Modles continus pour les structures rocheuses tenseurs de vitesse de macrodformation e ... plifie les notations en introduisant les adjoints des dif-frents tenseurs. t,jt = - e,;1o*t, Fui.

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  • l'slIEl5lurl.$ll,

    ' Centre d' enseignementet de recherche

    . en mcanique des so/sEcole nationale des pontse:t chaus s e s/Lab oratoire

    central:des poniset chusiees

    6- B, av enue tslarse-PascalCit Descrtes

    Chaynps-sur-Mrne77455 Marne-la-Valle

    Cedex 2, Francesulern@cermes enpc,fr

    " ,'

    Insfituto de materia/esy m,odeJos esfnlc turales

    Unlversitad centralde Venezuela, IIWME

    Facultad de Ingenierial/niversitad central

    de VenezuelaApartado Postal 5036I

    Caracas 1050, Venezuelamcerrola@reacciun.ve

    Continuous models for discontinuousrock structures

    lP 7hI v'",ffiI g,

    '''4ffi.

    | +a '///I an ''/l -0 "/."m

    ''rrffi

    ffi',ffi

    %l{Dt; Les dlscussions surcet article sont acceptes

    jusqu'au 30 juin 2002.

    41REVUE FRANAIsE oE corecuNteuE

    N" 974e trimestre 2001

    Modles continuspour les structures rocheusesdiscontinues

    on prsente un modle continu de cosserat pour lesstructures de blocs rocheux. L'introduction d'unerotation de Cosserat et de couples de contraintes permetde prendre en compte la rotation individuelle des blocs etleur rigidit en flexion. On montre que le domaine devalidit de cette homognisation est tendu au cas destructures dont les dimensions sont un faible multiple dela taille des blocs. Par ailleurs diffrents modes deplastification par glissement inter-blocs ou pivotementdes blocs sont introduits dans un modle de plasticitmulticritres. ce modle est illustr par l'tude de larponse d5mamique d'une structure de maonnerie et pardeux exemples de gotechnique, la stabilit d'unefondation souple et la stabilit d'une pente dans unmassif constitu de blocs rocheux.

    Mots-cls : roches fractures, stabilit des pentes,homognisation, milieux de Cosserat.

    The discontinuous structure of blocky rock is approximated byan equivalent Cosserat continuum. This implies the introductionof couple stresses and internal rotations which model therelative rotations between blocks and the bending stiffness ofthe blocks. It is shown that the domain of validity of thehomogenisation is extended to the case of structures with fewblocks. The advantage of the Cosserat homogenisation forblocky structure is also that various failure modes such as inter-block slip and block tilting can be easily described through amulti-criteria plasticity model. This model is illustrated by theanalysis of the d5mamic response of a masonry structure and bytwo examples of soft foundation and slope stability in blockyrock.

    Key words ; jointed rock, slope stability, homogenisation,Cosserat medium.

  • lntroductionIl est courant d'observer que sous l'effet des

    contraintes tectoniques, un massif rocheux prsente unrseau rgulier de fractures lui donnant du point de vuemacroscopique l'apparence d'une structure de blocsrocheux. La mcanique des milieux continus classiquesoffre un cadre appropri et bien tabh lorsqu'il s'agit demodliser un processus de dformation dont la longueurd'onde dominante est grande compare la taille carac-tristique des discontinuits de la structure consid re.Les mthodes d'homognisation permettent de dfinirles caractristiques mcaniques d'un milieu continuquivalent, grande chelle, au matriau discontinu ini-tial (Bakhalov et Panasenko, 19Bg). L'intrt de dvelop-per une approche continue pour un milieu htrogneou discontinu rside dans le fait que les approches < dis-crtes > (Cundall et Hart, 1992) conduisent des calculsnumriques considrables lorsque le nombre des dis-continuits ou des htrognits augmente. Parmi lesavantages d'une reprsentation par milieu continu qui-valent, oD peut galement citer le fait que le maillage parlments finis utilis pour la rsolution d'un problmeaux limites est indpendant de la gomtrie des discon-tinuits. Enfin, dans certains cas, comme pour desmilieux rocheux largement fracturs, on ne dispose pastoujours d'information prcise sur Ies rseaux de failleset de joints et seules des valeurs moyennes des modulesde dformation peuvent tre utilises.

