Optique géométrique : cours

Optique gomtrique

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Optique gomtrique

Agns MAUREL

B E L I N 8, rue Frou 75278 Paris cedex 06www.editions-belin.com

B E L I N

P h y s i q u eCo

urs

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www.editions-belin.com

DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCES

A. MAUREL, J.-M. MALBECOptique gomtrique, rsum de cours et exercices

M. SAINT-JEAN, J. BRUNEAUX et J. MATRICONlectrostatique et magntostatique, cours

J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICONlectrostatique et magntostatique, rsum de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCES

A. BARBEROUSSELa constitution de la mcanique statistique

M. BLAYLa science du mouvement de Galile Lagrange

Le code de la proprit intellectuelle nautorise que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non desti-nes une utilisation collective [article L. 122-5] ; il autorise galement les courtes citations effectues dans un but dexemple ou dillustra-tion. En revanche toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ouayants cause, est illicite [article L. 122-4].La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confi au C.F.C. (Centre franais de lexploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006Paris), lexclusivit de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie duvres protges, excute sans son accord pralable, constitueune contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

ditions Belin, 2002 ISSN 1158-3762 ISBN 978-2-7011-3035-4

Photo de couverture Digital Vision

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Sommaire

1. La lumire et loptique gomtrique ...................................................................... 5Introduction ................................................................................................................................. 6Nature ondulatoire de la lumire. Ondes lectromagntiques .............................................. 7Vitesse de propagation, indice optique..................................................................................... 9De londe au rayon lumineux ..................................................................................................... 12Rsum du cours ...................................................................................................................... 17

2. Rflexion et rfraction .................................................................................................. 19Dioptres et miroirs....................................................................................................................... 21Lois de Snell-Descartes en milieu homogne. Lois de Kepler............................................. 22Principe de Fermat ...................................................................................................................... 28Propagation de rayons lumineux en milieu non homogne................................................... 31Application : la rfraction atmosphrique et les mirages........................................................ 32Surface des indices. Construction de Descartes ...................................................................... 41Principe dHuyghens et interprtation des lois de Descartes ................................................ 42Rsum du cours ...................................................................................................................... 47

3. tude de larc-en-ciel et du prisme .......................................................................... 49Larc-en-ciel .................................................................................................................................. 50Le prisme ...................................................................................................................................... 58Rsum du cours ...................................................................................................................... 66

4. Stigmatisme et approximation de Gauss ............................................................... 69Image dun point lumineux travers un systme optique...................................................... 70Stigmatisme rigoureux ................................................................................................................ 72Notion de stigmatisme approch............................................................................................... 80Rsum du cours ...................................................................................................................... 82

5. Dioptres et miroirs dans lapproximation de Gauss ........................................ 85Le dioptre plan et la lame faces parallles ............................................................................. 86Le dioptre sphrique ................................................................................................................... 89Le miroir plan .............................................................................................................................. 95Le miroir sphrique ..................................................................................................................... 99Rsum du cours ...................................................................................................................... 105

6. Les systmes centrs ....................................................................................................... 107Dfinitions .................................................................................................................................... 109Points et plans cardinaux dun systme dioptrique ................................................................. 109Construction de limage dun objet travers un systme dioptrique.................................... 113Formules de conjugaison dun systme centr ......................................................................... 114

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4

Les systmes catadioptriques ..................................................................................................... 116Association de systmes centrs................................................................................................. 120Rsum du cours ...................................................................................................................... 125

7. Les lentilles paisses.............................................................................................. 127Caractristiques dune lentille paisse....................................................................................... 128Les lentilles convergentes et divergentes.................................................................................. 130Relation de conjugaison dune lentille paisse......................................................................... 131Points focaux dune lentille paisse ........................................................................................... 132Rsum du cours ...................................................................................................................... 134

8. Les lentilles minces dans lapproximation de Gauss ....................................... 135Caractristiques dune lentille paisse....................................................................................... 137Image dun objet travers une lentille mince .......................................................................... 138Points cardinaux dune lentille mince ....................................................................................... 139Distance focale, relation de conjugaison de Descartes dune lentille mince ....................... 140Construction gomtrique de limage dun objet travers une lentille mince.................... 142Relations de conjugaison dune lentille mince symtrique .................................................... 144Lentilles accoles. Vergence ....................................................................................................... 146Association de lentilles. Application aux oculaires ................................................................. 148Les systmes afocaux................................................................................................................... 156Rsum du cours ...................................................................................................................... 158

9. Proprits gnrales des instruments doptique ............................................... 161Les diffrents instruments optiques .......................................................................................... 162Grandissement, grossissement et puissance dun instrument optique ................................. 163Champs en largeur des instruments optiques.......................................................................... 168Profondeur de champ.................................................................................................................. 171Rsum du cours ...................................................................................................................... 174

10. Lil et la loupe .............................................................................................................. 175Lil ............................................................................................................................................... 176La loupe......................................................................................................................................... 186

11. Instruments optiques deux lentilles : le microscope et la lunette .............................................................................................................................. 191Les diffrents types de microscope............................................................................................ 192Le microscope optique ou photonique ..................................................................................... 195Les lunettes dapproche .............................................................................................................. 200La lunette de Galile ................................................................................................................... 202Rsum du cours ...................................................................................................................... 204

12. Les aberrations ................................................................................................................ 207Les aberrations chromatiques .................................................................................................... 208Les aberrations gomtriques..................................................................................................... 212

Rponses aux exercices......................................................................................................... 215

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5

C h a p i t r e

La lumire est une onde lectromagntique et, ce titre, sa propagation est rgiepar les quations de Maxwell. Les grandeurs caractristiques dune onde lumineusesont sa longueur donde et sa frquence. Dans le cadre de loptique gomtrique, les longueurs donde de la lumire sontsupposes petites compares aux dimensions caractristiques des instrumentsoptiques. On considre alors que le chemin suivi par la lumire est dcrit par unrayon lumineux. Cette notion de rayon lumineux est essentielle car elle constituela base de loptique gomtrique.

1.1. Introduction

Les domaines de loptique mission et dtection optiques

1.2. Nature ondulatoire de la lumire. Ondes lectromagntiques

Milieux transparent, homogne et isotrope Les quations de Maxwell Ondes lectromagntiques : frquences et longueurs donde

1.3. Vitesse de propagation, indice optique

Vitesse de propagation Indice optique Variation de lindice optique. Coefficient de dispersion et coefficient thermique

1.4. De londe au rayon lumineux

Ondes plane, cylindrique ou sphrique Surface donde et vecteur donde Rayon lumineux Principe du retour inverse de la lumire

Ondes lectromagntiques

Longueur donde

Frquence

Surface donde

Rayon lumineux

1

2

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

L

a lumire et loptique gomtrique

1

M o t s - c l s

6

1.1. Introduction

Les domaines de loptique

Loptique est un domaine de la physique divis en sous-domaines qui se sont souvent crsde faon historique. Un de ces sous-domaines est loptique gomtrique. Dans le cadre deloptique gomtrique, on considre que la lumire se propage sous forme de rayonslumineux ; ces rayons reprsentent alors la trajectoire de la lumire, cest--dire quilstransportent la vibration lectromagntique. On parle souvent dapproximation des rayonscar cette notion nest valable que dans certaines limites, la principale tant la limite des fr-quences infinies, cest--dire des frquences trs grandes devant toutes celles qui caract-risent le milieu de propagation. En particulier, pour que la notion de rayons soit applicable,il faut que la longueur donde de la lumire soit trs petite devant toutes les longueurs ca-ractristiques du milieu considr. Lorsque cette hypothse nest plus vrifie, par exemplelorsque londe rencontre un obstacle dont la taille est comparable sa longueur donde, desphnomnes typiquement vibratoires interviennent, comme la diffraction et les interfren-ces. Ces phnomnes pour lesquels interviennent la nature vibratoire de la lumire et sapropagation par ondes se rattachent loptique ondulatoire.Parmi les autres domaines de loptique, nous pouvons citer loptique nergtique qui dcritles puissances transportes par le rayonnement, leur rpartition spatiale et leur action surdivers rcepteurs ou encore loptique physiologique qui traite spcifiquement de la forma-tion des images dans lil et de leur perception. Plus rcemment, loptique quantique en-visage laspect corpusculaire de la lumire, dans ses changes dnergie avec la matire.Enfin, lie aux nombreuses applications de loptique, loptique instrumentale traite des ca-ractristiques optiques dun instrument par opposition ses caractristiques mcaniques.

mission et dtection optiques

Les systmes vivants communiquent avec lext-rieur grce aux sons, cest--dire en mettant eten recevant des ondes acoustiques mais aussi parla vue, en recevant des ondes lumineuses. Lesyeux constituent le systme de dtection des on-des lumineuses ; ils transforment le signal opti-que en impulsions nerveuses transmises aucerveau par le nerf optique. En revanche, la plu-part des tres vivants ne disposent pas dmetteur(seuls quelques poissons exotiques sont capablesdmettre des signaux lumineux). Nous ne som-mes visibles que grce des sources de lumire annexes comme le Soleil ou les lampes. Si ces

sources sont directement visibles grce la lumire quelles mettent, les objets non lumi-neux ne sont visibles que sils sont clairs par une source lumineuse : cest alors la lumirequils rflchissent qui est dtecte par lil (Fig. 1.1).

1

2

il

Soleil

Rflexion dela lumire

missionlumineuse

il

Soleil

Rflexion dela lumire

missionlumineuse

Fig. 1.1. Modes de vision. Un objet lumineux(comme le Soleil) met directement de la lumi-re vers lil tandis quun objet non lumineux(comme un poisson) rflchit la lumire verslil.

1.

L

A LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

7

1.2. Nature ondulatoire de la lumire.Ondes lectromagntiques

Milieux transparent, homogne et isotrope

Les milieux tudis en optique gomtrique sont des milieux dans lesquels la lumire estsusceptible de se propager. De tels milieux sont dits

transparents

.Un milieu est

homogne

si les caractristiques optiques du milieu sont identiques en toutpoint.Enfin, un milieu est

isotrope

si la propagation lumineuse est identique quelle que soit ladirection de propagation dans le milieu.

