Outils Mathématiques pour la Physique_Roussel

Outils Mathématiques pour la PhysiqueCalcul Vectoriel

Jimmy ROUSSEL - ENSCR

Résumé

Cette fiche s’inscrit dans le cadre de l’enseignement « Outils Mathématiques pour la Physique » qui a pour objectif dedonner les techniques mathématiques nécessaires à l’enseignement de la physique (niveau Licence). Nous abordonsici les techniques du calcul vectoriel, indispensables pour la compréhension d’un cours de mécanique ou d’électroma-gnétisme. Les notions de vecteur, de base vectorielle et de produit scalaire vues au Lycée sont rappelées et la notionde produit vectoriel et de produit mixte sont présentées. Du point de vue de la notation, nous adoptons une conventionassez répandue dans la littérature scientifique française que l’on conservera dans toutes les fiches de cours par soucisde cohérence :! Les vecteurs seront notés avec une flèche ;! La norme d’un vecteur

"#V s’écrira

!!!"#V

!!! ou V ;! Les vecteur unitaires du système cartésien seront notés "#ux , "#uy , "#uz et de manière générale "#u désignera un vecteur

unitaire.

1 Rappels sur les vecteurs d’espace

On désignera par E l’espace euclidien orienté de dimension 3 et muni des notions d’orthogonalité et denorme habituelles.

1.1 Définitions

Un vecteur, noté"#V , est caractérisé par :

1. une direction2. un sens3. une norme notée

!!!"#V

!!! ou V toujours positive.

On le représente par un segment orienté de longueur, sa norme. Deux segments de droites orientés paral-lèles, de même longueur et de même sens représentent le même vecteur. L’ensemble des vecteurs d’espaceforme un espace vectoriel euclidien E .

Vecteur lié On peut lier un vecteur à 2 points A et B de l’espace. Le vecteur lié"#AB est tel que :

!!!!"#AB

!!! = AB ;! sa direction est portée par la droite (AB) ;!"#AB est orienté de A vers B. On le représente par une flèche allant de A vers B.

1

1.1 Définitions 2

Fig. 1: Représentation d’un vecteur et d’un vecteur lié. Ici,"#V =

"#AB car ces deux vecteurs ont les mêmes

directions, sens et norme.

Vecteur nul Un vecteur est nul si et seulement si sa norme est nulle. Il est noté"#0 . Par exemple le vecteur

lié"#AA =

"#0 .

Colinéarité Les vecteurs"#V et

"#W sont colinéaires si et seulement si il existe un couple (!," ) $ R2 tel que

!"#V + ""#W ="#0 . En conséquence le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non

nuls "#V et"#W sont colinéaires si et seulement si il existe un réel # tel que

"#V = #"#W . Si # > 0, les

deux vecteurs ont même direction et même sens et!!!"#V

!!! = #!!!"#W

!!! . Si # < 0, les deux vecteursont même direction et sont de sens opposé ; les normes de ces vecteurs sont reliés par la relation!!!"#V

!!! = |# |!!!"#W

!!! .

Vecteur unitaire Un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1. Par exemple, le vecteur unitairecolinéaire à

"#V et de même sens s’écrit : "#u = 1!!!

"#V

!!!

"#V .

Fig. 2: Trois vecteurs colinéaires

Somme vectorielle le vecteur"#W =

"#U +

"#V s’obtient en mettant bout à bout les deux vecteurs (par transla-

tion) et en joignant les extrémites.

Fig. 3: Somme vectorielle. Cette simple figure montre que la norme de la somme est toujours inférieure ouégale à la somme des normes

c!Jimmy Roussel - http ://perso.ensc-rennes.fr/jimmy.roussel

1.2 Notion de base d’espace 3

1.2 Notion de base d’espace

Trois vecteurs"#U ,

"#V et

"#W sont coplananaires si et seulement si il existe un triplet (!," ,$) $ R3 tel que

!"#U +""#V + $"#W ="#0

Notion de baseUne base B de E est formée de 3 vecteurs non coplanaires que nous noterons"#e1 , "#e2 , "#e3 . On montre alorsque tout vecteur

"#V de E se décompose de manière unique sous la forme :

"#V = v1

"#e1 + v2"#e2 + v3

"#e3 (v1, v2, v3) $ R3

les réels v1, v2 et v3 sont les coordonnées de"#V dans la la base B. On représente alors le vecteur comme

un vecteur colonne :"#V =

"

#v1v2v3

$

%

B

On dit que la base est othonormée si les vecteurs de bases sont orthogonaux entre eux et unitaires.

