Notes de cours Mcanique des uideslivres-ebooks- Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ... et tenseurs sont en gras; les variables scalaires sont en italique;

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    03-Mar-2018

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  • C O L E P O L Y T E C H N I Q U EF DR A L E D E L A U S A N N E

    Christophe Ancey

    Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

    cole Polytechnique Fdrale de Lausanne

    cublens

    CH-1015 Lausanne

    Notes de cours

    Mcanique des fluidesUne introduction lhydraulique pour les ingnieurs civils

    version 12.1 du 2 mars 2016

  • TABLE DES MATIRES 1

    Table des matires

    1 Proprits des fluides 9

    1.1 Dfinition physique dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1.1 tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2 Dfinition rhologique dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3 Viscosit des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3.2 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.4 Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2 Similitude 29

    2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Objet de la thorie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.2 Invariance dchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2 Units de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.3 Principaux nombres adimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.4.1 Mthode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.4.2 Thorme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.4.3 Application no 1 du thorme : force de trane . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.4.4 Application no 2 du thorme : puissance dune explosion nuclaire . . . . . . 42

    2.4.5 Application no 3 du thorme : loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . 43

    2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.6 Similitude en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6.2 Similitude en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6.3 Courbe matresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3 Statique des fluides 51

    3.1 Origine physique de la pression dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.2 Loi de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.2.1 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.2.2 Principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.2.3 Calcul des forces de pression en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  • 2 TABLE DES MATIRES

    3.3 Mesure de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4 quations de bilan 57

    4.1 Thormes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.1.1 Vue gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.1.2 Thorme de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.1.3 Gnralisation et thorme de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.1.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.1.5 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.1.6 Conservation de lnergie, thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.2 Quelques applications du thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.1 Formule de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.2 Intrusion dun courant de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.3 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5 coulement surface libre 75

    5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.2 Hydraulique des canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.2.1 Charge totale et charge spcifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.2.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 95

    5.3 Rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.3.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . 97

    5.3.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.3.3 Justification physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    5.3.4 Hauteur normale selon la section dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.4 Rgime permanent non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.4.1 Canal large . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.4.2 Canal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.4.3 Courbes de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.4.4 Classification des rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.4.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.5 Courbes de remous et coulement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.5.1 Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.5.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    5.5.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    5.5.4 Effet dun obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6 coulements laminaires et turbulents 133

    6.1 quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    6.1.1 Bases thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

  • TABLE DES MATIRES 3

    6.1.2 Forme gnrique des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    6.2 Base phnomnologique du comportement newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    6.3 Mthodes de rsolution des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    6.3.1 Exprience de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    6.3.2 Exprience de Trouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6.4 Adimensionalisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    6.4.1 Choix des chelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    6.4.2 Rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    6.5 coulements domins par la viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    6.5.1 Sdimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    6.5.2 coulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    6.5.3 Effet coin dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    6.6 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.6.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.6.2 quation de la couche-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    6.6.3 quation de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    6.7 La turbulence ou les limites du modle newtonien (laminaire) . . . . . . . . . . . . . . 157

    6.8 Moyenne des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    6.9 Problme de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    6.10 Exemple dapplication : coulement sur un plan inclin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    Annexe 171

    A Rappels de mathmatiques 173

    A.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    A.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . 173

    A.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    A.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    A.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    A.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    A.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    A.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

    A.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    A.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . . . . . . . . . . . . 182

    A.2.5 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    B Rappels de mcanique des milieux continus 185

    B.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

    B.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

    B.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    B.2.1 coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

  • 4 TABLE DES MATIRES

    B.2.2 coulement non permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    B.3 Dformation et rotation dun volume de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    B.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    B.3.2 criture matricielle de W et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    B.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 192

    B.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    B.4 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    B.4.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    B.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    B.4.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    B.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes . . . . . . . . . . . . . . 198

    B.5.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    B.5.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

    C Proprits thermodynamiques 201

    C.1 Premier et second principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    C.2 Chaleurs spcifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    C.3 Chaleur latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    C.4 Vaporisation et cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    Bibliographie 207

  • TABLE DES MATIRES 5

    Avant-propos

    Il sagit dun recueil de notes contenant les principales notions du cours ainsi que les formules utiles connatre. Il ne sagit pas dun cours complet de mcanique des fluides. Le support complet de moncours peut tre trouv travers :

    les deux ouvrages Hydrodynamique et Hydraulique de Graf & Altinakar ; le manuel de cours Mcanique des fluides de Rhyming ; le cours mcanique des fluides : une introduction par Botsis & Deville ; louvrage Constructions hydrauliques de Sinniger & Hager.

    tous publis aux PPUR (collection Traits de Gnie Civil pour les ouvrages de Graf & Altinakaret Sinniger & Hager). Un grand nombre des donnes biographiques donnes travers les diffrentschapitres sont issues du livre du prof. Willi Hager de lETHZ Hydraulicians in Europe 18002000 publi par lInternational Association of Hydraulic Engineering and Research (Delft, 2003).

    Jemploie les notations usuelles modernes :

    les exemples sont le plus souvent introduits laide de Exemple. et on indique la findun exemple par le symbole qed ;

    les parties qui peuvent poser des problmes dinterprtation sont indiques par le symbole dansla marge ;

    les dmonstrations un peu techniques (qui peuvent tre sautes en premire lecture) sont signalespar le symbole h ;

    les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; les variables scalaires sont en italique ; les fonctions, oprateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; le symbole O (O majuscule) signifie est de lordre de ; le symbole o (o minuscule) signifie est ngligeable devant ; je nemploie pas la notation D/Dt pour dsigner la drive particulaire, mais d/dt (quil ne

    faudra donc pas confondre avec la diffrentielle ordinaire selon t). Je considre que le contexteest suffisant pour renseigner sur le sens de la diffrentielle et prfre garder le symbole D/Dtpour dautres oprations diffrentielles plus complexes ;

    le symbole veut dire proportionnel ; le symbole ou veut dire peu prs gal ; les units employes sont celles du systme international : mtre [m] pour les longueurs, seconde

    [s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les units sont prcises entre crochets ; pour la transpose dune matrice ou dun vecteur, jemploie le symbole en exposant : A veut

    dire transpose de A .

    Remerciements pour les relecteurs suivants : Damien Bouffard, Steve Cochard, Nicolas An-dreini, Sbastien Wiederseiner, Martin Rentschler, Maxime Trolliet, Madeleine Bouchez, Jonas Haller,Scott Favre, Franois Gallaire, Roberto Siccardi, Arnaud Eggimann.

    Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont rservs ; toute copie, partielle oucomplte, doit faire lobjet dune autorisation de lauteur.

    La gestion typographique du franais a t ralise avec LATEX laide du package french.sty de Ber-nard Gaulle. Les figures A.1, A.2, et 1.2 ont t ralises partir du code PSTricks de F. Vandenbrouck.La figure A.3 est de Manuel Luque.

  • 6 TABLE DES MATIRES

    Nomenclature

    variable significationa rayon dune particuleB largeur au miroirC coefficient de ChzyCf coefficient de frottementc clrit des ondesD tenseur des taux de dformationD diamtre dune conduitee nergie interne massiquef coefficient de frottement (Darcy-Weissbach)g acclration de la gravith hauteur dcoulementhc hauteur critiquehn hauteur normaleH charge de lcoulementHs charge spcifiquei pente dun biefj vecteur courant (p. ex. flux de chaleur)jf pente de frottementk vecteur normal unitairek nergie cintique massiquek conductivit hydrauliqueks rugositK coefficient de Manning-Strickler chelle de longueur largeurm longueur de mlangeL longueur caractristiquemp masse dune particulen vecteur normal unitairep pressionp hauteur de pelle (pour un seuil)P chelle de pressionQ dbitQ chaleurq dbit par unit de largeurR rayon de courbureR constante des gaz parfaitsRH rayon hydrauliqueRe nombre de ReynoldsS section dcoulementS entropieT tenseur des extra-contraintes (appel encore partie

    dviatorique)t tempsT tempratureu vitesse, composante de la vitesse dans la direction

    xu vitesse de glissement, vitesse de cisaillementu vitesse moyenne selon la hauteur dcoulementu vitesse moyenne dans le tempsu vitesseu fluctuation de vitesse

  • TABLE DES MATIRES 7

    variable significationU chelle de vitesseus vitesse de sdimentationv vitesse, composante de la vitesse dans la direction

    yv vitesse quadratique moyennev vitesseV volume de contrleW tenseur des taux de rotation

    Symboles grecs et autres

    variable signification diffusion thermique primtre mouill fonction de Dirac petite variation dformation tension de surface taux de cisaillement rapport daspect conductivit thermique constante de von Krmn viscosit dynamique potentiel de vitesse fonction de dissipation fonction de vitesse potentiel gravitaire nergie totale nombre sans dimension masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillementp contrainte de cisaillement la paroi variable de similitude1 tenseur identit oprateur nabla

  • 9

    1Proprits des fluides1.1 Dfinition physique dun fluide

    1.1.1 tats de la matire

    Il y a trois tats de la matire (voir figure 1.1) pour un corps simple :

    solide : matriau faible temprature ; liquide : matriau temprature moyenne et pression suffisamment leve ; gaz : matriau temprature suffisamment leve et faible pression.

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    b

    b

    b

    b

    b

    (a) (b) (c)

    Figure 1.1 : reprsentation idalise des trois tats de la matire : (a) solide (rseau ordonn de mol-cules/atomes), (b) fluide (collection dense et dsordonne de molcules), (c) gaz (collection dilue et trsagite de molcules).

    Les diffrents tats occups par un corps simple peuvent tre reprsents dans un diagramme p,T , V comme le montre la figure 1.2. Les surfaces grises reprsentent des tats purs o un seul tatsubsiste, alors que la surface blanche reprsente lensemble des tats o deux phases peuvent co-exister.Le point C est appel point critique.

    Ltat solide est un tat organis de la matire : les arrangements entre molcules prsentent unordre relativement stable dans le temps. Les tats gazeux et liquide reprsentent la matire en dsordre :il nexiste pas dordre privilgi dans lagencement des molcules car celles-ci sont perptuellement enmouvement. Un fluide au repos lchelle humaine est en fait, lchelle molculaire, en perptuelleagitation.

    Les tats gazeux et liquide prsentent des similarits : ce sont des fluides. Un fluide na pas de formepropre : plac dans un rcipient, il adopte les formes du rcipient. Il existe galement des diffrencesnotables : un liquide a une surface libre ; si lon place un liquide dans un bol, on observe une interfacenette, appele surface libre, entre ce liquide et le gaz environnant. Un gaz a tendance occuper toutle volume qui soffre lui. Un gaz na donc pas de surface libre.

    lchelle atomique, ces diffrences peuvent sexpliquer assez simplement : un gaz est une collectiontrs dilue de molcules ou datomes. Si d reprsente la taille dune molcule, alors la distance entre deuxmolcules est de lordre de 10d. Dans le cas dun liquide, cette distance intermolculaire est beaucoupplus faible, de lordre de d en gnral. Cela a des rpercussions considrables sur les interactions

  • 10 1. Proprits des fluides

    b

    C

    L/G

    S/L

    S/G

    P

    V

    T

    S L

    G

    Fluide

    Figure 1.2 : diagramme schmatique des phases dun corps simple dans un espace pression (p), temprature(T ), et volume (V ).

    entre molcules : pour un gaz, les molcules se rencontrent rarement et interagissent principalement aumoment des collisions par des changes de quantit de mouvement. Pour un liquide, les interactions sontbien plus frquentes et sont dune nature diffrente : il sagit le plus souvent dinteraction lectrostatiquedattraction ou de rpulsion. La figure 1.3 montre le potentiel dinteraction V (r), dit de Lennard-Jones 1, et la force dinteraction qui en dcoule

    V (r) = 4

    ((d

    r

    )12

    (d

    r

    )6)

    ,

    o r est la distance depuis le centre de la molcule et est le potentiel dadhsion de deux molcules( kT pour du mthane ou de largon). Aux faibles distances r/d < 1, linteraction est une trsforte rpulsion qui soppose linterpntration des atomes, puis vers r d la force devient ngative :deux molcules voisines se sentent attires, mais cette force dattraction diminue trs rapidementavec r. Il sagit des forces de Van der Waals 2. Les molcules polyatomiques simples (comme leau)peuvent galement porter des charges lectriques, qui donnent naissance des forces lectrostatiquesdattraction ou de rpulsion sensiblement plus fortes que les forces de Van der Waals dues aux atomesqui les composent.

    Notre connaissance des proprits dun gaz est bien plus avance que celle des liquides. Ds lafin du xixe sicle, reprenant des ides formules par de nombreux physiciens de Bernoulli Clausius,les physiciens Maxwell et Boltzmann 3 ont labor les bases de la thorie dite thorie cintique des

    1. Edward Lennard-Jones (18941954) tait un mathmaticien anglais, considr comme un des pionniers de la chimiemolculaire. Ses travaux ont port sur les forces intermolculaires, la valence, la catalyse de surface, et la structuremolculaire.

    2. Johannes Diderik van der Waals (18371923) tait un physicien hollandais. Instituteur, il sest passionn pour laphysique et a consacr son temps libre ses recherches. Son mmoire de thse prsentait une thorie importante sur lesgaz ; il fut honor par le prix Nobel en 1910.

    3. Les physiciens anglais et autrichien James Clerk Maxwell (18311879) et Ludwig Eduard Boltzmann (18441906)sont deux monuments de la physique. Ils sont les auteurs de vritables tours de force. Maxwell est surtout connu pourses travaux sur le magntisme ; les quatre quations connues aujourdhui sous le nom dquations de Maxwell sont laformalisation (par un mathmaticien anglais, Oliver Heaviside) de ses travaux. Maxwell a fait aussi des avances majeuresen thermodynamique. Boltzmann est considr comme le pre de la mcanique statistique puisquil a cr la plupartdes outils encore utiliss aujourdhui. Mme si lide des atomes est trs vieille (Dmocrite en parlait dj cinq siclesavant notre re), cest bien Boltzmann qui a fourni une thorie complte et rigoureuse. Trs critiqu par ses confrres (lathorie de lther prvalait la fin du xixe sicle), Boltzmann sen trouva trs affect et se suicida. Il fallut attendre lesexpriences de Planck sur le corps noir et dEinstein sur leffet photolectrique pour quon rende justice ses travaux.

  • 1.1 Dfinition physique dun fluide 11

    0 1 2 3 4 5

    r/d

    0

    1

    2

    3

    V(r

    )/

    Figure 1.3 : potentiel de Lennard-Jones (trait continu) et force drive f = dV/dr (courbe en tiret) enfonction de la distance r du centre de la molcule. Pour un corps simple comme largon (Ar), on a d = 0,34nm et = 120kB K2, avec kB = 1,380 1023 J/K, kB la constante de Boltzmann.

    gaz , qui permet dexpliquer les proprits macroscopiques des gaz (notamment la relation entrepression et temprature) en se fondant sur une description simplifie des interactions molculaires(mouvements alatoires avec des changes de quantit de mouvement lors des collisions). Cette thoriea galement marqu le fondement de la mcanique statistique, branche de la physique qui vise tablirles proprits macroscopiques de la matire partir du comportement lmentaire des molcules. ce jour, aucune thorie cintique des liquides aussi simple et performante que la thorie cintique desgaz nexiste. Cette difficult caractriser le comportement liquide se retrouve en thermodynamiquelorsquon cherche tablir une quation dtat, cest--dire une relation entre pression p, tempratureT , et volume V (ou masse volumique) : f(V, p, T ) = 0. La loi de Boyle-Mariotte 4 est lquation dtatla plus simple quon puisse imaginer

    pV = xRT,

    avec p la pression, V le volume du gaz, x le nombre de moles, T la temprature, et R la constantedes gaz parfaits (R = 8,31 = kBNA J/K/mol, avec NA le nombre dAvogadro). Elle a t tablie la fin du xviie sicle indpendamment par les physiciens Boyle et Mariotte partir dexpriences delaboratoire. De nos jours, on utilise une variante de cette loi, connue sous le nom de loi de Van derWaals, qui est plus prcise

    (

    p+a

    V 2

    )

    (V b) = xRT,

    avec a et b deux constantes, qui dpendent du gaz. Il nexiste pas dquation pour un liquide car onne peut pas relier simplement la pression et la temprature.

    La manipulation des concepts de base de la thorie cintique et de lois empiriques comme laloi des gaz parfaits permet daboutir des ordres de grandeur trs bons pour des gaz simples (gazmonoatomique comme largon) et relativement corrects pour des gaz plus complexes. Mme si lathorie cintique ne permet pas de prdire le comportement de tous les gaz, les explications quellesdonnent sont qualitativement correctes et sappliquent la plupart des fluides. Lide de base est queles particules sont sans cesse agites. Ainsi, pour un gaz au repos, si la vitesse moyenne est nulle, lavitesse instantane des particules ne lest pas. On peut faire une dcomposition de la vitesse instantaneu en une vitesse moyenne u (nulle quand le gaz est au repos) et une vitesse fluctuante u : u = u + u,

    4. Robert Boyle (16261691) tait un aristocrate anglais passionn par la physique. Il est lorigine de la Royal Societyof London (lquivalent de lAcadmie des Sciences en France) et a fortement plaid en faveur des sciences exprimentales.Edme Mariotte (16201684) tait un ecclsiastique, physicien et botaniste franais. La loi des gaz parfaits fut dtermineindpendamment par Boyle (1662) et Mariotte (1676).

  • 12 1. Proprits des fluides

    avec u = u (moyenne dans le temps de la vitesse) et u = 0. Si on calcule la vitesse quadratique

    u2 = u u = (u + u)2 = u2 + 2u u + u2,

    et quon prend la valeur moyenne

    u2 = u2 + 2u u

    0

    +u2,

    on peut dfinir la quantit v =

    u2 comme tant la vitesse quadratique moyenne ; pour un fluideau repos, cette vitesse donne une chelle de variation des fluctuations de vitesse et on lappelle vitessethermique ou vitesse dagitation thermique. Pour un gaz dilu, les agitations des particules crent desfluctuations de quantit de mouvement, qui on le verra par la suite, peuvent tre interprtes lchellemacroscopique comme une force. La force par unit de surface dun gaz au repos sappelle la pressionet la thorie cintique montre que sil y a n atomes de masse m par unit de volume, alors la pressionse dfinit partir de la vitesse quadratique

    p =13nmv2,

    or daprs la loi de Boyle-Mariotte, la pression lchelle macroscopique est p = nkT (puisque lenombre de moles x renferment xNA molcules dans un volume V ), do lon dduit immdiatement

    v =

    3kBTm

    ,

    ce qui montre que lagitation thermique ne dpend que de la temprature et de la masse des atomes.

    Exemple. Considrons un gaz de masse atomique 14 g/mol (azote) la pression atmosphriqueet temprature ordinaire (T = 20 C= 293 K). On tire que la densit particulaire n vaut n =p/kB/T = 105/293/(1,38 1023) = 2,47 1025 atomes/m3. La vitesse dagitation est donc

    v =

    3 1,38 293 6,0214 103 720 m/s !

    On se rapportera lannexe C pour plus dinformations sur les proprits thermodynamiques des

    fluides.

    1.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions

    Tous les fluides ne sont pas de purs liquides ou gaz. On rencontre des fluides o deux phases enquilibre thermodynamique coexistent. Par rapport aux liquides purs, la prsence de particules (bulles de gaz, particules solides, gouttelettes) induit la prsence dune multitude dinterfaces entre leliquide (phase continue) et les particules (phase disperse), qui peuvent radicalement changer la naturedu mlange. On distingue :

    les dispersions : ce sont des mlanges de particules trs fines (taille infrieure 1 m). Cesont souvent des particules collodales telles que des argiles. Les dispersions ne sdimentent passpontanment et il est donc trs difficile de filtrer une eau contenant des particules argileusesfines. En revanche, ce sont des mlanges trs sensibles chimiquement tout ce qui peut modifierla nature des interactions entre particules. La simple modification du pH dune solution affecteconsidrablement le comportement des interfaces des particules, ce qui produit des variationsbrutales de comportement mcanique lchelle macroscopique. Par exemple, en ajoutant du selde cuisine sur un gel pour cheveux, on peut liqufier le gel (constitu de chanes polymriques) ;

    les suspensions : ce sont des mlanges de particules fines ou grossires (taille suprieure 1 m),en gnral sans interaction collodale entre elles. Contrairement aux dispersions, les suspensions

  • 1.2 Dfinition rhologique dun fluide 13

    sdimentent (plus ou moins rapidement selon la taille des particules et les conditions de sdimen-tation) et peuvent tre filtres mcaniquement. En gnral, les suspensions sont peu sensiblesaux variations chimiques du liquide. Du sable fin (sable, limon, silt) peut tre transport ensuspension dans un cours deau ;

    les mulsions : ce sont des mlanges de fines gouttelettes dun liquide dans un autre. Les mulsionsen gel sont des mulsions trs concentres o les gouttelettes ne peuvent quasiment plus sedplacer les unes par rapport aux autres. La plupart des liquides tant non miscibles, les mulsionssont trs courantes. Le lait ou bien la mayonnaise sont des exemples dmulsion de globules degraisse dans une phase aqueuse. Comme pour les dispersions collodales, la physique de cesmlanges est dicte par le comportement des interfaces. Un problme important est la stabilitdes mulsions (coalescence des gouttelettes, sparation des phases). Les mousses sont des casparticuliers dmulsion o les gouttelettes sont des bulles de gaz (voir figure 1.4). Leau blanchequi se forme dans les cours deau trs forte pente ou bien lcume des vagues sont des mulsionsdair dans de leau ; la cavitation dans les conduites peut amener la formation dmulsions.

    Figure 1.4 : la mousse dun caf est un mlange de bulles de gaz dans un liquide.

    1.2 Dfinition rhologique dun fluide

    Un fluide est le plus souvent dcrit comme un milieu continu, dformable, et scoulant. Ainsi,quoique discret lchelle molculaire, un gaz comme lair peut tre dcrit comme un milieu continu notre chelle dobservation, cest--dire que lon peut ngliger le comportement individuel des molcules(un cube de 1 m de ct contient 3 107 molcules !) et dcrire le comportement local laide dechamps vectoriels continus. Ainsi le champ vitesse u(x,t) signifie la vitesse du fluide la position x etau temps t (ce que lon mesure avec un appareil comme un tube de Pitot) et correspond physiquement la vitesse moyenne des molcules contenues dans un voisinage infinitsimal autour de x. Cetteapproximation de milieu continu est trs utile car elle permet dtudier le comportement mcaniquedes fluides laide dune relation liant contraintes et vitesses (taux) de dformation et quon appelle loi de comportement . La loi de comportement la plus simple est la loi newtonienne, selon laquelleles tenseurs des contraintes et des taux de dformation sont relis linairement par lintermdiaire dunparamtre appel viscosit ; cest ce que lon va voir dans la section suivante. Lcoulement dun fluidedpend foncirement de la loi de comportement. Comme le montre la figure 1.5, les lignes de courantvarient fortement selon que le fluide scoule comme un fluide newtonien en rgime laminaire ( droite)ou que son coulement prend la forme dun coulement potentiel ( gauche).

    Tous les matriaux sont dformables et peuvent tre considrs comme fluide si lon attend suf-fisamment longtemps. Cest donc lchelle de temps qui est importante. On introduit cet effet unnombre sans dimension dit de Dborah 5 :

    De =trte,

    5. Ce nombre a t appel ainsi en rfrence un passage dans la Bible, o la prophtesse Dborah dclara lesmontagnes scouleront avant le Seigneur , ce qui fut interprt par les rhologues modernes comme la premireaffirmation que tout scoule si on attend suffisamment longtemps.

  • 14 1. Proprits des fluides

    avec tr temps de relaxation du matriau et te le temps de lexprience (ou de lobservation). Si De 1,le matriau se comporte comme un fluide et inversement si De 1, il se comporte comme un solide.Par exemple, un glacier est fluide lchelle gologique (voir figure 1.6) !

    Un fluide peut tre compressible, cest--dire le volume quil occupe change avec la pression appli-que. Ainsi, les gaz peuvent facilement changer de volume, mais les liquides sont caractriss par unetrs faible compressibilit. Un fluide compressible peut scouler volume constant. On dit alors quelcoulement est isochore. faible vitesse, un coulement dair est isochore : on peut ngliger toutevariation de volume du gaz. En revanche, trs grande vitesse, le gaz va se comprimer et on ne peutplus ngliger la compressibilit de lair ; un phnomne caractristique est londe de choc (une sautebrutale de la masse volumique du gaz) lors du passage du mur du son par un avion supersonique. Enaronautique, on se sert ainsi du nombre de Mach, rapport de la vitesse de lobjet sur la vitesse duson, comme indice servant caractriser limportante de la compressibilit dans la dynamique du gaz.

  • 1.2 Dfinition rhologique dun fluide 15

    (a)

    (b)

    Figure 1.5 : coulement permanent dun fluide visqueux autour dun solide de section rectangulaire, avec gauche (a) un coulement potentiel dans une cellule de Hele-Shaw (fluide : eau) et droite (b) un coulementde Stokes tridimensionnel (Re = 0,02 ; dans ce dernier cas, on note lapparition de zones mortes, siges devortex (fluide : glycrine). Source : S. Taneda et D.H. Peregrine in (Van Dyke, 1982). Pour limage (b) onvisualise lcoulement dans une cellule de Hele-Shaw, qui est un dispositif exprimental compos de deuxplaques parallles, trs rapproches, ce qui permet de crer des coulements bidimensionnels. Quoi que dansun rgime laminaire (coulement de Stokes), de tels coulements prsentent un champ cinmatique similaire celui dun coulement potentiel. Un coulement est dit potentiel lorsque le champ de vitesse est le gradientdune fonction scalaire appele potentiel . Ce type dcoulement est trs important sur le plan thorique caril sert dcrire des coulements de fluide parfait (ou fluide dEuler), cest--dire des fluides pour lesquels il nya aucune dissipation dnergie (par frottement visqueux). En pratique, un coulement potentiel sert dcriredes coulements en rgime turbulent loin de toute paroi. Dans le cas prsent, lcoulement potentiel autourdun obstacle rectangulaire est donc une idalisation dun coulement turbulent autour dun obstacle sans effetde couche limite et de sillage (cest--dire prcisment deux effets dus au frottement du fluide sur les parois delobstacle), des effets qui seront tudis au chapitre 6 ; lcoulement est alors gouvern par un quilibre entregradient de pression et termes inertiels (acclration). Pour limage(b), on visualise un coulement laminairedit de Stokes. Cest coulement purement visqueux, sans effet inertiel. La dynamique de lcoulement estalors entirement commande par lquilibre entre termes de frottement visqueux et gradient de pression. Ontudiera ces coulements au chapitre 6.

  • 16 1. Proprits des fluides

    Figure 1.6 : tout scoule, mme les montagnes [DR] !

    Figure 1.7 : passage du mur du son par un avion militaire [DR]. Londe de choc induit un changementbrutal de pression, qui provoque la condensation de la vapeur deau et la formation de micro-gouttelettes quimatrialise londe de choc aux abords de lavion.

  • 1.3 Viscosit des fluides 17

    1.3 Viscosit des fluides

    1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique

    Beaucoup de fluides de lenvironnement courant sont des fluides newtoniens. Ces fluides se carac-trisent notamment par une dpendance linaire des contraintes et des vitesses de dformation. Ainsi,Newton montra que lorsquon cisaille un fluide (voir figure 1.8)

    il se produit une force de rsistance du fluide contre cette action de cisaillement ; cette force est proportionnelle au taux de cisaillement, ici U/h [1/s].

    h

    U

    ex

    ey

    Figure 1.8 : cisaillement dun fluide entre deux plaques parallles espaces dune distance h ; la plaquesuprieure se dplace la vitesse U .

    Si on dfinit la contrainte de cisaillement comme la force par unit de surface [Pa=N/m2], alorson a la relation :

    = U

    h,

    o est le coefficient de viscosit dynamique [en Pas]. On introduit aussi une viscosit cinmatique = / [en m2/s] (cette relation sert par exemple dans la dfinition du nombre de Reynolds). Lunitde mesure de la contrainte est le Pascal [Pa], cest--dire 1 Pa = 1 N/m2. On verra plus loin auchapitre 6 que cette loi empirique scrira

    = , (1.1)

    avec le taux de cisaillement ou gradient de vitesse, qui dans le cas particulier examin ici prend lavaleur U/h.

    La viscosit dpend foncirement de la temprature du liquide : en gnral, elle diminue avec latemprature (plus la temprature est leve, plus lagitation molculaire est grande, moins le fluideoppose de rsistance). Ainsi, la viscosit de leau liquide vaut 1,8 103 Pas pour T = 0 C, 1,0 103 Pas pour T = 20 C, 0,35 103 Pas pour T = 80 C, et 0,28 103 Pas pour T = 100 C.Pour un gaz, cest linverse : on observe une augmentation de la viscosit avec la temprature. Letableau 1.1 donne les valeurs des viscosits pour leau et lair temprature ambiante ainsi que lamasse volumique. Le tableau 1.2 donne la viscosit dynamique pour des produits courants.

