Narvaez- Mario ANarvaez- Mario ANarvaez- Mario ANarvaez- Mario A

7/25/2019 Narvaez- Mario ANarvaez- Mario ANarvaez- Mario ANarvaez- Mario A

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Departamento de Filosofa. Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educacin.

Universidad Nacional de La Plata

El estatuto ontolgico y epistemolgico del nmero y la figura en SpinozaMario . Narv!e" #Cef $ Conicet % UN&ur $ UNLPam'

Introduccin

Del mismo modo (ue sucede con la concepcin del len)ua*e y de los si)nos en )eneral+tam,i-n en el caso de los n meros y las fi)uras )eom-tricas+ en la o,ra de &pino"a+ sloencontramos apenas es,o"adas al)unas ideas fra)mentarias. Esto por supuesto da lu)ara una serie de pro,lemas y discusiones (ue muc/as veces slo pueden ser resueltos a,ase de con*eturas. En el presente tra,a*o nos centraremos en la definicin y en la crticade los conceptos de n mero+ medida y fi)ura. Lue)o trataremos ,revemente lospro,lemas (ue sur)en de esta crtica en su sistema filosfico y veremos al)unas posi,lesrespuestas.

&pino"a afirma (ue el n mero y la medida son conceptos de la ima)inacin (ue no0a1aden nada a las cosas2 o (ue fra)mentan inde,idamente la realidad #CM Parte 3 cap.34+ 43+ Carta 56'. Pues+ se) n los principios de su sistema+ la realidad como tal+ lasustancia %conce,ida se) n el entendimiento$ es afirmacin infinita+ mientras (ue+ losconceptos ima)inarios derivados del n mero #tiempo y medida' tal como los utili"amos ennuestras actividades cotidianas fra)mentan o dividen la realidad en partes finitas. Cadaparte conlleva una determinacin+ una limitacin y+ por consi)uiente+ cierta ne)acin#Carta 78'. Entre las consecuencias de la utili"acin acrtica de dic/os conceptos en lae9plicacin de la realidad se encuentran las conocidas parado*as de :enn #Carta 56'.

/ora ,ien+ la crtica de &pino"a a los conceptos derivados del n mero plantea una seriede interro)antes relacionados con el status del conocimiento matem!tico. Ciertamente+

esta crtica parece contradecir el /ec/o de (ue+ en su clasificacin de los )-neros deconocimiento #ver Et. 33+ ;8 esc.'+ &pino"a utili"a un e*emplo tomado de la aritm-tica parae9plicar el conocimiento racional. La cuestin sera la si)uiente< =si el n mero y lasfi)uras se ori)inan en la ima)inacin en (u- sentido las verdades de la matem!tica y la

Sitio Web: http://jornadasfilo.fahce.unlp.edu.ar/viii-jornadas-2011La Plata, 2 - 2! de abril de 2011. "SS# 22$0-%%!%

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)eometra puede ser+ al mismo tiempo+ verdades necesarias y universales del !m,ito dela ra"n> =Nie)a &pino"a el estatuto de verdades universales y necesarias a lasentidades matem!ticas>

En la presente ponencia intentaremos ofrecer una interpretacin de la concepcin

spinociana de las entidades matem!ticas (ue concilie su estatuto ontol)ico ima)inativo ysu car!cter de verdades universales y necesarias. Dic/a interpretacin nos permitirae9plicar el /ec/o de (ue en la filosofa de &pino"a el n mero y la fi)ura tienen su ori)enen la ima)inacin y+ al mismo tiempo+ las matem!ticas son el modelo del conocimientoverdadero.

Nmero y figura como entes imaginarios

Comen"aremos e9aminando la posicin de &pino"a con respecto a los n meros+ lamedida y la fi)ura como entes ima)inarios. Dic/a concepcin /a sido muy poco

desarrollada+ de todos modos &pino"a /a dedicado al tema al)unos pasa*es de su o,ra+principalmente+ en uno de sus primeros escritos y en la correspondencia. Nos referimos alos Pensamientos Metafsicos %(ue aparecieron *unto con los Principios de la Filosofa deDescartes $ a la Carta 78+ donde e9pone su concepcin de n mero como ente ima)inario ya la Carta 56+ donde el tema del n mero aparece de modo su,sidiario vinculado al temacentral de dic/a epstola (ue es la naturale"a del infinito.