Les quations de Maxwell

En 1860, le physicien anglais J. Maxwell tablit les quations de llectromagntisme. Cesquations gouvernent le comportement spatio-temporel des ondes lectromagntiques.Une onde lectromagntique est caractrise par un champ lectrique et un champ magn-tique coupls ; Maxwell montre en outre que la lumire est une onde lectromagntique,mais il faudra attendre encore pour que le caractre ondulatoire de la lumire soit reconnuepar la communaut scientifique, alors convaincue que la lumire suivait un comportementquil tait possible de dcrire dans un cadre proche de celui de la mcanique. Nous donnonsci-dessous la forme des quations de Maxwell dans le vide :

div

Les thories archaques de la lumire portentdavantage sur la vision que sur la nature de lalumire. On distingue lpoque antiquedeux thories, celle du feu externe et celle dufeu visuel. Dans la thorie du feu externe, lalumire parvient lil grce un phnom-ne de propagation d atomes mis par lesobjets lumineux et qui parviennent jusqulil. La thorie du feu visuel affirme au con-traire que lil est le sige dune mission departicules permettant la vision : ces particu-les iraient scruter les objets. Cest

notamment la thorie dEuclide (IIIe sicleav. J.-C.), fondateur de lcole dAlexandrie etauteur de la catadioptrique. Les disciplesdEuclide et notamment, au Ier sicle denotre re, Ptolme, continuent de dvelop-per cette thorie.Platon dveloppera une thorie que lon peutqualifier de mixte entre les thories du feuexterne et du feu visuel : il et objetmettent priodiquement des particules dontlinteraction permet la vision.

La vision archaque de la lumire : Le feu externe et le feu visuel

Un peu dh is to i re

1

2

B 0=

rotE Bt-----=

div E0---=

8

Le champ lectromagntique est caractris en chaque point de lespace par le couple de

vecteurs ( , ). Les densits

et sont appeles les sources du champ lectromagntique.

0

et

0

sont des constantes : S.I. est la permabilit du vide et

0

= 8,854.10

12

S.I. est la permittivit du vide.En absence de sources, les champs magntique et lectrique vrifient une quation de pro-pagation caractristique des ondes. Cette quation de propagation est obtenue partirdes quations de Maxwell en utilisant les proprits des oprateurs divergence et

rotationnel : .Nous obtenons alors :

Les champs et vrifient donc la mme quation de propagation :

et

o c = apparat comme la vitesse de la lumire dans le vide.

Lorsque le milieu considr nest pas le vide, lquation de propagation scrit :

et

o

v

est la vitesse de la lumire dans le milieu considr. Maxwell a donc tabli que la lumire se propage dans le vide la vitesse de c = 3.10

8

m.s

1

,valeur qui avait t obtenue exprimentalement par ailleurs. Cest A. Einstein qui montra,dans le cadre de la relativit que cette valeur est une constante universelle.

Ondes lectromagntiques : frquences et longueurs donde

Proprits :

Dans un milieu quelconque, il est possible dassocier une onde lectromagntiquemonochromatique, et donc une onde lumineuse monochromatique, trois grandeurs caractris-tiques :

une longueur donde

, une frquence

,

une vitesse de propagation

.

Les ondes lectromagntiques couvrent une gamme de frquences qui va de quelques hertz(symbole Hz) 10

20

Hz mais la lumire visible pour lhomme ne couvre quune plage defrquences trs limite allant de 4.10

14

Hz 8.10

14

Hz (Fig. 1.2).

rotB 0 j 00 Et-----+=

E B j

0 4 . 107=

rot rot X grad= div X X

2

t2-----B

t---- rotE

100-------- rot rot B

100-------- grad divB B[ ]

100--------B== = =

2

t2----- E 100--------

t----rot B 100-------- rot rot E

100-------- grad divE E[ ]

100--------

E== = =

E B

2

t2-----B 1

c2--- B 0=

2

t2-----E 1

c2--- E 0=

100

------------ 3.108m.s 1

2

t2----- B 1

v2---- B 0=

2

t2-----E 1

v2---- E 0=

3

1. LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE 9

Dans le vide, la frquence f et la longueur donde dune onde lectromagntique sontlies par la relation :

La lumire visible est usuellement caractrisepar son contenu spectral, gamme de longueursdonde auxquelles sont associes des couleurs(Fig. 1.3) ; ces valeurs de longueurs donde cor-respondent une propagation de la lumiredans le vide (et par extension, comme nous leverrons, dans lair).

1.3. Vitesse de propagation, indice optiqueVitesse de propagation

Nous lavons vu, dans le vide, la vitesse de propagation v des ondes lectromagntiques,donc de la lumire, vaut : v = c = 3.108 m.s1. Dans un milieu transparent, v est toujoursinfrieure la vitesse c dans le vide. Notons que la frquence f de londe est un invariant dela propagation : ainsi, lorsque londe lumineuse passe dun milieu lautre, sa frquencereste la mme mais sa vitesse de propagation dpendant du milieu de propagation, et parconsquent sa longueur donde varie. Un milieu de propagation est caractris par lavitesse de propagation v des ondes lctromagntiques. Mais il est plus usuel de caractri-ser un milieu par son indice optique, aussi appel indice de rfraction.

cf---=

1028

1020 1018 1016 1014 1012 1010 108 106 104 102 100 102 104

1024 1022 1020 1018 1016 10121014 1010 108 106 1041026 f (Hz)

(m)

UV

Visible

Rayons Rayons X Ondes radio

Mic

ro-

onde

s

IR

0

Fig. 1.2. Frquences et longueurs donde dans le vide des ondes lectromagntiques.

CouleursLongueurs donde

(nm = 10-9 m)

Violet extrmeViolet moyenViolet - bleuBleu moyenBleu - vertVert moyenVert - jauneJaune moyenJaune - orangOrang moyenOrang - rougeRouge moyenRouge extrme

400420440470500530560580590600610650780

Fig. 1.3. Longueurs donde dans le vide etcouleurs des ondes lumineuses.

1

10

Indice optiqueLindice optique, not n est dfini comme le rapport de la vitesse de propagation dune onde dansle vide, c, celle, v, de la mme onde dans le milieu considr :

Par dfinition, lindice optique dun milieu est tou-jours plus grand que 1. Lair est souvent assimil auvide car son indice optique est voisin de 1 : dans lesconditions normales de temprature et de pression( 20 C et 1,013 bar), lindice de lair vaut 1,000293.Considrons la photo de la figure 1.4. Une tige deverre est plonge dans un rcipient qui contient deleau dindice optique voisin de 1,33 et du tolune,dont lindice optique est voisin de 1,5. Leau, pluslourde que le tolune, se trouve au fond du bcher.Le verre a lui-mme un indice optique de 1,5, cest--dire presque gal celui du tolune. La vision nette que nous avons de la partie de la tigeimmerge dans leau est, schmatiquement, due aufait que la lumire ne se propage pas la mme vites-se dans la tige de verre et dans leau. En revanche,

dans le tolune, la prsence de la tige de verre ne modifie pas le comportement de londequi voit un milieu homogne dindice optique gal 1,5. La tige nest donc presque pasvisible dans le tolune. On remarque galement que la tige aux deux interfaces eau/toluneet tolune/air semble se tordre. Ce phnomne, galement li aux variations dindice op-tique, sexplique par les lois de la rfraction de Snell-Descartes (voir chapitre 2).

2

n cv--- 1=

Fig. 1.4. Phnomne de rfraction. Tige deverre immerge dans un mlange eau/tolune. Le tolune, plus lger que leau, setrouve au-dessus.

Vitesse de la lumire

& Dveloppement

Rech

erch

e

Trs rcemment, une physicienne danoiseLene Vestergaard Hau, du Rowland Institutefor Science, a tabli un nouveau record pourla vitesse de la lumire, en russissant la ra-lentir 1,5 km/h, battant ainsi son prcdentrecord de 60 km/h. 1,5 km/h, la lumire sedplace 720 millions de fois moins vite qulordinaire ! Lexprience consiste fairepasser de la lumire dans un condensat deBose-Einstein, groupe datomes refroidis une temprature de quelques milliardimesde degr au-dessus du zro absolu. Dans cemilieu trs froid, les atomes cessent pratique-ment de bouger, ce qui lui confre des pro-

prits optiques trs particulires,notamment un indice de rfraction100 000 milliards de fois plus lev que leverre. La physicienne commente on peutpresque envoyer un rayon de lumire, aller sechercher un caf et revenir temps pour levoir ressortir le rayon de lautre ct delquipement. Cette exprience a inspirdeux jeunes chercheurs, Ulf Leonhardt etPaul Piwnicki, de lInstitut royal de techno-logie, en Sude : crer un trou noir optique.Ils ont montr quil est possible de construireun analogue optique de ce phnomne gra-vitationnel. Dj en 1818, Fresnel avait tabli


Variation de lindice optique.Coefficient de dispersion et coefficient thermiqueA priori, les valeurs de la vitesse de propagation v et donc de lindice optique dun milieupeuvent dpendre de la frquence de londe qui sy propage, ou autrement dit de sa lon-gueur donde ainsi que de grandeurs thermodynamiques telle que la temprature. Les variations de lindice optique sont en gnral trs faibles et nous considrerons la plu-part du temps lindice optique comme une constante caractristique du milieu. La dpen-dance de lindice optique en fonction de la longueur donde est pourtant essentielle pourcomprendre la dispersion de la lumire blanche observe dans un prisme ou dans une gout-telette deau : ce dernier exemple tant responsable de la formation des arcs-en-ciel. La variation de lindice optique avec la longueur donde est caractrise par un coefficientappel coefficient de dispersion et not . Ce coefficient est dfini, pour les longueurs

En mcanique quantique, la solution delquation de Schrdinger pour un potentieluniforme correspond londe, dite de DeBroglie, associe une particule libre. Cetteonde subit une rfraction en accord avec la loiclassique de la rfraction de loptique quandelle passe dune rgion de potentiel U1 dans

une rgion de potentiel U2. Lexpression delindice optique est alors donne par larelation :

n =

o W reprsente lnergie totale de laparticule

(W U1 )(W U1 )

Lindice optique en mcanique quantique

& Dveloppement

Rech

erch

e

3

quun milieu mobile pouvait courber unrayon lumineux. Mais pour quapparaissentdes effets quivalent la courbure de les-pace-temps prs dun trou noir, il faut que lavitesse du milieu soit du mme ordre que lavitesse de la lumire. Un condensat de Bose-Einstein semble donc un bon candidat pourraliser un tel milieu, et Leonhardt et Piwnickiproposent de raliser une tornade de cemilieu ; refroidie une temprature prochedu zro absolu, cette tornade pourrait littra-lement aspirer et emprisonner la lumire.Ainsi, tous les photons entrant dans le tour-billon en demeureraient prisonniers, tant quele condensat continuerait tourbillonner, et

tant quil resterait froid, ralisant ainsi unpige lumire, ce qui correspond bien lune des proprits dun trou noir! quoi un tel trou noir optique pourrait-ilservir ? Les possibilits sont immenses. Onprsume quune seule chose peut schapperdun trou noir : la radiation de Hawking.Cette force mystrieuse na encore jamais tobserve et un pige lumire le permettraitpeut-tre. Il pourrait aussi servir de bancdessai pour la thorie quantique de lagravit. terme, ceci pourrait permettre derunir la thorie quantique avec la relativitgnrale dEinstein, lun des rves de laphysique moderne depuis des dcennies !