Fig. 4: Décomposition d’un vecteur dans une base orthonormée

Addition de deux vecteurs

La somme des vecteurs"#V =

"

#v1v2v3

$

%

B

et"#W =

"

#w1w2w3

$

%

B

s’écrit dans la même base :

"#V +

"#W =

"

#v1 +w1v2 +w2v3 +w3

$

%

B

En conséquence si l’ont connait les coordonnées de deux points A et B dans une base on peut facilementcalculer les coordonnées du vecteur

"#AB :

"#OA =

"

#xAyAzA

$

%

B

;"#OB =

"

#xByBzB

$

%

B

%"#AB =

"#OB""#OA =

"

#xB" xAyB" yAzB" zA

$

%

B

2 Rappels sur le produit scalaire

2.1 Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs"#V et

"#W est le nombre :

"#V ."#W =

!!!"#V

!!!&!!!"#W

!!!& cos%


2.2 Conséquences 4

où % = &"#V,"#W . Remarquez qu’il n’est pas nécessaire d’orienter les angles pour calculer un produit vectoriel.

On montre que le produit scalaire présente la propriété de bilinéarité :'"#!V +

""#"W

(."#U = !"#V .

"#U +""#W .

"#U

2.2 Conséquences

Tout d’abord, la norme d’un vecteur peut s’exprimer comme un produit scalaire :

"#V ."#V =

!!!"#V

!!!2

Ensuite, si deux vecteurs forment un angle droit, leur produit scalaire est nul :

"#V '"#W %"#

V ."#W = 0

Ainsi, les vecteur de base ("#u1, "#u2, "#u3) d’une base orthonormée sont tels que

"#ui ."#u j = &i j =

)0 si i (= j1 si i = j

De ce fait, si l’on connaît les coordonnées de deux vecteurs dans une base orthonormée, le produit scalaires’exprimera uniquement en fonction des coordonées.

"#V =

"

#v1v2v3

$

% et"#W =

"

#w1w2w3

$

%%"#V ."#W = v1w1 + v2w2 + v3w3

et la norme du vecteur"#V =

"

#v1v2v3

$

% s’écrit :

!!!"#V

!!! =*"#V ."#V =

*v2

1 + v22 + v2

3

Enfin, la composante v1 s’écrit comme un produit scalaire :

v1 ="#V ."#u 1

3 Le produit vectoriel

3.1 Définition

Le produit vectoriel des vecteurs"#A et

"#B est un vecteur

"#C , noté

"#C =

"#A )"#B dont :

! la direction est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs"#A et

"#B ;

! le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite (voir figure) ;! la norme vaut !!!

"#A )"#B

!!! =!!!"#A

!!!&!!!"#B

!!!& |sin("#A ,"#B )|


3.2 Produit mixte 5

A

C

B

ConséquencesIl est facile de voir qu’intervertir les vecteur produit un vecteur opposé.

"#A )"#B ="(

"#B )"#A )

Le produit vectoriel permet de savoir si deux vecteurs sont colinéaires :"#A * "#B +"#

A )"#B ="#0

3.2 Produit mixte

Le produit mixte de 3 vecteurs"#A ,"#B et

"#C est un nombre noté (

"#A ,"#B ,"#C ) qui vaut :

("#A ,"#B ,"#C ) = (

"#A )"#B ).

"#C

Si"#A ,"#B et

"#C sont trois vecteur coplanaires, alors (

"#A ,"#B ,"#C ) = 0

Le produit mixte des vecteurs de base du système cartésien vaut : ("#ux ,"#uy ,"#uz ) = +1

De manière générale, lorsque le produit mixte d’une base orthonormée B("#u1 ,"#u2 ,"#u3) vaut +1, alors on dit

que la base B est directe.