    Le milieu continu homognis ne peut reproduireque Ie comportement grande chelle du matriau relet c'est l sa principale limitation. On peut cependanttendre le domaine de validit de l'approche continue enayant recours des modles de milieux continusd'ordres suprieurs ou milieux continus gnraliss quipossdent dans leur formulation des degrs de libertcinmatiques supplmentaires comme les milieux deCosserat (Cosserat, 1909) etlou des gradients de dfor-mation d'ordres suprieurs. Les modles de milieuxcontinus gnraliss contiennent dans leur descriptionune ou plusieurs longueurs internes relies la micro-structure du matriau. Dans cet article, oo prsente toutd'abord le cadre gnral de la mcanique des milieuxcontinus gnraliss travers le formalisme de Mindlin(1964). Les milieux stratifis et les structures de blocsreprsentent deux exemples pour lesquels la thorie deCosserat est tout fait adapte. Ces deux exemples sontprsents et illustrs pour le cas de structures de maon-nerie et pour celui de la stabilit de pentes rocheuses.

    EMilieux continus gnralisset formalisme deMindlin

    La description de la statique et de la cinmatiquedes milieux continus possdant une microstructure (oumilieux continus gnraliss) a t prsente d'unemanire systmatique par Germain (1973a, b) partirde l'application du principe des puissances virtuellesen suivant le formalisme propos par Mindlin (1964).

    Dans une description classique, un milieu continuest une distribution de points matriels caractriss parune position X et une vitesse v. Dans une thorie quiprend en compte Ia microstructure du matriau, oh

    associe chaque particule matrielle un continuumC(X) dformable autour du point X appel microvo-Iume. Les tenseurs de vitesse de macrodformation eet de macrorotation c sont dfinis comme la partiesSrmtrique et la partie antis5rmtrique du gradient duchamp de vitesse :

    1r^ ,, l rnr, : V@,v t

    + rvy) ,0,j - ;(iv,, - rv;) (1)L

    On dfinit un tenseur de vitesse de microdformationV correspondant la dformation du microvolume C(X)suppose homogne. La vitesse dformation relative y estalors dfinie comme Ia diffrence entre le gradient demacrovitesse et la vitesse de microdformation :

    Y=Vv-Y

    Enfin, on dfinit le tenseur d'ordre 3 de gradient devitesse de microdformation

    r-VY (3)Les quantits statistiques duales drivent alors de

    l'application du principe des puissances virtuelles et del'expression de la puissance des efforts intrieurs :

    u/, = tueu + ouyu + l,ruu Krr @)o r est le tenseur de contrainte de Cauchy (sym-trique) associ au tenseur de vitesse de macrodforma-tion r ; cr, est le tenseur de contraintes relatives associau tenseur de vitesse de dformation relative y ; p est letenseur de double contraintes associ au gradient devitesse de microdformation r (tenseur d'ordre 3)

    On peut crire lasous la forme

    Ev\/i) -o o = r + cr est le tenseur de contraintes totales.

    Le principe des puissances virtuelles permetd'crire les quations d'quilibre pour un milieucontinu gnralis sous la forme

    :or* { = 0 (6)0**,;"t,,u+O-u-g

    o f et O reprsente respctivement les forces de volumeet les doubles forces de volume. Du principe des puis-sances virtuelles on dduit galement les conditions auxfrontires. On suppose que la frontire V du volume Vconsid r est divise en deux parties complmentaires,{V,, V) et {Vu/ Vu} respectivement, telles QUe :

    surVr:u-usurVr:V-Vlsur AV": o.n -T

    J)

    sur Vu: p.n - TLe formalisme ci-dessus permet d'obtenir les quations

    de base d'un milieu de Cosserat. Un milieu de Cosserat estun milieu micropolaire pour lequel le microvolume C(X)est un corps rigide. Par consquent un milieu de Cosseratest un milieu continu qui associe chaque point matrielune vitesse de translation et une vitesse de rotation proprecrl' diffrente de la rotation d'ensemble rrl. Dans la suitel'indice c sera utilis pour distinguer la rotation de Cosse-rat de la rotation macroscopigue. Par consquent, le ten-seur de microdformation est purement antis5rmtrique eton l'identifie rrl', et le gradient de microrotation, gale-ment antis5rmtrique, reprsente un tenseur de courbure ;

    'Yri=Tij = tij

    K..,UK

    (2)

    puissance des efforts intrieurs (4)

    orru' - or.V, * l"rurKyr (5)

    Ito,,-'*;r= ro.;f

    (B)

    42REVUE FRANA|SE or comcHNlQUEN'974e trimestre 9001

  • La partie symtrique du tenseur de dformationrelative y concide avec le tenseur de macrodforma-tion e et la diffrence entre macro- et microdforma-tion est purement antis;rmtrique et reprsente la diff-rence entre la rotation individuelle du microvolume etla rotation d'ensemble du domaine autour du microvo-lume.