12

donde du spectre visible, comme le rapport de lindice de rfraction mesur au milieu dece spectre (couleur jaune, J = 589 nm) la diffrence des indices dtermins aux deux ex-trmits de ce spectre (couleurs bleu B= 486 nm et rouge R= 655 nm) :

Le tableau ci-dessous donne les indices optiques de quelques matriaux pour les longueursdonde correspondant aux couleurs bleu, jaune et rouge ainsi que le coefficient de disper-sion calcul.

Fig. 1.5. Variation de lindice optique de quelques matriaux en fonction de la longueur donde. Dans ladernire colonne, on donne le coefficient de dispersion correspondant. Le crown est un verre blanc peu dispersif, lesflints (lger, moyen et lourd) sont des verres base de plomb.

Lindice optique n peut galement varier en fonction de la temprature T du milieu. Ces

variations sont caractrises par le coefficient thermique de lindice de rfraction . Pour

les verres, le coefficient thermique de lindice optique est compris entre et

.

1.4. De londe au rayon lumineuxOndes plane, cylindrique ou sphrique

Une onde lumineuse est une onde de propagation, caractrise par une fonction dpen-dant du temps et de lespace. Cette fonction est dtermine par les quations de Maxwell

( peut tre par exemple le champ ou ). Dans le cas o il ny a pas de sources, (M, t)est alors solution dune quation de propagation. Nous considrons tout dabord la solution gnrale de lquation de propagation une di-mension. Un point M est repr par son abscisse x et loprateur laplacien se rduit

une drive seconde par rapport x : = . Lquation de propagation scrit alors :

La solution gnrale de cette quation de propagation scrit :(M, t) = f (x vt) + g (x + vt)

Matriau ( 20C) n(B) n(J) n(R) Crown

Flint lger

Flint moyen

Flint lourd

Diamant

Eau

1,523

1,585

1,665

1,919

2,435

1,338

1,517

1,575

1,650

1,890

2,417

1,333

1,514

1,570

1,645

1,879

2,410

1,331

168,56

105,00

82,50

47,25

96,68

190,45

n (J)n (B) n (R)---------------------------=

dndT------

3 10 4 K 1

16 10 4 K 1

1

E B

2

x2------

2

t2----- 1

v2----

2

x2------ 0=


La fonction f (x vt) correspond une onde se propageant dans le sens des x croissants etla fonction g (x + vt) une onde se propageant dans le sens des x dcroissants. Considronsune onde se propageant dans le sens des x croissants : londe est dite harmonique si la fonc-tion f est choisie parmi les fonctions harmoniques (les fonctions relles sinus ou cosinus oula fonction exponentielle complexe). Ainsi, une onde de pulsation = 2f scrit, parexemple :

(M,t) = (x, t) = 0 cos

Notons que cette solution de lquation une dimension est galement obtenue lorsquelonde est gnre par un plan source (O, y, z). Les symtries du problme imposent alorsune solution de la forme prcdente.Considrons maintenant une onde gnre par un fil source en deux dimensions ou par unpoint source en trois dimensions. Dans les deux cas, les symtries du problme imposentque la fonction ne dpende que de la variable r, dfinie en deux dimensions par les coor-donnes cylindriques et en trois dimensions par les coordonnes sphriques.Sans rentrer dans les dtails, nous donnons la forme de la solution dans ces deux cas :

(M,t) = (r,t) = 0(r) cos

Surface donde et vecteur dondeConsidrons tout dabord le cas dune onde planese propageant dans le sens des x croissants. Safonction donde scrit : (M,t) = f (x vt). Laphase de la fonction donde, (x vt), un instantdonn t, a la mme valeur pour tous les pointscontenus dans un plan dabscisse x. Tous lespoints de ce plan sont dits en phase et le plan quiles contient dfinit une surface donde ou plandonde. Londe considre est en fait une ondeplane se propageant suivant la direction x. Aucours de sa propagation, le plan donde, x constant, reste perpendiculaire au vecteur

unitaire associ la vitesse de propagation de londe (Fig. 1.6).

Considrons maintenant un plan donde de direction quelconque. La distance de ce plan

lorigine est mesure par d selon la direction et tout point M du plan donde situ

lextrmit du vecteur est tel que . = d. Londe de propagation dans la direc-

tion scrit donc :

(v---(x vt))

(v---(r vt))

2

Plan dondeM

O

y

z

x

u

v

r

d

Fig. 1.6. Plan donde dune onde plane sepropageant dans la direction Ox.

u (u 1v

-----v)= v

u

u

OM r= u r

u

(M, t) = f (d vt) = f ( . vt)u r

14

En particulier, si la fonction est harmonique, nous obtenons :

(M,t) = 0 cos = 0 cos ( . t)

Dans cette expression, = kv est la pulsation de londe et est le vecteur donde dfinipar la relation :

Le vecteur est donc, par construction, toujours perpendiculaire au plan donde. Usuellement, les plans donde dune onde plane sont reprsents distants de . En effet, ladiffrence de phase entre un point M du premier plan P et un point M du plan P distant

de P de scrit alors . Par suite, londe a la mme va-leur dans tous les plans spars de (Fig. 1.7a)Considrons maintenant le cas dune onde cylindrique ou sphrique. Un raisonnementanalogue peut tre men. Ainsi, pour une onde harmonique, cylindrique ou sphrique,nous obtenons :

(M,t) = 0(r) cos = 0(r) cos = 0(r) cos

Pour une onde cylindrique, tous les points de mme phase (kr t) appartiennent descylindres concentriques dont laxe est le fil source. Tous les cylindres distants de sontquiphases (Fig. 1.7b).

De mme, pour une onde sphrique, tous les points de mme phase (kr t) appartiennent des sphres concentriques dont le centre est le point source. Toutes les sphres distantesde sont quiphases (Fig 1.7c).

(k (u r vt)) k r

k

k k u 2----- u= =

k

k (r u)+ t (k r t)= 2+

(k (u r vt)) (k(r vt)) (kr t)

k

Plan

k

k

Fil source

k

k

k

Point

a. b. c.

Fig. 1.7. Surfaces donde : dune onde plane (a.), cylindrique (b.) et sphrique (c.). dsigne le vecteur dondelocal.

k


Rayon lumineuxDfinition : Les rayons limineux sont localementperpendiculaires aux surfaces donde.

Le sens des rayons (indiqu par une flche) indi-que le sens de propagation de la lumire(Fig 1.8.).Notons que londe se propage de faon rectilignedans un milieu transparent homogne isotrope.

3

Surface d'onde

Rayon

Fig. 1.8. Surfaces donde locales le long dunrayon lumineux.

Loptique au Moyen-Orient


Aprs les thories archaques de la vision, lespremiers sicles de notre re ne verront gurede progression dans la thorie de la lumire.Il faudra attendre le Moyen-ge pour queloptique renaisse en gypte. En effet, trstt, les savants arabes se sont intresss auxtravaux grecs sur loptique et, loin de se con-tenter de traduire ces ouvrages, ils lesreprennent et les corrigent Cest finalementle physicien Alhazen (965-1039), de son vrainom Ibn al-Haytham, qui contribuera de ma-nire dcisive lavance de lacomprhension de la lumire dans sonouvrage Opticae thesaurus Alhaseni Arabis(traduction latine dans laquelle son nom futmodifi). Jusqualors, voir et clairer se con-fondaient. Anim par une dmarchescientifique rigoureuse, il sest impos Al-hazen quil fallait distinguer vision etclairement lumineux. Il pose alors claire-ment les fondements de loptiquegomtrique : les objets lumineux mettentdes rayons qui se propagent en ligne droite etatteignent lil qui forme une image dont laposition dpend de celle du cristallin. Il ta-blit sous une forme gnrale la loi de la

rflexion, tente une description du phnom-ne de rfraction mais surtout, sattache vrifier exprimentalement les lois quilnonce ; il sera notamment le premier uti-liser une chambre noire. Il laisse unproblme qui porte son nom et snonce ain-si : En quel point dun miroir concavecirculaire doit tomber la lumire provenantdun point A donn pour quelle soit rflchieen un autre point B donn ? ; la solution duproblme dAlhazen revient la rsolutiondune quation du quatrime degr.Alhazen peut tre considr comme linitiateurdune nouvelle dmarche scientifique la foismathmatique et exprimentale. Parmi ses disci-ples, on peut citer le persan Kamal al-Din al-Farisi (1260 - 1320) qui tablit une table dela rfraction air-verre et donne une explicationdes arcs-en-ciel primaire et secondaire trs pro-che de celle que donnera Descartes trois siclesplus tard dans son Discours de la mthode.Aprs les travaux dAlhazen, peu de grandes d-couvertes en optique seront faites et il faudraattendre le XVIe sicle pour quune nouvelle renaissance se produise en optique.