    Tableau 1.1 : quelques valeurs de viscosit T = 20 30 C.

    kg/m3 Pas m2/s

    eau 1000 103 106

    air 1,17 2105 1,6 105

    retenir que lunit de la viscosit dynamique est le Pas (unit du systme international ou USI).Auparavant on employait le poiseuille (1 Po = 1 Pas) ou le poise (le plus souvent le centipoise) : 1Pas = 10 Po = 100 cPo. Pour la viscosit cinmatique, on emploie le m2/s ; certains ont recours austokes (St) 1 St = 1 cm2/s = 104 m2/s et 1 cSt = 1 mm2/s = 106 m2/s.

    1.3.2 Origine physique

    La viscosit des gaz monoatomiques dilus peut sexpliquer assez simplement laide de la thoriecintique. Pour des gaz polyatomiques ou concentrs, les prdictions de cette thorie sont un peu moinsbonnes. Pour les liquides, le sujet a t abord depuis longtemps, mais reste encore trs dbattu.

  • 18 1. Proprits des fluides

    Tableau 1.2 : quelques valeurs de viscosit de matriaux familiers temprature ordinaire.

    (Pas)air 2 105eau 103

    huile dolive 0,1miel 1 10sirop drable 100bitume 108

    Considrons lexprience de Newton, o le gaz est cisaill entre deux plaques. lchelle atomique,les molcules vont en moyenne dans la direction x, mais sont galement en perptuelle agitation. Consi-drons deux couches voisines et parallles de molcules, dont le mouvement moyen est un glissementrelatif selon x. Si le libre parcours moyen 6 des molcules est , alors lordre de grandeur de la spara-tion entre deux couches dans la direction y est 2. Une molcule est anime dune vitesse fluctuantedue lagitation thermique, qui est isotrope et qui prend donc une valeur v(T )

    T dans toutes les

    directions v = (v, v), et dune vitesse moyenne u(y) selon la direction x. La vitesse instantane estdonc la somme de ces deux vitesses u = (u+ v, v).

    y

    y +

    x x + x

    n

    Figure 1.9 : thorie cintique trs simplifie : on considre un volume de contrle compris entre deux couchesde glissement lchelle molculaire.

    Considrons un petit volume de contrle entre deux couches, long de x, comme le montre lafigure 1.9. Du fait de lagitation thermique, chaque instant, peu prs n/6 molcules passent delaltitude y + y (les autres vont dans les autres directions de lespace), o n dsigne le nombremoyen de molcules par unit de volume ( ne pas confondre avec la normale n). Le flux lmentairede quantit de mouvement pour une particule entrant dans le volume scrit sur la face suprieure (laltitude y + )

    (y + ) = m(u n)ux = m(v(T )u(y + )

    v(T )2

    )

    x,

    avec n la normale la facette. Comme il y a en n/6 particules entrant dans le volume par unit detemps, on dduit que le flux tangentiel (dans la direction x) scrit donc x(y+) = nmvu(y+)x/6.On fait de mme avec la facette intrieure sachant que les flux latraux ne comptent pas (flux nul car levolume est pris entre deux couches adjacentes) et on tire que le flux est x(y) = nmvu(y)x/6.Le flux total tangentiel par unit de longueur est donc

    t =x(y + ) + x(y )

    x=nmv

    6(u(y + ) u(y )) nmv

    3dudy+O(),

    quand on fait un dveloppement limit au premier ordre. On peut faire de mme avec le flux normal,mais comme la vitesse fluctuante ne dpend que de la temprature, on trouve que les deux composanteslmentaires du flux sont de signe oppos et il ny a donc pas de flux de quantit de mouvement dans

    6. Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par une molcule entre deux collisions.

  • 1.3 Viscosit des fluides 19

    la direction y. Comme on peut interprter un flux de quantit comme une contrainte, on en dduitque ce flux tangentiel quivaut une contrainte de frottement tangentiel

    = dudy,

    avec = nmv/3

    le coefficient de viscosit. Grce la thorie cintique, on peut expliquer le comportement newtoniendes gaz, mais galement calculer le coefficient de viscosit dynamique, notamment prvoir sa variationavec la temprature : T , ce qui est bien vrifi exprimentalement.

    1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens

    Dans ce cours, on sintresse essentiellement des fluides newtoniens. Pour un fluide newtonien temprature constante et plac dans un coulement dit en cisaillement simple, la contrainte de cisaille-ment est relie au taux de cisaillement (gradient de vitesse) par la relation linaire (1.1). Autrement dit,si lon trace le rapport = / en fonction du taux de cisaillement, on obtient une droite horizontale,comme le montre la figure 1.10.

    110 010 210 310110210

    110

    010

    110

    rho-fluididiant

    rho-paississant

    newtonien

    Figure 1.10 : loi de viscosit pour diffrents types de fluide.

    Tous les fluides ne vrifient pas cette relation ou bien la vrifient partiellement. Par exemple,lhuile de cuisine est newtonienne, mais la mayonnaise ne lest pas : si on place de la mayonnaise sur uneassiette et quon incline lgrement cette assiette, rien ne se passe. En fait, il faut exercer une contrainteminimale pour que la mayonnaise scoule. On dit que la mayonnaise possde un seuil de contrainte.On peut faire une exprience en plaant un objet la surface de la mayonnaise : un cornichon a toutesles chances de rester la surface tandis quon peut facilement y enfoncer une cuillre. Le seuil decontrainte peut empcher la sdimentation dun corps si la pression exerce par ce corps est infrieure ce seuil. Si lon trace la relation = f() pour un tel fluide, on obtient une courbe comme cellereporte sur la figure 1.12, avec une valeur non nulle de la contrainte de cisaillement quand le tauxde cisaillement tend vers 0. Les fluides non newtoniens possdent des proprits parfois stupfiantesqui les distinguent des fluides newtoniens. Par exemple, leffet Weissenberg sert caractriser defaon simple un comportement non newtonien : un fluide newtonien mis en rotation a tendance secreuser sous leffet des forces centrifuges, mais un liquide polymrique (constitu de longues chanesde macromolcules) senroule autour du cylindre (voir figure 1.11) comme sil tait aspir.

    Dautres fluides nont pas de seuil de contrainte, mais une viscosit qui dpend du taux de cisaille-ment. On distingue ainsi deux classes de comportement (voir figure 1.10) :

    comportement rho-paississant : plus le taux de cisaillement est important, plus la rsistancedu fluide est grande. Cela se traduit souvent par des comportements exprimentaux de la forme n, avec n > 1. Dans les produits alimentaires, les produits base damidon sont le plussouvent rhopaississants (cest aussi en partie pour cette raison quon les utilise pour paissir une sauce) ;

  • 20 1. Proprits des fluides

    Figure 1.11 : effet Weissenberg. Cest la remonte dun liquide polymrique le long dun cylindre plong dansun bain et mis en rotation.

    comportement rhofluidifiant : plus le taux de cisaillement est important, plus la rsistance dufluide est faible. Exprimentalement, on observe des variations de la forme n, avec n < 1.Le ketchup est un produit rhofluidifiant. Certaines peintures possdent cette proprit pourfaciliter leur application ; elles peuvent galement tre thixotropes : lapplication dune contrainteprovoque une dstructuration du matriau, entranant une chute de viscosit, qui varie au coursdu temps (si le matriau est laiss au repos, il retrouve sa structure originale et donc sa viscositoriginale).

    1

    10 0

    102

    103

    101

    102

    10

    110

    010

    110

    Figure 1.12 : loi dcoulement = f() pour un fluide seuil.

    noter que la plupart des matriaux un tant soit peu complexes sont non newtoniens, maison emploie frquemment lapproximation de fluide newtonien car assez souvent on travaille sur unegamme restreinte de taux de cisaillement et que dans ce cas-l, lapproximation peut tre correcte.Par exemple, on parle de viscosit dun glacier lorsquon fait des calculs de fluage approximatifs surde trs grandes chelles de temps.

  • 1.4 Tension de surface 21

    1.4 Tension de surface

    La tension de surface est une proprit des fluides, qui sont attirs ou repousss lorsquils sont encontact avec un solide, un liquide, ou un gaz. Cette proprit est importante puisquelle explique lastabilit des gouttes de pluie dans latmosphre, les larmes du vin, le dplacement des insectes lasurface de leau, les proprits anti-adhrence de certains ustensiles de cuisine, les mulsions en cuisine,leffet du savon, les remontes capillaires dans les solides poreux, etc. La squence de photographies1.13 montre comment sous leffet de la tension de surface, un jet liquide se scinde et forme une goutte.La tension de surface est un phnomne gnral que lon rencontre pour tous les fluides ; toutefois, selonla nature du fluide, leffet de la tension de surface peut amener des phnomnes dallure diffrentecomme lillustre la figure 1.14 dans le cas de ressauts capillaires avec des fluides newtonien et nonnewtonien.

    (a)

    (b)

    (c)

    Figure 1.13 : formation dune goutte. Les ondes de surface ainsi que la rupture de la goutte sont commandespar les effets de tension de surface.

    linterface entre deux fluides, il existe des interactions molculaires en gnral de rpulsion : lesmilieux ntant pas miscibles, il existe une force la surface de contact qui permet de sparer les deuxfluides et viter leur imbrication ou leur mlange. On appelle tension de surface ou tension capillairecette force surfacique permettant de maintenir deux fluides en contact le long dune interface commune.

  • 22 1. Proprits des fluides

    (a) (b)

    Figure 1.14 : (a) formation dun ressaut capillaire avec de leau dans un vier. (b) effet de la tension desurface provoquant une rupture de symtrie dans le ressaut circulaire dans le cas dune fluide non newtonien[John W. M. Bush, http://web.mit.edu/jeffa/Public/web/jump.htm].

    On la note ; a la dimension [Pam]. On lexprime parfois aussi comme une nergie par unit desurface [J/m2]. La tension de surface de leau en contact avec lair est = 70 103 Pam ; le tableau1.3 fournit quelques valeurs de tension de surface.

    Tableau 1.3 : tension de surface de quelques liquides temprature ambiante ou celle indique entreparenthses

    Fluide [Pam]huile silicone 20 103eau 70 103thanol 23 103glycrol 63 103mercure 0,485hlium ( 4 K) 104

    verre fondu (1500 K) 0,3

    Si lon considre maintenant un liquide le long dune paroi solide, on observe leffet inverse : il existedes forces dadhsion. On dira le plus souvent que le fluide est mouillant sil est attir par le solide : unegoutte deau a ainsi le plus souvent le caractre dun fluide mouillant. On dit quil est non mouillantlorsquil est repouss par la surface solide ; cest par exemple ce quon cherche produire en fabriquantdes ustensiles de cuisine avec des revtements en tflon pour viter ladhsion des graisses ou bienquand on farte les skis avec des farts fluors. La figure 1.15 montre un exemple dapplication en legnie civil avec la couverture du stade de la Maracan Rio-de-Janeiro (Brsil). La figure 1.16 montrela forme dune goutte sur un support plan en fonction de son caractre mouillant. Langle que formela goutte avec le support solide est appel angle de contact. Pour un fluide en quilibre statique, cestune grandeur constante, qui ne dpend que des proprits (nergies de surface) du solide, du liquide,et du gaz. Si le fluide nest plus au repos, la valeur de langle varie avec la vitesse et la direction delcoulement.

    Considrons un cadre mtallique surmont dune barre mobile. On plonge lensemble dans de leausavonneuse (la mme solution qui sert faire des bulles de savon), puis on le retire. On constate quela barre roule immdiatement vers la gauche. Il faut exercer une force

    F = 2,

    pour immobiliser la barre. Le facteur 2 correspond aux deux interfaces liquide/air de part et dautredu cadre.

  • 1.4 Tension de surface 23

    Figure 1.15 : pour le projet de rhabilitation du stade Maracan de Rio de Janeiro pour le Mondial de footballet les Jeux Olympiques, les concepteurs ont prvu de couvrir les gradins laide dune enveloppe comportantun film plastique couvert de tflon pour viter limprgnation (qui serait prjudiciable au poids que doiventsupporter les poutres de la structures) et faciliter le drainage (dans un climat subtropical, les pluies peuventtre trs intenses). Source : http://placar.abril.com.br.

    (a)

    (b)

    Figure 1.16 : goutte sur une surface solide dans le cas dun fluide au repos (a) mouillant et (b) non mouillant.

    Cette exprience montre donc que la force de tension agit comme une force normale ( la barre)proportionnelle la longueur de film (en contact avec la barre). De manire gnrale, la force rsultantde la tension de surface sur tout lment de longueur ds de la surface libre oriente par la normale nest

    dF = n ds. (1.2)Si on prend par une surface solide en contact statique avec un liquide (voir figure 1.18), on trouve

    F = t =

    sin cos

    0

    avec le primtre de lobjet en contact avec linterface et langle de linterface; un facteur 2 peuttre ncessaire lorsquil sagit dun film avec deux interfaces. On note ainsi que la composante verticale

    http://placar.abril.com.br/wp-content/uploads/2012/06/projeto-maracana-divulgacao.jpg

  • 24 1. Proprits des fluides

    F

    film

    de

    savon

    film

    air

    F

    force applique par lexprimentateur

    barre cylindrique

    cadre

    Figure 1.17 : la tension de surface cre une force normale la tige.

    de la force est maximale larrachage, cest--dire lorsquon retire lobjet du bain et que la force detension est oriente verticalement ( 0 dans lquation ci-dessus). Dans le cas prsent, langle delinterface correspond aussi la dfinition de langle de contact .

    n

    t

    s

    y

    x

    d

    Figure 1.18 : la tension de surface cre une force normale au plan (ds, n). La direction de cette force estdonc donne par t.

    Cest ce principe qui est exploit dans un appareil appel tensiomtre (de Lecomte du Noy)qui sert mesurer la tension de surface : il sagit de placer un petit anneau la surface du liquide donton veut mesurer la tension, puis de mesurer la force ncessaire son soulvement. Si le rayon intrieurest R1, le rayon extrieur R2, lpaisseur de lanneau e, cette force scrit

    F = 2(R1 +R2) + ge(R22 R21),

    avec le second terme correspondant au poids de lanneau. En gnral ce poids est trs faible et R2 R1 R = 12 (R2 +R1) de telle sorte quon peut crire :

    F 4R.

    On peut mesurer de faon trs prcise la tension de surface avec ce simple appareil.

    Quand on place une petite entit de fluide dans un autre fluide, cette entit isole prend la formedune goutte sphrique si rien ne vient (comme un mouvement du fluide environnant) sopposer cette forme. En effet, la forme sphrique est la forme qui minimise lnergie de surface, cest--direlnergie que doit dpenser la particule pour viter que du fluide environnant ne pntre dans la goutte.Considrons une goutte de rayon R dun fluide au repos immerge dans un autre fluide au repos. Lapression dans la goutte est pi ; celle dans le fluide extrieur est pe ; voir figure 1.20. La goutte est lquilibre si le travail des forces de surface est contrebalanc par le travail des forces de pression (onsuppose quon augmente virtuellement le rayon dun incrment dR et on impose que la goutte retrouve

  • 1.4 Tension de surface 25

    h

    2R1 2R2

    F

    Figure 1.19 : tensiomtre de Noy.

    sa position dquilibre, donc tous les travaux des diffrentes forces doivent se compenser) :

    travail lmentaire des forces Wp de pression (force de volume) : pression incrment de volume= p d

    (43R

    3), avec p = pi pe ;

    travail lmentaire des forces Wt de tension (force de surface) : tension incrment de surface= d

    (4R2

    ).

    2R

    ep

    ip

    Figure 1.20 : goutte en quilibre.

    On doit avoir Wp + Wt = 0. En diffrentiant, puis en simplifiant, on trouve :

    p = pi pe =2R. (1.3)

    Cest la loi de Laplace 7. travers toute interface entre deux fluides, il existe une saute de pressiongale 2/R. Cette loi peut se gnraliser des surfaces libres non sphriques

    p = pi pe = (

    1R

    +1R

    )

    , (1.4)

    avec R et R les rayons de courbure principaux. Attention, si on considre une bulle sphrique au lieu dune goutte, lintrieur et lextrieur de la bulle sont composs de gaz et ils sont spars par un filmavec deux interfaces, donc la loi de Laplace est dans ce cas particulier

    p = pi pe = 4

    R.

    Il faut aussi prendre garde lemploi de cette loi lorsque la surface libre est concave (comme dansle cas de la remonte capillaire dun fluide mouillant, voir lexemple de la loi de Jurin plus bas) : la

    7. Pierre-Simon Laplace (17491827) a t un mcanicien et mathmaticien franais la fin du xviiie sicle et dbut duxixe sicle. Ses travaux ont port sur des problmes de mcanique cleste, o il analysa linteraction laide dquationsdiffrentielles, de mathmatiques (loi de probabilit, transforme de Laplace), et de la thermomcanique des fluides(changement dtat des corps).

  • 26 1. Proprits des fluides

    pression du fluide est alors plus petite qu lextrieur. Il faut donc considrer que le rayon de courbureest algbrique : R > 0 pour une surface convexe et R < 0 pour une surface concave.

    La tension de surface permet dexpliquer la remonte capillaire le long dune paroi solide. Eneffet, exprimentalement on observe que la surface libre dun liquide ne forme pas un angle droit avecune paroi, mais est lgrement incurve vers le haut (liquide mouillant) ou vers le bas (liquide nonmouillant). Lordre de grandeur de la remonte capillaire est obtenu en galant la pression (supposehydrostatique) due la gravit et la saute de pression due aux forces capillaires, ce qui donne daprslquation (1.4)

    gh R, (1.5)

    avec R le rayon de courbure et h la remonte capillaire, R et o lon a nglig la pressionatmosphrique (voir figure 1.21). En faisant lapproximation R h, on dduit lordre de grandeursuivant

    h2 = O(

    g

    )

    .

    h

    x

    y

    Figure 1.21 : remonte capillaire le long dune paroi solide dans le cas dun fluide mouillant.

    Ce calcul peut se faire plus rigoureusement en intgrant lquation (1.5) et en se servant de ladfinition du rayon de courbure

    R(x) =(1 + y2)3/2

    y,

    o y(x) est lquation de la surface libre. Pour rsoudre cette quation, on a besoin dune conditionaux limites. Celle-ci est donne exprimentalement par langle que forme le liquide avec la paroi solide,angle qui est appel angle de contact. En partant de lquation diffrentielle gy(x) = /R(x) associe la condition aux limites y(0) = cotan, en la multipliant par y, puis en intgrant une fois, onobtient

    d

    (

    12y2 +

    g

    1

    1 + y2

    )

    = 0

    ce qui veut dire que la quantit = y2 + 2/(g

    1 + y2) se conserve. Comme la surface libre doitdevenir horizontale quand x crot, on trouve que doit tre nul (car y 0 et y 0 quand x ).Lquation diffrentielle du premier ordre qui en rsulte est assez complique, mais on peut obtenirla remonte capillaire sans la rsoudre. En se servant de la condition aux limites y(0) = cotan, ontrouve finalement

    h2 = 2

    gsin .

    Une manifestation des effets de tension de surface est la remonte capillaire due la dpressionlocale cause par la courbure de la surface libre. Considrons un tube de petites dimensions (diamtre

  • 1.4 Tension de surface 27

    2r petit devant la hauteur du tube) plong dans un liquide de masse volumique . La pression souslinterface (point A sur la figure 1.22) est

    PA = Pa 2

    R,

    o R dsigne le rayon de courbure (en valeur absolue) de la surface libre suppose de forme hmisph-rique et Pa est la pression atmosphrique. Il y a un signe ngatif devant le rayon de courbure car ilfaut tenir compte de la concavit de la surface libre (le mnisque de fluide forme une surface concave).Ce rayon de courbure peut tre reli au diamtre du tube et langle de contact de la faon suivante :r = R cos . Au point B, la pression vaut donc :

    PB = PA + gh,

    or ce point tant la mme altitude que la surface libre non perturbe du liquide, la pression doit tregale la pression atmosphrique. On en dduit donc la remonte capillaire

    h =2 cos gr

    . (1.6)

    Cest la loi de Jurin.

    h

    2r

    b

    b

    A

    B

    Figure 1.22 : remonte capillaire le long dun tube cylindrique.

  • 29

    2Similitude2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude

    2.1.1 Objet de la thorie de la similitude

    Par thorie de la similitude, on entend aussi bien lanalyse des dimensions (units physiques) desparamtres dun problme, lusage de nombres sans dimension que le support thorique permettantdinterprter les expriences ralises petite chelle et visant reproduire des phnomnes complexes( grande chelle). La thorie de la similitude est donc un ensemble de rgles qui vise :

    proposer des nombres sans dimension 1 tels que le nombre de Reynolds ou le nombre de Froude ; simplifier les quations de base en supprimant les termes ngligeables ; diminuer le nombre de paramtres pertinents ncessaires ltude exprimentale (mais galement

    numrique ou thorique) des phnomnes ; tablir les critres respecter pour quune exprience chelle rduite soit reprsentative dun

    phnomne en grandeur relle (on dit alors que lexprience est en similitude avec le phnomne) ; fournir les relations de changement dchelle entre expriences.

    Exemple. Par exemple, il est souvent trs difficile de calculer numriquement ou thorique-ment le fonctionnement dun ouvrage hydraulique ou le comportement dun coulement. Si cela estpossible, il peut tre trs coteux (en temps, en argent) de faire une tude complte. Il peut alors treintressant de procder des essais chelle rduite en laboratoire sur des maquettes. La question estcomment utiliser les donnes obtenues chelle rduite pour dduire les caractristiques du phnomneen grandeur relle. Par exemple, une avalanche de neige ou de rochers peut provoquer, en cas dimpactavec une tendue deau, une vague dite dimpulsion. Le phnomne est difficile tudier, notamment cause du couplage complexe entre lcoulement gravitaire et leau. Si dans le cadre dune tude din-gnierie, par exemple pour dimensionner une hauteur de remblai suffisante, on souhaite calculer lescaractristiques de la vague, une faon de procder est de raliser un modle rduit (voir figure 2.1).Le problme est alors de savoir comment passer des mesures ralises en laboratoire aux grandeursrelles.

    2.1.2 Invariance dchelle

    En filigrane, il existe une notion essentielle en physique : la notion dinvariance. Cest parce queles lois de la physique sont invariantes par rapport tout changement dunit quelles peuvent semettre sous des formes sans dimension ou bien quelles peuvent tre valables pour une large plagedchelles de temps et despace. Cette notion dinvariance permet de dboucher sur lauto-similaritde certains phnomnes physiques. Un phnomne qui varie au cours du temps est dit auto-similairesi les variations spatiales de ses proprits diffrents moments se dduisent les unes des autres par

    1. cest--dire qui nont pas de dimension (unit) physique.

  • 30 2. Similitude

    (a)

    (b)

    (c)

    Figure 2.1 : (a) vague dimpulsion cre par un boulement rocheux de 300 000 m3 dans un lac morainiquesous le glacier de Grindelwald (BE) le 22 mai 2009 ; source : Tages Anzeiger. (b) schmatisation du calcul dela vague dimpulsion. (c) essai en laboratoire.

    une simple transformation similaire. En bref, si par simple translation, rotation, et tirement, toutesles courbes peuvent tre ramenes une seule courbe matresse, alors le phnomne est auto-similaire.

    Les solutions auto-similaires sont intressantes plus dun titre :

    lexistence dune solution auto-similaire permet de comprendre analytiquement un processusphysique complexe, notamment le comportement court/long terme dune solution ;

    la mise en vidence de lauto-similarit fournit un moyen pratique de reprsenter une fonctions plusieurs variables dune faon simple et riche en interprtation physique ;

    exprimentalement, les donnes issues de conditions exprimentales diffrentes tombent sur unecourbe unique si on choisit de les reprsenter laide des variables auto-similaires ;

    il est possible de rduire une quation aux drives partielles en diffrentielle ordinaire et/oude rduire lordre de lquation diffrentielle, ce qui permet parfois darriver des solutionsanalytiques.

    http://www.tagesanzeiger.ch/mobile/region/thun/Wahrhaft-gewaltiges-Schauspiel/s/22267418/index.html

  • 2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude 31

    Pour bien comprendre cette notion dinvariance, on peut se servir des connaissances acquises engomtrie. Par exemple, des triangles sont dits similaires gomtriquement si le rapport de leurslongueurs reste identique (voir figure 2.2)

    =a

    a=b

    b=c

    c,

    avec le rapport de similitude, le facteur dchelle, ou lchelle. On parle de transformation isomorphequand on transforme un triangle en un autre par longation de ses cts dun facteur identique .

    Il est possible de gnraliser cette notion en considrant des rapports de longueur diffrents selonles axes du plan. Ainsi, une transformation affine conserve les rapports de longueur, avec des rapportsdiffrents selon les axes (voir figure 2.2)

    x =a

    aet y =

    b

    b,

    avec x et y les rapports selon lhorizontale et la verticale. Lors dune transformation affine, on noteque

    certaines quantits sont conserves. On parle dinvariant. Par exemple le rapport de la surfaceS et du produit des demis axes :

    s =S

    ab=

    S

    ab= .

    dautres quantits ne le sont pas. Par exemple le primtre nest pas invariant

    P = 4 /2

    0

    a2 cos2 + b2 sin2 d

    (a)

    (b)

    Figure 2.2 : (a) transformation isomorphe de triangles. (b) transformation affine dune ellipse.

    Pourquoi certaines quantits se conservent et dautres non? On parle de loi dchelle pour dfinirla relation de proportionnalit entre une certaine grandeur et lchelle (ici gomtrique) du problme :

    le primtre P , la surface S 2, le volume V 3,

  • 32 2. Similitude

    avec une chelle caractristique de lobjet (voir figure 2.3). Selon la dimension de la grandeur et ledegr de libert de la transformation, il est possible dobtenir plus ou moins simplement la relationqui lie cette grandeur lchelle ou bien aux rapports de changement dchelle. Par exemple, dans lecas de la transformation cercle (rayon a = b) en ellipse (de demis grand et petit axes a et b) par unetransformation affine (avec deux degrs de libert x et y), on trouve que le primtre de lellipsevaut

    P = 4 /2

    0

    a2 cos2 + b2 sin2 d = 4 /2

    0

    a22x cos2 + a22y sin2 d.

    En introduisant r = y/x et P = 2a, on peut crire ce primtre sous la forme dun rapport :

    P

    P= f(x,y) =

    2x

    /2

    0

    cos2 + r2 sin2 d =2x

    E(1 r2),

    avec E une fonction spciale dite intgrale elliptique complte. Le primtre P est donc proportionnel P via un coefficient f qui dpend des deux paramtres dchelle x et y. Dans ce cas-ci, il nestpas possible de relier simplement par un simple argument dimensionnel la grandeur (primtre) auxchelles de transformation.

    La thorie de la similitude cherche prdterminer la structure des dpendances entre variableset paramtre(s) dchelle du problme.

    Figure 2.3 : longueur caractristique dun objet.

    2.2 Units de mesure

    Dans ce cours, on utilise les units du systme international ou systme mtrique dcimal 2. Cesystme repose sur 7 units fondamentales :

    longueur : le mtre [m] ; masse : le kilogramme [kg] ; temps : la seconde [s] intensit lectrique : lampre [A] ; temprature : le kelvin [K] ; intensit lumineuse : le candela [cd] ; quantit de matire : la mole [mol].

    Chaque mesure est associe un symbole, dont la typographie a t fixe. On se sert soit de nomspropres (le symbole commence alors par une majuscule), soit des units de base. Par exemple :

    force : le newton [N] (1 N = 1 kgm/s2) ; pression : le pascal [Pa] (1 Pa = 1 kgm1s2) ;

    2. Le systme mtrique fut instaur sous la Rvolution franaise pour remplacer les units employes sous lAncienRgime (poise, pied, etc.). La dfinition et lusage des mesures ont t fixs la fin du xixe sicle et au xxe sicle par laConfrence gnrale des poids et mesures. Seuls quelques pays, dont le Royaume-Uni et les tats-Unis, nont pas encoreadopt le systme mtrique.

  • 2.2 Units de mesure 33

    vitesse : [m/s] ; masse volumique : [kg/m3] ; acclration : [m/s2] ; surface : [m2] ; dbit : [m3/s] ; nergie : le joule (1 J = 1 kgm2/s2) ; puissance : le watt (1 W = 1 kgm2/s3).

    On introduit des puissances de 10 pour pondrer lunit. Les plus usuelles en mcanique sont donnesdans le tableau 2.1.

    Tableau 2.1 : nom des puissances de 10 et symbole associ.

    Nom Puissance de 10 symbole

    micro 106 milli 103 mcenti 102 cdci 101 ddca 101 dahecto 102 hkilo 103 kmega 106 M

    Quelques rappels :

    les units sont en caractre roman et non en italique : 12 m et non 12m ; les units sont spares par un espace du nombre qui les prcde : 12 m et non 12m ; les noms propres qui ont servi fabriquer des units deviennent des noms ordinaires et saccordent

    en consquence. Il faut ainsi noter quil ny a pas de majuscule pour la premire lettre du nom.La seule exception concerne les degrs : on crit degr Celsius et degr Fahrenheit ;

    on crit 0 C (0 degrs Celsius 3) et 273 K (273 kelvins) ; certains noms dunit concident avec leur symbole ; cest le cas du bar par exemple. Dans ce

    cas-l, il est possible dcrire 10 bar ou bien 10 bars selon que bar est pris comme un symbole(invariable) ou un nom ( accorder en consquence).