3.3 Expression du produit vectoriel dans une base orthonormée directe.

Supposons que l’on connaisse les composantes de deux vecteurs"#A =

"

#a1a2a3

$

% et"#B =

"

#b1b2b3

$

% dans une

base orthonormée directe B("#u1 ,"#u2 ,"#u3) . Les vecteurs de base sont tels que "#u1 )"#u1 =

"#0 , "#u1 )"#u2 = "#u3

et d’autres relations que l’on obtient par permutation circulaire des indices (1# 2# 3# 1...). Le produitvectoriel étant distributif, on montre alors :

"#A ) "#

B ="#C"

#a1a2a3

$

% )

"

#b1b2b3

$

% =

"

#a2b3"a3b2a3b1"a1b3a1b2"a2b1

$

%


6

Nous pouvons remarquer que la première composante de"#C est le déterminant

++++a2 b2a3 b3

++++ les autres com-

posantes s’obtenant par permutation circulaire des indices.

4 Résumé des propriétés

Propriétés à retenir

"#AB+

"#BC =

"#AC

a("#U +

"#W ) = a

"#U +a

"#W

(a+b)"#V = a

"#V +b

"#V

a(b"#V ) = (ab)

"#V

!!!a"#V

!!! = |a|!!!"#V

!!!

!!!"#V +

"#W

!!! (=!!!"#V

!!!+!!!"#W

!!!

'"#!V +""#"W

(."#U = !"#V .

"#U +""#W .

"#U

"#V ."#W =

"#W ."#V

"#A ) (

"#B +

"#C ) =

"#A )"#B +

"#A )"#C

"#A ) (

"#B )"#C ) = (

"#A ."#C )"#B " (

"#A ."#B )"#C

""#(!A))

""#("B) = (!" )

"#A )"#B


Outils Mathématiques pour la PhysiqueSystèmes de coordonnées & Courbes paramétriques


Résumé

Cette fiche s’inscrit dans le cadre de l’enseignement « Outils Mathématiques pour la Physique » qui a pour objectif dedonner les techniques mathématiques nécessaires à l’enseignement de la physique (niveau Licence ). Nous abordonsici la notion de courbe paramétrique après avoir présenté les systèmes de coordonnées les plus utilisés en physique.

1 Les sytèmes de coordonnées

1.1 Système cartésien

Fig. 1: Système cartésien - déplacements élémentaires.

Dans l’espace (ou le plan), tout point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes dans un repère fixeorthonormé direct : R(O; !"ux ,

!"uy ,!"uz ). Le vecteur position s’écrit :

!!"OM = x!"ux + y!"uy + z!"uz

De même, tout vecteur de l’espace euclidien à 3 dimension peut se décomposer dans cette base :!"V = vx

!"ux + vy!"uy + vz

!"uz

1

1.2 Système polaire 2

Lorsque les coordonnées d’un point M varient de quantités infinitésimales dx, dy et dz, le point M se déplaced’une quantité :

!!"OM(x+dx,y+dy,z+dz)!!!"OM(x,y,z) = d

!!"OM = dx!"ux +dy!"uy +dz!"uz

Ainsi la longueur de l’arc infinitésimal vaut

dl =!!!d!!"OM

!!! ="

dx2 +dy2 +dz2

1.2 Système polaire

Le système de coordonnées polaires est un système de repérage du plan. Dans ce système, on repère unpoint M à l’aide de la distance au centre, notée r et d’un angle noté ! :

#$

%r =

!!!!!"OM

!!!

! = ( !!"ux,!!"OM)

Fig. 2: Système polaire - déplacements élémentaires.

Le passage du système cartésien au système polaire s’effectue grâce à la transformation :

x = r cos!y = r sin!

On peut associer à ce repérage une base locale mobile (!"ur ,!"u! ). Cette base est constituée de vecteurs

unitaires orthogonaux entre eux et dont le sens est obtenue en faisant croître chaque coordonée en fixantles autres :# !"ur est un vecteur unitaire dont le sens est obtenu en faisant croître r à ! constant : le point M décrit alors

une droite radiale et !"ur est un vecteur perpendiculaire au cercle de rayon r en M.# !"u! est un vecteur unitaire dont le sens est obtenu en faisant croître ! à r constant ; dans ce cas, M décrit

un cercle de centre O, de rayon r dans le sens positif : !"u! est tangent au cercle de rayon r.Le vecteur position s’écrit alors :

!!"OM = r!"ur

Lorsque les coordonnées d’un point M varient de quantité infinitésimales dr et d! , le point M se déplaced’une quantité :


1.3 Système cylindrique 3

!!"OM(r +dr,! +d!)!!!"OM(r,!) = d

!"l = dr!"u! + rd!!"u!


dl =!!!d!!"OM

!!! ="

dr2 + r2d! 2

1.3 Système cylindrique

Considérons un point M dans un repère cartésien (O,x,y,z). Appelons m le projeté de M dans le plan (xOy)et H le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz). Si l’on repère le point m à l’aide des coordonnées polaires,et le point H à l’aide de la coordonnée z , on dit que l’on utilise les coordonées cylindriques et le vecteurposition s’écrit : !!"