En la carta 56 la naturale"a del n mero aparece relacionada con el modo de conce,ir lacantidad # quantitas'+ de la cual sur)e+ a su ve"+ la medida. 4eamos primero cmo+ se) n&pino"a+ se puede conce,ir la cantidad. Para -l+ /ay dos maneras< a' como sustancia+

mediante el entendimiento+ de donde resulta (ue es una entidad infinita+ indivisi,le ynica? ,' de manera a,stracta+ a trav-s de la ima)inacin y los sentidos+ de donde resulta

(ue es una entidad divisi,le en partes+ finita y m ltiple #Ep. 56+ pp. 5@5$5@6' 5. De estaltima forma de conce,ir la cantidad sur)e la medida %de i)ual modo (ue el tiempo+ sur)e

de conce,ir la duracin de manera a,stracta$ en cuanto determinacin de la misma para(ue sea m!s f!cil de ima)inar.1 &"ta'ue siad 'uantitate(, prout est in i(a)inatione, attendi(us, 'uod saepissi(e, * facilius fit, eadivisibilis, finita, e+ partibus co(posita, * (ultiple+ reperietur. Sin ad eande(, prout est in intellectu,attenda(us, * res, ut in se est, percipiatur, 'uod difficilli(e fit, tu(, ut , o i ( niet ver)is, satis antehactibi de(onstravi, infinita, indivisibilis, * unica reperietur 3b. "4 $56. La (is(a distinci7n aparecer8 lue)oen la tica se)uida de la si)uiente aclaraci7n: &9 esto ser8 suficiente(ente claro a todos a'uellos 'ue ha anaprendido a distin)uir entre i(a)inaci7n entendi(iento sobre todo, si se considera ta(bi;n 'ue la (ateriaes por do'uier la (is(a, 'ue en ella no se distin)uen partes, a (enos 'ue la conciba(os afectada de diversos(odos, 'ue, por tanto, sus partes s7lo se distin)uen (odal(ente no real(ente. Por eje(plo, concebi(os'ue el a)ua, en cuanto 'ue es a)ua, se divide 'ue sus partes se separan unas de otras pero no en cuanto 'uees sustancia corp7rea, a 'ue en cuanto tal ni se separa ni se divide.


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0... el tiempo y la medida %afirma &pino"a$ sur)en del /ec/o de (ue nosotros podemosdeterminar a nuestro ar,itrio la duracin y la cantidad+ en cuanto (ue a -sta laconce,imos aislada de la sustancia y a a(u-lla la separamos del modo como se derivade las cosas eternas. El tiempo nos sirve para medir la duracin+ y la medida paradeterminar la cantidad+ de suerte (ue podamos ima)inar a am,as lo m!s f!cilmenteposi,le. dem!s+ del /ec/o de (ue separamos las afecciones de la sustancia de lasustancia misma y de (ue las reducimos a clases A ad classes B+ con el fin de ima)inarlas lom!s f!cilmente posi,le+ sur)e el n mero. Por todo lo cual se ve con claridad (ue lamedida+ el tiempo y el n mero no son otra cosa (ue simples modos de pensar A cogitandimodosB o m!s ,ien de ima)inar A imaginandi modosB2.6

El n mero+ por su parte+ se) n e9plica &pino"a+ no es posi,le si no es a trav-s de losconceptos a,stractos formados en la ima)inacin+ esto es+ los conceptos universales. Enconsecuencia+ puesto (ue no se puede conce,ir a Dios ,a*o nin) n concepto universaltampoco se le puede aplicar propiamente nin) n n mero2> ?arta $0, p. >0! 3b. "4, 2>!% @rente a cierto platonis(o 'ue (antiene la e+istencia de los nA(eros en una realidad independiente del

entendi(iento, Spino a afir(a: &Bicen 'ue este t;r(ino Cla unidadD si)nifica al)o real fuera delentendi(iento sin e(bar)o, no saben e+plicar 'u; aEade al ser, lo cual (uestra suficiente(ente 'ueconfunden los entes de ra 7n con el ser real. ?on ello consi)uen volver confuso lo 'ue entienden clara(ente.

