Nouvelle Miithode de Mesure de la Visibilitk de la Modulation Spectrale pour de Grandes Diffiirences de Marche

CLAUDE DELISLE ET MICHEL BROCHU Laboratoire de Recherches en Optique et Laser, Departement de Physique, Faculti des Sciences,

Unioersite Laual, Quebec lo, Quibec

R e ~ u le 20 mars 1972

On decrit une nouvelle methode pour determiner la visibilite de la modulation spectrale dans une expe- rience d'interfkrometrie en lumiere blanche. Essentieliement, on mesure le rapport de I'intensite totale et de la somme des intensites de chacun des deux faisceaux a la sortie d'un systeme compose de deux inter- ferometres en serie. Contrairement a la f a ~ o n de proceder anterieure, la methode est valable pour des differences de marche arbitrairement longues. En pratique, la methode a ete essaybe pour une difference de marche allant jusqu'a 23 cm, limite imposee par la course maximum du miroir mobile de I'interferometre. L'experience montre que la visibilite de la modulation spectrale d'une source de lumiere blanche demeure tres elevee pour une difference de marche aussi grande que 23 cm.

A novel method for determining the visibility of the spectral modulation in a white light interference experiment is described. Essentially, one measures the ratio of the total intensity to the sum of the intensities of the individual beams at the exit of a system composed of two interferometers in series. Contrary to the usual method, the novel one is applicable to any path difference. In practice, the method has been tried for a path difference up to 23 cm. This limit has been imposed by the maximum displacement of the movable mirror of the interferometer. The experiment shows that the visibility of the spectral modulation of a white light source is still very high for a path difference as large as 23 cm.

Canadian Journal of Physics. 50, 1993 (1972)

1. Introduction Plusieurs auteurs (Alford et Gold 1958;

Givens 1961 ; Mandel 1962; Baczynski et Oster 1965; Delisle et St-Arnaud 1970; St-Arnaud et Delisle 1970; Delisle, Brochu et St-Arnaud 197 1) ont trait6 du probleme de la modulation de forme cosinusoidale qui apparait dans le spectre lorsqu'on superpose d e w signaux dont l'un accuse un retard par rapport a l'autre. Les auteurs du present article s'interessent en par- ticulier a la mesure de la visibilite de cette modulation spectrale en fonction de la difference de marche entre deux faisceaux qui interferent. Les premieres mesures experimentales rappor- tees dans la litttrature (Baczynski et Oster 1965; St-Arnaud et Delisle 1970) indiquent que la

- - visibilire decroit lo~squ'on augmente la diffe-

rence de marche. Delisle, Brochu et St-Arnaud (1971) ont cependant prouve par la suite que la decroissance de la visibilite est directement like aux parametres d'appareil tels que la largeur des fentes et la resolution du spectro- metre. Ces derniers auteurs concluent que la visibilite theorique demeure elevee pour des differences de marche aussi grandes qu'une dizaine de millimetres environ. I1 est a noter

qu'en lumiere blanche, on n'observe plus de franges d'interference pour une difference de marche superieure a quelques microns.

Moyennant un spectrometre de plus grande resolution et certains raffinements experimen- taux, il est Cvidemment possible de mesurer la visibilite de la modulation spectrale a des diffe- rences de marche plus grandes que le centimetre. Toutefois, la methode utiliske dans le passe possede des limitations et ne peut permettre d'atteindre des differences de marche tres elevkes. En effet, le monochromateur ou spec- trometre qui sert a ttaler le spectre possede un pouvoir de resolution ;1/A;1= nN (Sawyer 1963) limite. ;1 est la longueur d'onde, n l'ordre spectral et N le nombre de traits du reseau. Par ailleurs, la periode de la modulation spectrale (eq. 1) est de A 1 = ;L2/cT ou CT est la difference de marche dans l'interfkrometre et c la vitesse de la lumikre. On en deduit, dans le cas de Delisle, Brochu et St-Arnaud par exemple, qui se sont servi d'un reseau concave de 80000 traits, que la difference de marche maximale theoriquement possible dans le premier ordre, est de cT = n l N - 40 mm. Si l'on tient compte en plus de la largeur des fentes d'entree et de

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detection du spectrometre, on peut difficilement penser determiner par cette methode la visibilite de la modulation spectrale a des differences de marche de l'ordre du metre par exemple.