    Les quantits statiques qui apparaissent dans unmilieu de Cosserat se dduisent de l'application duprincipe des puissances virtuelles. Le tenseur decontraintes relatives o coincide avec la partie antisy-mtrique du tenseur de contraintes totales o. On sim-plifie les notations en introduisant les adjoints des dif-frents tenseurs.

    t,jt = - e,;1o*t, Fui. = - u,ITIo,, @,, = - e,jo @0, T,j - - eupMt (9)o e est le tenseur de permutation dfini par

    1 si 4k est une permutation paire de 123-1 si rJk est une permutation impaire de 123 (10)0 sinon

    abcd (ou micro-lment) dont les cts sont petits com-pars l'paisseur des couches (Fig. 1).

    ;.1.li;i.i,li;i'ii.iiiiiiiiiiiiiitit::1i::1111t:iftiff1til;ttttt1t': Schma d'un milieu stratifi.

    Si la s5rmtrie des contraintes tangentielles est res-pecte pour le micro-lment, celle-ci est viole pour lemacro-lment ds qu'il y a glissement le long desfrontires des couches. L'quilibre est alors assur parl'apparition de moments de flexion (Fig.2) ,

    e,UK

    II

    ro' est le vecteur dedes moments etcontraintes.

    -

    rotation de Cosserat,m est la densit de

    O et M sontcouple de

    dM

    =*Tr*-Tr*:0ax(12)

    Un exemple d'applicationdes milieux deCosserat Iles massifs rocheux stratifis

    ,: ti(u" - u1u)

    La structure stratifie du matriau conduit unedouble chelle : une chelle macroscopique o l'l-ment de volume reprsentatif peut tre reprsent parle rectangle ABCD (ou macro-lment) dont les ctssont grands par rapport l'paisseur des couches etune chelle microscopique reprsente par le rectangle

    Les massifs rocheux sont Ie plus souvent fracturs.Bien que le rseau de fractures puisse tre complexe,on peut gnralement observer une certaine rgularitdes discontinuits, i.e. des directions prfrentiellesd'orientation de la fracturation. Les fractures sont sou-vent rugueuses et remplies par un matriau plustendre , ce qui cre une rsistance au glissement relatifle long des deux faces de la discontinuit. Desapproches similaires celles dveloppes pour lesmatriaux composites ont t appliques pour repr-senter les roches stratifies par un milieu continu qui-valent anisotrope (Salamoil, 1968) . La taille du volumelmentaire du milieu homognis est grande com-pare l'paisseur des couches individuelles. Cetteapproche est valide tant qu'il n'y a pas de glissementinterne le long des couches.

    Considrons un milieu plan infini constitu decouches lastiques planes parallles identiques d'pais-seur 2h. Soit u et w les composantes du dplacement.On suppose que le poids des couches suprieuresempche l'ouverture des joints. Pour une loi d'interfacelastique le glissement tangentiel le long des jointss'crit de facon linaire :

    1_

    dx

    Rupture de symtrie des contraintestangentielles.

    Ces moments de flexion des couches conduisent une rotation locale comme degr de libert supplmen-taire de la cinmatique du macro-lment. Cette rotationlocale ne peut tre prise en compte dans le cadre de lamcanique des milieux continus classiques et ncessited'avoir recours la thorie de Cosserat. Par ailleurs, cesmoments de flexion donnent naissance de forts gra-dients dans la distribution locale des contraintes. Celaaffecte sensiblement la fois le mode de dformation etle mode de rupture des diffrentes couches. l1tlTJ

    REVUE FRANAISE DE GEOTECHNIQUEN" 97

    4e trimestre 9001

    ",{

    (11)

    4rlI

  • Dans un milieu de Cosserat bidimensionnel, la cin-matique de chaque point matriel est dfinie par deuxdegrs de libert de translation (u, w) et un degr delibert de rotation rrr' (Fig. 3). Le tenseur de dforma-tion relative et le vecteur courbure (quation B) s'expri-ment de la facon suivante :

    (t)c

    ^"

    l,/v-X1

    o11 = (K+ G)Ty + (K - G)yzz622= (K- G)ytL + (K + G)Tzz

    612= [G + G,]yrr+ (G - G,)Tz,621= (G - Gr)yrr+ (G + G,)T21

    IT), = M*,IT), = M*,

    Dans les relations de comportement (15), K est le modulede compressibilit bidimensionnel et G est le module decisaillement qui relie la partie symtrique de la dformationdviatorique la partie s5rmtrique de la contrainte dviato-

    u u (-T**: ^ ;T*r=;*rlr-Ox c,z

    wewcTrr=-,Tr, - ^ -CI' (13)Oz Ox

    cot crr'K" =

    = )Kz: ^-

    x2

    Ox OZ

    b,x2

    x, + dx,

    x2

    x, + dx,

    x, + dx,

    d*, (a)

    (b)

    xt

    xtxt

    m" ,IIlz f ;-OXZ

    -:,:'

    *'(lozr

    m,

    I \'' + a;;dx 'l/6zt

    Uo',lll2

    'ffiif*$r1*,,ffii,tffiffiffi QuantitscinmatiquesdansunmilieudeCosserat.

