PAR Q U E L MECANISME L’ANALOGIE EST-ELLE U N E S O U R C E D E CONNAISSANCE?

par J. LOEB, Saint-Cloud (France)

1. Avant toute chose, nous devons bien preciser ce que nous devons entendre par (( connaissance n. Les calculateurs (( analo- giques o sont d’une grande utilite dans l’industrie; ils sont, par exemple capables de resoudre des equations algebriques, differen- tielles, etc ... Si on cherche la position future d’un satellite artificiel, connaissant les equations du mouvement et les conditions initiales, on obtiendra un renseignement potentiellement contenu dans les premisses et particulier a ce problkme. L’emploi de l’analogie n’aura pas augment6 nos connaissances, au sens philosophique du terme, car a il n’y a de science que du general n.

Ceci pose, il devient paradoxal de soutenir que l’analogie peut &re une source de connaissance scientifique. En effet, nous sommes en presence des elements suivants : - Un corps de doctrine qui se rapporte a des faits connus (les lois

des circuits electriques par exemple). - Un autre corps de doctrine (les vibrations des solides, par

exemple) qui pour des raisons souvent historiques, ou fortuites, ne s’est pas developpe dans la meme direction.

- Une rkgle de correspondance entre les deux, a savoir l’identite formelle des equations. Tout ce qu’on peut apprendre dans le domaine mkcanique est

implicitement contenu dans l’analogie, qui ne peut qu’actualiser des connaissances potentiellement existantes. Si l’on s’en tenait a cette premiere evaluation on devrait se contenter de trouver dans l’analogie une possibilite de concretiser des informations contenues, sous une forme cachee, dans d’autres domaines de la science. Est-ce la une (( source de connaissance ))? Pour penetrer plus avant dans notre sujet constatons que si l’on interdisait a l’analogie d’ktre une source de connaissance, il faudrait peut-&re aussi se demander

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- a horreur! - si l’experience est une source de connaissance! (En effet, un calcul a la machine analogique n’est au fond qu’une experience.)

2. Toujours en nous plaqant du point de vue de la connaissance scientifique, c’est-a-dire genkrale, nous constatons que les diverses branches de la connaissance ne se developpent pas en synchronisme. Par consequent l’analogie permettra de transposer en bloc d’une branche dans l’autre une somme de connaissances generales acquises dans la premiere.

L’in6galit6 d’avancement des diff drentes branches de la Phy- sique est illustree par la paire (( ElectricitbMecanique n.

L’ecoulement de 1’klectricitC a commence par btre (( explique H par l’analogie hydraulique, et le vocabulaire de 1’Electricite en fut dbs le depart influence: ce n’est pas par hasard que l’on parle de potentiel, de debit de courant, de capacit6, etc ...

Puis par un curieux retournement des choses, les connaissances en Clectricite ont pris un demarrage impressionnant, si bien que maintenant, ce sont les progrbs realis& par les specialistes des rCseaux 6lectriques qui servent A l’etude des systemes mecaniques un peu compliques. D’ailleurs, la loi de correspondance, (( natu- relle o lorsqu’on (( expliquait D la self-induction par un effet d’inertie a dii Ctre complktee par une autre correspondance Cgalement natu- relle, mais cette fois-ci pour les blectriciens. La deuxikme analogie due A M. Darrieus fait en effet correspondre la masse inerte non plus h une self mais a une capacitk dont une des bornes est ((A la terre,.

Si en effet on veut faire correspondre un systkme mecanique, comportant des masses ponctuelles, a un systbme Clectrique, on se trouve gbnC par des soucis d’ordre topologique: une self a deux bornes, tandis qu’une masse n’est representable que par un point.

L’analogie qui plait aux Clectriciens fait correspondre la force au courant dectrique, e t la vitesse au potentiel. Le bati des mCca- niciens qui sert d’origine au reperage de la vitesse, correspond ainsi h la terre des Clectriciens, qui sert d’origine au reperage du potentiel.

Montrons encore comment une analogie possible entre les champs thermiques et les champs blectriques permet de prkvoir un phknombne que n’indique pas la litterature habituelle consacrke A la propagation de la chaleur.

