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L3 Mathématique et Statistique 2 Lois et tests des estimateurs des MCO M2
L3MS2_M2.doc 1/8
Module 2 : Lois des estimateurs et tests des
estimateurs
Comme les estimateurs sont des estimateurs linéaires des tY [les tY dépendent des tε qui sont aléatoires et obéissent à des lois normales], alors les estimateurs sont aussi aléatoires et obéissent à des lois normales.
σα≡α∑
∑ε
t
2t
t
2t
xn
X
;Nˆ
σβ≡β∑
ε
t
2tx
1;Nˆ
Ces lois contiennent l’écart type εσ de l’erreur. On a besoin d’une loi qui contienne à la fois l’estimateur de la variance de l’aléa et la variance de l’aléa pour pouvoir estimer par intervalle de confiance α et β. On utilise alors le résultat :
( ) ( )2nˆ
2n 22
2−χ≡
σ
σ−
ε
ε
εσ étant inconnu, il faut effectuer une studentisation.
Nous construisons de ce fait les intervalles de confiance de α et β et 2εσ (unité 1) avant de réaliser les
tests d’hypothèse sur ces paramètres (unité 2).
1 Estimation par intervalle de confiance de αααα, ββββ et σσσσ²εεεε
Intervalle de confiance de ββββ
Le problème est le suivant : on cherche 1β et 2β tels que : [ ]21obPrp1 β<β<β=− , c'est-à-dire on
veut déterminer un intervalle de confiance de β.
On sait que :
σβ≡β∑
ε
t
2tx
1;Nˆ
εσ étant inconnu, il faut utiliser une loi de Student
Rappel :
( ) ( )( )
2n2n
1,0N2nT
2
−−χ
=− indépendantes
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Donc ici :
( )
( )
( )
( )
( )2n
ˆ2n
xˆ
2n
ˆ2n
x
1
ˆ
2nT2
t
2t
2
2
t
2t
−σ−
β−β
=
−σ
σ−
σ
β−β
=−ε
ε
ε
ε∑∑
( )( )
εσ
β−β
=−∑
ˆ
xˆ
2nT t
2t
avec 2n
e
ˆ t
2t
2
−=σ∑
ε
( )
<σ
β−β<=−
−ε
∑
2p1
t
2t
2p t
ˆ
xˆ
tobPrp1
( )
σ<β−β<
σ=−⇔
∑∑
ε−
ε
t
2t
2p1
t
2t
2p
x
ˆtˆ
x
ˆtobPrp1
σ−β<β<
σ−β=−⇔
∑∑
εε−
t
2t
2p
t
2t
2p1
x
ˆtˆ
x
ˆtˆobPrp1 intervalle de confiance de β
2ρ
2ρ
ρ−1
2tρ 21t ρ−
( )( )2nTf −
( )2nT −
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Rappel : 2
p12p tt
−−= (la loi de Student est symétrique)
On peut donc écrire l’intervalle de confiance de β :
σ±β∈β=−
∑ε
tt
px
ˆtˆobPrp
221
Intervalle de confiance de αααα
Le problème est le suivant : il faut chercher 21,αα tels que [ ]21obPrp1 α<α<α=− : c'est-à-dire,
on souhaite déterminer un intervalle de confiance de α.
On sait que :
σα≡α∑
∑ε
t
2t
t
2t
xn
X
;Nˆ
De même ici, εσ étant inconnu, il faut effectuer une studentisation.
( )
( )
( )
( )
ε
ε
ε
ε
σ
α−α=
−σ
σ−
σ
α−α
=−∑
∑∑
∑
ˆX
xnˆ
2n
ˆ2n
xn
X
ˆ
2nT
t
2t
t
2t
2
2
t
2t
t
2t
( )
<−<=−
− 2p12
p t2nTtobPrp1
σ<α−α<σ
=−∑
∑
∑
∑
ε−
ε
t
2t
t
2t
2p1
t
2t
t
2t
2p
xn
X
ˆtˆxn
Xˆ
tobPrp1
σ±α∈α=−
∑
∑ε
−
t
2t
t
2t
2p1
xn
Xˆ
tˆobPrp1 intervalle de confiance de α
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Intervalle de confiance de σσσσ²εεεε
Le problème est le suivant : on cherche un encadrement de 2εσ , donc il faut trouver 2
221 et σσ tels
que [ ]22
221obPrp1 σ<σ<σ=− ε
On sait que :
( ) ( )2nˆ2n 2
2
2−χ≡
σ
σ−
ε
ε
( )[ ]2
p122
2p2 2nobPrp1 −χ<−χ<χ=−
( ) ( )
σ−
χ<
σ<
σ−
χ=−
ε
−
εε2
2p1
2
222
p2
ˆ2n
1
ˆ2nobPrp1
( ) ( )
χ
σ−<σ<
χ
σ−=− ε
ε−
ε
2p2
22
2p1
2
2 ˆ2nˆ2nobPrp1
χ<σ<
χ=−
∑∑ε
− 2p2
t
2t
2
2p1
2t
2t ee
obPrp1 intervalle de confiance de 2εσ
2 Tests d’hypothèse
� Test sur β
0100 :H:H β≠ββ=β
En fait, on teste β=0. En effet, si 0≠β il y a validité du modèle.