    Dans la vie courante, on emploie souvent des units diffrentes : le litre [, l, ou L] pour les volumes,le bar [bar] pour la pression atmosphrique, etc. noter que pour le litre admet plusieurs symboles.Initialement, le symbole tait la lettre l minuscule, mais pour la plupart des polices de caractres,elle se distingue mal du chiffre 1. Aussi, on lui substitue souvent la lettre L majuscule ou la lettre rond. Certaines units qui nappartient pas au systme international restent dun emploi courant. Parexemple, pour la quantit dnergie absorbe ou dpense par des tres vivants, on parle plus souventen calories (symbole cal) quen joules. Initialement, la calorie a t introduite comme la quantit dechaleur quil faut apporter pour lever de 1 C la temprature dun gramme deau. Toutefois, cettedfinition est peu rigoureuse car la quantit de chaleur ncessaire dpend en fait de la pression et dela temprature initiale de leau. Aujourdhui, il est courant demployer la dfinition suivante

    1 cal = 4,184 joules.

    On considre que la ration alimentaire dun homme sdentaire de 70 kg est voisine de 2800 kcal (11,7kJ) sil veut couvrir ses besoins journaliers. Pour les units de puissance, principalement des vhiculesautomobiles, on parle souvent en chevaux-vapeur (CV) 4, dont lorigine remonte au xixe sicle quand

    3. Anders Celsius (17011744) est un savant sudois, professeur dastronomie luniversit dUppsala. Il est loriginedune chelle relative des tempratures dont lunit, le degr Celsius (C), honore son nom. Il participa galement uneexpdition dirige par lastronome franais Pierre Louis Maupertuis dans la valle de la Torne, dans le nord de la Sude(Laponie). Lobjectif tait de mesurer la longueur dun arc de mridien de 1 afin de savoir si la terre tait aplatie ounon au niveau des ples ; il fut montr que, conformment aux prdictions de Newton, la terre tait bien un sphrodeaplati.

    4. En France et en Belgique, il existe un cheval-vapeur fiscal, qui sert tablir une grille de taxation en fonction dela puissance et du rejet en CO2 des vhicules. Les Anglais emploient le horse power (hp), avec 1 hp = 746 W.

  • 34 2. Similitude

    les machines vapeur ont commenc tre substitues aux chevaux pour la traction des vhicules. Letaux de conversion est :

    1 CV = 736 W.

    On peut utiliser un petit moyen mnmotechnique pour dcomposer une unit physique quelconqueen units fondamentales. Prenons lexemple du joule ; le joule sert comme unit pour lnergie et letravail. Le travail dune force, cest une force multiplie par une distance, donc on a :

    travail = force longueur = N m = kg m2/s2.

    2.3 Principaux nombres adimensionnels

    En mcanique des fluides, on est souvent amen manipuler des groupes de variables sans dimen-sion, appels nombre adimensionnel ou rapport de similitude . Ces groupes sont construits enfaisant des rapports entre des termes apparaissant dans les quations du mouvement, ce qui permetde les interprter physiquement. On distingue ainsi

    le nombre de Reynolds

    Re =u

    , (2.1)

    avec une chelle de longueur, u une chelle de vitesse, la viscosit du fluide, et sa massevolumique. Le nombre de Reynolds est le plus souvent interprt comme le rapport des forcesdinertie sur les forces de viscosit. Il sert notamment classer le rgime dcoulement en dis-tinguant les coulements laminaires (Re 1) et les coulements turbulents (Re 1). Si onintroduit la viscosit cinmatique du fluide ( = /f avec f la masse volumique du fluide),alors on a aussi : Re = u/ ;

    le nombre de StokesSt =

    tptf,

    avec tp le temps de relaxation de la particule (le temps typique de variation de la vitesse quand onperturbe ltat dquilibre de la particule) et le temps caractristique du fluide (lchelle de tempssur laquelle le fluide sajuste tout changement de la particule). Ce nombre sert dans ltudedes coulements biphasiques (par exemple, une suspension de particules) quantifier les effetsbiphasiques, cest--dire le couplage entre phases. Lorsque St 1, la phase solide est entirementgouverne par la phase fluide tandis que pour St 1, les deux phases sont dcouples. Notonsque dans bien des problmes dintrt pratique (sdimentation de particules par exemple), lenombre de Stokes est trouv tre proportionnel au nombre de Reynolds. Par exemple, pour uneparticule de rayon a, de masse m et de masse volumique p, sdimentant la vitesse us dansun fluide newtonien au repos, on a tf = a/us et tp = mus/Fv, o Fv = 6aus est la force defrottement visqueux. On aboutit alors :

    St =29pf

    usa

    =

    29pf

    Re ;

    le nombre de FroudeFr =

    ugh, (2.2)

    avec h une chelle de hauteur, u une chelle de vitesse, g lacclration de la gravit. Le nombrede Froude est le plus souvent interprt comme le rapport de lnergie cintique sur lnergiepotentielle. Il sert notamment en hydraulique classer le rgime dcoulement en distinguant lescoulements supercritiques (Fr > 1) et les coulements subcritiques (Fr < 1) ;

    le nombre de MachM =

    u

    c,

    avec u une chelle de vitesse et c =

    dp/d la clrit du son (ou clrit des ondes dans lair).Le nombre de Mach sert en arodynamique valuer la compressibilit de lair. On distingueainsi les coulements supersoniques (M > 1) et subsoniques (M < 1) ;

  • 2.3 Principaux nombres adimensionnels 35

    le nombre de Pclet

    Pe =u

    D,

    o est une chelle caractristique du systme tudi (taille de la particule ou libre parcoursmoyen), u une chelle de vitesse, et D un coefficient de diffusion. Le nombre de Pclet sert enrhologie et dans ltude de la diffusion valuer leffet respectif de la convection et de la diffusion.Lorsque Pe 1, la convection lemporte sur la diffusion. Les particules sont donc transportes(advectes) par le fluide. Dans le cas contraire, lorsque Pe 1, la diffusion lemporte sur laconvection. En diffusion turbulente ou bien thermique, on emploie le nombre de Schmidt et lenombre de Prandtl ;

    le nombre de capillarit ou nombre capillaire

    Ca =u

    ,

    avec u une chelle de vitesse, la viscosit du fluide, et la tension de surface. Ce nombre sert valuer les effets de tension de surface, par exemple lorsquon tale un fluide ou bien dansun milieu poreux. Lorsque Ca 1, les effets de tension lemportent sur les forces visqueuseset rciproquement quand Ca 1, la viscosit est tellement grande que les effets de tension desurface la surface libre sont ngligeables. Le nombre de Bond, de Weber, et de Kapitza sontgalement des variantes courantes du nombre de capillarit.

    Dans ces diffrentes expressions, les chelles sont en gnral des grandeurs macroscopiques caract-risant le systme tudi. Par exemple, le nombre de Reynolds dun coulement deau dans une rivireest Re = uh/, avec u la vitesse moyenne de leau, h la profondeur deau, et la viscosit cinmatique.On parle de nombre de Reynolds macroscopique ou bien de nombre de Reynolds de lcoule-ment . Si maintenant dans cette rivire, on tudie la sdimentation de particules fines de rayon moyena, on introduit un nombre de Reynolds local appel encore nombre de Reynolds particulaire :Re = usa/, avec us la vitesse de sdimentation. Notons que le nombre de Reynolds de lcoulementpeut tre trs grand (coulement turbulent) alors que le nombre de Reynolds particulaire peut trepetit (coulement localement laminaire dans le proche voisinage de la particule).

    Les chelles sont gnralement des grandeurs constantes, cest--dire des grandeurs qui ne varientpas significativement au cours du temps ou dans lespace. On peut parfois tre amen introduiredes nombres adimensionnels dont les chelles varient. Par exemple, dans ltude de la couche limite lelong dune paroi, on introduit un nombre de Reynolds Re = uy/, avec y la distance par rapport laparoi, qui varie avec la distance.

    Gnralement tout nombre sans dimension peut tre interprt comme un rapport soit de longueurs,soit de forces (contraintes), soit de temps. Un mme nombre peut souvent sinterprter de diffrentesfaons. Par exemple le nombre de Reynolds est :

    Re =u

    =u2

    u inertie

    contrainte de cisaillement,

    on peut donc dfinir le nombre de Reynolds comme le rapport des forces dinertie sur les forcesvisqueuses. On peut galement, dans le cas particulier du nombre de Reynolds, interprter le nombresans dimension comme un rapport de temps caractristiques :

    Re =u

    =u

    2

    =tturb.tec.

    ,

    avec tec. = /u le temps de relaxation de la particule ou de la structure turbulente (temps reprsentatifmis par la particule pour parcourir une distance gale son diamtre) et tturb. = 2/ un tempscaractristique de diffusion de la turbulence. Toujours avec le nombre de Reynolds, on peut montrerquil sagit aussi dun rapport de longueurs caractristiques :

    Re =u

    =

    u

    =part.turb.

    ,

    avec part. = la longueur caractristique de la particule et turb. = /u la taille caractristique destourbillons de la turbulence.

  • 36 2. Similitude

    2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme

    Le thorme de Vaschy-Buckingham est fondamental dans la thorie de la similitude. Il permet dedire combien de nombres sans dimension indpendants peuvent tre construits dans un problme phy-sique qui implique n variables. Son nonc est un peu technique et sa mise en uvre laisse croire quilsagit dune procdure mathmatique quil suffit dappliquer mthodiquement. En fait, son utilisation laveugle peut conduire de graves erreurs et il faut de la pratique pour viter les nombreux piges.Son application est relativement aise quand on a dj une ide du rsultat, cest--dire de la naturedes nombres adimensionnels qui peuvent jouer un rle dans le problme tudi. Avant daborder cethorme, on prsente la mthode de Rayleigh qui permet dobtenir la structure (dimensionnelle) dursultat recherch dans un grand nombre de cas simples.

    2.4.1 Mthode de Rayleigh

    Lord Rayleigh 5 a propos une variante plus simple demploi. Supposons quon souhaite exprimerune variable x en fonction de n paramtres yi. On crit que dimensionnellement on a :

    [x] = [y1]a[y2]b [yn]s,

    o a, b, . . . , s sont des coefficients dterminer de telle sorte que le produit des units des ai soitcohrent avec lunit de x.

    Exemple. Un exemple commun est le calcul de la priode des oscillations dun pendule delongueur et de masse m dans un champ de gravit g (voir figure 2.4). On pose

    T ambgc,

    soit en termes de dimensions :

    [T ] = []a[m]b[g]c s = makgb(m/s2

    )c.

    Figure 2.4 : pendule en oscillation.

    On dduit pour chaque unit fondamentale :

    masse (kg) : 0 = b ; longueur (m) : 0 = a+ c ; temps (s) : 1 = 2c.

    5. John William Strutt, plus connu sous son titre de Lord Rayleigh, tait un physicien anglais (18421919). Il a tudiplusieurs branches de la physique et la mcanique (acoustique, optique, lectrodynamique, lectromagntisme, viscositdes fluides, photographie). On lui doit notamment la dcouverte dun gaz rare, largon, pour laquelle le prix Nobel lui at dcern en 1904.

  • 2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme 37

    Soit c = 12 , a = 12 , et b = 0. Donc :

    T

    g.

    Si lon rsout lquation du mouvement pour un pendule, on trouve T = 2

    /g, ce qui est cohrentavec le rsultat trouv ci-dessus. En effet, lquation du mouvement sobtient partir de la conservationde lnergie

    12mu2 +mgz = cste,

    avec u = , et z = (1 cos ), = d/dt. En diffrentiant par rapport au temps et simplifiant parm et , on trouve :

    d2dt2

    = g

    sin .

    Ladimensionalisation de lquation du mouvement permet de passer dune quation dimensionnelle

    d2dt2

    = g

    sin

    une quation sans dimension physique et donc invariante :

    d2dt2

    = sin avec (0) = 0,(0) = 0, et =gT 2

    ,

    et o lon a introduit le temps adimensionnel : t = t/T . Le paramtre est une constante qui ne peutdpendre ici que de 0. Posons = f2(0), ce qui montre que :

    T =

    gf(0).

    Dans la limite 1, on peut trouver une solution approche en posant sin , soit

    d2dt2

    = avec (0) = 0, et (0) = 0,

    soit encore :

    = 0 cos(

    t)

    = 0 cos(

    t

    T

    )

    = 0 cos(

    f(0)t

    T

    )

    ,

    or par dfinition de la priode = 0 cos(2t/T ), on trouve que :

    f(0) = 2 quand 0,

    et

    T0 = lim00

    T = 2

    g.

    Lexpression analytique exacte de la priode doscillation est trouve tre

    T

    T0=

    2K

    (

    sin02

    )

    avec T0 = 2

    g,

    avec K une fonction spciale dite intgrale elliptique complte de premire espce. On retrouve quelorsque 0 0, alors la priode T tend vers T0 (voir figure 2.5).

  • 38 2. Similitude

    Figure 2.5 : priode doscillation dun pendule en fonction de langle initial.

    2.4.2 Thorme de Vaschy-Buckingham

    Nous cherchons calculer une variable a1 dpendant de n 1 autres variables indpendantes ak.On doit rsoudre un problme implicite

    (a1, a2, . . . , an) = 0,

    ou bien explicitea1 = (a2, a3, , an),

    ces variables sont dfinies dans un systme de m mesures faisant appel p units fondamentales Di(en gnral, p = 3 avec comme units fondamentales : le mtre, la seconde, le kilogramme). Chaquevariable aj est dimensionnellement homogne un produit de monmes des units de base

    [aj ] = Dj1 D

    j2 . . .D

    jp .

    Par exemple, lorsque p = 3, on a en gnral une longueur D1 = L, une masse D2 = M , et un tempsD3 = T comme units de base [a] = MLT , ce qui donne pour les n variables

    [a1] = M1L1T 1 ,

    [a2] = M2L2T 2 ,

    ... =...

    [an] = MnLnT n,

    avec j , j , et j des coefficients dtermins lavance en examinant la dimension des variables. Il estpossible de former des nombres sans dimension en faisant des produits de monmes

    i = aki

    1

    1 aki

    2

    2 . . . akinn .

    La question qui se pose est : si ces nombres sans dimension existent, de combien en a-t-on besoin pourreprsenter la solution du problme?

    nonc

    Le thorme de Vaschy-Buckingam ou thorme rpond cette question en affirmant que k =nr nombres sans dimension indpendants sont ncessaires, avec r le rang de la matrice dimensionnelle

  • 2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme 39

    associe au problme 6. Au lieu dtudier un problme de dimension n : a1 = (a1, a2, , ak1), onpeut se ramener un problme de dimension k < n exprim en termes de nombres sans dimension :

    1 = (2, 3, , k).h Dmonstration. La dimension de j est

    [j ] =(D11 D

    12 . . . D

    1p

    )kj1

    (D21 D

    22 . . . D

    2p

    )kj2 . . .

    (Dn1 D

    n2 . . . D

    np

    )kjn .

    Or on veut que [j ] = 0. On est donc amen rsoudre le systme

    Pour D1 : 0 = 1kj1 + 2k

    j2 + . . . nk

    jn,

    Pour D2 : 0 = 1kj1 + 2k

    j2 + . . . nk

    jn,

    ... =...

    Pour Dm : 0 = 1kj1 + 2k

    j2 + . . . nk

    jn.

    Ces quations dfinissent un systme dquations linaires de p quations et n inconnues kji (1 i m). Si ledterminant

    det

    1 2 . . . n1 2 . . . n...

    1 2 . . . n

    est diffrent de 0 et le rang de cette matrice est r, alors il existe n r solutions linairement indpendantes.

    Mise en uvre

    En pratique, on procde ainsi :

    1. isoler les quantits physiques du problme donn et leur nombre n ;2. crire les dimensions de chaque variable dans le systme de base (en gnral, p = 3 units de

    base sont ncessaires en mcanique) ;3. dterminer le rang r de la matrice dimensionnelle associe (on a souvent r = 2 ou r = 3) ;4. rechercher les n r nombres sans dimension.

    On prendra soin de dfinir des nombres sans dimension ayant une signification physique. noter que ces nombres sans dimension peuvent tre obtenus sans passer par le thorme en examinantles quations du mouvement et en les rendant sans dimension, cest typiquement ce qui sera fait au 6.4.1 pour les quations de Navier-Stokes. Cest trs souvent prfrable car cela permet didentifieret dfinir proprement les nombres sans dimension pertinents.

    2.4.3 Application no 1 du thorme : force de trane

    On veut calculer la force dite de trane exerce par un fluide newtonien (incompressible) sur uneparticule sphrique de diamtre 2r et de masse volumique p ; voir figure 2.6. La force se calculecomme :

    F =

    S

    ndS,

    avec n la normale la surface S de la particule et le tenseur des contraintes du fluide, cest--dire = p1 + 2D, avec p la pression, D le tenseur des taux de dformation, la viscosit dynamique.Cest un problme complexe rsoudre puisquil faudrait rsoudre en mme temps les quations deNavier-Stokes pour dcrire la phase fluide anime dune vitesse uf :

    (uft

    + ufuf)

    = g p+ 2 D,

    6. Rappel : en algbre linaire, le rang dune matrice est le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linaire-ment indpendants ; cest aussi la dimension du sous-espace vectoriel engendr par les vecteurs lignes (ou colonnes).

  • 40 2. Similitude

    u = 0,et lquation de la quantit de mouvement pour la particule :

    mpdupdt

    = mpg + F ,

    avec mp la masse la particule et up sa vitesse. Les conditions aux limites sont de plus : uf = up+ rsur la surface S de la particule, avec la vitesse de rotation de la particule donne par lquation deconservation du moment cintique :

    Jpddt

    =

    S

    r (n)dS.

    avec Jp = 2mr2/5 le moment dinertie.

    u2r

    F

    ,

    Figure 2.6 : coulement dun fluide autour dune sphre.

    On a 5 variables : la force F que lon cherche calculer, la viscosit dynamique , la masse volumique de leau, le rayon de la particule r, et sa vitesse relative par rapport au fluide u = |up uf |. On neprend pas en compte la masse volumique de la particule car la force exerce par le fluide ne peut pastre influence par cette variable, mais elle lest par les dimensions gomtriques de la sphre (do lefait que lon retienne r et non p).

    La premire chose faire est de dterminer les units de ces grandeurs physiques dans le systmeinternational en ne faisant appel quaux grandeurs fondamentales, savoir :

    unit de distance : le mtre [m], unit de temps : la seconde [s], unit de masse : la masse [kg].

    Les units ou dimensions physiques sont reportes dans le tableau suivant.

    Tableau 2.2 : tableau des units.

    variable F u r

    unit (SI) kg m s2 m s1 kg m3 kg m1 s1 mexposant a b c d e

    On recherche la force F en fonction de r, , u, et : F = (u, , , r) sil existe une relationunivoque ou bien, de faon plus gnrale, (F, u, , , r) = 0. Il semble vident, sans mme faire dephysique, quon ne peut pas prendre nimporte quelle fonction pour des raisons dhomognit desdimensions physiques. Par exemple :

    F = ur,

    nest pas possible car cela nest pas homogne : [kg m s2] 6= [kg2 m2 s2] ! Il faut donc que lacombinaison des diffrentes units donne un rsultat cohrent du point de vue dimensionnel. Lanalysedimensionnelle nest, dune certaine faon, que la recherche des combinaisons possibles entre variablesphysiques respectant les contraintes dhomognit dimensionnelle.

    Quelles sont les possibilits? Pour cela, recherchons les paramtres a, b, c, d, et e permettant deformer des combinaisons homognes du point des dimensions physiques. Si on a une relation gnralede la forme (F, u, , , r) = 0, cela veut dire que les combinaisons des units doivent vrifier :

    [F ]a[u]b[]c[]d[r]e = 0,

  • 2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme 41

    soit encore en se servant des units des variables (voir tableau ci-dessus) :

    a+ c+ d = 0,

    a+ b 3c d+ e = 0,2a b d = 0.

    On a 3 quations pour 5 inconnues ; on ne peut donc en dterminer que 3 et les 2 inconnues restantesdoivent tre considres comme des variables libres (ou ajustables). Prenons par exemple a et d commevariables libres 7 et dterminons les autres paramtres b, c, et e. On trouve :

    b = (2a+ d), c = (a+ d), e = b = (2a+ d).Une implication de cette analyse est galement que la relation gnrale (F, u, , , r) = 0 dedimension 5 peut en fait se rduire une relation de dimension 2 (puisquon na que 2 variables libresa et d) que lon note gnriquement sous la forme (1, 2) = 0. Les nombres 1 et 2 sont desnombres sans dimension ; on a une infinit de choix selon la valeur de a et d, mais deux critres doiventnous aider dans ce choix :

    trouver des nombres avec une signification physique ; trouver des nombres indpendants 8.

    Pour 1, considrons par exemple a = 1 et d = 0, on a alors b = 2, c = 1, e = 2, soit :

    1 =F

    r2u2.

    Pour 2, considrons par exemple a = 0 et d = 1 (on est sr que les nombres sont indpendants), ona alors b = 1, c = 1, e = 1, soit :

    2 =

    ru= 2

    1Re.

    On a reconnu le nombre de Reynolds particulaire Re = (2r)u/ avec = / la viscosit cinmatique.

    Toute fonction de 1 et/ou 2 peut tre utilise pour dfinir des nombres sans dimension. Ainsi,arbitrairement du point de vue mathmatique (mais cela a un sens physique), on dfinit les nombressans dimension utiles pour notre problme :

    1 =F

    r2u2et 2 = Re =

    2ru

    .

    Attention, la forme exacte de toute formule liant 1 et 2 dpend de la dfinition prcise de ces nombres ; il convient tout de vrifier chaque fois comment ils sont dfinis (il nest pas ainsi rare quelon dfinisse Cd comme Cd = F/(r2u2) sans facteur 12 au dnominateur).

    La relation recherche doit ncessairement scrire sous la forme :

    (1, 2) = 0,

    ou encoreF

    12r

    2u2= (Re).

    On appelle le coefficient de trane et on le note le plus souvent Cd ; F est la force de trane 9.On montre thoriquement en rsolvant les quations de Navier-Stokes dans le cas Re 1 (cest--direlorsque les termes inertiels sont ngligeables 10) :

    F12r

    2u2= (Re) =

    24Re

    quand Re 0.

    7. Ce choix nest justifi ici que par notre dsir de disposer de deux nombres sans dimension, lun relatif la force detrane, lautre la viscosit.

    8. Si (a, d) reprsente les coordonnes dun vecteur de dimension 2, alors on doit choisir des vecteurs non colinaires.Par exemple le choix (a, d)=(0, 1) et (a, d)=(1, 0) est correct ; le choix (a, d)=(0, 1) et (a, d)=(0, 2) est incorrect.

    9. Il existe dautres types de forme dinteractions entre un fluide et une particule.10. On verra que les quations de Navier-Stokes sappellent quations de Stokes dans ce cas-l.

  • 42 2. Similitude

    Cette relation est appele loi de Stokes et elle est utile par exemple pour calculer une vitesse desdimentation de particules fines (il faut que Re 1). Mise sous forme dimensionnelle, on tire :

    F = 6ru.

    grand nombre de Reynolds (Re 1), les expriences montrent que :

    Cd =F

    12r

    2u2= (Re) 0,4 0,5 quand Re .

    La figure 2.7 montre la variation du coefficient de trane en fonction du nombre de Reynoldsparticulaire.

    Re

    dC

    loi de Stokes

    24

    RedC =

    Figure 2.7 : variation du coefficient de trane avec le nombre de Reynolds particulaire avec Cd = F12

    r2u2

    et Re = 2ru

    .

    2.4.4 Application no 2 du thorme : puissance dune explosion nuclaire

    Il sagit dun exemple clbre dapplication de lanalyse dimensionnelle ralise par Taylor en 1950.Aprs la seconde guerre mondiale, les autorits amricaines ont lev le secret dfense concernantdes sries de clichs dune explosion atomique car elles les jugeaient inexploitables par des puissancestrangres. Pourtant, Taylor par un simple raisonnement dimensionnel parvint calculer la puissancede lexplosion (donne qui, elle, tait reste confidentielle) !

    Figure 2.8 : extrait des sries de photographies dune explosion atomique par Mack.

    Daprs Taylor, leffet premier dune explosion atomique est londe de pression prcdant la boulede feu (voir figure 2.8) et dont lordre de grandeur est de plusieurs centaines datmosphres. Trois

  • 2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme 43

    paramtres gouvernent ce processus : la quantit dnergie injecte (la puissance) E [kgm2s2], lamasse volumique de lair [kgm3], le rayon rf de la boule [m], et le temps t depuis lexplosion [s].

    On a 4 variables et 3 units fondamentales. On peut donc former un nombre adimensionnel :

    =rf

    E1/5t2/51/5.

    Pour une explosion donne, ce nombre doit tre constant, ce qui implique que : rf E1/5t2/5 au coursdu temps. La connaissance exprimentale (voir figure 2.9) de la relation rf (t) a permis Taylor decalculer lnergie libre par lexplosion atomique.

    0.0001 0.00050.001 0.0050.01 0.05t

    15

    20

    30

    50

    70

    100

    150

    rf

    Figure 2.9 : comparaison entre la loi de similitude de Taylor et le rayon rf calcul partir des sries dephotographies dune explosion atomique prises par Mack.

    2.4.5 Application no 3 du thorme : loi de Manning-Strickler

    Essayons de voir si on est capable de retrouver laide de lanalyse dimensionnelle la loi empiriquede Manning-Strickler, qui relie la vitesse moyenne dans un canal deau la profondeur h deau dansce canal :

    u = K

    sin h2/3, (2.3)

    avec K le coefficient de Manning-Strickler (que lon verra au chap. 5) et langle dinclinaison ducanal.

    Initialement quand on sintresse dcrire un coulement deau dans une rivire, on part avecquatre paramtres, dont un est sans dimension : u [m/s], h [m], g [m/s2], et []. Pour simplifier onmet g et ensemble (car on sait que cest le produit g sin qui intervient dans le mouvement), ce quifait quen pratique on ne dispose que n = 3 variables physiques. Il y a r = 2 units fondamentales :m et s. On peut former n r = 1 groupe sans dimension. On trouve immdiatement quil sagit dunombre de Froude Fr = u/

    gh sin . La relation serait donc

    Fr = cst u

    gh sin .

    On aboutit donc la loi de Chzy (avec ici un coefficient de Chzy C g) et non celle de Manning-Strickler. Quel(s) paramtre(s) manquerai(en)t pour que lon retombe sur la loi de Manning-Strickler?La masse volumique? La rugosit du lit?

    Il semble naturel de considrer que la rugosit du lit est un paramtre cl du problme car plusle lit est lisse, plus lcoulement va vite. Introduisons donc ks [m] lchelle de rugosit. En refaisantlanalyse dimensionnelle du problme, on a maintenant n = 4 et toujours r = 2 units. On peut doncformer 2 nombres sans dimension, par exemple : 1 = Fr = u/

    gh sin et 2 = ks/h. Il existe une

    relation entre ces deux nombres de la forme :

    1 = f(2) u = f(ks/h)

    gh sin .

  • 44 2. Similitude

    Dans la plupart des cas, la hauteur deau est grande par rapport la taille des rugosits du lit, doncks/h 0 et on sattend ce que la fonction f(ks/h) tende vers une constante (un peu comme pourlexemple dapplication no 1, o le coefficient de trane tend vers une constante quand Re ). Cetype de comportement asymptotique est trs classique et sappelle une similitude complte (Barenblatt,1996). Malheureusement ici on voit que ce comportement nous ramne la loi de Chzy : u gh sin .Une autre possibilit est que la fonction f se comporte comme une loi puissance

    f() = n,

    avec = ks/h, un nombre sans dimension, et n un exposant. Ce comportement est une similitudeincomplte 11 car f varie de faon quelque peu arbitraire sans que lanalyse dimensionnelle ne permettede prciser a priori la valeur de n. Avec cette hypothse, on aboutit

    1 = n2 u = kns h1/2n

    g sin .

    Dans ce cas-l, on note quen prenant n = 1/6, on retombe sur lquation de Manning-Strickler (2.3).Il sensuit que le coefficient de Strickler K est reli la rugosit par

    K = gk1/6s .

    Lhypothse de similitude incomplte est cohrente avec les donnes exprimentales (notammentK k1/6s ) et une analyse phnomnologique de la dissipation turbulente dans un canal rugueux(Gioia & Bombardelli, 2002).

    2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement

    Lanalyse dimensionnelle offre des techniques efficaces pour obtenir une ide gnrale de la solutiondun problme mme dans des cas complexes. Lide est de chercher les termes prdominants dans lesquations du mouvement ; en ngligeant les autres termes et en crivant des ordres de grandeur pourestimer les termes diffrentiels, on peut gnralement aboutir des estimations du comportement dela solution.

    Prenons un exemple concret : vous devez optimiser la carrosserie dun vhicule en travaillant saforme pour diminuer sa rsistance lair, donc sa consommation. Pour cela vous souhaitez tudierla rsultante des forces de frottement exerces par lair sur la carrosserie laide des quations deNavier-Stokes. Pour simplifier le problme, vous devez introduire les ordres de grandeur des variablesdu problme (vitesse, longueur de la voiture, etc.). Ces ordres de grandeur sappellent des chelles oufacteurs dchelle. Par exemple, pour un vhicule, lordre de grandeur de la longueur est L 4 m

    L

    V

    Figure 2.10 : chelles de longueur et de vitesse pour le mouvement dune voiture.

    tandis que celui de la vitesse est V 100 km/h, soit encore V 30 m/s. On emploie ici lindice pour dsigner une chelle de grandeur. Le symbole veut dire peu prs gal . Il nest en effetpas trs diffrent de considrer que la voiture mesure 4 ou 5 m en longueur ; ce qui est important, cestque lordre de grandeur est de quelques mtres.

