ont été effectuées avec une technique Laser à Phase Doppler (PDA - Phase Doppler

Anémométrie). Une des originalités de la présente expérience réside dans l‟analyse du

comportement de particules polydispersées à travers quatre classes de taille (10 – 15, 20 – 25,

30 – 35 et 40 – 45 µm), cependant nous avons choisi la classe 40 – 45 µm pour tester les

différents modèles stochastiques de dispersion.

U f C 0 d / 2 D p Ø f p Re Qv f Qv p

m.s - m µm kg.m- kg.m- l.s - l.s -

24.85 0.005 40 - 45 0.08 1.205 2460 13100 1.492 12 10-2

Tableau 1-7 : Configuration expérimentale

Figure 1-14 : Configuration expérimentale. Figure 1-15 : Vecteur vitesse et contour de vitessemoyenne longitudinale de la phase continue ( MTS ).




46

Le diamètre du tube, utilisé dans cette expérience, est de 10 mm. Sa longueur est de

700 mm afin d‟assurer un écoulement établi de la phase gazeuse à l‟éjection. Le débit

volumique de l‟écoulement gazeux à l‟injection est Qv f = 1.492 l.s -1, ce qui correspond à une

vitesse moyenne, dans la section, de l‟ordre de 20m.s-1 (≈ 0.8 U fc0). Le taux de chargement

des particules Ø ou le rapport du débit massique des particules et du débit massique d‟air peut

être considéré comme constant durant l‟expérience, il est fixé à 0.08 ou 8%.

Le rapport des débits volumiques est 3.9 x 10-2 % ; ce rapport est très inférieur à 3 %,

rapport au-delà duquel des interactions entre particules peuvent survenir (Hardalupas et al.,

1989). Nous pouvons donc considéré l‟écoulement comme dilué.

La figure 1-15 représente les vecteurs vitesses ainsi que les iso-vitesses axiales dans le cas

de notre configuration, en appliquant le modèle MTS dans le but d'avoir une vue réaliste surl'écoulement.

7.1 Phase continue

La figure 1-16 présente l‟évolution axiale de la vitesse longitudinale de l‟écoulement

porteur. Elle représente l‟une des caractéristiques les plus importantes dans l‟étude des jets,

puisque la décroissance de cette quantité est la conséquence de la variation de tous les paramètres du jet. La loi de décroissance axiale de la vitesse s‟écrit sous la forme suivante :

Bd

X A

U

U

fc

fc0 (1-95)

Où A représente la pente de cette droite et B représente l'origine virtuelle ou fictive.

Tableau 1-8: Comparaison des caractéristiques de la décroissance de la vitesse axiale.

Les comparaisons entre les valeurs de A et de B présentent un bon moyen de sélection du

meilleur modèle de turbulence.

k -ε RNG k -ε MTS k -ω (88) k -ω (98)Exp.

(1994)

Chassaing

(1979)

Ferrand et al.

(2003)

A 0.189 0.35 0.235 0.46 0.187 0.228 0.193 0.205

B 1.0 5.5 3.8 8.0 5.17 4.0 3.0 2.0




47

0 10 20 30 40 50

X / d

0

4

8

12

U

f 0

/

U

f c

Figure 1 - 16 : Profils axiaux de la vitesse

moyenne longitudinale.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.40

0.80

1.20

U

f

/

U

f c

Figure 1-17-a : Evolution radiale de la vitesse

longitudinale moyenne à x/d =10

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.00

0.40

0.80

1.20

U

f

/

U

f c

Figure 1-17-b : Evolution radiale de la vitesse


0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.00

0.40

0.80

1.20

U

f

/

U

f c

Figure 1-17-c : Evolution radiale de la vitesse


Exp. (1994)

k -ε

MTS

RNG

k -ω 88

k -ω 98

Exp. (1994)

k -ε

MTS

RNG

k -ω 88

k -ω 98




48

La valeur de B (rapportée dans le tableau 1-8) présente un éparpillement considérable.

Cette variation n‟est pas inattendue parce que la position de l'origine virtuelle est sensible à la

variation du nombre de Reynolds, aux profils de vitesse et d‟intensité à la sortie du jet et au

rapport de densité du fluide injecté au fluide ambiant.

Ainsi, les valeurs calculées ( A et B) à l‟aide du modèle k -ω (88) surestiment

significativement les mesures expérimentales. La constante A obtenue à l‟aide des modèles

k -ε et k -ω (98) sont en accord avec les mesures de Chassaing (1979) ; alors que le modèle

MTS fournit les meilleures prédictions de A et de B.

Il s'est avéré que le modèle RNG k -ε prévoit mal les profils de vitesse dans un jet plan ou

axisymétrique, cela est dû à sa surestimation du taux de propagation (spreading rate) de

l‟écoulement (Wilcox, 1998).

Les profils radiaux de la vitesse moyenne longitudinale rendue sans dimension par la

vitesse moyenne sur l‟axe, sont donnés sur les figures 1 -17-a, 1-17-b et 1-17-c pour trois

sections différentes. Pour la première section, à x/d =10, on remarque que l‟accord calcul-

expérience est satisfaisant, seulement pour les deux modèles MTS et k -ε et cela jusqu'au

Y / X =0.1, sachant que les résultats des deux modèles sont presque identiques. Après, le calcul

surestime les valeurs expérimentales. On note aussi que les résultats obtenus avec les modèles

k -ω (88) et k -ω (98) sous-estiment les valeurs expérimentales, alors ceux obtenus par lemodèle RNG k -ε les surestiment.

Pour la deuxième et la troisième section ( x/d =20 et x/d =30), on remarque que seuls les

modèles MTS et k -ε prédisent raisonnablement l'évolution radiale de la vitesse longitudinale

près de l'axe de symétrie, tandis qu'ils prévoient des profils légèrement supérieur aux résultats

expérimentaux sur les bords du jet. Cette différence est due au fait que l‟écoulement est par

intermittence turbulent et laminaire.

La défaillance du modèle k -ω (88) en comparaison avec les autres modèles, pourrait être en

partie attribuée à la négligence du terme de diffusion de croisement (cross diffusion term)

j j

k x x

k

3

1

parce que son inclusion conduit à l‟amélioration des performances du modèle de turbulence

pour la prédiction d‟un jet libre. Son premier rôle sera d'augmenter ω et par conséquent,

réduire l'énergie cinétique k en accroissant le terme source de la dissipation.




49

0 10 20 30 40 50

X / d

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

U ' f

/

U

f c

Figure 1-18-a: Variation axiale de la vitesse

fluctuante longitudinale

0 10 20 30 40 50X / d

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

V ' f

/

U

f c

Figure 1-18-b: Variation axiale de la vitesse

fluctuante transversale.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.00

0.10

0.20

0.30

U ' f /

U

f c

Figure 1-19-a: Profils radiaux de la vitesse

fluctuante longitudinale à x/d=10

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

V ' f

/

U

f c

Figure 1-19-b: Profils radiaux de la vitesse

fluctuante transversale à x/d=10

Exp. (1994)

k -ε

MTS

RNG

k -ω 88

k -ω 98

Exp. (1994)

k -ε

MTS

RNG

k -ω 88

k -ω 98




50

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.10

0.20

0.30

U ' f

/

U

f c



0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.10

0.20

0.30

V ' f

/

U

f c



0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

U ' f

/

U

f c



0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

V ' f

/

U

f c



Exp. (1994)

k -ε

MTS

RNG

k -ω 88

k -ω 98

Exp. (1994)

k -ε

MTS

RNG

k -ω 88

k -ω 98




51

Les modèles k -ε, RNG k -ε et MTS possèdent le terme de diffusion de croisement dans leurs

équations de dissipation ε. Le modèle k -ω (98) utilise le coefficient * f

pour combler l'impact

du terme de diffusion de croisement dans l'équation de k . L‟action fournie par * f

n'émule pas

complètement l'action du terme de diffusion décrite dans l'équation de ε, puisque le modèle dek -ω (98) n'est pas aussi performant que le modèle k -ε.

Les évolutions axiales de l‟intensité de la turbulence longitudinale et transversale sont

représentées sur les figures 1-18-a et 1-18-b. Cette quantité croit rapidement à la sortie du jet

et tend asymptotiquement vers une limite, à cause de la décroissance de la vitesse moyenne

axiale. On remarque la même tendance du comportement des modèles de turbulence avec

ceux qui précèdent. Les modèles k -ε et MTS présentent toujours les meilleures prédictions,

alors que la surestimation du modèle k -ω (88) revient à la négligence du terme de diffusion de

croisement.

Les figures 1-19-a et 1-19- b présentent l‟évolution radiales respectivement des fluctuations

de vitesses (RMS) longitudinales et transversales normalisées par la vitesse sur l‟axe pour la

section x/d = 10. Les résultats du calcul des fluctuations de vitesse (RMS) longitudinales et

transversales rendus sans dimension par la vitesse sur l'axe pour les sections x/d =20 et x/d =30

sont également portés sur les figures 1-20-a, 1-20-b, 1-21-a, 1-21-b. D'après les figures 19, 20

et 21, on constate que les deux modèles MTS et k -ε prouvent leurs capacités à bien prédire

l'évolution radiale des fluctuations de vitesse. Néanmoins, les prédictions du modèle MTS

sont meilleures dans la région de l‟axe, mais celles de k -ε sont meilleures sur les bords du jet.

En résumé, les comparaisons de nos calculs avec les mesures expérimentales de Prevost

(1994) ont montré que les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les

évolutions radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels du jet sont mieux prédites avec

les modèles MTS et k -ε. Cependant, le modèle MTS s'avère meilleur que le modèle k -ε pour la

prédiction des propriétés dynamiques moyennes de l'écoulement dans la région de l‟axe de

symétrie, alors que le modèle k -ε l‟emporte dans la région du bord du jet.

7.2 Phase dispersée

Les vitesses moyennes et fluctuantes des particules sont obtenues en utilisant un procédé

statistique de moyenne sur toutes les trajectoires de particules qui traversent le volume de

contrôle en question.




52

0 10 20 30 40 50

X / d

0

2

4

6

8

U

p 0

/

U

p c

Figure 1 - 22: Profils axiaux de la vitesse

moyenne des particules.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.0

0.4

0.8

1.2

U p

/

U

f c


moyenne des particules à x/d=10

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

U p

/

U

f c



0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

U p

/

U

f c

Figure 1-23-c: Profils radiaux de la vitesse


Exp. (1994)

TCM + k -ε

TCM + MTS

TCM + k -ω 88

EIM + k -ε

EIM + MTS

EIM + k -ω 88

Exp. (1994)

TCM + k -ε

TCM + MTS

TCM + k -ω 88

EIM + k -ε

EIM + MTS

EIM + k -ω 88




53

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

U ' p

/

U

p c


longitudinale fluctuante des particules à x/d=10

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.0

0.1

0.2

0.3

U ' p

/

U

p c



0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.0

0.1

0.2

0.3

U ' p

/

U

p c



0.00 0.04 0.08 0.12 0.16

Y / X

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

V ' p

/

U

p c


fluctuante des particules à x/d=10

Exp. (1994)

TCM + k -ε

TCM + MTS

TCM + k -ω 88

EIM + k -ε

EIM + MTSEIM + k -ω 88

Exp. (1994)

TCM + k -ε

TCM + MTS

TCM + k -ω 88

EIM + k -ε

EIM + MTS

EIM + k -ω 88




54

Ainsi, une prédiction précise du champ turbulent est préalable pour une meilleure

prédiction des paramètres dynamiques de la phase dispersée. C'est pourquoi les résultats des

modèles MTS et k -ε sont retenus, puisqu'ils sont les mieux conformes aux données

expérimentales monophasiques. En plus, les résultats du modèle k -ω (88) ont été également

considérés, afin de mettre au point l'influence des résultats indésirables de l'écoulement

porteur sur les prédictions de la phase dispersée.

Le profil de l‟évolution axiale de la vitesse moyenne de la phase dispersée est représenté

sur la figure 1-22. On remarque que le Modèle de Corrélation de Temps et le Modèle

d'Interaction de Tourbillon donnent des résultats presque identiques. Un léger avantage pour

EIM est signalé. D'autant plus que les prédictions, utilisant le modèle MTS pour l'écoulement

porteur, fournissent les meilleurs résultats, comme dans le cas du jet monophasique. Cetteremarque peut être déduite du tableau 1-9.

Tableau 1-9 : Comparaison des caractéristiques de la décroissance de la vitesse axiale

des particules pour différentes combinaisons de modèles de turbulence et de dispersion .

x/d 10

U ‟ p / U f c V ‟ p / U f c

20

U ‟ p / U f c V ‟ p / U f c

30

U ‟ p / U f c V ‟ p / U f c

Hardalupas et al. (1989) Y / X = 0

Y / X = 0.1

0.16 0.04

0.16 0.06

0.25 0.07

0.20 0.07

0.265 0.13

0.245 0.15

Prevost (1994) Y / X = 0

Y / X = 0.1

0.145 0.03

0.21 0.04

0.32 0.06

0.20 0.07

0.31 0.10

0.22 0.12

Simulation Y / X = 0

TCM + MTS Y / X = 0.1

0.083 0.024

0.18 0.025

0.127 0.032

0.173 0.047

0.13 0.05

0.147 0.09

Simulation Y / X = 0

EIM + MTS Y / X = 0.1

0.04 0.014

0.09 0.015

0.082 0.018

0.106 0.029

0.125 0.044

0.093 0.07

Tableau 1-10: Comparaison des caractéristiques fluctuantes des particules.

TCM+

k -ε

TCM+

MTS

TCM+

k -ω (88)

EIM+

k -ε

EIM+

MTS

EIM+

k -ω (88)

Exp.(1994)

A 0.125 0.15 0.31 0.142 0.177 0.32 0.19

B 12 14 18 15 17 18 12




55

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

V ' p

/

U

p c


transversale fluctuante des particules à x/d=20

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 Y / X

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

V ' p

/

U

p c


transversale fluctuante des particules à x/d=30

0 10 20 30 40 50

X / d

0

2

4

6

8

10

U

f 0

/

U

f c

Figure 1-26-a : Profils axiaux de la vitesse

moyenne de l'écoulement avec et sans particules.

0 10 20 30 40 50

X / d

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

U ' f

/

U

f c

Figure 1-26-b : Profils axiaux de la vitesse

fluctuante de l'écoulement avec et sans particules.

Exp. (1994)

TCM + k -ε

TCM + MTS

TCM + k -ω 88

EIM + k -ε

EIM + MTS

EIM + k -ω 88

Exp. (1994)Monophasique

Exp. (1994)Diphasique

Sim.Monophasique

Sim.Diphasique




56

Les figures 1-23-a, 1-23-b et 1-23-c, présentent respectivement les évolutions radiales des

vitesses longitudinale des particules pour les sections x/d=10, x/d=20 et x/d=30. Les

prédictions de toutes les combinaisons des modèles sont presque identiques pour la première

section, comme pour le cas de l'écoulement porteur. Cependant, pour les deux autres sections,

les prédictions du EIM sont plus proches des résultats expérimentaux que les prédictions du

TCM sur les bords du jet.

Les profils adimensionnels de la vitesse fluctuante longitudinale des particules, normalisée

par la vitesse moyenne des particules sur l'axe, sont représentés sur les figures 1-24-a, 1-24-b

et 1-24-c, pour trois sections différentes, 10d , 20d et 30d . Les figures 1-25-a, 1-25-b et 1-25-c,

présentent respectivement les évolutions radiales des vitesses fluctuantes transversales des

particules pour les sections x/d=10, x/d=20 et x/d=30.D'après les figures 24 et 25, on remarque que les deux modèles de dispersions sous-

estiment largement les valeurs expérimentales. Cependant le Modèle de Corrélation de Temps

fournit les meilleurs résultats en comparaison avec le Modèle d'Interaction de Tourbillon.

Cette remarque peut être déduite du tableau 1-10 où on compare les résultats de nos

simulations avec les valeurs expérimentales de Prevost (1994) et celles de Hardalupas et al.

(1989).

La sous-estimation des résultats des deux modèles de dispersion peut être attribuée auxconditions initiales (Berlemont et al., 1990), au modèle de turbulence de premier ordre

(Sommerfeld and Qui, 1993), ou bien aux résultats expérimentaux (Berlemont et al., 1990;

Chen, 2000). Cependant, dans nos simulations, bien qu‟on ait utilisé des modèles de premier

ordre, seuls les vitesses fluctuantes des particules sous-estiment les valeurs expérimentales,

alors que les vitesses fluctuantes de l‟écoulement porteur présentent une bonne satisfaction

avec l‟expérience (figures 1-19, 1-20, 1-21). Concernant les conditions initiales, elles sont très

bien définies dans l‟expérience, vérifiées et approuvées dans nos simulations. Par conséquent,ces sous-estimations sont attribuées non seulement au modèle de turbulence de premier ordre,

aux conditions initiales, ou aux mesures expérimentales, mais aussi aux modèles stochastiques

de dispersion (Boughattas et al. 2010). Déjà, lors des expériences, on remarque que la

concentration des particules dans la région de l‟axe de symétrie est très grande, et par

conséquent les particules acquièrent une vitesse transversale supplémentaire. Pour contourner

ce problème, Kohnen et Sommerfeld (1998) utilisent la correction de Drift ou de Dérive, qui

n‟est pas prise en considération dans nos simulations, peut être qu‟elle peut corriger cette sousestimation !




57

Le terme de correction de Drift est additionné aux vitesses fluctuantes du fluide „vues‟ par

les particules discrètes. Il est défini par :

y

C v L Drift Drift

2 (1-96)

Où C Drift est égale à 0.25 et ζ 2 représente la variance de vitesse fluctuante ( ' v' v ,' u' u ).

7.3 Couplage entre les deux phases

Comme déjà signalé, notre configuration est classée comme un écoulement dilué. Par

conséquent, la modulation de la turbulence est négligée, et seul l‟échange de la quantité de

mouvement moyenne est pris en considération.

Le profil axial de la vitesse longitudinale de l'écoulement turbulent est présenté sur la

figure 1-26-a, avec et sans particules, en utilisant la combinaison MTS+TCM. Dans la figure

1-26-b, le profil axial de l'intensité de turbulence longitudinale de l'écoulement porteur est

tracé avec et sans particules. On note que les résultats des simulations présentent une

satisfaction acceptable, et sont conformes aux résultats expérimentaux de Prevost (1994) pour

le cas de la décroissance de la vitesse moyenne.À noter, qu‟à partir des simulations qu‟on a réalisées, on a pu remarquer que le modèle

standard et le modèle consistant de la modulation de la turbulence présentent des résultats

identiques pour la prédiction du terme source de l‟énergie cinétique turbulente Spk , cette

constatation a été aussi signalée dans les travaux de Chrigui (2005). Cela est dû bien entendu,

aux diamètres des particules qui sont relativement petits ( 60 µm).

Enfin, la figure 1-27 montre le comportement général des particules et leur dispersion dans

l‟écoulement porteur turbulent. On remarque que le suivi des particules est réalisé en 3D,

mais on peut tracer des résultats en 2D. À signaler que la dispersion dans la 3 eme direction est

due aux corrélations doubles ' v' u .




58

Figure 1-27 : Dispersion des particules dans la phase porteuse turbulente

Conclusion

Comme déjà indiqué, l'objectif de cette première partie est d'évaluer les performances de

cinq modèles de turbulence de premier ordre et de deux modèles de dispersion stochastique,

ainsi que la considération de leurs interactions. Les résultats numériques trouvés ont abouti

aux conclusions suivantes:

Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les évolutions

radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels d‟un jet d‟air incompressible

sont mieux prédites avec les modèles MTS et k -ε avec la correction de Rodi.

Cependant le modèle MTS s'avère plus précis pour la prédiction des paramètres

moyens sur l‟axe du jet, alors que celles de k -ε sont meilleures sur les bords du jet.

0

0.2

0.4

0.6

X ( m )

0

0.005

0.01

Z ( m ) 0

0.02

0.04

0.06

0.08

Y ( m )

X

YZ




59

le modèle k -ω (88) prévoit mal le champ dynamique du jet incompressible ; et même

la correction apportée qui se traduit par le modèle k -ω (98) ne corrige pas

complètement cette insatisfaction.

Les modèles TCM et EIM prédisent les caractéristiques moyennes des paramètresvectoriels des particules, de façon presque identique dans la région de l'axe de

symétrie du jet, alors que sur les bords du jet, le modèle d'interaction de tourbillons

fournit les meilleures prédictions.

Pour ce qui concerne les vitesses fluctuantes des particules, les deux modèles sous-

estiment considérablement les résultats expérimentaux. Cependant, le modèle TCM

fournit les meilleurs résultats en comparaison avec le modèle EIM.

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65

Deuxième partie

Combustion turbulente

en phase gazeuse



Combustion turbulente en phase gazeuse

66


Introduction ..................................................................................................................................... 67

1. Notion de cinétique chimique ................................................................................................ 68

2. Les différents types de flammes ............................................................................................ 70

2.1 Flamme de prémélange .................................................................................................. 71

2.1.1 Flamme de prémélange laminaire ..................................................................... 71

2.1.2 Flamme de prémélange turbulente .................................................................... 72

2.2 Flamme de diffusion....................................................................................................... 75

2.2.1 Flamme de diffusion laminaire .......................................................................... 75

2.2.2 Flamme de diffusion turbulente ......................................................................... 76

2.3 Flamme partiellement prémélangée ............................................................................. 80

3. Modélisation d’une flamme de diffusion turbulente ........................................................... 81

3.1 Équations instantanées de l’aérothermochimie ........................................................... 82

3.2 Traitement statistique .................................................................................................... 86

3.3 Modélisation des flux turbulents (modèle de turbulence) .......................................... 88

3.4 Modélisation du taux de dissipation scalaire (modèle scalaire) ................................. 89

3.4.1 Modèle à échelles égales ...................................................................................... 89

3.4.2 Modèle à échelles non-égales .............................................................................. 90

3.4.3 Modèle à équation de transport de la dissipation scalaire .............................. 91

3.5 Modélisation du taux moyen de réaction (modèle de combustion) ............................ 92

3.5.1 Modèle eddy dissipation ..................................................................................... 92

3.5.2 Modèle de PDF présumée ou conserved scalar equilibrium ........................... 93



5.1 Écoulement turbulent non réactif ................................................................................. 97

5.2 Écoulement à contre courant réactif laminaire ......................................................... 106

5.3 Écoulement turbulent réactif ...................................................................................... 108

Conclusion ..................................................................................................................................... 118

Références ...................................................................................................................................... 119




67

Introduction

La plus part des foyers de combustion (fours industriels, turbines à gaz...) doivent avoir

recours à des systèmes où le combustible et le comburant sont injectés séparément. La

combustion non-prémélangée apparaît en effet plus simple à mettre en œuvre et plus sûre, elle

offre une sécurité accrue en comparaison aux flammes prémélangées. En dépit de ceci, la

simulation des flammes de diffusion est d'un grand intérêt pratique, dans le but d'améliorer les

performances d‟un tel système.

La modélisation de ce type d'écoulement a fait l'objet de diverses publications au cours des

dernières décennies. Malgré le progrès réalisé, beaucoup de questions restent encore à

discuter vu la complexité et la diversification du problème. C‟est une tâche très difficile et

reste incomplète jusqu'à nos jours.

Le modèle k -ε a focalisé l'attention de la plupart des auteurs qui ont travaillé sur le sujet de

la modélisation de l‟écoulement porteur . Concernant le taux de dissipation scalaire, quireprésente la diffusion turbulente de la fluctuation d'un scalaire, et qui est considéré comme le

paramètre le plus important pour la description des flammes de diffusions ; le modèle

standard à échelles égales a été abondamment utilisé. Peu nombreux sont les travaux qui

utilisent un modèle autre que ce dernier. En ce qui concerne la modélisation de la combustion

non-prémélangée, outre le modèle standard de dissipation des tourbillons, ou encore, Eddy

Dissipation Model, plusieurs autres modèles ont été développés (modèle PDF à équation de

transport ; modèle Probabiliste EUlérien Lagrangien ; modèle Conditional Moment

Closure …). Cependant, le modèle de PDF présumée, est le seul modèle de combustion

turbulente qui possède un couplage parfait entre la chimie et le transport moléculaire dans le

cas d‟un grand nombre de Damköhler, à côté de son coût numérique très faible. C‟est pour ces

raisons là qu'il a été adopté dans la présente étude.

Par conséquent, l'objectif de cette partie est de comparer les performances de plusieurs

modèles mathématiques (modèles de turbulence, modèles de dissipation scalaire, modèles de

combustion et méthodes de tabulation chimique) afin d'investir et discuter leurs habilités dansla prédiction d'un jet de propane non réactif, d'une flamme de diffusion turbulente de méthane




68

et d'une flamme de diffusion laminaire de méthane à contre courant. Cependant, une

caractérisation de la combustion apparaît comme étape indispensable à la compréhension des

différentes études menées au cours de ce travail. Par conséquent, on commence par apporter

un compte-rendu non-exhaustif sur les connaissances théoriques générales concernant les

flammes, ainsi que quelques brefs rappels concernant certaines notions utiles pour une

meilleure compréhension de cette étude. Pour plus de détails, on pourra se référer ou se

rapporter aux ouvrages suivants : Borghi & Champion (2000) ; Peters (2000).