16

Principe de retour inverse de la lumireDans un milieu transparent homogne et isotrope, le trajet de la lumire est indpendantdu sens de parcours. Ce principe est une consquence du principe de Fermat que nous d-velopperons plus loin (chapitre 2) ; ce principe prvoyant la minimisation du chemin suivipar un rayon lumineux, on comprend aisment que le chemin qui minimise le temps detrajet dun point A un point B est galement celui qui minimise le temps de trajet dupoint B au point A.

4

La premire mesure de la vitesse de la lumire


Lide que la lumire se propage la vitessede 300 000 km/s nous est aujourdhui fami-lire mais il nen a pas toujours t ainsi. Ilfaudra en fait attendre 1676 pour que lastro-nome danois Olaf Rmer effectue lapremire mesure de la vitesse de la lumire,dmontrant ainsi le caractre non instanta-ne de sa propagation.Dans lAntiquit, la nature de la lumirentait pas connue. Aristote pensait que lapropagation de la lumire tait instantanetandis quEmpdocle dAgrigente voquaitdj lide quelle devait prendre un certaintemps pour parvenir du Soleil la Terre. AuXVIIe sicle, Galile a lintuition que la vitessede la lumire pourrait tre si rapide que notreintuition, fonde sur lexprience du quoti-dien, nous trompe. Dans son ouvrage Dialogue sur les deux principaux systmesdu monde , paru en 1632, il met en scneSimplicio, aristotlicien naf et attach auxtraditions, qui il prte les propos suivants : Les expriences quotidiennes nous ensei-gnent que la propagation de la lumire estinstantane. Le flash lumineux dun tir dar-tillerie atteint notre il sans aucun dlaimais le son produit, lui, arrive notre oreilleavec un retard. Galile souligne la faussetdu raisonnement : lexemple de Simpliciomontre simplement que la vitesse de la lu-

mire est plus grande que celle du son. Ilimagine alors une exprience qui permettraitde mesurer cette vitesse. Il se place au som-met dune colline, arm dune lanterne ; sonassistant fait de mme sur une colline voisi-ne. Galile couvre sa lanterne ; son assistantdoit couvrir la sienne ds quil ne voit plus lalanterne de Galile. Le temps entre le mo-ment o Galile a cach sa lanterne et celuio il ne voit plus celle de son assistant corres-pond aux temps qua mis la lumire pourparcourir deux fois la distance qui spare lesdeux lanternes. Galile comprendra lui-mme quil est en train de mesurer son tempsde raction combine celui de son assistantet il conclut judicieusement que la distancemise en jeu dans son exprience est tropfaible.Quarante ans plus tard, le danois Olaf Rmermet fin aux dbats en effectuant la premiremesure de la vitesse de la lumire. Il ralisecette mesure aprs avoir tudi Io, satellitede Jupiter. En mesurant les intervalles detemps entre deux clipses successives, ilconstate un rsultat surprenant : Io sembleavoir deux priodes de rvolution ! Rmercomprend alors que la premire priode estmesure lorsque la Terre est proche de Jupi-ter tandis que la seconde correspond uneconfiguration des plantes o la Terre est


Rsum du c our s

Onde lumineuse

Dans un milieu quelconque, une lumire monochromatique, comme toute ondelectromagntique monochromatique, est caractrise par trois grandeurs :

- une longueur donde ,- une frquence f,- une vitesse de propagation v.

Dans le vide, la vitesse de propagation dune onde lectromagntique est c. La fr-quence et la longueur donde dune onde lectromagntique sont lies par la rela-tion :

=

Un milieu de propagation est caractris par son indice optique, aussi appel indicede rfraction, not n et dfini comme le rapport de la vitesse de propagation duneonde dans le vide, c, celle, v, de la mme onde dans le milieu considr :

n = 1

Lors de la propagation dune onde lectromagntique dans diffrents milieux, lafrquence de londe reste inchange : seule la longueur donde et la vitesse de propa-gation varient. On a toujours la relation :

=

Rayons lumineux

Les rayons sont localement perpendiculaires aux surfaces donde. Le sens des rayonsindique le sens de propagation de la lumire.

cf--

cf--

vf--

loin de Jupiter. Il en dduit que Io a une seu-le priode de rvolution autour de Jupiter,cest--dire quelle met des signaux lumi-neux (lors des clipses) avec un intervalle detemps rgulier, mais que ces signaux mettentdes temps diffrents pour parvenir la Terre.Les deux temps mesurs correspondent despositions de la Terre diamtralement oppossur son orbite par rapport au Soleil et leurdiffrence, trouve gale 22 minutes, cor-

respond au temps que met la lumire pourparcourir le diamtre de cette orbite, soit en-viron 300 millions de kilomtres. Rmer endduit la premire mesure de la lumire, quiltrouve environ gale 200 000 km/s (mesuretrs imprcise). Par sa mesure, il montre sur-tout que la lumire ne se propage pas demanire instantane, ce qui tait discut lpoque.

18

Une onde se propage dans le vide la vitessede 3.108 m/s. Sagit-il dune onde lumineuse ?

Une onde se propage dans le vide la vitessede 3.108 m/s et dans leau la vitesse de2,25.108 m/s. Sagit-il dune onde lumineuse ? Quel est lindicede leau ?

On envoie un rayon lumineux de lair versun morceau de flint. On donne lindice de rfrac-tion du flint n = 1,585 pour une radiation de lon-gueur donde = 486 nm.Que deviennent les quantits suivantes : fr-quence, vitesse de londe et longueur dondelorsque la lumire passe de lair au flint (on assi-mile lair au vide) ?

1

2

3

Exercices

19

C h a p i t r e

Ce chapitre est tout fait primordial. Il regroupe les lois essentielles de loptique gom-trique et il ne serait pas exagr de dire quil est suffisant de connatre ces quelques lois pourretrouver toutes les autres. La lumire se propage en ligne droite dans un milieu homognetransparent. Quen est-il lorsque le milieu nest plus homogne ? Tout lobjet de ce chapitreest de rpondre cette question. Les lois de Snell-Descartes sont probablement les plus utiles pour la plupart des problmes classiques doptique gomtrique. Elles permettentde dterminer la trajectoire des rayons lumineux lors de la traverse dune succession de mi-lieux transparents et homognes : ces lois dcrivent le comportement dun rayon lumineuxau passage entre deux milieux. Elles sont gnralisables au cas, plus compliqu, o les ca-ractristiques optiques du milieu changent continment. Dans ce cas, le thorme de Ma-lus ( les rayons lumineux sont normaux aux surfaces donde ) dbouche sur lquationdite des rayons et qui est lquation la plus gnrale de loptique gomtrique. Cette qua-tion permet par exemple dexpliquer le phnomne des mirages.

2.1. Dioptres et miroirs

2.2. Lois de Snell-Descartes en milieu homogne. Lois de Kepler

nonc des lois de Snell-Descartes pour un dioptre mergence rasante et rflexion totale Application de la rflexion totale aux fibres optiques Incidence rasante Lois de Kepler

2.3. Principe de Fermat

Quest-ce que le principe de Fermat ? Notion de chemin optique nonc du principe de Fermat

2.4. Propagation de rayons en milieu non homogne

Thorme de Malus quation des rayons

2.5. Applications : la rfraction atmosphrique et les mirages

La rfraction atmosphrique Le mirage infrieur La ligne vanescente

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

1

2

3

R

flexion et rfraction

2

20

Le mirage suprieur Compression verticale des mirages Linversion de temprature et le mirage double Fata morgana

2.6. Surface des indices. Construction de Descartes

2.7. Principe dHuyghens et interprtation des lois de Descartes

Notion de sources secondaires Le principe dHuyghens Interprtation de la rfraction et de la rflexion avec le principe dHuyghens

Rfraction

Rflexion totale

Indice de rfraction

Mirage

2.1. Dioptres et miroirs

Dans le cadre de ce chapitre, nous considrons deux types de surfaces : les dioptres et les

4

5

6

7

1

2

3

M o t s - c l s

2.

R

FLEXION ET RFRACTION

21

miroirs.

Dfinition :

Un dioptre est une surface qui spare deux milieux transparents et homognesdindices optiques diffrents, par exemple linterface eau/air dfinie par la surface libre de leaudun lac. On appelle miroir une surface rflchissante telle que pratiquement toute la lumire inci-dente est renvoye par la surface.

Dans le cas du miroir, si la surface rflchissante est due un dpt mtallique, la lumirene peut pas traverser la couche mtallise et tous les rayons lumineux sont rflchis. En re-vanche, dans le cas du dioptre, il existe en gnral, en plus du rayon

rflchi

, un rayon quipasse dans le milieu suivant, appel rayon

rfract

. Ainsi, un objet lumineux dans lair sereflte la surface de leau dun lac mais il est galement vu par les poissons du lac. Unepartie de la lumire quil met est donc rflchie par le dioptre tandis que lautre partie esttransmise dans leau. Lobjet des lois de Snell-Descartes est de dcrire comment les rayons lumineux sont rfl-chis et rfracts. Ces lois ne permettent pas en revanche de prdire quel pourcentage delintensit lumineuse sera rflchi ou rfract. En effet, la notion dintensit lumineuse esten dehors du cadre de loptique gomtrique.Enfin, les surfaces que nous tudions dans le cadre de loptique gomtrique prsentent desasprits dont la taille est trs infrieure la longueur donde considre. Cette caractris-tique est appel le poli optique.

2.2. Lois de Snell-Descartes en milieu homogne.

Le XVIe sicle voit la renaissance de loptique,endormie depuis les travaux de Ptolme etdAlhazen. Les voies empruntes sont trs va-ries. Lonard de Vinci adopte une dmarche purement scientifique ; il reprend le dis-positif exprimental de la chambre obscure etsattache tablir des analogies entre la pro-pagation du son et celle de la lumire. Aumme moment, lutilisation des lentilles sedveloppe dans le but utilitaire de corriger lavue et dtudier le cristallin, comme en t-moigne le livre de Della Porta, le MagiaNaturalis. Mais le XVIe sicle est surtout lesicle de lastronomie. Cest par le biais decette discipline en plein essor que loptique

va progresser, notamment parce que lobser-vation des astres passe par la mise au pointdinstruments optiques performants. La pre-mire lunette est construite par leshollandais en 1590 ; en Italie, Galile, infor-m de la mise au point de ce nouvelintrument, en construit un plus performantencore et dcouvre quatre satellites de Jupi-ter. Lastronome allemand Kepler publie en1611 louvrage doptique le plus importantavant celui de Newton, le Dioptrique, danslequel il expose la loi de la rflexion et une loiapproche de la rfraction, explique le mca-nisme de vision et expose le fonctionnementdes lentilles.