    11. Attention, cette notion de similitude incomplte a un sens diffrent en ingnierie (quand on ne peut pas vrifiertous les critres de similitude).

  • 2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement 45

    Une fois les chelles introduites pour chaque type de variable, on va pouvoir introduire des variablessans dimension. Par exemple, on crit

    x

    variable dimensionnelle

    = L

    facteur dchelle

    X

    variable sans dimension

    ,

    o le caractre majuscule X dsigne une variable sans dimension despace (X na pas de dimensionphysique) et si lordre de grandeur a t correctement fix pour L, alors on a X qui doit tre comprisentre 0 et 1 ou bien proche de 1. On crit que X = O(1), ce qui veut dire que X est de lordre de 1.Grce ce changement de variable, lunit physique et lordre de grandeur sont ports par lchelle Ltandis que X ne reprsente que la variation relative de x. Si lon fait cela avec les autres variables, onpeut alors comparer membre membre les termes des quations mme si ceux-ci sont relatifs desprocessus physiques diffrents.

    Exemple. Pour illustrer la procdure, prenons lexemple dune masse m frottant sur un solhorizontal (frottement visqueux) et relie un ressort de raideur k. Lquation du mouvement estdonc :

    mx = kx 2fmx, (2.4)avec x la position de la masse. On a adjoint une condition initiale de la forme x(0) = et x(0) = 0.Cette quation se rsout la main. Pour f > , on a :

    x(t) = eft

    cosh(

    12

    f2 2t)

    + fsinh

    (12

    f2 2t)

    f2 2

    ,

    avec =

    k/m. Pour f < , on obtient

    x(t) = eft

    cos(

    12

    f2 2t)

    + fsin(

    12

    f2 2t)

    f2 2

    ,

    tudions lquation (2.4) en ladimensionnalisant et en faisant comme si nous ne connaissions pasla solution au problme pos. Il est naturel de prendre L = comme chelle despace. La priodedun ressort libre est

    m/k = 1/, ce qui nous incite poser T = 1/. On continue en introduisantles variables sans dimension X et T suivantes :

    x = X et t = T/,

    Lquation (2.4) sous une forme adimensionnelle est

    m

    (1/)2d2XdT 2

    = kX 2fm 1/

    dXdT

    ,

    soit encored2XdT 2

    = X 2f

    dXdT

    .

    On voit donc que lon fait apparatre un nombre sans dimension

    =2f,

    qui permet de simplifier le problme pour les cas limites 1 et 1. Le cas 1 correspondant un amortissement visqueux trs fort ; on peut ngliger la tension du ressort. Lquation du mouvementest alors :

    X = X,avec X(0) = 0 et X(0) = 1. La solution est X(T ) = 1 : la masse ne bouge pas tellement lamortissementest grand. Le cas 1 correspondant un amortissement visqueux trs faible ; on peut ngliger laforce de frottement visqueuse. Lquation du mouvement est alors :

    X = X,

  • 46 2. Similitude

    avec X(0) = 0 etX(0) = 1. La solution estX(T ) = cosT : il sagit dune oscillation sans amortissement.Dans le cas gnral o = O(1), on ne peut ngliger aucune des composantes et il faut rsoudrelquation du mouvement complte :

    X = X X,avec X(0) = 0 et X(0) = 1. Cette quation peut se rsoudre simplement la main ou numriquement.On reporte sur la figure 2.11 la solution au problme pour = 12 , = 2, et = 10, ainsi que lessolutions asymptotiques correspondant 0 et .

    0 5 10 15 20-1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    T

    X

    P=12

    P=2

    P=10

    Figure 2.11 : oscillation dun ressort amorti.

    Comme on le voit la mise sous forme adimensionnelle dun problme (ici trois paramtres m, k,f) peut se simplifier grandement car :

    on peut explorer la forme de la solution laide dun seul paramtre adimensionnel (au lieudes trois paramtres physiques m, k, f) ;

    on peut obtenir des solutions analytiques ou numriques plus facilement en omettant les termesngligeables dans les quations ;

    on peut comparer facilement les solutions sous forme graphique puisque toutes les solutions X(T )sont la mme chelle.

  • 2.6 Similitude en ingnierie 47

    2.6 Similitude en ingnierie

    2.6.1 Gnralits

    En ingnierie on utilise souvent des modles rduits prsentant la mme forme que le modle engrandeur relle (similitude gomtrique) et on recherche des matriaux et des conditions dcoulementen laboratoire pour crer des coulement en similitude (dynamique). La figure 2.12 montre lexempledune tude mene par le bureau de consultants Sogreah pour tablir limpact des ouvrages et destravaux de correction dans la gestion des sdiments de la baie du mont Saint-Michel en France.

    Figure 2.12 : tude sdimentologique du bassin du mont Saint-Michel (France) laide dun modle rduit.Source : Sogreah (Grenoble).

    La similitude du modle rduit avec le phnomne tudier est assure quand tous les paramtresde similitude (cest--dire les nombres sans dimension introduits lors de lanalyse dimensionnelle, parexemple en utilisant le thorme ) sont identiques aux deux chelles.

    Il nest pas toujours possible de respecter strictement les critres de similitude. Cela na pas lesmmes consquences selon le problme en question :

    par exemple en arodynamique, la similitude se fonde sur le nombre de Reynolds. On observeque le coefficient de trane Cd(Re) tend vers une constante quand Re 1 (voir figure 2.7). Lavaleur exacte de Re nest donc pas trs importante ;

    dans dautre cas, cela a des rpercussions. En sdimentologie, la force de trane est en Re1,donc la vitesse peut tre trs sensible au nombre de Reynolds !

    Dans certains cas, il est possible de contourner la difficult en modifiant le rapport de similitudegomtrique. On parle de distorsion gomtrique par exemple quand, pour modliser une rivire, onemploie une chelle de largeur diffrente de lchelle de longueur. On parle de similitude incompltequand seuls quelques-uns des critres sont satisfaits. Cest souvent le cas en transport solide o il estdifficile de satisfaire la similitude dynamique (nombre de Froude) de la phase liquide et celle de laphase solide.

    Enfin il faut prendre garde au fait que la diminution dchelle peut donner lieu de nouveauxphnomnes comme la capillarit : par exemple dans le cas de la simulation dune rivire, si londiminue trop lchelle dobservation au laboratoire, il y a de fortes chances quun coulement deausoit influenc par les tensions de surface la surface libre, qui modifient la forme des vagues, desressauts, les vitesses dcoulement, etc. (Malverti et al., 2008; Heller, 2011).

    2.6.2 Similitude en hydraulique

    En hydraulique surface libre, les modles rduits sont construits sur la base dune similitudedynamique fonde sur le nombre de Froude. Pour que des coulements des chelles diffrentes soient

  • 48 2. Similitude

    dynamiquement similaires, il faut que les nombres de Froude soient gaux(u2

    gh

    )

    1

    =(u2

    gh

    )

    2

    ,

    o les indices 1 et 2 dsignent les chelles. Quand cela est possible, il est galement souhaitable queles nombres de Reynolds soient galement gaux

    (uh

    )

    1

    =(uh

    )

    2

    .

    Une fois connu le rapport de rduction, cest--dire le rapport (h2/h1) entre le modle rduit et laralit, on peut en principe dterminer les relations existant entre paramtres du problme. Cela nestpas sans poser des problmes pratiques.

    Par exemple, considrons que pour modliser un coulement deau dans un canal, on ralise desessais sur un canal chelle rduite (facteur 1/10) ; on souhaite employer de leau comme fluide pourle modle rduit, comme cest le cas dans la ralit (donc 1 = 2). Lgalit des nombres de Reynoldsentrane

    u2u1

    =h1h2,

    tandis que lgalit des nombres de Froude ncessite de prendre

    u2u1

    =

    h2h1.

    On voit immdiatement quil nest possible de vrifier simultanment les deux galits ci-dessus... Ilconviendrait donc de prendre un fluide avec une viscosit diffrente pour le modle rduit. On tirealors de lgalit des nombres de Froude et de Reynolds la relation entre les viscosits

    1 = 2

    (h1h2

    )3/2

    ,

    Donc avec un rapport de rduction h1/h2 = 1/10, on devrait prendre une viscosit cinmatique 1000fois infrieure celle de leau, soit 106 m2/s... ce qui est trs difficile faire ! En pratique, on sentire en ne se fondant que sur une similitude dynamique base sur le nombre de Froude et on tolrele non-respect du nombre de Reynolds ; en effet, pour certains problmes de turbulence, les processus(le coefficient de trane par exemple) tendent vers une limite aux trs grands nombres de Reynolds,ce qui fait que le non-respect du nombre de Reynolds nentrane pas derreur significative. Il convienttoutefois dtre toujours prudent avec ce type dargument.

    2.6.3 Courbe matresse

    En ingnierie, quand on fait des essais en laboratoire ou bien des simulations, il est frquent detracer la variation dun paramtre du problme en fonction dun autre ou de plusieurs autres. Onobtient alors des rseaux de courbes quil est plus ou moins difficile dinterprter ou de synthtiser.Lorsque les courbes exprimentales prsentent la mme allure, il est possible de jouer sur cette simi-litude dapparence pour synthtiser linformation sous la forme dune courbe matresse. Cela a pouravantage de faciliter la manipulation des rsultats exprimentaux et, ventuellement, douvrir la voie une analyse physique des phnomnes observs.

    Exemple. Par exemple, supposons que lon mesure dans un canal inclin une pente tan la vitesse moyenne dcoulement u en fonction de sa hauteur en rgime permanent uniforme. Onobtient alors des courbes comme celles montres sur la figure 2.13(a). On note que toutes ces courbesont sensiblement la mme allure quelle que soit la pente du canal. On se demande alors commenttransformer les variables pour que les courbes se superposent sur une courbe matresse. Lide est :

    de rechercher des corrlations de la forme u = K sinn hp (avec n et p des exposants dtermineret K un facteur de proportionnalit). Cela se fait assez simplement avec des programmes commeMathematica ou Matlab ;

  • 2.6 Similitude en ingnierie 49

    si lon reporte sur un graphique K = u sinn hp, tous les points exprimentaux doivent (si lacorrlation est bonne) tomber sur une mme courbe ;

    en gnral, pour ce type de problmes exprimentaux, ce quon cherche dterminer si une loide frottement de la forme b = f(u, h), o b est la contrainte au fond du canal. On sait que lacontrainte au fond est dfinie par b = gh sin ; on dduit donc la relation entre b et le couple(u, h) en notant que daprs la corrlation tablie ci-dessus : sin = (u/K/hp)1/n, donc

    b = gh sin = gh1p/nu1/nK1/n.

    Donc si lon trace J = h1p/nu1/n en fonction de b, on doit observer que tous les points demesure tombent sur une courbe matresse.

    Dans lexemple de la figure 2.13, on trouve que p = 1,427 et n = 5,789 ; on pose donc (pour simplifier)n = 6 et p = 3/2. Comme le montre la figure 2.13(b) o lon a trac J = h1p/nu1/n = h3/4u1/6, lespoints exprimentaux sont bien sur une mme courbe.

    (a)0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

    h

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    u_

    + ++

    +

    ++++

    ++

    ++++++++

    (b)0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

    p

    0.01

    0.015

    0.02

    0.025

    J

    ++

    +

    +

    ++

    ++

    ++

    +

    +

    ++++++

    + 22 23 24 25

    26

    27

    28

    Figure 2.13 : (a) vitesse dun coulement granulaire en fonction de la hauteur dans un canal inclin de . (b)courbe matresse J = J(p). Donnes tires de mesures en canal granulaire (Pouliquen, 1999).

  • 51

    3Statique des fluides3.1 Origine physique de la pression dans les fluides

    lchelle molculaire, on a vu quun fluide au repos est compos de molcules qui, si leur vitessemoyenne u est nulle, sont quand mme animes dune vitesse alatoire v rsultant des interactionsentre elles (collisions, rpulsions de Van der Waals, etc.). Pour comprendre la notion de pression ausein dun fluide au repos, il faut examiner de plus prs le comportement des molcules qui composentce fluide (voir 3.1).

    Figure 3.1 : la pression contre une paroi reflte lchelle macroscopique la multitude de chocs entre molculeset paroi lchelle microscopique.

    La vitesse des particules est fluctuante au gr des interactions et elle est dautant plus grande quela temprature est grande. En fait, du point de vue thermodynamique, la temprature nest quunemesure de cette agitation molculaire. Lorsquon place une paroi solide (voir figure 3.2), les molculesvont entrer en collision avec cette paroi et donc, si on moyenne au cours du temps ces diffrentesimpulsions, il en rsulte une force moyenne dite force de pression.

    Figure 3.2 : pression contre une paroi.

  • 52 3. Statique des fluides

    Ainsi, on montre que pour un gaz dilu la pression est dfinie comme :

    p =13nmv2,

    avec n le nombre de molcules par unit de volume, v la vitesse dagitation thermique, et m la massedune molcule. La force exerce sur la paroi est donc

    F = p Sn, (3.1)

    avec n la normale la surface oriente vers lextrieur du volume fluide (voir figure 3.2) et S la surfacede la paroi. Le principe daction et de raction impose que la force exerce par la surface sur le fluideest (attention au signe selon la convention employe) :

    F = p Sn. (3.2)

    Lunit de pression est le pascal [Pa]. Attention : par la suite, on introduira des facettes cest--dire des surfaces infinitsimales relles ou virtuelles. Pour ces facettes, la normale sera, par conventionen mcanique, oriente de lintrieur (de la facette) vers lextrieur (en direction du fluide), donc lecontraire de ce qui est indiqu ici la figure 3.2. Il sagit juste dune convention ; limportant est de sesouvenir que laction de la pression est de pousser (comprimer), pas de tracter.

    n

    S

    Figure 3.3 : pression au sein dun fluide.

    On peut gnraliser cette notion en remplaant la paroi solide par une surface virtuelle (voir figure3.3). La pression est alors le flux de quantit de mouvement fluctuante transporte par les molculesfranchissant la surface S. Lorsquun fluide est au repos sous laction de la gravit, les molcules situes une tranche daltitude z doivent supporter le poids de la colonne au-dessus pour maintenir lquilibre.La pression est donc dautant plus forte quon a beaucoup de fluide au-dessus de soi. Une propritremarquable de la pression est quelle est ncessairement isotrope, cest--dire quelle que soit la facetteconsidre dun volume de contrle infinitsimal, la pression est la mme. En effet, compte tenu delorigine de la pression lchelle molculaire, lisotropie des fluctuations de vitesses entrane lisotropiede la force rsultante de pression.

    3.2 Loi de lhydrostatique

    3.2.1 Loi de Pascal

    Considrons maintenant lquilibre mcanique dune tranche de fluide de surface S et dpaisseurdz, situe entre les altitudes z et z + dz (voir figure 3.4).

    Il y a quilibre si la somme des forces projetes sur laxe z est nulle. La diffrence de pression doitdonc contrebalancer exactement laction de la pesanteur (la somme des forces appliques au volumede contrle doit tre nulle) :

    (p(z + dz) + p(z))S gSdz = 0,

  • 3.2 Loi de lhydrostatique 53

    Figure 3.4 : quilibre dune colonne de fluide.

    soit encore dp = gdz ou bien :dpdz

    = g. (3.3)

    Cest la loi de Pascal 1 ou loi de statique des fluides. Cette loi se gnralise des repres quelconques :

    p+ g = 0. (3.4)

    Dans un fluide au repos, le gradient de pression contrebalance leffet de la pesanteur.

    Lorsque la masse volumique du fluide est constante, on peut intgrer trs simplement lquationde Pascal. Ainsi la diffrence de pression p entre deux points distants verticalement dune distanceh est

    p = gh.

    Cette relation nest videmment pas valable si le fluide est compressible. La pression dans un fluidehomogne ne dpend donc que de la diffrence de hauteur et de la masse volumique ; elle est notammentindpendante de la taille ou de la forme du rcipient recueillant le fluide. Cela a des consquencesimportantes :

    pour une altitude donne la pression est la mme ; la surface libre dun fluide est plane (sauf si la tension de surface joue un rle).

    Exemple. Une application directe de ce rsultat est la pression dans latmosphre suppose temprature T constante (champ isotherme). Lquilibre des pressions doit vrifier daprs la loi degaz parfaits : p = RT (o R = R/M avec R = 8,31 JK1mol1) la constante des gaz parfaits etM = 0,02896 kgmol1 la masse molaire de lair), donc en couplant avec la loi de Pascal, on tire :

    dpdz

    = pRT

    g,

    dont lintgration donneln p = gz

    RT+ constante.

    En appelant Pa la pression atmosphrique au niveau de la mer, on obtient finalement :

    p = Pa exp(

    gzRT

    )

    .

    Cette quation sappelle quation du nivellement baromtrique. 1. Blaise Pascal (16231662) a t un scientifique majeur et universel du xviie sicle. En mcanique des fluides, il reprit

    les travaux de Torricelli et ralisa un certain nombre dexpriences dhydrostatique et de pompage, qui lui permirentdtablir sa loi. En mathmatiques, il travailla sur les probabilits. On lui doit un certain nombre dinventions commela calculatrice mcanique, la seringue, et la presse hydraulique. Il sest galement intress diffrents aspects de lalittrature, de la mthodologie scientifique, et de la thologie.

  • 54 3. Statique des fluides

    Figure 3.5 : la pression au sein dun fluide est indpendante de la forme du rcipient.

    3.2.2 Principe dArchimde

    Le principe dArchimde 2 snonce ainsi. Tout corps immerg dans un fluide au repos est soumisde la part du fluide une pousse verticale, oppose la force de gravit, gale au poids du volumede fluide dplac et applique au centre de masse de ce fluide (centre appel centre de carne pour lesbateaux ; voir figure 3.6).

    Ce principe se dduit assez aisment de lquation de Pascal. Considrons le volume V occup parle corps immerg et intgrons lquation de Pascal

    V

    pdV +

    V

    gdV = 0,

    do lon dduit par utilisation du thorme de Green-Ostrogradski

    S

    pndS

    rsultante des forces de pression

    +

    V

    gdV

    poids propre

    = 0.

    Figure 3.6 : la rsultante des forces de pression sappelle force dArchimde.

    3.2.3 Calcul des forces de pression en pratique

    La force de pression exerce sur une paroi de surface S est :

    F =

    S

    (pn)dS (3.5)

    avec n normale la surface lmentaire dS, oriente de lintrieur vers lextrieur (ici lintrieur signifielintrieur de la paroi ; lextrieur indique le fluide). Le calcul de la force se fait en plusieurs tapes :

    1. calculer la pression ;

    2. Archimde de Syracuse (287212 avant Jsus-Christ) est larchtype du grand savant de lAntiquit, la foisphysicien, mathmaticien, et ingnieur. Il vcut en Sicile lpoque o Rome commenait prendre une place croissanteen Mditerrane. On lui doit de nombreuses avances en gomtrie, en mcanique (principe dArchimde, bras de levier),et en ingnierie (vis sans fin).

  • 3.3 Mesure de la pression 55

    2. identifier les surfaces o la pression p est constante (en gnral, surface altitude constante) ;3. dterminer la surface infinitsimale dS compte tenu de la gomtrie de la surface S (voir A.1.3) ;4. calculer les composantes de n (on vrifie sil ny a pas un axe privilgi de projection de la

    rsultante des forces) ;5. on intgre F =

    S(pn)dS.

    Il y a des astuces de calcul (utilisation du thorme dArchimde), mais il vaut mieux matriser ladmarche du calcul intgral.

    Exemple. Considrons un barrage rempli deau, avec une hauteur h et une largeur (voirfigure 3.7). On veut calculer la force totale de pression F (par unit de largeur) qui sexerce sur le murdu barrage.

    Figure 3.7 : barrage de hauteur h retenant un volume deau.

    Lquation de Pascal sintgre facilement p(z) = g p(z) = pa + g(h z). La distribution estlinaire avec la profondeur : on parle de distribution hydrostatique. Pour simplifier on pose pa = 0. Lasurface infinitsimale est dS = dz. La normale cette surface est n = (1,0) (voir figure 3.8). La forcede pression est donc :

    F =

    S

    (pn)dS = n h

    0

    g(h z)dz = gh2

    2n.

    Le moment de force en O est

    M =

    S

    (pr n)dS = ey h

    0

    gz(h z)dz = gh3

    6ey

    avec r = zez En rsum, on trouve que la distribution de pression est linaire (distribution hydrosta-tique). Comme M = Fh/3, le point dapplication de la force est situ au tiers de la hauteur du barrage(depuis O).

    3.3 Mesure de la pression

    Il existe plusieurs appareils pour mesurer la pression.

    Baromtre : il sagit dun tube contenant un fluide lourd (en gnral du mercure) dont le niveauvarie en fonction de la pression atmosphrique (voir fig. 3.9). Le premier baromtre mercuredate de 1644 (cest une invention de Torricelli 3). Le baromtre ne sert qu mesurer une pressionatmosphrique.

    3. Evangelista Torricelli (16081647) tait un physicien et mathmaticien italien, contemporain de Galile. Il estprincipalement connu pour linvention du baromtre et la formule qui porte aujourdhui son nom. Il a galement travaillsur des problmes de gomtrie et doptique.

  • 56 3. Statique des fluides

    Figure 3.8 : surface infinitsimale pour le calcul de la rsultante des forces de pression.

    Manomtre liquide : cest un appareil qui mesure la pression statique au sein dun fluide (donc lebaromtre est une varit de manomtre). On distingue le tube piezomtrique au fonctionnementsimilaire au baromtre, les tubes en U droits ou inclins, etc.

    Manomtre mcanique ou lectronique : une structure lastique se dforme linairement avecla pression. Donc si lon est capable de mesurer la dformation, on dispose dun moyen demesurer la pression. Les tube de Bourdon sont des exemples historiques (1848) de manomtremcanique : un tube fin lastique est enroul sur lui-mme et contenu dans une bote rigidehermtique. Lintrieur du tube est reli lextrieur (pression du fluide ambiant) ; sous leffetde la pression extrieure, le tube va se recroqueviller ou bien se raidir. La faible dformation quien rsulte met en mouvement une aiguille qui permet dindiquer la dformation. Il existe de nosjours des appareils lectroniques qui estime la pression en mesurant le courant lectrique qui estgnr par une substance cristalline dforme sous leffet de la pression du fluide ambiant (jaugepiezolectrique). Un manomtre ncessite un talonnage.

    h

    patm

    mercure

    Figure 3.9 : principe dun baromtre. Un tube trempe dans un bain de mercure de masse volumique m =13546 kg/m3. Si la pression atmosphrique augmente, le mercure remonte dans le tube (ce dernier ne contientque du mercure liquide et un gaz constitu de vapeur de mercure dont la pression est ngligeable). La pressionatmosphrique est obtenue en mesurant la hauteur de la colonne de mercure : Patm = mgh. La pressionatmosphrique standard (au niveau de la mer) est 1 atm, soit trs prcisment 1,0133 105 Pa ou bien 1,0133bar, soit 762 mm de mercure (760 mm 0C).

  • 57

    4quations de bilan4.1 Thormes de transport

    On va chercher exprimer les principes de conservation (masse, quantit de mouvement, nergie)pour des systmes fluides. On va voir quil existe une multitude de reprsentations possibles du mmeprincipe :

    formulation sur un volume de contrle (formulation dite globale ou intgrale) ou bien pour unvolume infinitsimal (quation dite locale) ;

    formulation sur des volumes de contrle ouverts ou ferms.

    Cette multitude est au dbut perue par ltudiant comme une complexit supplmentaire de la mca-nique des fluides, mais lusage, elle savre fort pratique car cela permet une meilleure comprhensionphysique et une rsolution plus simple des problmes.

    4.1.1 Vue gnrale

    Les lois de la mcanique scrivent diffremment selon le type de description choisie, mais ellesexpriment les mmes principes. Ces principes sont au nombre de trois :

    la masse se conserve ; la variation de quantit de mouvement (masse vitesse) est gale la somme des forces appli-

    ques 1 ; lnergie totale se conserve : cest le premier principe de la thermodynamique.

    En mcanique des fluides, on se sert le plus souvent dune description eulrienne du mouvement,cest--dire quon ne suit pas les particules dans leur mouvement individuel, mais on se examine lemouvement du fluide un endroit donn. Le mcanicien des fluides est comme un passant accoudau garde-fou dun pont et regardant les mouvements du fluide en contrebas. La description eulrienneintroduit deux notions-cls, souvent difficiles apprhender :

    la notion de systme ouvert et de volume de contrle ; la notion de drive matrielle ou particulaire.

    Les systmes ouverts sont des ensembles de points contenus dans une enveloppe (la surface decontrle S) travers laquelle ils peuvent changer avec lextrieur (le fluide environnant ou bien uneparoi) de lnergie, de la matire, etc. Cette surface de contrle peut tre fixe (cest--dire elle ne varie

    1. Il existe des formulations alternatives qui expriment la conservation de lnergie cintique. Rappelons que la varia-tion dnergie cintique (masse carr de la vitesse) est gale la diffrence entre la puissance fournie et la puissancedissipe. Rappelons que lon peut travailler aussi bien en termes de puissance (force vitesse) ou de travail (force dplacement), ce sont les mmes concepts ; la seule diffrence est que la puissance reprsente la variation du travail parunit de temps. Dans la majorit des cas, cette quation de conservation de lnergie cintique est quivalente lquationde la quantit de mouvement et, dans la rsolution des problmes, il faut choisir lune ou lautre des formulations. Danscertains cas, il ny a pas une quivalence directe ; on en verra un exemple avec le ressaut hydraulique. Enfin il y a desquantits dduites de lnergie cintique (lnergie cintique fluctuante par exemple en turbulence), qui sont gouvernespar des quations spcifiques.

  • 58 4. quations de bilan

    pas au cours du temps) ou bien bouger une vitesse diffrente ou gale celle du fluide ; sa formepeut galement tre constante (cest--dire indformable) ou bien varier.

    Exemple. Pour reprendre lexemple prcdent, on peut se placer un nud autoroutier,crer une surface de contrle fictive, et compter les vhicules qui entrent dans le systme, ceux qui ensortent, et ceux qui sarrtent sur le bas-ct ou une aire dautoroute. Lvaluation du trafic se fait enfaisant un dcompte de ces diffrentes catgories au cours du temps.

    Exemple. Une fuse est un systme ouvert puisquelle met des gaz afin de se propulser danslespace.

    Par opposition, un systme ferm est un systme matriel qui nchange pas avec lextrieur. Il esten gnral astreint suivre fidlement le mouvement du fluide.

    Exemple. Par exemple, reprenons le cas de lautoroute, un vhicule est en quelque sorte unsystme ferm mme sil est en mouvement puisque rien nentre ou ne sort.

    Exemple. Il serait possible de considrer un turboracteur dun avion comme un systmeferm si la dfinition du systme englobait les gaz rejets par le racteur, mais cela ne serait pas trsutile puisque ce qui nous intresse cest lavion et non le centre de masse du systme avion + gaz. Leplus souvent, pour modliser ce qui se passe dans un racteur, on considre un volume de contrleouvert et fix aux parois intrieures du racteur.

    V

    V

    Figure 4.1 : volume de contrle dans une tuyre dun racteur.

    Afin de faciliter la comprhension des quations de transport, on va tout dabord examiner ce quise passe pour un milieu idal, qui serait unidimensionnel 2 au 4.1.2. Pour ce cas idal, on va toutdabord faire un rappel de calcul intgral pour comprendre comment les quations sont obtenues. Onva voir trois quations de transport : conservation de la masse, de la quantit de mouvement, et delnergie. Au 4.1.3, on va sintresser des problmes quelconques en dimension 2 ou 3 ; tout ce quia t dit pour la dimension 1 sera extrapol pour la dimension 2 ou 3.

    4.1.2 Thorme de transport en dimension 1

    Bases mathmatiques

    Rappelons quelques formules classiques danalyse :

    drive dune primitive (dfinition dune primitive) :

    ddt

    t

    0

    f()d = f(t).

    2. Cette idalisation peut servir tudier des problmes rels, par exemple des pipelines, lorsque la longueur est biensuprieure la largeur dcoulement.

  • 4.1 Thormes de transport 59

    drive dune primitive avec borne variable :

    ddt

    a(t)

    0

    f()d = f(a(t))a(t).

    drive dune fonction compose :

    ddt

    b

    a

    f(x, t)dx = b

    a

    f(x, t)t

    dx.

    formule de Leibniz :

    ddt

    b(t)

    a(t)

    f(x, t)dx = b(t)

    a(t)

    f(x, t)t

    dx+ f(b(t))dbdt

    f(a(t))dadt.

    h Dmonstration. Ce rsultat se dmontre simplement en introduisant F =

    f(x, t)dx la primitive de

    f par intgration par rapport x. On a ainsi : b(t)

    a(t)f(x, t)dx = F (b(t), t) F (a(t), t). En diffrentiant par

    rapport t et en se servant de la relation des drives composes ((f g) = g f g), on dduit la relationde Leibniz 3. Notons que lon peut transformer cette quation de telle sorte que tout le membre de droite soitplac sous le mme signe intgral. Pour cela il suffit de remarquer que

    f(b(t))db

    dt f(a(t))da

    dt=

    b(t)

    a(t)

    x(f(, t)u(, t))d,

    avec u la vitesse.

