C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 7-12, 1998

Thkorie des nombres/Number Theory

(GCometrie a@brique/A/gebraic Geometry)

Pan-am&es alghbriques de groupes formels et critikes d’isoghie

Philippe GRAFTIEAIJX

(Rey le IS juillet 1997. accept6 apr&s r&ision le 12 novembre 1997)

R&m& G. et D. Chudnovsky ont dCduit d’un thCor6me d’indkpendance algCbrique un critkre effectif pour que deux courbes elliptiques sur Q soient isogknes. Nous gCnCralisons ce critbre au cas de deux variCtCs abeliennes sur Q, en construisant explicitement une famille de paramktres algkbriques de leurs groupes formels.

Algebraic parameters for formal groups an,d isogeny criteria

Abridged English Version

Let (A. IV) be a principally polarized semistable Abelian variety over Q, of dimension .o. We denote by A” the “identity component” of the N&on model of A over Z. Recall that the forma1 group x/Z of ,4 is the forma1 completion of A” along the zero section. We say that .y regular functions on a neighbourhood of the zero section of A” form a family of algebraic parameters for 2 if they induce an isomorphism : specf Z[[X,. . . , X,]] rv A/Z. Finally. we say that A is of nadtiplicative type if the fibers of A” are either Abelian varieties or tori.

Let 71 be the least even square number such that M = (N @ [- t]*i11)“/’ admits a cubical very ample extension to A”. Let (2 be the smallest extension of Q over which the &IT-torsion of A and the /),-torsion of Mumford’s group &T(M) become constant. Identifying (AC, NC) with the principally polarized Abelian variety A, N C~/TZ!’ + Z” for some 7 in Siegel’s space. we define hH(il) to be the logarithmic height of the projective point (H,,,(,(uT, O)),,,E- theta-characteristics, .XP [Sl).

,I, zc,jz,, (in the standard notation for

Let (A,, !V,), *i = 1. ‘L, be Abelian varieties as above. We give here an explicit upper bound, in terms of the corresponding datas 91 = ~12, nl, r/,2. 111. 622, for the least real number X such that the following theorem holds:

Note prksentke par Jean-Pierre SERRE.

07h4-4442/08/032h0007 C’ A. d LU knie des Sciences/Elsevier, Paris 7

P. Graftieaux

THEOREM. - Assume that >dl and A2 are of multiplicative type and simple over Q. [f there exists an isomorphi.sm of group schemes between the infinitesimal neighbourhoods c.f order

i exp(X(hg(A1) + ho(&) + 1)) c?fz h 1 and A2 whose d[fferential is compatible with the polarizations, then Al and A2 are isogenous

Results of a similar type are known, with the heights of the Abelian varieties replaced by the logarithms of their conductors (see [4], ij3), but the constants involved in these estimates have not been computed.

1. Introduction et notations

Soit (A. N) une variCt6 ab&lienne principalement polarisCe, de dimension 9, dCtinie sur Q. On note A le modkle de N&on de A sur Z, de composante neutre A”, et z/Z son groupe f‘ormel, c’est-&dire le cornpEt formel de A” le long de la section nulle e : spec Z + A. On suppose que la fibre de A” en toute place de mauvaise rkduction est un tore ; on dira dans ce cas que A est de type multiplicat$

Les notations suivantes attachent a (A, N) un entier TL = ?/,(A, N), un corps de nombre 12 = I2(A, N) de degre d = ~i(il. W) et de discriminant D(A. IV) = I). et enfin un nombre rCe1 h’(A. N), qui correspond 2 une hauteur logarithmique.

NOTATION I .l. - Soit 11, = rt,(A. nr) le plus petit carrC parfait pair tel qu’il existe une extension cubiste tr&s ample du faisceau M = (N @ [-1]*N)7b/2 j A”. Nous fixons une telle extension M et nous notons 4 : ca*M rv Os,‘Vr~ la rigidification attachke g sa structure cubiste.

(L’existence de 7~( A ~ :V) est assuree par Ie caract&re semi-stable de A ; voir les propositions 1.2. I, p. 45 et 6.2. I, p. 134 de [9]. Nous ne chercherons pas ici B majorer II..)