Pour contourner les difficultes inhkrentes a la methode qui fait appel a un instrument dis- persif, il faut imaginer une methode qui ne fasse plus intervenir cette partie du montage. C'est prkcisement le but du present article de decrire une mkthode qui permette de detecter la presence d'une modulation cosinusoi'dale dans le spectre d'une source pour des differences de marche arbitrairement longues.

On presente Cgalement une verification expe- rimentale de la mkthode. En l'occurence, nous avons mesure la visibilite de la modulation spectrale d'une source de lumiere blanche pour

une difference de marche allant jusqu'ii 23 cm, soit la limite imposee par l'interferometre.

2. Theorie Lorsqu'un faisceau parallele de lumiere

blanche traverse un interferometre de Michel- son, le faisceau incident est partage en deux faisceaux d'intensite moyenne I, et q. Ces derniers, apres avoir parcouru une distance genkralement differente dans les bras de l'inter- ferometre, se recombinent pour donner a la sortie de l'interferometre un faisceau d'intensite moyenne I,. Si l'on appelle 4,, ( v ) et $,,(v) la densite spectrale normaliske des faisceaux avant interference [4 , , ( v ) = 4,,(~)], la densite spec- trale I,+,,(v) a la sortie de l'interferometre est donnte par (Mandel 1962)

111 i34,,(v) = [I , + i2 + + ( i ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( o ) C~~ 2 n \ 1 ~ 4 1 1 ( 1 ~ )

v est la frequence; y12(0) est le degre de coherence partielle a une difference de marche nulle. Considkrons en premier lieu l'intensite moyenne I, a la sortie de l'interferometre dans le cas

oh la difference de marche cT est de beaucoup superieure a la longueur de coherence clAv. On pose par hypothese que la distribution spectrale 4,, (v) est de largeur Av. Si l'on integre I'Cq. 1 sur toutes les frequences, le terme contenant le facteur cos 2nvT s'annule a la condition que 4,,(r?) soit a peu pres constant dans un intervalle de frequence de l'ordre de 1/T. On obtient alors (Mandel 1962)

121 i3 = 6 + i2 L'kquation 2 indique que l'intensite moyenne 4 a la sortie de l'interferometre est independante de la difference de marche lorsque T>> I/Av. On trouve de plus que le rapport R, entre l'intensite moyenne I , a la sortie de l'interferometre et la somme des intensitts moyennes (6 + 6) de chacun des faisceaux est egal ii l'unite.

[31 R~ =i3/(~ +&I= I

Imaginons maintenant qu'on dirige le faisceau qui sort de l'interferometre vers un second interferometre en tout point semblable au premier. La densite spectrale normalisee i l'entrke du second interferometre est donc donnee par 4,,(v) qui en raison de [l] et [2] prend la forme

Soit I, et & les intensitts moyennes des deux faisceaux qui interferent dans le second interferometre de m&me que & et 4,,(v) l'intensite moyenne et la densite spectrale normalisee a la sortie du second interferornetre. Lorsque la difference de marche cT dans le second interferometre est identique a la difference de marche dans le premier interferometre, tout comme en [I], on obtient

PI &4,,(~) = [& + & + 2(i4&)112y12(~) cos 27cvT]4,,(~)

ou encore

[6] &j6466(\1)=(&+&) yl2(O) cos 2nvT ][I + ~12(O) cos 2nvT 41l(v) I

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DELlSLE ET BROCHU: NOUVELLE METHODE DE MESURE 1995

Lorsque les deux interferometres se comportent de f a ~ o n identique, par exemple (voir plus loin) lorsqu'on utilise deux fois le meme interferometre, le rapport des intensites dans le second inter- ferometre (I , /&) est egal au rapport des intensites dans le premier interferometre (&/I ,) . L'expres- sion [6] se simplifie alors de la f a ~ o n suivante:

Apres l'integration de l'eq. 7 sur toutes les frequences, on trouve

Le rapport R, entre l'intensite moyenne & a la sortie du second interferometre et la somme des intensites moyennes & et 17 de chacun des faisceaux donne maintenant

La Fig. 1 montre le graphique de R, en fonction de l'intensite relative I,/& des deux faisceaux du second interferometre dans le cas particulier oh y ,, (0) = 1. La valeur maximum que peut atteindre R, est de 1.5 a la condition que I, = I , et que y,,(O) = 1.