    A B

    x = a(t),uA = a = da/dt x = b(t),uB = b = db/dt

    x

    Figure 4.2 : coulement unidirectionnel et volume de contrle occup par le segment AB.

    Conservation de la masse

    Considrons un volume de contrle ferm V entre les points A et B, dont la position peut varieren fonction du temps : xA = a(t) et xB = b(t). La masse M de ce volume est constante, doncsi dsigne la masse par unit de volume (ici une masse linaire puisquon est en dimension 1), leprincipe de conservation de la masse impose

    dMdt

    = 0,

    or par dfinition on a

    M =

    V

    (x, t)dx = b(t)

    a(t)

    (x, t)dx

    ce qui donne daprs la formule de Leibniz

    dMdt

    = b(t)

    a(t)

    t(x, t)dx + B b Aa = 0.

    On a introduit A et uA = a la masse volumique et la vitesse au point A (on fait de mme avec lepoint B). En se servant de lidentit

    b

    af/xdx = f(b) b(a), on peut transformer cette galit en

    dMdt

    = b(t)

    a(t)

    (

    t(x, t) +

    x(u)

    )

    dx = 0,

    3. Gottfried Wilhelm von Leibniz (16461716) tait un philosophe, scientifique, mathmaticien, diplomate, et juristeallemand. Il a jet les bases du calcul intgral et diffrentiel. Il a galement eu un rle important en mcanique ennonant le principe de laction et de la raction et celui des forces vives (nergie cintique).

  • 60 4. quations de bilan

    ce qui permet de tout passer sous le signe intgral. Lintgrale est nulle si lintgrand est nul, soit

    t+

    x(u) = 0. (4.1)

    Cette quation est appele forme locale de la conservation de la masse ou quation de continuit. Uncas particulier important est le cas du fluide incompressible pour lequel on a = cste, soit

    x(u) = 0 u

    x= 0.

    Thorme de Reynolds

    De cette quation, on peut galement montrer un thorme dit de Reynolds, qui permet dintervertirles oprateurs intgration et drivation temporelle lorsque lintgrand scrit sous la forme f , avec fune fonction quelconque. Considrons en effet une quantit macroscopique (cest--dire dfinie sur levolume de contrle)

    I(t) =

    V

    f(x, t)dx = b

    a

    f(x, t)dx,

    avec a et b des bornes pouvant prendre des valeurs quelconques, et diffrentions la par rapport t

    dIdt

    =ddt

    b

    a

    (x, t)f(x, t)dx = b

    a

    f

    tdx+ Bf(b, t)uB Af(a, t)uA,

    = b

    a

    (f

    t+fu

    x

    )

    dx,

    = b

    a

    (

    f

    t+

    f

    t+ f

    u

    x+ u

    f

    x

    )

    dx.

    En regroupant les termes en , puis en se servant de lquation de continuit (4.1), on transforme cettedernire quation

    dIdt

    = b

    a

    (

    f ux

    + f

    t+ f

    u

    x+ u

    f

    x

    )

    dx,

    = b

    a

    (

    f

    t+ u

    f

    x

    )

    dx,

    = b

    a

    dfdt

    dx,

    avec df/dt = f/t + uf/x la drive matrielle (puisque f est une fonction de x et t), ce quipermet daboutir lgalit suivante, appele thorme de Reynolds

    ddt

    b

    a

    (x, t)f(x, t)dx = b

    a

    (x, t)ddtf(x, t)dx. (4.2)

    On prendra garde ici que le terme d/dt dans le membre de gauche porte sur une fonction qui ne dpendque du temps t cest donc une drive classique 4 alors que dans le second membre, il porte sur unefonction deux variables f(x, t), donc il signifie une drive matrielle : df/dt = f/t+ uf/x.

    Conservation de la quantit de mouvement ; quation dEuler

    Lapplication de ce thorme de Reynolds nous permet dtablir la conservation de la quantit demouvement et de lnergie cintique, dont une forme parmi les plus intressantes est le thorme deBernoulli. Par dfinition, la quantit de mouvement dun volume de contrle (unidimensionnel) est

    Q =

    V

    (x, t)u(x, t)dx = b

    a

    udx,

    4. On a notamment df/dt = f/t.

  • 4.1 Thormes de transport 61

    et le principe de Newton ou principe fondamental de la mcanique (ou bien encore prin-cipe de conservation de la quantit de mouvement) nous enseigne que la variation dequantit de mouvement rsulte des forces appliques au volume, soit

    dQdt

    = forces appliques.

    Admettons ici que les seules forces appliques au systme soient la force de gravit (et supposons quele sens de la gravit soit dans le sens des x) et la force de pression sur le pourtour du domaine (ici endimension 1, ce pourtour se rsume aux points A et B), alors on a

    dQdt

    = gV + pA pB,

    avec pA et pB la pression exerce sur le volume de contrle par le fluide environnant (sur les points Aet B), V = ba le volume de V , et la masse volumique moyenne ( =

    Vdx/V ). On a donc daprs

    le thorme de Reynolds

    dQdt

    = b

    a

    dudt

    dx = b

    a

    u

    t

    acclration locale

    + uu

    x

    acclration convective

    = gV + pA pB.

    On peut transformer le membre de droite de telle sorte quil puisse tre interprt comme une intgrale

    gV + pA pB = b

    a

    (

    g px

    )

    dx,

    do b

    a

    dudt

    dx = b

    a

    (

    g px

    )

    dx,

    ce qui impose que localement, on doive avoir

    dudt

    = u

    t+ u

    u

    x= g p

    x. (4.3)

    Rappelons que cette formule nest valable quen dimension 1 et en labsence de frottement visqueux.Une telle quation de conservation de la quantit de mouvement couple lquation de continuitest appele quation dEuler ou bien quation du mouvement pour les fluides parfaits (appels encorefluides non visqueux). Cest la relation de la quantit de mouvement la plus simple que lon puisseimaginer et malgr sa simplicit, elle permet de rsoudre un grand nombre de cas concrets.

    Conservation de lnergie cintique ; quation de Bernoulli

    Toujours par application du thorme de Reynolds, on peut dduire le thorme de conservationde lnergie cintique et sa forme drive dite thorme/quation de Bernoulli Appelons k = u2/2lnergie cintique locale et K lnergie cintique macroscopique. Daprs le thorme de Reynolds, ona

    K =

    V

    12(x, t)u2(x, t)dx =

    b

    a

    k(x, t)dx.

    Le principe de conservation de lnergie cintique snonce

    dKdt

    = b

    a

    12

    ddtu2(x, t)dx = puissance des forces appliques,

    = gV uG + pAuA uBpB,

  • 62 4. quations de bilan

    car la puissance des forces appliques est gale au produit des forces et des vitesses au point dappli-cation. Ici, uG dsigne la vitesse au centre de gravit (uG =

    V udx/V ou moyenne massique de lavitesse). Comme prcdemment, on peut transformer le membre de droite en un terme intgral

    gV uG + pAuA uBpB =

    V

    (

    gu pux

    )

    dx,

    =

    V

    (

    ux

    pux

    )

    dx,

    =

    V

    [

    u x

    ( + p) pux

    ]

    dx,

    o dsigne le potentiel gravitaire, cest--dire lnergie potentielle dont drive la force de gravit :g = /x, avec ici = gx. On arrive

    dKdt

    = b

    a

    12

    ddtu2(x, t)dx

    =

    V

    [

    u x

    ( + p) pux

    ]

    dx,

    puis aprs quelques manipulations algbriques et en utilisant lquation de continuit (4.1), on montreque les deux formes suivantes sont quivalentes

    dKdt

    = b

    a

    (

    u2/2t

    + uu2/2x

    )

    dx,

    = b

    a

    (k

    t+uk

    x

    )

    dx,

    ce qui aurait pu tre obtenu galement en appliquant directement la formule de Leibniz. On en dduitla formule macroscopique de conservation de lnergie cintique

    b

    a

    (k

    t+uk

    x

    )

    dx =

    V

    [

    u x

    ( + p) pux

    ]

    dx,

    ainsi que la forme localek

    t+ u

    x(k + + p) + (k + p)

    u

    x= 0. (4.4)

    Cette formule peut considrablement se simplifier quand

    lcoulement est incompressible = cste u/x = 0 daprs lquation de continuit (4.1) ; lcoulement est permanent : les drives temporelles disparaissent. On a ainsi k/t = 0.

    On aboutit alors

    x(k + + p) = 0,

    soit

    k + + p = cste. (4.5)

    La somme de lnergie cintique k, du potentiel gravitaire (ou nergie potentielle) , et de la pressionp doit rester constante. Cette relation est appele quation de Bernoulli. Elle est remarquable car ilsagit dune relation purement scalaire, sans oprateur intgral ou diffrentiel, ce qui la rend trs faciledemploi.

  • 4.1 Thormes de transport 63

    4.1.3 Gnralisation et thorme de Reynolds

    La formule de Leibniz se gnralise des intgrales multiples (cest--dire intgrales sur des vo-lumes au lieu dintgrales sur des intervalles). On obtient la relation suivante appele thorme detransport :

    ddt

    V

    fdV =

    V

    f

    tdV +

    S

    fu ndS, (4.6)

    o V est un volume de contrle dit matriel contenant une certaine masse de fluide, S est lasurface enveloppant ce volume, et n est la normale la surface S ; la normale n est unitaire (|n| = 1)et oriente vers lextrieur. Cette relation crite ici pour une fonction scalaire f stend sans problme des vecteurs f quelconques.

    La relation (4.6) est fondamentale car elle permet dobtenir toutes les quations fondamentales dela mcanique. Elle peut sinterprter de la faon suivante :

    La variation temporelle dune quantit f dfinie sur un volume de contrle V est gale lasomme de :

    la variation de f au cours du temps au sein du volume de contrle (variation ditelocale) ;

    le flux de f travers la surface S enveloppant le volume de contrle (flux = ce quientre ce qui sort de V ).

    Le thorme de transport peut galement scrire sous la variante suivante (en se servant du tho-rme de Green-Ostrogradski) :

    ddt

    V

    fdV =

    V

    (f

    t+ (fu)

    )

    dV

    Attention la notion de volume de contrle matriel : cest un volume fluide, ses frontires sont fluides et se dplacent comme le reste du fluide ; la vitesse u la frontire S concident avec la vitesselocale du fluide. Sil en est autrement, on parle de volume (de contrle) arbitraire et la vitesse u lafrontire S ne correspond pas celle du fluide. Par exemple si on prend un volume arbitraire V fixeau cours du temps alors u = 0 le long de S et

    ddt

    V

    fdV =

    V

    f

    tdV.

    Un corollaire important du thorme de transport est le thorme de Reynolds 5 qui sapplique des fonctions f massiques, cest--dire que lon peut crire sous la forme f , avec la masse volumiquedu fluide.

    ddt

    V

    fdV =

    V

    ddtfdV. (4.7)

    h Dmonstration. La dmonstration est relativement simple :

    d

    dt

    V

    fdV =

    V

    (f

    t+ (fu)

    )

    dV =

    V

    (

    f

    t+ uf + f

    t+ f (u)

    )

    dV

    Compte tenu de lquation de continuit [voir q. (4.8) ci-dessous] et en identifiant la forme df/dt = f/t +

    u f , on tire le thorme de Reynolds.

    5. Osborne Reynolds (18421912) tait un mcanicien britannique, dont le nom est associ au nombre sans dimensionqui sert dpartager les coulements laminaires et turbulents. Exprimentateur et thoricien, Reynolds a tudi les qua-tions de Navier-Stokes et a propos de nombreux dveloppements thoriques (thorie de la lubrification, dcompositiondes vitesses, et moyenne des quations de Navier-Stokes).

  • 64 4. quations de bilan

    4.1.4 Conservation de la masse

    On applique le thorme de transport (4.6) la fonction scalaire f = . On dduit :

    ddt

    V

    dV =

    V

    (x, t)t

    dV +

    S

    u ndS,

    avec V un volume matriel et S la surface enveloppant ce volume. En utilisant le thorme de ladivergence (Green-Ostrogradski), on tire :

    ddt

    V

    dV =

    V

    ((x, t)t

    + (u).)

    dV

    On a gal la drive de la masse avec 0 car dans la plupart des cas, la masse se conserve au cours dutemps sil ny a pas de cration de masse ou de perte au sein dun volume matriel. De plus, si estcontinue (pas donde de choc par exemple), alors on peut crire

    (x, t)t

    + (u) = 0. (4.8)

    Cette quation sappelle lquation de conservation locale de la masse ou bien encore quation decontinuit. On peut encore lcrire :

    1

    ddt

    = u.

    Si le fluide est incompressible ou lcoulement isochore : = constante, donc lquation de continuitdevient :

    u = 0.

    Cest lquation dont on se servira le plus dans la suite de ce cours. crite sous forme algbrique, cettequation scrit en dimension 2 :

    u =u

    x+v

    y= 0,

    et en dimension 3

    u =u

    x+v

    y+w

    z= 0,

    avec u = (u, v, w) le champ de vitesse.

    4.1.5 Conservation de la quantit de mouvement

    Formulation macroscopique

    On applique le thorme de transport (4.6) la fonction vectorielle reprsentant la quantit demouvement locale f = u :

    ddt

    V

    udV =

    V

    u

    tdV +

    S

    u(u n)dS.

    Il existe dautres variantes permettant dexprimer la drive matrielle de u. En utilisant le thormede la divergence, on tire :

    ddt

    V

    udV =

    V

    (u

    t+ uu

    )

    dV,

    ou bien en servant en plus de lquation de continuit

    ddt

    V

    udV =

    V

    (u

    t+ uu

    )

    dV.

  • 4.1 Thormes de transport 65

    Attention dans ces deux quations, le terme uu reprsente un tenseur dordre 2.

    Le principe fondamental de la dynamique veut que toute variation (temporelle) de quantit demouvement rsulte de lapplication de forces. Donc, on peut crire une relation gnrale de la forme

    ddt

    V

    udV = forces appliques au volume V.

    Les forces appliques comprennent les forces de volume (poids) et les forces de surface agissant la surface du volume. Il sensuit que la forme macroscopique complte des quations de conservationde la quantit de mouvement scrit :

    ddt

    V

    udV = mg

    poids

    +

    S

    dS

    force de surface

    ,

    =

    V

    gdV +

    S

    ndS

    o = n dsigne la contrainte, le tenseur des contraintes. On rappelle que le tenseur descontraintes se dcompose en tenseur des pressions p1 et un tenseur des extra-contraintes T :

    = p1 + T .

    Le tenseur T dpend de la nature du fluide tudi ou du niveau dapproximation :

    T = 0 correspond au cas des fluides parfaits (ou non visqueux) et les quations du mouvementqui en rsultent sont appeles quations dEuler ;

    T = 2D correspond au cas des fluides newtoniens et les quations du mouvement qui enrsultent sont appeles quations de Navier-Stokes. Elles sont examines en dtail au chapitre 6 ;

    T = F(D) correspond au cas des fluides non newtoniens, avec F la loi de comportement dufluide. Les quations du mouvement rsultantes sont appeles quations de Cauchy 6.

    Formulation locale

    Une application du thorme de Green-Ostrogradski permet daboutir la formulation locale desquations de la quantit de mouvement :

    dudt

    = (u

    t+ uu

    )

    = g + = g p+ T , (4.9)

    car (p1) = p(1)+1 p = p. Comme prcdemment on a suppos pour passer de la formulationmacroscopique la forme locale que les diffrents champs (vitesse et masse volumique) taient continus.Lquation locale nest pas valable pour une onde de choc ou bien un ressaut hydraulique ; dans un telcas, il faut appliquer

    soit les formulations intgrales de la conservation de quantit de mouvement pour viter davoir traiter la discontinuit ;

    soit ajouter des conditions supplmentaires qui viennent complter les quations locales quirestent valables de part et dautre de la discontinuit. De telles relations sont appeles relationsde Rankine-Hugoniot ou bien conditions de choc.

    On peut encore crire cette quation sous une forme raccourcie :

    dudt

    = p + T ,

    6. Il ny a pas de consensus sur lappellation de cette quation dans la littrature technique.

  • 66 4. quations de bilan

    o lon associe le terme gravitaire g au terme du gradient de pression et, ce faisant, on a introduit lapression gnralise p = p+ et le potentiel gravitaire tel que g = . Cette formulation estpar exemple utilise en hydraulique en charge pour traiter les effets de la gravit en termes de pressiongnralise.

    Les quations locales peuvent scrire :

    u

    t+ (uu) = g p+ T , (4.10)

    ou bien :

    u

    t+ uu = g p+ T , (4.11)

    o lon prendra bien garde la position de la masse volumique dans les termes diffrentiels. La der-nire quation (4.11) est la plus employe. La principale diffrence entre les quations (4.11) et (4.10)est lie la place de la masse volumique . Si lcoulement est isochore ou le matriau incompressible,ces deux quations sont trivialement obtenues puisque est constante. Lquation (4.11) ou ses va-riantes sappelle lquation de conservation de la quantit de mouvement ou bien lquation de Newtonou bien encore lquation fondamentale de la dynamique. Le cas particulier o T = 0 correspond auxquations dEuler, qui comme on la prcis plus haut, constituent le jeu dquations du mouvementle plus simple quon puisse imaginer et qui permettent de rsoudre un grand nombre de problmespratiques en ingnierie (dynamique des gaz, coulements grande vitesse, etc.) :

    u

    t+ uu = g p, (4.12)

    En dimension 2, lquation de conservation (4.11) peut tre projete de la faon suivante dans unrepre cartsien

    u

    t+ u

    u

    x+ v

    u

    y= gx

    p

    x+Txxx

    +Txyy

    ,

    v

    t+ u

    v

    x+ v

    v

    y= gy

    p

    y+Txyx

    +Tyyy

    ,

    avec u = (u, v) les composantes du vecteur vitesse, (gx, gy) les composantes du vecteur gravit.

    Attention la notation uu. Cela ne signifie pas quil sagit du produit entre le vecteur u et letenseur (matrice) u. En fait, en toute rigueur, il faudrait crire : (u)u, les parenthses servant indiquer que loprateur diffrentiel u est appliqu au vecteur u.

    Une autre formulation vectorielle de lquation de conservation de quantit de mouvement estobtenue en faisant remarquer que u peut scrire uu = |u|2/2 + ( u) u. On a alors :

    u

    t+

    12|u|2 + ( u) u = g p+ T ,

    u

    t+

    12|u|2 + u = g p+ T ,

    avec = u la vorticit. Cette quation est parfois appele quation de Gromeka-Lamb. Elle estutile quand on veut tudier la vorticit du fluide, cest--dire les tourbillons et structures similairesqui se crent dans un fluide.

    Interprtation du terme de divergence des contraintes

    On peut interprter le termes p+T qui apparat dans lquation de conservation de la quantitde mouvement (4.11) en considrant un volume infinitsimal, ce qui permet notamment dexpliquerpourquoi les contraintes apparaissent sous la forme dune divergence. Le raisonnement est classique et

  • 4.1 Thormes de transport 67

    a dj t appliqu au A.2.2 pour expliquer le sens physique de loprateur divergence. Tout dabord,il faut se demander quelles sont les forces appliques un volume de contrle infinitsimal, dont le volume (il sagit dune surface) par unit de largeur est dxdy (voir figure 4.3).

    force de volume : action de la pesanteur g ; forces la surface du volume de contrle : elles sont calcules laide de .

    nn

    x dx x+

    y

    dy y+n

    Figure 4.3 : projection de la relation dquilibre des contraintes sur un volume lmentaire.

    Considrons un repre cartsien en dimension 2. La reprsentation de dans ce repre est donnepar la matrice symtrique :

    =[

    xx xyxy yy

    ]

    .

    Les contraintes sur la face oriente par la normale n = (1, 0) sont :

    1 = n =[

    xxxy

    ]

    .

    tandis que sur la facette oppose oriente par la normale n = (1, 0)

    1 = n =[

    xx + xxx dxxy +

    xyx dx

    ]

    .

    On fait de mme pour les normales orientes par n = (0, 1) et n = (0, 1). La projection des effortssur laxe x scrit donc (contrainte surface par unit de largeur) :

    (

    xx + xx +xxx

    dx)

    dy +(

    xy + xy +xyy

    dy)

    dx =(xxx

    +xyy

    )

    dxdy.

    De mme, sur laxe y, on trouve que la projection des efforts sexprime comme :(xyx

    +yyy

    )

    dxdy.

    Ces petits calculs montrent que les efforts exercs sur la surface de contrle dun volume infinitsimalpeuvent se calculer de faon gnrique laide de lexpression .

    4.1.6 Conservation de lnergie, thorme de Bernoulli

    Premier principe de la thermodynamique

    Rappelons que le premier principe de la thermodynamique nonce que lnergie totale E, varie cause du travail des forces extrieures et du flux de chaleur

    E = W + Q,

  • 68 4. quations de bilan

    avec E la variation dnergie totale, cest--dire lintgrale sur le volume de contrle de lnergie cin-tique k et lnergie interne e (e tant lnergie interne massique), W le travail des forces extrieuresau sein du volume de contrle, Q le flux de chaleur travers la surface de contrle S. Au lieu de parleren termes de travail, on peut parler en termes de puissance puisque si lon divise lquation prcdentepar un petit incrment de temps t

    E

    t=W

    t+Q

    t,

    et en faisant tendre t vers 0, on obtient

    ddt

    V

    (k + e)dV

    taux de variation de lnergie totale E

    =

    V

    g udV +

    S

    udS

    W

    S

    jQ ndS

    Q

    ,

    avec jQ le flux de chaleur (voir A.2.1), W le taux de variation du travail (ou puissance) des forcesextrieures, Q le flux de chaleur qui passe par unit de temps travers la surface S, et la contrainteexerce par le milieu extrieur sur le volume de contrle sur une facette dS oriente par n.

    Examinons maintenant de plus prs la puissance des forces extrieures. Cette puissance comprenddes termes positifs (puissance fournie au volume de contrle) et ngatifs (puissance dissipe au seindu volume ou aux frontires). La puissance fournie au volume comprend gnralement la puissanceapporte par la force de gravit et les forces de pression (ce nest pas une rgle absolue) tandisque la dissipation dnergie rsulte gnralement des extra-contraintes (dissipation visqueuse dansle cas dun fluide newtonien). Comme prcdemment pour les contraintes, il est plus sage de faire unedcomposition entre puissances dues des forces de volumes et puissances dues des forces de surfacesans se soucier du signe de ces contributions :

    W = puissance fournie au volume V + puissance dissipe aux frontires et dans V,

    =

    V

    g udV +

    S

    udS,

    Par dfinition de la contrainte via le tenseur des contraintes (voir B.4.2), on a

    = n = (p1 + T ) n = pn + T n,

    ce qui permet dcrire

    W =

    V

    g udV +

    S

    u (pn + T n) dS,

    =

    V

    g udV +

    S

    (pu + T u) ndS, (4.13)

    car T est symtrique. La formulation macroscopique du premier principe de la thermodynamique estdonc le suivant

    ddt

    V

    (k + e)dV =

    V

    g udV +

    S

    (pu + T u jQ

    ) ndS. (4.14)

    On souhaite disposer dune formulation locale de ce principe. Ltape suivante consiste donc crire lesintgrale de surface apparaissant dans le membre de droite de lquation (4.14) sous forme dintgralesde volumes. lapplication du thorme de Green-Ostrogradski fournit immdiatement

    S

    (pu + T u jQ

    ) ndS =

    V

    (pu + T u jQ

    )dV.

    En substituant cette dernire relation dans lquation (4.14), on arrive finalement lquation localede conservation de lnergie totale

    ddt

    (k + e) = g u + (pu + T u jQ

    ). (4.15)

  • 4.1 Thormes de transport 69

    Conservation de lnergie cintique

    Il est possible dobtenir une relation locale pour le taux de variation de lnergie cintique enmultipliant lquation de conservation de la quantit de mouvement (4.11) par la vitesse u

    u ut

    + u (uu) = u g u p+ u T ,

    et de l, en remplaant les termes de la forme uu par |u|2/2, on arrive

    12|u|2t

    +

    2u (|u|2) = u g u p+ u T .

    En se servant de lquation de continuit (4.8) et de lidentit 2 (ku) = |u|2 (u) + u |u|2,on peut transformer cette quation et obtenir une drive matrielle de lnergie cintique locale

    dkdt

    =k

    t+ (ku) = u g u p+ u T . (4.16)

    Cette quation est appele quation de conservation de lnergie cintique. Dans cette quation, leterme u g reprsente la puissance de la force de gravit, u p la puissance des forces de pression,et u T la puissance des extra-contraintes (dissipation dnergie).

    Fonction de dissipation

    En comparant les quations (4.16) et (4.15), on note certaines similitudes dans les termes apparais-sant dans le membre de droite, similitudes que lon va exploiter pour fournir diffrentes expressionsdes nergies cintique et interne. Pour cela, on va se livrer quelques manipulations algbriques. Toutdabord, en servant des proprits de composition de loprateur divergence, on peut crire :

    (T u) = u T + T : u.

    Compte tenu de la symtrie de T , on a la relation T : u = D : T 7. En effet (voir B.3), le tenseur gradient de vitesse se dcompose en une partie symtrique (le tenseur des taux de dformation D)et une partie antisymtrique (le tenseur des taux de rotation W )

    u = D + W .

    On peut montrer (voir chap. A) que la trace du produit de tout tenseur symtrique S et de touttenseur antisymtrique A est nulle. On en dduit donc que

    T : u = T : (D + W ) = T : D.

    La quantit = tr(T D) = T : D sappelle la fonction de dissipation et reprsente la puissancedissipe par les extra-contraintes T .

    On crit finalement (T u) = u T + .

    Avec cette relation en main et en retranchant membre membre les quations (4.16) et (4.15), ondduit

    ddte = p u + jQ. (4.17)

    Cela montre que dans le cas gnral, lnergie interne du volume de contrle varie au cours du tempssous leffet

    de la puissance dissipe par les extra-contraintes (visqueuses dans le cas newtonien) ;

    7. Rappelons la signification du symbole : . Il sagit de la notation abrge de loprateur trace : tr(A S) = A : S.On lappelle galement produit doublement contract. Voir A.2.2.

  • 70 4. quations de bilan

    de la puissance dissipe ou fournie par la dilatation/compression du matriau p u =p(d/dt)/ [daprs lquation de continuit (4.8)] ;

    de la puissance calorifique jQ.On appelle cette quation lquation de conservation de lnergie interne.

    Un cas particulier important est celui des fluides incompressibles ( = cte) dans un coulementisotherme (jQ = 0). Dans ce cas prcis, lquation de lnergie interne se simplifie grandement

    ddte = .

    Cela montre que lnergie interne est dissipe via les extra-contraintes. Ce cas particulier se rencontretrs frquemment en pratique puisque la plupart des coulements dintrt pratique sont isochores etisothermes. La fonction de dissipation = T : D nous renseigne alors compltement sur la faon dontle systme dissipe son nergie.

    quation gnrale de Bernoulli

    Une autre formulation intressante est obtenue par manipulation de lquation de conservation delnergie cintique (4.16) dans le cas o on peut considrer le fluide comme incompressible : est uneconstante. On note = gz le potentiel gravitaire (g = ) et p = p+ la pression gnralise.On tire donc que : g p = p. On peut donc crire du fait de lincompressibilit

    dkdt

    =k

    t+ (ku)

    =k

    t+ u |u|

    2

    2.

    De mme, on peut crire

    u g u p+ u T = u p + (u T ).

    Avec ces relations en main, on crit lquation de conservation de lnergie cintique (4.16) sous laforme

    + (u T ) = kt

    + u |u|2

    2+ u p,

    =k

    t+ u (k + + p) . (4.18)

    Cette quation sinterprte ainsi :

    reprsente lnergie dissipe par unit de volume ; (uT ) reprsente lnergie dissipe ou produite aux frontires du domaine. Pour sen convaincre,

    il suffit dintgrer ce terme sur V , puis dutiliser le thorme de Green-Ostrogradski ; k/t est la variation locale dnergie cintique ; u (k + + p) reprsente le transport ou advection dune quantit = k + + p qui est la

    somme de lnergie cintique k, de lnergie potentielle , et de la pression p.

    Rappelons que, comme en mcanique du point ou du solide, le thorme de lnergie cintique estune reprsentation alternative de la relation fondamentale de la dynamique. Pour un problme rgulier,on peut employer lune ou lautre, cest--dire les relations (4.11) ou (4.16) ; le choix de lune ou delautre tient le plus souvent la rapidit du calcul ou bien la commodit du raisonnement, maisquel que soit le choix opr, le rsultat final est identique. Dans certains problmes plus complexes, onne peut en pratique utiliser quune ou lautre des formes. Par exemple, dans ltude des chocs ou desressauts hydrauliques, il faut travailler avec des quations macroscopiques (sur des volumes de contrle)car les champs peuvent tre localement discontinus ; en outre, on ne peut pas utiliser facilementlquation de lnergie cause de dissipation localise de lnergie au niveau de la discontinuit. Dansce cas-l, seule lquation de la quantit de mouvement doit tre utilise.

