Optique géométrique : lentilles (PCSI)

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Question de cours

Démontrez la relation de conjugaison de Newton pour une lentille convergente.

Exercice

On considère un dispositif optique constitué de deux lentilles L1 et L2 de distances focales f′1 et f

′2 = 2f ′1,

alignées sur un banc optique de telle sorte que L1L2 = f ′2. On observe au travers de la lentille L2 unobjet AB situé devant la lentille L1 à une distance 4f ′1.

Déterminez la position de l'image �nale.

Solution Dispositif O1A = −4f ′1 ABL1→ A1B1

L2→ A′B′

1O2A′ − 1

O2A1= 1

f ′2et 1

O1A1− 1

O1A= 1

f ′1⇒ O1A1 =

f ′1(−4f ′

1)f ′1−4f ′

1= 4

3f′1 et O2A1 = O2O1 + O1A1 = 4

3f′1 − 2f ′1 =

− 23f′1 = − 1

3f′2 et O2A

′ = − f′2

2

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Question de cours

Démontrez les relations de conjugaison de Descartes pour une lentille convergente.

Exercice Microscope

On considère un dispositif optique constitué de deux lentilles L1 et L2 de distances focales f ′1 = 5 cm etf ′2 = 20 cm, alignées sur un banc optique de telle sorte que ∆ = F ′1F2 = 17 cm. On observe au traversde la lentille L2 un objet AB situé devant la lentille L1.

1. Où doit on placer l'objet AB pour que son image A′B′ soit à l'in�ni ? On supposera cette conditionvéri�ée par la suite.

2. Déterminez le grandissement de la lentille L1.

3. Déterminez l'angle α′ sous lequel l'image est vue en fonction de la taille AB de l'objet et en déduirele rapport α′

α , où α est l'angle sous lequel l'objet peut être vu à l'oeil nu.

Solution

dipositif ABL1→ A1B1

L2→ A′B′

image à l'in�ni => A1 = F2 => O1A1 = f ′1 + ∆ et 1O1A1

− 1O1A

= 1f ′1⇒ O1A = − f

′1(∆+f ′

1)∆ .

Grandissement de L1 = A1B1

AB = O1A1

O1A= −∆

f ′1

Angle d'observation : tanα′ = A1B1

O2A1= A1B1

ABABO2A1

= −∆f ′1

AB−f ′

2

A l'oeil, au mieux, A est à une distance ponctum proximum pp ' 25cm de l'oeil. tanα = ABpp .

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1

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Exercice Traitement matriciel

On considère un rayon lumineux arrivant sur une lentille convergente de distance focale f ′. A unedistance l1 du foyer objet, le rayon est à une distance x1 de l'axe optique et forme un angle α1 avec cedernier. A une distance l2 du foyer image, le rayon est à une distance x2 de l'axe optique et forme unangle α2 avec ce dernier.

Question préliminaire : indiquez le signe des angleset des distances x1, x2, x

′1 et x′2.

1. Exprimez en fonction de x1 et de α1 la dis-tance x′1 entre le centre optique et le rayonlumineux.

2. Exprimez en fonction de α1 la distance x′2 en-tre le foyer image F et le rayon lumineux.

3. Exprimez x′2 en fonction de α2 et de x′1. Endéduire l'expression de α2 en fonction de α1

et x1.

4. Exprimez x2 en fonction de α2 et x′1. En dé-duire l'expression de x2 en fonction de α1 etx1.

.

.

En déduire l'expression de la matrice M telle que

(x2

f ′α2

)= M

(x1

f ′α1

).

Solution

α1, α2, x2 et x′2<0, x1 et x′1<0

En traçant le rayon parallèle passant par le centre optique,x1−x′

1

l1+f ′ = −α1 donc x′1 = x1 + α1 (l1 + f ′).

Avec le même rayon,x′2

f ′ = α1 donc x′2 = α1f′. Avec le rayon réel,

x′1−x

′2

f ′ = −α2 donc α2 = −x1

f ′ −

α1l1f ′ . Toujours avec le même,

x′1−x2

l2+f ′ = −α2 et on en déduit x2 = −x1l2f ′ + α1

(f ′ − l1l2

f ′

)donc M =(

− l2f ′

(1− l1l2

f ′2

)−1 − l1

f ′

).