1. Notion de cinétique chimique

Un processus chimique de combustion est en fait une succession de coupures et decréations de liaisons entre les molécules. Chaque coupure et/ou création de liaison est une

réaction élémentaire. L‟ensemble des réactions élémentaires constitue le mécanisme cinétique

du processus réactionnel. L‟état final du processus réactionnel correspond à l‟équilibre

chimique, la composition du mélange est alors définie par les lois de la thermodynamique.

Suivant les conditions de température et de pression de l‟état final, des espèces chimiques

apparaissent ou disparaissent. Certaines espèces produites, même en très faible proportion, ont

une grande importance : c‟est le cas de certaines espèces polluantes (oxyde d‟azote,monoxyde de carbone ...).

Les étapes élémentaires sont caractérisées par leur taux de réaction i qui permet de

calculer l‟effet de la réaction sur chaque espèce. k traduit la variation de l‟espèce k au cours

du temps. Le taux de réaction élémentaire est égal au produit d‟une constante de vitesse K ou

appelée aussi constante spécifique de réaction, par les concentrations des espèces réactives,

élevées chacune à une puissance qui correspond à leur coefficient stœchiométrique. La

constante de vitesse dépend de la température et elle est le plus souvent exprimée par une loi

d‟Arrhénius :

T

T exp A

T R

E exp A K aa (2.1)

Où A est un facteur pré-exponentielle, T a la température d'activation, E a l'énergie d'activation

et R la constante des gaz parfaits. L‟énergie d‟activation représente la quantité d‟énergie à

apporter au système considéré pour que les espèces puissent réagir de façon significative.




69

Le processus réactionnel d‟une combustion peut faire intervenir des centaines d‟espèces et

des milliers de réactions élémentaires, pour lesquelles il faut connaître les constantes des lois

cinétiques dont les valeurs sont déterminées expérimentalement. Des logiciels comme

Chemkin (2005) ou Cantera (2005) utilisent des tabulations très détaillées de ces constantes.

Les milliers de réactions élémentaires qui interviennent dans le processus réactionnel

n‟agissent pas toutes à la même vitesse. Certaines ont des taux beaucoup plus forts que

d‟autres. Cette disparité de temps caractéristique permet de bâtir des schémas réactionnels

simplifiés. Ces schémas réduits permettent de diminuer le temps de calcul et sont tout à fait

pertinents lorsqu‟on ne s‟intéresse qu‟à un petit nombre d‟espèces. La façon la plus simple

d‟écrire un processus r éactionnel est d‟exprimer le passage d‟un état initial à un état final,

sous la forme d‟une r éaction globale. Soit, par exemple, pour la combustion d‟un

hydrocarbure dans l‟air:

QO H COO F O H COO F 222 222

Où ’ est un coefficient stœchiométrique et Q le dégagement de chaleur.

Le taux de disparition du carburant (taux de réaction chimique de la combustion) peut

s‟exprimer en utilisant une loi d‟Arrhénius (empirique):

T

T expY Y T AY Y T k ab

O

a

F

bab

O

a

F

ba

k (2.2)

Fuel A E a a b

CH4 1.3 x 108 48.4 - 0.3 1.3

C2H2 6.5 x 1012 30.0 0.5 1.25

C2H4 2.0 x 1012 30.0 0.1 1.65

C2H6 1.1 x 1012 30.0 0.1 1.65

C3H8 8.6 x 1011 30.0 0.1 1.65

Tableau 2-1 : Lois globales pour la combustion de divers hydrocarbures avec l'air

Le tableau 2-1 donne les valeurs de A, E a, a et b, qui sont conseillées par Westbrook et

Dryer (1981) pour différents hydrocarbures. L‟utilisation d‟une réaction globale ne permet

évidemment pas de représenter les processus réels de cinétique chimique.




70

2. Les différents types de flammes

Comme déjà signalé, la combustion est une réaction d‟oxydoréduction irr éversible et

fortement exothermique. Le réducteur est appelé combustible et l‟oxydant est appelé

comburant. Elle se manifeste sous forme de zones de réaction séparant le combustible et le

comburant. Ces zones réactionnelles ou flammes peuvent être de deux types comme la montre

la figure 2-1.

Figure 2-1 : Flamme prémélangée (a) et flamme de diffusion (b), (Veynante & Vervisch; 2002).

Quand la combustion est contrôlée par la diffusion entre réactifs, c'est-à-dire, quand la

combustion se produit en même temps que le mélange du combustible et du comburant, on a

une flamme de diffusion. Quand le comburant et le combustible sont déjà intimement

mélangés lorsque la combustion a lieu, on a une flamme de prémélange. Un troisième régime,

peut être considéré, comme mélange des deux régimes cités ci-dessous, il est appelé flamme

partiellement mélangée. Le tableau 2-2 et la figure 2-2 montre les différents régimes de

combustion ainsi que leurs applications.

Flamme de prémélange Flamme non-prémélangée

TurbulentMoteur à allumage commandé

ou Moteur à essence

Moteur diesel - Moteur de fusée

Four industriel

LaminaireBec bunsen

Cuisinière domestique

Bougie

Briquet

Tableau 2-2 : Différents régimes de combustion et leurs applications (Veynante & Vervisch; 2002)




71

Figure 2-2: Différentes type de flammes (Bockhorn et al; 2009)

2.1 Flamme de prémélange

La flamme de prémélange peut être rencontrée dans plusieurs applications technologiques

telles que les moteurs à allumage commandé. Elle est caractérisée par un front de flamme, qui

se propage dans un prémélange de carburant et d‟oxydant préalablement réalisé, et sépare les

gaz frais et brûlés. Deux zones distinctes composent le front de flamme: une zone de

préchauffage, où les effets diffusifs sont prépondérants aux effets chimiques et la zone de

réaction, où les gaz chauffés à travers la zone précédente réagissent chimiquement et

fournissent l'essentiel du dégagement de chaleur. On note qu‟il est nécessaire d‟initier la

combustion par l‟apport d‟une source de chaleur comme l‟étincelle d‟une bougie.

2.1.1 Flamme de prémélange laminaire

Lorsqu‟on allume un mélange gazeux où le combustible et l‟oxydant sont initialement

mélangés à l‟état moléculaire et au repos, un front de flammes, séparant les gaz frais des gaz

brûlés, se propage dans tout l‟espace à une certaine vitesse, laissant derrière lui les produits de

combustion. Si les gaz réactifs sont initialement placés dans un tube et qu‟on allume le

mélange à une extrémité du tube, un certain temps apr ès l‟inflammation, une flamme plane se

propage à vitesse constante perpendiculairement à l‟axe du tube comme le montrela figure 2-3.




72

Figure 2-3 : Structure et propagation du front de flamme de prémélange laminaire

(Veynante & Vervisch; 2002)

Deux principaux paramètres caractérisent la flamme de prémélange laminaire : sa vitesse

(S L) et son épaisseur (δ L). La vitesse de propagation représente la rapidité du front de flamme

à se déplacer et consommer le mélange de gaz frais. L'épaisseur correspond à la distance pour

laquelle les gaz frais sont amenés vers leur température d‟inflammation représente l‟épaisseur

de la zone de dégagement de chaleur.

2.1.2 Flamme de prémélange turbulente

La structure du front de flamme peut être modifiée par la turbulence de l‟écoulement

indépendamment des phénomènes d‟instabilité, et engendre ou donne naissance à une flamme

plissée. Ceci provoque des variations dans la vitesse instantanée de déplacement du front de

flamme et par conséquent accroître la vitesse de libération de l'énergie, et provoque une

augmentation de la surface de la flamme. La flamme plissée est constituée de flammelettes de

type laminaire, d‟épaisseur constant δ L (Figure 2-4), plissées et étirées par la turbulence.

L‟épaisseur turbulente δT est l‟espace qu‟occu pe en moyenne ces flammelettes plissées.Elle est considérée comme l‟épaisseur moyenne de la flamme turbulente.

É aisseur de réaction r

Mélangefrais

F+O

Gaz brûlés

P

Zone de préchauffage

SL

F + O P

Zone de réaction (flamme)

Épaisseur thermique L

≈ 10 r

Température

Fuel

Ox.

Taux de réaction




73

Plusieurs phénomènes régissent les flammes turbulentes de prémélange. Ces phénomènes

sont traduits sous forme d‟équations bilans. Ce sont les équations de conservation de la masse,

des espèces, de la quantité de mouvement et de l‟énergie. Cependant, le système d‟équations

ainsi obtenu n‟est pas fermé.

Figure 2-4 : Structure du front de flamme de prémélange turbulente (Veynante & Vervisch; 2002).

Beaucoup d‟auteurs ont donc recherché des modèles basés sur des approches physiques des

phénomènes comme le modèle eddy-break-up ou EBU (Mason & Spalding, 1973), le modèledes flammelettes ou modèle BML (Bray Moss Libby) (Bray & Moss, 1977, Libby & Bray,

1980, Bray et al., 1981, Bray et al., 1988, Bray, 1990), le modèle de densité de surface de

flamme (Pope, 1988 ; Candel & Poinsot, 1990 ; Trouvé & Poinsot, 1994 ; Vervisch et al.,

1995 ; Veynante et al., 1996), le modèle de fermeture conditionnelle du moment, ou en

anglais Conditional Moment Closure (CMC) (Swaminathan & Bilger, 2001a, 2001b), le

modèle basé sur la dissipation scalaire (Mantel & Borghi, 1994 ; O‟Young & Bilger, 1996 ;

O‟Young & Bilger, 1997) ou le modèle basé sur l‟enthalpie sensible et sur des équationsdifférentielles de second ordre couplées décrivant des concentrations d‟espèces (Abou-Ellail

et al., 2000).

Les régimes de combustion de prémélange sont présentés dans le diagramme de Borghi

(Figure 2-5). Il constitue le diagramme le plus souvent rencontré dans la littérature. On

distingue 3 grands types de flammes suivant la valeur de deux nombres caractéristiques de la

turbulence qui y règne ( u‟/S L ; Le/δ L) et trois nombres adimensionnels (nombre de Reynolds

turbulent ; nombre de Damkhöler ; nombre de Karlovitz) définis comme suit :

Zone deréaction

Gaz brûlésST Mélange

frais

δT

Flamme




74

Le nombre de Reynolds turbulent, Ret , compare l‟intensité de l‟agitation

turbulente aux forces visqueuses.

et

Lu'Re (2.3)

Le nombre de Damkhöler, Da, compare le temps caractéristique de la turbulence

τ L avec celui de la réaction chimique τc.

L

Le

c

L S

u

L Da

' (2.4)

Le nombre de Karlovitz, Ka, compare le temps caractéristique des structures

turbulentes les plus rapides (tourbillons de Kolmogorov) η k avec celui de la

réaction chimique η c.2123

'

e

L

L K

c

LS

u Ka

(2.5)

Il est à noter que ces trois nombres sont reliés par la relation suivante :

22 Ka Da Ret (2.6)

Figure 2-5 : Diagramme de combustion prémélangée (Borghi & Champion, 2000)

Les trois familles sont :

Flammes plissées : la propagation laminaire de la flamme prédomine et l‟interaction

avec la turbulence reste faible.




75

Flammes épaissies : les zones de préchauffage et de réaction sont perturbées par la

turbulence.

Entre les deux, les flammes que l‟on peut appeler plissées-épaissies, où des

extinctions locales sont possibles. Les structures turbulentes sont capables de

pénétrer la zone de préchauffage et de l‟épaissir.

2.2 Flamme de diffusion

Le carburant est à contre courant de l'oxydant et la flamme se positionne entre les deux.

Contrairement à la flamme de prémélange, c'est la diffusion du carburant et de l'oxydant qui

contrôle la combustion et par conséquent, la flamme de diffusion ne se propage pas et n'a pas

d'épaisseur caractéristique. La combustion non-prémélangée apparaît, en effet, plus simple à

mettre en œuvre et plus sûre. Elle est souvent décrite à l'aide d'un paramètre, appelé fraction

de mélange et noté Z . il s'agit d'une richesse normalisée, variant de 0 dans l'oxydant jusqu'à 1

dans le carburant.

2.2.1 Flamme de diffusion laminaire

La structure d‟une flamme de diffusion laminaire est schématisée sur la figure 2-6. La

fraction massique d‟oxydant est maximale dans l‟oxydant pur et diminue car l‟oxydant se

mélange aux produits de combustion. Il n‟y a plus d‟oxydant au niveau de la flamme, car la

réaction chimique l‟a intégralement consommé. L‟évolution est la même pour le combustible.

Les fractions massiques de l‟oxydant et du carburant sont des fonctions linéaires par

morceaux, en fonction de la fraction de mélange seulement. Cette analyse a été proposée parBurke et Schumann, 1928 comme le montre la figure 2-7.

Dans ce type de flamme, la zone de réaction est plus épaisse que celle d‟une flamme de

prémélange. Cependant, les flammes de diffusion comme les flammes de prémélange se

développent grâce au concours des phénomènes de réaction ainsi que des phénomènes de

diffusion de chaleur et de masse qui se produisent de part et d‟autre de la zone réactive.

Toutefois, les phénomènes de convection jouent un rôle plus important en amenant les réactifs

et en emportant les produits.




76

Figure 2-6 : Structure d’une flamme de diffusion laminaire (Veynante & Vervisch; 2002).

Figure 2-7 : Structure d’une flamme de diffusion ‘Burke-Schumann’

2.2.2 Flamme de diffusion turbulente

Les flammes turbulentes non-prémélangées se rencontrent dans l‟industrie, le plus souvent

dans les brûleurs à gaz (un jet de gaz combustible est injecté au centre d‟un écoulement d‟air

de même direction, et, après allumage, la combustion se développe sous la forme d‟uneflamme semblable à celle d‟un briquet, mais turbulente). Ces flammes sont caractérisées par

FuelOx

Zone de réaction

Température

FuelOx.

Taux de réaction




77

trois grandeurs intéressantes en pratique, à savoir la longueur de la flamme (à partir du début

du brûleur), son domaine de stabilisation (en fonction des paramètres de réglage, vitesse des

gaz, richesse globale du mélange, …), et la quantité globale des différents produits qui

peuvent être libérés par la flamme, ou le niveau maximal de la température atteint au cœur de

celle ci. Dans ce type de flamme, la turbulence joue un rôle indispensable pour mélanger le

plus rapidement possible les gaz en présence. Toutefois, les réactions chimiques auront lieu à

l‟échelle moléculaire, par conséquent il est nécessaire que la diffusion moléculaire entre en

jeu. D‟où la nécessité d‟observer les grandeurs fluctuantes.

En ce qui concerne la modélisation de la combustion non-prémélangée, outre le modèle

standard Eddy Dissipation Model de Magnussen et Hjertagrer (1977), extensivement utilisé

dans les codes de calcul industriels vu sa simplicité, plusieurs autres modèles ont étédéveloppés. Parmi lesquels, on peut citer les plus utilisés, notamment, le modèle des

flamelettes de Peters (1984), le modèle PDF à équation de transport de Pope (1985), le

Modèle Intermittent Lagrangien (MIL) de Borghi et al (1986, 1988) et le modèle Conditional

Moment Closure (CMC) proposé indépendamment par Klimenko (1990) et Bilger (1993). Le

modèle des flamelettes suit l'approche de conservation de scalaire (conserved scalar approach)

et utilise une banque de données et une approche de PDF présumée.

Concernant la structure d‟une flamme de diffusion turbulente dans l‟hypothèse du régimeflamelette, elle est supposée constituée de plusieurs flammelettes dont l‟épaisseur est plus

petite que toutes les échelles de la turbulence. Ces flammelettes sont alternativement plissées,

étirées et comprimées par la turbulence comme le montre la figure 2-8.

Figure 2-8 : Présentation du front de flamme turbulent par une collection de flammelettes.




78

Partant de cette idée, il est alors possible d‟étudier séparément ces zones de réactions

(les flammelttes) et de calculer leur structure interne, en prenant en compte tous les détails

d‟une chimie complexe, et ceci à travers les résultats obtenus dans une configuration

d‟écoulement à contre courant laminaire, figure 2-9.

Figure 2-9 : Schématique d'une flamme de diffusion à contre-courant laminaire.

Concernant les régimes de combustion non-prémélangée, il est difficile de les distinguer,

vu que la flamme de diffusion ne se propage pas, et par conséquent, n‟a aucune caractéristique

de vitesse. D‟autant plus que, la flamme de diffusion ne possède aucune échelle de longueur

fixe de référence, et l‟épaisseur de la flamme est caractérisée par la fraction de mélange locale

qui se développe instantanément entre l‟oxydant et le carburant. Cependant, on peut les

classer suivant le nombre de Damkhöler.

Pour Da 1, c'est-à-dire que la taille des tourbillons est plus petite que l‟épaisseur du front

de flamme. Ces petits tourbillons encouragent ou favorisent le processus de transport dans le

front de flamme et ils entraînent un intense mélange et une réaction soutenue. Ce régime peut

être appelé régime de distribution de la zone de réaction (Distributed reaction zone regime).

Pour Da 1, c'est-à-dire lorsque la combustion est plus rapide que le mélange, le régime

est désigné comme régime de Flamelette. Dans ce régime, la turbulence a un effet négligeable

sur le front de flamme. Ces deux régimes sont schématisés dans la figure 2-10.




79

Figure 2-10 : Effets de la turbulence sur la zone de réaction.

Dans la littérature, plusieurs propositions du diagramme de combustion des flammes de

diffusion peuvent être trouvées (Libby et Williams, 1994 ; Cuenot et Poinsot, 1994 ; Peters,

2000 ; Borghi et Champion 2000), néanmoins, aucun compromis n‟a été établi et le sujet

présente un aspect controversable dans la communauté scientifique.

Dans la présente étude, le diagramme de Borghi est présenté dans la figure 2-11.

Figure 2-11 : Diagramme des flammes de diffusion turbulentes dans le plan ( Da, Ret )




80

En dessous d'un certain nombre de Damkhöler Da, le mélange est plus rapide que la

chimie, de ce fait, les fluctuations de richesse et de température ont le temps de périr. Par

conséquent, il est impossible de rencontrer des structures de flammes laminaires. C'est

l‟unique cas où le taux de réaction moyen peut être calculé en utilisant les valeurs moyennes

des fractions massiques et de la température directement dans la loi chimique. Au contraire, si

le nombre de Damkhöler est très élevé, la réaction chimique est toujours en équilibre. En

dessous d'un nombre de Reynolds critique Ret *, les flammes laminaires sont plissées et étirées,

c'est le domaine où l'on applique les modèles de flammelettes. Au dessus de ce nombre

critique, la flamme se plisse tellement qu'il y aura des interactions entre les flammelettes.

Elles pourront se rejoindre et se recouper, ce qui devrait changer le taux de réaction local. Il

faut toutefois, tenir compte de toutes les échelles de la turbulence, quand le nombre de

Damkhöler diminue peu à peu, certaines échelles de temps de la turbulence entament

l‟interaction avec la flamme, et à l'éteindre localement par étirement. C'est le rôle de la droite

limite qui compare le temps chimique η c aux échelles de temps les plus petites de la

turbulence η K , celles de Kolmogorov qui sont les premières à interagir avec le front de flamme

laminaire.

Bien que cette classification paraisse très intéressante, son utilité n‟est pas très grande en

pratique pour deux raisons. D‟une part, les limites sont floues et les lois représentant les

propriétés des flammes ne sont pas bien connues. D‟autre part, il est très difficile de pouvoir

représenter un cas pratique comme un point dans ce plan.

2.3 Flamme partiellement prémélangée

La combustion partiellement prémélangée prend place lorsque le carburant et l‟oxydant

sont mélangés ensemble, volontairement ou involontairement, avant la réaction (Figure 2-12).

Ce type de flamme peut apparaître dans les zones de recirculation des brûleurs de diffusion.

Dans la pratique, ce type de flamme peut être utilisé comme une stratégie pour éviter les

inconvénients et maintenir les avantages des deux modes de combustion mentionnées ci-

dessus. Dans plusieurs fours, le carburant est partiellement prémelangé avec l‟air avant

d‟entrer dans la chambre de combustion. Pareillement, dans les turbines à gaz, on trouve

souvent un prévaporisateur qui permet de mélanger la vapeur du combustible avec l‟oxydant.

Cela permet de réduire jusqu'à 35 des émissions de NOx et jusqu'à 60 des émissions de

CO (Blum, 2005).




81

Figure 2-12 : Flamme de diffusion liftée de type jet.

3. Modélisation d’une flamme de diffusion turbulente

En mécanique des fluides, le mouvement d‟un écoulement est soumis aux équations bien

connues sous le nom de „Navier -Stokes‟. L‟équation de bilan de l‟énergie, qui est la forme du premier principe de la thermodynamique, est aussi nécessaire pour des écoulements où la

masse volumique peut varier, et à plus forte raison encore si des transferts de chaleur sont

susceptibles de se produire. La chimie impose en plus, de tenir compte des bilans de masses

des espèces présentes, qui peuvent non seulement être soumises à des réactions mais aussi à

des phénomènes de diffusion. Ces équations traduisent les bilans des différentes grandeurs

caractéristiques d'un gaz réactif . Ce sont les équations de l‟aérothermochimie. D'autant plus

que, la modélisation de la combustion non-prémélangée ou partiellement prémélangée dansdes milieux purement gazeux s‟effectue généralement grâce à un scalaire conservatif: la

fraction de mélange Z .

Nous exposons dans un premier temps le système d'équations de bilan instantanées des

scalaires évoluant dans un écoulement monophasique turbulent réactif (la partie dynamique à

été traitée dans la première partie). Nous aborderons ensuite leurs traitements statistiques ainsi

que la modélisation de leurs fluctuations. Une récapitulation des équations moyennées et

modélisées sera établie à la fin.




82

3.1 Équations instantanées de l’aérothermochimie

Équation bilan des espèces :

k

j

k

j

j

k jk

x

J

x

Y u

t

Y

(2. 7)

Avec k = 1,2,3… N , N est le nombre des espèces, k représente le taux de production de

l‟espèce k par unité de volume. Y k est la fraction massique de l'espèce k définie par:

k k k k

k X W

W

m

mY

(2.8)

X k , W k et W représente respectivement la fraction molaire, la masse molaire de l'espèce k et la

masse molaire moyenne du mélange.

k j J désigne le flux de diffusion moléculaire de l‟espèce k . Dans la majorité des cas, l‟effet

Soret et la baro-diffusion sont négligeables. On obtient alors la loi de Fick:

j

k

k j

k k

k j

x

Y

Sc x

Y D J

(2.9)

Soit une nouvelle écriture de l‟équation de conservation des espèces :

k

j

k k

j

k

j

k

k j j

k jk

x

Y D

x x

Y

Sc x x

Y u

t

Y

(2.10)

Sck et Dk représentent respectivement le nombre de Schmidt de l‟espèce k et le coefficient de

diffusion moléculaire de l‟espèce k .

Équation de transport de l’énergie en terme d’enthalpie :

Le bilan énergétique peut être décrit en utilisant l'enthalpie massique h, qui est définie par:

N

k k k hY h

1

(2.11)

Sachant que l'enthalpie spécifique a l'espèce k ne dépend que de la température:

dT T pC hh k

T

T ref ,k k

ref

(2.12)

Où C pk est la chaleur spécifique de l'espèce k . Celle du mélange est donnée par:

N

k k k CpY Cp

1 (2.13)




83

h j J désigne le flux de diffusion d'enthalpie défini par :

N

k

k jk

j

h j J h

x

h

Cp J

1

(2.14)

Sachant que l‟effet Dufour est négligeable et que λ est un coefficient de conduction de lachaleur défini par :

Pr

pC (2.15)

Où Pr est le nombre de Prandtl du mélange.

Dans le cas d‟un constituant unique, les flux d‟espèces k j J dus à la diffusion moléculaire

sont nuls et on obtient la loi de Fourier :

j j

h

j x

T

x

h

Cp J

(2.16)

L'équation de l'enthalpie peut être écrite, en l‟absence de rayonnement, comme suit

(Peters, 2000) :

N

i

iii j

j

Y grad DCp

divhh grad Cp

divt

P hu

xh

t 1

(2.17)

Dans le but de simplifier la présente équation, on suppose que le nombre de Lewis est égal

à 1 ( D1 = Dk , cas pour la plupart des gaz, sauf l‟hydrogène qui fait l'exception), ainsi

que 0t

P

. On peut obtenir une écriture simplifiée de l‟équation de conservation de

l'enthalpie:

j j j j

j

j x

h D

x x

h

Pr xhu

xh

t 1

(2.18)

Sachant que D1 représente le coefficient de diffusion donné par :

Cp D

1 (2.19)

Équation de transport de la fraction de mélange :

La variable de la fraction de mélange notée Z a été trouvée particulièrement appropriée

pour étudier les problèmes des flammes de diffusion turbulent (Bilger 1980; Peters 2000).C'est un scalaire passif conservé (scalaire qui est ni détruit, ni crée par la réaction chimique).




84

Pour définir la variable de la fraction de mélange, écrivons tout d‟abord la réaction

élémentaire ou globale de la combustion d‟un hydrocarbure dans l‟air.

O H COO F O H COO F 222 222

Soit 22222424

xN m

nO H m

COn xN Om

n H C mn

Avec x = 79/21 = 3.76

Le diazote ou le N 2 ne prend pas part à la réaction de la combustion, c‟est une espèce inerte.