  • 4.1 Thormes de transport 71

    Un cas particulier important est le cas dun coulement permanent dun fluide non visqueux. Dansce cas-l, on a

    coulement permanent k/t = 0 ; viscosit nulle T = 0 et = 0.

    Sous ces conditions, lquation (4.18) devient

    u (k + + p) = 0,

    ce qui veut dire que u est normal au vecteur en tout point, or daprs linterprtation gomtriquede loprateur gradient (voir A.2.1), est un vecteur normal aux surfaces isopotentielles = cte,donc u doit tre tangent ces surfaces isopotentielles. On peut montrer (voir B.2) que le lieu despoints o le vecteur vitesse est tangent est appel une ligne (resp. une surface) de courant. Il sensuitque le long dune ligne de courant, la quantit est constante.

    En rsum, le thorme de Bernoulli nonce que si

    lcoulement est permanent ; lcoulement est isochore ou bien le matriau incompressible ; les dissipations dnergie sont ngligeables ;

    alors le long de toute ligne de courant, la quantit = k+ + p se conserve. Dans le cas frquent olnergie potentielle scrit = gz, alors on a :

    = gz + u2

    2+ p = cte, (4.19)

    avec u = |u|.Ce thorme est remarquable car il sagit dune relation purement algbrique (pas de diffrentielle

    ou dintgration) qui permet de relier vitesse, pression, et position du fluide. Ce thorme a de nom-breuses applications. Il est trs apprci des ingnieurs (et des tudiants) pour rsoudre rapidementdes problmes pratiques. Toutefois, dans bien des cas pratiques, on ne peut pas ngliger la dissipationdnergie et il faut alors utiliser des formules plus complexes que lquation de Bernoulli (4.19).

  • 72 4. quations de bilan

    4.2 Quelques applications du thorme de Bernoulli

    4.2.1 Formule de Torricelli

    La formule de Torricelli permet de calculer la vitesse de vidange dun rcipient contenant unehauteur h dun liquide (de masse volumique ). Cette formule stablit facilement laide de lquationde Bernoulli.

    Figure 4.4 : vidange dun rservoir.

    Considrons une ligne de courant entre un point A la surface libre du liquide dans le rcipient etun point B au niveau de lorifice. On suppose que la pression atmosphrique pa sapplique ces deuxpoints (le gaz contenu dans le rservoir nest pas sous pression). Daprs lquation (4.19), on a

    gzA + v2A2

    + pA = gzB + v2B2

    + pA,

    avec zA et zB la position de A et B, vA et vB les vitesses en A et B, et pA et pB la pression auxpoints A et B. Si le diamtre du rservoir est suffisamment grand par rapport au diamtre de lorifice,la vidange est lente et, dans un premier temps, on peut supposer que lcoulement est permanent ; deplus, la vitesse en A doit alors tre trs faible, donc on pose vA 0. De plus on a pA = pB = pa etzA = zB + h, ce qui permet de simplifier lquation ci-dessus

    gh = v2B2

    vB =

    2gh.

    4.2.2 Intrusion dun courant de gravit

    La formule de von Krmn 8 permet de calculer la vitesse du front dun fluide lourd dans un fluideplus lger. Ce problme a t rsolu par von Krmn au moment de la seconde guerre mondiale,quand les Allis lui demandaient de calculer la vitesse de propagation dun gaz toxique dans latmo-sphre. Cette formule a de nombreuses applications en mtorologie (avancement dun front froid), enocanographie (propagation dun courant de turbidit), et dans les problmes de mlange.

    8. Theodore von Krmn (18811963) a t lun des plus grands mcaniciens des fluides du xxe sicle. N en Hongrie(alors province de lEmpire Austro-Hongrois), il migra par la suite en Allemagne, puis aux tats-Unis. Ses travauxportrent essentiellement sur la couche limite logarithmique, les instabilits derrire les obstacles (les fameuses alles devon Krmn), les coulements supersoniques, etc. Comme Thomson et Reynolds avant lui, il a t aussi un exemple demcanicien, avec des intrts tout la fois sur les points fondamentaux de la mcanique et les applications (principalementmilitaires).

  • 4.2 Quelques applications du thorme de Bernoulli 73

    Figure 4.5 : propagation dun front vitesse constante.

    Figure 4.6 : courant de densit en laboratoire. Le courant intrusif a t produit en employant un fluide lourd(eau sale et colore) dans un fluide plus lger (eau).

    On considre lintrusion dun fluide lourd de masse volumique dans un fluide ambiant, plus lger(a < ), au repos, et faiblement visqueux de telle sorte quon nglige la dissipation dnergie. Onsouhaite calculer la vitesse du front (u) en fonction de sa hauteur et des masses volumiques.

    Pour cela, von Krmn admet que la vitesse du front est constante. Il se place dans le repreattach au front. Dans ce repre, le front est fixe et cest le fluide ambiant qui en mouvement avec unevitesse u. Comme lcoulement est permanent, la ligne de la surface libre est galement une ligne decourant et on peut appliquer le thorme de Bernoulli entre un point B situ linterface entre fluideslourd et lger (B est dans le fluide ambiant) et le point O situ au front (point fixe situ la fois dansle fluide lourd et dans le fluide ambiant)

    PB +12a(u)2 + agh = P0 + 0 + 0.

    Il considre aussi un point A situ juste sous linterface (A est dans le fluide lourd). Puisque dansle repre attach au front, le fluide lourd est au repos, la loi de lhydrostatique sapplique et on anotamment P0 = PA+gh. Si on prend maintenant A et B infiniment voisins, la diffrence de pression(en labsence deffet de tension de surface) doit tre nulle : PA = PB , do

    u =

    2 aa

    gh,

    ou encoreugh

    =

    2,

    avec g = (a)/a la gravit rduite. La dernire quation montre que le nombre de Froude u/gh

    est constant au front. Exprimentalement, cette formule donne de bons rsultats, mais il faut souventajouter un facteur correctif car on travaille avec des fluides ambiants qui ne sont pas infiniment pais.La dmonstration apporte par von Krmn est considre de nos jours comme fausse. Notamment,Benjamin (1968) a montr quon ne pouvait pas utiliser lquation de Bernoulli le long dune interfaceet que la rsolution correcte du problme ncessitait demployer des volumes de contrle et de fairedes bilans de quantit de mouvement sur ces volumes. Toutefois, le rsultat final reste inchang (maispourrait-il en tre autrement dun point de vue dimensionnel?).

  • 74 4. quations de bilan

    Figure 4.7 : tube de Pitot.

    4.2.3 Tube de Pitot

    Le tube Pitot 9 sert mesurer la vitesse locale dun fluide en le reliant la diffrence de pressiondun manomtre liquide.

    Lide est la suivante : on considre un coulement et on plonge un tube de Pitot de telle sortequil soit parallle aux lignes de courant. son embouchure, le fluide peut pntrer. Une fois quil aoccup tout lespace disponible au sein du tube, il ny a plus de fluide qui entre et la vitesse au pointB, embouchure du tube, est donc nulle. On lappelle un point darrt de la ligne de courant.

    Considrons une ligne de courant AB. En A, on a p = PA (par exemple une pression hydrosta-tique), v = vA = v, et z = zA. En B, on a p = pB, uB = 0, et z = zA = zB. Le thorme de Bernoullidonne donc

    pA +12v2A + gzA = pB +

    12v2B + gzB

    = pB + gzA,

    do

    v =

    2

    (pB pA).

    Comme la diffrence de pression pB pA peut tre dtermine si on utilise un manomtre (tube enU), on peut dduire la vitesse v.

    9. Henri Pitot (16951771) tait un hydraulicien franais. Il fut nomm surintendant du Canal du Midi et construisitun aqueduc pour lalimentation en eau de Montpellier. Afin de pouvoir mesurer les vitesses de leau dans les rivires etcanaux, il inventa un appareil qui porte aujourdhui son nom.

  • 75

    5coulement surface libre5.1 Introduction

    5.1.1 Gnralits

    Lhydraulique surface libre se distingue de lhydraulique en charge par lexistence dune surfacelibre, cest--dire dune surface o lcoulement est en contact direct avec latmosphre 1 : le gradientde pression ne peut plus tre le moteur de lcoulement, cest la gravit qui devient lagent moteur. Ledomaine dapplication est large :

    cours deau naturels : rivires, fleuves, etc. ; canaux de navigation, dirrigation, etc. ; systmes dvacuation : rseaux dassainissement pluvial ; amnagements : retenues deau, usines de production dlectricit, ports, etc.

    Une caractristique de la plupart de ces coulements est la suivante : la hauteur dcoulement ainsi quela largeur sont gnralement petites par rapport la longueur dcoulement. On parle dcoulementfilaire.

    5.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations

    bief : tronon homogne en termes de pente moyenne et de section dcoulement (on emploieparfois aussi le mot bisse, notamment dans le Valais, mais le contexte est un peu diffrent) ;

    type de cours deau : il existe plusieurs classifications. Selon Bernard (1927), une distinction descours deau peut se faire en fonction de la pente i :

    i < 3 % on parle de rivire, 3 < i < 6 %, on parle de rivire torrentielle , i > 6 %, on parle de torrent ;

    primtre mouill : longueur de la surface dcoulement en contact avec le lit (fond + berges),cest--dire le primtre de la section dcoulement auquel on retranche la largeur au miroir B.

    section dcoulement (ou section mouille) S : partie de la section du canal limite par les paroiset la surface libre ;

    hauteur dcoulement : hauteur moyenne deau, par dfinition cest

    h = S/B ;

    hauteur normale hn : cest la hauteur dun coulement permanent uniforme dans un bief. Lahauteur normale est fonction du dbit Q, de la rugosit K, et de la pente moyenne i ;

    tirant deau : profondeur maximale dune section dcoulement ; largeur au miroir B : largeur de la section dcoulement au niveau de la surface libre ;

    1. La pression du fluide cette interface est gale celle de latmosphre.

  • 76 5. coulement surface libre

    B

    lit majeur

    tirant d'eau

    lit mineur

    primtre mouill

    y

    Figure 5.1 : coupe dune rivire.

    rayon hydraulique : cest une longueur caractristique dfinie par

    RH = S/.

    Pour un coulement dans un canal rectangulaire infiniment large (B h), le rayon hydrauliquecorrespond la hauteur dcoulement h ;

    rgime uniforme : rgime dcoulement le long dun bief o les caractristiques dcoulement(hauteur et vitesse) sont constantes quelle que soit la position le long de la direction dcoulement.On a ainsi h/x = 0 ;

    rgime permanent : rgime o lcoulement ne dpend pas du temps. On a ainsi h/t = 0 ; rgime graduellement vari : rgime dcoulement o la variation de hauteur dans la direction

    dcoulement est trs faible, typiquement si L dsigne une longueur dcoulement et h une varia-tion de hauteur, on a h/L 1. Les quations de Saint-Venant 2 ou le calcul diffrentieldes courbes de remous ne sont valables que pour ce rgime ;

    courbe de remous : la courbe de remous est la courbe dcrivant la variation de la hauteur deaudans un bief pour un coulement graduellement vari. Lquation de cette courbe est appelequation de la courbe de remous [voir quation (5.3] ;

    rgime rapidement vari : rgime dcoulement o la variation de hauteur dans la direction dcou-lement est trs importante, typiquement si L dsigne une longueur dcoulement et h une va-riation de hauteur, on a h/L = O(1). lapproche dune singularit ou bien en cas de ressauthydraulique, lcoulement peut entrer dans un rgime rapidement vari ;

    ressaut hydraulique : variation brutale de hauteur deau (passage dun rgime torrentiel unrgime fluvial) ;

    pente moyenne : pente moyenne longitudinale i = tan dun bief exprim en % ou en % ; rgime torrentiel : rgime supercritique (Fr > 1), forte vitesse, faible hauteur ; rgime fluvial : rgime subcritique (Fr < 1), faible vitesse, hauteur leve ; dbit Q : flux deau par unit de temps travers la surface dcoulement ; vitesse moyenne u : vitesse

    u =Q

    S;

    coefficient de rugosit : coefficient traduisant la rugosit des parois (coefficient de Chzy not Cou de Manning-Strickler not K) ;

    lit mineur : lit occup ordinairement par un cours deau par opposition au lit majeur qui corres-pond lemprise maximale historique dun cours deau ou la plaine inondable. On parle ausside niveau des plus hautes eaux (PHE) pour dsigner la cote maximale atteinte par la surfacelibre dun cours deau ;

    2. Voir cours de master ondes de crue et rupture de barrage .

  • 5.1 Introduction 77

    la berge ou rive est le talus qui spare le lit mineur du lit majeur. Lorsque la berge est couvertepar la vgtation, on parle de ripisylve ;

    ltiage correspond aux plus basses eaux dun cours deau (gnralement durant lt). Le dbitdtiage est donc le dbit minimal dun cours deau. Le dbit de plein bord (bankfull dischargeen anglais) est le dbit atteint lorsque la rivire sort de son lit mineur. Durant une crue, on parlede dbit de pointe (peak discharge en anglais) pour dsigner le dbit maximal atteint. Pour lescrues, on peut relier le dbit de pointe la priode de retour T 3. Le dbit dominant est le dbitde la crue ordinaire qui permet de faonner un cours deau. Pour les rivires sable, le dbitdominant correspond au dbit de pointe dune crue de priode 12 ans alors que pour un lit gravier, il correspond crue de priode de retour de quelques dizaines dannes.

    3. La priode de retour T est dfinie par rapport la probabilit dobserver la crue (ou une crue suprieure) P :T = 1/P ; cest aussi lintervalle de temps moyen entre deux crues ayant dpassant un certain seuil.

  • 78 5. coulement surface libre

    Figure 5.2 : dans les rivires de plaine, le lit naturel est rarement droit, mais au contraire dveloppe denombreux mandres [DR].

  • 5.1 Introduction 79

    Figure 5.3 : beaucoup de cours deau de plaine ont t amnags pour limiter leur expansion, lutter contreles crues, et assurer un certain dbit dans la rivire. Ici la rivire Thur (Suisse) a t rectifie au dbut duxxe sicle [Martin Jaeggi].

  • 80 5. coulement surface libre

    (a)

    (b)

    Figure 5.4 : dans les rivires torrentielles (ici torrent de Celse Nire, Pelvoux, Hautes-Alpes, France), le litest compos de matriaux grossiers [Christophe Ancey]. (a) Vers le camping dAilefroide. (b) Vers le cimetiredes Vaudois.

  • 5.1 Introduction 81

    Figure 5.5 : dans les torrents, il y a peu deau, mais la vitesse est leve [Anthony Cornelius, ChristopheAncey].

  • 825.

    coulem

    ent

    surfacelibre

    Tableau 5.1 : terminologie franaise, allemande, anglaise et dfinitions.

    franais allemand anglais italien dfinition, remarques (notation)bief Gewsserabschnitt reach tronco tronon homogne dune rivirerivire Fluss, Bach river fiume cours deau faible penterivire torrentielle Gebirgsfluss torrential river torrente cours deau de pimont forte pentetorrent Wildbach torrent torrente cours deau trs forte penteprimtre mouill benetzter Umfang wetted perimeter perimetro bagnato partie mouille dune section en travers ()lit majeur Hochwasservorland flood plain letto maggiore zone envahie lors des grosses crueslit mineur Niederwassergerinne low water channel letto minore lit habituellement occup par le cours deau lorsque

    les eaux sont bassesripisylve Ufervegetation riparian vegetation vegetazione fluviale vgtation sur les bergesgomtrie du lit Gerinnegeometrie bed geometry geometria del letto caractrisation gomtrique laide des profils en long

    et en travers dun litrugosit Rauighkeit, Rauheit roughness scabrezza tat de surface du litsection dcoulement Abflussquerschnitt flow section sezione section transversale dun cours deau ou dun litsection mouille benetzter Querschnitt wetted section sezione idrica surface de la section dcoulement (S)rayon hydraulique hydraulischer Radius hydraulic radius raggio idraulico rapport entre la section et le primtre mouill (RH =

    S/)largeur au miroir Gerinnebreite flow width larghezza del pelo li-

    berolargeur transversale du cours deau calcule au niveaude la surface libre (B)

    pente du lit Gerinnegeflle bed gradient pendenza del letto valeur moyenne de la pente dun bief (i = tan )hauteur deau moyenne mittlere Wassertiefe mean flow depth altezza media dacqua

    (tirante idrico medio)hauteur moyenne dfinie par h = S/B

    hauteur critique kritische Tiefe critical flow depth altezza critica (tirantecritico)

    hauteur deau correspondant au rgime critique (hc)

    tiage Niederwasser low water profilo estivo plus basses eaux dun cours deauniveau des plus hauteseaux

    hchster Hochwassers-tand

    maximum flood stage altezza massimale plus hautes eaux dun cours deau

    crue Hochwasser flood piena niveau deau nettement suprieur ce qui est ordinai-rement observ

    rgime uniforme gleichfrmige Str-mung

    uniform flow regime uniforme hauteur deau constante le long du bief

    rgime (graduellement)vari

    ungleichfrmige Str-mung

    (gradually) varied flow regime gradualmentevariato

    variation lente du niveau deau le long du bief

  • 5.1Introduction

    83

    Tableau 5.1 : terminologie franaise, allemande, anglaise et dfinitions.

    franais allemand anglais italien dfinition, remarques (notation)rgime sous-critique(fluvial)

    (strmender Str-mungszustand) subkri-tische Strmung

    (fluvial) subcriticalflow

    regime subcritio (flu-viale)

    rgime caractrise par des vitesse faible : Fr < 1

    rgime supercritique(torrentiel)

    (schieender) superkri-tische Strmung

    (torrential) supercriti-cal flow

    regime supercritico(torrentizio)

    rgime caractris par des vitesses fortes : Fr > 1

    nombre de Froude Froude-Zahl Froude number numero di Froude nombre sans dimension Fr = u/gh

    dbit Durchfluss flow rate, discharge portata flux de vitesse travers la sectionvitesse moyenne (dbi-tante)

    mittlere Geschwindig-keit

    mean flow velocita media vitesse moyenne dans la section u = Q/S

    ressaut hydraulique Wechselsprung hydraulic jump salto idraulico augmentation brutale du niveau lie au passage duncoulement super- sub-critique

  • 84 5. coulement surface libre

    Pour un cours deau naturel, la gomtrie du lit nest pas quelconque, mais obit certaines rgles.Un cours deau doit laisser transiter un dbit, qui varie en fonction du temps. En gnral, il existedes cycles annuels, mais au gr des prcipitations et de la fonte des neiges, le dbit peut voluer duneanne sur lautre dune faon extrmement variable (voir Fig. 5.6). Les dbits ordinairement rencontrsfaonnent le cours deau : la gomtrie du lit (section en travers, granulomtrie, etc.) est calibre parle cours deau de telle sorte quelle soit compatible avec le dbit moyen transitant par ce cours deau.Pour cette raison, on trouve quil existe des corrlations fortes entre dbit et dimensions de la sectiondu cours deau ; comme le montre la figure 5.7, la largeur au miroir varie peu prs linairement avecle dbit de plein bord. On parle de dbit dominant pour dsigner un dbit (suffisamment lev) qui estcapable de modifier la gomtrie du lit. En fonction du terrain (pente, nature gologique du terrain,etc.), le cours deau a plusieurs possibilits pour optimiser le transit deau en ajustant la largeur, laprofondeur, la sinuosit, etc.

    1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999an

    51015202530

    Qr1m3/3

    1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

    Figure 5.6 : variation du dbit de pointe journalier sur la rivire Lonza (Valais) sur la priode 19741999.Chaque point reprsente le dbit maximal journalier.

    Une difficult supplmentaire dans ltude de la stabilit dun lit sur le long terme est quoutrele dbit liquide faire transiter, il y a galement un transport de sdiment. Les sdiments sont issusdes pentes en montagne ; ils arrivent dans le cours deau sous forme de blocs grossiers et dlmentsplus ou moins fins. Ces lments sont transports et subissent une dgradation progressive et un trigranulomtrique dautant plus marqu que la pente du lit devient faible ; pour ces raisons, on observeque le diamtre moyen des grains du lit diminue rgulirement entre la source et le dbouch du coursdeau dans la mer ou locan.

    Une rivire alluviale est un cours deau, dont le lit est creus dans des dpts de sdiments quiont t transports et dposs antrieurement par la rivire 4. La section du lit est donc le fruitdun ajustement entre le transport de sdiment et le dbit. Pour un mme cours deau, selon lasection considre, il existe en effet des interrelations troites entres capacit de transport solide, dbitliquide, et caractristiques gomtriques. Comme le montre la figure 5.7, on trouve des corrlationsentre paramtres dcoulements et les variables caractrisant la gomtrie du lit. Ces interrelationssont gnralement stables et laissent penser quil existe un tat de pseudo-quilibre du cours deauo les variations locales et temporelles des dbits solide et liquide sont contrebalances sans problmeparticulier par diffrents mcanismes. On parle souvent dquilibre dynamique du lit pour dsigner cetajustement continuel du cours deau autour dun tat dquilibre. Il existe cependant des circonstancespendant lesquelles cet quilibre peut tre compromis : typiquement lors dune crue de priode de retourleve (de quelques annes centaines dannes) ou bien cause de laction de lhomme (constructiondun barrage, prise deau, etc.), lquilibre dun cours peut tre rompu, causant des dsordres graves,brutaux, et rapides. Selon un concept dvelopp par Lane au cours des annes 1950, linterrelationentre charges solide et hydraulique peut se rsumer travers une relation Q tan d50qs, o Q estle dbit liquide, tan la pente, d50 le diamtre mdian des particules, et qs le dbit solide (Church,2006).

    Compte tenu de la variation de la pente du cours deau et de la taille des sdiments, la gomtriedu cours deau varie de faon trs significative entre la source et le dbouch (voir figure 5.8). Dans la

    4. Certains cours deau comme les torrents de montagne dans des gorges ou coulant sur des dpts morainiques nefont pas partie des coulements alluviaux.

  • 5.1 Introduction 85

    1.E+00

    1.E+01

    1.E+02

    1.E+03

    1.E+04

    1.E+05

    1.E+06

    1.E+07

    1.E+00 1.E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10 1.E+12 1.E+14

    Grav Brit

    Grav Alta

    Sand Mult

    Sand Sing

    Grav Ida

    Q

    B

    Figure 5.7 : relation entre largeur miroir et dbit de plein bord pour des rivires de la rgion Alberta(Canada). Daprs des donnes de donnes collectes par Gary Parker. La largeur au miroir a t crite sousforme adimensionnelle : B = B/d50 et Q = Q/(d

    5/250

    g), avec d50 le diamtre mdian des grains composant le

    lit.

    partie amont, o le sdiment est fourni la rivire, la pente est gnralement forte et le lit est droit(quand il est vu en plan) ; le lit peut tre incis dans un matriau diffrent des sdiments quil transporteou bien prendre place dans ses dpts alluvionnaires. Au contraire, dans les zones de plaine, le coursdeau coule exclusivement sur son propre alluvion gnralement compos de matriaux fins (limons,sables, matriaux organiques). La sinuosit du lit crot le plus souvent de faon inverse la pentedu lit ; inversement, plus la pente est faible, plus le cours deau a tendance une section dcoulementunique et bien calibre (section homogne). La figure 5.8 montre de faon plus prcise la forme prisepar un cours deau et le rle des dpts de sdiments.

    Le profil longitudinal dune rivire montre galement une trs grande variabilit. En gnral, mme faible dbit liquide (et transport solide), un lit initialement plan ne le reste jamais bien longtemps.Comme le schmatise la figure 5.9, si lon part dun lit plan (rgime hydraulique dit infrieur, lowerregime en anglais) et que le dbit liquide est faible, mais suffisant transporter un peu de sdiment,on observe la formation dondulations ( ripples en anglais), qui croissent, migrent, coalescent avecdautres structures. Finalement, leur stade mature est une structure morphologique appele dunequand celle-ci se dplace dans le sens du courant et anti-dune quand elle remonte le courant.

    La figure 5.10 montre comment volue le fond quand on augmente le nombre de Froude. Typique-ment partant dun tat o le lit est plan, de petites ondulations apparaissent rapidement (A), puis sile courant augmente, des structures telles que des dunes se forment (B et C). Au cours dune crue, cesstructures peuvent tre dtruites, le lit redevenant plan, mais lcoulement deau est fortement chargen sdiment (D et E). Si le dbit augmente encore, le lit dveloppe de nouveau des structures, quipeuvent migrer contre courant (F et G). Pour les rivires torrentielles caractrises par une valeurleve du nombre de Froude, le lit prsente souvent une alternance de seuils et de mouilles (poolsand steps, voir H). La figure 5.11 prsente une classification des structures morphologiques du lit enfonction des nombres de Froude et de Reynolds. On voit ainsi que la limite entre rgimes dcoulementinfrieur et suprieur varie fortement entre le domaine des rivires (faible nombre de Reynolds parti-culaire car le lit est compos de sdiment fin) et celui des rivires torrentielles (valeur lev de Re carle diamtre d50 des grains du lit est grand).

    Ces structures morphologiques voluent en permanence. Contrairement ce qui en a t souvent ditdans la littrature, elles nadoptent pas ncessairement une taille identique et ne sont pas rgulirementespaces (comme peut le laisser croire la figure 5.9), mais au contraire montrent une trs grande varit

  • 86 5. coulement surface libre

    pente

    Profil en long

    lit rectiligne lit en tresses lit divaguantlit mandres

    torrent

    rivire torrentielle

    rivire

    2-3 %5-6 %

    Figure 5.8 : vue en plan du lit dune rivire.

    de formes, de grandeurs, et de disposition. Ce sont des exemples de structures auto-organises. Pourcaractriser la rugosit du lit induite par des structures on peut introduire un paramtre de rugosit,qui nest rien dautre que la moyenne quadratique de la cote du lit en un certain nombre de pointsrgulirement espacs sur une longueur L :

    w(L,t) =

    (

    1k

    k

    i=1

    (b(xi,t) b)2)1/2

    , (5.1)

    o b(xi,t) est la cote du lit mesure en xi au temps t, k est le nombre de points considrs sur lalongueur L, et b est la cote moyenne du lit sur la longueur L. Comme le montre la figure 5.13, lesdonnes de laboratoire ou les mesures in situ montrent que la rugosit ainsi dfinie est une grandeurrobuste pour le mme cours deau et quelle varie comme une loi puissance :

    w L0.64.

  • 5.1 Introduction 87

    Figure 5.9 : au cours du temps, des structures morphologiques se dveloppent dans les lits de sable (ou degravier) lorsque le dbit deau est suffisant (Coleman & Melville, 1996)

    Figure 5.10 : volution des structures morphologiques du lit en fonction du rgime.

  • 88 5. coulement surface libre

    Figure 5.11 : classification des structures en fonction du nombre de Froude et du nombre de Reynoldsparticulaire. Daprs (Julien, 1994).

    Figure 5.12 : au cours du temps, des structures morphologiques se dveloppent dans les lits de sable (ou degravier) lorsque le dbit deau est suffisant (Jerolmack & Mohrig, 2005)

  • 5.1 Introduction 89

    Figure 5.13 : au cours du temps, des structures morphologiques se dveloppent dans les lits de sable (ou degravier) lorsque le dbit deau est suffisant (Jerolmack & Mohrig, 2005)

  • 90 5. coulement surface libre

    Figure 5.14 : lalternance de seuils et de mouilles existe mme pour les tout petits cours deau.

    Figure 5.15 : turbulence dans un rivire gravier (Sveraisse, Hautes-Alpes).

  • 5.2 Hydraulique des canaux 91

    5.2 Hydraulique des canaux

    Le thorme de Bernoulli offre une application intressante pour tudier des coulements perma-nents dans des canaux. Rappelons que ce thorme nonce que lnergie + p+ k se conserve le longdune ligne de courant pour un fluide non visqueux (avec p la pression, le potentiel gravitaire, etk = 12u

    2 lnergie cintique). Pour les fluides visqueux ou turbulents (ce qui est le cas en hydraulique),il faut tenir compte de la dissipation dnergie, que lon appelle perte de charge. Pour comprendre cettenotion de dissipation, on peut faire une analogie utile avec le mouvement dune bille le long dun profilen forme de montagnes russes. Si la bille est non frottante (pas de dissipation dnergie) et quon lalche dun point A, elle va rejoindre un point C la mme altitude que le point A. Tout le long dutrajet, lnergie totale Et, cest--dire la somme de lnergie cintique Ec et de lnergie potentielle Epse conserve : toute augmentation dnergie cintique se traduit par une diminution dnergie potentielleet vice-versa. Dans le cas rel, le mouvement dissipe de lnergie (sous forme de chaleur) et il sensuitque la bille remonte jusqu un point C dont laltitude est infrieure laltitude initiale. La diffrencedaltitude traduit la perte dnergie (perte de charge) subie par la bille. On a donc crit

    Ec + Ep = Et,

    o reprsente la diffrence dnergie entre linstant final (lorsque la bille est en C) et linstantinitial (bille en A). Cette relation trouve son pendant en hydraulique (o lo convertit les nergies etpotentiels en quivalent dhauteur en eau en divisant par g) :

    1g

    ( + p+ k) = H,

    avec H la perte de charge.

    Figure 5.16 : mouvement dune bille sous leffet de la pesanteur. (a) cas idal o la bille est non frottante. (b)cas rel, o le mouvement de la bille saccompagne dune dissipation dnergie. La ligne en pointill reprsentela variation de lnergie totale Et tandis que la courbe tirete dcrit la variation de lnergie cintique Ec aucours du mouvement de la bille.