#osotros, en ca(bio, deci(os 'ue la unidad ni se distin)ue en (odo al)uno del ser ni le aEade nada, sino 'ues7lo es un (odo de pensar C modum cogitandi esseD, con el 'ue separa(os una cosa de las de(8s, 'ue sonse(ejantes a ella o 'ue concuerdan de al)una for(a con ella . ?F, " cap. "4 3b. ", 2%$6


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En consecuencia+ afirmar la multiplicidad y numerarla slo es posi,le una ve" (ue /emosdividido la sustancia en partes y clasificado sus componentes ,a*o conceptos de laima)inacin. &e vuelve m!s claro+ entonces+ cu!l es el vnculo entre la cantidad#quantitas' entendida a,stractamente y el n mero. La utili"acin del n mero+ (ue es unconcepto ori)inario de la ima)inacin+ presupone a su ve" una concepcin de la cantidad

y de la sustancia tam,i-n ori)inaria de la ima)inacin. De all se si)ue (ue+ como afirma&pino"a en el Tractatus de Intellectus Emendatione + no es propio del entendimientoconce,ir las cosas a trav-s del n mero 7.

Por ra"ones similares+ a las (ue le permiten ne)ar la realidad del n mero y recluirlo en el!m,ito de la ima)inacin+ &pino"a rec/a"a la realidad de la fi)ura. En efecto+ la fi)ura nopertenece a la sustancia #a la materia total' sino slo a los cuerpos finitos y determinados.Pero+ adem!s+ la fi)ura no corresponde a nada positivo en ellos+ sino (ue es su ne)acin+ya (ue la determinacin de la cosa no forma parte del ser de la cosa sino de su no ser. Lafi)ura indica lo (ue la cosa no es. De a/ la famosa frase de &pino"a et determinatio

negatio est 6 . En otros t-rminos+ la fi)ura no es al)o positivo (ue e9ista en las cosasmismas. Por esta ra"n+ no forma parte de cmo conce,imos la realidad con elentendimiento+ de cmo las cosas son en s mismas+ sino de cmo las conce,imos con laima)inacin+ esto es+ de manera a,stracta. En lo (ue si)ue veremos con cierto detalle elestatuto epistemol)ico del n mero+ la medida y la fi)ura+ y las caractersticas )eneralesdel conocimiento ima)inativo.

Entidades de razn: la imaginacin

En el te9to de la carta 56 &pino"a se refiere al n mero y a la medida como modum

cogitandi o modum imaginandi + es decir+ conceptos (ue no se refieren a las cosas comoson en s+ pues+ no se conci,en ni se ori)inan en el entendimiento+ sino en la ima)inacin.

s+ a fin de determinar con m!s detalle el estatuto de los n meros+ la medida y la fi)uraes necesario aclarar cmo entiende &pino"a estas e9presiones y esta,lecer (u- lu)arocupan en el !m,ito de la ima)inacin.

En primer lu)ar+ &pino"a caracteri"a al n mero y la medida como modos de pensar+ peroesto no nos dice demasiado so,re su estatuto+ ya (ue la definicin de 0modo de pensar2#modum cogitandi ' es tan amplia (ue a,arca todas las afecciones del pensamiento 0elentendimiento+ la ale)ra+ la ima)inacin+ etc.2 .

$ G"=, par. 10H p. 1225 =p. $0, p. >0! 3b. "4 2%0 ?F ", cap. 1, p. 2>0


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/ora ,ien+ en se)undo lu)ar+ &pino"a precisa (ue los n meros+ la medida y el tiempo noson slo modos de pensar sino (ue+ adem!s+ son entes de ra"n # entia rationis' (ue nossirven para e9plicar las cosas. 0Ente de ra"n %afirma &pino"a$ no es m!s (ue un modode pensar+ (ue sirve para retener+ e9plicar e ima)inar m!s f!cilmente las cosasentendidas2 . su ve"+ cada una de estas funciones produce sus conceptos propios< los

conceptos de )-nero y especie+ los de tiempo+ medida y n mero y a(uellos conceptos(ue utili"a el alma para ne)ar pero (ue tienen un aspecto positivo+ &pino"a mencionacomo e*emplos fin+ e9tremidad+ ce)uera+ etc. Estas funciones+ si ,ien a(u &pino"a no lomenciona e9plcitamente+ aparecer!n en la clasificacin de los )-neros de conocimientode la tica y el G3E dentro de lo (ue all se denomina como conocimiento ima)inativo. Deeste modo+ el n mero y la medida en tanto entes de ra"n+ conformaran un con*unto demodos de pensar pertenecientes a dic/o !m,ito. Esto es as pues+ para &pino"a+ el entede ra"n #*unto con las ficciones' no es un ser en sentido estricto+ dado (ue+ ser esa(uello (ue se comprende clara y distintamente (ue e9iste o (ue puede e9istir #3,idem'.Por otra parte+ si ,ien+ al)unos de los pasa*es del aparatado anterior nos /acen pensar en