Soit encore, on peut écrire :

produitsde Kg oxydant ' d Kg Fuel de Kg 11

F et2

O sont les coefficients stœchiométriques du fuel et de l‟oxygène. représente le

rapport massique stœchiométrique oxygène/fuel. Il est défini par:

F F

OO

W

W

22 (2.20)

Avec W k , la masse molaire de l'espèce k .Le rapport d‟équivalence fuel/air est défini par :

2

1

2

1

22

22

,O

, F

,O F F

, F OO

Y

Y

Y W

Y W

(2.21)

Les indices (1) et (2) caractérisent respectivement ici le combustible ou le carburant et

l‟oxydant ou le comburant.

Sachant que :Y F,1 = 1 ; Fraction massique du fuel dans le combustible.

Y O2,2 = 0.232 ; Fraction massique de l‟oxygène dans l‟air .

L‟expression de Z est donnée par:

1

12

,OO F,1 F 22Y Y Y Y

Z (2.22)

2

2

,O F,1

,OO F

2

22

Y Y

Y Y Y

Z

(2.23)




85

Puisque le mélange stœchiométrique est défini lorsque le combustible et l‟oxydant s‟annulent

conjointement par consommation totale de l‟un et de l‟autre, cad :2O F Y Y

Donc

1

1

1

1

2

2

2

,O

F,1 ,O F,1

,O

st

2

2

2

Y Y Y Y

Y Z (2.24)

Le tableau 2-3 fournit la fraction de mélange stoechiométrique pour divers hydrocarbures.

Fuel Hydrogène Méthane Ethane Etylène Propane Acétylène Heptane

H2 CH4 C2H6 C2H4 C3H8 C2H2 C7H16

Z st 0.0284 0.0549 0.0586 0.0635 0.0601 0.0702 0.0621

Tableau 2-3 : Fraction de mélange stœchiométrique pour divers hydrocarbures

Sachant que, si Z < Z st , on a un mélange pauvre, et si Z > Z st , on a un mélange riche.

Le choix de ces conditions pour les indices (1) et (2) implique que Z = 0 dans l‟oxydant

pur et Z = 1 dans le combustible pur. Compte tenu de cette définition, la fraction de mélange Z

est égale à la fraction massique de combustible lorsque le mélange n‟a pas encore réagi,

c‟est-à-dire dans les gaz frais.

L'équation d‟évolution de la fraction de mélange Z s‟écrit:

j j

j

j x

Z D

x Z u

x Z

t 1

(2.25)

Équation d'état :

A ces équations bilan précédentes, nous rajoutons l'équation d'état des gaz parfaits qui s'écrit:

N

k k

k

W

Y T R

W

1T R P

1

(2.26)

Où R représente la constante des gaz parfaits ( R=8.314 J mol-1 K -1); et W désigne la masse

molaire moyenne.




86

3.2 Traitement statistique

La résolution des équations de transports est prohibitive. Dés lors, l'approche statistique

parait naturelle et ce sont les valeurs moyennes et les écarts types qui permettent de définir

l'écoulement. Reynolds (1883) fut le premier à décomposer une variable aléatoire en une

moyenne et une fluctuation selon la relation:

' Avec 0' (2.27)

Pour les écoulements à masse volumique variable, et spécialement en combustion, on

utilise couramment une moyenne pondérée par la masse volumique (moyenne de Favre,

1965), qui permet de s'affranchir des corrélations avec la masse volumique.

Cette décomposition est définie par:

~ Avec

~

et 0

)~

( ~ (2.28)

Pour obtenir les équations d‟évolution des quantités moyennes, on applique l‟opérateur de

moyenne aux équations de transports des scalaires exactes (2.7), (2.18) et (2.25). On obtient :

Équation de transport de la fraction massique des espèces moyennées:

k

~

jk

j j

k

k j

k j

j

k

~uY

x x

Y ~

Sc xY ~

u~

xY ~

t

(2.29)

Équation de transport de l'enthalpie moyennée :

~

j

j j j

j

j

uh x x

h~

Pr xh~

u~

xh~

t

(2.30)

Équation de transport de la fraction de mélange moyennée :

~

j

j j j

j

j

u Z x x

Z ~

D x

Z ~

u~

x Z ~

t

(2.31)

Équation d'état moyennée :

L'application de l'opérateur moyenne à l'équation d'état des gaz donne:

k

k

1ik k W

1Y T Y

~T ~

R P

(2.32)

Cette équation est utilisée pour calculer la densité, alors que la pression est calculée par

l‟algorithme SIMPLE qui relie l‟équation de continuité et l‟équation de quanti té de

mouvement (décrit dans la première partie).




87

Pour le calcul de la densité, il y a trois méthodes:

1ere méthode : pour les jets où les deux gaz sont identiques :

Dans ce cas, on utilise l'équation d'état avec la simplification que la masse molaire est

constante, on aura donc :

W

1T ~

R P (2.33)

Subséquemment :

W

1T ~

R

P (2.34)

Par conséquent, la densité ne varie qu‟en fonction de la température.

2eme méthode : pour les jets où les deux gaz ne sont pas identiques:

Dans ce cas, on aura deux méthodes: la première, où la densité ne varie qu'en fonction de lafraction massique, alors on utilise la fonction de partage. La deuxième où la densité varie en

fonction de la fraction massique et de la température, alors on utilise l'équation d'état:

* équation de partage:

a

k

k

k Y ~

Y ~

11 (2.35)

Où ρa est la densité de l'air ambiant et ρk est la densité du fluide dans la buse.

* équation d'état:

k

k

1ik k W

1Y T Y

~T ~

R P

(2.36)

k

1ik

k

k

k

1ik k

W

Y ~

T ~

R

P

W

1Y T Y

~T ~

R

P (2.37)

Une fois écrites, les équations pour les bilans moyens, surgissent une difficulté bien connue.

En effet, le système que forment ces équations est non fermé du fait de la présence de termesinconnus qui sont:

~

jk uY : Flux turbulent de la fraction massique de combustible.

~

juh : Flux turbulent de l'enthalpie massique.

~

ju Z : Flux turbulent de la fraction de mélange.

k

~ : Taux moyen de réaction chimique.




88

3.3 Modélisation des flux turbulents (modèle de turbulence)

L'hypothèse de Boussinesq (1877) ou encore l'hypothèse de transport par gradient permet

d'écrire:

j

k

t

t ~

jk x

Y ~

ScuY

; jt

t ~

j x

h~

Pr uh

; jt

t ~

j x

Z ~

Scu Z

(2.38)

Où Sct et Pr t représente respectivement le nombre de Schmidt et de Prandtl turbulent.

Par conséquent l'écriture des équations de transport modélisées de l'enthalpie, de la fraction de

mélange et de la fraction massique des espèces, sont les suivantes:

Équation de transport de la fraction massique des espèces modélisée :

k

j

k

t

t

k j j

k jk ~

x

Y ~

ScSc x x

Y ~u~

t

Y ~

(2.39)

Équation de transport de la l'enthalpie moyennée et modélisée:

jt

t

j

j

j x

h~

Pr Pr xh~

u~

xh~

t

(2.40)

Équation de transport de la fraction de mélange modélisée:

jt

t

j j

j

x

Z ~

ScSc x x

Z ~

u~

t

Z ~ (2.41)

Équation de transport des fluctuations d'un scalaire moyenné :

L'équation de transport de la variance de la fraction de mélange est nécessaire lors de l'étude

des flammes de diffusion. L'équation de transport des fluctuations d'un scalaire

( 2T ~ , 2Y

~ et 2 Z ~ ) est donnée par:

n Dissipatio

~

j j

oduction Pr

j

~

j

~

j

"

j j j j

j

x x x

~

uu x x

~

x x

~u~

t

~

22

2

222

(2.42)

Les équations de transport de fluctuation d'un scalaire contiennent deux termes non

modélisés; un terme de production et un terme de dissipation. Le terme de production est

modélisé à l'aide d'un modèle de turbulence de premier ordre. Il est donné par:

2

2

j

t

x

~

P

(2.43)




89

Concernant le terme de dissipation, ou plus précisément le taux de dissipation scalaire moyen,

noté ~ , paramètre clef pour la description des flammes de diffusion, il est défini par :

2222

~ D

x x

~

~

j j

(2.44)

Soit une autre écriture de l‟équation de transport des fluctuations d'un scalaire:

~

x

~

x

~

x x

~u~

t

~

jt

t

jt

t

j j

j

2

222

2 (2.45)

Plusieurs modèles sont proposés dans la littérature pour modéliser le taux de dissipation

scalaire moyenne ~ .

3.4 Modélisation du taux de dissipation scalaire (modèle scalaire)

Le taux de dissipation instantané de la fraction de mélange représente l‟état local du

mélange et joue un rôle particulier dans la détermination de l‟épaisseur de la flamme

laminaire.

3.4.1 Modèle à échelles égales

Le modèle algébrique classique du taux de dissipation scalaire est basé sur l'hypothèse de

la proportionnalité des échelles caractéristiques temporelles et spatiales du champ dynamique

et scalaire. Les échelles temporelles et spatiales dynamique sont respectivement η u ~ k /ε et

Lu ~ k 3/2/ε. Les échelles temporelles et spatiales scalaire sont respectivement :

~

~

~ s

2

2/3

2/12/32

~

~

~

s L (2.46)

Supposer η u = η s ou Lu = L s permet d‟écrire :

2

~

k Cte~ (2.47)

La constante Cte ou plus précisément le rapport des échelles du temps dynamique et

scalaire ~ /

~ / ~ / k

~ / R su

2 est égale à 2 (Jones et Whitelaw, 1982). Cependant,

les mesures expérimentales d‟un jet d‟hélium (Panchapakesan et Lumley, 1993) ont montréun comportement variant de la constante Cte autour de la valeur de 1.5.




90

Déjà, Pfuderer et al. (1996) ont adopté la valeur de 1.5 lors de leurs simulations pour la

modélisation d‟une flamme de diffusion H2/N2/air. Dans la présente étude, la valeur de la Cte

est prise égale à 2. L‟hypothèse d'égalité des échelles conduit ou implique un nombre de

Schmidt turbulent fixe. Ce nombre est défini comme le rapport de la viscosité turbulente

νt ~ k 2/ε et la diffusivité turbulente

2

22

~

~

~

s .

3.4.2 Modèle à échelles non-égales

Pour surmonter la défectuosité du modèle précédent, Yoshizawa (1988) a développé un

modèle basé sur l'approximation d'interaction directe de deux échelles (Two scale Direct

Interaction Approximation, TSDIA). Ce modèle n'assume pas l'égalité des échelles et il est

compatible avec les modèles de turbulence à deux équations. Il consiste essentiellement en de

nouvelles expressions pour la diffusivité turbulente et le taux de dissipation scalaire, sachant

qu‟il a été montré, sur des études dimensionnelles, que ces deux paramètres sont corrélés.

Ce modèle permet d'écrire:

212~~ (2.48)

Avec 21

00

e Du , sachant que De représente le diamètre effectif défini par:

buse

a

k busee D DS D

21

21

(2.49)

Les coefficients λ1 et λ2 devraient avoir des valeurs appropriées. En lui considérant le

comportement de similitude des variables dans un jet rond, il a été montré que les constantes

devraient vérifier λ1 + 2 λ2 = 2 (Sanders, 1994). Les calculs exploratoires ont prouvé que la

plus grande influence sur la solution a été exercée par λ1 ce qui a mené au choix de λ1 = 1 et

par conséquent λ2 = 0.5. Ces valeurs différentes de celles indiquées par Yoshizawa (1988)

λ1 = 1.2 et λ2 = 0.306, qui sont fondées sur l‟hypothèse que la turbulence est complètement

régie par l‟intervalle à inertie du spectre.

La valeur de Ø 0 (grandeur adimensionnelle) est prise égale à 5 dans les simulations de

Hidouri et al (2003). Sanders (1994) a adopté la valeur de 4 pour Ø 0, alors que la valeur

utilisée par Gazzah et al. (2005) est de 7. Dans cette étude, la valeur de Ø 0 est prise égale

à 6.5 ; Sachant que les auteurs, cités ci-dessus, ont utilisé un code de calcul parabolique.




91

3.4.3 Modèle à équation de transport de la dissipation scalaire

Ce type de modèle présente une amélioration quand à la fermeture des équations de bilan.

Cependant, plusieurs versions de l‟équation de transport de ~

peuvent être trouvées dans lalittérature, puisqu‟il a fait l‟objet de nombreux travaux de recherches. De plus, sa mise en

œuvre numérique reste délicate.

Les différentes équations proposées, diffèrent entre elles par l‟addition des termes

supplémentaires ou la modification des constantes. Son expression générale est donnée par :

k C ~C P

k C P ~C

x x x

u~

D Dk P ~ P

jt

t

j j

j

22

2

1221 2

(2.50)

P k ou G représente le terme de production de l‟énergie cinétique (équation 1-64).

2 ~ P représente le terme de production de fluctuation d‟un scalaire :

2

jt

t

j

~

j~

x

~

x

~

u P

222 (2.51)

Les coefficients ou les constantes des différents modèles suivant les différents auteurs sont

données dans le tableau 2-4, sachant qu‟on a proposé ou ajuster deux constantes différentes, et

que le nombre de Reynolds turbulent est donné par C

k Ret 12

. Les deux constantes

proposées pour ce travail, sont référées par Modèle A et Modèle B dans le tableau 2-4.

Tableau 2-4 : Coefficients dans l’équation du taux de dissipation scalaire suivant différents auteurs.

C P 1 C P 2 C D1 C D2

Mantel et Borghi (1994)

2 f ~

k

1 21

6250 /

t Re. 2190

/

t Re.

Sanders et al. (1996) 1 0.725 1 0.95

Chen (1987) 0,5 1.45 1.15 0.6

Jones et Musonge (1988)

2 f ~

k

1.45 1 0.9

Modèle A 1.02 1.65 1.45 0.9

Modèle B

2 f ~

k

0.3 21

1950 /

t Re. 21210

/

t Re.




92

3.5 Modélisation du taux moyen de réaction (modèle de combustion)

Il s'agit de calculer le taux moyen de réaction ~ . Cependant, la relation

T ,Y ~ k = T ~ ,Y ~k ne peut être validée car T ,Y ~ k est une fonction fortement non linéaire

des concentrations des espèces et de la température, d'où la nécessité d'un modèle de

combustion. Dans cette étude, deux modèles de combustion sont discutés.

3.5.1 Modèle Eddy Dissipation

Le modèle de dissipation des tourbillons ou encore „Eddy Dissipation Model‟ (EDM) de

Magnussen et Hjertagrer (1977) est basé sur une hypothèse de réaction unique et globale

infiniment rapide (temps chimique très faible par rapport aux autres temps liés à

l‟écoulement). C'est une extension du modèle Eddy Break Up (EBU), développé à l'origine

par Spalding (1971) pour modéliser la combustion prémélangée, et utilise une technique de

fermeture du terme de production basée essentiellement sur des résultats expérimentaux.

Ce type de fermeture s‟appuie sur le principe et l‟hypothèse que le taux de réaction est

contrôlé, en moyenne, par le mélange turbulent, ce qui entraîne que le terme de production

k

~ est proportionnel à l‟inverse du temps turbulent τ L. Par conséquent, le taux de

consommation du fuel est spécifié comme une fonction des propriétés locales de

l‟écoulement. Le modèle considère le taux de dissipation du fuel, de l‟oxydant et des produits

de combustion, et prend le taux le plus bas comme étant le taux de réaction du fuel.

Le taux de réaction est défini par:

1

2

Pr O

F

Y ~

AB ,Y ~

A ,Y ~

Amink ~

~~ (2.52)

Où A et B sont deux constantes empiriques. Ces constantes sont données respectivement par

A=4 et B=0.5. Dans cette formule, il est difficile de justifier le facteur

„

12

Pr O

F

Y ~

AB ,Y ~

A ,Y ~

Amin ‟, mais les résultats qualitatifs de cette formule restent réalistes.

En effet, le modèle Eddy Dissipation présente des prédictions assez raisonnables et il est très

facile à implanter dans les codes de calcul du fait de sa simplicité. D‟autant plus que, son coût




93

numérique, qui est très faible. Cependant, ces performances dépendent beaucoup des

performances du modèle de turbulence.

La chaleur libérée par une réaction chimique est donnée par l‟expression suivante :

R F P H Y T C h (2.53)

Donc la température est calculée à l‟aide de l‟enthalpie h (résolue à l‟aide d‟une équation de

transport), à travers l‟expression suivante :

P

R F

C

H Y hT

(2.54)

Où H R est la chaleur de réaction (heat of reaction, Dégagement de chaleur par unité de masse

de carburant consommée en J.kg-1) et C P est la chaleur spécifique du mélange donnée par

l‟équation 2-13. La chaleur spécifique des différentes espèces est obtenue à l‟aide d‟un

polynomiale de la forme :

4

4

3

3

2

2

1

10 T aT aT aT aaCpk (2.55)

Les constantes a0, a1, a2, a3, a4 sont spécifiques pour chaque combustible et sont données dans

un tableau dans l‟annexe D, ainsi que la chaleur de réaction H R.

Puisque la fraction massique du fuel et la fraction de mélange sont calculées à l‟aid e des

équations de transport, les fractions massiques des différentes espèces sont obtenues à l‟aide

de relations stœchiométriques, elles sont détaillées dans l‟annexe C.

Concernant le méthane CH4, gaz utilisé dans ce travail, le rapport stœchiométrique

oxygène/fuel est égal à 4, et on a :

2330233442

. Z .Y Y F O (2.56)

F O H Y Z .Y 2522

(2.57)

F CO Y Z .Y 7522

(2.58)

Z .Y N 176702

(2.59)

F Pr Y Z Y 5 (2.60)

3.5.2 Modèle de PDF présumée ou conserved scalar equilibrium

Cette méthode, autant efficace que rapide, est basée sur la combinaison des équations de

transport et de la fonction de densité de probabilité ou PDF et où le champ scalaire et le




94

champ dynamique sont découplés. En effet, Dans ce modèle, et dans la prétention de

simplification que la chimie est infiniment rapide, la structure locale de flamme est

entièrement déterminée par la fraction de mélange moyenne Z ~

et sa variance 2 Z ~ .

La moyenne de n'importe quel scalaire est calculée en utilisant l'approche PDF présumée àtravers l'équation suivante:

dZ Z p~ Z ~

1

0

(2.61)

En particulier, la densité volumique moyenne, la température du mélange réactif et la

fraction massique des espèces chimiques produit par la réaction sont données par:

dZ Z p~ Z

1

0

11

(2.62)

dZ

Z

Z p~ Z T T

~

1

0

(2.63)

dZ

Z

Z p~ Z Y Y

~ii

1

0

(2.64)

La distribution de la densité volumique, des fractions massiques et de la température qui

constituent des librairies de flammelettes, sont prises à partir de la solution de l'équilibrechimique donnée par le code de calcul Chemkin (2005) ou Flamelette „RUN-1DL‟ (1997).

Le modèle flamelette repose sur l'hypothèse que le front de flammes turbulent est composé

de flammelettes d'épaisseur très petite par rapport à toutes les échelles turbulentes. Cette

hypothèse permet d'utiliser les résultats obtenus dans une configuration d'écoulement

laminaire (figure 2-7 et figure 2-8). La structure d‟une flammelette de diffusion laminaire est

contrôlée par le transfert de chaleur et de masse et peut être décrite par des équations de

transport monodimensionnelles (Peters, 1984; 1987):

Equation de conservation de la fraction massique:

k k k

Z

Y

t

Y

2

2

2 (2.65)

Equation de conservation de l'énergie:

N

k p

k k

C

h

Z

T

t

T

12

2

2

(2.66)




95

Sachant que le taux de dissipation scalaire χ est proportionnel au taux d‟étirement a à travers

la relation suivante (Kim & Williams ; 1993) :

2

1

2

22

12

13

4 Z erfcexp

a

k

a

k

a

(2.67)

Où 1erfc est l‟inverse de la fonction erreur complémentaire et non pas l‟inverse.

A la stoechiométrie, on peut écrire :

21 22expa

Z erfc

(2.68)

Le mécanisme réactionnel, utilisé dans cette étude, pour modéliser la structure d'uneflammelette de diffusion laminaire méthane-air dans l'espace de la fraction de mélange, est le

mécanisme détaillé GRIMECH 3.0. (53 espèces et 325 réactions, Smith G. P., et al .).

Pour le calcul de la PDF du scalaire inerte Z p~ , plusieurs formes ont été proposées et

testées dans la littérature (fonction Delta, Kalil et al. 1975 ; fonction Gaussienne, Lockwood

et al. 1976), cependant la fonction Bêta proposée par Janicka et Kollmann (1987), est

largement utilisée dans le cas de la combustion turbulente non-prémélangée et permet d'écrire:

1

0

11

11

1

1

dZ Z Z

Z Z Z p~

(2.67)

Les deux paramètres α et β sont reliés à Z ~

et 2 Z ~ par:

Z ~

, Z ~

1 avec

11

2

Z ~ Z ~

Z ~

(2.68)

4. Méthode numérique

La méthode numérique a été évoquée dans la première partie, et détaillée dans l‟annexe A.

Le code utilisé est une version améliorée de TEACH (Gosman et Ideriah, 1976). Différentes

tailles de grilles sont testées et montrent que les résultats sont indépendants des influences

numériques pour des grilles plus fines que 100x60 pour un domaine de 2m de longueur et de

rayon égal à 0.45m. À noter que les conditions aux limites adoptées sont les mêmes

conditions utilisées dans la première partie.




96

Les équations de conservation qui décrivent la structure d'une flammelette de diffusion

laminaire méthane-air (eq. 2.65 - eq. 2.66), mono-dimensionnelle et instationnaire sont

résolues en utilisant le code de calcul Flamelette développé par Rogg (1997) et le code

commercial Chemkin (2005).

Le couplage RANS/PDF-présumée passe tout d'abord par la résolution des équations

(2.65-2.66) pour chaque valeur possible de Z ~

. Par la suite, l'écoulement sera résolu par le

code RANS à masse volumique variable (calculé à l‟aide de l‟équation de partage, 2.35). Une

fois le code converge, une subroutine permet la lecture du tableau obtenu par la résolution des

équations (2.65-2.66), ainsi que le calcul de la densité , la température T ~

et les fractions

massiques des différents espèces iY ~

grâce aux équations (2.62-2.63-2.64). Enfin, l'écoulement

sera recalculé, en utilisant les valeurs de la densité déjà trouvée, pour le calcul des paramètres

dynamiques de l‟écoulement, et le processus sera répété jusqu'à convergence.


Les paramètres utilisés dans les simulations numériques sont les mêmes que dans les

travaux expérimentaux de Schefer (2001) (jet rond confiné de propane non réactif) et deStreb (1993) (jet rond libre de méthane réactif). Le schéma de principe des configurations

adoptées est illustré sur la figure 2-13. Le tube central amène le méthane ou le propane, et le

tube coaxial, de l‟air. Les conditions expérimentales et les principaux paramètres de s deux

écoulements sont récapitulés dans le tableau 2-5. Les mesures des vitesses ont été effectuées

avec une technique LDV (Laser Doppler Velocimetrie). Pour ce qui concerne les mesures de

la densité et de la fraction de mélange, elles sont accomplies par la technique Rayleigh

Scattering. Enfin, les mesures des concentrations sont achevées par la technique RamanScattering.




97

Figure 2-13 : Schéma illustrant la configuration d’un jet libre ou confiné.

Schefer (2001) Streb (1993)

U 0 (m.s - ) 69.0 69.3

U cof (m.s- ) 9.2 0.05

D (mm) DI =5.26 ; DE =9.0 10

Re 68000 29400

ρk (kg.m-

) 1.882 0.668 ρa (kg.m- ) 1.202 1.202

T k (K) 294 323

T a (K) 294 294

Tableau 2-5 : Configurations expérimentales

5.1 Écoulement turbulent non réactif

Sur la figure 2-14, on présente l‟évolution axiale de la vitesse longitudinale du propane

dans le cas d'un jet non réactif. Quatre modèles de turbulence de premier ordre sont appliqués

(k -ε ; RNG k -ε ; k -ω 98 ; MTS), ainsi que deux corrections, une pour le modèle k -ε et une

autre pour le modèle k -ω 98. Le modèle k -ω 88 n‟a pas été retenu, à cause des mauvaises

prédictions obtenues dans la première partie, lors de la simulation d‟un jet turbulent à masse

volumique constante. La correction concernant le modèle k -ε est celle de Rodi (1972),

présentée dans la première partie et désignée dans la nomenclature des figures par COR., alors

U 0

U Cof

D

X

Y

CH4 ou C3H8




98

que celle du modèle k -ω 98, concerne les conditions d‟entrées où on a remplacé d par 2d dans

les équations (1-88 ; 1-89 ; 1-90), cette correction est désignée par COR1.

La première constatation à retenir à partir de la figure 2-14, concerne les résultats du

modèle k -ω 98, qui surestiment les valeurs expérimentales, alors que celle des modèles RNGk -ε et STD k -ε sous-estiment ces derniers. La deuxième, concerne les corrections appliquées

aux deux modèles k -ε et k -ω, et qui permettent de combler les insatisfactions et les

défaillances de ces derniers. Jusqu‟à présent, le modèle k - reste le plus populaire et le plus

utilisé des modèles de turbulence pour la prédiction des écoulements industriels. Il s‟est révélé

d‟une précision suffisante et satisfaisante pour une gamme assez diversifiée d‟applications.

