Nombres complexes – Exercices corrigés

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1

L’objectif de cet exercice est de résoudre dans l’équation suivante :

1- Démontrer qu’il existe des réels , et tels que, pour tout complexe :

2- Résoudre dans l’équation .

Déterminer la nature des trois transformations complexes suivantes :

Soit l’équation :

1- Pour tout complexe :

Les polynômes et sont égaux si et seulement si leurs

coefficients sont égaux. D’où le système suivant à résoudre :

{

C’est-à-dire :

{

Nombres complexes – Exercices corrigés

Terminale S (Tale

S)

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen

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2

Ainsi, pour tout complexe :

2- D’après ce qui précède,

Donc :

{

Or, pour tout :

{

{

En posant le discriminant du trinôme ,

Comme , alors le trinôme admet deux racines complexes distinctes :

Ainsi, l’équation admet 4 racines complexes : ; ; ; .

Rappel de cours :

Soient et deux points quelconques distincts du plan complexe.

est l’image de par la translation de vecteur si et seulement si

est l’image de par la rotation de centre et d’angle ssi

est l’image de par l’homothétie de centre et de rapport (réel non nul) si et seulement si

1- L’application est la translation de vecteur

2- Recherchons le point fixe de la transformation .

Correction de l’exercice 2

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3

On a donc :

avec

Ainsi, l’application est la rotation de centre et d’angle

.

3- Recherchons le point fixe de la transformation .

On a donc :

( )

avec

L’application est par conséquent l’homothétie de centre et de rapport .