una estrec/a sinonimia entre modum cogitandi y modum imaginandi + /ay (ue tener encuenta (ue la e9presin modum cogitandi tiene un campo sem!ntico diferente (ue+ como/emos visto+ incluye+ entre otros+ tam,i-n a los conceptos del entendimiento. &iendo as+la especificidad del n mero y la medida estara marcada m!s ,ien por la e9presinmodum imaginandi . En cuanto a la fi)ura+ si ,ien no aparece tratada e9plcitamente+ esposi,le incluirla entre los entes de ra"n (ue sirven para ima)inar cosas ne)ativas#ce)uera+ lmite+ etc.'. Es decir+ a(uellos conceptos de cosas (ue no e9isten realmentepero (ue pensamos con un cierto mati" positivo+ como si fueran entes reales.

En tercer lu)ar+ &pino"a aclara (ue+ en sentido estricto+ los entia rationis no son pura

nada+ pues+ en cuanto modos de pensar les pertenece al) n )rado de ser. dem!s+ noslo (ue no son un puro no ser sino (ue tam,i-n tienen una naturale"a propia+ 0cuandopre)unto (ue es una especie %afirma &pino"a$+ no ,usco nada m!s (ue la naturale"a deeste modo de pensar+ el cual es realmente un ser y se distin)ue de otro modo depensar2 58 . &in em,ar)o+ se trata de una nada en cuanto se ,usca fuera del entendimientoa(uello (ue les corresponda como su ideatum+ pues estos seres 0no son ideas de cosas...ni tienen tampoco nin) n o,*eto # ideatum' #3,idem'2+ y en este sentido+ tampoco sonverdaderos o falsos. Es por eso (ue+ se) n &pino"a+ Platn no se e(uivoc al clasificar alos /om,res como 0,pedos sin plumas2 ni tampoco ristteles (ue los clasific como0animal racional2. Es decir+ como no se trata m!s (ue de productos de la ima)inacin

cuya utilidad est! en au9iliar a la memoria+ no tienen nada (ue les corresponda fuera de lamente+ por lo (ue no pueden ser ni verdaderos ni falsos.H "bid.! "bid. p. 2>1 3b. " 2>%10 "bid. p. 2>1 3b. " 2>$


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En sus escritos posteriores &pino"a ya no utili"ar! el t-rmino entia rationis+ no o,stante+se)uir! manteniendo la oposicin entre conceptos del entendimiento y conceptos de laima)inacin. En el G3E la denominacin aparece una sola ve" #par. 7' pero en la tica+por e*emplo+ los conceptos universales y trascendentales (ue formamos como au9iliaresde la memoria ya no son presentados como entia rationis+ sino como ideas inadecuadaspor oposicin a los conceptos del entendimiento (ue son ideas adecuadas 55 . 4eamos unpoco m!s en detalle las caractersticas de la ima)inacin.

La ima)inacin comprende el conocimiento (ue proviene de los cuerpos e9teriores+ a(uel(ue se ,asa en la memoria+ el conocimiento por si)nos y los conceptos universales ytrascendentales. Para &pino"a+ el conocimiento ima)inativo se ori)ina por el /ec/o de(ue la e9periencia no nos muestra las cosas como son en s sino como resultan de lainteraccin de la naturale"a de los cuerpos e9ternos con la naturale"a del cuerpoafectado. De esa interaccin resulta un orden de ideas (ue no e9plica la naturale"a de lascosas+ es decir+ un orden de ideas (ue se opone al orden del entendimiento #(ue es el

mismo (ue el orden del entendimiento infinito de Dios' 56 . Es por esto (ue+ las ideas (uenos formamos a trav-s de la percepcin son ideas confusas 5@.

De a(u derivan los mecanismos por los (ue se forman ciertas ideas inadecuadas en lamente+ es decir+ ideas (ue muestran m!s la naturale"a del cuerpo (ue la naturale"a delas cosas (ue nos afectan. Una forma en la (ue las cosas se presentan a la mente enforma ima)inativa es a trav-s de relaciones de conti) idad o de sucesin temporal. &etrata de un mecanismo por el cual la ima)en de un o,*eto e9terior+ por el (ue el cuerpo fueafectado+ /ace sur)ir la ima)en de otro o,*eto. Este mecanismo consiste en una 0ley deasociacin2 enunciada por &pino"a+ apro9imadamente+ en estos t-rminos< si el cuerpo