I1 est bon de noter que contrairement a R, le rapport R, (eq. 3) a la sortie du premier interferometre est egal a l'unitk qu'il y ait ou non modulation spectrale.

On peut facilement relier la visibilite de la modulation spectrale V, a la sortie du premier interferometre au rapport R2 a la sortie du second interferometre. En effet si l'on definit

la visibilite (Delisle et St-Arnaud 1970) par

on obtient

[I21 v, = 2(ilI, )l12Y12 (0)

i, + I , Si comme precedemment on pose que les deux interferometres sont identiques, c'est-a-dire que i4/& = i l l&, de [9] et [12] on tire

L'kquation 13 indique que tant et aussi longtemps qu'il y aura modulation spectrale totale a la sortie du premier interferometre, le rapport R, sera different de l'unite. L'etude du rapport R, en fonction de la difference de marche permet par consequent de verifier, du moins en principe, la presence d'une modulation du spectre d'une source quelconque pour des differences de marche arbitrairement longues.

On peut egalement calculer la visibilite de la modulation spectrale V, a la sortie du second interferometre auquel on aboute un spectro- metre. En effet, de [7] et [lo] oh maintenant A = &+,,(v)/4,, ( v ) on obtient facilement

o ZO 40 60 80 ' ,do De [12] et [14] on peut ecrire V2 en fonction io /i I%I - de V,

FIG. 1. Graphique du rapport des intensites i la sortie du second interfkrometre R, = ic l (L + i < I en fonction du [I5] Vz = 2V1/(1 + V:)

-, . - - , rapport i4/I;. i4 et I; sont les intensites detectees a la sortie du second interferometre lorsque les miroirs de ce dernier La Fig. 2 montre les graphiques de R, et V2 en sont masques i tour de r6le. I;, est I'intensite recueiilie en fonction de V,. Cette derniere figure indique presence des deux faisceaux. que le comportement de R, en fonction de la

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1996 CANADIAN J O U R N A L OF PHYSICS VOL 50. 1972

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- 0 8 w LONGUEUR D ONDE i i i n

' 0 6 - -0 6

-0 4

- 0 2

"1 - FIG 2 Graph~ques du rapport des lntensltes R2 =&/

(& + 7;) et de la vls~bllltC V, a la sortie du second Inter- feromttre en fonctlon de la vls~b~ll te V, ii la sortle du premler lnterfkrometre Ces d e w courbes referent respec- tlvement aux Cqs 13 et 15.

difference de marche permet de determiner la visibilite de la modulation spectrale a la sortie - du premier interfkrometre. I1 convient de noter que les visibilites V, et V, dont il est question a w eqs. 13 et 15 sont les visibilites definies aux i q s 2 et 1 4 Ces derniPres, qui a n t des visi-

LONGUEUR DONDE l i l bilitks theoriques, que I'on obtlendrait au moyen 6'2e

d'un s~ectrOmetre a ne FIG. 3 Enreglstrement de la modulation spectrale ii la

pas en general egales aux visibilites qui ont ete sortle du second interfkromttre (a) lorsque I'un des mirolrs mesurees dans les experiences anteckdentes du second ~nterferometre est masque, (b) lorsque I'autre ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ k i et aster 1965; ~ t - ~ ~ ~ ~ ~ d et ~ ~ l i ~ l ~ mrolr est masque a son tour, (c) lorsque les d e w falsceaux

sont presents Les enreglstrements ((1) et (b) sont de la forme 1970). il a demontre coslnus tandls que I'enregistrement (c) est de la forme cosl- (Delisle er a'. 197l) qu'il y a correspondance nus carre La dlfirence de marche dans Ies ~nterfkrometres entre la visibilite thkorique corrigke, c'est-a-dire est de 15 mlcrons celle qui tient compte des parametres d'appareil, et la visibilite mesurte lors de ces experiences. par centre, la dkcrite dans le prksent sont deux exemples de distributions spectrales

article, visibilitks theoriques ideales d'une source de lumiere blanche ri la sortie du

que obtiendrait d'un syst&me r~solution premier interferometre a une difference de

infinie. marche de 15 microns. L'enregistrement (c)