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2 Daniel Suchet - 2012

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Exercice Lentille gravitationnelle

1. On considère un rayon lumineux arrivant depuis l'in�ni sur une lentille de distance focale f ′. Cerayon frappe la lentille à une distance r0 du centre optique. Déterminez la déviation angulaire δϕdu rayon, en considérant r0 � f ′.

2. On observe depuis la Terre une galaxie supposée à l'in�nie. Sur la ligne de visée se trouve un amasgalactique de masse M . La relativité générale prédit la déviation des rayons lumineux à proximitéde ce corps massif : c'est le phénomène de lentille gravitationnelle. On peut modéliser cet e�et parune lentille convergente dont la distance focale dépend de la position du rayon lumineux suivantla relation δφ = 4GM

c2r0, où r0 est la distance du rayon lumineux au centre de la lentille et G la

constante de gravitation.

(a) Déterminez la distance focale associée au rayon qui frappe la lentille à une distance r0 du centreoptique.

(b) On suppose la lentille à une distance D de la Terre. Déterminez le paramètre r0 des rayons quisont e�ectivement observés depuis la planète.

(c) En déduire l'ouverture angulaire sous lequel l'objet est vu. Pour une source ponctuelle situéeà l'in�ni, expliquez pourquoi on observe un anneau (dit anneau d'Einstein)

(d) On mesure un anneau d'ouverture angulaire α = 2 10−6 ampli�é par une lentille distante deD = 109al. Déterminez la masse de la lentille. On prendra 1al ' 9.1015m

Solution

δϕ = tanδϕ = r0f ′ ⇒ f ′ =

c2r204GM

Les rayons viennent de l'in�ni donc coupent l'axe optique à une distance f ′ de la lentille. Pour les observer

en D, on a donc D =c2r204GM ⇔ r0 = ±2

√GMDc . On voit donc un anneau car seul ces deux r0 sont visibles +

symétrie par rotation autour de l'axe optique. Ouverture angulaire = r0D = 2

c

√GMD .

AN : M = DG

(αc2

)2 ' 1039kg

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3 Daniel Suchet - 2012

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Exercice Focométrie

On étudie 3 méthodes classiques pour déterminer la distance focale f ′ d'une lentille convergente L.L'utilisation de dessins est vivement recommandée !

1. Comment déterminer rapidement la nature convergente ou divergente d'une lentille ?

2. Méthode de Silbermann.

La lentille est �xe, on déplace l'écran et l'objet. On s'arrète lorsque l'image formée sur l'écran estinversée et de même taille que l'objet. On mesure la distance d1 entre l'objet et la lentille. Quevaut la distance focale f ′ ? Que pensez vous de cette méthode ?

3. Méthode de Bessel.

L'écran et l'objet sont �xes, séparés par une distance D. On déplace la lentille, dont on repère laposition par la distance OA = x

• Montrez que si D est su�samment grand, il existe deux positions x1 et x2 tels que l'image del'objet formée par la lentille soit nette sur l'écran.Indication : on pourra exprimer ¯OA′ en fonction de OA et D pour trouver une équation véri�ée

par x.

• On suppose que D est su�samment grand. On mesure les positions x1 et x2. Que vaut ladistance focale f ′ ? Que pensez vous de cette méthode ?

4. Méthode d'autocollimation.

On ajoute un miroir plan derrière la lentille, qu'on laisse �xe. On déplace l'objet jusqu'à ce quel'image renvoyée par le système {lentille+miroir} soit dans le plan de l'objet. On note AB →A1B1 → A2B2 → A′B′ les images successives formées par le système.

• Exprimez les relations entre OA et ¯OA′, puis entre ¯OA1et ¯OA2.

• On mesure la distance d2 entre l'objet et le système {lentille+miroir}. A l'aide des relationsde conjugaison, déterminez la distance focale f ′ ? Que pensez vous de cette méthode ?

5. Extension aux lentilles divergentes.

Comment peut on appliquer les méthodes précédentes pour déterminer la distance focale d'unelentille divergente ?

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4 Daniel Suchet - 2012