    Les quations d'quilibre (6) en l'absence de forceset de couples de volume deviennent :

    oo , or, _n----vx z

    M+?,'- o r 4)x z

    m- m-+++*or* -or* =0Ox OZLes deux premires equations d'quilibre sont for-

    mellement les mmes que pour un milieu continu clas-sique. Une quation d'quilibre supplmentaire pourles couples de contraintes est introduite (Fig. a).

    Les quations de comportement d'un milieu de Cos-serat bidimensionnel lastique isotrope s'crivent(Schaefer, 1962; Vardoulakis et Sulem, 1995) :

    X2

    xl x, + dx,

    iiuxliiilfiiiiliilifii;i$ffii#iiiii quation d'quilibre dans un milieu deCosserat. (a) quilibre des forces ; (b)quilibre des moments.

    rique. IJn autre module de cisaillement G. (module de cisaille-ment de Cosserat) est introduit qui relie la partie antis5rm-trique de Ia dformation relative la partie antisSrmtrique deIa contrainte dviatorique. Enfin, les couples de contraintessont relis aux courbures correspondantes par un module deflexion M qui a la dimension d'une force. Ainsi, dans unmilieu de Cosserat bidimensionnei lastique isotrope deuxparamtres supplmentaires sont introduits par rapport aumilieu lastique classique (de Cauchy) : un module de cisaiile-ment G, et une longueur interne I - tfvtc. Les relations decomportement (15) peuvent tre gnralises au cas d'unmilieu lastique anisotrope :

    o11 : CrrTrr* CrrTn622= CrrTr.,i CrrTn

    o12= IG + G,(1 - a)lyp+ IG - GJy^62.1 = IG - G JYrr+ IG + G.[1 + a)lTzt

    ITI, : Mr*tiffl, = Mrlr.,

    Dans les relations (16), cr est un paramtre d'aniso-tropie. Les modules de flexion gnralement diffrentsM, et M, introduisent alors deux longueurs internes

    (16)(15)

    etI--

    lz : I M z / G . Un milieu de Cosseratou plusieurs longueurs caractristiques

    44REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUEN" g7

    4e trimestre 2001

    ozz*#O*,

    I --.o,_l* o', *a*,Ldxz,I

    l;,*ff.*'ll-_ . oull

    ot'+Tx,s!-lot,f

    AX,

    possde donc une

  • (ou longueurs internes) dans la fomulation des relationsde comportement. Ces longueurs internes sont relies lataille de la microstructure comme on Ie verra par la suite.

    Les coefficients des relations de comportement (16)peuvent s'exprimer explicitement partir des moduleslastiques des couches individuelles supposes iso-tropes et des caractristiques lastiques des joints. Pource faire, on considre diffrents chargements lmen-taires du milieu stratifi (Zvolinskii et Shkhinek, 1984).Notons que les valeurs de CeS Constantes peuventdpendre du choix de ces rc expriences de rfrence ).Cette procdure conduit aux valeurs suivantes (cf.Mhlhaus, 1995 ; Adhikary et a1.,1996) :

    (-v11 -

    .(-t v22 -

    (1- v)E(1+v)(1-Zv)+(1 - v)E l(k,)

    Crz: Czt =vE (17)

    (1 + vX1 -2v) + (1 - v)E / (k")

    i-1,j+1 i+1,j+1

    ,-2,i rJ i+2,j

    i-1,j-1 i+1,j-1

    t!,tji{a111{ffi.r{$ngi* ili Un modle de structure de blocs.

    Les efforts tangentiels et normaux s'crivent de la faonsuivante en fonction du dplacement relatif des blocs

    Qo, = coAuo,

    No, = c*Avo,

    o c..., et c, sont les rigidits tangentielles et normalesde l'interfce respectivement, et les dplacements rela-tifs Au et Ay aux diffrents points de contact sont don-ns par les relations suivantes :

    E

    " 2 vz (1+ v)2_r a r-L v 1-v2+El(k")

    G1, E 5k,+Et(z(t*r))

    =B(1 +v) 4+E/Q$+),, ,r Ehz I E / (2(1+ v))tvtl:@lk,+E /e0+

    Ehz t E/Q(1 +@lkrl/e0

    G':qfu; u-2+qrj)

    (18)

    (1e)

    (20)

    (21)

    (22)

    (23)

    (25)

    IMr:0 Aui*1, i*1 : u i*1,ir1 -

    LLI irz, j : Ll i+2, j - U i, j

    AVi*1, jr1 = v ix1, ix1

    Lu,*r, j : y itz,j -V,;"r T u(q itz,jxl+ gt j)