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On sait que dans un milieu continu, sibge de la propagation d’une onde blectromagnktique, il existe une grandeur physique, ayant la dimension d’une resistance Clectrique, appelke impkdance caractkristique, qui mesure en ondes planes progressives le rapport entre la force Clectrique et le champ magnktique. Si une interface plane confondue avec un plan d’onde separe deux milieux d’impk- dances caracteristiques diff erentes, la seule connaissance des imp& dances caractdristiques permet de prkvoir comment l’onde incidente se partagera entre l’onde transmise et l’onde reflechie. Insistons bien : cette rkpartition depend des impedances caractkristiques et non des vitesses. C’est cette consideration qui a permis de concevoir et de realiser des (( rev6tements anti-radar o sur la surface desquels il n’y a pas de rkflexion.

Tout ceci est immediatement transposable dans le domaine de la thermique. I1 y a interkt A considerer en m6me temps la temp4 rature T et le flux de chaleur q. Leur rapport est une impkdance thermique, qui a pour expression, en regime sinusoi’dal :

j =Vx p = densite c = chaleur spkcifique w = pulsation k = coefficient de transmission thermique

On peut ainsi prevoir l’existence de deux milieux ayant des p, c, k diffkrents mais ne produisant aucune reflexion A leur inter- face si les produits de ces trois quantitds sont les m6mes. On aura ainsi realis6 une 4 adaptation % thermique.

On observe maintenant une curieuse reaction du domaine ther- mique sur le domaine klectrique. L’analogie Temperature-Potentiel est facile A concevoir tant qu’on a affaire A un regime statique.

Mais si on veut btendre l’analogie a des r6gimes variables, on rencontre la difficult6 suivante :

Dans un milieu materiel si(rge de champs Clectromagnbtiques variables avec le temps, la force Clectrique ne depend pas d’un 11

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potentiel scalaire, puisqu’il y a des effets d’induction lies A I’exis- tence d’un potentiel vecteur.

On a cependant pu imaginer un milieu Clectrique fictif ne cor- respondant A rien de realisable mais dont on peut trouver une approximation consistant en des rCseaux de resistances et de capa- cites. Le milieu fictif serait un corps conducteur, douC en plus d’une capacite, repartie en volume, par rapport A la terre, et oh on pourrait en revanche negliger les effets d’induction.

En general, lorsqu’on imagine des donn6es ne correspondant A aucune realisation physique possible, cela se traduit par d’insur- montables dificultks mathematiques. Mais ici, par chance, nous Bvitons de voir (( les Mathematiques vengeant la Physique outragbe *.

3. Cette possibilit6 d’6change d’information entre deux doc- trines (( isomorphes # (nous empruntons cette expression A la theorie des Groupes) met d’ailleurs en evidence une propriktC bien parti- culibre de la 4 quantitb d’Information )).

Lorsqu’on Btudie en physique le partage d’une quantit6 (masse, Cnergie, charge Blectrique ...) on admet une loi de conservation : la somme des quantitks rksultant du partage ne peut pas depasser la quantitb, partagke. Tout ce qu’a fait la physique moderne, c’est d’btendre et de ghkraliser les lois de conservation.

Dans notre cas, il y a communication de 1’Information : la partie prenante (A savoir le domaine ou les idees ont CvoluB moins vite dans le sens considkre) gagne de 1’Information. La partie donnante n’en perd pas. I1 n’y a pas de loi de conservation, et il devient donc justifik de considerer I’analogie comme une source d’information.

4. Bien loin de perdre de 1’Information (ce qui en tout 6tat de cause est impossible) le domaine riche gagne A cet bchange.

En effet il est rare que les analogies permettent de calquer exactement les resultats connus dans le domaine qui cbde de I’Information. Nous en avons vu un exemple dans 1’6chec de la tentative d’analogie entre la temperature et le potentiel Clectrique dans le cas des regimes variables avec le temps.

