Modélisation et analyse des systèmes : Travail MATLAB

A. Collard et E. Quaeghebeur – SYST002

Université de LiègeAnnée académique 2013-2014

Consignes du travail

La solution du travail doit comprendre :— un script MATLAB nommé « nom_prenom_syst002_script.m » (en minuscules et sans ac-

cents). Ce script exécutable dans MATLAB doit contenir les commandes exactes utilisées pourla résolution, y compris les commandes pour afficher les figures. Séparer clairement les diffé-rentes questions et sous-questions par des alinéas et du commentaire (par exemple %% Q2 5

afin de créer une nouvelle cellule). Veiller à afficher chaque graphique dans une nouvellefigure (commande figure(’name’, ’description de la figure, incluant le numéro de

la question’)).— un court rapport nommé « nom_prenom_syst002_rapport.pdf » (en minuscules et sans ac-

cents). Ce rapport au format PDF 1 doit contenir les réponses aux questions (valeurs numé-riques, calculs analytiques, observations, etc.). Ce rapport ne doit contenir ni le script MAT-LAB, ni les figures (ces dernières sont générées à partir du script). Séparer clairement lesdifférentes questions et sous-questions et faire référence aux figures via leur numéro.

Ces deux fichiers doivent être envoyés à l’adresse anne.collard@ulg.ac.be pour le 20 décembre

2013 au plus tard avec en objet l’intitulé suivant « nom prenom syst002 matlab ».

Bon travail !

Enoncé du travail

Ce travail est consacré à l’étude du comportement d’un satellite géostationnaire. Ces satellites sontfort utiles dans le domaine des télécommunications, par exemple.

Mouvement d’un objet à proximité d’un corps lourd

Considérons un objet de masse m dans le champ de gravité d’un corps lourd de masse m0 (dansce travail, la terre). La position de cet objet peut être notée par le vecteur (dépendant du temps) ~r.Habituellement, ce vecteur utilise les coordonnées sphériques (r, φ, θ), illustrées à la figure 1.

Les équations régissant le mouvement de ce corps peuvent être écrites grâce aux lois de Newton.On a

r = rφ2 sin2 θ + rθ2−

Gm0

r2+

ur

m

φ = −2r

rφ − 2θφ cot θ +

uφ

mr sin θ

θ = φ2 cos θ sin θ − 2r

rθ +

uθ

mr

(1)

1. Une liste de différents programmes permettant de créer des PDF est disponible à la page

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_PDF_software .

1

r

θ

φ

Figure 1 – Illustration des coordonnées sphériques

où ui est une force agissant dans la direction i. Ces ui peuvent être utilisées pour représenter la forceexercée par des propulseurs ou par un second corps lourd (par exemple, la lune). G est la constantede Cavendish 2.

Lois de Kepler

La première loi de Kepler est relative à l’orbite elliptique d’un satellite. Elle s’écrit

r =ℓ

1 + e cos ϕ, (2)

avec ϕ qui est égal à φ lorsque les axes sont choisis tels que θ = π/2. ℓ est appelé le demilatus rectumet e est l’excentricité. e = 0 dans le cadre d’une orbite circulaire.La seconde loi de Kepler est la loi des aires.La troisième loi de Kepler est la loi des périodes. Elle se note

(

T

2π

)2

=m

ka3, (3)

où T est la période orbitale, k = Gm0m et 2a est le grand axe de l’ellipse.

Question 1

1. Considérons un satellite géostationnaire. Utilisez les lois de Kepler pour calculer la distance entrecelui-ci et le centre de masse de la terre (le ‘rayon’ de l’orbite géostationnaire, notée a∗) et savitesse angulaire ω. Pour rappel, un satellite géostationnaire est un satellite artificiel qui se trouvesur une orbite géostationnaire. Sur cette orbite le satellite se déplace de manière exactementsynchrone avec la planète et reste constamment au-dessus du même point de la surface. Notezque l’orbite géostationnaire est parfaitement circulaire. Utilisez le plan équatorial comme plan deréférence (i.e. choisissez θ = π/2), et notez φ0 = φ(0). Indice : pour être totalement synchroneavec la terre, quelle doit être la période de révolution du satellite ?

2. Donnez (r(t), r(t), φ(t), φ(t), θ(t), θ(t)) pour le satellite géostationnaire.

3. Montrez que l’orbite géostationnaire vérifie les équations (non forcées, i.e. sans entrées) dumouvement (1).

4. Ecrivez les équations du mouvement par un ensemble de 6 équations, en utilisant les variables(r(t), r(t), φ(t), φ(t), θ(t), θ(t)) comme variables d’état.

2. Les constantes utiles à la réalisation du travail sont disponibles à la fin de l’énoncé

2

Question 2

Le modèle utilisé à la question précédente est non-linéaire, et utilise des variables dimensionnelles.Pour la suite du travail, nous allons avoir besoin d’un modèle adimensionnel et linéaire. On peutrendre le modèle adimensionnel en utilisant la vitesse angulaire ω, le rayon a∗ et la masse m dusatellite comme références. Le modèle est donné aux équations (4), où les majuscules représentent desvariables adimensionnelles, et le symbole ′ indique une dérivée par rapport à la variable adimensionnelleτ , avec τ = ωt.

R′′ = R(Φ′)2 sin2 Θ + R(Θ′)2−

1

R2+ UR

Φ′′ = −2R′

RΦ′

− 2Θ′Φ′ cot Θ +UΦ

R sin Θ

Θ′′ = (Φ′)2 cos Θ sin Θ − 2R′

RΘ′ +

UΘ

R

(4)

Les variables adimensionnelles sont définies par les équations suivantes.