Renaissance de loptique au XVIe sicle

22

Lois de Kepler

nonc des lois de Snell-Descartes pour un dioptre

Nous considrons un rayon incident IO rencontrant en O un dioptre sparant deux mi-lieux (1) et (2) dindices respectifs

n

1

et

n

2

. Par convention, tous les angles sont mesurs partir de la normale au dioptre en O et en consquence, ils sont tous compris entre 0 et ,puisquils sont dfinis dans un quart de plan.Les directions des rayons rflchi et rfract obissent aux lois de Snell-Descartes, qui sontau nombre de trois (Fig. 2.1) : Les rayons incident IO, rfract OT et rflchi OR sont contenus dans un mme plannormal au dioptre. Ce plan contient galement la normale ON la surface de sparation. Langle de rflexion

i

est li langle dincidence

i

1

par la relation :

i

=

i

1

Langle de rfraction

i

2

et langle dincidence

i

1

sont lis par la relation :

n

1

sin

i

1

=

n

2

sin

i

2

La dernire loi montre que, lorsquun rayon lu-mineux passe dun milieu (1) un milieu (2), lemilieu (1) tant moins rfringent (

n

1

i1C : il y a rflexion totale.

(n2n1----)

24

respondent des angles dincidence plus grands. Le clou ne sera alors pas visible. Si, enrevanche, ce rayon est rfract, alors une partie des rayons mis par le clou le seront gale-ment (jusqu ce que langle dincidence atteigne langle dincidence critique) et le clou seravisible. Langle dincidence de ce rayon passant par le bord du disque est donn par :

.

La condition pour que ce rayon soit transmis danslair scrit, daprs la loi de la rfraction et en pre-nant 1 pour lindice de lair : n sini1 = sini2 < 1.Nous obtenons donc la condition suivante :

Application de la rflexion totale aux fibres optiquesUne application de la rflexion totale est le pigeage dun faisceau lumineux dans les fibresoptiques. La fibre optique la plus simple consiste en deux cylindres concentriques, consti-tus de matriaux dilectriques dindices de rfraction diffrents (Fig. 2.4). Le cur, din-dice n1, est plac au centre dune gaine optique dindice n2, avec n2< n1, appele manteau (cladding) pour la distinguer de la gaine de protection mcanique extrieure. Le faisceaulumineux est envoy dans la fibre en incidence normale par rapport lentre de la fibre.

R

h

i2

i1

n

1

Fig. 2.3. Condition de vision par un observa-teur dans lair dun clou plant au centre dunflotteur de rayon R, la tte du clou tant ladistance h du centre du flotteur. Le clou est im-merg dans leau.

i1sin Rh2 R2+

----------------=

h n2 1 R>

3

Gaine (n2)

Cur (n1)

Fig. 2.4. Fibre optique.

Les fibres gradient dindice

& Dveloppement

Rech

erch

e

Les fibres saut dindice possdent unevariante intressante : les fibres gradientdindice . Les trajets optiques des diffrentsrayons lintrieur du cur sont rendus pra-tiquement identiques, en faisant varierlindice de rfraction en fonction de la distan-ce radiale, suivant une loi pratiquement

parabolique. La gaine optique peut dispara-tre, et les rayons lumineux correspondant auxdiffrents modes de propagation faible per-te sont continment dvis par la variationradiale de lindice ; ils ne subissent pas de r-flexion totale la limite du cur de la fibre.

2. RFLEXION ET RFRACTION 25

Dans le cas idal, la fibre estdroite et le tir du faisceauest parfait (Fig. 2.5). Lesrayons lumineux se propa-gent de faon rectiligne, enincidence rasante par rap-port au dioptre qui spare lecur de la fibre et sa gaine.Dans la pratique cependant,la fibre est susceptible de secourber et le tir dtre im-parfait, de sorte que lesrayons arrivent avec un an-

gle dincidence (faible) sur le dioptre cur/gaine. La fibre saut dindice est conuepour que ces rayons subissent une rflexion totale linterface cur/gaine optique afin queles pertes lumineuses soient minimises (Fig. 2.6).

La valeur critique de langle dincidence tant

donne par i1C = arcsin , nous voyons que la r-

flexion totale est obtenue pour un angle dinci-

dence dautant plus faible que le rapport est

petit (Fig. 2.7). Les pertes lumineuses sont ainsi

limites en choisissant un rapport faible .

En fait, la propagation des ondes lintrieur dela fibre nest pas uniquement limite au respect dela condition de rflexion totale linterface cur/gaine optique. A priori, une infinit de rayons lu-mineux peuvent se propager dans le cur de la fi-bre en respectant cette condition. Mais lephnomne dinterfrence peut provoquer leurextinction si les ondes lumineuses sont en oppo-sition de phase. Ainsi, les angles douverture sus-ceptibles de favoriser la propagation, avec defaibles pertes, lintrieur du cur ne prennentpas toutes les valeurs comprises entre 0 et langlecritique de rflexion totale, mais un certain nom-bre de valeurs discrtes, qui correspondent desmodes, appels mode de propagation guide ,avec des pertes minimales.

i1

a. b.

Fig. 2.5. a. Lorsque la fibre est droite, le rayon lumineux est pig dans lafibre ; b. lorsque la fibre se courbe, langle dincidence peut diminuer : lerayon nest plus pig.

Fig. 2.6. Rflexion totale dans la fibre : lerayon lumineux est pig.

n2n1----

n2n1----

n2n1----

9080706050403020

10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

i1c

n2n1

Fig. 2.7. Variation de la valeur critique delangle dincidence en fonction du rapportn2/n1, o n1 est lindice du milieu dincidence.

26

Incidence rasanteConsidrons le cas symtrique du cas prcdent, cest--dire le cas dun rayon lumineuxse propageant dun milieu (1) vers un milieu (2), le milieu (1) tant cette fois moins rfrin-gent que le milieu (2) (n1 < n2). Que se passe-t-il ?Un argument simple permet de rpondre immdiatement. Le principe de retour inverse dela lumire donne directement le rsultat suivant : langle de rfraction est plus petit quelangle dincidence. La rfraction existe quelle que soit linclinaison du rayon incident et

langle de rfraction atteint la valeur limite i2l = arcsin en incidence rasante, cest--dire

lorsque langle dincidence atteint (Fig. 2.8).

Ds lAntiquit, les Grecs connaissaient lephnomne de propagation de la lumiredans des cylindres transparents grce larflexion totale. Pendant longtemps, ce prin-cipe neut dautres applications que lesfontaines lumineuses, veines dans lesquellesla lumire se propage avec des angles dinci-dence sur les parois tels que la condition derflexion totale soit assure. Lnergie lumi-neuse est ainsi transporte tout le long de laveine. La sortie de la veine est courbe desorte que toute ou partie de cette nergie estmise par rfraction, les angles dincidencedevenant trop grands. En jouant sur les diff-rentes possibilits, on obtient les effetsspectaculaires que lon connat aux fontaines

blanches. Lors de lExposition coloniale de1931, une fontaine lumineuse de 45 mtresde haut, le Grand Signal , fut installe surle lac Daumesnil. En 1935, la piscine du pa-quebot Normandie, fut agrmente dunefontaine lumineuse en forme de cornedabondance. Ce nest rellement que pendant la secondemoiti du XXe sicle que le dveloppementindustriel des fibres optiques est intervenu.Ainsi, en 1980, lune des premiresapplications ft la liaison des deux centrauxtlphoniques parisiens Tuileries etPhilippe-Auguste, laide dun cblecomprenant soixante-dix fibres optiques.

Des fontaines lumineuses aux fibres optiques


4

n1n2----

2--

R

T

i2

i1 -i1

O

I

Milieu (1)

Milieu (2)i2 = i2l

-i1I

T

RO

i1 = 2

a. b.

Fig. 2.8. Rflexion et rfraction dun rayon lumineux la surface dun dioptre sparant le milieu (1) dindice n1,du milieu (2), plus rfringent que le milieu (1). i1 dsigne langle dincidence et i2l = arcsin langle limite derfraction. a. i1 < , i2 < i2l, b. i1 = , incidence rasante, angle limite i2 = i2l.

(n1n2----)

2--2--


Nous pouvons retrouver ce rsultat partir de la loi de la rfraction. La relation de Snell-Descartes n1sini1 = n2 sini2, avec n1 < n2 donne i2 < i1, le rayon rfract existe donc toujours.

Que se passe-t-il lorsque i1 atteint ? La rponse est quil ny a rien de spcial pour cette

valeur limite de langle dincidence. Langle de rfraction atteint sa valeur maximale, stric-

tement infrieure et cette valeur est donne par la loi de la rfraction : n1sin =

n2 sin i2l, soit :

i2l = arcsin

Lois de KeplerLes lois de Kepler correspondent aux lois de Snell-Descartes crites au premier ordre, lors-que les angles i1, i 1 et i1 sont petits. Ces lois prennent la forme :

i1 = i 1n1i1 = n2i2

Rappelons que si le degr est en pratique souvent utilis pour mesurer les angles, cest leradian qui correspond aux conventions du Systme International (S.I.). Ainsi, lorsque nouspassons des lois de Snell-Descartes aux lois de Kepler, il faut prendre garde exprimer lesangles en radian. De mme, un angle est dit petit, sil est petit devant la valeur de langleouvert ( ou 180) par exemple. Sil est exprim en radian, sera dit petit sil est ngligea-ble compar , cest--dire typiquement 1. En revanche, sil est exprim en degr, ildevra tre compar 180, cest--dire typiquement 100. Ainsi, un angle de 10 est petitcar ngligeable devant 100, ou de faon quivalente 0,17 rad (10 0,17 rad) est petit carngligeable devant 1.