L~ graphique de R, en fonction de V, montre montre le spectre de la meme source ri la sortie

que R, croit rapidement en fonction de V , pour du second interfirornetre. Conformement a - - fes valeurs de -V, voisines de La mesure 4 la modulation qu'on volt en ( u ) et (b) de

de R, constitue par consequent un excellent la Fig. 3 est de forme cosinusoidale. Par ailleurs,

moyen pour dkterminer la visibilite de la la forme de la modulation a la sortie du second

modulation du spectre pour les de V, interferomktre (Fig. 3c) est de la forme cos2 s

voisines de llunitC. De plus, la Flg. 1 montre que en conformiti: avec l'lq. 7. R, differe peu de la maximale dans le En realite, les trois enregistrements de la

cas de faisceaux I, et dent le rapport differe Fig. 3 ont etC obtenus dans le plan d'observation

sensiblement de llunitg,, ce qui slavere un d'un spectrometre a reseau concave aboute au

avantage additionnel. second interferometre. Les courbes ( a ) et (b) proviennent des spectres obtenus a la sortie du

3. Wksultats expkrimentaux second interfkrometre lorsque I'un et l'autre des Les enregistrements ( a ) et (b) de la Fig. 3 deux miroirs du second interferometre sont

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MlROlR MOBILE

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PHOTOMULTIPLICATRICE (POSITION 8 1

FENTE

''0 Z 4 6 8 0 l Z 14 16 PHDTOMULTIPLICATRICE

D I F F ~ E N C E DE MARCHE I cm 1 (POSITION A 1

FIG. 4. Graphique du rapport des intensites R, = &/ ERCLE DE ROWLAND

( I ; + i5) a la sortie du second interferometre en fonction de la diffkrence de marche unique dans les deux interfero- metres, La thtorie est represent& par le trait plein et les FIG. 5. Schema du montage experimental. Un faisceau resultats exptrirnentaux par les points. parallele de lumiere blanche passe a deux reprises dans un

mCme interferomttre de Michelson. Le premier passage est indique par une fltche a simple pointe et le second par une flechk a double pointe. ~ ~ r e s le double passage dans I'inter- masques a de "Ie. Le 'pectre dans ces fhromktre. le faisceau, represent6 par une fltche triple

conditions est identique au spectre a la sortie pointe, traverse un spectrornttre rkseau concave dispost du premier interferometre. La courbe (c) par suivant le montage de Rowland. La photomultiplicatrice ailleurs montre le spectre obtenu lorsque les peut occuper deux positions, A ou B, suivant qu'il s'agit de

deux faisceaux du second interferometre sent la nouvelle ou de I'ancienne rnkthode de mesure de la visibilitk de la modulation spectrale. presents. En d'autres termes, les enregistrements

(a), (b) et (c) correspondent respectivement aux densites spectrales i44,, (v ), i 5 4,, ( v ) et & 4 6 6 (v). precedents fait appel deux interfkrometres en

On rkalise aiskment que conformement a la ,erie c'est-a-dire aboutes l'un a 1lautre, L~~ theorie le signal & est de beaucoup superieur miroirs mobiles de ,-hacun de ces interfkro- aux s ignau et provenant respectivement metres doivent &tre places de facon a de l'un et I'autre miroir du second interfero- une difference de marc-,e identique entre les metre. On obtient I,, et &, par integration sur faisceaux respectifs qui parcourent ces inter- les frequences des enregistrements (a) , (b) et (c) ferometres. De plus, pour simplifier les calculs de la Fig. 3. Cette operation d'integration est theoriques on a pose par hypothise que les equivalente a placer le photomultiplicateur rapports I , I I , et i41& sent egaux, pour ces derriere la fente d'entree du spectrometre (posi- differentes raisons, il semble preferable d'utiliser tion A du photomultiplicateur ri la Fig. 5). le mEme interferometre une seconde fois plut8t

La Fig. 4 montre la valeur de R, en fonction que d7en faire intervenir un second. L~ ~ i ~ . 5 de la difference de marche. Les signaux et & montre un du montage incluant le ayant sensiblement la mEme valeur, Rz est spectrometre. Ce dernier appareil a kt6 utilisk theoriquement voisin de 1.5 (voir Fig. 1 ) lorsque uniquement pour verifier la forme de la modu- la visibilite de la modulation spectrale V, A la lation spectrale la sortie du premier inter- sortie du premier interferometre est maximum fkrometre de m ~ m e qulg la sortie du second.