NOTATION I .2. - Soit 12 = 12(A, iV) la plus petite extension de Q sur laquelle tous les points de 27s2-torsion de A et tous Ies points d’ordre II du groupe G(M) de Mumford sont definis. Le degrC et le discriminant de 12 seront not& respectivement d et D. On pose de plus :

NOTATION 1.3. - Soit T 1’Ument du domaine fondamental de Siegel (pour l’action du groupe symplectique sur l’espace des matrices symktriques 9 x ~1 de partie imaginaire dtfinie positive) tel qu’il existe un isomorphisme de groupes de Lie complexes A @IQ C E CY/rZ” + Z”, la polarisation :V induisant la forme de Riemann de matrice IrnT-1 sur la base canonique. Si ‘rn est un Ument de

z, = ($/Z) !‘, on disignera par #,,, la section de Ad = iv7’/* $$ [- 1]*N”/2 sur A I@$ C attachke 2 la fonction theta sur CY : IY,,, : z H CxEz,, f’( ?kr t (A + rrf.)‘u~( x f rrb) + %J/,TT t ?I( x $ m)) et g la rigiditication 4. On note ho(A) la hauteur de Weil du point projectif (11,,, (O)),,,,z,, On pose enfin

h’(A.N) = Xmi~x(l,h&4)) +/I,

2. IhoncCs des rhltats

TH~OR~ME I. - Soient (Al. N1 ) et (A2 ~ Nz) deux varie’tls abe’liennes principalement polariskes d#inies sur Q, de dimension ,q, de type multiplicat$ et simples ,sur Q. On suppose qu’il existe un i.sotnorphisme de .sch&nas en groupes, de d@!rentielle compatible aux polarisations, entre les

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Parametres algebriques de groupes formels et crithres d’isoghie

h A voisinages infinitbimaux d’ordre < ~(1 = c:xp(h’( AI. N1 ) + h’( -42. N2) j de A1 et A,. Alors il existe

entre AI et A2 une isoge’nie, qu’on peut choisir de degrk < $‘-+‘.

On dCmontre le thCoreme 1 en appliquant la mCthode de transcendance de Chudnovski (voir [I], et aussi $4 ci-dessous) aux paramktres fournis par le thiorkme 2.

THI?OR~~ME 2. - Soit (A. N) urw varie’tl abPlienne principalement polari,s& d+nie sur Q, de dimension !I, et de type multiplicat$ Avec les notations 1.1 6 1.3. il existe y + 1 sections s,, i = o..... q, de M sur 4 telles que :

(a) le.s,fonctions t,, = .si/.s ,,, i = 1. . ~ ,CJ, ,forment une filmi[le de param~tr~s du groupe,fiwme/ J/Z

(autremmt dit, elles induisent un isomorphisme : specf Z[[X, . , X,]] ^Y A/Z); (b) pour tout rrl.~) E Z,,, les coordontze’es de cl,(H,,,,,)s;, /: = 0. . . . , !I, sur la base (H,,,),,,E2,, .sont des

PlPments de 62, de hauteurs majjorr’es par 2-‘&l h’( A, IV) ; (c) 1e.s coefjcients dr la matriw complexe [v(O)l<;,j<4]-’ sent de module 5

(axp(2-‘h’(A. IV)).

On dira que A est j multiplication &elk par l’anneau des entiers I’ d’un corps de nombres de de&r6 ~1 sur Q. s’il existe un morphisme d’anneaux unitaires ,ij : E -+ End A. On note dans ce cas L(A, l. ,Y) la fonction I, de A j coefficients dans f (voir [5]). Si 11 . II1,z dCsigne la norme relative aux mCtriques attachCes aux polarisations. on obtient :

COROLLAIRE 1. - Soient (Al >Vl) et (AZ. NT) I c ~ux variPte’.s abPliennc~.s principalement polari.sPes, de dimension $1, et *semi-stables sur Q. On les suppose sitnpks sur Q et ir multiplication rCrlle par un anneau d’entiers & principal. Les trois assertions suivantes .sant alors Pqui\~alente.s :

(i) Les ,fonctions L(A1 ~ E. .s) et I,( ‘42. E, .5) wit igales (6 cnnjuguison pr6.s). (ii) II existe un isomorphisme *$, entre les espaces tangents ti 1 ‘origins de A 1 et -42 qui

s’e’tend en un isomorphismr de sche’mas e/l groupes entre 1e.s voi,sinage.s ir$nit&simaax d ‘ordre 5 p[J = /1?/~11~~~ exp(h’(Al, TI) + h’(A2. N2)) c/e 21 et JT.