2--

2--

2--

n1n2----

5

Ren Descartes (1596-1650) est surtout c-lbre pour ses talents mathmatiques et pourla vision unificatrice des sciences quil exposedans son Discours de la mthode . Il nelaisse pas de rsultats forts en physique, si cenest la loi la plus clbre de loptique gom-trique, la loi de la rfraction quil noncedans son Dioptrique publi en 1636 (ladmonstration quil y dveloppe seradailleurs trs critique par le mathmaticienFermat). Mais Descartes ne contribuera pas la grande rflexion sur la nature de la lu-mire qui secoue son sicle. La vision quil ena reste confuse. Empruntant des images la

cinmatique du point, il expliquera avec suc-cs les phnomnes de rflexion et derfraction, notamment la formation de larc-en-ciel. Mais les termes quil utilise pour d-crire la lumire proprement parler restentflous ; il parle d action , de pressiontremblante , de tendance . Il a lintuition(fausse) que la lumire parvient instantan-ment de lobjet lumineux lil et tient cetgard des propos malheureux : si lon mepeut convaincre de la fausset l-dessus, jesuis tout prt davancer que je ne sais rien dutout en philosophie .

R. Descartes : la mthode plus que le rsultat


28

2.3. Principe de Fermat

Quest-ce que le principe de Fermat ?Historiquement, Pierre de Fermat (1601-1665), mathmaticien franais, nona son prin-cipe aprs que Descartes et Snell eurent trouv la loi de la rfraction. La loi de la rflexion,elle, tait connue depuis lAntiquit. La grande force du principe de Fermat est de donnerune version unifie de loptique gomtrique partir dune proposition trs simple quinonce, en substance, que la lumire emprunte le chemin le plus rapide, proposition par-tir de laquelle il est possible de dmontrer non seulement les lois de la rflexion et de larfraction telles quon les a vues prcdemment mais aussi lquation des rayons en milieuinhomogne comme on le verra plus tard.

Notion de chemin optiqueLe principe de Fermat repose sur la notion de minimisation du temps de parcours de londelumineuse. Considrons une onde se propageant dun point A un point B ; minimiser le

temps de parcours entre A et B revient minimiser lintgrale , o M est le point

courant sur une courbe quelconque reliant A et B et v(M) la vitesse au point M. Introdui-sons la vitesse constante c de la lumire dans le vide ; minimiser t est quivalent minimi-

ser ct, soit . Cette dernire quantit est appele le chemin

optique et est note LAB :

LAB =

LAB =

o est le vecteur tangent, en M, la courbe reliant A et B.

nonc du principe de FermatPrincipe : Le trajet effectivement suivi par la lumire pour aller dun point A un point B corre-spond une valeur stationnaire du chemin optique par rapport aux trajets fictifs voisins allant de A B.

Cet nonc permet de retrouver immdiatement la propagation rectiligne des rayons dansun milieu homogne dindice n. En effet, il faut dans ce cas minimiser la quantit

1

2

dMv(M)-----------

A

B

cv(M)-----------dM

A

B

n(M)dMA

B

=

n(M) dMA

B

n (M) u. MdA

B

u

3


et nous savons que le plus court chemin entre deux points est la ligne droite.

Dans un milieu homogne, le chemin optique sexprime simplement :

LAB = n AB.

Montrons que cet nonc est suffisant pour re-trouver les lois de la rflexion et de la rfractionque nous avons nonces plus haut. Considronsun rayon lumineux se propageant dans un milieuhomogne dindice n dun point A un point B,aprs rflexion sur un miroir (ou sur un diop-tre). Notons I le point dimpact du rayon sur le miroir.Nous savons que le chemin optique de A I estun segment de droite (propagation rectiligne,LAI = n AI), de mme pour le chemin optique deI B (LIB = n IB).

Le problme est donc de trouver la position de Iqui minimise LAB. Nous devons rsoudre le pro-blme suivant :

dLAB = dLAI + dLIB = 0

dLAB = n1 (dAI + dIB) = n1 = 0

o et sont les vecteurs unitaires ports par

AI et IB. Le vecteur dplacement de I tant

port par la direction , parallle linterface, lacondition trouve impose que le chemin optiqueentre A et B est minimal si la projection de

sur linterface est nulle, ou, de faon

quivalente, si est port par la normale linterface. Cette dernire condition

scrit (K est une constante), qui donne, en projection sur :

(il y a quivalence car tous les angles sont infrieurs ) ce qui termine la dmonstration

de la loi de la rflexion partir du principe de Fermat.tablissons le mme rsultat pour la loi de la rfraction. Formellement, le problme est lemme, et minimiser le chemin optique entre A et B, A tant dans le milieu (1) et B dansle milieu (2), revient chercher la position du point I sur linterface telle que (Fig. 2.11) :

n (M) u. MdA

B

A

M B

u

Fig. 2.9. Calcul du chemin optique entre lespoints A et B le long dun rayon lumineux

LAB = n(M)u.dMA

B

i1u1 u2i

N

dI T

A B

I

n1

Fig. 2.10. Calcul de langle i de rflexion gr-ce au principe de Fermat : le point I est tel quele chemin LAB est minimum.

(u1 u2) dI

u1 u2

dI

T

(u1 u2)

(u1 u2) N

u1 u2 K N= T

u1 T u2 T = i1sin i sin= i1 i = 2--

30

dLAB = dLAI + dLIB = 0

dLAB = n1 dAI + n2 dIB = = 0.La relation trouve implique que

est port par la normale lin-terface, ce qui implique :

,

ce qui termine la dmonstration de la loi de la r-fraction partir du principe de Fermat.Nous allons voir que le principe de Fermat per-met galement dtablir lquation des rayons enmilieu inhomogne.

i1u1

u2

N

dI T

A

B

I

i2

n1

n2

Fig. 2.11. Calcul de langle i2 de rfractiongrce au principe de Fermat : le point I est telque le chemin LAB est minimum.

(n1u1 n2u2 ) dI

(n1u1 n2u2) N

n1u1 T n2u2= T n1 i1sin n2 i2sin=

La loi de la rfraction : de Ptolme Fermat


Depuis longtemps, les scientifiques avaientconstat que la lumire se divise lorsquellearrive la surface de sparation entre deuxmilieux, une partie tant rflchie, lautre su-bissant une dviation au passage dans lesecond milieu. Ds lAntiquit, lgalit desangles incident et rflchi est connue. Maisil faudra attendre la fin du XVIe sicle pourque la loi de la rfraction sous sa forme ac-tuelle (n1 sin i1 = n2 sin i2) soit nonce. On trouve une bauche de description desrayons rfracts dans les essais de Ptolme.Les savants arabes donneront des tables desangles rfracts en fonction des angles inci-dents pour linterface eau-verre. Mais cestseulement en 1611 quon trouve la premireloi de la rflexion dans le Dioptrique de Ke-pler, nonce sous la forme simplifien1i1 = n2i2 (valable pour les faibles angles).Cest peut-tre injustement que la loi de larfraction porte le nom de Snell-Descartescar cest sans doute au mathmaticien an-glais Thomas Harriot que nous devons lepremier nonc de cette loi telle que nous laconnaissons aujourdhui. En fait, Snell laprobablement trouve exprimentalement en1621 puisquil nen propose aucune dmons-tration tandis que Descartes en propose une,

mais discutable. lpoque, le mathmati-cien franais Fermat slve dailleurs contrela pseudo-dmonstration donne par lephilosophe. Fermat sattaque alors loptique et il nonceen 1650 le principe de moindre temps : par-mi toutes les courbes joignant deux points delespace, cest celle qui correspond au tempsde parcours minimal qui est effectivementsuivie par la lumire. Mais Fermat nest pasphysicien et ce nest quune dizaine dannesplus tard que la loi de la rflexion estretrouve grce son principe. Fermat veutaller plus loin et dclare propos de la loi dela rfraction : Il me semble que la chose estaise et quun peu de gomtrie pourra noustirer daffaire . Il a raison ! En 1661, il effec-tue la dmonstration de la loi de la rfraction partir de son principe, offrant ainsi le pre-mier exemple de calcul variationnel appliqu la physique. Il dclare ce propos le fruitde mon travail a t le plus extraordinaire, leplus imprvu et le plus heureux qui ft jamaiscar jai trouv que mon principe donnait jus-tement et prcisment la mme proportiondes rfractions que Monsieur Descartes atablie .


2.4. Propagation de rayons en milieunon homogneLes lois de Snell-Descartes rgissent la propagation des rayons lumineux linterface entredeux milieux transparents homognes isotropes. Que se passe-t-il pour un rayon se propa-geant dans un milieu dont lindice varie continment dans lespace ? Nous allons montrerque le principe de Fermat permet dtablir lquation, dite quation des rayons, qui dcritla trajectoire du rayon dans un tel milieu. Notons que la plupart des milieux rels sont din-dice continment variable, ce qui explique limportance de lquation des rayons.

Thorme de MalusMontrons tout dabord que le principe de Fermat permet dnoncer un thorme connusous le nom de thorme de Malus qui snonce ainsi : les rayons lumineux sont normauxaux surfaces donde .Considrons le chemin optique dun rayon se propageant dun point fixe A vers un pointM ; A tant fixe, le chemin optique est une fonction de M que nous notons L(M) :

L(M) =

La diffrentielle de L(M) a pour expression :

dL(M) =

avec Le principe de Fermat impose que le chemin ef-fectivement suivi par la lumire soit tel que

dL(M) = 0, donc = 0. Lensemble despoints dune surface donde, cest--dire lensem-ble des points correspondant au mme cheminoptique, vrifient le principe de Fermat (il fautque les points appartiennent une courbe effec-tivement suivie par la lumire). Nous en ddui-sons que deux points voisins dune surface donde

vrifient la condition = 0, ce qui signifie

que la surface donde est localement perpendiculaire la direction du rayon(Fig. 2.12).

quation des rayonsConsidrons un point M repr par labscisse curviligne s, tel quil existe effectivement unrayon issu de A et passant par M. Cette fois, les deux points A et M sont fixes et nous cher-chons une relation permettant de prvoir le trajet ultrieur de la lumire, cest--dire la po-sition du point M infiniment voisin de M.

1

n (P) u. PdA

M

gradM L(M) .dM n (M) u .dM=

gradM L(M) n (M) u=

Surface d'onde

dM

M

u

Fig. 2.12. Thorme de Malus : les rayonslumineux sont normaux aux surfaces donde .