/umano /a sido afectado por dos o m!s cuerpos a la ve"+ siempre (ue ten)a presente oima)ine uno de ellos+ recordar! al mismo tiempo al otro 5; . Lo mismo ocurre si el cuerpo /asido afectado por dos cuerpos al mismo tiempo. /ora ,ien+ si uno de los dos cuerposafectantes se presenta solo+ el cuerpo revive el primer proceso+ es decir+ ima)ina los dos

11 3ueroult 1! %6, p. > % Par inson 1!$%6 p. 1$112 Ina (u buena sJntesis de esta oposici7n se encuentra en #adler 20056: &Las ideas 'ue ad'uiri(os atrav;s de los sentidos la i(a)inaci7n Ksostiene- est8n conectadas no del (odo en 'ue se encuentran en elentendi(iento infinito, de acuerdo al conoci(iento de las cosas absoluto de Bios o la #aturale a, sino deacuerdo a las for(as a arosas relativas en las cuales nos sucede 'ue so(os afectados por los objetose+ternos. Las ideas 'ue tene(os de los cuerpos e+ternos, nuestros propios cuerpos nuestras (entes est8n

ordenadas de la (anera en 'ue e+peri(enta(os el (undo co(o seres duracionales 'ue ocupan un lu)ar particular en el espacio el tie(po. ... usta(ente por el hecho de 'ue < si)a a M en (i e+periencia personal,'ue es una funci7n del lu)ar d7nde est8 ubicado (i cuerpo ? con relaci7n a < a M, ello no i(plica 'ue < M est;n relacionados de esa for(a hablando en t;r(inos absolutos . p. 1 >61> =t. "", prop. 1H esc. =t. "", prop. 2!, cor. esc.1% =t. "", prop. 1H


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cuerpos 57 . Para &pino"a+ este proceso permite entender no slo la memoria+ sino tam,i-ncierta sucesin de pensamientos dispares #sin seme*an"a entre s' (ue suele ocurrir en lamente+ dentro de la cual se encuentra el funcionamiento de los si)nos en )eneral y dellen)ua*e en particular 5I . De este modo+ las ideas (ue sur)en en la mente a trav-s de estemecanismo no son ideas adecuadas sino ideas confusas e inadecuadas.

En cuanto a los conceptos universales+ para &pino"a+ forman parte de las ideas de laima)inacin+ puesto (ue su ori)en est! vinculado a otro aspecto del mecanismoanteriormente mencionado+ es por ello (ue dic/os conceptos no tienen nin)una relacincon la naturale"a de a(uello a lo (ue se refieren. Los t-rminos universales ytrascendentales sur)en por el /ec/o de (ue el cuerpo /umano+ al ser afectado por loscuerpos e9ternos+ no puede formar m!s (ue un n mero limitado de im!)enes simult!neasdistin)ui,les entre s. En la medida en (ue ese n mero es superado+ las im!)enespierden distincin y comien"an a confundirse. Genemos+ en primer lu)ar+ los conceptosuniversalsimos como los de ser y cosa+ llamados trascendentales+ de los cuales el cuerpo

/umano slo puede formar una ima)en sumamente va)a y confusa+ pues su capacidadse encuentra completamente superada. Lue)o+ conceptos menos )enerales+ llamadosuniversales+ como los de /om,re+ ca,allo+ etc.+ de los (ue el cuerpo puede retenersolamente los aspectos comunes+ pero no las diferencias pe(ue1as #tama1os+ colores+etc.' ni su n mero 5 . Las caractersticas de tales conceptos variar!n+ por un lado+ deacuerdo a los o,*etos (ue m!s veces /an afectado al cuerpo? por otro+ de acuerdo a laconstitucin propia de cada cuerpo o+ con m!s e9actitud de la disposicin de su cere,ro+pues+ se) n esta disposicin+ a cada /om,re le llamar!n la atencin cosas diferentes y+por lo tanto+ recordar! m!s f!cilmente cosas diferentes 5 .

En sntesis+ si u,icamos al n mero y a la fi)ura entre los conceptos de la ima)inacin+de,emos admitir (ue las entidades matem!ticas en )eneral son conceptos (ue e9plicanm!s la naturale"a del propio cuerpo (ue la naturale"a de las cosas. &eran conceptosima)inativos en dos sentidos+ por un lado+ en tanto dependen de conceptos universales(ue son formados en la ima)inacin #universales y trascendentales'+ por otro+ en cuanto(ue no se pueden aplicar a la sustancia como es en s+ sino como es conce,ida en laima)inacin+ esto es+ compuesta de partes. Por e*emplo+ la fi)ura es un conceptoima)inativo en cuanto implica ne)acin pues nin)una ne)acin e9iste propiamente en lascosas mismas.