2r,*+1 (iii) I1 existe entw -41 et ‘42 une isogr’nir de degrP infe’rieur il p(,’ .

L’implication (i) + (ii) est le th6oreme 2.2 de IS], tandis que (ii) =+ (iii) dtcoule du theorirme 1. Remarques. - 1) Les critkres d’isog&nie obtenus ci-dessus sont de l’ordre de grandeur de ce qui est

d6jA connu. Plus pr&isCment, soit 1%’ le produit des conducteurs de AI et A2 : 1.a) L’argument de [4], $3, sous la version non conditionnelle du thCor&me de cebotarev,

montre que Al et A2 sont isogknes d6s que leurs groupes formels sent isomorphes 2 l’ordre p:, = cq,(c28"(log N + 8g2 log 2)), oti f’ est une constante universelle non encore explicitke. La situation est similaire 2 celle du cas elliptique (rwir 171).

I .b) Les hypothkses du corollaire 1 impliquent, cous la conjecture de Serre (wir (1 I]), que A, et AZ sont facteurs de la jacobienne de la courbe modulaire ,7il(?V). Dans ces conditions, A1 et A2 sont isogtines d?s que les facteurs locaux en p de leurs fonctions L coi’ncident pour tout I, 5 Nl()gN (voir 141, $4). On peut done dans ce cas prendre c’ = 1 dans I.a.

2) Une fois l’existence d’une isogknie assurCe, les travaux de Masser et Wcstholz (lloir 181) permettent de raffiner les bornes sur le degrC donnCs par le thCor&me 1 et le corollaire 1 (pour la dCpendance en ~1, voir I’exposC de J. B. Bost au sCminaire Bourbaki, n3 7%).

3. DCmonstration du thCor&me 2

3.1. Comparaison de rkseaux

Dans ce paragraphe, on fixe un plongement de al dans C. On note 0 I’anneau des entiers de 12 et B le modkle de N&on sur S = spec (3 de II = A @: 12. Le schCma en groupes A Ctant semi-stable, la

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P. Graftieaux

composante neutre B” de B s’identifie B A” 82 0 et M @Z 0 dkfinit un faisceau inversible C sur B’. On dksigne encore par C son prolongement cubiste au plus petit sous-schCma en groupes ouvert Bkl~] contenant la wtorsion de B (voir [9], prop. 1.2.8, p. 47 et th. 1.1 (i), p. 40) et par I, sa restriction A la fibre gCnCrique B. On d&finit comme dans [IO] I’extension centrale G(L) du groupe K(L) par G,,,,$?, qui se prolonge sur S en une extension centrale G(C) de K(C) par G,,,,s, oti K(C) est l’adhkrence schkmatique de K(L) dans B[n] (voir [9], prop. 2.4, p. 88).

PROPOSITION 1. - II existe deux sow-groupes H et H’ de G(L) dbjinis sur 12 et vPri@nt les propriPtL.s suivuntes :

(i) Ils rel&ent les sous-groupes II,c~TZ”/TZJ~ = 72,, et ~I,-~Z”/Z” = 2,, de CY/rZ~ i- Z”, de sorte qu ‘apr?.s identijcation de H’ au dual de Cartier de H, G(L) est isomorphe ~114 groupr de Heisenherg de H.

(ii) Soit nt,() E 2,, tel que rY ,,,,, (0) # 0 ; les sec~tior2.s H,,, /(i,( H,,,,, ) sent dQinie.s sur 5 2 et permottent d’identijier r( 13. L) Li IIH. Duns ces conditions, IN reprksentntion nuturelle de G(L) t1rrn.s I‘( 13. L) cl.st la reprPsentution de Schriidinger de G(L) attach&e ir H.

Ceci dkoule de [6]. lemme 6.5, joint h [IO], th. 2.

