Optique géométrique TD1 Lois de Snell Descartes I- Un dioptre plan sépare l’air d’un milieu d’indice n. Le rayon incident se propage dans l’air avant de rencontrer le milieu d’indice n. a) Pour quelle valeur de l’angle d’incidence le rayon réfléchi est-il perpendiculaire au rayon réfracté ?

b) En déduire que cette situation ne peut se présenter que si l’angle d’incidence est ≥ 4

π.

Application numérique : n = 1,50 donner i1, i2, r et faire un dessin.

II- Une fibre optique à « saut d’indice » d’axe Ox est constituée de deux milieux homogènes et isotropes transparents, cylindriques et coaxiaux (la fibre n’est pas courbée) : le cœur d’indice n1 et la gaine d’indice n2. On ne considère que les rayons appartenant au plan (Ox , Oy). 1°) Quelle condition (inégalité) doit lier n1 et n2 pour que la fibre puisse être utilisée comme guide de lumière ? 2°) Soit un rayon lumineux. Montrer qu’il ne repart se propager à l’intérieur de la fibre que si l’angle d’incidence i1 est supérieur à un angle i10 que l’on déterminera en fonction de n1 et n2.

3°) Montrer que la propagation de la lumière à l’intérieur de la fibre optique impose à θ d’être inférieur à une valeur θa (angle d’acceptance de la fibre) que l’on déterminera (on exprimera sin θa : ouverture numérique de la fibre en fonction de n1 et n2)

4°) Application numérique : n1=1,45 et n2/n1 =0,99. Calculer i10 et θa.

5°) Calculer la différence ∆t = tmax - tmin des durées extrémales de propagation dans le cœur en fonction de la longueur L de la fibre, des indices n1 et n2 et de c (vitesse de la lumière dans le vide). A.N : L = 1km

III- Réfraction - Coefficients de Cauchy d’un plexiglas. On considère un demi-cylindre de Plexiglas, de rayon R, sur lequel on fait arriver un faisceau fin de lumière blanche (spectre visible complet) avec un angle d'incidence i = 30,00°. Un écran est placé à la distance D = 100,0 cm de la face plate du demi-cylindre. On notera n l'indice de réfraction du plexiglas et on prendra pour l'air un indice de réfraction égal à 1,000. Le point d’incidence I appartient à l’axe du demi-cylindre. On note y l'ordonnée, comptée depuis le plan de symétrie du demi-cylindre, du point d'impact lumineux sur l'écran (voir figure). Le plexiglas constituant le demi-cylindre vérifie la loi de Cauchy :

n = a + 2

0

b

λ

où a et b sont des constantes propres au matériau (réels positifs).

Gaine n2

Cœur n1 O

θθθθ

air

Gaine n2

i1 x

y

Air

Air

n

I

J

D = 100,0 cm

y

Ecran

i1 = 30°

i2

R

Impact lumineux sur l’écran (lumière dispersée)

faisceau de lumière blanche

Demi cylindre de plexiglas

O d

∆

R

R

i1

i2 faisceau laser

Air

Air n

K

La lumière incidente « contient » toutes les longueurs d’onde du visible (400,0 nm ↔ 800,0 nm) Pour les deux extrémités du spectre dispersé observé, on mesure: Pour « l’extrémité violette » (à la limite des Ultraviolets) y violet = 34,60 cm Pour « l’extrémité rouge » (à la limite des Infrarouges) y rouge = 35,00 cm On notera respectivement nviolet et nrouge les indices de réfraction du plexiglas associés à ces radiations. Les longueurs d’onde dans le vide seront respectivement notées λ0 violet et λ0 rouge. 1°) Pourquoi la lumière n’est elle pas déviée en J ? 2°) Donner l’expression de n en fonction de i2 uniquement (dans cette question on remplacera i1 par sa valeur numérique). Remarque : Attention ici les angles ont des valeurs « importantes », il n’est pas question de considérer que le sinus et la tangente de i2 ont des valeurs proches (pas d’application des conditions de Gauss ici) 3°) En déduire l’expression de n en fonction de y et D uniquement. 4°) En déduire les valeurs numériques de nviolet et nrouge (on donnera 4 chiffres significatifs). 5°) Déterminer les valeurs numériques des coefficients de Cauchy b et a du plexiglas constituant le demi-cylindre. On donnera 4 chiffres significatifs pour les valeurs de a et de b. 6°) Quelle est la vitesse vlaser de l'onde monochromatique du laser He-Ne (λ0 laser = 600,0 nm) dans ce Plexiglas ? 7°) On dirige à présent le faisceau laser He-Ne parallèlement à l’axe de symétrie du demi cylindre. On note d la distance entre le faisceau incident et l’axe optique ∆ (voir figure ci-contre)

a) Déterminer l’expression littérale de la distance d limite, notée dmax telle que si d > dmax il y aura réflexion totale en K. On donnera dmax en fonction de R et nlaser uniquement. b) Application numérique, donner dmax sachant que R = 20,00 cm.