2ρ
2ρ
ρ−1
22
ρχ 212
ρ−χ
( )2f χ
( )2n2 −χ
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On sait que : ( )( )
εσ
β−β=−
∑
ˆ
xˆ
2nT t
2t
( )
<−<=−
− 2p12
p t2nTtobPrp1
Si 0H :
σ+β<β<
σ+β=−
∑∑ε
−ε
tt
p
tt
px
ˆtˆ
x
ˆtobPrp
221022
01
Règle de décision :
σ±β∉β
σ±β∈β
∑
∑
ε−
ε−
pespècederisqueaurejetéeestHx
ˆtˆsi
pespècederisqueauacceptéeestHx
ˆtˆsi
ère
tt
p
ère
tt
p
1
1
02210
02210
Comme on teste 0:H 00 =β=β , la règle de décision devient :
σ±∉β
σ±∈β
∑
∑
ε−
ε−
rejetéeestHx
ˆtˆsi
acceptéeestHx
ˆtˆsi
0
t
2t
2p1
0
t
2t
2p1
En fait, il faut rejeter l’hypothèse pour avoir une relation linéaire conservée.
Il est possible de réécrire le test de la façon suivante :
0100 :H:H β≠ββ=β
( )
<−<=−
− 2p12
p t2nTtobPrp1
Si 0H :
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<σ
β<=− ρ−ε
∑21
t
2t
2p t
x
ˆ
ˆtobPrp1
Comme βε σ=σ
∑ˆ
t
2tx
ˆ
<
σβ=
<
σβ<=−
ρ−β
ρ−β
21ˆ
21ˆ2p
tˆ
obPr
tˆ
tobPrp1
On pose : βσ
β=ˆ
cˆ
t
Règle de décision :
Si ( )2nTtc −< alors 0H est acceptée au risque de 1ère espèce p
Si ( )2nTtc −≥ alors 0H est rejetée au risque de 1ère espèce p
� Test sur α
On teste ici la nullité de la constante
0100 :H0:H α≠α=α=α
( )( )
∑
∑
εσ
α−α=−
t
2t
t
2t
Xˆ
xnˆ
2nT
( )
<−<=−
− 2p12
p t2nTtobPrp1
Si 0H :
σ
+α<α<
σ
+α=−∑
∑
∑
∑ ε
−
ε
tt
tt
p
tt
tt
pxn
Xˆ
tˆxn
Xˆ
tobPrp2
2
2102
2
201
Règle de décision :
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σ±α∉α
σ±α∈α
∑
∑
∑
∑
ε
−
ε
−
pespèce1derisqueaurejetéeestHxn
Xˆ
tˆsi
pespèce1derisqueauacceptéeestHxn
Xˆ
tˆsi
ère0
t
2t
t
2t
2p10
ère0
t
2t
t
2t
2p10
De la même façon que pour β , le test peut se réécrire :
0100 :H0:H α≠α=α=α
( )2nT
xn
X
ˆˆˆ
t
2t
2t
ˆc −≡
σα=
σα=
∑
∑εα
Règle de décision :
Si ( )2nTtc −< alors 0H est acceptée au risque de 1ère espèce p
Si ( )2nTtc −≥ alors 0H est rejetée au risque de 1ère espèce p
� Test sur 2εσ
On sait que :( ) ( )2n
ˆ2n 22
2−χ≡
σ
σ−
ε
ε
On veut tester une valeur particulière de la variance de l’aléa :
20
21
20
20 :H:H σ≠σσ=σ εε
( )[ ]2
p122
2p2 2nobPrp1 −χ<−χ<χ=−
Si 0H :
−
χσ<σ<
−
χσ=−
−ε 2n
ˆ2n
obPrp1 2p1
22022
p220
Règle de décision :
L3 Mathématique et Statistique 2 Lois et tests des estimateurs des MCO M2
L3MS2_M2.doc 8/8
−
χσ
−
χσ∉σ
−
χσ
−
χσ∈σ
−ε
−ε
pespècederisqueaurejetéeHn
;n
ˆsi
pespècederisqueauacceptéeestHn
;n
ˆsi
èrepp
èrepp
122
122
021
2202
2202
021
2202
2202