DEFINITION 1. - Pour la suite du paragraphe 3. on fixe ~rl,() E 2,) tel que 1(1,,,,, (0) # 0. et on note (3 le sous-(3-module libre de rang ,/t,g de r(D. rJ) engendri par les sections (H,,,/(,!I(H ,,,,, )),,,tz,,

TH~OR~ZME 3. - Sons les hypoth6.se.s du the’or+me 2 et uvec Irs notcrtions de lrr clcffinition I . I(> U-module r(f3[~,]. L) t es un re’serru de I‘( B. I,) et il existe un entier ti, 0 < K 5 c~xl)(~l hH( _ 1)). trl que I’on ait IN relation de conzmen,surcrhilitP :

nflh.(-) c I‘(B[l/>]. C) c ;kl ,(

Principe de dkmonstrution. - Par construction. K(,C) est un schCma en groupes fini et plat. On dCduit done de 191, prop. 2.4, p. 88 et prop. 2.53, p. 115. que H et H’ se prolongent en deux sowschkmas en groupes lagrangiens 7-f et ti’ de S(l). L’action de G(L) sur I‘(B. L) se prolonge en une reprkentation de G(L) dans I’(B[,/,]. ,C) et le th. 3.4, p. 122, de [9]. donne un isomorphisme de reprksentations I’(B[71]. C) z il(‘)(‘FI’\G(,C)) 1x1 IV p our un certain faisceau inversible W sur S. La demonstration du thkorkme 3 repose alors sur la proposition suivante, appliquCe B y = ‘H’\K(L), 7 = W\G(C) t e au morphisme composk (5 : H,i; 3 ‘FI -+ 7. (Si Y est un schema fini et plat sur 0, de fibre gCnCrique constante sur 12, on dksigne par 1:s le schCma constant sur S de m&me fibrc gkntrique que y et par A(y) I’algkbre affine de JJ; lorsque 7 est un G,,,,,s-torseur, le module des fonctions sur lesquelles G,,,,,L; agit par les homothkties est note A(‘)(l).)

PROPOSITION 2. - kit 3;l.S un schkmrr en groupes jini, plot et conzmutut~f~ de ,fibre g&&rique Y

constunte, et wit 7 un G,,,.s -torseur sur 3;, dent In jlwe ge’nkrique T + Y udmet une section s. On

suppose que s s ‘e’tend en un mnrphkme (5 : ks + 7 et on note 7’ le tocveur sicr 12. crhtemc ir purtir de 7 par l’extension des sculuires Ys + y. Alors :

(i) s s ‘&end en une .section de 7’ - Ys ; en purticulier, 1 ‘isomorl?hi,sr?ze A( ‘) (T) 21 A(Y) uttuchP 6 s induit un isomorphisme de O-modules A(l) (7’) N A( Ys).

(ii) l’rmnuluteur du O-module A(Y~~)/A(JJ’), t I e L one celui de A(l)(l’)/A(l)(7), divise I’ordre de Y.

(Noter que les comorphismes des morphismes naturels Ys + y et 7’ + 7 son1 injectifs.)

THEOREME 4. - Sous les hypothP,ses du th&&ne 2 et de la dtffinition 1. il e,yi,yte 1411 entjpr E,

0 < f < c:xp - d2(“/“94or,q) ““‘(2he(A) + logr~ + 12!ylog2)), tel que

7b”k.H c r(a”,c) c lo f

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Paramhtres algbbriques de groupes formels et crithres d’isoghie

C’est dans la dkmonstration du thCorkme 4 qu’intervient l’hypoth&e de type multiplicatif faite sur A. Elle assure I’existence d’une famille (LL~)~<~<~,~,,,~)z~ d’entiers rationnels, 0 < A; 5

exp (d(4.p) ( 12gL 2ho(A) + log 7) + 129 log 2))) telle que pour toute place g de mauvaise rCduction de B, il existe un indice % vtrifiant : ai(~ll”)““rjrs[,,].~) ~1 0, c 0 I@ 0~.

3.2. Construction de paramktres formels de A/Z

En Ctudiant l’action de Gal(SI/Q) sur la reprCsentation de Schriidinger et en prenant des traces. on dCduit des estimations pr&bdentes :

TH~OK~ME 5. - Sous les hypothtses du th&&ne 2, il e.xiste une base (~~;)l~i~~,~, de T(A”, M) sur Z dont la matrice sur la huse (t),,, /d( H,,,,, )) ,,,c z,, a des co<#icients duns IL. de hauteurs major&es par :

(%‘2(“““)1”(q!ll))13~‘(hH(H) +logII +d*log2)

Nous sommes maintenant en mesure de construire les paramktres prCdits par le thiorgme 2.