1$ =t. "", prop. 1H, de(.15 =t. "", prop. 1H, esc.1 =t. "", prop. %0 esc. 11H "bid.



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El status del conocimiento matemtico en Spinoza

Como /emos visto+ los te9tos de &pino"a de*an lu)ar a pocas dudas acerca de cu!l es elori)en de los conceptos matem!ticos. Esto trae un pro,lema no menor para lainterpretacin de su epistemolo)a+ ,!sicamente por(ue &pino"a de,era rec/a"ar al

conocimiento matem!tico como conocimiento falso y sin em,ar)o no lo /ace.Contrariamente a lo (ue podra esperarse+ toma las matem!ticas como ideal deconocimiento verdadero y /asta pone e*emplos aritm-ticos en la e9plicacin del se)undoy tercer )-nero de conocimiento.

4eamos con un poco m!s de detalle el pro,lema. El conocimiento ima)inativo es el)-nero m!s ,a*o de conocimiento+ de donde provienen las ideas inadecuadas y falsas#unica causa falsitatis ' 5 . Por esta ra"n+ dic/o conocimiento de,era ser superado por elfilsofo para lle)ar a los )-neros m!s altos+ la ra"n y la intuicin #se)undo y tercer)-nero respectivamente'. &lo de estos dos ltimos )-neros se o,tendran ideas

adecuadas y verdaderas. En otros t-rminos+ al u,icar al n mero y la fi)ura entre lasentidades conceptuales de la ima)inacin+ de,eramos asi)narle i)ual estatutoepistemol)ico a la totalidad del conocimiento matem!tico. Esto es+ la verdades m!s,!sicas de la aritm-tica y la )eometra %6 J @ K 7 o la suma de los !n)ulos de un tri!n)uloes i)ual a 5 8 $ (uedaran fuera del conocimiento verdadero+ universal y necesario.&in em,ar)o+ est! claro (ue dic/a posicin no es la de &pino"a. En un pasa*e muyconocido de la tica+ afirma lo si)uiente =Pueden+ las entidades matem!ticas+ ser verdades necesarias

1! =t. "", prop. %120 =t. ", 5 3b. "", !


H


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aun(ue ten)an su ori)en en la ima)inacin> =Cmo es (ue siendo conocimientoverdadero no pertenecen a la ra"n>

nte todo+ de,emos descartar una posi,le respuesta en ,ase a la evolucin delpensamiento de &pino"a. Ciertamente+ la consideracin de las matem!ticas como norma

de la verdad no aparece solamente en su o,ra madura+ sino (ue ya se encuentra en lostempranos Pensamientos Metafsicos 21. Por otra parte+ la e9plicacin del ori)en delconcepto de n mero y fi)ura ofrecida en la carta 78 no corresponde a la primera etapa delpensamiento de &pino"a sino a la etapa donde se supone (ue la mayor parte de la ticaesta,a ya concluida+ pues dic/a carta est! claramente datada en el a1o 5I ;.

Una solucin posible

Una respuesta posi,le a este pro,lema consistira en ne)ar (ue todo conocimiento+ cuyoori)en se encuentre en la ima)inacin+ sea en s mismo falso. La falsedad no dependera

de su ori)en sino de sus aplicaciones. /ora ,ien+ si esta posicin fuese correcta de,erapoder e9plicar adem!s de (u- modo puede conciliarse con la distincin y oposicin entrera"n e ima)inacin. Pues+ en cierto modo+ implicara (ue no slo el entendimiento #o seala ra"n' produce conocimiento verdadero sino (ue tam,i-n puede producirlo laima)inacin. Creemos (ue en al)unos par!)rafos del G3E /ay elementos (ue nospermitiran defender esta interpretacin.

En el G3E+ al e9plicar su concepcin de la idea verdadera+ &pino"a sostiene (ue la verdadpuede ser entendida en sentido intrnseco o e9trnseco. El /ec/o de (ue la verdad puedaser pensada de manera intrnseca se ,asa en (ue, esc.D2% G"= par. 5!, p. 10%2$ &Por idea adecuada entiendo la idea 'ue, en cuanto 'ue se considera en sJ (is(a, sin relaci7n al objeto,tiene todas las propiedades o deno(inaciones intrJnsecas de la idea verdadera =t. "", def. %6.