    E a : hI (o-,auo, + -frlu,avo, )

    n _ 2.a2 (c, + 2cd - cob2v\'-L

    a'(c*+2cq)+cnb2

    bru i, i t Zl,q i+1, i+1

    _at \- vt, j + r(9itr,jt1 + 9i, i)

    + v)) l'

    o E est le module d'Young et v le coefficient de Poissonde la roche intacte, 4 et k, sont les raideurs normales ettangentielles des joints respectivement. Le couple decontraintes m, est identiquement nul pour un matriaustratifi car la structure est unidirectionnelle. Lorsque lesraideurs des joints (k,, k) + , Ies discontinuits dedplacement disparaissenf et l'on retrouve le milieu las-tique, isotrope. On trouvera dans les travaux de Adhi-kary et aI. (1999) une application de ce modle de Cosse-rat pour l'tude d'une excavation dans un milieu stratifi.

    -

    Un modle de Cosseratpour les structures de blocs

    Pour des structures priodiques de blocs, qu'ils'agisse de murs de maonnerie ou encore de blocsrocheux forms par un systme rgulier de joints dansun massif fractur, la reprsentation par un milieucontinu de Cosserat permet de prendre en compte lesmouvements de rotation et de pivotement des blocsindividuels, ce que ne permet pas l'homognisationpar milieu continu classique.

    On considre ici un modle simple d'une structurede blocs reprsente sur la figure 5, pour laquellechaque bloc est entour de six blocs adjacents. Parsouci de simplicit, on suppose que l'lasticit des blocset des joints est concentre sur les artes des blocs.

    loints lastiques

    Pour des joints lastiques on suppose que l'interac-tion entre les blocs est concentre en six points (Fig. 5).

    o 2a etb sont les dimensions du bloc, Lr;;,v;, et e, , sontles dplacements et la rotation du bloc'hurirrot (ry)

    On obtient les paramtres lastiques du milieucontinu de Cosserat quivalent (quation 16) en identi-fiant l'nergie lastique spcifique de la structure discrteet celle du milieu continu (cf. Sulem et Muhlhaus, 1997 ;Sab, 1996). Pour la structure discrte celle-ci s'crit :

    Pour le milieu continu de Cosserat elle s'crit :E, = 6 tt1 r * 6 pT r, * 6ztTzt * 6zz\z+ m1K1 + mzKz Q4)Par dveloppement de Taylor de I'expression (23) et

    remplacement des quotients finis par des quotients dif-frentiels, on peut identifier les deux expressions del'nergie spcifique lastique, ce qui conduit :

    Crr :(rn * Zc*)i,Czz = CnL;Ctr: Czt:o

    G-G,=+lrr|-1."* 2rq]

    =1" +.',(++2a2) ,no,=*[" t*'oM1b'f4)

    Le paramtre C,, (resp. Cr) reprsente la rigidit dusystme pour une sollicitation uniaxiale dans Ia direction1 (resp .2). La nullit des palamtres Cu pour i * j exprimequ'i1 n'y a pas d'rc effet de Poisson ) pour ce modle debloc. Les paramtres de rigidit en flexion M, et Mrfontintervenir directement les dimensions des blocs :

    45REVUE FRANAISE DE GEOTECHNIQUE

    N'974e trimestre 9001

  • M.2r _ ^*-^--a(_/

    crv * ro(B + (b t a)')crv* ro(r+(bt a)') ,+:bz

    crv * cr(b / a)'simultanment plusieurs critres de plasticit. Pour lemcanisme de glissement, on considre simplement uncritre de Coulomb. En notant ngativement lescontraintes de compression il s'crit sous la forme :

    F1 =lorrl +tanborr-c

  • 0

    0

    M

    M

    MIM

    a

    1',

    F

    , KMN _ l("*)'cr'av

    *'est la matrice de rigidit tangente de l'lment :

    l-f\,tl

    I Jto''aa IlpMl-l4B' I['extJ-l

    lmq*aellu!,' Ivecteur de forces appliques gnralises et

    [.#]: I("')'s,avBe

    est le vecteur de contraintes gnralises.

    0

    y0

    y -0000

    ion (42),

    tT t tu

    ) (4ii -

    y0

    oy0

    0

    0

    Les relations d'lasticit (16) sont crites sous laforme gnrale suivante :

    s = C'" (34)o C'est le tenseur de rigidit lastique.