Néanmoins, les constantes de ce modèle sont ajustées pour des configurations très précises

d‟écoulement. Il a été développé et fondé pour la prédiction des écoulements près des paroisou les couches limites et que son application exige et nécessite toujours une correction pour

chaque configuration. Parfois son application s‟est trouvée mise en défaut par les écoulements

les plus simples ; par exemple, il sur estime d‟à peu près 30% le taux de décroissance dans un

jet rond ou axisymétrique.

Le point faible du modèle k - réside ou se focalise surtout dans la modélisation de

l‟équation de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente ε, qui a une forme assez

compliquée, et formée de plusieurs termes. Ceci nécessite une bonne interprétation physiquede différents termes et une idée approximative des ordres de grandeur de ces termes. Certaines

tentatives ont été faites pour généraliser la forme de cette équation, mais son application reste

strictement limitée aux cas qu‟elles ont suscités.

On note aussi, que le modèle k -ε avec la correction de Rodi (1972) ainsi que le modèle

MTS sont les plus conformes aux résultats expérimentaux de Schefer (2001).

Dans les modèles de turbulence de 1ere ordre et même ceux de second ordre, seuls les

processus de production et de dissipation de l‟énergie cinétique turbulente sont considérés,

alors que dans le modèle MTS, les processus de production, de cascade et de dissipation de k

sont considérés. Ceci explique la supériorité des prédictions du modèle MTS. On note enfin,

que l‟une des défaillances du modèle k -ω réside dans sa sensibilité aux conditions initiales,

puisque la correction adoptée a corrigé les imperfections de ce modèle.

La figure 2-15 montre la variation de la fraction de mélange du propane sur l‟axe de

symétrie du jet. Les résultats montrent que le modèle MTS fournit les meilleures prédictions,

alors que le modèle k -ω 98 surestime significativement les valeurs expérimentales.




99

0 20 40 60 80

X / D

0

20

40

60

80

U c

( m / s )

Figure 2-14 : Profils axiaux de la vitesse


0 20 40 60 80

X / D

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z c

Figure 2-15 : Profils axiaux de la fraction

de mélange longitudinale.

0 20 40 60 80

X / D

0

2

4

6

8

u ' c

( m / s )

Figure 2-16-a : Variation axiale de la vitesse

fluctuante longitudinale

0 20 40 60 80

X / D

0

2

4

6

8

v ' c

( m / s )

Figure 2-16-b : Variation axiale de la vitesse

fluctuante transversale

Exp. (2001)

k -ε + COR.

STD k -ε

RNG

MTS

k -ω

k -ω + COR 1

Exp. (2001)

k -ε + COR.

STD k -ε

RNG

MTS

k -ω

k -ω + COR 1




100

0.0 0.4 0.8 1.2

Y / X

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z

Figure 2-17-a : Profils radiaux de la fraction

de mélange à x/d=4.

0 1 2 3

Y / X

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Z

Figure 2-17-b : Profils radiaux de la fraction


0 1 2 3 4 5

Y / X

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Figure 2-17-c : Profils radiaux de la fraction


0 1 2 3 4 5 Y / X

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Z

Figure 2-17-d : Profils radiaux de la fraction


Exp. (2001)

k -ε + COR.

STD k -ε

RNG

MTS

k -ω

k -ω + COR 1

Exp. (2001)

k -ε + COR.

STD k -ε

RNG

MTS

k -ω k -ω + COR 1




101

0 20 40 60 80X / D

0.0

0.1

0.2

0.3

Z ' c

/ Z c

Figure 2-18 : Variation axiale de la fluctuation

de la fraction de mélange.

0 1 2 3 Y / X

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

Z '

Figure 2-19-a : Profils radiaux de la fraction


0 2 4 6 Y / X

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Z '



0 2 4 6 Y / X

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Z '

Figure 2-19-c : Profils radiaux de la fraction


Exp. (2001)

k -ε + COR.

STD k -ε

RNG

MTS

k -ω

k -ω + COR 1

k -ω + COR 1

+ COR 2

Exp. (2001)

k -ε + COR.

STD k -ε

RNG

MTS

k -ω

k -ω + COR 1+ COR 2




102

Les évolutions axiales de la vitesse fluctuante longitudinale et transversale sont tracées sur

les figures 2-16-a et 2-16-b. Les résultats numériques de tous les modèles sous-estiment les

mesures expérimentales.

Les profils radiaux de la fraction massique du propane sont donnés sur les figures 2-17-a ;2-17-b ; 2-17-c et 2-17-d pour quatre sections différentes. La première à x/d =4, on remarque

que l‟accord calcul-expérience est satisfaisant pour la plus part des modèles, sauf pour le

modèle k -ω 98 corrigé.

Pour la deuxième section, à x/d =15, les prédictions de tous les modèles sont presque

identiques sauf bien sûr pour le modèle k -ω 98, et l‟accord avec l‟expérience est satisfaisant

même sur les bords du jet. La même tendance est observée pour la troisième et la quatrième

section à x/d =30 et 50.

Dans la suite, on s‟intéresse à la variance de la fraction de mélange ou plus précisément à

l‟intensité des fluctuations d‟un scalaire, et ce à travers la figure 2-18.

Nous remarquons, tout d‟abord, que cette quantité croie rapidement à la sortie du jet et

tende asymptotiquement vers une limite. Cette valeur asymptotique est controversée et varie

entre 0.18 et 0.26, dans notre cas, elle est de l'ordre de 0.25.

La correction désignée par COR 2, et présentée dans la nomenclature, indique la correction

de la constante Cte dans l‟équation (2-47), et qui sera égale à 0.13 au lieu de 2 pour le cas du

modèle k -ω 98. Cette correction a été appliquée à cause des mauvaises prédictions de ce

dernier, qui sous estiment significativement les mesures expérimentales de Schefer (2001). La

plus importante remarque à signaler, concerne les prédictions du modèle k -ε avec la correction

de Rodi, où a partir de x/d =50, on relève un comportement non asymptotique (figure 2-18).

Cette défaillance est, bien entendue dû, à la correction de Rodi, puisque les prédictions du

modèle STD k -ε présente un comportement asymptotique. Par conséquent, bien que lacorrection de rodi performe la modélisation des jets ronds dans le sens qu‟elle pr édit mieux le

taux d‟épanouissement du jet, mais présente une très grande faiblesse lors de la prédiction de

l‟intensité de la fluctuation de la fraction de mélange.

L‟examen des figures 2-19-a ; 2-19-b et 2-19-c, où nous présentons les évolutions radiales

de la variance de la fraction de mélange du propane, pour les sections x/d =15, 30 et 50,

permet de signaler que tous les modelés fournissent des résultats presque identiques, et que la

correction appliquée au modèle k -ω 98 corrige les insatisfactions de ce dernier.




103

0 20 40 60 80

X / D

0.0

0.1

0.2

0.3

Z ' / Z c

Figure 2-20 : Variation axiale de la fluctuation

de la fraction de mélange.

0 1 2 3 Y / X

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

Z '

Figure 2-21-a : Profils radiaux de la

fraction de mélange à x/d=15.

0 2 4 6

Y / X

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Z '



0 2 4 6 8 Y / X

0.00

0.02

0.04

0.06

Z '

Figure 2-21-c : Profils radiaux de la

fraction de mélange à x/d=50.

Exp. (2001)

Échelles égales

Échelles non-égales


Chen (1987)

Modèle A

Modèle B

Exp. (2001)

Échelles égales



Chen (1987)

Modèle A

Modèle B




104

0.0 0.5 1.0 1.5

Y / X

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

R t

Figure 2-22 : profils radiaux du rapport

du temps à x/d=30.

1 10 100X / d

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

1E-2

Figure 2-23 : profiles logarithmique axiaux

du taux de dissipation scalaire

Déjà, on ne trouve pas une explication d‟un tel comportement, mais on peut se contenter

d‟éliminer ce modèle de turbulence dans nos prochaines simulations.

Par la suite, on a fixé le modèle de turbulence (MTS), et on a varié le modèle scalaire.

Seuls les modèles indiqués dans la nomenclature des figures 2-20, 2-21, 2-22, 2-23 seront

concourus et comparés aux résultats expérimentaux de Schefer (2001).

Le reste des modèles indiqués dans le tableau 2-4, à savoir le modèle de Sanders et al.

(1996) et le modèle de Jones et Musonge (1988) ne seront pas considérés, puisqu‟ils

produisent des résultats comparables à ceux donnés par le modèle de Mantel et Borghi (1994).

Déjà, les prédictions de ce dernier ne sont pas en concordance avec l‟expérience, et

surestiment significativement les valeurs expérimentales. Cela est dû à notre code de calcul

qui est elliptique, alors que celui utilisé par ces derniers est parabolique.

Déjà, Colin et Benkenida (2003), exigent de modifier les constantes du modèle de Mantel

et Borghi (1994) pour chaque application.

On note aussi, que les résultats du modèle à échelles égales présentent des prédictions

meilleures que celle du modèle à échelles non-égales. Toutefois, on remarque un

comportement similaire du modèle de Chen (1987) et du Modèle A, qui est dû au fait de lasimilarité des types des constantes (Cp1).

Exp. (1993)

Échelles égales



Chen (1987)

Modèle A

Modèle B

Z U

d




105

La figure 2-22 expose le profil radial du rapport d‟échelle de temps caractéristique Rη à la

section x/d=30. Ce rapport est un paramètre important, qui ne dépend ni du nombre de

Reynolds, ni du rapport de densité. Il est défini par s

u R

. Dans la région de l‟axe de

symétrie du jet, les valeurs expérimentales de Rη révélées par Panchapakesan et Lumley, 1993

semblent constantes et oscillent autour de la valeur de 1.5.

La détermination de Rη a fait l‟objet de nombreuses études expérimentales dont la plupart

concernent la décroissance des fluctuations du scalaire derrière une turbulence de grille.

Cependant, la difficulté de mesurer la dissipation d‟une part et la précision de la mesure

d‟autre part, peuvent expliquer, au moins partiellement, le non accord de la communauté

scientifique sur ce sujet. Concernant les prédictions des différents modèles scalaires, aucun

d‟eux n‟est capable de reproduire les mesures de l‟expérience de Panchapakesan et Lumley,

1993, sauf le modèle à échelles égales qui présente un comportement constant égal à 2.

Le modèle algébrique à échelles non-égales, où l‟on ne suppose pas la proportionnalité des

échelles dynamiques et scalaires, montre une décroissance de Rη de la valeur de 2.5 sur l‟axe

de symétrie à 0.5 sur les bords du jet. Concernant les modèles scalaires à équation de

transport, ils présentent un comportement similaire ou semblable, la valeur de Rη est de l‟ordre

de 2 sur l‟axe de symétrie, puis s‟annule à y=0.25 x, et croît et tendent asymptotiquement à lavaleur de 1.25 plus tard.

La dissipation du scalaire est une grandeur importante, tant sur le plan théorique

qu‟expérimental, en particulier dans la combustion. Les travaux de Mantel et Borghi (1994)

montrent qu‟à partir de l‟équation de transport de ~ , il est possible de reconstituer l‟équation

de bilan de la densité de surface de flamme, grandeur clé pour les modèles des flammes

cohérentes. Les résultats du calcul du taux de dissipation scalaire sur l‟axe sont portés sur la

figure 2-23. On constate que les différents modèles scalaires pressentent un comportementsimilaire, sauf pour le modèle de Mantel et Borghi (1994).

En résumé, les comparaisons de nos calculs avec les mesures expérimentales de Schefer

(2001) ont montré que les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les

évolutions radiales ou longitudinales des paramètres scalaires ou dynamiques du jet sont

mieux prédites avec le modèle de turbulence MTS et le modèle scalaire à échelles égales.

Cependant, et concernant le modèle k - , si on applique la correction de Rodi (1972), on aura

des problèmes lors de la prédiction de l‟intensité des fluctuations d‟un scalaire, et si on




106

n‟applique pas cette correction, on aura des problèmes lors de la prédiction du taux de

décroissance du jet.

5.2 Écoulement à contre courant réactif laminaire

Une configuration particulièrement intéressante est la flamme de diffusion à contre-courant

stationnaire. En effet, celle-ci se ramène à un cas monodimensionnel et permettant ainsi des

simulations détaillées, qui servirons par la suite, les modèles de combustion avec une chimie

complexe et un transport détaillé.

Figure 2-24 : Fraction massique de CH4, O2, CO2, CO et H2O d'une flammelette laminaire de

méthane/air obtenue pour un taux d'étirement de 100 s-1 par deux moyens de calcul

( Flamelette et Chemkin)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25Fraction de mélange

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

F r a c t i o n m

a s s i q u e

O2CH4

H2O

CO2

CO

Flamelette

Flamelette Chemkin

Chemkin Flamelette

Chemkin

Flamelette

Chemkin

Flamelette

Chemkin




107

Fiorina et al., 2005a = 10 s −1

∆ Fiorina et al., 2005a = 158 s −1

Cal. a = 100 s −1

Fiorina et al., 2005a = 10 s −1

∆ Fiorina et al., 2005a = 158 s −1

Cal. a = 100 s −1


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

F r a c t i o n

m a s s i q u e

d e

O 2

Flamelette

Chemkin

Figure 2-25 : Profiles de la fraction massique

de O2 d’une flammette de méthane.


0.00

0.04

0.08

0.12

F r a c t i o n

m a s s i q u e

d e

C O 2

Flamelette

Chemkin

Figure 2-26 : Profiles de la fraction massique

de CO2 d’une flammette de méthane.


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

F r a c t i o n

m a s s i q u e

d e

C O

Flamelette

Chemkin

Figure 2-27 : Profiles des fractions massiques

de CO d’une flammette de méthane.

0.00 0.04 0.08 0.12Fraction de mélange

0

500

1000

1500

2000

2500

T e m p é r a t u r e

Flamelette

Chemkin

Figure 2-28 : Profiles des températures

d’une flammette de méthane.




108

La figure 2-24 présente les évolutions des fractions massiques du carburant, de l‟oxydant et

de quelques produits de combustion (CO2, CO et H2O) pour une flammelette de diffusion

laminaire à contre courant de méthane, et ce en utilisant deux codes de calculs différents,

Chemkin (2005) et Run-1DL ou Flamelette (1997). Sachant que le système d‟équations

(2.65 - 2.66) a été résolu pour un taux d‟étirement a égale à 100 s-1. Dans cette figure, on

remarque que l'oxydant 'fuit' à travers la zone de réaction ( Z = Z st =0.055) alors que le

comburant est consommé. La fraction massique de CO augmente dans la zone de réaction

alors que celle de CO2 diminue. Le dégagement de H2O est remarquable dans cette zone.

Sur les figures 2-25, 2-26, 2-27, 2-28, on a mis à l‟épreuve les deux moyens de calcul

(Chemkin et Flamelette) et ce en les confrontant avec les résultats des simulations de

Fiorina et al. (2005). Ce qu‟on peut retenir, c‟est que ces deux moyens de calcul présentent des prédictions semblable lors de la simulation de la fraction massique de O2 de CO et de la

température. Néanmoins, le code Flamelette présente des prédictions meilleures que le code de

calcul Chemkin, en comparaison avec les simulations de Fiorina et al. (2005). C‟est pour cette

raison là, qu‟il est adopté comme source de tabulation lors de l‟emploi du modèle de

combustion de PDF présumée.

5.3 Écoulement turbulent réactif

Une fois le modèle de turbulence (MTS) et le modèle scalaire (à échelles égales) sont

retenus, ainsi que la méthode de tabulation de la chimie détaillée (Flamelette). Deux modèles

de combustion, (PDF présumée et Eddy Dissipation) sont appliqués pour la simulation d'un jet

turbulent réactif de méthane (Streb, 1993).

La figure 2-29 présente la variation axiale de la vitesse moyenne du jet turbulent de

méthane réactif. Les résultats du calcul sont globalement en accord avec l'expérience de Streb(1993) pour le cas du modèle de PDF présumée. Toutefois, on note une sous-estimation pour

le cas du modèle de combustion Eddy Dissipation, cet écart traduit l'incapacité de ce dernier à

représenter correctement le couplage chimie-turbulence.

Sur la figure 2-30, on a présenté la variation axiale de l'énergie cinétique turbulente. On

note une sous-estimation des résultats, qui traduit l'incapacité de ces modèles de turbulence et

ces modèles de combustion à représenter correctement le champ dynamique dans la zone

d'établissement à la sortie du jet.




109

0 40 80 120X / D

0

20

40

60

U ( m / s )

Figure 2-29 : Profils axiaux de la vitesse


0 40 80 120X / D

0

20

40

60

80

K ( m * 2 / s * 2 )

Figure 2-30 : Variation axiale de l'énergie

cinétique turbulente

0 40 80 120 160 200X / D

0

4

8

12

D e m i

L a r g e u r D y n a m i q u e

/ D

Figure 2-31-a : Variation axiale des largeurs

a mis hauteurs dynamiques normalisées

0 40 80 120 160 200X / D

0

4

8

12

D e m

i L a r g e u r S c a l a i r e

/ D

Figure 2-31-b : Variation axiale des largeurs

a mis hauteurs scalaires normalisées

Exp. (1993)

EDM + k -ε

EDM + MTS

pdf + k -ε

pdf + MTS

Exp. (1993)

EDM + k -ε

EDM + MTS

pdf + k -ε

pdf + MTS




110

0 10 20 30 Y / X

0

2

4

6

8

10

U

( m / s )

Figure 2-32 : Profils radiaux de la vitesse

longitudinale à x/d=120.

0 5 10 15 20 25

Y / X

0

400

800

1200

1600

2000

T

( K )

Figure 2-33 : Profils radiaux de la

température à x/d=120.

0 40 80 120 160

X / D

0

400

800

1200

1600

2000

T

( k )

Figure 2-34 : Profils axiaux de la température

moyenne du mélange.

0 40 80 120 160X / D

0.00

0.04

0.08

0.12

F r

a c t i o n

m a s s i q u e

H 2 O

Figure 2-35 : Profils axiaux des fractions

massique de H2O.

Exp. (1993)

Exp. (1984)

EDM + k -ε

EDM + MTS

pdf + k -ε

pdf + MTS

Exp. (1993)

EDM + k -ε

EDM + MTS

pdf + k -ε

pdf + MTS




111

Les figures 2-31-a et 2-31-b montrent les positions des demi-épaisseurs pour la vitesse

moyenne et la fraction de mélange. La demi-épaisseur est définie comme étant la position

radiale à partir de l‟axe où la valeur de la variable est égale à la moitié de sa valeur sur l‟axe.

Un comportement global satisfaisant des résultats est signalé.

Sur la figure 2-32, on a représenté la variation radiale de la vitesse moyenne longitudinale

pour la section X / D = 120. De même, la variation radiale de température moyenne pour la

section X / D = 120 est tracée sur la figure 2-33.

La figure 2-34 présente le profil axial de la température moyenne. La première constatation

concerne les valeurs expérimentales de Streb (1993) et de Jeng Faeth (1984), qui présentent

un éparpillement. La deuxième concerne l‟effet du modèle de turbulence qui est négligeable

devant l‟effet du modèle de combustion. La troisième se rapporte à notre incapacité d‟évaluerles performances de ces deux modèles de combustion, puisque l‟expérimentale adoptée ne

fournit aucun résultat sur l‟écoulement sans réaction. En effet, les deux modèles de

combustion dépendent de la turbulence. Pour le modèle Eddy Dissipation, il dépend de

l‟énergie cinétique turbulente ainsi que sa dissipation, c'est-à-dire du champ dynamique de la

turbulence. Alors, pour le modèle de PDF présumée, il dépend de l‟évolution de la fraction de

mélange ainsi que sa variance, c'est-à-dire du champ scalaire de la turbulence. D‟autant plus

que, à cause de la valeur très petite de la stoechiométrie du méthane ( Zst = 0.055), des erreursminima dans la prédiction de la fraction de mélange conduit à des grandes erreurs dans la

prédiction du champ de la température et du champ des concentrations des produits de

combustion.

Sur Les figures 2-35, 2-36, 2-37, on a représenté les variations axiales des fractions

massiques de l‟eau (H2O), du méthane (CH4) et de l‟oxygène (O2). Ces figures révèlent un

accord satisfaisant entre les résultats prédits par le modèle k -ε + PDF présumée et ceux

obtenus expérimentalement par Streb (1993). Néanmoins, l'écart signalé est essentiellementdû à l'effet du rayonnement, qui a été négligé dans nos calculs et aux résultats indésirables

lors du calcul de la flamelette laminaire de diffusion de méthane.

Des résultats de calcul sont présentés aussi sous forme de champs de température associé

au vecteurs vitesses, de fractions massiques de H2O, de O2 et de CO2, dans les figures

2-38_2-41, et ce, en utilisant deux modèles de turbulence et deux modèles de combustion

différents.




112

0 40 80 120 160X / D

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F r a c t i o n

m a s s i q u e

C H

4


massique de CH4.

0 40 80 120 160X / D

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

F r a c t i o n

m a s s i q u e O 2


massique de O2.

Pour ce qui concerne la figure 2-38, on signale un couplage parfait pour ce qui concerne le

modèle de PDF présumée associé avec l‟approche flamelette, puisque les lignes de courant

suivent exactement l‟élargissement du jet. Sachant que, c‟est le seul modèle de combustion

turbulent qui possède un couplage parfait entre la chimie et le transport moléculaire dans le

cas de grand nombre de Damköhler, et c'est l‟une des raisons pour la quelle, il est adopté dans

notre étude.

On remarque également que la production de l‟eau et du CO2 est importante dans la zone

de réaction (figure 2-39, 2-41), alors que la consommation de l‟oxygène est importante dans

cette zone (figure 2-40).

Enfin, sur la figure 2-42, on a représenté le champ de fraction massique de CO et de NO2.Ces résultats ne sont permis que par le modèle de PDF présumée. Pour la production de NO 2,

elle est très petite, et on peut dire même négligeable par rapport aux autres fractions

massiques. On note aussi, que la zone de production de NO2 se trouve à l‟extrémité du jet, et

non pas à l‟intérieure du jet où se localise la zone de réaction. A signalé enfin que, la

production du CO est moins importante que celle du CO2.

Exp. (1993)

Exp. (1984) EDM + k -ε

EDM + MTS

pdf + k -ε

pdf + MTS




113

Figure 2-38 : Vecteurs vitesse et contours de la température moyenne utilisant

A k -ε + PDF présumée

B MTS + EDM




114

Figure 2-39 : Contours de la fraction massique de H2O utilisant


B MTS + EDM




115

Figure 2-40 : Contours de la fraction massique de O2 utilisant


B MTS + EDM




116

Figure 2-41 : Contours de la fraction massique de CO2 utilisant


B MTS + EDM




117

Figure 2-42 : Contours de la fraction massique utilisant k -ε + PDF présumée de

A CO

B NO2




118

Il est toujours important de signaler que lors de nos simulations, on n‟a pas pris en

considération l‟effet de rayonnement et principalement celui causé par les particules de suies.

Ce phénomène aura un effet direct sur le champ de température et par conséquent sur le

champ des produits de combustion. Une variation de 300 à 400 K serait distinguée surtout sur

l‟extrémité supérieure de la flamme.

Conclusion

Comme déjà signalé auparavant, nous avons étudié dans cette partie, un écoulement

turbulent non réactif de propane et un autre réactif de méthane. Pour le premier, on a appliqué

quatre modèles de turbulence de premier ordre (k -ε ; RNG k -ε ; k -ω 98 ; MTS) raccordés avec

trois modèles scalaires (modèle à échelles égales ; modèle à échelles non-égales ; modèle à

équation de transport). Pour le deuxième écoulement, on a assimilé la flamme de diffusion

turbulente à un ensemble de flamelettes de diffusion laminaire, et la combustion a été simulée

par une méthode probabiliste qui ne dépend que de la fraction de mélange ainsi que sa

variance. Également, on a appliqué le modèle de dissipation de tourbillon.

Les confrontations de nos simulations avec les mesures expérimentales prises de la

littérature révèlent que :

Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les évolutions

radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels et scalaires d‟un jet de propane

compressible sont mieux prédites toujours avec les modèles MTS et k -ε.

Cependant, et concernant le modèle k -ε, on est tombé dans le conflit, que si on

applique la correction de Rodi, on aura une défaillance lors de la prédiction de

l‟intensité des fluctuations des scalaires, alors que lorsqu‟on ne l‟applique pas, on

aura une défaillance lors de la prédiction du taux de décroissance du jet.

Le meilleur rapport qualité/difficulté, pour la prédiction du taux de dissipation

scalaire pour ce qui est relative aux modèles scalaires, est offert par le modèle

classique à échelles égales.

Pour ce qui concerne les moyens de tabulation chimique, le code Flamelette

l‟emporte légèrement sur le code Chemkin pour la prédiction d‟une flamme

laminaire de méthane à contre courant.




119

À propos de l'écoulement réactif du méthane, on n‟a pas pu vérifier les performances

des deux modèles de combustion, à cause de l‟indisponibilité des résultats

expérimentaux de la même configuration dans le cas non réactif. Cependant, malgré

le désaccord entre le calcul et l‟expérience, on peut dire qu‟il y a une bonne

reproduction de la réalité par le calcul et que le désaccord signalé est dû à la

négligence de la modélisation de la radiation causée par la formation des suies.