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no se las confunda con entidades reales. Cuando esto ocurre+ es decir+ cuando seconfunden la realidad en s con las entidades matem!ticas se ori)inan las conocidasparado*as. &pino"a+ parece decir+ 0si tenemos clara conciencia de (ue los entesmatem!ticos no corresponden a la realidad tal como es en s misma+ tal como la conci,eel entendimiento+ es decir+ como una nica sustancia+ la matem!tica y la )eometra no

nos conducen a error al)uno2. Nos conducen a error slo en cuanto (ue consideramos(ue descri,en la realidad tal como es en s.

/ora ,ien+ todava de,emos pre)untarnos (u- relacin e9iste entre las verdades de laima)inacin y las verdades del entendimiento #o ra"n'. l parecer+ la oposicin slotendra valor en un plano terico$metafsico pero no en un plano pr!ctico. Pues+ &pino"areitera en varias ocasiones (ue los conceptos de la ima)inacin son au9iliares delpensamiento (ue tienen diversas funciones. Dic/os conceptos pueden ser tiles en lapr!ctica o en la vida cotidiana y en ese sentido no puede /ac-rseles nin)una o,*ecin.&lo son o,*etados en cuanto (ue a partir de las propiedades de los n meros y las fi)uras

deducimos las propiedades de la sustancia y los atri,utos.

Una ltima cuestin (ue nos (ueda por despe*ar es en (u- medida las entidadesmatem!ticas pueden ser conceptos racionales+ dic/o en otros t-rminos+ =nie)a &pino"a elestatuto del se)undo )-nero de conocimiento a las entidades matem!ticas> Dado suori)en ima)inativo =no de,eramos e9cluir a las matem!ticas del !m,ito de la ra"n y delentendimiento> En primer lu)ar+ /ay un te9to muy conocido de &pino"a (ue nos )ua/acia una respuesta ne)ativa. &e trata de la clasificacin de los )-neros de conocimientode la tica+ donde se define al conocimiento racional del si)uiente modo< 0 partir+ en fin+de (ue tenemos nociones comunes e ideas adecuadas de las propiedades de las

cosas...26I

Lue)o afirma (ue+ dada una serie de tres n meros+ (uienes conocen+ se) n este se)undo)-nero+ sa,en cmo calcular el cuarto n mero proporcional< 0... en virtud de lademostracin de la proposicin 5 del li,ro 433 de Euclides+ es decir+ a partir de lapropiedad com n de los n meros proporcionales.2 6

Estos pasa*es muestran (ue+ para &pino"a+ el conocimiento de las entidades matem!ticases conocimiento adecuado y por tanto es conocimiento de se)undo )-nero+ es decir+conocimiento racional. &e) n el e*emplo+ (uienes utili"an las proposiciones de Euclides y

conocen sus demostraciones poseen conocimiento de se)undo )-nero. dem!s+ ele*emplo muestra (ue &pino"a est! pensando en un caso aritm-tico+ de donde podemos

25 =t. "", prop. %0 esc. 22 "bid.


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cole)ir (ue no limita el modelo de Euclides a la )eometra. s+ aun(ue los conceptosmatem!ticos se ori)inen en la ima)inacin+ no o,stante+ tienen una naturale"a propia (uenos permite deducir sus propiedades.

En se)undo lu)ar+ /ay un conocido pasa*e del G3E en donde &pino"a e9plica cmo+ a

trav-s de la definicin )en-tica+ se puede lle)ar a conocer la esencia de las entidades)eom-tricas< 0Por e*emplo+ $sostiene &pino"a$ para formar el concepto de esfera+ fin*oar,itrariamente su causa+ a sa,er+ (ue un semicrculo )ira en torno a su centro y (ue deesa rotacin sur)e+ por as decirlo+ la esfera2. 6

Los pasa*es (ue /emos citado de la tica y del G3E en con*unto nos permiten concluir (ue+para &pino"a+ las entidades matem!ticas tienen propiedades comunes y tienen unaesencia. 3ndependientemente de (ue correspondan a al)o en la realidad esa esencia yesas propiedades nos permiten /acer demostraciones y e9traer conclusiones. Podemosconce,ir adecuadamente un crculo+ pero+ i)ualmente (ue en el caso de los n meros+ ello

no implica (ue correspondan a al)o en s en la naturale"a+ pues por m!s (ue podamosconstruir una idea adecuada de crculo el crculo siempre tendr! al)o de ima)inativo.