    La vitesse de dformation plastique est exprime e : BM r* ;ln'] - (42)

    quation (40) devient :

    #,) (43)

    (44)

    (45)

    (46)

    En utilisant l'quatt ^,lT ,7(uu' )' K'" avN - (u'

    partir de la loi d'coulement :

    ep -Yr Q"v,L'-s

    o les multiplicateurs plastiques o sont limins en uti-lisant les relations de consistance :

    pa --o et ' - t#)..[#)i" S : o

    (35)

    (36)

    (3t1

    Si un seul critre est activ et dans l'hypothse d'uncomportement plastique parfait on obtient les relationslastoplastiques incrmentales suivantes :

    -(- ; -ce- vimvm - -ikd,

    E

    EApplication l'tude de la rponse

    rlls'edv - lrJJ

    introdrri",un, t. r r.tui,lient :

    cred v -Jr'aua A -JrfaravBB

    4l^,ons

    OU

    CO

    Enon obt

    f 'r'I ae'(

    J

    defini6lr

    Mise enczuwedu modledeCosserat dans une formulationpar lnents finis

    Ce modle de Cosserat pour les structures de blocsa t introduit dans un programme d'lments finisintitul COSSBLPL pour la modlisation de la rponsestatique et dynamique des structures de maonnerie(Cerrolaza et aI., 1999) en grandes dformations (voiraussi Adhikary et a1.,1999). On prsente ici les aspectsessentiels de la gnralisation de la formulation par I'ments finis un milieu de Cosserat.

    On dfinit les pseudo-vecteurs de traction et dpla-cement gnraliss :

    u : {r, ,n2 ,lrcs\ , t = {t.,,t 2 ,-, } (38)

    ce qui permet d'crire le principe des puissances vir-tuelles sous la mme forme que le milieu continu clas-sique :

    'vdA (39)

    ons de comportement (37)

    (40)

    La distribution des dplacements et de la rotationCosserat i'intrieur du domaine B" d'un lmentest exprim partir des fonctions d'interpolation

    v=OM#;v-OMvM l\/[ - 1.,2... M' (41)M' est le nombre de points nodaux de l'lment fini

    Le vecteur de dformation e s'exprime partir desvariables nodales :

    dynamique d'un mur du ParthnonNous prsentons ici comme application un exemple

    de calcul bidimensionnel par lments finis de larponse statique et dynamique d'une structure demaonnerie. Il s'agit d'un mur du Parthnon tudi dansle cadre du projet a Environnement ) EV5V-CT93-0300de Ia Commission europenne (schlosser et aI., 1997).

    ffiGom trie et ca r actristiq u es meca niq uesde la structure

    On considre un mur d'une longueur de 50 m etd'une hauteur de B,B5 m constitu de blocs de marbrede Dionysos de 1,,2 m de long, 0,52 m de haut et d'unepaisseur de 1,LB m. Ce mur repose Sur une baseconstitue de blocs de dimensions diffrentes (lon-gueur - 2,36 m, hauteur - 1.,18 m). Les caractristiquesmcaniques des joints ont t dtermines par le labo-ratoire 3S-IMG partenaire du projet (Armand et al.,1ee7) :

    - rigidit normale ' k, - 1.4,35 N/mm2 ;- rigidit en cisaillement ' ko = 0,94 N/mmz ;- angle de frottement moyen : 35o.

    REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUEN'97

    4" trimestre 9001

    idr.

  • Le mur et la base sont reprsentscontinu quivalent constitu de deuxcaractristiques diffrentes :

    o Matriau 1 (mur)Crr= 19'165 MPaCrr= 6,97 MPaCtr= 0Crr= oG- 2,74MPaGr= 2,74 MPacr = 1,83Mr= 1',317 MPa.m2Mr= 0,658 MPa.m2

    . Matriau 2 (base)Crr= 35'114 MPaC,r= 17 MPaCrr= oCrr= oG - 5,09 MPaG,= 5,og MPau - 1,,78Mr= 9,487 MPa.m2Mr= 6,359 MPa.m2

    Modle d'lments finisLe modle d'lments finis comporte Z4s lments

    quadrangulaires 4 nuds et 285 nuds au total(Fig. Ba) . La topologie des lments finis est indpen-dante de la gomtrie des blocs. Les zones corres-

    pondant aux deux matriaux diffrents sont represpar les nombres (1) pour le mur et (2) pour la base.Les conditions aux limites sont reprsentes sur lafigure Bb et expriment un appui rigide du mur sur lesol et une interaction lastique du mur avec la super-structure.

    Rponse statiq ue etdynamique

    Le chargement comporte le poids propre du mur(densit du marbr e : 2 700 kg/m3) et un chargement labase de 2 400 kN uniformment distribu la base(Fig. Bc) . La dforme lastique de la structure estreprsente sur la figure g.

    Le champ de dplacement est uniforme dans ladirection horizontale. Il est maximum la base o lechargement est appliqu.