Références

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124

Troisième partie

Combustion du spray turbulent




125


Introduction ................................................................................................................................... 126

1. Description de la combustion de brouillards de gouttes combustibles ............................ 126

2. Vaporisation et combustion d’une goutte isolée ................................................................ 130

2.1 Théorie quasi-stationnaire de la vaporisation d’une goutte ..................................... 130

2.2 Théorie quasi-stationnaire de la combustion d’une goutte ...................................... 136

3. Vaporisation d’une goutte en mouvement ......................................................................... 138

4. Équations pour des milieux diphasiques réactifs .............................................................. 139

5. Méthodes numériques .......................................................................................................... 145

6. Résultats et discussion .......................................................................................................... 145

Conclusion ..................................................................................................................................... 158

Références ...................................................................................................................................... 159




126

Introduction

La modélisation des flammes turbulentes en milieu purement gazeux a été étudiée lors dela deuxième partie. Maintenant, le problème qui se pose consiste à étendre les méthodes

développées au cas des flammes en milieu polyphasique, afin de tenir compte de la présence

de combustible en gouttes liquides. Nous essayons ici de présenter une approche qui

synthétise les connaissances acquises et permet d‟aborder les aspects de ce type de flamme,

ainsi que d‟en bâtir une simulation numérique.

En premier lieu, nous rappelons les différentes approches phénoménologiques des

mécanismes mis en jeu lors de la combustion turbulente des sprays, et ce, en décrivant lesinteractions qui prennent place entre la flamme et le liquide. D‟autant plus que, nous

exposerons quelques comportements de flamme diphasique. Par la suite, on s‟intéressera à la

théorie de la vaporisation, puis de la combustion d‟une goutte seule, avant de considérer la

combustion et les flammes dans les brouillards de gouttelettes. La représentation théorique

des brouillards réactif s, fera l‟objet de la quatrième section de cette partie. Il s‟agit là,

d‟établir les équations nécessaires pour représenter ce milieu, à qui doivent être associées des

modélisations de certains termes. Les problèmes associés à ces modélisations sont nombreuxet encore en cours de discussion. Dans la dernière section, nous montrons, les résultats de nos

simulations pour la configuration que nous avons choisie de traiter, ainsi que leurs

exploitations.

1. Description de la combustion de brouillards de gouttes combustibles

Dans des nombreux foyers, le combustible est injecté sous forme liquide ; une des raisons

à cela est que le stockage des liquides peut se faire avec des volumes plus petits que celui des

gaz. Cependant, dans la très grande majorité des cas, la combustion ne se fait pas sous forme

liquide ; le liquide se vaporise, tout en se décomposant, et ensuite seulement ces vapeurs se

mélangent et la combustion se produit en phase gazeuse. Sachant que le débit vaporisé en est

d‟autant plus important, il y a intérêt à créer le plus possible de surface de contact entre le

liquide et le gaz. C‟est pourquoi tous les brûleurs, utilisant un combustible liquide, injectent

ce dernier dans le foyer sous forme d‟un brouillard de gouttelettes, et la situation usuelle de la




127

combustion d‟un liquide est donc celle de la combustion d‟un brouillard de goutte lettes dans

un milieu gazeux comburant.

La vaporisation et la combustion d‟une goutte sphérique de combustible liquide dans un

milieu gazeux oxydant sont donc des situations très intéressantes à étudier. Elles l‟ont ététhéoriquement pour la première foi dans les années cinquante (Godsave, 1953 ;

Spalding, 1953).

L‟approche théorique classique consiste à classer les f lammes en deux catégories idéales :

les flammes de prémélange et les flammes de diffusion. Cette classification ne s‟étend pas de

façon directe ou systématique aux flammes diphasique. En effet, on ne peut pas parler que de

la combustion de gouttes isolées ou la combustion de groupes de gouttes. Cependant, les

expériences dévoilent diverses structures de flammes de spray, et plusieurs classifications deces différents régimes ont été menées par un certain nombre de travaux. Nous allons ici

reconsidérer ces différentes structures possibles.

Les premiers jalons concernant la classification de la morphologie des flammes de sprays

ont été posé par l‟équipe de chercheurs de Chiu (Chiu et Liu, 1977), qui ont proposés de les

classés en fonction de différents paramètres (figure 3-1), et notamment le nombre sans

dimension G, définissant la combustion de groupe et s‟écrivant :

S

NpG

/ 325 (3.1)

Où Np est le nombre de gouttes dans le brouillard et S = δ s / δrf le paramètre de séparation,

avec δ s la distance moyenne entre les gouttes et δrf un rayon caractéristique d‟une flamme de

diffusion entourant une goutte isolée évaporante. On note que, dans le cas d‟un spray dilué, on

a l‟approximation suivante : δ s = n p1/3 où n p est le nombre de gouttes par unité de volume.

Lorsque G >> 1, alors on parle de combustion externe. Les gouttes étant trop proches, ladiffusion de chaleur ne peut se faire correctement entre elles. Seules les gouttes situées le plus

à l‟extérieur s‟évaporent et une flamme se forme alors autour du nuage. A l‟inverse, pour

G << 1, les gouttes sont très éloignées les unes des autres permettant à la chaleur de circuler

entre elles et provoquant une évaporation et une combustion individuelle.

Plus tard, Borghi et al. (2000) d´écrivent en outre, d‟autres modes de combustion (par

poches ou par percolation) en introduisant des temps caractéristiques chimiques et

d‟évaporation (épaisseur de la flamme δ f ; temps caractéristique de la flamme η f ; et tempsd‟évaporation moyen η v).




128

Figure 3-1 : Diagramme de combustion de groupe (Chiu et al. 1977)

Figure 3-2 : Diagramme des flammes de prémélange diphasique ( Borghi et al. 2000)

Figure 3-3 : Différents types de combustion d’un spray observés par Réveillon et Vervisch (2005)




129

A cela, s‟ajoute la flamme épaissie ou combustion distribuée, qui apparaît lorsque le temps

d‟évaporation est très long devant le temps chimique. Les gouttes ont alors le temps de

pénétrer la zone de réaction et la flamme s‟épaissit (la flamme est plus large que la distance

entre gouttes). Les différentes descriptions sont récapitulées dans le diagramme de la Fig 3-2.

Toutefois, et comme le soulignent Réveillon et Vervisch (2005), les descriptions

précédentes ne prennent pas en considération deux facteurs importants. Le premier est la

richesse globale du spray (proportionnelle au rapport entre masse de fuel liquide et masse

d‟oxydant), qui va avoir une importance considérable sur la distribution locale de carburant

gazeux et donc sur le type de flamme rencontré dans le foyer. Par exemple, des zones très

riches peuvent apparaître en dehors des limites de flammabilité. Le deuxième paramètre est

l‟advection. La description précédente n‟en tient pas compte, or là encore, il est clair que dansun brûleur réel, la vitesse du gaz et des gouttes va avoir une influence authentique sur la

topologie de la flamme. Ils ont donc mené une étude complète à l‟aide de DNS d‟un spray

dilué dont la richesse globale, le temps d‟évaporation et la séparation entre les gouttes varient,

pour des cas laminaires et faiblement turbulents. Ils mettent ainsi en évidence différentes

structures de flammes, en plus de celles décrites par Borghi. Les trois principales sont les

suivantes (voir la figure 3-3) :

Combustion externe : elle correspond à un régime dans lequel il existe uneflamme continue. Cette combustion externe peut être "fermée" (faible richesse,

le spray est enfermé par la flamme, la combustion est principalement

prémélangée) ou "ouverte" (richesse plus importante, la flamme se positionne au

niveau de la ligne stoechiométrique).

Combustion de groupe : les gouttes brûlent par paquets. La combustion peut être

prémélangée riche ou bien de diffusion.

Combustion hybride : il s‟agit d‟un mode situé entre les deux précédents. On

assiste à la combustion prémélangée par paquets. Cependant, comme la richesse

globale est plus importante, les fronts de diffusion ne peuvent se stabiliser

autour des gouttes. Le fuel restant brûle en formant une flamme de diffusion à

l‟extérieur du spray.

Cependant, dans une configuration complexe avec des zones de recirculation et un spray

polydispersé, il est fort probable qu‟on rencontre tous les types de flammes évoqués

précédemment.




130

2. Vaporisation et combustion d’une goutte isolée

Avant d‟envisager une discussion de différentes études, aussi bien théoriques

qu‟expérimentales, qui ont traité la combustion des brouillards de gouttes, il faut considéreren premier lieu le cas le plus simple qui est l‟évaporation et la combustion d‟une goutte

immobile. Même si cette hypothèse de gouttes isolées n‟est pas satisfaisante, la description de

l‟évaporation et la combustion d‟une goutte seule a été largement étudiée, et fait encore

l‟objet de nombreuses recherches. Parmi les revues de synthèse existantes, citons celles de

Law (1982, 1993) et Sirignano (1983,1999).

Une première classification des différentes études sur les phénomènes d‟évaporation et de

combustion de gouttes concerne le traitement de la phase gazeuse, suivant qu‟elle est

considérée comme quasi-stationnaire ou instationnaire. Une deuxième classification est liée

au traitement de la phase liquide, suivant que la température est supposée uniforme ou bien

que l‟on prend en compte les phénomènes de conduction ou de convection à l‟intérieur de la

goutte. Enfin, la convection (vitesse relative goutte/écoulement) peut être prise en compte par

l‟intermédiaire de lois de corrélation ou bien calculée de façon complète.

Nous considérons donc, le cas idéal, où la goutte du combustible est dans une atmosphère

comburante d‟extension infinie et immobile (stationnaire), et où la géométrie du problème est

sphérique. Nous confinerons pour étudier seulement la situation la plus simple possible de la

gazéification de gouttelette, à savoir la loi en d 2 de la vaporisation et de la combustion d‟une

goutte. Dans cette situation la gouttelette est traitée comme source constante de vapeur de

carburant de composante unique, impliquant que nous n'avons pas besoin d'être concernés par

les procédés de transfert de chaleur et de masse à l'intérieur de la gouttelette.

2.1 Théorie quasi-stationnaire de la vaporisation d’une goutte

Le problème à étudier est schématisé dans la figure 3-4, sachant que les échanges se font

par diffusion moléculaire, la diffusion de la chaleur est représentée par la loi de Fourier, et la

diffusion d‟espèces par la loi de Fick. Connaissant aussi que

r s : Rayon instantané de la goutte.

r fT : Rayon du film pour les transferts de chaleur.

r fM : Rayon du film de diffusion de la vapeur.




131

Vapeur de liquide :

En r = r fM : 11 Y Y

En r = r S :S

Y Y 11

l vapGS Q Lmqr 0

24

Température du gaz :

En r = r S : T = T S

En r = r fT : T = T ∞

Figure 3-4 : Description du modèle dans le cas d’une goutte au repos.

Figure 3-5: Répartitions de concentrations et de température autour d’une goutte en évaporation

Figure 3-6 : Répartitions de concentrations et d e température autour d’une goutte en combustion




132

Le flux de chaleur arrivant sur la goutte Q g est divisé en deux parties, une partie représente

la quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte Ql et une partie ( Lvap) permet

l‟évaporation du liquide; Lvap étant la chaleur latente de vaporisation par unité de masse.

Les équations classiques de la mécanique des fluides sont appliquées mais exprimées dansun repère sphérique. Elles permettent de trouver les évolutions des quantités Y 1 et T autour de

la goutte. La forme attendue de profils est schématisée sur la figure 3-5.

Équation de conservation de la masse :

04 2

r r

g ( , vitesse radiale des gaz) (3.2)

Équation de conservation de la fraction massique du vapeur de fuel :

r

Y Dr

r r

Y r g g

11

212 44 (3.3)

Équation de conservation de l‟énergie en terme de température :

r

T r

r r

T C r g

p

g 2244 (3.4)

L‟intégration de ces équations, ainsi que l‟application des conditions aux limitesappropriées aboutissent à :

Bilan de vapeur à la surface de la goutte

La vapeur diffusée dans l‟écoulement en provenance de la vaporisation de la goutte est

gérée par l‟équation de transport de la fraction massique de vapeur (annexe E, (E-21)) :

M *

S g B LnShr Dm 12 1

0

(3.5)

Où *hS est le nombre de Sherwood lié à la convection autour de la goutte et qui vaut 2 dans

le cas d‟une goutte au repos. Contrairement à l‟apparence, la formule (3.5) n‟offre pas encore

le débit vaporisé. En effet, le nombre de transfert de masse de Spalding n‟est pas encore

connu pour le moment. Il est défini par la relation suivante :

s

s

M Y

Y Y B

1

11

1

(3.6)




133

Où, Y S 1 est la fraction massique de vapeur à la surface de la goutte définie par :

2111

111

1 m X X m

X mY S

(3.7)

Ou encore :

2

112

1

2

11

1m

X mm

X

m

mY S

(3.8)

Avec m1 et m2 sont les masses molaires du combustible et de l‟oxydant. X 1 est la fraction

molaire qui est relié à la pression de saturation à travers la relation de Clausius-Clapeyron,

pour une chaleur latente de vaporisation Lvap = cte comme suit :

S

B

vapatm sat

T T R

m L p xe

P

P

P

P X

111

1 (3.9)

Où, T B est la température d‟ébullition ou de saturation du liquide ; T S est la température de

la surface de la goutte, P est la pression partielle de vapeur, P atm la pression atmosphérique, et

R, la constante des gaz parfaits.

Si on suppose que T B à la pression de référence égale à l‟unité, on obtient :

S ref

vapref

sat

T T R

L p xe

P

P

P

P X

111 (3.10)

Dans le même contexte, on peut utiliser aussi la corrélation proposée par Reid et al.

(1987) :

crit

S

.

crit

S

.

crit

S

.

crit

S

S

crit crit sat

T

T .

T

T .

T

T .

T

T .

T

T p xe

P

P

P

P X

1764517

1458381

1775802

1233031

51

51

52

1

(3.11)

Avec T crit , la température critique du liquide.




134

Évolution du diamètre de la goutte

L‟évolution du diamètre de la goutte au cours du temps est alors obtenue à partir de

l‟équation du débit évaporé (annexe E, (E-34)).

vapl

g

C Ddt

dD

2 (3.12)

Où, Λ est le débit vaporisé adimensionnel ; λ g est la conductivité thermique du vapeur ;

C vap est la chaleur spécifique de la vapeur ; et ρl la masse volumique du liquide.

Le débit vaporisé adimensionnel est donné par l‟expression suivante:

T

*

g s

vap

M

*

B Ln Nur

C m

= B Ln Le

Sh

121

0

1 (3.13)

Avec Le1 le nombre de Lewis donné comme suit :

1

1D g vap

g

C Le

(3.14)

Le débit vaporisé déjà donné par la relation (3.5) en fonction des transferts de masse, peut

être également défini en fonction des transferts de chaleur, sous la forme suivante :

T

*

S

vap

g B Ln Nur

C m 120

(3.15)

Où BT est le nombre de transfert de chaleur de Spalding qui est donné par la

relation suivante :

0

m / Q L

T T C B

Lvap

S

vap

T

(3.16)

Après quelque étapes de calculs, et on partant de la relation (3.9), on peut montrer alors

que BT et Bm sont relies par la relation suivante :

*Sh / * Nu Le

T m B B 111 (3.17)

Évolution de la température de la goutte

L‟évolution temporelle de la température de la goutte est calculée à partir du modèle àconductivité infinie.




135

Ce modèle suppose que la conductivité thermique du liquide est très supérieure à celle du

gaz et donc que la température T s est uniforme partout dans la goutte. Ceci est vérifié pour la

majorité des hydrocarbures où le rapport entre les conductivités thermiques du liquide et du

gaz est de l‟ordre de 5 au minimum. On obtient :

l l

l

sl l

l S

C

Q

r C

Q

Ddt

dT

33 4

36 (3.18)

Où, C l est la chaleur spécifique du liquide et Ql est la quantité de chaleur transmise à la

goutte, par unité de temps.

L‟expression de Ql est donnée par (annexe E ; (E-27)) :

vap

vap s g sl

C L )T T ( Nur Q 2 (3.19)

Où Nu est le nombre de Nusselt effectif, donné par :

D

T T

q Nu

S

g

g

(3.20)

Le nombre de Nusselt effectif Nu et le débit adimensionnel Λ sont reliés par la relation

suivante :

1

* Nu / exp Nu

(3.21)

Avec * Nu , le nombre de Nusselt lié à la convection qui vaut 2 dans le cas d‟une goutte au

repos.

Propriétés physiques

La modélisation des propriétés physiques de la phase gazeuse autour de la goutte est très

importante car elle conditionne les échanges thermiques et massiques à la surface de la goutte.

Elles sont estimées à l‟état de référence suivante :

111113

1

3

21 Y Y Y AY AY S

R

S

R

ref (3.22)

T T T AT AT S R

S R

ref

31

321 (3.23)




136

Nous utiliserons la valeur A R = 1/3, comme le préconisent Hubbard et al (1975). Déjà,

Plusieurs études ont été réalisées pour déterminer l‟état de référence auquel sont évaluées les

propriétés physiques du film. Toutes montrent que la règle de 1/3 donne les meilleurs résultats

(Yuen et Chen, 1975 ; Abramzone et Sirignano, 1987).

2.2 Théorie quasi-stationnaire de la combustion d’une goutte

Ce problème se traite de façon très semblable au cas précédente, et ce, en reprenant les

mêmes hypothèses simplificatrices, et en y ajoutant de plus que la combustion, qui peut être

décrite par une réaction unique, globale, très rapide, et irréversible, de façon que le

combustible et l‟oxydant ne peuvent être présents au même endroit sans brûler trèsrapidement. Le front de flamme ou la zone de réaction est maintenue à une distance de la

goutte où les quantités de combustible Y 1 et de comburant Y ox sont proches des proportions

stœchiométriques. La chaleur produite par la réaction de combustion contribue alors

principalement à la vaporisation de la goutte. Sur la figure 3-6, on peut voir les profils de Y Ox,

Y 1 et T que l‟on s‟attend à trouver en fonction de r , et la comparaison avec la figure 3-5

montre l‟effet escompté de la combustion, puisque Y 1 s‟annule brusquement dés le front de

flamme et ne tend pas asymptotiquement vers 0 comme dans le cas de l‟évaporation pure. Les équations de bilan dans le milieu gazeux autour de la goutte en combustion sont

semblables à celles d‟une goutte en évaporation, seulement, en y rajoute les termes de

réaction :

Équation de conservation de la masse :

04 2

r r

g ( , vitesse radiale des gaz) (3.24)

Équation de conservation de la fraction massique du vapeur de fuel :

2

11

1

212444 r m

r

Y Dr

r r

Y r g g

(3.25)

Équation de conservation de la température :

222 444 r q

r

T r

r r

T C r g

p

g

(3.26)




137

Dans ces expressions, désigne le taux de réaction molaire par unité de volume et q la

chaleur molaire de réaction par unité de volume. m1 est la masse molaire de la vapeur du fuel.

L‟hypothèse d‟une réaction infiniment rapide permet d‟introduire la variable Z ou la

fraction de mélange définie par :

1

1

2 m

Y

m

Y Z ox

(3.27)

Z peut satisfaire une équation sans terme de réaction :

r

Z Dr

r r

Z r g g 1

2244 (3.28)

L‟intégration de l‟équation (3.24), ainsi que l‟application des conditions aux limitesappropriées aboutie à :

1

0

1

20

4m

m

r

Z Dr Z m g

(3.29)

Ainsi,

21

0

1

41 r

r

D

m

m Z

Z

g

(3.30)

En intégrant de nouveau, on obtient :

r D

mexp

mm

Y

m Z

g

ox

1

0

121 4

11

(3.31)

En se plaçant à la surface de la goutte, où1

1

m

Y Z

S

, il est possible de déterminer le débit

Vaporisé0

m , ainsi que la diminution du diamètre de la goutte, et ceux, à travers, le nombre de

transfert de masse de Spalding M B ,qui est la véritable inconnue du problème, et qui en

combustion, s‟écrit :

S

ox

S

M Y

Y m

mY

B 1

2

11

1

(3.32)




138

De même, en partant de l‟équation de conservation de l‟énergie ou de la température

(3.22), et en introduisant une variable intermédiaire Z T , on peut aboutir à l‟équation du

nombre de transfert de chaleur de Spalding BT :

0

2

m

Q L

qmY T T C

Bl

vap

oxS

P

T

(3.33)

3. Vaporisation d’une goutte en mouvement

Plusieurs phénomènes influencent les caractéristiques de vaporisation et de combustion des

gouttes de combustibles liquides dans les brouillards. L‟un des plus intéressants est sans doute

le phénomène de convection qui est dû à l‟existence d‟une vitesse relative entre les gouttes

liquides injectées et le gaz comburant. Ce phénomène de convection affecte l‟ensemble des

processus rencontrés que l‟on connaît sur la vaporisation et la combustion d‟une seule goutte.

Ceci, à travers l‟amincissement de la couche limite gazeuse entourant la phase liquide, et par

conséquent, l‟augmentation des transferts de masse et de chaleur.

Ce phénomène est pris en compte par l‟intermédiaire de corrélations. L‟étude

dimensionnelle du problème montre que ces lois de corrélation sont de la forme :

T ep* B , Pr , R f Nu et mep

* B ,Sc , R f Sh Où

vap g

g

C Pr

: Nombre de Prandtl.

1 DSc

g

g

: Nombre de Schmidt du milieu gazeux.

Différentes corrélations sont proposées dans la littérature.

La corrélation la plus communément utilisée est celle de Ranz-Marshall (1952), et elle a la

forme suivante :

312 Pr R0.55+2= Nu*

1

ep (3.34)

312Sc R0.55+2=Sh*

1

ep (3.35)




139

Plus tard, Faeth (1977), propose une correction à l‟expression précédente, basée sur les

travaux théoriques de Fedell (1968), et qui s‟écrit :

21

34

312

23211

/

ep

1

ep

Pr R

.

Pr R0.55+2= Nu*

(3.36)

21

34

312

23211

/

ep

1ep

Sc R

.

Sc R0.55+2=Sh*

(3.37)

Ces deux expressions sont adoptées dans nos simulations. Ce choix est basé sur les travaux

de Grancher (1990), qui a concouru les différentes corrélations proposées dans la littérature,

afin d‟estimer leur domaine d‟application et leur validité dans le cas que nous traitons.

Concernant la combustion d‟une seule goutte en mouvement, jusqu'à maintenant, aucune

étude purement théorique n‟est établie. Seulement, des tentatives expérimentales ou

numériques ont été menées.

4. Équations pour des milieux diphasiques réactifs

Dans le but de modéliser la combustion dans les sprays, une voie alternative, permet de

considérer la combustion globale du spray comme étant la somme de la combustion de chaque

goutte individuelle. Dans ce cas, il est possible de résoudre analytiquement les équations

décrivant la combustion d'une goutte isolée (Law, 1982). Néanmoins, des études

expérimentales (Miyasaka et Law, 1981 ; Castanet, 2004) ont eu tendance à montrer que la

combustion d'une goutte seule était fortement perturbée par la présence d'autres gouttes dans

son voisinage. D‟autant plus que, l'analyse de la combustion des sprays a montré que le

régime de combustion où chaque goutte est entourée d'une flamme n'est pas du tout général,

et c‟est en phase gazeuse du milieu polyphasique que les réactions chimiques de combustion

des vapeurs de combustible et comburant prend place. C'est pourquoi les tentatives de

modélisation de la combustion diphasique turbulente ne se basent jamais sur la combustion

d'une goutte isolée. La plupart des tentatives tiennent compte de la présence des gouttes à

travers des termes sources supplémentaires dus à la vaporisation. Par contre, en ce quiconcerne la combustion, elles se servent des méthodes développées dans le cadre de la




140

combustion purement gazeuse et la présence des gouttes n'est prise en compte que lors de la

fermeture des termes nécessaires à ces méthodes.

L'approche la plus simple consiste à supposer que la combustion turbulente n'est pas

affectée par la présence physique des gouttes mais seulement par les vapeurs que celles-ci produisent. Ca devrait être le cas, quand le rayon des gouttes tend vers zéro. Le modèle est

celui de Magnussen et Hjertagrer (1977), qui par sa simplicité, ne permet pas une prise en

compte des gouttes. Ce modèle a été employé pour la simulation de la combustion d‟un

brouillard de gouttelettes de propane dans un atmosphère au repos (Makhviladze et al., 1999),

ainsi que dans un moteur Diesel (Xin et al., 1998) associé avec le modèle chimique

Shell (Halstead et al., 1977). Durant l'auto-allumage, la chimie est supposée très lente devant

le mélange (Da << 1), le taux de combustion est donc contrôlé par la chimie, le modèle Shellest employé. Quand la concentration en radicaux accroît, la chimie est supposée s'accélérer

jusqu'à devenir beaucoup plus rapide que le mélange (Da >> 1), le modèle de dissipation de

tourbillons est alors utilisé, à partir d'un certain seuil plutôt arbitraire. La période de transition

est critique car les deux modèles ne sont plus dans un cadre respectant leurs hypothèses.

Cependant, il existe des cas où la présence des gouttes modifie fortement les flammes comme

le montre les résultats expérimentaux de Amsden et al. (1989) et Annamalai et al. (1992).