OM =!"Om+

!"OH = r!"ur + z!"uz

La base (!"ur ,!"u! ,!"uz ) est la base locale mobile du système cylindrique. Lorsque les coordonnées d’un point

M varient de quantités infinitésimales dr, d! et dz, le point M se déplace d’une quantité :

!!"OM(r +dr,! +d! ,z+dz)!!!"OM(r,! ,z) = d

!"l = dr!"ur + rd!!"u! +dz!"uz


dl =!!!d!!"OM

!!! ="

dr2 + r2d! 2 +dz2

Fig. 3: Système cylindrique - déplacements élémentaires.

1.4 Système sphérique

Dans le système de coordonnées sphériques, un point M de l’espace est repéré à l’aide d’une distance et dedeux angles :# r =

!!!!!"OM

!!! est la distance radiale ;

# ! = ( !!"uz ,!!"OM) définit la colatitude ;

# et " = ( !!"ux ,!"Om) définit la longitude.


1.4 Système sphérique 4

Fig. 4: Système sphérique - déplacements élémentaires.

Le passage du système cartésien au système sphérique s’effectue grâce à la transformation :

x = r sin! cos"y = r sin! sin"z = r cos!

Avec r > 0, ! $ [0,#] et " $ [0,2#[.

On peut associer à ce repérage un base locale mobile (!"ur ,!"u! ,!"u"). Cette base est constituée de vecteurs

unitaires orthogonaux entre eux et dont le sens est obtenu en faisant croître chaque coordonée en fixant lesautres :# !"ur est un vecteur unitaire dont la sens est obtenu en faisant croître r à ! et " constants : le point M décrit

alors une droite radiale et !"ur est un vecteur perpendiculaire à la sphère de rayon r et de centre 0.# !"u! est un vecteur unitaire dont le sens est obtenu en faisant croître ! à r et " constants ; dans ce cas,

M décrit un arc de cercle de centre O, de rayon r dans le plan (Oz,OM) : !"u! est donc tangent au cerclecontenu dans le plan (Oz,OM).

# !"u" est un vecteur unitaire dont la sens est obtenu en faisant croître " à ! et r constants : le point M décritalors un arc de cercle de centre H, de rayon r sin! dans le plan (M,!"ux ,!"uy ) : !"u" est un vecteur tangent àla sphère de centre O et tangent au plan (M,!"ux ,!"uy ).

Remarquez que la base est bien orthogonale et directe. En coordonnées sphériques, le vecteur positions’écrit :

!!"OM = r!"ur

Lorsque r, ! et " varient de quantités infinitésimales dr, d! et d" , le point M se déplace de :

!!"OM(r +dr,! +d! ," +d")!!!"OM(r,! ,") = d

!"l = dr!"ur + rd!!"u! + r sin!d"!"u"


dl =!!!d!!"OM

!!! =&

dr2 + r2d! 2 + r2 sin2 !d"2


5

2 Équations paramétriques

2.1 Généralités

Une courbe plane définie par une équation paramétrique'

x = f (t)y = g(t) est le lieu des points M(x,y)

lorsque t décrit son intervalle de définition.

Le vecteur!"T ( f %(t),g%(t)) est un vecteur tangent à la courbe (si les dérivées existent et sont non nulles). Si

le paramètre t représente le temps, alors le vecteur!"T ( f %(t),g%(t)) représente tout simplement le vecteur

vitesse.

Une courbe dans l’espace décrit par une équation paramétrique

#$

%

x = f (t)y = g(t)z = h(t)

est le lieu des points

M(x,y,z) lorsque t décrit son intervalle de définition. Le vecteur!"T ( f %(t),g%(t),h%(t)) est un vecteur tangent

à la courbe et représente le vecteur vitesse si t désigne le temps.

On peut bien entendu, paramétrer des courbes dans d’autres systèmes de coordonnées. par exemple, dansle système de coordonnées polaires, on peut décrire une courbe par l’équation paramétrique :

'r = f (t)! = g(t)

Si l’on a ! = t, alors il suffit de connaître la relation r(!).