    La rponse dynamique lastique est tudie parl'application du chargement prcdent cycl sinusoT-dalement avec une gamme de frquences allant de 0,2 10 Tfz. Les inerties en rotation des deux matriaux sont :- matriau 1 : J, = 3B4,B4kg/m ;- matriau 2 : J, - 1 579.75 kg /m.

    Les rsultats de calculs sont illustrs partir de larponse de quelques nuds caractristiques reprsen-ts sur la figure 10a. Ces rsultats sont rsums sur lafigure 10b o Ie facteur d'amplification dfini commele rapport entre l'amplitude maximale du dplacementhorizontal sous chargement sinusodal durant dixcycles est reprsent en fonction de la frquence dusignal. Ce graphe montre que le facteur d'arnplificationdcrot avec la frquence du signal.

    par un milieumatriaux de

    WModleparlmentsfinisd,unmurduParthnon:(a)maillage'(b)conditionsauxlimites,(c)chargement.

    48REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUEN" 974e trimestre 2001

  • o()(U

    coCUo:=o-ECg

    displacement in x-dir

    + node6--lF node3S+ node115

    ;i|:|iiiiiii1lii111:iii:11iii1:iii1iiiifiiii*'$;iiiiii (a) position des nuds caractristiques ;(b) facteur d'amplificationde la rponse horizontale.

    ZExemples d'applicationen gotechnique

    Pour l'tude de problmes de gotechnique enmilieu rocheux fractur priodique, l'approche parmilieu continu de Cosserat permet de distinguer les dif-frents modes de rupture, par glissement etlou parpivotement. On trouvera une application de la thoriede Cosserat aux tunnels excavs dans des massifs frac-turs dans l'article de Dai et al. (1996). L'objet des deuxexemples bidimensionnels que nous prsentons ici estde mettre en vidence I'existence de diffrents modespossibles de plastification pour l'tude d'une fondationsouple et pour celle de la stabilit d'une pente.

    ffiFondation souple sur un massif de blocs

    On considre un espace semi-infini soumis unesollicitation normale uniforme sur une longueur L. Cecipeut reprsenter I'exemple classique d'une semellesuperficielle souple sur un massif de blocs rocheux(Fig. 11).

    tlitlriniiiiiiiiiliii,i,j:ii,iiiiffi,#tE+iii Fondation superficielle souplesur une structure priodique de blocs.

    Pour les applications numriques, on considreI'ensemble des paramtres gomtriques et mca-niques suivant :o caractristiques des blocs :

    - longueur :2a - 1m,-largeuf :b- 0,5m;o caractristiques des joints :

    - rigidit : cN = ce = 1 GPa ;- angle de frottement : @ - 20" ;-cohsion:c= lkPa;- angle de dilatance : V - 0o ;- longueur de la semelle : L - 10 m.

    Pour des raisons de symtrie, seule la moiti de lastructure est maille par lments finis. Sur lafigure 12a (resp . 12b) Ies zones plastiques pour le cri-tre de glissement (resp. critre de pivotement) sontreprsentes en couleur sombre. Ces rsultats mon-trent clairement que le critre de pivotement est atteint la surface au voisinage des extrmits de la semellede fondation sur une tendue limite alors que le cri-tre de glissement se dveloppe largement en profon-deur I'intrieur du massif avec une orientation d'envi-ron 30" par rapport l'horizontale. Par comparaisonnous reprsentons sur la figure 13 les zones plastiquesobtenues dans le cas d'un massif lastoplastique iso-trope classique avec un critre de Mohr-Coulomb pourlequel les paramtres gomcaniques sont ceux d'une

    4gREVUE FRANAISE DE GEOTECHNIQUE

    N. g7

    4e trimestre 2001

    2468frequency of the input signal(Hz)

  • ial

    {b1

    Chargement normal uniforme sur une structure de blocs ; (a) zones de glissernent (pression de 8,4 kPa),(b) zones de pivotement (pression de 4,5 kPa).

    grave (module d'Young - 25 MPa, coefficient de Pois-son = 0,3, angle de frottement = 40o, cohsion nulle).Dans ce dernier cas, on retrouve la formation classiquedu cne lastique sous la fondation et le dveloppe-ment de Ia zone plastique sous celui-ci.

    iiiliiliiiiililliiiiiiiiill:riiii:slgi:ii* iiiiiii Zones plastiques pournormal uniforme avec unde Mohr-Coulomb.

    ffit ffiffiffiStabilit des pentes dans un massif rocheux

    On considre la configuration prsente sur lafigure 14 pour laquelle deux cas extrmes sont tudis:(a) l'orientation des blocs est parallle la pente, (b)l'orientation des blocs est parallle la surface. Pour lesapplications numriques on considre les mmescaractristiques gomtriques et mcaniques des blocsque dans l'exemple prcdent (S 7 .1) et une pente dehauteur H = 15 m et d'une inclinaison o - 50o par rap-port l'horizontale.