Des modèles plus sophistiqués ont été développés et proposés dans la littérature. Citons parexemple, les modèles basés sur le calcul de la densité de surface de flamme qui suppose que

la structure des flammelettes est similaire à la structure des flammes gazeuses. Ces modèles se

décomposent en deux catégories différentes. Il faut préciser s'il s'agit de flammelettes de

diffusion ou de flammelettes de prémélange. Or les deux types de flammelettes peuvent

coexister dans les structures fines des flammes diphasiques. Il faut en plus, connaître la

densité de surface de flamme de prémélange et la densité de surface de flamme de diffusion

(Veynante et al., 1989 ; Dillies et al., 1993). Barbeau (1998) utilise pareillement le modèle de

surface de flamme, mais considère une flammelette de prémélange où le taux de réaction par

unité de surface de flamme est calculé comme la moyenne de ce taux de réaction pour

différentes flammeslettes de prémélange avec différentes richesses correspondant chacune à

une variable de mélange Z . Il utilise alors une PDF présumée de cette variable de mélange, ce

qui permet de décrire les fluctuations de richesse.

Une autre approche consiste à déterminer le taux de réaction d'une flamme laminaire

diphasique. Dans ce cas, les flammelettes ne se situent pas entre les gouttes mais plutôt autourde paquets de gouttes ou groupes de gouttes. De nombreuses expériences et simulations




141

numériques directes ont été dédiées aux flammes laminaires à contre courant diphasique

(Chen et Gomez 1996 ; Gutheil et Sirignano 1998 ; Watanabe et al. 2008) qui permettent,

dans un premier temps, d'étudier les flammes laminaires diphasiques et qui pourraient servir

de bibliothèque pour un modèle de PDF présumée dans un deuxième temps. Deux modèles

ont été présentés dans la littérature. Ceux qui utilisent une bibliothèque de flammes laminaires

qui ne tient pas compte de la présence des gouttes (Gill et al. 1995), ce qui correspond

approximativement au cas de flammelettes à prévaporisation. Une amélioration a été faite plus

tard, utilisant des flammelettes diphasiques (Ge et Gutheil, 2008 ; Chrigui, 2005). Les

flammelettes laminaires utilisées dans la bibliothèque sont des flammes de diffusion ce qui

limite l'utilisation de ces modèles aux flammes turbulentes de diffusion à chimie

suffisamment rapide pour négliger les flammelettes de prémélange qui pourraient exister.

Il est possible aussi de calculer la PDF de plusieurs scalaires de la même façon que dans le

cas gazeux mais en tenant compte du spray (Durand et al., 1996 ; Jones et Sheen, 1999). Dans

ce cas, il n'est pas nécessaire de préjuger que la flamme est composée de flammelettes

laminaires. Donc il est possible de traiter à la fois des flammes de prémélange et des flammes

de diffusion, sans présumer la structure du front de flamme. Cependant il faut transporter

autant d'espèces qu'il est nécessaire pour calculer le taux de réaction. Même avec une méthode

de type Monte-Carlo, la résolution de l'équation de transport de la PDF des scalaires en plus

de la résolution de l'équation de transport du spray, aussi avec une méthode de Monte-Carlo,

reste une solution onéreuse en terme de puissance de calcul.

D‟autant plus que, Demoulin et Borghi (1999, 2002) ont calculé la PDF de Z de façon

présumée, tout en tenant compte du spray. Ils ont adapté aussi le modèle MIL (Modèle

Intermittent Lagrangien) au cas diphasique, afin de pouvoir prendre en compte des effets de

chimie non infiniment rapide, et ils l‟ont appliqué pour la combustion dans un moteur diesel.

Tout comme Ge et Gutheil (2006, 2007, 2008), qui ont testé plusieurs constantes du modèle

MIL pour décrire le mélange moléculaire, ainsi qu‟ils ont modifié et discuté la fonction β de

la PDF présumée, sachant que le couplage chimie/turbulence a été accompli par le modèle

Flamelette. Dans le même contexte, Kim et Huh (2002) ; Mortensen et Bilger (2009) ; ont

étendu le modèle CMC (conditional moment closure), développé à l‟origine pour la

modélisation de la combustion dans les écoulements purement gazeux aux écoulements à

plusieurs phases.

Dans la présente étude, l‟approche adoptée est celle de PDF présumée, servant d‟une bibliothèque de flamelette laminaire à contre courant diphasique. Cette approche a été




142

développée pour la première fois par Hollmann et Gutheil (1998), pour la simulation d‟une

flamme diphasique de diffusion, et qui est une extension du modèle flamelette dans le cas

monophasique. Dans cette approche, donner la distribution de la fraction de mélange ainsi que

sa variance, permet d‟obtenir par interpolation, la distribution de la densité, de la température,

des espèces chimiques à partir de la librairie flamelette. Par conséquent, la principale

difficulté réside dans la modélisation du terme source du fluctuation de la fraction de

mélange, outre la modélisation du terme source de masse ou de vapeur.

Une discussion de plusieurs modèles de fluctuation d‟un scalaire peut être trouvée dans

Colin et Benkenida (2003), qui ont proposé un nouveau modèle à deux équations, basé sur la

variance de la fraction massique et la dissipation scalaire. Ce dernier modèle prend en

considération le temps total nécessaire pour un mélange parfait entre le fuel évaporé à lasurface de la goutte et le gaz environnant. Dans la présente étude, nous avons adopté le

modèle développé par Hollmann et Gutheil (1998), du moins, en raison de sa simplicité

(tableau 3-1), sachant que, Kim et Huh (2002) ont testé trois modèles de terme source de

fluctuations de la fraction de mélange : le modèle de Hollmann et Gutheil (1998), le modèle

SDM (Single Droplet Model) de Réveillon et Vervisch (2000), le modèle où ils ne

considèrent pas ce terme. Ils ont signalé que les trois modèles fournissent les mêmes

prédictions, à cause de leurs contributions, qui est négligeable devant les autres termes. Ils ont

suggéré aussi, de modifier la fonction β de la pdf dans le spray en évaporation. Alors que,

Réveillon (2004) a signalé que les termes sources de fluctuations de Z liés à l‟évaporation du

spray sont du même ordre de grandeur que les termes de dissipation et ne sont absolument pas

négligeables.

C‟est en général, en phase gazeuse du milieu polyphasique, qui est le siège des réactions

chimiques de combustion des vapeurs de combustible et du comburant. Mais cette

combustion se fait dans un milieu turbulent, comportant des fluctuations de vitesse, de

fraction massique et de température. Comme c‟est souvent le cas, l‟approche Eulérienne-

Lagrangienne, qui est adoptée le long de cette étude, consiste à résoudre tout d‟abord les

équations de transport des variables décrivant les paramètres du fluide sans tenir compte des

termes sources de la phase dispersée. Cette phase gazeuse qui est décrite dans un contexte

Eulérien, par la résolution de l‟ensemble des équations de conservation de la masse

(continuité), et de la quantité de mouvement, à qui s‟ajoute deux équations supplémentaires,

celle de l‟énergie cinétique turbulente ainsi que sa dissipation, dans le but de la détermination

de viscosité turbulente µt .




143

Ces équations s‟écrivent en coordonné cylindrique de la forme elliptique générale suivante :

l g S S

r r

r r x xV r

r r U

x

11 (3.38)

Où Φ est la quantité transportable, Г Ф est le coefficient de diffusion, S gФ est le terme

source de l‟écoulement turbulent, et S l Ф est le terme source due à la phase liquide. Le tableau

3-1 récapitule l‟ensemble de ces équations. Par conséquent, on aura le champ dynamique de

l‟écoulement porteur turbulent, qui sera la base de l‟approche Lagrangienne destiné à

l‟estimation des propriétés des gouttes, et ce, en résolvant un système de quatre équations.

Pour chaque goutte, les paramètres suivants sont résolus : le vecteur position, le vecteur

vitesse, le diamètre et la température. Les équations pour les gouttes sont les suivants :

i , g

i , g u

dt

dx (3.39)

l

f

ii , g i , f .

pe f

g l i , g g uu

R.

D

dt

du

1

150118 6870

2

(3.40)

M

vap g l

g

*

g B Ln

C D Le

Sh

dt

dD

1

2

1

(3.41)

T

*

vap

vap s

l l g

g S

B Ln NuC

L )T T ( Nu

C Ddt

dT 1

62

(3.42)

La vitesse de l‟écoulement à la position de la goutte, ainsi que le pas de temps sont

calculées à l‟aide du modèle de corrélation de temps. Les nombres de Sherwood et de Nusselt

convectifs sont donnés par les relations 3.36 et 3.37.

L‟étape suivante consiste à recalculer la phase porteur, toute en tenant compte des termessources induites par les gouttes, et en y ajoutant deux équations supplémentaires, à savoir,

l‟équation de la fraction de mélange, ainsi que sa variance. Après quelque itérations entre le

module Eulérien et le module Lagrangien, et dés qu‟on obtient un champ stable de Z ~

et 2 Z ~ ,

on applique l'approche de PDF présumée à travers l'équation (2.61), pour déterminer le champ

de la température du mélange réactif, le champ de la fraction massique des espèces chimiques

produit par la réaction, et la densité volumique moyenne nécessaire pour l‟établissement du

champ dynamique réactif. Sachant que Z p

~

est déterminé par la fonction Bêta et Z est prise à partir de la librairie flamelette.




144

Tableau 3-1: Équations de transport de la phase gazeuse.

Où :

n : Le nombre moyen de gouttes par unité de volume.

. : La moyenne effectuée sur les gouttes présentes dans le volume considéré.

G : Terme de production de l‟énergie cinétique de la turbulence.

T ref : Température de référence définie par l‟équation (3.23)

Sct ; ζ θ’ sont tous égaux à 0.7

Équation Ф Г Ф S gФ S lФ

Continuité 1 0 0 0

mn

Quantité de

mouvement

axiale

u μeff = μ + μt

r

vr

r r x

u

x x

P eff eff

1

g

t d

ud mn p

Quantité de

mouvement

radiale

v μeff = μ + μt 22

1

r

v

r

vr

r r r

u

xr

P eff eff

t d

vd mn p

Énergie

cinétique

turbulente

k k k

eff t

G - ρε 0

Taux de

dissipation

de k

ε

t eff

k cG

k c

2

21

0

Fraction de

mélange Z

t t

eff

ScSc

t

0 0

mn

Fluctuation

de la fraction

de mélange

2" Z ~

t eff 22 22 " z ~

k Z divt

Z

Z " Z ~

mn 2120




145

5. Méthodes numériques

La méthode numérique a été évoquée dans la première et la deuxième partie, et détaillée

dans les annexes A et B. Le code utilisé pour la phase Eulérienne est une version améliorée ducode TEACH (Gosman et Ideriah, 1976). Pour la phase Lagrangienne, le code exploité est

celui de PALAS (PArticle Lagrangian Simulation; Berlemont et al., 1990, 1995). Le couplage

entre les deux phases est accompli à l‟aide du processus PSI-CELL (Crowe et al., 1977) à

travers les termes sources S lФ de l‟équation (3.38) et qui sont détaillés dans le tableau 3-1.

Généralement, trois itérations entre la phase Eulérienne et la phase Lagrangienne peuvent

amener à des résultats satisfaisants afin d‟achever une convergence des résultats.

Le maillage utilisé, la dimension du domaine, les conditions aux limites, le nombre des

gouttes, sont les même que dans la première partie.

Le couplage RANS/PDF-présumée a été développé dans la deuxième partie. Les équations

de conservation qui décrivent la structure d'une flammelette diphasique de diffusion laminaire

Do-décane-air, mono-dimensionnelle et instationnaire sont résolues en utilisant le code de

calcul Flamelette développé à l‟origine par Rogg (1997), sachant que le mécanisme

réactionnel utilisé inclus 57 espèces et 73 réactions élémentaires.


La configuration traitée durant cette thèse, est celle d‟un jet axisymétrique turbulent

débouchant dans l‟air ambiant. Cependant, aucun résultat expérimental clairement défini, et

permettant une comparaison efficace, n‟a pour l‟instant été trouvé dans nos recherches

bibliographiques. La plus part des expériences disponibles, concernent les atomiseurs de typeHallow-cone (Sommerfeld et Qiu, 1998 ; Ge et Gutheil, 2008) ; ou les jets à cœur liquide

déstabilisés par un écoulement annulaire d'air (Cessou, 1994). Par conséquent, nous avons

choisi arbitrairement une configuration (la même configuration traitée dans la première partie,

sauf le taux de chargement des gouttes qui a été augmenté afin d‟accroîtr e le couplage entre

les deux phases, et par conséquent le débit volumique des gouttes), et dont les principaux

paramètres sont récapitulés dans le tableau 3-2.

Les résultats présentés sont obtenus avec une chimie supposée infiniment brusque etdétaillée, le mécanisme réactionnel utilisé inclus 57 espèces et 73 réactions élémentaires.




146

U f C 0 d / 2 D g Ø Re Qv f Qv l

m.s -1 m µm l.s -1 l.s -1

24.85 0.005 45 - 50 0.5 13100 1.492 0.746

Tableau 3-2 : Configuration expérimentale

La Figure 3-7 et la Figure 3-8 montrent respectivement les évolutions des fractions

massiques du carburant C12H26 (Do-décane), de l‟oxydant O2 et de quelques produits de

combustion (CO2, CO et H2O) ainsi que la température pour une flammelette de diffusion

diphasique laminaire à contre courant pour un taux d‟étirement a égal à 100 s-1.

La valeur de la fraction de mélange stœchiométrique obtenue lors de notre simulation est

de 0.077, alors que la valeur théorique est de 0.064. Cela est dû à plusieurs paramètres, tel que

le taux d‟étirement, le taux d‟équivalence et le taux de chargement, qui influent la quantité de

vapeur obtenue avant d‟atteindre la zone de la flamme de diffusion (Watanabe et al. 2007).


0.00

0.10

0.20

0.30

F r a c t i o n

m a s s i q u e

H2O

CO2

CO

Figure 3-7: Fraction massique des espèces d'une

flammelette de Do-décane


0

500

1000

1500

2000

2500

T e m p é r a t u r e

Z st = 0.077

Figure 3-8: Température d'une flammelette

laminaire de Do-décane




147

Figure 3-9 : vecteurs vitesse et contours de la fraction massique du vapeur du fuel




148

Figure 3-10 : vecteurs vitesse, lignes de courant et contours de la température moyenne.

0

0 . 0

1

0 . 0

2

0 . 0

3

0 . 0

4

0 . 0 5

0 . 0

6

X

( m

)

0

0 . 0

1

0 . 0

2

0 . 0

3

0 . 0

4

0 . 0

5

0 . 0

6

Y ( m )




149

La figure 3-9 présente le champ dynamique de l‟écoulement turbulent associé au champ de

la fraction massique de vapeur du combustible (Do-décane) dans une section longitudinale du

domaine de calcul.

Concernant le champ de vitesse, on constate qu‟il y a des zones de recirculation, ceci vientdu fait que, le jet central à une vitesse et une inertie plus important, il entraîne avec lui l‟air du

jet auxiliaire ayant à l‟origine une vitesse très faible. Cette accélération et orientation vers le

centre crée des zones d‟aspiration provoquant ainsi l‟arrivé de l‟air de la partie haute, d‟où la

présence sur cette figure de vecteurs vitesses dirigés vers le bas.

Concernant la fraction massique de la vapeur, on manipule avec des gouttes de petite

taille ; dés leurs misent en contact avec l‟air chaud, ces gouttes s‟évaporent rapidement et

totalement et on remarque, qu‟avant une distance de 10 cm de l‟injecteur, toutes les gouttessont évaporées, et que la vapeur résultante est portée vers le haut et sur les bords par

convection et diffusion.

On observe aussi, à travers la figure3-9, que la fraction massique de la vapeur ou

couramment la fraction de mélange, est riche dans la zone du noyau potentielle du jet, atteint

la stœchiométrie à une distance de 0.23 m de la buse d‟injection, et finir par devenir pauvre au

delà de cette distance. Sachant qu‟en présence de la flamme, la forte chaleur résultante

dégagée, favorise l‟évaporation des gouttes, et par conséquent, le positionnement de lastœchiométrie sera décalé vers le haut.

Dans notre configuration, on peut assister à deux types de flamme, une flamme de

prémélange dans la première zone, où le combustible évaporé se mélange avec l‟oxydant du

jet central et s‟enflamme par la suite, et une flamme de diffusion. Ce dernier type de flamme

ne peut se manifester que lorsque le jet est bien chargé de gouttes, ainsi une bonne portion de

vapeur n‟aura pas la possibilité d‟être consommé au départ et elle va se mélanger par

diffusion avec l‟air en provenance du milieu environnant. Par contre, si le taux de chargement

est faible, la quantité d‟air du jet central est largement suffisante pour pouvoir consommer la

totalité du combustible évaporé et on sera alors dans le cas d‟une flamme de pr émélange

uniquement. Si on manipule avec des gouttes assez grosses, ces dernières n‟auront pas assez

de temps pour s‟évaporer complètement, pour cela, elles continuent leurs trajectoires vers le

haut du jet, et elles seront entourées par une flamme de diffusion.




150

Figure 3-11 : Contours de la fraction massique de H2O.




151

Figure 3-12 : Contours de la fraction massique de CO.




152

Figure 3-13 : Contours de la fraction massique de CO2.




153

Figure 3-14 : Contours de la fraction massique de N02




154

Figure 3-15 : Contours de la fraction massique de N0.




155

Figure 3-16 : Contours de la fraction massique de CH4.




156

Figure 3-17 : Contours de la fraction massique de O2.




157

La figure 3-10 présente conjointement le champ de vecteurs vitesses, les lignes de courant

et le champ de température du jet, rond, turbulent, réactif, chargé de gouttelettes de

Do-décane.

En agrandissant la zone située près de l‟injecteur. On remarque l‟établissement d‟une zonede recirculation permettant l‟accrochage de la flamme à la buse en l‟empêchant de se décoller.

La présence d‟une bande chaude présentant les zones de réaction placée au cœur du jet,

entraîne une poussé des gaz vers l‟extérieur provoquant ainsi l‟élargissement du jet.

L‟aspect de notre flamme correspond plus à une flamme de prémélange, ceci est du au

faite, qu‟il y a une bonne quantité d‟air qui est injecté avec les gouttes dans le jet central. Par

contre si le jet était du liquide pur, on aura plus la structure d‟une flamme de diffusion.

Sachant que, la position de la flamme dans notre cas, est indiquée par la valeur

stoechiométrique de la fraction de mélange du Do-décane ( Zst = 0.077), où la température est

maximale et qui sera diffusée et convectée vers les bords du jet.

Les figures allant de 3-11 à 3-17 présentent les fractions massiques de quelques produits de

combustion, tel que H2O, CO, CO2, NO2, NO, CH4, et O2.

La figure 3-11, nous montre une abondante dans la production de la vapeur d‟eau dans les

zones de réaction placées dans les régions à haute température. On constate la mêmeremarque pour le dioxyde de carbone, où on trouve des fractions importantes sur l‟axe du jet

jusqu'à une hauteur de 0.5m.

Par contre, les valeurs maximales de production de CO n‟accèdent pas la hauteur de 0.2m.

Ceci vient du faite que, le CO existant dans la zone comprise entre 0.2 et 0.5 m sur l‟axe de

symétrie, est presque entièrement transformé en CO2.

A propos du NO et NO2, on constate que le manque d‟oxygène provoqué par les réactions

chimiques inhibe la formation du NO2 sur l‟axe de symétrie ; par contre sur les bords du jet,

l‟air en provenance par diffusion de l‟extérieur favorise la production du NO2 ; c‟est pour

cette raison là, que le pic de formation, se trouve décalé vers l‟extérieur.

Notons que, l‟existence d‟un produit de combustion, tel que le méthane, qui ne réagit pas,

est du, à l‟insuffisance de la quantité d‟oxygène, qui a été totalement consommé par les

réactions chimiques.




158

Pour l‟oxygène, contrairement à la vapeur du combustible, il est maximum vers l‟extérieur,

dans l‟air ambiant et très faible sur l‟axe de symétrie du jet. Dans cette zone, la majorité de

l‟oxygène est consommé par les réactions chimiques ayant lieu dans cet endroit.

Conclusion

Au cours de cette partie, nous nous sommes intéressés aux processus de la combustion

turbulente dans les sprays, et ce, en simulant le comportement d‟un jet chargé de gouttelettes

de Do-décane, assez fines et avec un taux de chargement relativement important.

Le champ dynamique ainsi que l‟allure des champs scalaires obtenus, telles que la

température et les fractions massiques de certains produits de combustion et de polluants,

présentent un comportement logique et la forme de la flamme parvenue est qualitativement

bien représentée, ce qui prouve le potentiel du modèle adopté (pdf présumée avec tabulation

flamelette).

Principalement, on constate la présence des zones de recirculation et des gaz repoussés

vers l‟extérieur sous l‟effet de l‟expansion des gaz chauds situés au milieu du jet. On note

également que le choix adopté dans notre configuration correspond plus à une flamme de

prémélange où la vapeur du combustible et l‟oxydant ayant la possibilité de se mélanger avant

la zone de réaction.

Certainement, notre étude aura plus de valeur, si on trouve la possibilité de valider nos

simulations avec l‟expérimentale afin de les vérifier en détail, mais les expériences manquent

encore.




159

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163

Conclusions et Perspectives




164


Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse visent et s‟accentuent sur le

développement d‟un modèle mathématique et numérique permettant la modélisation desflammes turbulentes à plusieurs phases. Cette étude s‟appuie sur des résultats issus de

simulation de type Euler/Lagrange qui résolvent directement les équations instantanées de la

phase gazeuse ou la phase continue et effectuent un suivi lagrangien de la phase dispersée ou

discrète. Les phénomènes d‟atomisation, se produisant généralement à la sortie des buses, ne

sont pas pris en compte, et la phase liquide est supposée dispersée et décrite de manière

statistique.

Pour ce faire, il a fallu découplé le problème en plusieurs parties liées à cette thématique,d‟une part, puisqu‟il est difficile de discerner les caractéristiques précises de telle ou telle

propriété de l‟écoulement si toutes les interactions entre les différents constituants entre en jeu

simultanément (tous les phénomènes étant couplés entre eux et avec la phase gazeuse et sa

turbulence), et d‟autre part, pour mieux comprendre et maîtriser les phénomènes

aérothermochimiques liés aux brouillards de combustible en milieux réactifs. Il s‟agit donc,

dans un premier temps, d‟isoler les différents phénomènes élémentaires, d‟en comprendre la

physique et d‟en donner des modèles pertinents. La première étape de ce travail est consacrée à la partie dynamique du problème, où on a

considéré un jet turbulent d‟air incompressible et isotherme chargé de particules. Un état de

l‟art sur la modélisation d‟un tel problème est mené, également, on a présenté les équations

nécessaires à la description de la phase dispersée ainsi qu‟à la phase gazeuse. Et on a fini par,

évaluer les performances de cinq modèles de turbulence de premier ordre (k -ε avec la

correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω (88), k -ω (98) et MTS) et de deux modèles de dispersion

stochastique (modèle d‟interaction de tourbillon et modèle de corrélation de temps), ainsi quela considération de leurs interactions.




165

On s‟est consacré ensuite, plus particulièrement, à la partie scalaire du problème. Ceci, à

travers un jet turbulent compressible de propane et un autre réactif de méthane. Au début, une

brève description des différents types de flammes est établie. Ensuite, une description

détaillée des flammes de diffusion est menée, et ce, en présentant les équations moyennées et

fermées d‟un écoulement turbulent réactif. Également, on a mis à l‟épreuve plusieurs modèles

de turbulence (STD k -ε, k -ε avec la correction de Rodi, RNG k -ε, k -ω (98) et MTS), ainsi que

plusieurs modèles scalaires (modèle standard à échelles égales, modèle à échelles non-égales,

modèle à équation de transport), pour la simulation d‟un jet de propane non réactif.

Pareillement, deux modèles de combustion (modèle de dissipation scalaire, modèle de PDF

présumé ou conserved scalar model) sont testés pour la configuration d‟un jet de méthane

réactif, où on a recouru à deux méthodes de tabulation chimique (Flamelette, Chemkin) qui

sont elles-mêmes mises à l‟épreuve pour la configuration d‟une flamme laminaire de méthane

à contre courant.

La troisième partie vient achever ce travail de recherche, et ce, en combinant les deux

précédentes, tout en considérant l‟évaporation des gouttelettes. Après une présentation

simplificatrice du problème, ainsi qu‟une description générale de la combustion dans les

brouillards. L‟étape suivante, concerne la modélisation détaillée de l‟un des phénomènes

élémentaires le plus important, intervenant dans les flammes diphasique, à savoir,

l‟évaporation couplée à la dynamique des gouttelettes. Également, l‟ensemble des équations

décrivant la configuration adoptée est établi. Et on a fini par présenter les résultats des

simulations de l‟application que nous avons choisis de traiter ainsi que leurs exploitations.

Les confrontations de nos simulations avec les mesures expérimentales prises de la

littérature révèlent que :

Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les

évolutions radiales ou longitudinales des paramètres vectoriels d‟un jet d‟air

incompressible sont mieux prédites avec les modèles MTS et k -ε avec la

correction de Rodi. Cependant le modèle MTS s'avère plus précis pour la

prédiction des paramètres moyens sur l‟axe du jet, alors que celles du k -ε sont

meilleures sur les bords du jet.

Le modèle k -ω (88) prévoit mal le champ dynamique du jet incompressible ; et

même la correction apportée qui se traduit par le modèle k -ω (98) ne corrige

pas complètement cette insatisfaction.




166

Les modèles TCM et EIM prédisent les caractéristiques moyennes des

paramètres vectoriels des particules, de façon presque identique, dans la région

de l'axe de symétrie du jet, alors que sur les bords du jet, le modèle

d'interaction de tourbillons fournit les meilleures prédictions.