PROPOSITION 2. - (i) II existe une section .s~~ de I’(A”. M) telle que 4(sg) = 1 et dont les coordonnr’es

sw la base de.s CO,,, /(i,(fl,,,,, )),,a~~,, sorlt des Plkments de f1, de hauteurs majore’es par

~1’2(~““)” (49~)~~~’ (2h,,( 13) + log D + td* log 2)

(ii) L’homomorphisme de krr $ duns T’(5’. ~*52i,~) : s ++ e* (d(s/s~~)), oli d d&&e la di~~rentielle au voisinage de la section nulle, est surjecti’

Dans ces conditions, soit ~1 = (~~i)l<;<~ E (Z,,)g tel que la matrice jacobienne M!,(T) =

associee ?I /L ait un dkterminant de module maximal. Suivant [ 121 et [2], on

(cS;)~<,<,, dCfinies par la formule

[I fii ISi<!,

= 2i74,(7)Y g-1 1<,<,, Pour 1 < i < 9 et 1 < ,j < ?I,~~, h;(Tj/s(j) est un ClCment de II, de hauteur majoree par

d*2@‘“)” (4p)“” (hH( LI) + log D + d* log 2)

en vertu du thCor&me 2, de la proposition 3 et d’une version explicite du thCor&me 4.2 de [2]. Par des combinaisons lin&aires des sections I’, - ~i)(~;).s~), on determine des sections (s,)~~~~~, vkrifiant les assertions (a) et (b) du thCo&me 2. D’aprks le lemme suivant, gCn&alisation d’un thkorkme de S. David sur les 2-caract&istiques, et du fait du choix de or, elles vCrifient alors (c).

LEMME I (voir 131). - On a I’inlgalitP

4. DCmonstration du thCorkme 1

On reprend les notations du thCor6me 1. Pour % = 1.2, on dCsigne par (t,,j)1~,<9 les paramittres fournis par le theorkme 2, par expi = (~~‘xp~,~, . . . cxp, 9) les exponentielles formelles de Ai associCes

aux (ti,j)l<j<g et par (w.k)~~k+ les coordonnCes iur l’espace tangent B l’origine relatives B la base duale des dti,,i(O), de sorte que la sCrie formelle exp;,,; est le dtveloppement de t;,, en les

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P. Graftieaux

(~~i.k)l~Ky. Par hypothksekil existe En isomorphisme de groupes formels 4; = ((i,13.. , $,) (sur Q) entre les groupes formels Al/Z et AZ/Z, dont les coefficients d’ordre 5 p. sont entiers. L’kgalitC ,1/l 0 c:Xpl = exp2 otd*@ s’krit t2.,(~l#(~~/.)) = ,$,(tI,I(~u). . , ,tI,g(~~l)). Le thkorkme 1 r&Ate alors du thCor&me 6 ci-dessous appliquk aux fonctions tl. . ,t,,~/~,(t~, . . ,t!,). . .111~,(t~. . . ,t,), au diffkomorphisme II = c~xp,, et aux nombres rkels H = II&$/I , f 2 cxp(‘2(h’(Al. N,) + h’(Az. N2)) et c = 2p~1!~.

TH~OR~ME 6. - Soient (I,’ et H deux nnmhres r&els > 3. Soient ,+; (Ll 1 . . . L,,), 1 5 % 5: !I, drs ,fonctions mPromnrphr .sur C”, h(~) = (//,I. . . . /~,~,)(.u~. . ~ IL,) un d$%&morphisme uu voisinuge de 1 ‘origine de 0, tungrnt ci I’identiti, et (s;),,s,s,,, des,fr,nctions entitres sur CT’. On ,suppo,se vPr$i&s les hypothkses suivantes, pour tout % = 1. . , ,q :

(i) h; = z et ,(I; 0 11 = % sur C!‘;

(ii) ,si( I/) 5 CH t~~p(C'Hll~~11~) p our tout PlPment IL de CY, et so(O) > H --] ; (iii) pour tout g-uplet p de longueur IpI 5 220,q”CY5H4. le c.o@icient de Taylor d’ordre p de YJJ; est

un entier rationnel de Lvalrur ahsolue 5 HcIJ’I ; (iv) toute expression polynomiule de degrk D en les,f~mctions h 1, . . . II,,, , q/j1 o II,. . ,(I~, o II, admettunt

ci l’origine UFZ z&r0 d’ordrlm > (rD2, est identiyucjment nulle. Alors les 2~1 fonctions (t, ,$I, ) 1 <, < ,, sent 1ic;r.s par une relation algPbrique sur Q de degrt!

5 210,i,“CH”.

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