Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur (ou chute libre au voisinage de la Terre) 1. Position du problème: Le système est un objet de masse m: - il est suffisamment dense pour que l'on puisse négliger la poussée d'Archimède devant le poids du projectile; - il est de forme aérodynamique afin que l'on puisse négliger la force de frottement de l'air devant le poids. Le référentiel est le référentiel terrestre, supposé galiléen. La seule force considérée est donc le poids: g m P r r . = La seconde loi de Newton nous permet d'écrire: G a m P r r . = et donc g G a r r = Le projectile est lancé d'un point O avec une vitesse V 0 non nulle dans une direction qui fait un angle α avec l'horizontale. Le repère d'espace choisi est (O,x,y,z) tel que: - Oz est un axe vertical ascendant, - Ox et Oy lui sont perpendiculaires et le vecteur 0 V r appartient au plan Oxz. coordonnée sur x'x coordonnée sur y'y coordonnée sur z'z vecteur accélération G a r a Gx = 0 a Gy = 0 a Gz = -g vecteur vitesse initial 0 V r V 0x = V 0 .cosα V 0y = 0 V 0z = V 0 .sinα position initiale O x 0 = 0 y 0 = 0 z 0 = 0 2. Détermination du vecteur vitesse: coordonnée sur x'x coordonnée sur y'y coordonnée sur z'z équation dt x dv = a Gx = 0 dt y dv = a Gy = 0 dt z dv = a Gz = -g intégration v x (t) = K 1 v y (t) = K 2 v z (t) = -g.t + K 3 détermination des constantes v x (0) = K 1 = V 0x donc K 1 = V 0 .cosα V y (0) = K 2 = V 0y donc K 2 = 0 V z (0) = K 3 = V 0z Donc K 3 = V 0 .sinα solution v x (t) = V 0 .cosα v y (t) = 0 v z (t) = -g.t + V 0 .sinα 3. Equations horaires du mouvement: coordonnée sur x'x coordonnée sur y'y coordonnée sur z'z équation dt dx = v x (t) = V 0 .cosα dt dy = v y (t) = 0 dt dz = v z (t) = -g.t + V 0 .sinα intégration x(t) = (V 0 .cosα).t + K' 1 y(t) = K' 2 z(t) = -½ g.t² + (V 0 .sinα).t + K' 3 détermination des constantes x(0) = K' 1 = x 0 donc K' 1 = 0 y(0) = K' 2 = y 0 donc K' 2 = 0 z(0) = K' 3 = z 0 donc K' 3 = 0 solution x(t) = (V 0 .cosα).t y(t) = 0 z(t) = -½ g.t² + (V 0 .sinα).t commentaires: y(t) = 0 le mouvement est plan x(t) = (V 0 .cosα).t le mouvement est uniforme selon x z(t) = -½ g.t² + (V 0 .sinα).t le mouvement est identique à celui d'une chute libre verticale à vitesse initiale non nulle 4. Etude de la trajectoire: On élimine le paramètre temps en considérant les équations horaires x(t) et z(t): t = α cos . 0 v x et donc z = -½ g. ( α cos . 0 v x )² + (V 0 .sinα).( α cos . 0 v x ) = - 2 ) cos . 0 .( 2 α v g .x² + (tanα).x c'est l'équation d'une parabole ► la portée: distance maximale atteinte par le projectile z = 0 pour x = g v α α cos . sin . 2 0 . 2 = g v ) 2 sin( . 2 0 α = x max - influence de v 0 sur la portée: x max augmente si v 0 augmente - influence de l'angle de tir sur la portée: x max maximal lorsque α = 45° z y x 0 V r O α g r

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Page 1: Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur … · Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur (ou chute libre au voisinage de la Terre) 1. Position du problème:

Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteu r (ou chute libre au voisinage de la Terre)

1. Position du problème: Le système est un objet de masse m: - il est suffisamment dense pour que l'on puisse négliger la poussée d'Archimède devant le poids du projectile; - il est de forme aérodynamique afin que l'on puisse négliger la force de frottement de l'air devant le poids. Le référentiel est le référentiel terrestre, supposé galiléen. La seule force considérée est donc le poids: gmP

La seconde loi de Newton nous permet d'écrire: GamPrr

et donc gGarr

Le projectile est lancé d'un point O avec une vitesse V0 non nulle dans une direction qui fait un angle α avec l'horizontale. Le repère d'espace choisi est (O,x,y,z) tel que: - Oz est un axe vertical ascendant, - Ox et Oy lui sont perpendiculaires et le vecteur 0V

appartient au plan Oxz. coordonnée sur x'x coordonnée sur y'y coordonnée sur z'z vecteur accélération Ga

r aGx = 0 aGy = 0 aGz = -g

vecteur vitesse initial 0Vr

V0x = V0.cosα V0y = 0 V0z = V0.sinα

position initiale O x0 = 0 y0 = 0 z0 = 0 2. Détermination du vecteur vitesse: coordonnée sur x'x coordonnée sur y'y coordonnée sur z'z équation

dtxdv = aGx = 0

dtydv

= aGy = 0 dt

zdv = aGz = -g

intégration vx(t) = K1 vy(t) = K2 vz(t) = -g.t + K3 détermination des constantes

vx(0) = K1 = V0x donc K1 = V0.cosα

Vy(0) = K2 = V0y donc K2 = 0

Vz(0) = K3 = V0z Donc K3 = V0.sinα

solution vx(t) = V0.cos αααα vy(t) = 0 vz(t) = -g.t + V 0.sin αααα 3. Equations horaires du mouvement: coordonnée sur x'x coordonnée sur y'y coordonnée sur z'z équation

dtdx = vx(t) = V0.cosα

dtdy = vy(t) = 0

dtdz = vz(t) = -g.t + V0.sinα

intégration x(t) = (V0.cosα).t + K'1 y(t) = K'2 z(t) = -½ g.t² + (V0.sinα).t + K'3 détermination des constantes

x(0) = K'1 = x0 donc K'1 = 0

y(0) = K'2 = y0 donc K'2 = 0

z(0) = K'3 = z0 donc K'3 = 0

solution x(t) = (V0.cos αααα).t y(t) = 0 z(t) = -½ g.t² + (V 0.sin αααα).t commentaires : y(t) = 0 le mouvement est plan x(t) = (V0.cosα).t le mouvement est uniforme selon x z(t) = -½ g.t² + (V0.sinα).t le mouvement est identique à celui d'une chute libre verticale à vitesse initiale non nulle 4. Etude de la trajectoire: On élimine le paramètre temps en considérant les équations horaires x(t) et z(t):

t = αcos.0v

x et donc z = -½ g. (αcos.0v

x )² + (V0.sinα).(αcos.0v

x ) = - 2)cos.0.(2 αv

g .x² + (tanα).x

c'est l'équation d'une parabole ► la portée : distance maximale atteinte par le projectile

z = 0 pour x = g

v αα cos.sin.20.2 =

v )2sin(.20 α = xmax

- influence de v0 sur la portée: xmax augmente si v0 augmente - influence de l'angle de tir sur la portée: xmax maximal lorsque α = 45°

0Vr

O α