2.2 Exemples 6

2.2 Exemples

Exemple 1Considérons un premier exemple simple dans le plan cartésien :

C1

'x(t) = aty(t) = bt t $ R

Le point M décrit, dans le plan cartésien, une droite d’équationy = b

a x. Si t désigne le temps, le vecteur vitesse s’écrit!"V =(

ab

). Ainsi la longueur d’arc vaut

l =* !!!

!"V

!!! .dt = t."

a2 +b2

La distance parcourue par le point M augmente linéairementavec le temps ce qui est compatible avec le fait que la vitesseest uniforme. On peut également calculer la distance parcourueen intégrant la « longueur d’arc élémentaire » dl :

l(t) =*

dl =* "

dx2 +dy2 = t."

a2 +b2

Exemple 2Toujours dans le plan, considérons cette fois ci la courbe d’équa-tion paramétrique cartésienne :

C2

'x(t) = Rcos$ty(t) = Rsin$t $t $ [0,2#[

avec $ une constante. Il s’agit d’une courbe fermée puisquex(0) = x(2#/$) et y(0) = y(2#/$). Remarquons que x(t)2 +y(t)2 = R2 &t ce qui signifie que M décrit un cercle de centreO et de rayon R. Si t désigne le temps, le cercle est décrit aubout d’une durée T = 2#

$ qui désigne la période de révolution.Le vecteur vitesse s’écrit

!"V =

(!R$ sin$tR$ cos$t

)

Ainsi la longueur d’arc parcourue par M vaut

l(t) =* !!!

!"V

!!! .dt = R$t

On retrouve d’ailleur le périmètre d’un cercle :

l(T ) = 2#R

On aurait aussi pu décrire cette trajectoire en coordonnées polaires par l’équation

C2

'r(t) = R!(t) = $t $t $ [0,2#[

le calcul de la longueur d’arc donne le même résultat bien sûr :

*dl =

* "dr2 + r2d! 2 =

* t

0R$dt % = R$t


2.2 Exemples 7

Exemple 3Considérons pour finir, un exemple dans l’espace dans le sys-tème de coordonnées cylindriques :

C3

#$

%

r = a! = $tz = t

t $ R+

On constate que le mouvement de M est la composition d’unmouvement circulaire de rayon a et d’axe Oz et d’un mouvementde translation suivant Oz : on obtient une courbe hélicoïdale. Levecteur

!"T (r%(t),! %(t),z%(t)) = (0,$,1) est tangent à la courbe

en M(t). La distance parcourue par M vaut*

dl =* "

dr2 + r2d! 2 +dz2 =* "

a2$2 +1.dt = t"

a2$2 +1


Outils Mathématiques pour la PhysiqueLes Coniques


Résumé

Cette fiche s’inscrit dans le cadre de l’enseignement « Outils Mathématiques pour la Physique » qui a pour objectif dedonner les techniques mathématiques nécessaires à l’enseignement de la physique (niveau Licence). Nous abordons iciune classe de courbes que l’on rencontre en mécanique et en optique : les coniques.

1 Les coniques

1.1 Généralités

Definition. Les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par sonsommet. Il existe trois formes différentes : L’ellipse, la parabole et l’hyperbole. Une conique possède aumoins un foyer F et un axe de symétrie passant par F.

On montre que l’équation polaire d’une conique avec origine au foyer s’écrit :

r(!) =p

1+ ecos!

avec p > 0 et e! 0. p s’appelle le paramètre et e l’excentricité de la conique.

Étant donné que r(!) = r("!), la conique présente toujours un axe de symétrie, ici l’axe Ox.

1.2 L’ellipse

Definition. L’ellipse est une conique d’excentricité e < 1. Il s’agit donc d’une courbe fermée. Lorsquee = 0 l’ellipse se confond avec le cercle de centre F et de rayon p.

1

1.2 L’ellipse 2

L’ellipse est inscrit dans un rectangle 2a# 2b où a désigne le demi-grand axe et b le demi-petit axe. Legrand axe de l’ellipse a pour longueur

2a =p

1" e+

p1+ e

=2p

1" e2

La distance focale c est la distance entre le centre de symétrie et le foyer F. On a

e =ca

On montre que l’ellipse présente également un centre de symétrie O de telle sorte que l’on peut définir unfoyer image F’ symétrique de F. On peut définir une ellipse à l’aide de ces deux foyers (définition bifocale) :l’ellipse est l’ensemble des points M tel que

MF +MF $ = 2a

Ainsi, le petit axe de l’ellipse a pour longueur b avec

b2 + c2 = a2

M

F’ Fc

!r( )p

!

a2b

2X + Y

2 2

= 1cae = <1!

p

1 + ecos( )

2a = b + c

2 2

O

; ; FM+F’M=2a

2a

=r( )!