R(τ) =r( τ

ω)

a∗

Φ(τ) = φ(τ

ω)

Θ(τ) = θ(τ

ω)

UR(τ) =ur( τ

ω)

ma∗ω2

UΦ(τ) =uφ( τ

ω)

ma∗ω2

UΘ(τ) =uθ( τ

ω)

ma∗ω2

(5)

1. Que valent (R(τ), R′(τ), Φ(τ), Φ′(τ), Θ(τ), Θ′(τ)) pour l’orbite géostationnaire ? Notez Φ0 =Φ(0).

2. Linéarisez les équations (4) autour des coordonnées calculées au point précédent, et des entrées(UR, UΦ, UΘ) = (0, 0, 0). Notez V les variables linéaires (V représente un état ou une entrée).

3. Donnez le modèle d’état linéaire (matrices A, B, C, D) du système, lorsque— la sortie est R.— la sortie est Φ.

4. L’étude du système linéaire peut être découplée, i.e. on peut étudier séparément le comportementde (R, Φ) et de Θ. Expliquez pourquoi ce découplage est possible.

5. Illustrez l’effet de la linéarisation. Pour cela, tracer le champ de vecteurs (R′′, Φ′′) dans le plan(R′, Φ′), en utilisant le modèle linéaire. (Note : utilisez meshgrid et quiver pour tracer le champde vecteurs, et considérez R = 0.) Sur le même graphique, tracez (dans une couleur différente)le même champ de vecteurs, en utilisant cette fois le modèle non-linéaire (utilisez Θ = Θ′ = 0).Que constatez-vous ? Refaites l’exercice sur une figure séparée, en considérant cette fois Θ = π/6et Θ′ = 0. Que constatez-vous ? (Attention : n’oubliez pas d’exprimer le modèle non-linéaire enfonction des variables linéaires, ceci afin de pouvoir superposer les champs de vecteurs.)

Question 3

Dans la suite du travail, nous noterons X = (R, R′, Φ, Φ′)T .

1. En utilisant R comme sortie, entrez le modèle linéaire relatif à X dans Matlab.

2. Procédez de même pour un modèle ayant Φ comme sortie.

3

3. Calculez la réponse impulsionnelle de chaque système, et illustrez ces réponses pour un tempsallant de 0 à 100. Que constatez-vous ? En particulier, tracez sur une même figure l’évolution deR dans les cas suivants : sans entrée, avec une entrée UR(τ) = δ(τ), avec une entrée UΦ(τ) = δ(τ).Procédez de même pour Φ, et interprétez le résultat. D’après vous, l’ordre de grandeur de cesréponses est-il réaliste ? Expliquez pourquoi on observe cet ordre de grandeur, et comment ilfaudrait modifier l’entrée pour changer ce comportement.

4. Etudiez la stabilité du système. Pour cela, calculez la réponse indicielle des systèmes, en utilisantdifférentes paires entrée-sortie. Que constatez-vous ?

5. Soit une entrée UR rectangulaire, commençant en τ = 0 et se finissant en τ = 1. Calculez laréponse R du système à cette entrée,— en utilisant conv.— en utilisant step.Affichez les deux réponses sur une même figure, pour τ ∈ [0, 10]. Que constatez-vous ?

Question 4

1. Calculez le diagramme de Bode des deux systèmes linéaires (Q.3.1 et Q.3.2).

2. En vous basant sur le diagramme de Bode, expliquez comment chaque système réagira à uneentrée UR sinusoidale de fréquence égale à la fréquence du satellite.

3. Confirmez votre réponse en calculant la sortie de chaque système pour une telle entrée.

4. L’impact de la présence de la lune sur les mouvements d’un satellite géostationnaire peut êtremodélisé par des entrées dans le système. On peut considérer que l’impact de la lune sur lemodèle linéaire du satellite correspond à deux entrées— UΦ = A sin(ϕ0 + λτ), où λ = (1 −

ωℓ

ω), ω est la fréquence (vitesse angulaire) du satellite et

ωℓ celle de la lune. Dans notre modèle adimensionnel, A ≈ 3, 5 10−6.— UR = A∗ + A cos(ϕ0 + λτ). Dans ce cas, A∗

≈ 8, 1 10−7.A partir des diagrammes de Bode, expliquez si la lune aura une réelle influence sur les déplace-ments du satellite, ou non (vous pouvez considérer ϕ0 = 0). Confirmez votre réponse en calculantles sorties R et Φ pour ces entrées.

Question 5

1. Le modèle utilisé jusqu’à présent est un modèle continu. La méthode d’Euler permet de remplacerX ′ par ∆ǫX−X

ǫ. En utilisant cette formule et en notant Z[n] = X(nǫ), donnez un modèle d’état

discret pour le satellite géostationnaire. La sortie est donnée par la première variable d’état(correspondant à R(τ) dans le modèle continu).

2. Un facteur important lorsque l’on discrétise un modèle est la valeur de la période d’échan-tillonnage. Entrez le modèle discret dans Matlab, pour différentes valeurs de ǫ. En comparantles diagrammes de Bode des systèmes discrets au système continu, expliquez sur quels critèresdoivent se baser le choix de la période. En particulier, quelle valeur choisissez-vous ? (Indice :Concentrez-vous sur le diagramme de Bode en amplitude).

3. Montrez la différence entre les réponses indicielle et impulsionnelle du modèle discret et dumodèle continu. En particulier, le modèle discret permet-il de conserver le même type de réponseque le modèle continu ?

Constantes utiles

— G = 6, 674 10−11N m2/kg2, la constante de Cavendish,— m0 = 5.9736 1024, la masse en kg de la terre,— T0 = 23h56′4′′, la période de rotation de la Terre sur elle-même,— R0 = 6378, 137 km, le rayon de la Terre,— Tℓ = 27, 3 jours, la période de rotation de la lune autour de la Terre.

4