Pour ce qui concerne les vitesses fluctuantes des particules, les deux modèles

sous-estiment considérablement les résultats expérimentaux. Cependant, le

modèle TCM fournit les meilleurs résultats en comparaison avec le modèle

EIM.

Les caractéristiques moyennes et fluctuantes, pour ce qui concerne les

évolutions radiales ou longitudinales des paramètr es vectoriels et scalaires d‟un

jet de propane compressible sont mieux prédites toujours avec les modèlesMTS et k -ε.

Cependant, et concernant le modèle k -ε, on est tombé dans le conflit, que si on

applique la correction de Rodi, on aura une défaillance lors de la prédiction de

l‟intensité des fluctuations des scalaires, alors qu‟en l‟ignorant, on aura une

défaillance lors de la prédiction du taux de décroissance du jet.

Le meilleur rapport fiabilité/faisabilité, pour la prédiction du taux de

dissipation scalaire pour ce qui est relative aux modèles scalaires, est offert par

le modèle classique à échelles égales.

Pour les moyens de tabulation chimique, le code Flamelette l‟emporte

légèrement sur le code Chemkin pour la prédiction d‟une flamme laminaire de

méthane à contre courant.

À propos de l'écoulement réactif du méthane, on a utilisé deux modèles de

combustion, à savoir le modèle de dissipation des tourbillons et le modèle dePDF présumée. Le premier modèle dépend énormément de la variable de

Zeldovich et suppose que toutes les variables au sein de l‟écoulement fluctuent

dans le même sens que Z , chose qui n‟est pas forcement toujours vrai. D‟autant

plus que, la valeur stœchiométrique Z st du méthane est très petite, donc le

minimum d‟erreur conduit à des énormes variations de la température et des

produits de combustion.




167

La structure de la flamme dans le brouillard de gouttelettes du Do-décane

obtenue, présente un comportement logique, ce qui prouve le potentiel du

modèle adopté, mais les expériences manquent encore pour la vérifier en détail.

En résumé, Ce travail de thèse apporte des éléments supplémentaires pour la

compréhension des phénomènes mis en jeu dans une flamme diphasique turbulente et leurs

interactions. Elle peut être considérée comme une olympiade entre les différents modèles

mathématique, physique et numérique intervenant dans la combustion des sprays, à savoir :

Les modèles de turbulence.

Les modèles stochastiques de dispersion.

Les modèles scalaires.

Les moyens de tabulation chimique.

Les modèles de combustion.

Les modèles de couplage Eulérien-Lagrangien.

Les perspectives et suites possibles à donner à ce travail restent très conséquentes et très

nombreuses. Elles peuvent être envisagées sur plusieurs angles :

Le premier point concerne le développement du code de calcul pour sa généralisation à des

situations tridimensionnelles.

D‟autre part, la prochaine étape importante consiste à valider nos simulations concernant le

modèle de vaporisation et le modèle de combustion dans les brouillards par comparaison avec

des résultats expérimentaux. Cette validation permet de juger le comportement du code dans

des situations réelles.

D‟autant plus que, il nous semble tout aussi important de poursuivre l‟extension du code de

calcul à des situations où interviennent des phénomènes de pulvérisation et d‟atomisation du

jet liquide. La prise en compte de tels phénomènes sera effectuée à partir de travaux existants

mais en conservant une démarche identique à celle adoptée jusqu‟à présent.

Une autre direction peut être envisagée, concerne la combinaison de l‟approche LES ou la

simulation aux grandes échelles qui résout les grandes échelles caractéristiques del'écoulement et modélise les plus petits.




168

Une étape suivante consiste aussi à l‟extension du code de calcul pour mener des

simulations concernant les configurations réelles telle que l‟on rencontre dans la réalité, à

géométrie complexe c'est-à-dire, développer et adopter un maillage non uniforme.

Notons enfin, que traiter un tel problème avec une méthode Eulérienne-Lagrangienne esttrès escarpé et ennuyeux (à titre d‟exemple, ce manuscrit comprend environ 350 équations).

Malgré que ça soit la méthode la plus naturelle, et qui se rapproche de la réalité. Cependant,

on exige le développement d‟une méthode purement Eulérienne basé sur la résolution d‟un

système de sept équations seulement qui nous semble une solution appropriée.



169

Annexes



Annexe A Méthodes numériques

170

Annexe A : Méthodes numériques

1. Résolution numérique de la phase continue

La Méthode des Volumes Finis (MVF) à maillage décalé de Patankar (1980) est utilisée pour la résolution numérique des équations de la phase continue. Elle consiste à discrétiser ledomaine en un nombre fini de volume de contrôle indépendant entre eux, puis d‟effectuer des

bilans (masse, quantité de mouvement, température, fraction massique…) sur ces petitsvolumes. Le résultat de la discrétisation en un point est une équation algébrique liant la valeurde la variable aux valeurs des variables adjacents. La formulation est elliptique de typeconvection-diffusion, utilisant un schéma Hybride en espace et le couplage pression-vitesses‟appui sur l‟algorithme SIMPLE.

Cette méthode représente l'avantage d'être efficace, stable, converge assez rapidement, etrespecte le principe de conservation de tout scalaire transportable dans le domaine de calcul.

1.1 Maillage

Le domaine étudié est défini par un maillage de points discrètement espacés sur lesquelssont centrés les volumes de contrôle (figure A-1). Le point P est entouré par les points N, S,W et E. Les points N et S indiquent respectivement les cotes Nord et Sud, ceux-ci définissentla direction radiale du jet. Les points W et E indiquent les côtés Ouest et Est et définissent ladirection axiale. Ces nœuds seront les lieux de stockage des variables scalaires ( P , k , …). Les

points n, s, w, et e qui se situent respectivement aux milieux des segments PN, SP, WP et PEindiquent les positions des interfaces. Ces nœuds seront les lieux de stockage des variables vectorielles (u, v). Le choix du maillage décalé est opté pour remédier le problème de calculde tous les coefficients (scalaire et vectorielle) en un seul point, puisque dans ce cas, onobtient un champ de pression non uniforme et un champ de vitesse qui ne satisfait pasl‟équation de continuité. Les points du maillage principale sont développés au début, elles

sont représentés respectivement par X ( I ) et Y ( J ) dans les directions x et y. Par la suite, les points du maillage décalé sont calculés en utilisant la position du maillage principale, ellessont représentés par XU ( I ) et YV ( J ) respectivement dans les directions x et y. La figureA-1 montre la géométrie adoptée au problème ainsi que le maillage et les volumes decontrôles. La génération du maillage principal est donnée par la subroutine INIGRID et celuidu maillage décalé ainsi que les quantités géométriques sont calculées dans la subroutine

INIT . Le maillage dans la direction axiale et radiale est défini par:

C C C

k Z k

1

11 2

(A-1)

Avec k = [1,2,…, N ] où N est le nombre totale de mailles et C représente le facteurd‟expansion fixé à 1.05 dans la direction radiale et 1.02 dans la direction axiale.




171

Figure A-1: Maillage ( principale et décalé) et volume de contrôle autour de P .

Les quantités géométriques calculées sont :

DXPW : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection axiale de X (2) à X (NI).

DXEP : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection axiale de X (1) à X (NIM1).

DYPS : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection radiale de Y (2) à Y (NJ).

DYNP : Distance entre deux points consécutifs du maillage principal dans ladirection radiale de Y (1) à Y (NJM1).

DXPWU : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans ladirection axiale de XU (3) à XU (NI).

DXEPU : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans ladirection axiale de XU (2) à XU (NIM1).

DYPSV : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans la directionradiale de YV (3) à YV (NI).

DYNPV : Distance entre deux points consécutifs du maillage décalé dans ladirection radiale de YV (2) à YV (NIM1).

SEW : Espace du volume de contrôle du maillage principal dans la direction axiale.

SNS : Espace du volume de contrôle du maillage principal dans la direction radiale.

SEWU : Espace du volume de contrôle du maillage décalé dans la direction axiale. SNSV : Espace du volume de contrôle du maillage décalé dans la direction radiale

r = YV J

Y (1 ) =YV (2)

Y ( NJ )=YV ( NJ )

r n=YV ( J+1)

Δr SNS ( j)﴿

xe DXEP (i)﴿

ΔX SEW ) (i)﴿

xw DXPW (i)﴿

r p= Y ( J )

J s

J n n

s

ewW E

N

P

ys DYPS ( j)﴿

yn DYNP ( j)﴿

S

X ( I ) XU ( I +1)

X ( I-1) XU ( I )

X ( I+1) X ( NI )= XU ( NI )

J w

J e

X ( 1 ) = XU ( 2 )




172

1.2 Résolution de l’équation différentielle

La résolution de l‟équation différentielle aux dérivées partielles est réalisée sur deuxétapes :

Discrétisation de l‟équation différentielle.

Résolution de l‟équation algébrique résultante.

1.2.1 Discrétisation de l’équation de transport

La forme générale de l'équation de transport en régime permanant s'écrit en coordonnéecylindrique de la façon suivante :

sourceterme

diffusiondetermeconvectiondeterme

S r

r r r x x

vr r r

u x

11 (A-2)

Avec Φ : quantité transportable. Γ Φ : coefficient de diffusion. S Φ : terme source.

L'équation (A-2) peut être récrite sous la forme suivante :

S

r r vr

r r xu

x

1 (A-3)

En faisant intervenir les flux totaux aux interfaces suivant x et r définit par :

xu J x

(A-4)

r

v J r

(A-5)

On obtient une nouvelle écriture de l'équation (A-2):

S

r

J r

r x

J r x 1

soit encore

rS

r

J r

x

rJ r x (A-6)

Intégrant l'équation (A-6) sur le volume de contrôle et linéarisons le terme source, on obtient:

y xr S S J J J J p pu snwe (A-7)

Avec

r r x

u J p

e

ee

xr r

v J n

n

nn

r r x

u J p

w

ww

xr r

v J s

s

s s

(A-8)

Revenant à l'équation de transport (A-2) et posant Φ = 1; Γ Φ = 0 et S Φ = 0, c'est-à-dire prenantl'équation de continuité:

0 vr r

ur x

(A-9)




173

De même, en intégrant l'équation (A-9) sur le volume de contrôle, on obtient :

0 xvr vr r ur ur snwe

(A-10)

Notant F le taux d'écoulement de la masse (flux convectif), l'équation (A-9) devient

F e - F w + F n - F s =0 (A-11)Avec

F e= (r ρ u)e Δr F w= (r ρ u)w Δr

F n= (r ρ v)n Δ x F s= (r ρ v) s Δ x (A-12)

Multipliant l'équation (A-10) par Φ P et la soustraire de l'équation (A-2), on obtient :

y xr )S (S F J F J F J F J p P pu P s s P nn P ww P ee (A-13)

Le problème dans l'équation (A-13) est de déterminer les flux dans les interfaces. Pour cela,

des schémas d‟approximation sont entrepris, d'après Patankar (1980), on peut écrire:

E P E P ee a F J P W W P ww a F J

N P N P nn a F J P S S P s s a F J (A-14)

Les coefficients de transports a E , aW , a N et aS représente l'influence convectif et diffusif sur lesquatre faces du volume de contrôle.

En remplaçant les équations (A-14) dans l'équation (A-13), on aboutit à l'équation suivante:

baaaaa S S N N W W E E P P (A-15)Avec a P = a E + aW + a N + aS - S P r p Δ x Δr et b = S u r p Δx Δr (A-16)

Soit l'équation discrétisée finale :

baanb

nbnb P P (A-17)

Avec nb (neighbours) dénote les nœuds voisins E, W, N ou S.

Dans la présente étude, le schéma hybride est utilisé pour le calcul des coefficients anb.

eee E C D ,C maxa 2

1

2

1

wwwW C D ,C maxa 2

1

2

1

nnn N C D ,C maxa2

1

2

1

s s sS C D ,C maxa2

1

2

1

(A-18)

C est le coefficient de convection et D est le coefficient de diffusion.

Par conséquent C e = F e ; C w = F w ; C n = F n ; C s = F s

r

xe

r D e

e

;

r w x

r D w

w

;

x yn

r D n

n

;

x ys

r D s

s

(A-19)



Annexe A Méthode numérique

174

Le schéma utilisé est une combinaison de deux autres schémas, à savoir le schéma auxdifférences centrées (Central Differencing Scheme) et le schéma Upwind. Bien entendu, leschéma aux différences centrées qui est un schéma de précision de second ordre, est utilisé

pour des petits nombres de Peclet ( Pe 2). Alors que le schéma Upwind qui est un schéma de précision de premier ordre, est utilisé pour des grands nombres de Peclet ( Pe 2).

Le nombre adimensionnel Pe ou le nombre de Reynolds cellulaire est le rapport entre lecoefficient de convection et le coefficient de diffusion :

xu

x

u

D

C Pe (A-20)

Le schéma Hybride présente l‟avantage d‟être complètement conservative et très stable encomparaison avec les schémas d‟ordre supérieure de précision. En plus, elle a été approuvée

pour la prédiction des écoulements pratique. Le seul désavantage concerne l‟erreur detransaction de série de Taylor qui est seulement de premier ordre.

1.2.2 Résolution de l’équation discrétisée

Un ensemble d‟équations algébriques comprenant chaque une (ni-2) x (n j-2) équations estobtenue après la procédure de la discrétisation et l‟incorporation des conditions aux limites,avec ni et n j représente respectivement le nombre de volume de contrôle dans la directionlongitudinale et radiale.

À cause du grand nombre de volume de contrôle impliqué dans cette étude, il estimpraticable de résoudre les équations algébriques avec une méthode directe. Par conséquent,une méthode itérative a été suggérée pour rendre le système moins dense que dans sa formeinitiale. Ces méthodes itératives sont classées en deux catégories :

méthode itérative point par point. méthode itérative ligne par ligne.

Dans notre cas, ce système d‟équation est résolu par une méthode de balayage ligne parligne de Gauss-Seidel qui utilise une combinaison de la méthode Tri-Diagonal-MatrixAlgorithme (TDMA) pour une configuration monodimensionnelle et une méthode itérative

point par point de Gauss-Seidel.

D‟après la description monodimensionnelle de la méthode TDMA, l‟équation discrétiséed‟une variable Ф s‟écrit de la manière suivante, sachant que la direction E -W est supposéconstante :

j j j j j j j d acb 11 (A-21)

Avec j ,iab P j

j ,iac N j

j ,iaa S j

j ,iS j ,i j ,ia j ,i j ,iad uW E j 11 (A-22)

L‟algorithme TDMA consiste à une formule de récurrences des variables en question, par

conséquent on peut obtenir les nouvelles valeurs de Ф à l‟aide des conditions aux limites.




175

La forme de récurrence des coefficients est la suivante :

j j j j 1 (A-23)

Avec1

j j j

j

j

ab

c

(A-24)

1

1

j j j

j j j

jab

ad

(A-25)

L‟algor ithme utilisé dans la subroutine LISOLV est le suivant :

Calcul de α2 et β 2 à l‟aide des conditions aux limites (conditions d‟entrées).

Utilisation des relations A-25 et A-24 pour calculer α j et β j de j = 2 à j = n j - 1.

Assimiler les conditions aux limites de sortie pour α n j-1 et β n j-1.

Utilisation de la relation A-23 pour obtenir Ф j de j = n j - 1 à j = 2.

1.3 L’algorithme de couplage pression-vitesse

La méthode de discrétisation présentée jusqu'ici permet la solution d'une équation detransport générale, mais une difficulté est rencontrée quand cette méthode est employée pourcalculer les profils de vitesse. La difficulté est provoquée par le champ inconnu de la pressionet la non linéarité du terme convectif. Le problème est contourné par l'utilisation du maillagedécalé ou déplacé comme le montre la figure A-2. Ce décalage est effectué de telle manièreque les vitesses soient définies aux interfaces du maillage principal. Dans ce cas, le problèmese ramène à l'enchaînement de l'équation de continuité avec l'équation de quantité demouvement par l'intermédiaire de la pression.

L'algorithme SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equation) est utilisé pour déterminer le champ de vitesse et de pression. Nous développerons ainsi l‟algorithme :

De la même manière que l‟équation (A-17), les équations de la quantité de mouvementdiscrétisée sur les volumes de contrôles décalés s‟écrivent :

ew P W nb

nbnbw p A P P buaua (A-26)

Avec r r A pew

ns P S nb

nbnb s p A P P bvava (A-27)

Avec xr A sns

La procédure itérative commence par l‟estimation de la pression. Soit P * le champ de pression estimé. Les équations (A -26) et (A -27) sont résolues pour obtenir le champ devitesse associé u* et v* :

ew

*

P

*

W nb

*

nbnb

*

w p A P P buaua (A-28)

ns

*

P

*

S nb

*

nbnb

*

s p

A P P bvava (A-29)




176

(A) maillage pour la résolution de l'équation de la continuité et les variables scalaires.(B) maillage décalé pour calculer v(C) maillage décalé pour calculer u

Figure A-2 : Localisations des volumes d’intégration sur les maillages décalés.

On définit la correction de la pression P' comme la différence entre la pression correcte Pet la pression estimée P * :

P = P * + P' (A-30)

De façon similaire on définit la correction des vitesses u' et v' comme la différence entreles vitesses correctes u , v et les vitesses estimées u* et v* :

u = u* + u' (A-31)

v = v

*

+ v' (A-32)La soustraction des équations (A-28) et (A-29) des équations (A-26) et (A-26)

respectivement, et en utilisant les formules de correction (30-32), nous obtenons les équationsde correction de pression :

ew

'

P

'

W nb

'

nbnb

'

w p A P P uaua (A-33)

ns

'

P

'

S nb

'

nbnb

'

s p A P P vava (A-34)

A ce moment une approximation est introduite: les termes nb

'

nbnb ua et nb

'

nbnb va sont

négligés pour simplifier les équations (A-33) et (A-34). L‟omission de ces termes est la principale approximation de l‟algorithme SIMPLE. En effet il a été démontré numériquementque malgré cette approximation, on aboutit à un champ de vitesse qui vérifie l‟équation decontinuité.

On obtient :

'

P

'

W e

'

P

'

W

p

ew'

w P P d P P a

Au (A-35)

'

P

'

S s

'

P

'

S

p

ns'

s P P d P P a

Av (A-36)

N

S

EW P

n

s

ew

N

S

EW P

n

s

ew

N

S

EW P

n

s

ew

B CA




177

Les équations (A-35) et (A-36) décrivent les corrections qui doivent être appliquées auxvitesses à travers les formules (A-31) et (A-32), ce qui donne :

'

P

'

W w

*

ww P P d uu (A-37)

' P ' S s* s s P P d vv (A-38)

Des expressions similaires existent pour u' e et v' n :

'

E

'

P e

*

ee P P d uu (A-39)

'

N

'

P n

*

nn P P d vv (A-40)

Jusqu‟à maintenant, on a considéré les équations de conservation de la quantité demouvement, mais le champ de vitesse, en même temps doit satisfaire l‟équation de continuité.

La substitution des équations corrigées (37 –40) dans l‟équation de continuité discrétisée

(A-10) donne :'

nb

'

nbnb

'

P P b P a P a (A-41)

Avec a P = a E + aW + a N + aS – S p où S p = 0

a E = r e ρe d e Δr a N = r n ρn d n Δ x

aW = r w ρw d w Δr aS = r s ρ s d s Δ x

et b’ = [( r ρ u* )w – ( r ρ u* )e] Δr + [(r ρ v* )s – ( r ρ v* )n] Δ x (A-42)

L‟équation (A-41) représente l‟équation de continuité discrétisée comme une équation decorrection de pression p' . Le terme source b' apparaît à cause du fait qu‟on utilise un champde vitesse incorrect u* et v*. Si b' = 0 ceci implique plus de correction de pression nécessaire.Par la résolution de l‟équation (A-41), on obtient la correction de pression pour tous les pointsdu maillage et alors la pression correcte peut être calculée à l ‟aide de la formule (A-30) et lescomposantes de la vitesse avec les formules de correction (A-31) et (A-32).

L‟algorithme de résolution est le suivant :

1. Introduction des champs de vitesse et pression initiaux ( P *, u* et v*).

2. Résolution des équations de quantité de mouvement et détermination de u* et v*.[équations (A-28) et (A-29)]

3. Résolution de l‟équation de correction de pression donnant P ‟.[équation (A-41)]

4. Correction de la pression et des vitesses.[équations (A-37) – (A-40)]

5. Actualisation, prendre P *=P , u* = u et v* = v et retour à 2 jusqu‟à la convergence.

6. Stockage des résultats.

RemarqueDans le cas où l‟écoulement est compressible, l‟équation de continuité peu être utilisée

comme équation de transport pour la densité et la pression peut alors être obtenue en utilisant

la densité et la température à l‟aide de l‟équation d‟état P = f ( ρ , T ). Si l‟écoulement estincompressible alors la densité est constante et elle n‟est pas liée à la pression.




178

1.4 Traitement du terme source

La plus part du temps, le terme source est à l'origine de la divergence de la solution et parconséquent, une linéarisation approprié de ce terme conduit à l'accomplissement d'unesolution convergente.

Terme source pour k S k = G – ρε (A-43)

Puisque S k = S u + S P k donc S u = G et S P = – ρε / k = –ρ2 c μ k /μt (A-44)

Terme source pour ε

k C G

k C S

2

21

(A-45)

Puisque S = S u + S P donc t

u

Gk C C G

k C S

11 (A-46)

et k

C k

C S p

2

2

2 (A-47)

G est terme de production qui s‟écrit de la façon suivante :

x

u

x

u

x

uG

j

i

i

j

j

i

t

(A-48)

En coordonnée cylindrique G est donné par :

2222

2 x

v

r

u

r

v

r

v

x

uG

t (A-49)

Terme source pour u Le terme source de l‟équation de quantité de mouvement longitudinale s‟écrit :

dr dx x

vr

r x

ur

x x

P r Su

P

W

nw

sw

eff eff

(A-50)

Notons Su = A + B + C

r r P P dr dx x

P r A p P W

P

W

nw

sw

(A-51)

r r x

u

x

udr dx

x

ur

x B p

W

eff

P

eff

P

W

nw

sw

eff

(A-52)

Avec x

uu

x

u we

P

(A-53)

sw

eff

nw

eff

P

W

nw

sw

eff x

vr

x

vr xdr dx

x

vr

r C (A-54)

Avec x

vv

x

v Wnn

nw

(A-55)




179

Les expressions de S u et S p de l‟équation linearisée sont données par :

S u = A + B + C et S p = 0 (A-56)

Terme source pour v

Le terme source de l‟équation de quantité de mouvement radiale s‟écrit :

dr dxr

v

r

vr

r r

ur

xr

P r Sv

P

S

es

ws

eff eff

2 (A-57)

Notons Sv = A + B + C + D

xr P P dr dxr

P r A s P S

P

S

es

ws

(A-58)

r r ur

r ur dr dx

yur

x B

ws

eff

es

eff

P

S

es

ws

eff

(A-59)

Avec ys

uu

r

u ese

es

(A-60)

x x

vr

r

vr dr dx

r

vr

r C

S

eff

P

eff

P

S

es

ws

eff

(A-61)

Avec

r

vv

r

v sn

P

(A-62)

r xr r

vr x

r

vdr dx

r

v D s

s s

P

S

es

ws

2

222

(A-63)

Les expressions de S u et S p de l‟équation linearisée sont données par :

S u = A + B + C et r xr r

S s

s

p 2

2 (A-64)

Terme source d’un scalaire (température, fraction massique, de mélange)

Dans le cas d‟un scalaire passif, on a :S Ф = 0 Par conséquent S u = 0 et S p = 0

Dans le cas de la fraction massique non passif, on a :

1

2

Pr O F

Y ~

AB ,Y ~

A ,Y ~

Amink ~

~S (A-65)

Si le car burant ou l‟oxydant présente le minimum des trois taux, on a alors :

S u = 0 et Small Y ~Y

~

,Y ~

mink ~

~ AS F

O F p

2 (A-66)

S mall est utilisé pour que S p ne tende pas vers ∞.




180

Si le taux du produit présente le minimum des taux, on aura :

F F

F

Pr

Y ~

k ~

~ ABY

~ Z ~

k ~

~ AB

Y ~

Z ~

k

~

~ AB

Y ~

k ~

~ ABS

2

1

(A-67)

Par conséquent

F u Y ~

Z ~

k ~

~ ABS 2 (A-68)

k ~

~ ABS p

(A-69)

Terme source de fluctuation d’un scalaire (température, fraction massique)

Pour la fluctuation d‟un scalaire, le terme source s‟écrit :

22

21 '

t k

Cster

CsteS '

(A-70)

Donc2

1

r CsteS t u

et

k ~

~CsteS p

2 (A-71)

Avec 8622

1 .Sc

Cstet

et 22 Cste

1.5 La sous relaxation

La sous relaxation est souvent utilisée dans les problèmes non linéaires pour éviter que le processus itératif ne diverge pas. Elle consiste à diminuer la rapidité des changements d‟unevariable, d‟une itération à une autre, par l‟introduction d‟un coefficient de sous relaxation αΦ.