2b

Fig. 1: L’ellipse


1.3 La parabole 3

Equation cartésienne réduite : On montre que dans un repère (xOy), le grand axe étant sur l’axe Ox etle petit axe suivant Oy, l’équation cartésienne d’une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe bs’écrit :

x2

a2 +y2

b2 = 1

Exemple d’équation paramétrique : la courbe paramétrique d’équation

C2

!x(t) = acos ty(t) = bsin t t % [0,2"[

décrit également une ellipse.

1.3 La parabole

Definition. La parabole est une conique d’excentricité e = 1. Son équation polaire avec origine au foyerest donc

r(!) =p

1+ cos!

La distance entre le sommet de la parabole et le foyer est obtenu lorsque ! = 0. Cette distance est appeléedistance focale et vaut

c =p2

Equation cartésienne réduite : On montre que dans un repère (xOy), l’axe de symétrie étant sur l’axe Ox,l’équation cartésienne d’une parabole de paramètre p s’écrit :

y2 = 2px


1.4 L’hyperbole 4

Fig. 2: La parabole

1.4 L’hyperbole

Definition. L’hyperbole est une conique d’excentricité e > 1. L’équation polaire décrit une branche d’hy-perbole dont les asympototes se coupent en O. On retrouve la deuxième branche d’hyperbole par symétriecentrale de centre O.

Le rectangle tangent aux sommets des branches d’hyperbole et de diagonales, les asymptotes, a pour lon-gueur 2a et largeur 2b.

La pente des asymptotes vaut alors ± ba . Si a = b on obtient des hyperboles équilatères.

La distance focale est ici la distance qui sépare O du foyer (comme pour l’ellipse) ; on montre que

c = OF = e#a


1.4 L’hyperbole 5

Equation cartésienne réduite :x2

a2 "y2

b2 = 1

Exemple d’équation paramétrique :

x(t) = acosh ty(t) = bsinh t


Outils Mathématiques pour la PhysiqueCalcul di!érentiel


Résumé

Cette fiche s’inscrit dans le cadre de l’enseignement « Outils Mathématiques pour la Physique » qui a pour objectif dedonner les techniques mathématiques nécessaires à l’enseignement de la physique (niveau Licence ). Nous abordonsici le calcul différentiel et nous supposons la notion de dérivée acquise.

Par soucis de simplification, nous nous limitons à des fonctions de deux variables réelles, sachant que l’extension à nvariables ne pose pas de difficulté.

1 Dérivée Partielle

1.1 Fonction de plusieurs variables - Représentations

Considérons une fonction réelle de deux variables réelles, c’est-à-dire une application à valeur dans R etdéfinie sur une partie de R2 :

f : (x,y)! f (x,y)

Représentation géométrique

Il existe différentes façons de représenter une fonction de deux 2 variables :" La première consiste à tracer dans un espace de dimension 3 l’ensemble des points M(x,y,z) telle que :

z = f (x,y)

On obtient alors une surface S f ." La seconde consiste à tracer dans un plan, différents courbes de niveaux Ck définies par :

f (x,y) = k

où k est une constante. La courbe Ck est l’intersection de la surface S f avec le plan z = k.Dans le cas des fonctions de trois variables, l’ensemble des points tel que f (x,y,z) = k est une surface deniveaux dans l’espace de dimension 3.

1

1.2 Dérivées partielles d’une fonction à plusieurs variables. 2

ExempleConsidérons la fonction de deux variables suivante

f :R2 ! R

(x,y) !!

x2 + y2

Les courbes de niveaux Ck sont définies par :!

x2 + y2 = k avec k # R+

sont des cercles concentriques de centre O et de rayon k.La surface d’équation z =

!x2 + y2 représente un cône de sommet O et d’angle au

sommet !/2. En effet, cette surface est un empilement de cercles de rayon augmentantcomme z.