Por otra parte+ el /ec/o de (ue para &pino"a se pueda construir una idea adecuada delas fi)uras )eom-tricas+ mediante la definicin )en-tica+ es decir+ su esencia ntima 6 + ellono (uita (ue esta fi)ura no si)a siendo un entia rationis. Como muestra el si)uiente te9to+la definicin )en-tica es m!s importante en su aplicacin a los seres reales+ lo (ue implica(ue+ para &pino"a+ /ay definiciones )en-ticas tanto de seres reales como de seresficticios0G"=, par. !$ Par inson interpreta 'ue los conceptos (ate(8ticos construidos )en;tica(ente no pertenecerJana la i(a)inaci7n, pero co(o (uestra el pasaje citado, dicha interpretaci7n no parece concordar con laconcepci7n de Spino a. Se)An este autor, Spino a habrJa cuestionado s7lo el uso de conceptos (ate(8ticosderivados de la e+periencia sensorial Par inson, 1!$$ p. 1$0 p. 1$$6. =n realidad, co(o he(os visto, lo'ue Spino a objeta es el uso de las entidades (ate(8ticas para e+plicar la sustancia.


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realidad de las cosas tal como se e9presan en la sustancia. Gal como indica este pasa*edel G3E+ las esencias de las entidades matem!ticas tendran un estatuto ontol)icodiferente de las esencias de las entidades reales. No o,stante+ en cuanto (ue esasesencias tienen propiedades comunes se pueden /acer deducciones y demostracionespor lo (ue las proposiciones matem!ticas pueden ser intrnsecamente verdaderas y

racionales.

Breve cr tica a la solucin propuesta por !ueroult

Martial ueroult+ en su e9tenso comentario a las dos primeras partes de la tica es unode los pocos comentadores de &pino"a (ue conocemos (ue se /an ocupado seriamentedel tema tratado en este tra,a*o. La solucin de ueroult a los pro,lemas (ue presenta eltratamiento de las entidades matem!ticas para la epistemolo)a y ontolo)a de &pino"a se,asa en los si)uientes puntos1 &Quantu( ad hoc, 'uod fi)ura ne)atio, non verO ali'uid positivu( est (anifestu( est, inte)ra( (ateria(,indefinitN considerata(, nulla( posse habere fi)ura( fi)ura('ue in finitis, ac deter(inatis corporibus locu(tantR( obtinere. . =p. $0 3b. "4, 2%06>2 3ueroult, Fartial thique II, Lme. p. > 5>> "bide(>% "bide(.


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Podra suponerse (ue est! pensando en el pasa*e (ue /emos citado arri,a #G3E par. 7'acerca de la definicin )en-tica de crculo+ pero las referencias son confusas @7. Por lodem!s+ &pino"a *am!s e9plica con detalles este punto. Nosotros+ en cam,io+ slo /emosafirmado (ue las entidades tienen una esencia y (ue tienen propiedades comunes+ no (uedic/as propiedades comunes sean las mismas (ue las propiedades comunes de la

e9tensin.

/ora ,ien+ *ustamente so,re esta interpretacin de la deduccin )eom-trica se funda lapretensin se) n la cual &pino"a /a,ra conce,ido una diferencia entre entidades)eom-tricas y entidades aritm-ticas+ en virtud de la cual las entidades aritm-ticas tendranun estatuto m!s ,a*o y cercano a la ima)inacin (ue las entidades )eom-tricas.

esumiremos la interpretacin de ueroult de la concepcin spinociana de las entidadesaritm-ticas en los si)uientes puntos0 &?u( si(ple+ i(a)inatio non involvat e+ sua natura certitudine(, sicutio(nis clara * distincta idea, sed i(a)inationi, ut de rebus, 'uas i(a)ina(ur, certi possi(us esse, ali'uidnecessario accedere debeat, ne(pe ratiociniu(


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$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$? tica demostrada seg$n el orden geom%trico. Graduccin de tilanoDomn)ue"+ Grotta+ 6888 #Et.'.

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$?&orrespondencia. Graduccin+ introduccin y notas de tilanoDomn)ue". lian"a+ Madrid+ 5 .

UE OULG+ M G3 L? t'ique II ()*me. u,ier+ Paris+ 5 ;.

N DLE + &GE4EN? +pino,a)s Et'ics# -n introduction . Cam,rid)e University Press+ NeQorR+ 688I.

P S3N&ON+ . H. .? +pino,a.s t'eor/ of 0no ledge . Claredon Press+ O9ford+ 5 7;.


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