. - (eq. l3). -On intefprete par le fait Dans ce dernier cas, le detecteur est place en B que~R;exp~rimental demeure sensiblement egal tel qulindique sur la ~ i ~ , 5, E~ fait, le spectra- a 1.5 pour une difference de marche variant de ,itre nlintervient aucunement dans la methode 0 ri 23 cm comme signifiant que pour de telles decrite dans cet article. differences de marche il y a modulation com- L~ detail de l'interferometre double passe plete du spectre ( V I - l ) d'une de est montri: la Fig. 6. L'interferometre est lumiere blanche a la sortie du premier inter- divise en dew moities dent lTune sert pour le ferometre. premier passage de la lumiere et l'autre pour

le second. Les fleches a simple, double ou triple 4. Montage expkrimental et prkcautions pointes indiquent que la lumiere passe pour la

d'usage premiere ou la seconde fois dans I'interfero- La methode decrite dans les paragraphes metre ou en est sortie apres deux passages. Le

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MlROlR MOBILE

COMPENSATRICE MASQUE

M A S Q U E MlROlR ORIENTABLE

FIG. 6. Detail du montage experimental montrk a la Fig. 5. Le faisceau parallele de lumiere blanche penetre par le haut, fleche a simple pointe, pour sortir vers la gauche, fleche a triple pointes, apres double passage dans I'inter- feromttre. Le second passage dans I'interferometre est montre par une fleche a double pointe. Les masques peuvent se deplacer parallelement aux miroirs afin de bloquer i volonti. I'un ou I'autre des faisceaux. Deux micromttres d'ajustement fin sont montrts derriere le miroir orientable.

Nous avons decrit dans cet article une methode de mesure indirecte de la visibilite de la modulation s~jectrale qui est basee sur le rapport entre l'intensite totale, d'une part, et la somme des intensites, d'autre part, de chacun des faisceaux a la sortie du second interfero- metre d'un ensemble compose de deux inter- ferometres en serie. En principe, cette derniere methode, contrairement a la methode utilisee auparavant, peut servir pour des differences de marche arbitrairement longues.

Sur le plan experimental, on observe que la visibilite de la modulation spectrale d'une source de lumiere blanche se conserve pour une difference de marche allant jusqu'a 23 cm. Cette derniere limite correspond au deplace- ment maximum du miroir mobile de l'inter- ferometre.

On tente presentement de modifier le montage experimental de faqon a pouvoir atteindre des differences de marche beaucoup plus grandes.

Remerciements Ce travail a ete rendu possible g r k e a des

mOntre quatre masques se subventions du Conseil national de recherches deplacer transversalement au faisceau de lu- du Canada. L'un des auteurs (M.B.) a de plus mitre parallele. Ce jeu de masques sert a etudier beneficit: d,une bourse de la Province de Quebec. le comportement individuel de chacun des Tous nos remerciements au Dr. Andrzej Zar- faisceaux qui traversent les interferometres. decki pour ses judicieuses remarques.

5. Conclusion Les experiences antecedentes (Baczynski et

Oster 1965; Delisle et St-Arnaud 1970; Delisle, Brochu et St-Arnaud 197 1) dkmontrent que les methodes employees pour mesurer la visibilite de la modulation spectrale dans une experience d'interferometrie en lumiere blanche peuvent difficilement ?tre utilisees au dela d'une diffe- rence de marche de l'ordre du centimetre. Delisle, Brochu et St-Arnaud (1971) ont cepen-

. - -- dant prouve l'existence de la modulation spec- trale pour de telles differences de marche.

ALFORD, W. P. et GOLD, A. 1958. Am. J. Phys. 26,481. BACZYNSKI, A. et OSTER, G. 1965. J. Opt. Soc. Am. 55, 1325. DELISLE, C. et ST-ARNAUD, J. M. 1970. Can. J. Phys. 48,

1214. DELISLE, C., BROCHU, M. et ST-ARNAUD, J. M. 1971. Can.

J. Phys. 49, 2237. GIVENS, M. P. 1961. J. Opt. Soc. Am. 51, 1030. MANDEL, L. 1962. J. Opt. Soc. Am. 52, 1335. ST-ARNAUD, J. M. et DELISLE, C. 1970. Can. J. Phys. 48,

21 12. SAWYER, R. A. 1963. Experimental spectroscopy (Dover,

New York).

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