1.2 Dérivées partielles d’une fonction à plusieurs variables.

Considérons une fonction réelle de deux variables réelles :

f : (x,y)! f (x,y)


1.2 Dérivées partielles d’une fonction à plusieurs variables. 3

Dérivée partielle

On appelle dérivée partielle de f par rapport à x au point (x0,y0) la dérivée en x0 en maintenant y = y0,c’est-à-dire :

limx!x0

f (x,y0)$ f (x0,y0)x$ x0

Cette limite, quand elle existe est notée" f"x

(x0,y0)

De même, on définit la dérivée partielle par rapport à y :

" f"y

(x0,y0)

On peut aussi noter les dérivées partielles en précisant en indice quelle variable reste fixe (notation souventutilisée en physique)

" f"x

""""y,

" f"y

""""x

ExempleConsidérons la fonction

f : R2 ! R(x,y) ! x2 siny

Les deux dérivées partielles du premier ordre valent

" f"x

""""y= 2xsiny

" f"y

""""x= x2 cosy

Les quatre dérivées du second ordre valent

" 2 f"x2

""""y= 2cosy

" 2 f"y2

""""x=$x2 cosy

" 2 f"y"x

=""y

#" f"x

""""y

$"""""x

= 2xcosy

" 2 f"x"y

= 2xcosy

On remarque que les « dérivées croisées » sont égales. Cette propriété constitue lethéorème de Schwartz.

Théorème de Schwartz :

Pour une fonction de classe C 2 (dérivées premières et secondes continues) on a :

" 2 f"y"x

""""x=

" 2 f"x"y

""""y


4

Interprétation géométrique

Dans l’espace à trois dimension l’intersection de la surface d’équation z = f (x,y) avec le plan y = y0 donneune courbe Cy0 d’équation z = f (x,y0). La dérivée partielle " f

"x (x0,y0) représente la pente de la tangente àla courbe Cy0 en x = x0.

2 Calcul di!érentiel

2.1 Théorème de Taylor

En analyse, le théorème de TAYLOR, permet l’approximation d’une fonction n fois dérivable au voisinaged’un point x0 par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de lafonction en ce point. De manière plus précise :

si n est un entier naturel et f une fonction n fois dérivable, définie sur un intervalle I contenant x0, alors onpeut écrire :

f (x) = f (x0)+n

!k=1

(x$ x0)k

k!f (k)(x0)+ #(x)

où #(x) est un reste qui tend vers 0 quand x! x0.

Ce développement est très utile en physique pour approcher des expressions.

Faire une approximation d’ordre 1 c’est écrire :

f (x)% f (x0)+(x$ x0) f &(x0)

Faire une approximation d’ordre 2 c’est écrire :

f (x)% f (x0)+(x$ x0) f &(x0)+(x$ x0)2

2f &&(x0)

Exemple 1Considérons la fonction

f : R ! R(x) ! sinx

Au voisinage de 0, on a, à l’ordre 1 :

sinx% x


f : R ! Rx ! exp(x)

L’approximation à l’ordre 2 au voisinage de 0 donne :

exp(x)% 1+ x+x2

2

Calcul variationnel

Lorsque x varie d’une petite quantité $x, alors f varie de $ f . On peut approcher la variation $ f grâce àune approximation d’ordre 1 :


2.2 Différentielle 5

$ f = f (x+$x)$ f (x)' f &(x).$x

Si la dérivée première est nulle en x alors on écrira :

$ f = f (x+$x)$ f (x)% f &(x)2

$x2

2.2 Di!érentielle

Différentielle d’une fonction

Pour une fonction d’une variable, si l’on considère une variation infinitésimale dx de x, on peut calculer lavariation infinitésimale d f de f au premier ordre en dx :

d f =%

d fdx

&(xo).dx

Cette quantité est par définition la différentielle de f .

Pour une fonction de deux variables, la différentielle s’écrit :

d f =" f"x

""""ydx+

" f"y

""""xdy

la différentiation est une opération linéaire :

d(% f +&g) = %d f +&dg


f : R+2 ! R(x,y) ! ln(xy)

d f (x,y) =dxx

+dyy


f : R2 ! R(x,y) ! x2 siny

Le calcul du paragraphe précédent nous permet d’écrire la différentielle de f

d f (x,y) = 2xsiny.dx+ x2 cosy.dy

Forme différentielle

Une forme différentielle d’ordre 1 définie sur un domaine D de R2 est une application linéaire :

' : D ! R(x,y) ! P(x,y)dx+Q(x,y)dy

S’il existe une fonction f telle que '(x,y) = d f (x,y) alors on dit qu’il s’agit d’une différentielle totaleexacte.