    On va commencer par dfinir la notion de charge.

    5.2.1 Charge totale et charge spcifique

    Considrons dans tout ce qui suit un canal ou une rivire de section rectangulaire de largeur B. Ledbit total est not Q ; le dbit par unit de largeur est donc q = Q/B. La charge totale hydrauliquescrit :

    H = y + h+u2

    2g

    Hs

    ,

    avec y la cote du fond, h la hauteur deau, et u la vitesse moyenne de leau (u = q/h). La charge totalereprsente lnergie totale (nergie potentielle + nergie pizomtrique + nergie cintique) traduite

  • 92 5. coulement surface libre

    en termes de hauteur (cest--dire en divisant lnergie par g). Comme le montre la figure 5.17, sion place un tube pizomtrique (vertical) dans un coulement permanent surface libre, on nobserveaucune remonte (hormis capillaire) car la pression est hydrostatique au sein de lcoulement ; enrevanche, si lon place un tube de Pitot, on observe une remonte de fluide, qui (en moyenne) estu2/(2g). La charge spcifique Hs calcule en termes de hauteur est la somme de la hauteur dcoulementh et de la hauteur u2/(2g).

    u2

    2g

    h + u2/(2g)

    Figure 5.17 : charge hydraulique dans un coulement surface libre.

    Figure 5.18 : ligne deau dans un canal.

    Pour simplifier, on a nglig le terme cos devant h dans le terme de pression car le plus souventon applique les calculs pour des canaux et rivire faible pente ; il faut penser rintgrer ce termepour des calculs forte pente. La quantit

    Hs = h+u2

    2g

    sappelle lnergie spcifique et reprsente lnergie du fluide une cote donne (pression + nergiecintique) ; la charge totale est donc la somme de la charge spcifique Hs et de lnergie potentielle y.Pour une pente donne, lnergie spcifique est une fonction de la hauteur ou bien du dbit.

    Dbit charge spcifique constante

    Si on crit la charge spcifique comme une fonction de la hauteur, on a :

    Hs(h) = h+q2

    2gh2,

    do lon tire que le dbit par unit de largeur q = uh vaut

    q(h) =

    2gh2(Hs h).

    ou sous forme adimensionnelle

    q =q(h)

    gH3s=

    22(1 ), (5.2)

  • 5.2 Hydraulique des canaux 93

    avec = h/Hs. Il sagit dune courbe en cloche asymtrique prenant sa valeur maximale en = 2/3(h = 2Hs/3) puisque

    dqd

    =2 32 2 = 0 pour =

    23.

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    q *

    Fr>1 Fr hc.

    Hauteur dbit constant

    Si lon se place un dbit donn 0 < q < qmax, lnergie spcifique est une fonction de la hauteur :

    Hs(h) = h+q2

    2gh2,

    que lon peut crire galement sous forme adimensionnelle en divisant par la hauteur critique

    hc =3

    q2/g

    (rappelons que cest la hauteur pour laquelle le nombre de Froude vaut 1)

    H =Hshc

    = +12

    12,

    avec = h/hc. La courbe correspondante est reporte la figure 5.20 ; le comportement de cettecourbe est le suivant :

    quand h 0, Hs q2h2 : la charge diverge aux faibles profondeurs. On est dans lergime supercritique ;

  • 94 5. coulement surface libre

    quand h , Hs h : la charge spcifique tend asymptotique vers la droite Hs = h ; on estdans le rgime subcritique.

    0 2 4 6 8

    0

    2

    4

    6

    8

    H*

    Fr>1 Fr

  • 5.2 Hydraulique des canaux 95

    0 2 4 6 8

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    H*

    A

    B

    A

    B

    Figure 5.22 : variation de lnergie spcifique avec la hauteur dcoulement.

    Sur la figure 5.22, on a reprsent les tats ( = h/hc, H) correspondants aux points A et B.Le point B est obtenu en oprant une translation verticale p/hc. On note que la hauteur hb en Best ncessairement plus faible quen A. On peut reproduire le raisonnement dans le cas dun rgimesupercritique et on trouve un rsultat oppos : au passage dune marche ascendante, la courbe deremous est croissante (augmentation de la hauteur entre les points A et B sur la figure 5.22).

    5.2.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli

    Lquation de Bernoulli permet galement de trouver la variation de la cote de la surface librepour une rgiment graduellement vari permanent. Cette quation sappelle quation de remous. Endiffrentiant la charge totale H par rapport x et en introduisant la pente de frottement : jf =dH/dx, on a :

    jf = i+dhdx

    +d

    dxq2

    2gh2,

    soit encore :

    dhdx

    =jf i

    Fr2 1. (5.3)

    La perte de charge jf reprsente la dissipation dnergie par la turbulence. On verra plus loin dans cechapitre (voir 5.3) quil existe plusieurs lois empiriques pour estimer jf :

    loi de Chzy 6 :

    jf =u2

    C2h,

    avec C le coefficient de Chzy. Le plus souvent, on a C dans la fourchette 30 90 m1/2 s1 ;

    6. Antoine de Chzy (17181798) tait un ingnieur civil franais. On lui doit la conception du canal de lYvette, quialimentait Paris en eau potable. Cest cette occasion que fut propose la premire formule connue reliant la pente duncanal, la gomtrie de la section en travers, et le dbit. Il introduit galement la notion de rayon hydraulique.

  • 96 5. coulement surface libre

    loi de Manning 7-Strickler 8 :

    jf =u2

    K2h4/3,

    avec K le coefficient de Manning-Strickler. En pratique, K varie le plus souvent dans la gamme10 100 m1/3 s1. Il existe aussi des formules qui lient la valeur de K au diamtre des grainscomposant le lit. Par exemple, la formule de Jggi donne K = 23,2/d1/690 avec d90 le diamtre telque 90 % des grains ont un diamtre infrieur.

    On se rfrera au 5.3.2 pour plus de dtails.

    7. Robert Manning (18161897) tait un ingnieur irelandais, travaillant tout dabord dans ladministration irelandaise(drainage) avant de fonder sa propre socit (travaux portuaires). Il est surtout connu pour la formule quil proposa en1895 et qui synthtisait les donnes obtenues prcdemment par le franais Henry Bazin.

    8. Albert Strickler (18871963) tait un hydraulicien suisse. La premire partie de sa carrire fut consacre au dve-loppement de micro-centrales lectriques ; il dirigea notamment la Socit suisse de transmission lectrique jusqu sadissolution en 1939. Aprs 1939, il travailla comme consultant indpendant, principalement en Suisse almanique. Lenom de Strickler est surtout connu grce limportant travail exprimental, qui permis dtablir la formule qui porteson nom et qui reprend les lois prcdemment dveloppes par Philippe Gauckler et Robert Manning.

  • 5.3 Rgime permanent uniforme 97

    5.3 Rgime permanent uniforme

    5.3.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme

    Considrons un bief uniforme (section en travers uniforme, rugosit uniforme) de pente i = tan > 0et un dbit constant. Dans ces conditions, on peut observer un rgime permanent uniforme o il y aquilibre parfait entre frottement aux parois et force motrice (gravit). La hauteur est appele hauteurnormale. Considrons une tranche de fluide le long du lit (sur un petit morceau de bief AB) et crivonsque toute la force de pesanteur du volume de fluide soit tre entirement repris par le frottement auxparois (voir figure 5.23).

    i

    h

    A

    B

    Figure 5.23 : quilibre dune tranche de fluide. La hauteur h est ici le tirant deau puisquelle correspond la hauteur maximale deau dans le cours deau.

    Pour un canal infiniment large, la contrainte la paroi sobtient partir des quations de laconservation (locale) de la quantit de mouvement en rgime permanent uniforme. On peut aussilobtenir en crivant que le frottement au fond soit reprendre exactement le poids de la colonne deauau-dessus pour quil y ait quilibre, soit :

    p = gh sin ,

    De faon plus gnrale, pour un canal de section quelconque, le frottement le long du primtre mouilldoit compenser la composante motrice du poids, soit

    p = Sg sin ,

    avec le primtre mouill, ce qui donne :

    p = g sin RH giRH , (5.4)

    (canal de section quelconque). Pour des pentes faibles, on a sin tan = i.

    Relation avec le thorme de Bernoulli :

    Le thorme de Bernoulli scrit sur une petite tranche du bief de longueur L = dx (voir figure5.24)

    y(A) + h(A) +u2(A)

    2g= y(B) + h(B) +

    u2(B)2g

    + H,

    avec y la cte du fond. Comme le rgime est suppos permanent et uniforme (u(A) = u(B) eth(A) = h(B)), on dduit que

    y(A) = y(B) + H.

    En introduit la pente y(A) y(B) = idx et la perte de charge H dH , on tire idx = dH .On introduit la pente de la perte de charge appele pente de frottement (voir ci-dessous lutilisation

  • 98 5. coulement surface libre

    du thorme de Bernoulli) : jf = dH/dx, avec H la charge hydraulique. La condition dcoulementpermanent uniforme scrit alors :

    i = jf .

    Figure 5.24 : quilibre dun volume de fluide de longueur L = dx et de hauteur uniforme h.

    5.3.2 Loi de frottement

    Plusieurs lois empiriques ont t proposes pour tablir la relation entre p et les variables dcou-lement u et h. Ces lois expriment les pertes de charge rgulires dues aux frottements le long du lit(dissipation dans la couche limite) et par dissipation dnergie turbulente.

    Il existe galement des pertes de charges singulires dues, par exemple, la sinuosit du lit (provo-quant des courants secondaires), des obstacles (ponts, rochers, pis), des changements de section.Il est possible de tenir compte de ces dissipations dnergie localises, mais cest un exercice assezfastidieux et complexe qui est rarement entrepris en ingnierie. Assez souvent, ces pertes de chargesingulires sont prises en compte en augmentant artificiellement les pertes de charge rgulires.

    Loi de Manning-Strickler

    La loi la plus employe car valable pour une large gamme de dbits et de rugosit est la loi deManning-Strickler ; la contrainte paritale scrit

    p =g

    K2u2

    R1/3H

    , (5.5)

    avec K le coefficient de Manning-Strikler souvent reli la rugosit du lit, par exemple la loi deMeyer-Peter 9 & Mller 10 (1948) :

    K =26

    d1/690

    ,

    9. Eugen Meyer-Peter (18831969) commena sa carrire comme ingnieur pour la socit Zschokke Zrich. En 1920,il fut nomm professeur dhydraulique de lETHZ et cra un laboratoire dhydraulique pour tudier exprimentalementdes coulements graduellement varis, du transport solide, de laffouillement de fondations, etc. Les travaux les plusconnus de Meyer-Peter sont ceux relatifs au transport de sdiment dans les rivires alpines, notamment la formule diteMeyer-Peter-Mller (1948) obtenue par la compilation de donnes exprimentales obtenues pendant 16 annes lETHZ.

    10. Robert Mller (19081987) tait un ingnieur hydraulicien suisse spcialis dans le transport de sdiment et lesproblmes drosion. Il fit lessentiel de sa carrire au VAW de lETH, o il travailla notamment avec Hans Einsteinet Eugen Meyer-Peter. En 1957, il dmissionna et exera une activit de conseil en hydraulique. Il sintressa plusparticulirement la correction des eaux dans le canton du Jura et la liaison des lacs de Murten, Bienne, et Neuchtel.

  • 5.3 Rgime permanent uniforme 99

    ou bien sa variante actuelle (formule de Jggi, 1984) :

    K =26

    k1/6s

    =23,2

    d1/690

    ,

    o d90 est diamtre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamtre plus petit que d90) ; ce diamtrecaractristique sert aussi dfinir une chelle caractristique ks = 2d90, qui est utilise notammentdans la formule de Keulegan. Les valeurs de K sont tabules en fonction du type de cours deau :

    canal en bton lisse : K = 55 80 m1/3s1 ; canal en terre : K = 40 60 m1/3s1 ; rivire galet, rectiligne, section uniforme : K = 30 40 m1/3s1 ; rivire avec mandre, sinuosit, etc. : K = 20 30 m1/3s1 ; rivire vgtalise ou torrent : K = 10 m1/3s1.

    Principalement dans les pays anglo-saxons, on crit aussi K en fonction du coefficient de Manning n

    K =1n.

    Notons que la formule de Manning-Strickler ne sapplique pas sur des fonds trs lisses (bton liss par exemple). On pose parfois la relation suivante

    K < 78u1/6,

    qui fournit la borne suprieure du coefficient K en fonction de la vitesse moyenne u. En pratique, cetteborne suprieure se situe entre 80 et 100 m1/3s1.

    # On se reportera la publication Rauheiten in ausgesuchten schweizerischen Fliessgewssern (en allemand) du Bundesamt fr Wasser und Geologie (maintenant rattach lOffice fdral de lner-gie) pour une analyse de 12 cours deau en Suisse pour diffrents dbits. Cet ouvrage fournit une estima-tion du paramtre de Manning-Strickler K en fonction des conditions hydrologiques, morphologiques,granulomtriques, et hydrauliques.

    On pourra aussi se rfrer au site wwwrcamnl.wr.usgs.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index.htmpour un catalogue de valeurs de n = 1/K pour diffrentes rivires (amricaines) ; le tableau fournit la fois des photographies de biefs et les caractristiques des sections mouilles.

    Loi de Darcy-Weisbach

    Pour les coulements en charge, on employe le plus souvent la formule de Darcy-Weisbach. Cetteformule et ses variantes peuvent galement sappliquer lhydraulique surface libre, surtout dans lecas de fond relativement lisse

    p = f

    8u2, (5.6)

    avec :1f

    = 2 log10(

    ks14,8RH

    +2,51

    Ref

    )

    ,

    (formule de Colebrook-White o lon remplace le diamtre hydraulique par 4RH). Cette quation nonlinaire est complexe rsoudre et on lui prfre une forme approche :

    8f

    = 3,38 + 5,75 log10RHd84

    . (5.7)

    On prendra garde que dans un certain nombre de formules de rsistance (dont la loi de Darcy-Weisbach), le nombre de Reynolds est dfini partir du rayon hydraulique

    Re =4RH u

    ,

    car en hydraulique en charge, le nombre de Reynolds est dfini partir du diamtre hydraulique DHet quon a DH = 4RH .

    http://www.bafu.admin.ch/publikationen/publikation/00103/index.html?lang=dehttp://wwwrcamnl.wr.usgs.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index.htm

  • 100 5. coulement surface libre

    Loi de Chzy

    La loi de Chzy est la formule historique, peu utilise aujourdhui si ce nest pour obtenir des ordresde grandeur

    p =g

    C2u2, (5.8)

    avec C le coefficient de Chzy variant dans la fourchette 3090 m1/2s1 (du plus rugueux au pluslisse).

    Loi de Keulegan

    Pendant longtemps, on a utilis le profil de vitesse logarithmique (en principe valable uniquementprs du fond) pour dcrire tout le profil de vitesse dun coulement hydrauliquement turbulent dansun canal. Fonde sur cette approximation, la loi de Keulegan 11 est une formule bien adapte pour lescoulements sur des lits gravier. Elle revient supposer que la contrainte la paroi serait similaire celle donne par la formule de Chzy, mais avec un coefficient C =

    g1 ln(11h/ks) fonction de la

    hauteur deau et de la rugosit, soit encore :

    p =2

    ln2 (11h/ks)u2, (5.9)

    avec la constance de von Krmn et ks une taille caractristique des rugosits du lit (ks 2d90). Laformule est valable tant que le fond est suffisamment rugueux, cest--dire h/ks < 10. Cette formulepeut se gnraliser des gomtries plus complexes en substituant la hauteur h par le rayon hydrauliqueRH .

    Notons que de nos jours, on prfre employer une loi puissance de type Manning-Strickler pluttquune loi logarithmique pour relier le coefficient de Chzy aux paramtres hydrauliques. Par exemple,pour des lits gravier (fond mobile), la formule de Parker donne

    C = 8,10g

    (h

    ks

    )1/6

    ,

    qui fournit des rsultats bien meilleurs que la formule de Keulegan pour des lits trs rugueux (h/ks < 5).

    Synthse

    On en dduit facilement les diffrentes formules du rgime permanent uniforme ; elle sont recensesdans le tableau 5.2. La relation q = f(h) (ou bien u = f(h)) est appele courbe de tarage ou bien loidcoulement ou bien encore dbitance du canal.

    11. Garbis Hvannes Keulegan (18901989) tait un mcanicien amricain dorigine armnienne. Il commena ses tudesen Turquie, puis migra aux tats-Unis pour les achever. Il fit lessentiel de sa carrire dans le National Bureau ofStandards (NBS), o il participa la cration du NBS National Hydraulic Laboratory. Ingnieur de recherche, il travaillaprincipalement sur les coulements turbulents stratifis. La loi qui porte son nom date de 1938 et rsultait dune tudeexprimentale des profils de vitesse pour des coulements surface libre dans des canaux rugueux.

  • 5.3 Rgime permanent uniforme 101

    Tableau 5.2 : vitesse moyenne, hauteur normale, et pente de frottement selon la loi de frottement utilise.

    loi de frottement u hna jf

    Manning-Strikler u = K

    iR2/3H hn =

    (q

    K

    i

    )3/5

    jf =u2

    K2R4/3H

    Darcy-Weisbach u =

    8g

    f

    iR

    1/2H hn =

    (

    q

    f

    8gi

    )2/3

    jf =u2

    2g

    f(RH)

    4RH

    Chzy u = C

    iR1/2H hn =

    (

    q1

    C

    i

    )2/3

    jf =u2

    C2RH

    a uniquement pour un canal infiniment large

  • 102 5. coulement surface libre

    5.3.3 Justification physique

    Dans la majorit des cas, le rgime dcoulement de la phase fluide est turbulent. Une loi decomportement prenant en compte la turbulence peut scrire sous la forme suivante :

    = p1 + 2D + fu u

    o u est la fluctuation de vitesse, dsigne un oprateur moyenne. Dans cette expression, lepremier terme reprsente les effets de pression du fluide ( cause de lincompressibilit cest un termeindtermin qui doit tre trouv en rsolvant les quations du mouvement). Le second terme (loi deNewton) reprsente les termes de viscosit. Le troisime terme, appel tenseur de Reynolds, reprsenteles effets des fluctuations de vitesse lies la turbulence. Une pratique courante consiste ngliger lacontribution visqueuse (compte tenu du nombre de Reynolds) et supposer que les fluctuations devitesse sont du mme ordre de grandeur et peuvent tre lies la vitesse moyenne du fluide de la faonsuivante :

    ux uy mduydy

    Cette hypothse, due Prandtl, tire son origine dune analogie avec le libre parcours moyen duneparticule dans la thorie cintique des gaz de Boltzmann. Le coefficient de proportionnalit m in-troduit dans lquation est appel longueur de mlange. La valeur de la longueur de mlange a tdduite exprimentalement. Une difficult dans la dtermination de m est quelle na pas en gnralde caractre intrinsque except dans des rgions sous influence de parois (coulements dits paritaux).

    Figure 5.25 : dlimitation et typologie des zones turbulentes dans un coulement surface libre.

    Ainsi, pour des coulement surface libre dans des canaux droits inclins, il est possible de distin-guer grosso modo trois zones turbulentes :

    prs de la paroi, la turbulence est gnre par la rugosit et des processus internes lis la sous-couche visqueuse ( proximit immdiate de la paroi). Une hypothse usuelle tire dargumentsdimensionnels est de relier la longueur de mlange la profondeur de la manire suivante :

    m = y

    avec la constante de von Krmn ( 0,4). Cette zone stendant sur environ 20 % de lahauteur dcoulement est appele zone logarithmique pour des raisons indiques ci-aprs ;

    prs de la surface libre, la turbulence est fortement influence par la surface libre ; entre les deux interfaces, se trouve une rgion dite intermdiaire o la turbulence rsulte dchanges

    entre les deux zones productrices prcdentes. La valeur de la longueur de mlange dans les deuxrgions suprieures peut tre estime de la manire suivante :

    m h

    avec un paramtre empirique de valeur proche de 0,12.

  • 5.3 Rgime permanent uniforme 103

    Examinons ce qui se passe pour lcoulement prs de la paroi. En rgime permanent uniforme,lquation du mouvement scrit :

    = fg sin (h y) = f(

    ydudy

    )2

    ,

    o fg sin (hy) est la contrainte de cisaillement dduite de lquation de conservation de mouvementen rgime permanent uniforme. En introduisant la vitesse de frottement la paroi

    u =

    p/f =

    gh sin ,

    on obtient :dudy

    =1

    uy

    1 yh.

    En se limitant aux termes du premier ordre en y/h, puis par intgration, on obtient le profil devitesse proximit de la paroi :

    u

    u=

    1

    lny

    y0o y0 est une profondeur laquelle on admet que la vitesse sannule. On trouve donc que le profil desvitesses moyennes est logarithmique. Naturellement, cette expression, valable pour des parois lisses,doit tre corrige si lon veut prendre en compte une rugosit du fond. Pour des surfaces rugueuses,deux types de condition aux limites sont mis en vidence en fonction de la taille typique des grainscomposant la rugosit (ds) et de lpaisseur de la sous-couche visqueuse () :

    les surfaces dites lisses (ds ) ; celles dites rugueuses (ds ).Pour une surface rugueuse, les expriences en conduite indiquent que la distance y0 vrifie : y0 =

    ds/30. Dans ce cas, par intgration du profil des vitesses moyennes, on dduit que la vitesse moyennede lcoulement est :

    u

    u=

    1

    ln30hds

    2,5 ln 11hds

    En pratique, il est souvent commode dexprimer la vitesse moyenne la hauteur dcoulement parlintermdiaire du coefficient de Chzy C :

    u = C

    sin h,

    On obtient par simple comparaison :

    C =g

    ln

    30hds

    7,83 ln 11hds

    Pour une surface plane (en pratique pour des rugosits de surface infrieures 250 mm), lesexpriences montrent que la distance y0 vrifie : y0 /9u. On en dduit que le profil de vitesse prsdune paroi lisse :

    u

    u=

    1

    ln9uye

    Jusqu une poque rcente, une pratique courante consistait extrapoler tout lcoulementlexpression de la longueur de mlange valable la paroi. partir des annes 1960, des termes decorrection ont t rajouts pour tenir compte de la modification de la turbulence loin des parois. Parmiles plus connues, la loi (empirique) de sillage de Coles donne de bons rsultats pour de nombreusesclasses dcoulement. La mthode consiste ajouter la loi logarithmique un terme correctif de laforme suivante :

    u

    u=

    1

    lny

    y0+

    sinz

    2h,

    avec un paramtre dintensit, valant approximativement 0,2 lorsque le nombre de Reynolds Re =uh/ est suprieur 2000 et proche de zro lorsque le nombre de Reynolds est infrieur 500 (pourun canal surface libre). Une autre mthode de correction consiste considrer la variation de lalongueur de mlange en fonction de la profondeur comme cela a t vu plus haut.

  • 104 5. coulement surface libre

    5.3.4 Hauteur normale selon la section dcoulement

    Hauteur normale et courbe de tarage

    La hauteur normale est la profondeur moyenne deau en rgime permanent uniforme.Elle se calcule en galant contrainte paritale et contrainte motrice. Par exemple, si lon applique uneloi de type Manning-Strickler, on obtient une quation implicite pour hn

    Q = hBu = KR2/3HiS,

    (avec S = hB = f(hn) la section dcoulement, B la largeur au miroir, Q le dbit total, h la hauteurmoyenne deau) qui peut se rsoudre explicitement dans le cas dun canal infiniment large (B h,soit RH h) :

    hn =(

    q

    Ki

    )3/5

    ,

    avec q le dbit par unit de largeur. La hauteur normale est une fonction du dbit et de la pente.Elle correspond au tirant deau pour un canal rectangulaire ou un canal infiniment large, mais sendistingue dans les autres cas. pente constante, la relation h = f(q) est appele courbe de tarage oude dbitance. Sa reprsentation graphique se prsente sous la forme dune courbe avec deux branches :

    pour les petits dbits, une augmentation rapide de la hauteur avec le dbit ; quand le dbit dpasse le dbit de plein bord, le cours deau quitte son lit mineur, ce qui se

    traduit par une faible augmentation de la hauteur quand le dbit crot.

    h

    qq

    pb

    i=cte

    Figure 5.26 : courbe de tarage.

    Les gomtries de canaux les plus courantes sont la section trapzodale (en terre pour la navigationet lirrigation), rectangulaire (bton ou maonnerie pour les amnagements hydrauliques), ou circulaire(en bton pour lassainissement pluvial).

    Tableau 5.3 : hauteur, section, primtre mouill pour trois gomtries usuelles.

    type circulaire rectangulaire trapzodal

    h R(1 cos ) h hS R2( sin cos ) Bh (B + b)h/2 2R B + 2h 2h/ cos + b

    Granulomtrie et rsistance lcoulement

    La rsistance lcoulement est en grande partie lie la taille des grains. Par exemple, il existedes formules empiriques donnant le coefficient de Manning-Strickler en fonction de la granulomtrie

  • 5.3 Rgime permanent uniforme 105

    h

    b

    h

    R

    Figure 5.27 : sections usuelles pour des canaux.

    telle que la formule de Meyer-Peter et Mller

    K =26

    d1/690

    ,

    ou bien la formule plus de rcente de Jggi

    K =23,2

    d1/690

    ,

    ou encore celle de Raudkivi

    K =24

    d1/665

    ,

    avec d65 le diamtre des particules tel que 65 % (en poids) des grains du lit aient un diamtre infrieur.

    La morphologie dun chenal varie en fonction de la pente de telle sorte quil y ait un certain quilibreentre la pente (terme gravitaire moteur dans les quations du mouvement), le dbit liquide, et le dbitsolide :

    Pour les rivires (naturelles) de plaine, la sinuosit du lit, la possibilit de migration des mandres,et le dveloppement de structures morphologiques (dunes, bancs de sable) permettent dobtenircet quilibre moyen.

    Pour les rivires torrentielles et les torrents, cet quilibre se manifeste principalement traversun quilibre de la section en travers et il existe une relation entre granulomtrie du lit, capacit detransport, et dbit dominant ; la dissipation dnergie est variable en fonction de la compositiongranulomtrique du lit (plus le lit est grossier, plus la dissipation dnergie est importante) et desstructures morphologiques (distribution rgulire de seuils et de mouilles, antidune). En gnral,les lits composs dlments granulomtriques varis sont pavs (armoring en anglais), cest--dire quil se forme une couche la surface du lit, compose dlments grossiers, offrant unebonne rsistance lrosion et permettant de dissiper suffisamment dnergie. Le pavage estgnralement stable (cest--dire il nest pas affouill par les petites crues), mais il peut tredtruit lors de grosses crues. Pavage et structures morphologiques voluent sans cesse soit parajustement local (petite crue), soit par dstabilisation massive, puis restructuration ; les chellesde temps associes varient fortement :

  • 106 5. coulement surface libre

    Tableau 5.4 : dure moyenne de vie T (en annes) du pavage et des structures morphologiques.

    type T

    pavage 12seuil 2050

    alternance seuil/mouille 1001000

    Limites des relations u(h, )

    La principale difficult dans lapplication des formules de rgime permanent o lon suppose queu = u(h, ) est que pour un certain nombre de rivires, la pente est loin dtre uniforme mme surde petits espaces de longueur. Un exemple typique est donn par les rivires torrentielles avec un litirrgulier fait de seuils et mouilles ( step and pool rivers en anglais) qui

    aux basses eaux montrent une courbe de remous trs irrgulire suivant le relief du lit (importantedissipation dnergie). Dans ce cas, le mouvement moyen nest pas dict par une relation de laforme u(h, ) (succession de rgimes graduellement et rapidement varis) ;

    aux hautes eaux montrent une courbe de remous uniforme qui est plus ou moins parallle laligne moyenne du lit. Dans ce cas, il est possible daboutir une relation u(h, ).

    Pour ce type de rivire, il nest pas possible de trouver une relation univoque u = u(h, ) pour toutesles hauteurs dcoulement. Cette indtermination est aggrave lorsquil y a transport solide car lesformes du fond peuvent changer au cours dune mme crue, ce qui amne un changement de larelation u = u(h, ) pour un bief donn.

    (a)

    (b)

    niveau

    moyendu lit

    Figure 5.28 : forme de la courbe de remous en (a) basses eaux, (b) hautes eaux.

    De mme, le coefficient de rugosit du lit peut varier de faon significative avec le tirant deau pourles raisons suivantes :

    la rugosit du fond et des berges ne sont pas identiques (par exemple cause de la vgtation).Il faut alors employer des mthodes spcifiques pour calculer une rugosit quivalente. Il existeplusieurs de ces mthodes : mthode dEinstein, des parallles confondues, etc.

    si le cours deau dborde de son lit mineur, il va rencontrer une rugosit trs diffrente (terrainsagricoles, routes, obstacles, etc.).

    Le coefficient de Manning-Strickler peut la fois traduire la dissipation dnergie locale, cest--diredue au frottement contre les grains du lit, mais galement une dissipation dnergie plus globale lie la dissipation turbulente. Cette dernire est en partie connecte aux structures morphologiques du lit,qui interagissent avec les grandes structures turbulentes advectes par lcoulement. Au cours dunecrue, les structures morphologiques peuvent voluer fortement, ce qui dans certains cas peut allerjusqu leur destruction (voir figure 5.10). Dans ce cas-l, on assiste une variation trs importantede la rsistance lcoulement ; cela se manifeste par exemple par une modification significative de lavaleur de K au cours de la crue. La figure 5.29 montre un exemple de modification de la valeur ducoefficient de Manning n = 1/K durant une forte crue.