M est un point du rayon et le vecteur tangentau rayon en M.

u

u.dM

u.dM

u

2

32

Remarquons tout dabord que :

Car : . Par ailleurs :

Il vient donc :

Nous allons maintenant montrer que d et sont colinaires. Nous avons tablien 2.3 la relation qui traduit la continuit de la composante tangentielle de la quantit

dans le cas dune interface entre deux milieux (1) et (2) :

Dans cette relation, est la normale linterface et a est un coefficient de proportionna-lit. Cette relation stend au cas dun indice continment variable en considrant linter-

face entre M (dindice n) et M (dindice n). Le vecteur tend vers d

quand M et M deviennent infiniment voisins. Par ailleurs, la normale linterface entre

les deux milieux dindice n et n= n + dn est porte par le vecteur , ce qui permet

de conclure que les vecteurs d et sont colinaires.

La relation devient donc :

Cette quation porte le nom dquation des rayons.

2.5. Applications : la rfraction atmosphrique,les mirages

La rfraction atmosphriqueLe mot mirage voque un paysage dsert sous le soleil au milieu duquel un palmier on-doyant semble se reflter dans le sable. Nous verrons que ce mirage est appel mirage in-frieur.Les mirages sont dus un gradient de lindice optique. Si on pousse le raisonnement lex-trme, limage dun objet travers un dioptre est un mirage. La variation correspondante

d (nu) .u dn (u.u) n (u.du) dn=+=

u.u 1 et u.du 0==

dn grad(n) .u ds=

grad(n).u d (nu)ds------------

.u=

(nu) gradn

(nu)

(n1u1 n2u2 ) aN=

N

(n1u1 n2u2 ) (nu)

N

grad(n)

(nu) grad(n)

grad (n). u d (nu)ds

------------ . u=

grad (n) d (nu)ds

-----------=

1


de lindice optique est alors une fonction crneau. Plus usuellement, le mirage renvoie unevariation continue de lindice optique, due un gradient de temprature dans les couchesdair de latmosphre. Les rayons parvenant lobservateur suivent une trajectoire courbe :cest la rfraction atmosphrique. (fig. 2.13).

Lil reconstruit lobjet A en cherchant le sommet du faisceau conique lumineux qui luiparvient et voit une image A qui ne concide pas avec lobjet rel.Lindice optique de lair diminue lorsque la temprature augmente. Pour comprendre celatrs schmatiquement, souvenons-nous quun gaz a une densit dautant plus faible que satemprature est importante. Le gaz considr est donc dautant plus dispers que la tem-prature est leve et son comportement optique se rapproche de celui du vide, dindiceoptique gal 1.

Le mirage infrieurLe mirage dun palmier dans le dsert est le plus commun des mirages. Comment expli-quer ce phnomne ? Pendant la journe, le sable est plus chaud que lair ambiant et ilchauffe une petite couche dair juste son contact. Il se cre donc un gradient thermiqueorient vers le haut et par consquent un gradient dindice optique orient vers le bas. Unrayon lumineux se dirigeant dans un tel milieu vers le sol est dvi de sorte que langle quil

n

n2

n1

x

y

n1

xA

n2

A

n

x

y

xA A

a.

b.

Fig. 2.13. Vision de limage dun objet travers : a. un dioptre (saut dindices) ; b. un milieu dindice continmentvariable (phnomne du mirage).

2

34

forme avec la verticale augmente ; pour comprendre cela simplement, discrtisons le pro-blme, le milieu gradient dindice pouvant tre considr comme une succession de mi-lieux dindices diffrents. La loi de la rfraction de Descartes peut tre applique chaque

dioptre, comme illustr sur la figure 2.14b. Revenons notre palmier plant dans le sablechaud. Parmi tous les rayons issus dun point P du palmier, deux parviennent lobserva-teur : R1 et R2 (Fig. 2.15).

Les traits pointills indi-quent la direction apparentede ces rayons pour lil.Ainsi, le faisceau F1 derayons voisins de R1 contri-bue former une image Pde P, P appartenant lima-ge inverse de larbre. De fa-on analogue, le faisceau F2de rayons voisins de R2 con-tribue former une image Pde P, P appartenant lima-ge droite de larbre ; le fais-ceau F2 tant peu dvi, cetteimage droite de larbre est engnral quasiment confon-due avec larbre rel.

Gnralement, lexistence dun objet et, sous lobjet, de son image inverse est due la r-flexion sur une surface, par exemple la surface de leau. Cest pour cette raison quen pr-sence dun mirage, nous attribuons inconsciemment la scne la prsence dune surfacedeau. En fait, un mirage nest pas li la prsence dune surface deau mais surtout, il nestpas d un phnomne de rflexion mais de rfraction.Ce type de mirage est appel mirage infrieur en rfrence la position de limage au-des-sous de lobjet rel. On peut galement observer des mirages suprieurs.

y

x

T-(n+)

T+(n-)

y

x

i2i3

i1

n3

n2

n1

a. b.

Fig. 2.14. a. Trajectoire dun rayon lumineux dans une atmosphre possdant un gradient vertical de temprature(et donc un gradient vertical dindice optique). b. Modlisation du milieu (a) en couches homognes transparenteset isotropes : chaque interface, la trajectoire du rayon est donne par la loi de Descartes sur la rfraction.

R2

R1

P

P

P

Fig. 2.15. Mirage infrieur. Parmi tous les rayons issus dun point P dupalmier, deux parviennent lobservateur : R1 et R2. Les traits pointills in-diquent la direction apparente de ces rayons pour lil, donnant deux ima-ges P et P du point P.


La ligne vanescenteNous avons donn le principe fondamental de la formation dun mirage. Mais il convientmaintenant daffiner cette description. Pour anticiper, nous pouvons dire brutalement quela reprsentation de la figure 2.15 est fausse. Considrons un point P du palmier. P metdes rayons dans toutes les directions, rayons dvis dans le milieu gradient dindice. Con-sidrons maintenant trois points dobservation A, B et C dans un plan vertical(Fig. 2.16a). Deux rayons R1 et R5 issus de P parviennent en A. De mme, deux rayons R2et R4 parviennent en B. En revanche, un seul rayon R3, issu de P, arrive en C. Autrementdit, aucun rayon issu de P ne peut atteindre un point plus bas que C dans .

En effet, un rayon issu de P avec un angle suprieur C (angle form par le rayon R3 enP avec la verticale) sera moins dvi que le rayon R3 (comme R1 et R2 qui contribuent limage droite de larbre en A ou B). Un rayon issu de P avec un angle infrieur C estfortement dvi (inversion de sa direction verticale de propagation) : comme R4 et R5 quicontribuent limage de P sur limage inverse de larbre (le mirage) pour un il plac enA ou B, cest--dire galement au-dessus de C. Un il plac en C ne verra quune imagedu point P, donne par le rayon R3. Plaons donc lil en C (Fig. 2.16b). Par continuit,un point du palmier au-dessous de P nmet aucun rayon susceptible darriver en C et parconsquent, la partie du palmier au-dessous de C nest pas visible pour lobservateur en C.En revanche, tout point du palmier situ au-dessus de P met deux rayons qui atteignentC, un qui contribue limage de P sur limage droite du palmier, lautre qui contribue limage de P sur limage inverse du palmier. La figure 2.16c montre la vision du palmierpour un observateur en C.Limage mirage est symtrique de limage droite par rapport une ligne appele la lignevanescente. Que se passe-t-il lorsque le plan varie, cest--dire lorsque lobservateur

3

P

A

BCR1 R2

R3R4 R5

P

P

a.

b.

c.

Fig. 2.16. Construction de la ligne vanescente. a. Aucun rayon issu de P ne peut atteindre un point plus bas queC dans . b. Un il plac en C voit deux images des points placs plus haut que P et ne voit quune image du pointP. c. Vision du palmier pour un observateur en C. Limage mirage est symtrique de limage droite par rapport uneligne appele la ligne vanescente.

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sloigne ou se rapproche du palmier ? La hauteur de la ligne vanescente varie. Si la lignevanescente devient plus haute que le point le plus haut du palmier, lobservateur ne voitplus du tout dimage du palmier.

Nous ne sommes pas entrs dans le dtail des quations pour tracer les trajectoires desrayons. Notons cependant que limage inverse du palmier sur la figure 2.16 est inverseuniquement parce que nous avons suppos quun rayon issu dun point plus haut que P delarbre parvenait lil avec une inclinaison plus importante par rapport lhorizontale.Cest ce qui est observ le plus frquemment pour ce type de mirage, mais nous pouvonsimaginer une situation o le mirage nest pas une image inverse de lobjet, mais une imagedroite.

Le mirage suprieurPar opposition au mirage infrieur, le mirage suprieur correspond une image forme au-dessus de lobjet. Ces mirages, plus rares, sont observs lorsque le gradient de tempratureest orient vers le bas, cest--dire que le sol (ou la surface de leau) est plus froid que lairau-dessus. Le raisonnement que nous avons fait pour le mirage infrieur se transpose eninversant haut et bas ! Les mirages suprieurs existent sous forme dimage droite ou inver-se. Nous considrerons ici la formation dune image droite qui correspond aux descrip-tions les plus frquentes, rapportes notamment par les marins. Considrons donc lasurface dun lac sur lequel navigue un bateau et supposons que lair au contact de leau estplus froid que les couches dair suprieures. Comme dans le cas du mirage infrieur, lesrayons issus des diffrents points du bateau se courbent au cours de la propagation de sorteque deux images du bateau sont vues par lobservateur : une droite qui concide peu prsavec le bateau rel, et une droite situe au-dessus (Fig. 2.17a).Une consquence de ce mirage est quun bateau situ au-dessous de la ligne dhorizonpourra tre vu si son mirage est au-dessus de cette ligne (Fig. 2.17b)

4

T+

T-Ligne

d'horizon

Terre

a. b.

Fig. 2.17. Mirages suprieurs. a. Un observateur au bord de leau voit le bateau flotter dans lair. b. Un bateauau-dessous de la ligne dhorizon pour un observateur sera vu car son image se trouve au-dessus de la ligne dho-rizon de lobservateur.


