Números Reales

Profesor: Javier Trigoso Página 1

NÚMEROS REALES

Indicadores Identifica las propiedades de los números reales,

determinando el valor de verdad de proposiciones.

Calcula el valor de expresiones algebraicas usando las

propiedades del valor absoluto.

Evalúa y justifica enunciados relacionados con las

propiedades de orden en R.

Contenido 1. Recta numérica real

2. Relación de orden

3. Desigualdad

Ley de Tricotomía

Definiciones Teoremas

4. Intervalos

Clases de intervalos

5. Valor absoluto

Definición

Propiedades

1. RECTA NUMÉRICA REAL

La recta numérica es una recta geométrica; donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace

corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la

recta sólo le corresponde un único número real.

2. RELACIÓN DE ORDEN

El conjunto de los números reales está ordenado, esto significa

que podemos comparar cualesquiera de dos números reales que

no sean iguales mediante desigualdades y decir que uno “es

menor que” o “mayor que” el otro.

Así, si a b R , se tiene:

a b : " a es mayor que b "

a b : " a es menor que b "

a b : " a es mayor o igual que b "

a b : " a es menor o igual que b "

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3. DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números

reales, mediante los símbolos de desigualdad: ; ; ;

Ley de Tricotomía Dados dos números reales a y b; entre ellos solo se puede

establecer una de las siguientes relaciones:

a b ; a b ; a b

Definiciones Dados a, b, c, d R

1. Si a 0 a es positivo

2. Si a 0 a es negativo

3. a b a b a b

4. a b c a b b c

5. a b a b 0

6. a b a b 0

7. Si a b a c b c

8. Si a b c d a c b d

9. Si a b c 0 ac bc

10. Si a b c 0 ac bc

Teoremas básicos de las desigualdades

2

1. Si a b c R a c b c

a.c b.c2. Si a b c 0 a b

c c

a.c b.c3. Si a b c 0 a b

c c

4. a R a 0

0 a b5. 0 a.c b.d

0 c d

6. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0

7. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0

18. a 0 0

a1

9. a 0 0a

10. Si a y b tienen el mis

mo signo :

1 1 1a x b

b x aa

11. Si 0 a.b 0 si b 0ba

12. Si 0 a.b 0 si b 0b

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2 2

113. a 2 ; a R

a1

14. a 2 ; a Ra

15. a b 2ab ; a,b R

…PARA LA CLASE 01. Si 2abcd 0 ; ad 0 ;2bc 0 , ¿cuál de las siguientes

afirmaciones es necesariamente cierta?

A. c < 0 B. c > 0 C. d < 0 D. d > 0

02. Si: a < 0 < b, afirmamos:

I. a2 > ab II. a

1b

III.

1 1

a b

IV. a2 < b2

¿Cuántas son verdaderas?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

03. Si ab < 0; a + c > 0 y bc > a, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones son verdaderas?

I. Si a < 0, entonces bc < 0

II. Si c > 0, entonces b > 0

III. Si abc > 0, entonces a > 0

A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III

04. Si x + y > 0; x.z < 0; y.z > x. ¿Cuáles de las siguientes

afirmaciones son necesariamente ciertas?

I. Si y > 0, entonces z > 0

II. Si x < 0, entonces y.z < 0

III. Si x.y

0z

, entonces x > 0

A. I y III B. I y II C. Solo III D. Solo II

05. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?

I. Si 5x 25 x 5 II. Si x

2 x 63

III. Si x

3 x 55

IV. Si x 1 x 1

V. Si x 4 x 4

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

06. Si x;y;z R / x, y,z 0 entonces podemos afirmar

que:

I. Si x x

z yy z II. Si 2 2x y x y

III. Si 1 1

x yx y

A. Sólo I es falsa B. Sólo II es falsa

C. Sólo III es falsa D. Todas son falsas

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07. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?,

si sabemos que: a < b < 0

I. Si 2

a b x a b x a b

II. Si 2 2a b x a b x a b

III. Si 2 2b a x b a x a b

IV. Si 2 2 2 2a b x a b x 1

V. Si 2 2 2 2a b x a b x 1

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

08. De las siguientes desigualdades; indica la(s) correcta(s):

I. 52 5 II. 10 2 17 11

III. 5 24 3 2 IV. 11 112 11 112 5

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo IV

…PARA LA CASA

01. Dados: x > y > 0, , la desigualdad que no siempre es

verdadera es:

A. x + z > y + z B. x - z > y – z C. xz > yz D. xz2 > yz2

02. Si 2a .b 0 c 0 . Entonces:

A. a < 0 B. a > 0 C. bc < 0 D. bc > 0

03. Para reales afirmamos:

I. Si a b a c b c II. Si a 0 a 0

III. 2

a b 2ab

Son verdaderas:

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Todas

04. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. Si 23 x 5 9 x 25

II. Si 23 x 2 0 x 9

III. Si 23 x 4 0 x 16

A. VVV B. VFV C. FVF D.FFV

05. De los siguientes enunciados, ¿Cuántos son verdaderos?

I. Si 2x 3 2x 3 II. Si 2x 8 x 4

III. Si 12x 24 x 2 IV. Si 3x 9 x 3

V. Si 4x 16 x 4

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

06. Si: 0 < b < 1 < a < 2, señala el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. 3b a II. 2a 2 III. 2b b

A. VFV B. VFF C. VVF D. FVF

07. Si x < 0, y > 0, z > y. ¿Cuáles son verdaderas?

I. z – y > x II. y.z > 0 III. x –1 < y

A. Solo I B. I y III C. I y II D. Todas

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08. Para reales son verdaderas:

I. Si 2a 0 a 0 II. Si a b ac bc

III. Si 1 1

0 a b 0b a

A. Todas B. Solo I C. I y III D. I y II

09. Si a < b; indica cuáles son verdaderas:

I. 2a b

b3

II.

a ba

2

III.

a 2bb

3

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. Todas

10. Si 2w 5

xyzw 0 ; 0 ; 0x yz

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

A. z > 0 B. w > 0 C. x < 0 D. w < 0

11. Si 2 2yz x y

xyz 0 ; 0 ; 0x z

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. y > z II. y < x III. xy < xz

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III

12. Si x, y,z R / x, y,z 0 , entonces podemos

afirmar que:

I. Si yzz

x

y

x

II. Si 22 yxyx

III. Si y

1

x

1yx

A. Solo I es falsa B. Solo II es falsa

C. I y II son falsas D. Todas son falsas

13. Sean a y b dos números; si se tienen las siguientes

proposiciones:

I. Si a

1

b

1ba

II. Si 10

a

25a0a

III. Si 0bcacab0a ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre

verdaderas?

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III

14. Si a < b < 0. Halla el valor de verdad de las siguientes

afirmaciones:

I. b 1 1

a a

II. b b

a b a

III.

2bb

a

III. Si a b 0 a a b a b

A. VVVF B. FVVF C. FVFV D. VFVF

4. INTERVALOS

Los intervalos son sub – conjuntos de los números reales que

sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos

intervalos se representan gráficamente en la recta numérica

real.

Para representar intervalos, se usan habitualmente dos

notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b[ .

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La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en

Francia. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si

uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera

o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del

intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo

mientras que b no.

Clases de intervalos

Intervalo Abierto:

a < x < b

x a, b ó

x ]a, b[

Intervalo Cerrado:

a x b

x [a, b]

Intervalo Semi – abierto o Semi – cerrado:

Por la izquierda:

a < x b

x a, b] ó

x ]a, b]

Por la derecha:

a x < b

x [a, b ó

x [a, b[

Intervalos al infinito

x < a

x ]–, a[

x a

x [a, +[

…PARA LA CLASE

01. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ;

C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibuja sobre la recta real y escribe con

notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

I. A U D II. A ∩ B III. B – C IV. (AUC) - B

a b + –

a b + –

a b + – 1. b

a b + –

a + –

a + –

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02. Si "a" representa un número entre 3 y 7; "b" representa

un número entre 21 y 33, b/a representa un número entre:

A. 7 y 33/7 B. 3 y 11 C. 3 y 7 D. 7 y 11

03. Si x 2;4 ; entonces "2x + 3" pertenece al intervalo:

A. 4;8 B. 7;11

C. 4;8 D. 7;11

04. Si x 3 ; 7 ; entonces

1

3x 1 pertenece al intervalo:

A. 4;8 B. 7;11

C. 1 1

;18 6

D. 1 1

;20 8

05. Si x 3;2 , indica el mayor valor entero en el intervalo

de x2.

A. 3 B. 4 C. 8 D. 9

06. Si

2

3;

2

1x y n;m

2x

5x

. Halla m.n

A. 3/143 B. 13/143 C. 143/3 D. 143/13

07. Si 1 3

x ;4 2

; halla el menor valor de “M” sabiendo que:

x 2M

x 4

A. 1/4 B. 1/5 C. 1/6 D. 1/7

08. Si

10 a 5

2 b 1

2 c 5

, entonces abM

c está comprendido entre:

A. -10 y – 1 B. 2 y 20 C. 2 y 10 E. 1 y 10

…PARA LA CASA

01. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ; D =(-4;-3); E =[-1;4);

F=(-4;3), determina:

I. A U E II. E – F III. D ∩ A

IV. (F -E) U (E - F) V. C ∩ (A –F)

02. Si x 3;5 ; entonces "3x + 6" pertenece al intervalo:

A. 9;21 B. 3;21

C. 3;21 D. 9;21

03. Si 1 3

x ;2 2

, ¿a qué intervalo pertenece 2x + 5?