Plus utilement, nous voyons dans les besoins en analogies des parties prenantes un puissant stimulant pour la partie qui c&de de 1’Information. Sur la demande des premibres, la seconde effectue une grande quantite d’experiences et accomplit elle-meme des progrks.

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L’existence des machines mathkmatiques analogiques montre que la correspondance entre les divers domaines scientifiques et la technique des circuits electriques a kt6 systkmatishe.

Par exemple, s’il n’avait etk nkcessaire de simuler des processus industriels, tels ceux qui interviennent dans les chaudibres de grandes centrales electriques, les rafineries de petrole, les piles nuclkaires, etc ... qui se serait soucie de realiser des amplificateurs Clectroniques sans derive ou de bhtir la technique des puissantes machines arithmktiques que nous connaissons ?

5. Dans le premier paragraphe de cet article, nous avons trop vite condamne, au nom de la Science, l’emploi des machines mathk- matiques.

Certes, la possibilitd qui nous est offerte de resoudre aux moindres frais ... intellectuels, les problemes les plus compliquks ne doit pas nous inciter A la paresse. Si Bessel avait eu des calculateurs ana- logiques A sa disposition pour son etude des mouvements de la lune, personne ne se serait doute de la parent6 qu’il peut y avoir entre les vibrations d’une membrane circulaire et le spectre d’une onde modulke en frkquence. Mais les possibilitks offertes par l’analogie - en Blargissant le sens de ce mot jusqu’a couvrir tout le domaine des machines mathkmatiques - ont considerablement augment6 les possibilitks qu’ont les Ingenieurs et les Physiciens de trouver les solution numeriques des problemes trbs compliques.

Jadis, un problbme touchant A la propagation d’une onde klectromagnetique dans un milieu inhomogbne n’etait consider6 comme rCsolu que si on avait pu trouver une expression analytique des champs, ou a la rigueur de bons dkveloppements en skries.

Aujourd’hui, ce qui importe, c’est l’algorithme, c’est-A-dire la rkgle d’action qui permettra d’obtenir les solutions numeriques pour des parametres qu’on (( entre b) dans la machine.

En un sens c’est 18 une regression, puisqu’on renonce aux solu- tions exprimees au moyen des fonctions connues et tabulees, mais elle est mille fois cornpensee par l’accroissement prodigieux de la puissance de calcul ainsi obtenue.

Bien mieux l’utilisation des machines constitue en elle-m6me un domaine scientifique nouveau, oh naissent des methodes math& matiques d’une grande beautk.

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Ainsi le domaine de 1’6lectronique a lui-m&me bCnCficiC de l’infor- mation qu’il distribue gCnCreusement A toutes les disciplines scien- tifiques. Ceci n’est pas un hasard. L’histoire de l’humanitk est faite de ces progrbs qui au debut semblaient constituer un simple d6ve- loppement de la technique, au sens ancillaire du terme.

Mais l’esprit, A la fois encourage et affranchi par de nouveaux instruments, a progress6 dans son domaine propre. N’a-t-on pas pu prCtendre A juste titre que l’homme est devenu intelligent parce qu’il a le pouce opposable aux autres doigts?

6. Concluons cette Ctude par ... une analogie I Les MathCmatiques sont, malgrC la plaisanterie connue, tout

autre chose qu’une immense tautologie. Cela est do au fait qu’elles Ctablissent des correspondances entre des propriCtCs des choses qu’elles ont isolCes, abstraites, au sens Ctymologique ; et non entre les choses elles-mQmes.

Les abstractions sont communes A de nombreux domaines des MathCmatiques ou de la Physique.

Nous ne pensons pas fausser le sens des mots en disant qu’A notre sens la dCmarche de l’esprit de 1’IngCnieur obtenant par u analogie # les rCsultats numkriques qui lui sont nbcessaires, res- semble beaucoup A celle du MathCmaticien isolant e t Ctudiant les propriCtCs abstraites, skparees, des choses qu’il nous est donnC de connaitre.

L’Analogie n’est pas l’identitk, e t c’est pour cela qu’elle est une source de connaissance.