  • 5.3 Rgime permanent uniforme 107

    Figure 5.29 : variation de n = 1/K au cours dune crue.

    Structure morphologique

    Toutes les relations vues prcdemment ne sont valables que pour des cours deau fond fixe et droit.Lorsque le lit prsente des structures morphologiques (comme des dunes), une sinuosit (mandres),et un fond mobile, la rsistance lcoulement peut crotre de faon notable.

    Ainsi lorsquil y a des structures morphologiques de type dune, il faut tenir compte des dissipa-tions supplmentaires induites. La dissipation dnergie due la prsence de ces structures peut treimportante. Elle est due :

    la cration de tourbillons grande chelle au sein du fluide (processus prdominant pour lesdunes) ;

    au remous de la surface libre, avec parfois apparition de ressauts hydrauliques (processus prdo-minant pour les anti-dunes).

    Figure 5.30 : gomtrie simplifie dune dune.

    Pour quantifier ces effets, considrons une alternance de dunes le long du lit, de hauteur carac-tristique a et de longueur L. En premire approximation, on peut admettre que lon peut assimilerla dissipation dnergie induite par les dunes une perte de charge singulire : la dune se comportecomme un rtrcissement de la section dcoulement, suivi dun largissement brusque. laide duneformule de perte de charge pour coulements divergents de type Borda, applique entre les points 1 et2, on trouve :

    H1 = (u1 u2)2

    2g u

    2

    2g

    (a

    h

    )2

    ,

    o est un coefficient de perte de charge. La profondeur deau h est calcule par rapport une lignefictive, qui reprsente laltitude moyenne du fond (reprsente par une ligne fine la figure 5.30). Lavitesse au point 1 est donc : u1 = q/(h a/2) tandis quen 2, on a u2 = q/(h+ a/2).

  • 108 5. coulement surface libre

    Cette perte de charge singulire sajoute la dissipation dnergie par frottement sur le fond

    H2 = LCfRH

    u2

    2g LCf

    h

    u2

    2g,

    avec Cf = f/4 le coefficient de frottement qui peut tre reli, par exemple, au coefficient de Strickler

    p =12Cfu

    2 =g

    K2u2

    R1/3H

    Cf =2g

    K2R1/3H

    ,

    ou bien au coefficient de Chzy

    p =12Cfu

    2 =g

    C2u2 Cf =

    2gC2

    .

    La perte de charge totale est donc

    H = H1 + H2 = u2

    2g

    (a

    h

    )2

    + LCfRH

    u2

    2g,

    On peut calculer un coefficient de frottement quivalent Cf comme tant la somme des pertes decharge locale dues la dune :

    H = CfL

    h

    u2

    2g,

    soit encore

    Cf = Cf + a2

    Lh.

    On peut galement en dduire un coefficient de Chzy equivalent : Ceq. =

    2g/Cf . On en dduit une

    nouvelle loi dcoulement similaire lquation (voir tableau 5.2) obtenue pour un rgime uniformesur fond plat :

    u = C

    Lh

    Lh+ a2C2/(2g)

    sin

    h.

    Ce petit calcul simple permet de montrer que, plus la taille de la dune augmente, plus la vitessemoyenne dcoulement diminue. Il existe des formules empiriques comme celle de Sugio pour des coursdeau naturels (0,1 < d50 < 130 mm) et des canaux (0,2 < ks < 7 mm) :

    u = KR0,54H i0,27,

    avec K = 54 80 pour des dunes, K = 43 pour une rivire mandre. Dautres formules ont tdveloppes, mais elles prsentent peu prs toutes linconvnient de ne fournir que des tendances carles donnes exprimentales sont trs disperses.

  • 5.4 Rgime permanent non-uniforme 109

    5.4 Rgime permanent non-uniforme

    5.4.1 Canal large

    Lquation de remous peut se mettre sous la forme usuelle :

    dhdx

    =jf i

    Fr2 1, (5.10)

    o lon a introduit i = tan et la pente de frottement

    jf =p

    gh cos ,

    et le nombre de FroudeFr =

    ugh cos

    .

    Dans le cas dun canal infiniment large sur faible pente et dune rugosit de type Chzy, on peutgalement la mettre sous la forme suivante dite quation de Bresse :

    dhdx

    = i1 (hn/h)31 (hc/h)3

    , (5.11)

    o lon a pos :

    la hauteur normale hn, qui est solution de lquation p = ghn sin (solution : hn = (q2/(C2i))1/3

    pour un canal infiniment large) ; la hauteur critique hc = (q2/g)1/3.

    Si on choisit une loi de Manning-Strickler, lquation de Bresse scrit alors

    dhdx

    = i1 (hn/h)10/3

    1 (hc/h)3, (5.12)

    avec cette fois-ci hn = (q/(Ki))3/5.

    5.4.2 Canal quelconque

    Pour des canaux quelconques, on peut montrer que la dfinition du nombre de Froude est identique(puisque h = S/B). En revanche lquation de remous est plus complexe car il faut tenir compte desventuelles variations de la largeur au miroir B dans la direction dcoulement ; on montre quonaboutit :

    dhdx

    =1

    gS cos p gS sin hu2B(x)

    Fr2 1=jf i Fr2h/B

    Fr2 1, (5.13)

    avec Fr = u/gh = Q

    B/

    gS3 et h = S/B. Notons que la formule du rgime permanent se dduitde ces quations en prenant h(x) = 0.

    h Dmonstration. La relation de Bernoulli donne

    d

    dx

    (u2

    2g+ h + z

    )

    = jf ,

    avec jf la pente de frottement. Comme u = Q/S et S = Bh, on en dduit :

    d

    dx

    u2

    2g+

    dh

    dx= i jf ,

    ord

    dx

    u2

    2g= 2Q

    2

    2g

    S

    S3= Q

    2

    g

    Bh + hB

    S3= Fr2 B

    h + hB

    B.

    On tire aprs rarrangement

    h(x) =jf i Fr2h/B

    Fr2 1

  • 110 5. coulement surface libre

    5.4.3 Courbes de remous

    En pratique, on cherche rsoudre une quation diffrentielle ordinaire du premier ordre sur uncertain intervalle [0,L] :

    dhdx

    =jf i

    Fr2 1=N(h)D(h)

    = i(hn/h)10/3 1

    (hc/h)3 1

    avec, par exemple dans le cas la loi de Manning-Strickler, jf = u2/(K2h4/3) , hc = 3

    q2/g, et hn =(q/(K

    i))3/5. Cest une quation diffrentielle non linaire du premier ordre. Pour rsoudre cette

    quation diffrentielle, il faut une seule condition aux limites (voir 5.4.5). noter en premier lieu lecomportement quand le numrateur ou le dnominateur sannule :

    quand N = 0 cest le rgime permanent uniforme ;

    quand D = 0 la tangente de la courbe h(x) est verticale : variation brutale de hauteur deau.On est alors en dehors du cadre de nos hypothses... Lorsque Fr = 1, lcoulement ne peut tredcrit par lquation de la courbe de remous.

    Asymptotiquement pour x suffisamment grand, on a h(x) hn. Si la longueur de lintervalle estsuffisamment grande, on doit donc trouver que que la hauteur tend vers la hauteur normale. Commele montre la figure 5.31, la forme de la solution dpend du signe de N et D ainsi que de la position dela condition aux limites (ici place laval) vis--vis des hauteurs normale et critique hn et hc.

    Figure 5.31 : comportement de la solution de lquation de la courbe de remous en fonction de la positionde la condition aux limites vis--vis de hn et hc.

    noter enfin que la courbe h(x) tend toujours vers hn, mais si elle rencontre h = hc, un ressauthydraulique (ou bien une chute) se produit. Le passage transcritique produit une discontinuit de lasolution. Il faut alors recourir une rsolution de lquation de part et dautre de la discontinuit(ressaut ou chute), et relier les deux arcs de solution par une relation de conjugaison (voir 5.5.2)ou un calcul de charge hydraulique au voisinage de la singularit (voir 5.5.4). Pour les solutionscontinues, on peut proposer une classification de la forme des courbes de remous (voir 5.4.4).

  • 5.4 Rgime permanent non-uniforme 111

    5.4.4 Classification des rgimes dcoulement

    Auparavant on oprait une classification des courbes de remous en fonction des valeurs respectivesde h, hn, et hc. Quand la pente est positive (i > 0), on a :

    profil de type M ( mild ) pour pente douce quand hn > hc ; profil de type S ( steep ) pour pente forte quand hn < hc.

    Il faut ajouter les profils critiques C quand h = hc. Lorsque la pente est nulle, la hauteur normaledevient infinie, la courbe de remous devient horizontale ; on parle de profil H. Lorsque la pente estngative, on parle de profil adverse A. Notons quil ny a pas de hauteur normale dans ce cas-l.

    Canaux faible pente : courbes M1M3

    Ce sont les courbes observes pour un canal descendant (i > 0) pente faible (hn > hc). Ondistingue trois branches :

    h > hn > hc : la courbe est tangente hn lamont et sa tangente devient horizontale laval.On rencontre ce type de courbe lamont dun barrage, dun lac, ou dun obstacle. Le profil estcroissant (h > 0).

    hn > h > hc : la courbe est tangente hn lamont. Le profil est dcroissant (h < 0). Satangente aurait tendance devenir verticale laval car la courbe de remous croise la hauteurcritique. On rencontre ce type de courbe lamont dune chute ou de toute variation brutale dela pente, o il y a passage dun coulement fluvial torrentiel.

    hn > hc > h : la courbe est tangente hn lamont. Le profil est croissant (h > 0). laval ilse forme un ressaut. On rencontre ce type de profil la sortie dune vanne lorsque la pente duradier laval est faible.

    hc

    hn

    M1

    hc

    hn

    M2

    hc

    hn

    M3

    Figure 5.32 : allure des courbes.

  • 112 5. coulement surface libre

    Canaux forte pente : courbes S1S3

    Ce sont les courbes observes pour un canal descendant (i > 0) pente forte (hn < hc). Ondistingue l encore trois branches :

    h > hc > hn : la courbe est tangente hn laval et sa tangente tendrait devenir verticale lamont car la courbe de remous croise la hauteur critique. On rencontre ce type de courbe laval dun barrage ou dun changement de pente. Le profil est croissant (h > 0).

    hc > h > hn : la courbe est tangente hn laval. Le profil est dcroissant (h < 0). Sa tangenteaurait tendance devenir verticale lamont. On rencontre ce type de courbe laval duneaugmention brutale de la pente, o il y a passage dun coulement fluvial torrentiel, ou bienlors dun largissement brutal de la section dcoulement.

    hc > hn > h : la courbe est tangente hn laval. Le profil est croissant (h > 0). laval il seforme un ressaut. On rencontre ce type de profil la sortie dune vanne dnoye lorsque la pentedu radier laval est forte.

    hc

    hn

    S1

    S2

    S3

    hc

    hn

    hc

    hn

    Figure 5.33 : allure des courbes.

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 113

    5.4.5 Conditions aux limites

    De nos jours, on rsout numriquement lquation de remous. Comme il sagit dune quationdiffrentielle du premier ordre, il suffit de connatre une seule condition aux limites. En pratique, onne peut pas choisir nimporte comment la position amont/aval de cette condition. Elle est fixe par lapossibilit qua linformation de se propager. Par information, il faut comprendre le dplacementdune perturbation de lcoulement, qui se se prsente sous la forme dune petite variation locale dehauteur (intumescence ; voir figure 5.34). Cette perturbation se propage la vitesse u = u c avecc =

    gh la vitesse de propagation des ondes en eau peu profonde. Cette vitesse peut scrire aussi en

    fonction du nombre de Froudeu = u

    gh =

    gh(Fr 1),ce qui montre que pour un rgime supercritique (Fr > 1), les deux vitesses de propagation sont positiveset donc linformation ne se propage que de lamont vers laval alors quen rgime subcritique (Fr < 1),elle se propage dans les deux sens. Cela veut aussi dire quune modification dun coulement en unendroit donn produit une perturbation qui remonte le cours deau et peut donc modifier ce que sepasse lamont.

    Figure 5.34 : propagation dune petite intumescence la vitesse c =

    gh le long de la surface libre duncoulement de vitesse moyenne u.

    En consquence, on retient que :

    pour un rgime subcritique (fluvial), la condition aux limites pourrait en principe tre choisi lamont ou laval, mais en pratique comme ce qui se passe laval se propage vers lamont etmodifie ce qui sy passe, cest une condition aux limites place laval que lon considre ;

    pour un rgime supercritique (torrentiel), il faut placer la condition aux limites lamont.

    Limposition dune condition aux limites dans un cours deau peut se faire laide de singularits ole dbit et/ou la hauteur sont imposs (vanne, seuil, chute).

    En pratique, les coulements fluviaux sont calculs dans la direction inverse de celle de lcoulement(condition la limite laval) tandis quen rgime torrentiel, la condition la limite est place lamont.

    5.5 Courbes de remous et coulement critique

    5.5.1 Hauteur critique et rgimes associs

    La hauteur crot ou dcrot selon le signe respectif du numrateur et du dnominateur dans lqua-tion diffrentielle (5.10), ce qui donne diffrentes formes de courbes de remous (voir figure 5.35). Notonsce point important : lorsque le nombre de Froude prend la valeur 1, le dnominateur est nul et en cepoint la drive devient infinie, ce qui est physiquement impossible. En fait au voisinage de ce point,il se forme

    soit une discontinuit de la surface libre appele ressaut quil faut tudier avec des outils spci-fiques (cf. 5.5.2) lorsquon passe dun rgime super- subcritique ;

  • 114 5. coulement surface libre

    Figure 5.35 : tableau rcapitulatif des courbes.

    soit une chute deau, cest--dire une acclration brutale et un raidissement de la surfacelibre (passage dun seuil par exemple, avec transition dun rgime sub- supercritique).

    La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 sappelle la pente critique et lahauteur critique hc. On distingue deux rgimes selon la valeur du nombre de Froude :

    Fr < 1, rgime sub-critique plus couramment appel rgime fluvial pour lequel on a h > hc ;

    Fr > 1, rgime super-critique plus couramment appel rgime torrentiel pour lequel on a h < hc.

    La hauteur critique tant dfinie comme tant Fr(hc) = 1, on tire que :

    hc =(

    1g cos

    Q2

    B2

    )1/3

    ,

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 115

    Figure 5.36 : quelques exemples des courbes de remous en fonction des amnagements.

    avec Q le dbit total et B la largeur au miroir. Dans le cas dun canal rectangulaire, en introduisantle dbit par unit de largeur q = Q/B, on tire :

    hc =(

    q2

    g cos

    )1/3

    .

    Dans la plupart des ouvrages, le terme cos est omis car la pente est faible et donc cos 1. Le dbitcritique ne dpend pas (fortement) de la pente, mais uniquement du dbit liquide.

  • 116 5. coulement surface libre

    5.5.2 Ressaut hydraulique

    Un ressaut est une variation rapide du niveau deau lors du passage dun coulement supercritique subcritique (voir figure 5.37). Le ressaut stationnaire est le cas le plus frquent : il correspond unevague stationnaire au sein de laquelle le rgime dcoulement passe de supercritique subcritique. Ilexiste aussi des ressauts mobiles. Cest le cas par exemple lors du dferlement de vagues sur une plageou bien lorsque le front dune onde de crue devient trs raide et prend lapparence dun mur deau(voir figure 5.38).

    (a)

    (b)

    coulement

    coulement

    supercritique subcritique

    Figure 5.37 : (a) ressaut sur une rivire au passage dun seuil (Navisence, Zinal, VS). Lors de sa chute aupassage du seuil, leau acclre rapidement et se trouve en rgime supercritique. Dans la cuvette laval duseuil, leau dclre brutalement et il se forme un ressaut, bien visible cause des bulles dair rsultant delentranement dair dans lcoulement. (b) Formation dun ressaut au laboratoire [Gary Parker].

    Au niveau dun ressaut, la courbure de la ligne deau est trop importante et lquation de la courbede remous cesse dtre valable. On utilise alors le thorme de quantit de mouvement de part et dautredu ressaut (sur un volume de contrle) pour simplifier le problme et dduire les caractristiques duressaut. Pour cela on considre un volume de contrle (par unit de largeur) de part et dautre duressaut. Notons que lcoulement va de la gauche vers la droite et il faut se souvenir que dans ce sensdcoulement, un ressaut provoque une augmentation de hauteur, jamais une diminution (en effet leressaut est associ une dissipation dnergie, donc un ralentissement de lcoulement). La trancheamont (resp. aval) est rfrence par lindice 1 (resp. 2). La longueur du volume de contrle est L (voirfigure 5.39).

    On fait les hypothses suivantes

    la pente du fond est ngligeable ; lcoulement est permanent et le dbit par unit de largeur vaut q ; lcoulement est unidirectionnel ; le ressaut est immobile (sa vitesse de dplacement est nulle) ; la pression est hydrostatique loin du ressaut ; le profil de vitesse est uniforme ; le fond est peu rugueux (on peut ngliger la dissipation dnergie due au frottement sur le fond).

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 117

    Figure 5.38 : arrive du front (ressaut mobile) dune crue sur la rivire Zavragia (Tessin) en aot 1987 ; lesdeux clichs sont pris 15 mn dintervalle [T. Venzin].

    On considre un volume de contrle dont les frontires englobent le ressaut.

    Lquation de continuit donne : u1h1 = u2h2 = q. Lquation de quantit de mouvement

    V

    u(u n)dS =

    V

    gdV

    V

    pndS +

    V

    T ndS

    projete le long de la direction dcoulement donne :

    q(u2 u1) = Lp +12g(h21 h22).

  • 118 5. coulement surface libre

    (a)

    (b)

    Figure 5.39 : (a) simulation dun ressaut au laboratoire [Joris Heyman]. Les segments lumineux sont la tracede particules claires par une tranche laser lorsquon prend une photographie sur un temps suffisamment long.Ils renseignent sur la distribution des vitesses. Notamment on note que le ressaut se traduit par un brassagetrs important et lapparition de zones de forte vorticit, qui provoquent une forte dissipation dnergie. (b)Schmatisation dun ressaut. La variation brutale du niveau deau sur une courte est remplace par unediscontinu de la hauteur deau (et de la vitesse). Le cadre tiret vert de longueur L reprsente le volume decontrle considr dans les calculs de conservation de la quantit de mouvement.

    On suppose que lon connat les conditions lamont et on veut dduire ce qui se passe laval. Quandon peut ngliger le frottement p, on tire :

    h2h1

    =12

    (

    1 + 8Fr21 1)

    . (5.14)

    La figure 5.40 montre que le rapport h2/h1 varie de faon peu prs linaire avec le nombre deFroude amont Fr1.

    Lquation (5.14) sappelle quation de conjugaison et les hauteurs h1 et h2 sont dites conjugues.La perte de charge associe scrit :

    H = H2 H1 = h2 h1 +u22 u21

    2g=

    (h2 h1)34h1h2

    = h1

    (

    1 + 8Fr21 3)3

    16(

    1 + 8Fr21 1) . (5.15)

    La longueur du ressaut nest en gnral pas trs leve, ce qui permet de justifier notre approximation.Exprimentalement on trouve que :

    L

    h1= 160 tanh

    Fr20

    12,

    pour 2 < Fr < 16.

    Parmi les applications importantes des formules du ressaut, on peut par exemple citer le dimen-sionnement des bassins damortissement placs au pied des vacuateurs de crue. La figure 5.41 montre

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 119

    1 2 3 4 5

    Fr1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    h 2/h

    1

    Figure 5.40 : variation du rapport h2/h1 en fonction du nombre de Froude.

    le ressaut form au pied du barrage de Grangent (France) lors du passage dune crue. Il est importantde bien dimensionner le bassin pour dissiper le plus possible dnergie. La perte de charge (dissipationlocale due la turbulence trs importante au sein du ressaut) peut tre estime laide de la formule(5.15) .

    Figure 5.41 : crue de la Loire de novembre 2008 et passage de la crue au niveau de lvacuateur de crue dubarrage de Grangent. Source : DIREN.

  • 120 5. coulement surface libre

    5.5.3 Conjugaison dune courbe de remous

    Principe

    Les ressauts hydrauliques stationnaires sont souvent observs au pied damnagements hydrauliquestels que les vacuateurs de crue des barrages ou les seuils. La figure 5.42 montre un ressaut au pied duseuil, qui sert alimenter le laboratoire dhydraulique Saint-Anthony Falls (SAFL) Minneapolis. Enmodlisation hydraulique, il est souvent considr que de tels amnagements sont des points singuliersou singularit : la longueur de lamnagement est trs petite par rapport la longueur caractristiquedu bief tudi que lon peut la considrer nulle ; la courbe de remous nest alors pas calcule car cestjuste un point, dont la position concide avec la position de lamnagement. Dans un tel cas, la positiondu ressaut hydraulique est donc trs simple tablir. Cela nest toutefois pas toujours le cas.

    Figure 5.42 : ressaut hydraulique stationnaire sur le Mississippi au pied du seuil du Saint-Falls Laboratoryde Minneapolis (tats-Unis). Source : www.thefullwiki.org/Hydraulic_jump.

    En effet, lorsque les conditions hydrauliques varient doucement et se caractrisent par le passagedun rgime supercritique un rgime subcritique, il se forme un ressaut, dont la position nest pas apriori fixe par une singularit. Pour dterminer la position du ressaut, il faut appliquer la mthodedite de conjugaison . Cette mthode repose en effet sur lquation de conjugaison (5.14). Cettequation fournit les hauteurs de part et dautre du ressaut, h2 (hauteur aval) et h1 (hauteur amont).Chacune de ces hauteurs doit galement se trouver sur la courbe de remous : comme le montre lafigure 5.43(a), les points B (hauteur h1) et C (hauteur h2) localisent le ressaut hydraulique, quiapparat comme discontinuit. La branche AB est la courbe de remous du rgime supercritique (ellese calcule en rsolvant (5.10) avec une condition la limite en A) ; la branche CD est la courbe deremous du rgime subcritique (elle se calcule en rsolvant (5.10), qui se rsout avec une condition lalimite en D). Positionner le ressaut cest donc positionner le segment vertical BC de telle sorte que lahauteur hD vrifie la courbe de remous de la branche subcritique et que la hauteur hC fasse de mmepour la branche supercritique.

    Ce problme peut se rsoudre simplement en traant la conjugue dune des branches et en cher-chant son intersection avec lautre branche. Par exemple, comme le montre la figure 5.43(b), admettonsque lon ait calcul la courbe de remous subcritique h = h2(x) partant du point D en rsolvant (5.10) ;on peut calculer la courbe conjugue DE h = h1(x) (le prime dsignant la hauteur conjugue) en seservant de (5.14) :

    h2h1

    =12

    (

    1 + 8Fr21 1)

    (5.16)

    avec Fr1 = q/

    gh31 . Lintersection de la courbe conjugue h = h

    1(x) avec la branche supercritique

    h = h1(x) se fait au point B. Comme ce point appartient la courbe de remous supercritique et quilvrifie la relation de conjugaison (5.14), il nous fournit la position du ressaut.

    On aurait pu procder avec lautre branche, ce qui conduit strictement au mme rsultat. Il fautnoter au passage que cest mme une stratgie plus efficace car on note que dans la prcdente mthode,linconnue h1(x) apparat la fois dans le dnominateur du membre de gauche et dans la dfinitiondu nombre de Froude, ce qui demande un peu plus de travail numrique pour trouver la solution.

    http://www.thefullwiki.org/Hydraulic_jump

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 121

    (a)ressaut rgime subcritiquergime supercritique

    courbe de remous aval, q. (5.10) avec Fr < 1courbe de remous amont,

    q. (5.10) avec Fr > 1

    b

    b

    b

    bA

    B

    C

    D

    h(x)

    x

    (b)par lq. (5.13)

    h1(x)

    b

    b

    bA

    B

    D

    h(x)

    x

    h2(x)

    h1

    conjugue de h2(x)

    intersection de la conjugue et de h1(x)

    b D

    Eb

    Figure 5.43 : (a) ressaut stationnaire entre deux courbes de remous, lune en rgime subcritique laval,lautre en rgime supercritique lamont. (b) Principe de calcul de la position du ressaut laide de la courbeconjugue.

    Exemple de conjugaison dune courbe de remous

    On considre un amnagement compos :

    dun rservoir avec une vanne de 2 mtre de hauteur laissant passer un dbit q = 10 m2/s en O ;

    dun coursier en pente raide (i1 = 5 %) et moyennement rugueux (coefficient de Chzy C =50 m1/2 s1), dune longueur de 10 m entre O et A ;

    dun canal de pente douce (i1 = 0,2 %) et de mme rugosit rugueux que le coursier C =50 m1/2 s1, dune longueur de 1000 m entre A et B ;

    dun seuil dune pelle p = 0,5 m en B.

    Le coursier et le canal sont trs larges.

    O AB

    p

    5 % 0,2 %

    D

    Figure 5.44 : amnagement tudi (chelle de longueur non respecte).

    On souhaite calculer la courbe de remous et notamment la position et les caractristiques duressaut. Pour cela on calcule les caractristiques de lcoulement :

    pour le coursier, on est en rgime supercritique (torrentiel) : hn = 0,92 m, Fr0 = 1,12, Frn = 3,6 ;

    pour le canal, on est en rgime subcritique (fluvial) : hn = 2,71 m, Frn = 0,71.

  • 122 5. coulement surface libre

    Pour lensemble de lamnagement, la hauteur critique est la mme et vaut :

    hc =3

    q2

    g= 2,17 [m],

    Connaissant la hauteur dcoulement lamont du coursier (h = 2 m), on peut calculer la courbe deremous en rsolvant lquation (5.17) numriquement :

    dhdx

    = i1 (hn/h)31 (hc/h)3

    , (5.17)

    On trouve quen A, la hauteur vaut hA = 1,54 m. On peut ensuite commencer intgrer lquation(5.17) pour le canal. Sans surprise, on trouve quil y a une transition critique au point C. On trouvenumriquement xC = 90 m. Pour calculer la position du ressaut, on commence par calculer lautrebranche reliant le point C lexutoire B. Au niveau du seuil le dbit est contrl par la hauteurde p :

    q =g

    (23

    (H p))3/2

    [m2/s],

    ce qui implique que la charge totale H doit sadapter lamont du seuil pour laisser transiter le dbitq. On trouve quau voisinage de B, la charge H doit valoir H = 3,73 m, do lon dduit que la hauteuravant le seuil doit tre de hB = 3,25 m. On calcule alors la courbe de remous entre A et B en rsolvantlquation (5.17) avec la condition laval h = hB en B.

    La position du front est trouve en recherchant lintersection de la courbe conjugue (trace entiret sur la figure) de la courbe de remous AC avec la courbe de remous manant de D. On trouve quelintersection se fait en D de coordonne : xD = 24 m. On relie les deux courbes de remous manant deA et celle venant de B en considrant quelle se rejoignent au point D et quen ce point elles subissentun saut reprsent par le segment DD sur la figure 5.45.

    0 50 100 150 200

    x

    1.5

    1.75

    2

    2.25

    2.5

    2.75

    3

    3.25

    h

    O

    A

    D

    D

    C

    Figure 5.45 : courbes de remous : solution donne par lquation (5.11) (courbe continue), courbe conjugue(trait discontinue), et position du ressaut (courbe en gras).

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 123

    1. On commence par calculer les caractristiques hydrauliques dans les deux biefs.

    In[19]:= q = 10;

    Ch = 50;

    i1 = 0.05;

    hn1 = Hq ChSqrt@i1DL^H23L

    Frn = q hn1^1.5Sqrt@9.81D

    hc = Hq^29.81L^H1 3L

    Fr1 = q 2^1.5Sqrt@9.81D

    Out[22]= 0.928318

    Out[23]= 3.56961

    Out[24]= 2.16825

    Out[25]= 1.12881

    In[26]:= i2 = 0.002;

    hn2 = Hq ChSqrt@i2DL^H23L

    Fr2 = q hn2^1.5Sqrt@9.81D

    Out[27]= 2.71442

    Out[28]= 0.713922

    exemple.nb 1

    2. On calcule la ligne deau dans le bief OA. On note que la hauteur en A vaut 1,54 m, donc elleest suprieure la hauteur normale, mais infrieure la hauteur critique, ce qui veut dire quenA lcoulement est toujours supercritique.

    In[14]:= eqn1 = NDSolve@

    8h'@xD i1 H1 Hhn1h@xDL^3LH1 Hhch@xDL^3L, h@0D 2

  • 124 5. coulement surface libre

    In[20]:= eqn2 = NDSolve@

    8h'@xD i2 H1 Hhn2h@xDL^3LH1 Hhch@xDL^3L, h@10D hs

  • 5.5 Courbes de remous et coulement critique 125

    In[48]:= p = 0.5;

    g = 9.81;

    Hf = HqL^H23L32g^H13L + p N

    sol = h . Solve@h + Hq hL^22g Hf, hD

    q sol@@3DD^1.5Sqrt@gD

    Out[50]= 3.75238

    Out[51]= 81.03212, 1.50644, 3.27807

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