    Un avantage important de I'approche continue estqu'un mme maillage par lments finis nous permetd'tudier les deux configurations gomtriques diff-rentes; seuls les paramtres mcaniques du milieu deCosserat quivalent diffrent. Sur la figure 15 nous pr-sentons le maillage de la structure constitu de quadrila-tres 4 nuds. Sur les frontires AB et DC, on imposeune condition de dplacement horizontal nul et sur Iafrontire BC une condition de dplacement vertical nul.

    un chargementcritre isotrope

    ffiConfigurationsgomtriquesd,unepenterocheuse:(a)blocsparallleslapente,(b)blocsparallles la surface.

    50REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUEN'974e trimestre 2001

  • 50m

    D

    A

    rB

    25m

    10m

    l12,6m

    Modle par lments finis d'une pente.

    C*nft1E;ur'*ti*n {a}

    Z*nus * glixs,* snt

    Z*,nry* ** piy *t"&rTterll

    C*nfigurati*n {b}

    K*w*x &* gbxs*ffi*nf

    X*w*s d* piv*t*Ynr;nt

    1it:::::,iir:r1:ii::iii:;11iii:::iiiiliiffi ilririiii|l Zones plastiquespour chaque configuration.

    Les diffrents critres de plasticit par glissementou pivotement sont tudis successivement pour lemassif rocheux sous poids propre dans l'hypothsed'un crouissage nul. Les rsultats sont rsums sur lafigure L6, o les zones de rupture sont reprsentes decouleur sombre. De faon vidente, la configuration (a)est plus critique que la configuration (b) pour le critrede glissement. Par ailleurs pour la configuration (b) unerupture par glissement apparat Ie long de la pentealors qu'une rupture en pivotement apparat en sur-face.

    EConclusion

    La reprsentation d'un massif rocheux montrant unrseau rgulier de joints par un milieu continu quiva-lent de Cosserat est prsente ici comme une alterna-tive aux approches de type discret. L'homognisationest prsente pour les structures stratifies et les struc-tures de blocs. La cinmatique enrichie du milieu deCosserat permet de prendre en compte Ia rotation indi-viduelle des blocs ou la flexion individuelle de chaquecouche et d'introduire directement dans la loi de com-portement des caractristiques gomtriques de lastructure lmentaire telles que la taille et l'orientationdes blocs ou l'paisseur des couches. A partir de l'va-luation de la fonction de dispersion d'une structure deblocs, on a montr que cette approche permetd'tendre le domaine de validit de l'homognisation des structures comportant un faible nombre de blocs.Ainsi les fonctions de dispersion du milieu discret et dumilieu continu de Cosserat quivalent sont sensible-ment gales pour une longueur d'onde du signal sup-rieure 5 fois la taille des blocs.

    Diffrents critres de plasticit correspondant des mcanismes diffrents tels que le glissemententre blocs et le pivotement des blocs sont formulset mis en uvre dans une approche par lmentsfinis. Un mme maillage peut tre alors utilis pourdiffrentes configurations de taille ou d'orientationdes blocs. Les exemples d'une structure de maonne-rie sous sollicitation dynamique, d'une fondationsouple et d'une pente rocheuse sous sollicitation sta-tique illustrent cette approche. Les diffrentes zonesde rupture coruespondant aux diffrents critres sontdtermines.

    51REVUE FRANAISE DE GEOTECHNIQUE

    N'974e trimesTre 2001

  • Bi6liog-raFhie-

    Cette reprsentation d'un milieu discontinu par unmilieu continu quivalent de Cosserat prsente desavantages clairs de simplicit de mise en uvre des cal-culs numriques par rapport l'approche explicite parmodle discret. Elle est cependant limite au cas d'unedistribution fixe et rgulire de joints orthogonaux etc'est sa principale limite. Ce type de configuration estcependant couramment observ dans les massifsrocheux. La formation de nouvelles fractures en coursde chargement peut tre prise en compte par l'intro-duction de surfaces de discontinuits dans le modle.

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    Cette approche est, pour l'instant, limite au cas bidi-mensionnel. Elle sera prochainement tendue au cas tri-dimensionnel afin de prendre en compte les diffrentsmodes de rotation des blocs suivant diffrents axes.

    #ii*iii i iiiUne partie de ce travail a t possiile grce au financement de

    la Commrssion europenne dans le cadre du projet EnvironnementlJ''V5V-CT93-0300 que les auteurs souh aitent remercier ici, ainsique tous les partenaires du projet.

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    59REVUE FRANAISE DE GOTECHNIQUEN" 974e trimestre 9001

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