A. 1;3 B. 6;8

C. 1;3 D. 6;8

04. Si x 1;2 halla el mayor valor entero de x2 + 3

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

05. Si 2x 6 4;4 ; entonces "x" pertenece al intervalo:

A. 2;5 B. 1;5

C. 2;10 D. 1;10

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06. Si x 2 ; 5 ; entonces

1

4x 3 pertenece al intervalo:

A. 5;17 B. 5;17

C. 1 1

;17 5

D. 1 1

;5 17

07. Dado 8 x 10 6 . Calcula a + b, si: 1

a 3x 4 b2

08. A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

09. Si 7;3x , Además

b

1

1x

12

a

1

Indica el valor de “a – b”

A. 12 B. 6 C. 1/12 D. 1/6

10. Si x 11

3 62

. Señala el máximo valor de

2x 4 ; six R

A. 49 B. 64 C. 80 D. 81

11. Si x 1 ; 7 ; entonces

x

2x 1 pertenece al intervalo:

A. 3;8 B.

1 7;

3 15

C. 1 7

;15 3

D. 1 7

;6 16

12. Si a y b son números reales tales que

5 a 7 2 b 6,5 ; entonces a 2b

P3

varía entre:

A. –3 y –2 B. –18 y 3 C. –15 y 2 D. –16 y 6

13. Si 4;2x , Además

x 1 1 1;

3x 8 a b

.Indica el valor de

“a – b”

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

14. Hallar el menor número racional « m » que para cualquier

valor de x 2 ; 4 satisface la siguiente desigualdad

x 3m

x 5

A. -2/3 B. -5/3 C. -1/3 D. 5/3

15. Halla « A + B », si x 1 ; 3 y además

2

x 3A B

x x 16

A. 79/189 B. 17/189 C. 176/89 D. 176/189

5. VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real es su valor después de

quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su

valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor

absoluto es el número opuesto.

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El VALOR ABSOLUTO de un número representa la distancia

del punto a al origen.

"2" está a 2 unidades de cero, y "-2" también está a 2 unidades

de cero. Así que el valor absoluto de 2 es 2, y el valor absoluto

de -2 también es 2. Esto es:

|–2| = 2 ; |2| = 2

Para cada número real “x”, la interpretación de |x| es la

distancia (sin importar la dirección) a la que se encuentra x del

origen.

Definición Si: x R

x ; si x 0x

x ; si x 0

Ejemplos:

|7| = 7 |–3| = –(–3) = 3

2 3 2 3

3 π π 3

Propiedades:

P1.

2x x ; x R

P2.

x 0 ; x R

P3.

22 2x x x ; x R

P4.

x x ; x R

P5. x.y x . y ; x, y R

P6.xx

; x, y R y 0y y

…PARA LA CLASE

01. Efectúa: | 3| |5| | 7 |

M|6| | 1|

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

02. Hallar el valor de: P 2 3 2 1

A. 2 2 4 B. -2 C. 4 D. 2

03. Si 3x + 15 = 0. Determina el valor de x 5

Jx 5

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

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04. Si y > x a además x2 - y2 = 27; x + y = 3.

¿Cuál es el valor de " x - y "?

A. -9 B. 9 C. ± 9 D. Ninguna

05. Si: x -1 ; 4 Calcular: x 5 x 2 1

A. 3 B. 4 C. 8 D. 2x – 2

06. Si x < -1; calcula:- - -

- -

x 2 x 3

x x 1

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

07. Si: x 0 ; 3 Reducir:

|5x 48| |2x 16|

Ex

A. x + 4 B. 7 C. 11 D. 12 + 7/x

…PARA LA CASA

01. Efectúa: | 1| | 2| | 3| | 12|

E|3| | 4| | 1| |1|

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

02. Efectúa: | 3| | 5| |8| | 1| | 2| |3|

P .| 2| | 1| |5| | 5|

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1

03. Hallar el valor de: M 1 2 2 3

A. 2 2 2 B. -2 C. 2 2 2 D. 2

04. Calcular: P 3 11 2 11 4 99 55 11

A. 12 11 B. 1 11 C. 37 11 5 D. 5 11 37

05. Si 3x + 15 = 0. Determina el valor de x 8 x 6

x1 2x

A. -14/11 B. 42/11 C. 21/11 D. -19/11

06. Si a = b + 1 = c + 9 = 7, calcula el valor de:

P a b c. c a b c

A. 210 B. 200 C. -200 D. -210

07. Reducir: 2 2 2x 1 2 x x x , Si: x < 1

A. 3 B. 2x - 1 C. 2x + 3 D. 3 – 2x

08. Si x > 1 ¿Cuál es el valor de "x" en la ecuación :

x2 + 2x +1 - 1 + x - 1 - x = 10

A. -3 B. 3 C. ± 3 D. Ninguna

09. Si 2 > x > y . Calcula el valor de "y" en: x y x 2 3

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

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10. Si x 6;9 , calcula: M 9x x 5 x 10 90 11x

A. 85 B. 85 C. -80 D. -85

11. Si 30 < -x < 41, calcula: R x 1 x 21

A. -21 B. -20 C. 20 D. 21

12. Si: x 2 ; 13 Calcular: x 2001 x 2003 2005

A. 1 B. 2x C. x + 2003 D. 2x + 2003

13. Calcular: |5x 20| |3x 20|

Ex

, Si: x -3 ; -2

A. -5 B. -2 C. 5 D. 2

14. Si: x 1 ; 7 Reducir:

|2x 3| |5x 3|

Px

A. 3 B. 5 C. 7 D. 6 – 3/x

15. Si 2 x 4 ; Halla el intervalo para: 6x 23

M5 x

A. 0;6 B. 3;5 C. 1;5 D. 0;5