Observations sur les rfractions terrestres par Dangos


Un voyageur rapporte en 1806, dans unjournal scientifique, la vision dun mirage enItalie : Ayant lu depuis peu, dans laconnaissance des temps de lan 12, uneobservation curieuse sur les rfractionsterrestres, faite par un savant physicienanglais, jai pens que lInstitut Nationalverrait avec plaisir les dtails dunphnomne peu prs semblable, qui semontra Malte en 1784, et dont tous leshabitants de lle furent les tmoins. Le 20mars vers 1 heure de laprs-midi, je fusinstruit par des grands cris qui retentissaientdans les rues, quune le venait de sleverdans le canal de Malte, et japerus bientt,de dessus les terrasses de lobservatoire, uneterre trs blanche, entoure deau, et dont laforme tait celle peu prs dun cne droitirrgulirement tronqu. Des marins et despcheurs taient dj partis pour allerreconnatre cette le et pour en prendrepossession. La figure de cette terre, sablancheur et surtout sa position, qui setrouvait exactement dans la direction de lamire que javais trace depuis longtemps versle mont Etna, me firent reconnatre bien viteque cette terre ntait autre chose que lesommet toujours enneig de ce mont lev de3 326 mtres. Cette apparence extra-ordinaire dura environ 30 minutes depuislinstant o jen eus connaissance. Il survintun instant de confusion, et lorsque je lacherchais dans les airs, je la vis, avectonnement, assise sa place. Tout le montet les ctes de Sicile, qui avaient tinvisibles, se montrrent bientt en entier, etfurent visibles le reste du jour . Lauteur mentionne quil ne pouvait sagirdune simple rflexion comme on leprtendit dans les journaux dItalie : car alorslimage aurait due tre renverse, et elle taitdroite. Je finis en rappelant un phnomne

assez curieux qui tient lobjet de cemmoire, phnomne bien connu desmarins, des astronomes qui ne sont pas fortloigns de la mer, que jai vu assez souvent Malte et surtout lobservatoire de Rouen.Le soleil prend quelquefois, vers son lever,une forme un peu allonge qui se rtrcittout--coup dans sa partie infrieure, et quiest termine par le bas, par une ligne droite,de sorte quil ressemble une urne sur sonpidestal. La cause de ce fait est bien simple,daprs la thorie de M. Monge sur lemirage .

W. de Fonvielle et G. Tissandier dans Voyages Ariens font mention dunmirage : Nous cherchons les falaises de Douvres etnous nous tonnons bientt de ne pas voir lesctes de lAngleterre qui ne sont pas biendistantes de notre arostat ; elles sontcaches par un immense rideau de vapeursplombes, qui stend vers ce ct delhorizon. Je lve la tte pour chercher lalimite de cette muraille de nuages, et quellenest pas ma stupfaction quand japeroisdans le ciel une nappe verdtre qui ressemble limage de locan ; bientt un petit pointsemble se mouvoir dans cette plage cleste,cest un bateau, gros comme une coquille denoix, et en y fixant avec soin mes regards, jene tarde pas constater quil navigue lenvers sur cet ocan retourn ; ses mtssont en bas et sa quille en haut. Un momentaprs je vois limage du bateau vapeur quivient de partir de Calais pour lAngleterre, et,avec ma lunette, je distingue la fume quischappe de son tuyau. Voici bientt deux outrois autres barques qui apparaissent aumilieu de cette mer magique, tableauvraiment saisissant, dune blouissantefantasmagorie de mirage.

38

Compression verticale des miragesNous avons dit que limage droite dun objet plong dans un gradient dindice est souventsimilaire, en taille et en position, lobjet rel. Il nen est pas de mme pour le mirage et ilest frquent dobserver un effet de compression verticale du mirage (Fig. 2.18).

Linversion de temprature et le mirage doubleNous avons considr jusqu prsent des gradients de temprature, donc dindice optique,monotones. Il arrive que les variations verticales de temprature soient plus complexes.Dans certaines conditions, latmosphre prsente une inversion de temprature, cest--dire quil y a une succession de couches chaudes et froides (Fig. 2.19).

5

Vision du paysagepar l'observateur

Ligne vanescentepour un observateur

b.a.

Fig. 2.18. Compression verticale des mirages. a. La ligne vanescente coupe lle. b. Lobservateur ne voitquune partie de lle et son image inverse.

6

Le Groenland fut probablement dcouvertgrce un mirage. Il est usuel de dire quelIslande donna naissance une colonie, leGroenland, aperu pour la premire fois vers980 par un banni, le viking Erik le Rouge. Eneffet, Erik le Rouge se dirigea directement de

lIslande vers la cte du Groenland la plusproche, 300 km de l. Le plus probable estquil avait des informations sur lexistencedune terre dans cette direction, informationsqui ont pu lui tre apportes par un miragearctique.

Erik le Rouge



Mirages multiplesUn type de trajectoires typiques de rayonsdans cette succession de couches dair est re-prsente sur la figure 2.19b. Dans les cou-ches dair [h0, h1] et [h2, h3], lindice optiqueaugmente avec la hauteur. Un rayon initiale-ment orient vers le bas est redress horizon-talement au cours de sa propagation et peutmme tre dflchi vers le haut. Un rayoninitialement orient vers le haut a une direc-tion qui se rapproche de la verticale. Un rai-sonnement symtrique peut tre effectupour la couche dair [h1, h2] dans laquelle lin-dice optique dcrot avec la hauteur.Dans ces conditions, il est possible dobserverdes mirages multiples, typiquement deux mi-rages et une image droite, comme nouslavons illustr sur la figure 2.20.

Guide de lumireUn autre type de trajectoires de rayons lumi-neux observes loccasion dune inversionde temprature est reprsent sur la figure2.19c. Les rayons sont pigs dans une cou-che dair centre sur h1 qui correspond unmaximum de lindice optique. Nous pensonsimmdiatement au principe de la fibre opti-que qui guide la lumire le long de la zonedinversion de courbure de la temprature ;cest en effet le mme principe ceci prs quele guidage est ici assur par la rfraction etnon pas la rflexion totale comme dans le casdes fibres saut dindice.

T

n

hauteur

T, n

h1h0 h2 h3

h2

h0

h1

T+

T-

T+

a.

b.

h0 , h2

h1 , h3

c.

Fig. 2.19. a. Variation de la temprature et de lin-dice optique en fonction de la hauteur dans la cou-che atmosphrique. b. Trajectoires de rayons dansles couches atmosphriques gradient de tempra-ture positif. c. Trajectoires de rayons lumineux dansune couche gradient de temprature ngatif.

R5

R4

R3

R2R1

R5

R4R3

R2R1

Fig. 2.20. Exemple de mirages multiples. Ce mirage double de bateau est report dans larticle de S. Vince de 1799publi dans Philosophical Transactions of the Royal Society.

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Fata MorganaNous rservons un paragraphe particulier ce mirage mythique, souvent mentionn com-me le plus beau des mirages.La fe Morgane est, dans la mythologie celtique, la sur dchue du roi Arthur ; dote depouvoirs malfiques, elle est souvent reprsente, voluant dans un chteau de verre au mi-lieu des flots. Cest aux peintres prraphalites que lon doit le nom gnrique de Fata Mor-gana (fe Morgane) ; elle perd cette poque le rle malfique quelle avait dans les textesmdivaux pour apparatre comme la fe de la mer, souveraine dAvalon, lle des bienheu-reux. Cest donc assez raisonnablement que le mirage qui fait apparatre des chteaux fe-riques, slevant au-dessus de leau, se dformant puis seffondrant, porte son nom ;dautant plus raisonnable que, dans la lgende, Avalon est localise en Sicile (bien quon lalocalise parfois en Irlande) et que cest prcisment sur la route de Messine, entre lItalie etla Sicile que ce mirage est le plus frquemment observ.

Fata Morgana est lie des conditions atmosph-riques trs particulires telles quun observateurvoit, diffrentes hauteurs, les images multiplesdun mme point, pouvant crer lillusion dunmur vertical (Fig. 2.21). Trs souvent, le chemi-nement des rayons est beaucoup plus complexeque celui de la figure 2.21 et un petit mouvementde lobservateur ou une petite variation de la dis-tribution de tempratures (par exemple due uncoup de vent) modifie compltement limage per-ue. Ainsi, Fata Mogana a la caractristique deprendre des aspects trs variables, ce qui a fait larputation de ce mirage.

7

Fig. 2.21. Principe du mirage Fata Morgana.Un point met une multitude de rayons qui at-teignent lil de lobservateur.


Navigation aux toilesLeffet mirage intervient galement lorsquonregarde la position des toiles dans le ciel. la traverse des couches basses delatmosphre, les rayons lumineux sontdvis, de sorte que la position apparentedune toile dans le ciel est fausse par cetterfraction atmosphrique. Les navigateursqui se reprent avec la position des toilesutilisent des tables standard qui rpertorientles corrections introduites par ces effets derfraction de latmosphre terrestre.Lastronome Jules Janssen exposa cetteobservation aux Sances de la SocitFranaise de Physique ( Du mirage enmer , 1875) :

Daprs mes observations, qui embrassentplusieurs annes dj, le mirage en mer esttrs frquent, mme dans les mersseptentrionales. Dans le golfe de Siam etdans la mer Rouge, jai observ des cas trsremarquables de mirage direct et inverse. Lesapparences observes, soit sur le Soleil levantet couchant, soit sur les objets situs lhorizon, conduisent admettre un plan derflexion totale situ une distance variablede la mer. La cause de ces effets de mirage etde rfractions anormales rside dans lactionthermique de la mer sur les couchesatmosphriques voisines. Une desconsquences les plus importantes de


2.6. Surface des indices.Construction de Descartes

La construction de Descartes permetde tracer les trajectoires des rayons r-flchi et rfract linterface de deuxmilieux (Fig. 2.22). Cette constructionsappuie sur les lois de Descartes pourla rflexion et la rfraction. Elle na pasde ralit physique, contrairement laconstruction de Huyghens (voir 2.7).Par un point I, traons les cercles derayons C1 et C2 de rayons respectifs n1et n2. Un rayon incident dans le milieu(1) dindice n1 intercepte le dioptre enI. Son prolongement dans le milieu (2)coupe le cercl

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Optique géométrique : cours