2.3 Applications du calcul différentiel 6

Théorème de Poincaré :

Si P(x,y) et Q(x,y) sont de classe C 1 (leurs dérivées partielles du premier ordre sont continues) et définissur un domaine simplement connexe (c’est-à-dire un domaine ne présentant pas de trou), alors

P(x,y)dx+Q(x,y)dy = d f ( "P"y

""""x=

"Q"x

""""y

2.3 Applications du calcul di!érentiel

Calcul variationnel

Dans certaines situations, on cherche à calculer de petites variations d’une grandeur physique (étude destabilité, calcul de la sensibilité d’un appareil de mesure etc.). Dans ce cas, le calcul différentiel permetd’accéder rapidement au calcul d’une variation tant que celle ci reste faible (il s’agit d’une approximation).

Considérons une grandeur physique f (x,y) dépendant de deux variables. Si x varie d’une petite quantité$x et y de $y alors f varie de $ f . On peut approcher la variation $ f grâce à une approximation d’ordre 1 :

$ f % " f"x

""""y$x+

" f"y

""""x$y

Exemple 1On considère un cercle C1 de rayon r1 = 150.106 km et un cercle C2 de rayon r2 =1cm. On augmente le rayon de ces deux cercles de 1cm. Lequel de ces deux cerclesa une augmentation de circonférence la plus grande ?Le périmètre d’un cercle s’écrit

p = 2!r) $ p = 2!$ r

la variation du périmètre est donc indépendante de la taille du cercle ! C1 et C2 voientleur circonférence augmenter de la même quantité.Exemple 2La période des petites oscillations d’un pendule simple de longueur l = 100 cm sou-mis à un champ de pesanteur uniforme g = 9,807m.s$2 s’écrit

T = 2!

'lg

Quelle est la variation de la période si g augmente de 1% ?Il est intéressant de calculer la différentielle logarithmique :

d lnT =dTT

= d(ln2! +12

ln l$ 12

lng) =12(

dll$ dg

g)

d’où l’on déduit$T =

T2

($ ll$ $g

g)

ici $ l = 0 et $g/g = 1% d’où$TT

=$5!

La période décroît de 5!.

Application au calcul d’incertitude


2.3 Applications du calcul différentiel 7

Lorsque l’on mesure une grandeur physique g il existe une incertitude de mesure "g > 0 de telle sorte quela valeur vraie se situe dans un intervalle de confiance [g$"g,g + "g]. On notera le résultat de la mesuresous la forme :

mesure = g±"g

L’incertitude est estimée par l’expérimentateur en tenant compte, en général, de plusieurs mesures succes-sives, et en incorporant les sources d’erreur provenant de l’appareil de mesure utilisé et dont il connaît lescaractéristiques. En général, l’incertitude relative "g/ |g| - appelée encore précision - est faible (quelques%) ce qui justifie l’emploi du calcul différentiel.

Supposons qu’une grandeur G se calcule à l’aide d’une loi physique G(g1,g2) fonction de deux grandeursg1 et g2 que l’on mesure avec des incertitudes "g1 et "g2. On cherche une estimation de l’incertitude surla grandeur G. Si g1 varie de $g1 et g2 de $g2 alors G varie de

$G%%

"G"g1

&$g1 +

%"G"g2

&$g2

Or, quand on fait une mesure, on ignore le signe des erreurs par rapport à la « valeur vraie », de telle sorteque si l’on envisage le pire des cas (les variations sont de même signe), la variation de G est au maximumégale à

"G*""""

"G"g1

"""""g1 +""""

"G"g2

"""""g2

Le terme de droite constitue une estimation (surestimée) de l’incertitude de G.

ExempleUn condensateur électrique de capacité C = 120 ±5pF est alimenté sous une tensionU = 12,0 ±0,1V. Que vaut la charge électrique stockée par ce condensateur ?La charge électrique stockée vaut par définition d’un condensateur

Q = CU = 120.10$12+12 = 144.10$11 C

Le calcul différentiel donne : "Q"C = U et "Q

"U = C de telle sorte que

"Q*U"C +C"U = 72 pF

On écrira doncQ = (144±7).10$11 C


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Outils Mathématiques pour la Physique_Roussel