Les équations de transport, après avoir été discrétisées, s‟écrivent sous la forme généralesuivante :

nb

unpnp p p S aa (A-72)

Supposons que Φ p*, la valeur de Φ p à l‟itération précédente, on peut écrire alors :

*

p

p

nbunpnp

*

p pa

S a

(A-73)

Où le terme entre parenthèse représente le changement survenu à Φ p pendant une itération.Cette variation peut alors être amortie par l‟introduction d‟un facteur de sous relaxation α p dela manière suivante :

*

p

p

nbunpnp

*

p pa

S a

(A-74)




181

Multiplions l‟équation (A-74) par (a p /αΦ), on obtient :

*

p

p

nbunpnp

*

p

p

p

p aS a

aa

(A-75)

Soit *

p

p

nbunpnp p

p aS a

a

1 (A-76)

Cette équation se traduit dans le code de calcul par :

p

p

aa et *

p p

*

uu aS S 1 (A-77)

Cette sous relaxation est appliquée à tous les variables, sauf pour la pression. Elles‟effectue d‟une manière un peu différente compte tenu de l‟existence de l‟algorithme de

couplage vitesse-pression. Elle est simplement introduite dans la correction de pression P’ sous la forme suivante :

P P P P

* (A-78)

Tous les facteurs de sous relaxation doivent être compris entre les valeurs 0 et 1 et plusils sont faibles, plus la convergence est lente. Mais plus, ils sont forts, plus la sous relaxationest faible et plus il y a de chance de faire intervenir des instabilités dans le processus itératif.

Pour finir, rappelons que la valeur de ces coefficients peut être différente d‟une variable àune autre. Dans la présente étude, elles sont fixées à 0.5 pour la vitesse longitudinale etradiale ; 0.7 pour k , ε, T , Z et µt ; 0.5 pour la densité et 1.0 pour la pression.

1.6 Critère de convergence

Une procédure est convergente si toute erreur tend à décroître au cours des itérations. Elleconverge lorsque les itérations ne produisent plus de changements significatifs sur lesvariables selon un critère qui doit être défini par l'utilisateur. Le critère de convergence estdonc utilisé pour stopper le processus itératif lorsqu'il est satisfait.

Le critère de convergence utilisé repose sur le résidu d'une équation du problème(différence de deux solutions successives). Par conséquent, on procède au calcul du résidu quicorres pond à la somme, sur toutes les mailles, des erreurs effectuées sur l‟équation discrétiséeen question. Par définition :

1

2

1

2

ni

i

nj

j P P

nbnbnb aba RESOR (A-79)

Puis, ce résidu sera normalisé comme suit :

22

ji nn

RESOR RESOR

(A-80)

Par la suite, on définit SORCE comme le maximum des résidus de masse et de quantité demouvement : SORCE = MAX ( RESORM , RESORU , RESORV )

Un test se fait durant chaque itération, le nombre total d'itération ( NITER) est fixé à une

valeur maximale ( MAXIT ). Si cette valeur est atteinte ( NITER = MAXIT ), sans que le test soitvérifié (SORCE ≤ SORMAX ), le calcul s'arrête et on dit que la solution n'a pas convergé.




182

1.7 Fonctions de paroi

De point de vue numérique, les fonctions de parois sont utilisées pour calculer lacontribution aux termes sources dans les équations gouvernantes. Par conséquent, on imagineune frontière fictive entre la zone de paroi où les effets visqueux sont prédominants et la zoneloin de la paroi où la turbulence est développée (effets visqueux complètement négligeables).Sur cette frontière, on impose un certain nombre de relations et lois servant de conditions auxlimites qui régissent le comportement de l'écoulement soit dans la zone turbulente, soit dans lazone visqueuse et ce en fonction de sa position (valeur de y+).

Pour y+ > 11.63 : zone complètement turbulent (région de loi logarithmique y E Lnu

1 ).

Pour y+ ≤ 11.63 : zone visqueuse (région laminaire u+ = y+).

Avec

P yk C y

2141

(A-81)

y p est la distance entre le point p et la paroi.

Sachant que pour la fraction massique, ainsi que la fraction de mélange, on suppose que leflux normale à la paroi est nul, par conséquent Z wall = Y wall = 0, de même pour la vitesseradiale v = 0.

Pour y + ≤ 11.63

L'écoulement est supposé laminaire et la force de la paroi est introduite dans l'équation

discrétisé de la quantité de mouvement axiale comme un terme source.La valeur de l'effort de cisaillement du mur est obtenue à partir de la relation suivante

(Versteeg et Malalasekera, 1995):

p y

u

(A-82)

Par conséquent, la force de cisaillement est égale à :

cell

proiauadjacent controlede

volumedu surface p

N Anjr x y

u F

(A-83)

Puisque Su = S u+ S p u donc S u = 0 et S p = – ( / y P ) Acell (A-84)

Le flux de chaleur de la paroi à la cellule adjacent, dans le cas d'un écoulementlaminaire, est donné par la relation suivante (Versteeg et Malalasekera, 1995) :

cell

p

WALL P p

l

N A y

T T C q

(A-85)

Avec ζ l est le nombre de Prandtl laminaire.

D'où cell

p

p

l

p A y

C

S

et cell

p

WALL p

l

u A y

T C

S

(A-86)




183

Pour y + > 11.63

Le nœud p est considéré dans une région de loi logarithmique. Pour les nœuds situés prèsde la paroi nord, les fonctions utilisées sont les suivantes:

Equation de quantité de mouvement tangentielle à la paroi:

L‟effort de cisaillement ou la contrainte pariétale est donné par Gosman et Ideriah (1976) :

p p

y E Ln

uk C

u

uk C

21412141

(A-87)

Avec y E Lnu

1 (A-88)

κ : constante de Von Karman, κ = 0.4187

E : constante empirique de rugosité, dans le cas d'une paroi lisse, E = 9.793

Par conséquent, la force de cisaillement est égale à :

cell

p

cell N A y E Ln

uk C A F

2141

(A-89)

La contribution de l'effort de cisaillement est introduite dans le terme source de l'équationdiscrétisée de la quantité de mouvement axial.

Puisque Su = S u+ S p u donc :

S u = 0 et cell

p

p A

y E Ln

k C S

2141

(A-90)

Equation de l'énergie cinétique turbulente:

Pour l'équation de l'énergie cinétique de la turbulence, le coefficient nord correspondant auvolume de contrôle adjacent au mur est égale à zéro et la contribution au terme source estdonnée par :

v y

uk C

y

u

y

uG

p p

eff

23432

(A-91)

Par conséquent

v y

u

y

uGS

p

eff u

2

(A-92)

v y

uk C S

p

p

2143

(A-93)

Sachant que, pour y+ > 11.63 on a y E Lnu

1 et pour y+ ≤ 11.63 on a u+ = y+.




184

Equation du taux de dissipation:

La valeur du taux de dissipation qui doit être fixé au nœud adjacent à la paroi est donnée parGosman et Ideriah (1976) :

p

p y

k C

2343

(A-94)

La relation (A-94) est obtenue en supposant que le taux de production et de dissipation del'énergie cinétique turbulente sont égaux sur la paroi.

Pour fixer une valeur Φfix au centre d'un volume de contrôle P , on utilise la modificationsuivante des termes sources:

S p = – 1030 et S u = 1030 Φ fix

Par conséquent, l'équation discrétisé devient:

nb

fixnbnb p p aa 3030 1010 (A-95)

a p et anb devient négligeable dans l'équation précédente, d‟où on abouti à Φ p = Φ fix

Equation de la température:

Le flux de chaleur de la paroi à la cellule adjacent, est donné par la relation suivante (Versteeget Malalasekera, 1995) :

cell

WALL P p

N AT

T T k C C

q

2141

(A-96)

Par conséquent cell

p

p AT

k C C S

2141

et cell

wall p

u AT

T k C C S

2141

(A-97)

T +est donné par la relation suivante:

t

l t P uT

(A-98)

P est appelé 'pee-function' et peut être évalué par l'expression suivante (Jayatilleke, 1969) :

t

l

.

t

l

t

l ,exp.. P

007028011249

750

(A-99)




185

Figure A-3 : Champ de température et vecteur vitesse d’une configuration mettant en valeur les fonctions de paroi ( paroi de température 573 k entourant un domaine de calcul de température 273 k)

1.8 Procédure de calcul

La méthode itérative qui consiste à initialiser les calculs avec une approximation de lasolution puis d‟utiliser chaque itération pour se rapprocher de la solution exacte.

La structure générale du code de calcul est la suivante :

1. Lecture des données du problème ( LECTUR)

2. Génération du maillage ( INIGRD)

3. Calcul des quantités géométrique ( INIT )

4. Introduction du profil initial ( INVAR)

5. Calcul des propriétés de l‟écoulement ( PROPS )

6. Calcul de la composante axiale de la vitesse (CALCU )7. Calcul de la composante radiale de la vitesse (CALCV )

8. Calcul de la pression (CALCP )

9. Calcul de l‟énergie cinétique de la turbulence (CALCTE )

10. Calcul du taux de dissipation (CALCED)

11. Calcul des scalaires T , T ’ , Y et Y ’ (CALCFI )

12. Actualisation des propriétés de l‟écoulement ( PROPS )

13. Tester la convergence. Si le test n‟est pas satisfaisant, retour à l‟étape 6.

14. Calcul des composantes du tenseur de Reynolds (STRESS )

(2D) 21 Dec 2009

0 1 2 3 4

X ( m )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Y

( m

)

T

550

535

515500

480

460

440

423

400

385

365

348

330

310

290

275

(2D) 21 Dec 2009




186

Cette procédure est résumée par l‟organigramme suivant :

Figure A-4: Organigramme de simulation de la phase continue.

OUI

DEBUT

LECTUR

INIT

INIVAR

PROPS

CALCU

CALCV

CALCP

CALCTE

CALCED

CALCFI

PROPS

SORCE< 0.003

LISOLV

FIN

STRESS

MODФ

NON

INIGRD




187

1.8.1 Structure d'une subroutine de calcul d'une variable Φ

Le code de calcul contient des subroutines qui permettent le calcul des variablesu, v, P , Z, Y, k et . La structure de ces subroutines est identique pour tous les variables où ontrouve :

Calcul des aires et des volumes ( AREAN , AREAS, AREAEW , VOL) Calcul des coefficients de convection (C e ; C w ; C n ; C s) Calcul des coefficients de diffusion ( De ; Dw ; Dn ; D s) Calcul des coefficients anb (a E ; aW ; a N ; aS ) Calcul des termes sources (S p et S u) Traitement des conditions aux limites (axe de symétrie, paroi, sortie du domaine). Calcul du terme a P et du terme de résidu. Sous relaxation de la variable Φ. Solution de l‟équation de la variable Φ par appelle de la subroutine LISOLV .

2. Résolution numérique de la phase disperséeLa phase dispersée est traitée suivant une approche Lagrangienne, et ceux en résolvant

pour chaque particule ou goutte une équation de position, une équation de mouvement, uneéquation de température, une équation d‟évolution du diamètre, ainsi qu‟une équation de lavapeur dégagé ou libéré.

Pour cela, on dispose de trois techniques de résolution :

Méthode explicite : méthode non itérative

Méthode implicite: méthode itérative, le calcul se termine lorsque le résidu

(différence entre deux solutions successive) atteint une valeur minimale. Méthode semi-analytique : méthode où la vitesse de calcule est très rapide, mais

peut facilement mener à l‟introduction des incertitudes.

2.1 Méthode numérique du module de suivi des trajectoires des gouttes (particules)

La méthode retenue pour la résolution ou l‟intégration de l'équation de mouvement de la particule est une méthode complètement explicite (Runge –Kutta d‟ordre quatre). Le principedu suivi est que l‟ensemble des caractéristiques de la goutte ou la particule (vitesse et

position) à l‟instant t +t est calculé à partir des données équivalentes au pas de temps

précédent.

2.2 Méthode numérique du module de vaporisation des gouttes

Puisque les équations à résoudre ne sont pas linéaires, on adapte une méthode itérative. Latempérature de la goutte t T S à l‟instant t est connue, la fraction massique de la vapeur à lasurface est calculée grâce à la relation de Clausius-Clapeyron (3-7). Par la suite, on obtient ledébit vaporisé et la quantité de chaleur transmise au liquide. Une première estimation dudiamètre et de la température *

1T au temps t +δt sont obtenue immédiatement. On refait le

même calcul avec

21

*S S T t T

T

pour obtenir*

T 2 .




188

Le processus est répété jusqu'à la convergence, que l‟on définit par : K .T T * K

* K 101 .

La méthode implicite décrite ci-dessus s‟avère plus stable pour les équations que nousavons à résoudre, qu‟une méthode complètement explicite (celle de Runge-Kutta, parexemple).

La méthodologie suivie pour le module dispersé est résumée dans l'organigramme suivant:

Figure A-5 : Organigramme de simulation de la phase dispersée.

Gosman, A.D. and Ideriah, F.J.K. (1976) „Teach T Manual ‟, Department of MechanicalEngineering, Imperial College of Sciences and Technology, London, England.

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Toutes lesgouttes sont

injectées

Traitement statistique

NON

OUI

DEBUT

Injection d‟une goutte

FIN

Calcul des caractéristi ues de la outte

Lecture des données et initialisation



Annexe B Statistiques

189

Annexe B : Statistiques

Concernant l‟approche Lagrangienne qui est une approche statistique. Comme déjà signalédans la première partie (Dispersion de spray turbulent), un grand nombre de trajectoires de

particule doivent être considérer (de l‟ordre de 20000 à 30000). Les vitesses moyennes etfluctuantes des particules sont obtenues en établissant la moyenne de toutes les trajectoires quicroisent le volume de contrôle eulérien en question. La moyenne est obtenue sur l‟équation de

position (1-16) et l‟équation de mouvement (1-15 ou 1-56) à travers le temps. Puis l‟ensembledes moyennes obtenues sont moyennés azimuthalement.

La forme classique de l‟estimation de la moyenne et de la variance sont comme suit :

n

x

x

n

ii

n

1 (B-1)

1

2

12

1

n

x xn

ini

n (B-2)

Cependant, lorsque le coefficient de variation x

de la variable étudiée est faible, on rencontre

des problèmes de précision numérique quand on calcule la variance de façon classique (enstockant la somme des carrés). D‟une façon générale, il est préférable d‟utiliser l‟algorithmesuivant, dit algorithme de mise à jour. La moyenne sur un échantillon de taille n, noté n x , est

calculée à partir de la valeur obtenue précédemment, pour un échantillon de taille n-1 :

11 nnnnn x x x x (B-3)

Avec

n

ii

nn

p

p

1

(B-4)

Où P i est le poids associé à chaque observation xi.

La variance calculée sur l‟échantillon de taille n, et noté 2

n , est également calculée en

fonction des valeurs trouvées précédemment:

21

2

1

2 11 nnnnnnn x x (B-5)

Le calcule de la covariance est similaire:

111 11 nnnnnnnn y y x x xy xy (B-6)

CETAMA (Commission d‟établissement des méthodes d‟analyse du commissariat à l‟énergieatomique), 1986, „Statistique appliquée à l‟exploitation des mesures‟, 2eme édition,Masson, France.



Annexe C Relations stoechiométriques d’un hydrocarbure

190

Annexe C : Relations stoechiométriquesd’un hydrocarbure

Pour un mélange hydrocarbure/air, la réaction unique et globale s‟exprime comme suit :

22222424

xN m

nO H m

COn xN Om

n H C mn

Avec x = 79/21 = 3.76

Cinq espèces (fuel, O2, N2, CO2 et H2O) participent dans la composition du mélange. Puisquela fraction massique du fuel et la fraction de mélange sont calculés à l‟aide des équations detransports, la fraction massique des différentes espèces sont obtenues à l‟aide de relationsstœchiométriques.

O H CO Y K Y 22 3 (C-1)

F OO H Y Y K K Y 22 12 1 (C-2)

F N COO H O Y Y Y Y Y 2222 1 (C-3)

F OCOO H N Y Y Y Y Y 2222

1 (C-4)

O H CO Pr Y Y Y 22

(C-5)

Avec

2

211

O

N

W

W x K (C-6)

222

2

42

22

CO N O H

O H

W n xW m

nW m

W m

K

(C-7)

O H

CO

W m

W n K

2

2

2

3 (C-8)



Annexe C Relations stoechiométriques d’un hydrocarbure

191

Sachant que le rapport massique stœchiométrique oxygène/fuel est définit par:

F F

OO

W

W

22 (C-9)

L‟expression de Z est donné par:

2

2

,O F,1

,OO F

2

22

Y Y

Y Y Y Z

(C-10)

AvecY F,1 = 1 ; Fraction massique du fuel dans le combustible.Y O2,2 = 0.232 ; Fraction massique de l‟oxygène dans l‟oxydant.

Donc on peut établir les différentes relations stœchiométriques.

Dans le tableau suivant, on présente ces relations pour deux hydrocarbures, à savoir lePropane et le Méthane.

Propane C3H8 Méthane CH4

K 1 4.29 4.29

K 2 0.098576 0.123898

K 3 1.8333 1.2222

3.635 4

O H Y 2

F Y Z . 6351 F Y Z . 252

2COY F Y Z 3 F Y Z . 752

Pr Y F Y Z . 6354 F Y Z 5

2 N Y Z . 17670 Z . 17670

2OY 233086836353 . Z .Y . F 233023344 . Z .Y F

Tableau C-1: Relations stœchiométriques du Propane et du Méthane.



Annexe D Constantes dans le polynomiale de la chaleur spécifique

192

Annexe D : Constantes dans le polynomialede la chaleur spécifique

Les constantes dans le polynomiale de la chaleur spécifique Cp pour chaque espèce sontdéfinies dans le tableau suivant ; (Fluent Inc. 2003, Fluent 6.1 User‟s guide, Lebonon N.H.).

4

4

3

3

2

2

1

10 T aT aT aT aaCp (D-1)

Concernant la chaleur de réaction H R, elle est de l‟ordre de 5.008 x 107 J/Kg pour le propaneet de l‟ordre de 7.489 x 107 J/Kg pour le méthane, cependant la valeur utilisée dans nossimulations et tester pour plusieurs configurations est 4.489 x 107 J/Kg.



Annexe E Équations du modèle d’évaporation

193

Annexe E: Équations du modèled’évaporation

1. Calcul du débit vaporisé

En partant des équations classiques de la mécanique des fluides exprimés dans un repèresphérique cité ci dessous :

Equation de conservation de la masse :

4

0

22 m

dt

r d r

t d

r d r s

sl g (E-1)

Equation de conservation de la fraction massique du fuel 1Y :

r

Y Dr

r r

Y m g

11

21

0

4

(E-2)

Equation de conservation de la température :

r

T

r r r

T

C

m g vap

2

0

4 (E-3)

On suppose que le rayonnement thermique n‟est pas pris en compte, par conséquent lestransferts de température s‟effectuent par conduction et convection soit :

S

C

s

G T T hr

T q

(E-4)

Avec C h set le coefficient de convection.

Le flux de chaleur arrivant sur la goutte Gq est divisé en deux parties, une partie représente la

quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte LQ et une partie permet l‟évaporation du

liquide vap L avec :

LvapG s Q Lmqr 0

24 (E-5)

L‟équation du flux de Stephan s‟écrit:

dt

dr Y

dt

r d

Dr

dY D s

S

s

S

1

11 (E-6)

Faisons un changement de variable en introduisant le paramètre de Spalding.

11

1

s

Y

Y b (E-7)



Annexe F Équations du modèle d’évaporation

194

C‟est un ratio entre la fraction massique du fuel en tout point r et la fraction massique desespèces autre que le fuel à la surface de la goutte, par conséquent on aura b = b (r ).Il s‟agit à présent de réécrire le système d‟équations :

r

T r

r r

T C

m

r

b Dr

r r

bm

g vap

g

2

0

1

2

0

4

4 (E-8)

L‟équation du flux de Stephan s‟écrit :

t

r

r

b D S

S

1 (E-9)

Avec les nouveaux conditions aux limites

En r = r fM b = b

En r = r S b = bS L‟intégration du système d‟équation (E-8) donne :

2

2

0

11

2

0

4

4

C r

T r T C

m

C r

b Dr b

m

g vap

g

(E-10)

Avec les conditions aux limites citer si dessous et les équations (E-4) et (E-9) ; on obtient le

système suivant :

r

T r

C r m

T T hT T C

m

r

b Dr bb

m

g

vapS

S

C S

vap

g

S

2

20

0

1

2

0

4/4

14

(E-11)

On peut arranger les équations pour obtenir :

(E-12)

vapS

S

C S

vap

g

S g

C r / m

T T hT T

T

r

r C

/ m

bb

b

r

r

D

/ m

20

2

0

2

1

0

4

4

1

4




195

En intégrant une seconde fois ; On obtient :

'

2

0

20

'

1

1

0

4/1

4/

4/11

C C m

r C r m

T T hcT T Ln

C D

m

r bb Ln

VAP

g vapS

sS

g

S

(E-13)

En appliquant les conditions aux limites en r = r fT et en r = r fM et en utilisant les équations(E-5) et (E-9), on abouti au système suivant :

vapS

S S

vapS

S S

fT

vap

g

S

S

fM g

C r m

T T hcT T

C r m

T T hcT T

Lnr r

C m

bb

bb

Lnr r D

m

)4/(

)4/(114/

1

1114/

20

200

1

0

(E-14)

Soit finalement :

vapS

S S

vapS

S

S

fT

fT

vap

g

S

S

fM

fM

g

C r m

T T hcT T

C r m

T T hcT T

Lnr r

r r C

m

bb

bb Ln

r r

r r

D

m

)4/(

)4/(4/

1

14/

20

200

1

0

(E-15)

En remplaçant r par r S ; b par bS et T par S T on peut déterminer le flux de Masse à la surfacede la goutte.

1

4/4

114

20

0

0

C

VAP S

fT

fT

VAP

g

S

fM

fM

g

h

C r m

Lnr r

r r

C m

bb Lnr r

r r Dm

(E-16)




196

Soit B M le coefficient de diffusion de Spalding lié aux espèces définit comme suit :

S

S S

M Y

Y Y bb B

1

11

1

(E-17)

Soit BT le nombre de transfert de chaleur de Spalding définit tel que :

hc

C r m B

VAP S

T

2

0

4/ (E-18)

On définit aussi deux nombres convectifs :Sherwood Convectif

S fM

fM

r r

r Sh

2

* (E-19)

Nusselt Convectif

S fT

fT

r r

r Nu

2* (E-20)

Par conséquent le flux total de masse quittant la surface peut être écrit sous la forme suivant :

12

12

4

*

1

*

1

0

M S g

M S g

B LnShr D

B LnSh

r Dm

(E-21)

12

12

4

*

*0

T S

VAP

g

T S

VAP

g

B Ln Nur C

B Ln Nu

r C

m

(E-22)

2. Quantité de chaleur servant à réchauffer la goutte

En partant de l‟équation (E-22), et en utilisons l‟équation (E-18), exprimons le coefficient

de convection hc en fonction du débit massique de l‟espèce à la surface de la goutte0

m :

*

0

2exp1

Nur

C m B

S g

VAP T

(E-23)

12

exp

4/

*

02

0

Nur

C m

hc

C r m

S g

VAP

VAP S

(E-24)

doncT

VAP

g

VAP

VAP

B

D

C m

Nu D

C m

D

C m

hc2

0

*

0

2

0

1exp

(E-25)




197

Or le nombre de Nusselt de la goutte est définit par :

T

T

B

B Ln Nu

Dhc Nu

1*

, donc :

VAP

S LmT T hc DQl 0

2

VAP S

T

VAP LmT T BC m

00

)1(*)(2 T

vap

vap s

g s B Ln NuC

LT T Nur (E-26)

D‟où

vap

vap s

g sC

L )T T ( Nur Ql 2 (E-27)

3. Evolution du diamètre de la goutteOn partant de l‟équation (E-1), et en utilisant l‟équation (E-22), qui permet de calculer le

débit massique de l‟espèce à la surface de la goutte0

m , on peut écrire :

dt

r d r B LnShr Dm s sl M S g

2*

1

0

412 (E-28)

Par conséquent 12

*

1 M

l

g s s B LnSh D

dt

r d r

(E-29)

1*1

2

M

l

g S B LnSh Ddt r d

(E-30)

14 *

1

2

M

l

g B LnSh D

dt

Dd

(E-31)

12 *

1 M

l

g B LnSh D

Ddt

Dd

(E-32)

Multipliant en haut et en bas par vapC et g , on obtient :

vapl

g M

*

vapl g

g vap M

*

C D

B Ln Le

Sh

C D

DC B LnSh

dt

Dd

12

12

1

1

(E-33)

D‟où l‟obtention de la relation d‟évolution du diamètre de la goutte :

vapl

g

C Ddt Dd

2 (E-34)



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RESUME

Ce travail porte sur l‟étude numérique et théorique de la combustion dans les brouillards degouttelettes dans une configuration de jet rond turbulent.

Cette étude s‟appuie sur des résultats issus de simulation de type Euler/Lagrange qui

résolvent directement les équations instantanées de la phase gazeuse et effectuent un suivilagrangien des trajectoires des gouttes.

La configuration étudiée représente des gouttes de combustibles ou des particules de verresinjectées à haute vitesse dans une turbulence. Le mouvement des gouttes ou des particules estsupposé uniquement gouverner par la force de traînée visqueuse et la force de graviter-flottabilité. Le chargement de la phase dispersée est suffisamment important pour qu‟ellesinfluent sur la phase gazeuse (couplage inverse) mais suffisamment faible pour pouvoirnégliger les collisions inter particulaires.

Documents

Modélisation d’un écoulement diphasique réactif dans un jet turbulent axisymétrique suivant une méthode Eulérienne Lagrangienne.pdf