Sommaire

1. Nous sommes en presence d’un paradoxe. Qui dit u analogie Y

Deux termes, dont l’un est connu. Une rbgle de correspondance, Cgalement connue. Comment une quelconque dCmarche de l’esprit peut-elle, A partir

de ces prkmisses, Clargir le domaine de nos connaissances? 2. Une premiere analyse permet d’etablir entre deux domaines

une technique de u vases communicants n ; si, dans un domaine,

pense obligatoirement aux ClCments suivants :

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la connaissance est plus avancee, l’analogie permettra d’acqukrir des connaissances dans le domaine le moins etudie.

L’analogie (( Mkcanique-Electricite o donne l’exemple d’un couple de notions tour a tour en avance l’une sur l’autre.

L’ecoulement de l’electricite dans un conducteur a commence par Btre (( explique )) par la banale comparaison avec celui d’un liquide dans un tuyau.

Actuellement, la technique des circuits electriques a pris un tel dkveloppement qu’elle sert de modele a l’etude de systkmes mecaniques. Les dificult6s topologiques que presente l’analogie ont ete levees en 1928 grAce a l’analogie de M. Darrieus.

3. Le gain d’information apport.6 par l’analogie entre une technique oh l’experimentation est dificile, et une autre oh elle est facile constitue un stimulant pour l’experimentation facile.

I1 faut reconnaitre ici le point de d6part du prodigieux deve- loppement des machines mathematiques.

Par exemple, avant qu’on eht besoin de bien connaitre les r6gimes dynamiques des processus industriels (une chaudiere de centrale thermique, une pile nucleaire, etc ...) personne n’avait eu int6rbt a assembler quelques dizaines d’amplificateurs Clec- troniques pour en examiner 1’6volution.

4. On a pu se demander si un calcul effectub sur une machine avait r6ellement la valeur d’une acquisition scientifique. En effet, prenons l’exemple de la rdsolution d’une equation differentielle. En affichant correctement les conditions initiales, on obtient la solution. Mais ce n’est 18 qu’une experience trks fragmentaire, qui ne peut apporter les informations qu’une analyse mathematique donne : conditions de stabilite, valeurs infinies des solutions, etc ...

La valeur scientifique des machines semble resider ailleurs : on a dit que l’homme est devenu capable de raisonner parce qu’il avait le pouce opposable aux autres doigts. Les machines sont une prolongation de nos moyens d’investigation. I1 se developpe en ce moment toute une technique - une science, pretendons-nous- de l’utilisation des machines, generatrice de nouvelles conceptions mathematiques.

5. L’analogie emprunte sa fecondite aux sources mCmes qui donnent leur puissance aux mathematiques. Analogie ne veut

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pas dire identitb. La correspondance est dtablie seulement entre des notions isolCes, abstraites, au sens Ctymologique. E n un certain sens, les Qtres mathbmatiques qui se revdent aujourd’hui les plus utiles rbsultent d’analogies profondes, qui se traduisent par exemple par les concepts d’homeomorphismes, et par des rapprochements entre les demarches de la logique et la thCorie des ensembles.

L‘Analogie peut ainsi Qtre considCrCe comme un des plus puissants instruments que nous possddions dans la poursuite de la connaissance.

R6eum6

On montre comment, e t pour quelles raisons, l’analogie est une source de connaissance ;

D’abord, elle Bvoque l’image des u vases communicants s, car elle permet & une technique moins Bvolu6e dans un domaine de bBn6Acier des progrbs d‘une technique plus avanc6e. On cite comme exemples : le couple Hydrau- lique-Electricit6 et le couple Thermique-Electricit6 ; relativement & ce dernier, l’analogie a permis de cr6er la notion u d’ Impedance caract6ristique thermique s.

L’ Information, au contraire des grandeurs physiques habituelles, se communique sans qu’il y ait partage, et par suite sans que la partie c6dante en perde. Au contraire, l’analogie est souvent un stimulant pour les Btudes dans les techniques d6j& 6volu6es.

On montre enAn que l’analogie, A l’image des Mathematiques elles- m&mes, cr6e de l’information par ce qu’elle est une abstraction, au sens dtymologique du mot.